云南省弥勒市2015届高三模拟测试(一)数学(理)试题 Word版含答案

云南省弥勒市2015届高三模拟测试（一）理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数1z i =-,则1z z+对应的点所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．若集合{}{}22|228,|20x A x Z B x R x x +=∈<≤=∈->,则R C B A （）所含的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．33．设随机变量ξ服从正态分布2N 1σ（，）,若P 2)0.8ξ<=（,则(01)P ξ<<的值为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双曲线的标准方程为( )A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．221916y x -= D ．221169y x -= 5．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值为( )A ．2B ．5C ．11D ．236．已知等比数列{}n a ,且480,a a +=⎰则62610(2)a a a a ++的值为( )A ．2π B ．4 C ．π D ．9π-7．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.852 B ．0.8192 C ．0.8 D ．0.758．已知0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+的最小值为1,则a =（ ） A ．12 B ．13C ．1D ．2 9．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23,x f x x =+-则()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 10．已知直线,m l ，平面,,αβ且,,m l αβ⊥⊂给出下列命题：①若α∥β，则m l ⊥； ②若αβ⊥，则m ∥l ； ③若m l ⊥，则αβ⊥； ④若m ∥l ，则αβ⊥。

其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC，,1,AC BC AC BC PA ⊥===，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．5π BC ．20πD ．4π12．ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++=，则OC A B ⋅的值为（ ）A ．15-B ．15C ．65- D ．65 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知0m >,6260126(1),mx a a x a x a x +=++++若12663a a a +++=，则实数m =14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为15．如图，在ABC ∆中，45,B D ∠=是BC 边上一点，5,7,3AD AC DC ===，则AB 的长为服务时间/小时16．已知函数2()43,f x x x =-+集合{}(,)|()()0M x y f x f y =+≤，集合{}(,)|()()0N x y f x f y =-≥，则集合MN 的面积为三、解答题（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，770,S =且 126,,a a a 成等比数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设248,n n S b n+=数列{}n b 的最小项是第几项，并求出该项的值。

18．（本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（1）求抽取的200位学生中，参加 社区服务时间不少于90小时的学生人 数，并估计从全市高中学生中任意选取 一人，其参加社区服务时间不少于90 小时的概率；（2）从全市高中学生（人数很多）．．．．．．．．．．．．． 中任意选取3位学生，记ξ为3位学生 中参加社区服务时间不少于90小时的 人数．试求随机变量ξ的分布列和数学 期望E ξ.19．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，O 是AC 的中点，O A 1⊥平面ABC ，︒=∠90BCA ，BC AC AA ==1． （Ⅰ）求证：11AC B A ⊥；（Ⅱ）求二面角C BB A --1的余弦值.AB CD20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212y x -=的焦点重合，过点(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点。

（1）求椭圆C 的方程； （2）求OA OB ⋅的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数()sin x f x e x = （1）求函数()f x 的单调区间； （2）当[0,]2x π∈时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．（本小题满分10分）选修4—1，几何证明选讲如图所示，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，EF ∥CB ，EF 交AD 的延长线于点F ，FG 切圆O 于点G . (1)求证：△DEF ∽△EFA ； (2)如果1FG =，求EF 的长．23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点ABCO1A 1B 1C按坐标变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程； （2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知()11f x x x =++-,不等式()4f x <的解集为M . (1)求M ；(2)当,a b M ∈时,证明:24a b ab +<+.弥勒市2014—2015学年高三年级模拟测试（一）数学学科 理科试题卷参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．1m = 14．10 15．216．π三、解答是（本大题共8小题，共70分，解答题应写出必要的文字、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）解：（1）设公差为d ，则有1221672170a d a a a +=⎧⎨=⎩，即11211131013()(5)a d a d a d a a d +==⎧⎧⇒⎨⎨=+=+⎩⎩或110a d =⎧⎨=⎩（舍），32n a n ∴=- (2)23[1(32)]22n n n nS n -=+-=，23484831123n n n b n n n -+∴==+-≥=，当且仅当483n n =时取=号，即 4n =时取=号。

18（本小题满分12分）解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为 2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802.2002005P +===（2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小 时的概率为2.5由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3．所以00332327(0)()()55125P C ξ==⋅=；11232354(1)()()55125P C ξ==⋅=；22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；3303238(3)()()55125P C ξ==⋅=．随机变量ξ的分布列为因为ξ～2(3,)5B ，所以26355E np ξ==⨯= 19（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1AO ⊥平面ABC ，所以1AO BC ⊥.又BC AC ⊥，1AO AC A =,所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1AC BC ⊥.因为1AA AC =，所以四边形11A ACC 是菱形，所以11AC AC ⊥，1BCAC C =,所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11A B AC ⊥． （Ⅱ）以12AA =，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则1(0,1,0),(2,1,0),(0,1,0),A B C C -，11(2,2,0),(0,1AB BB CC === 设(,,)m x y z =是面1ABB 的一个法向量，则10m AB m BB ⋅=⋅=，即2200x y y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1z =，取(3,m =. 同理面1CBC 的一个法向量为(0,3,1)n =-． 因为27cos ,||||m n m n m n⋅<>==⋅所以二面角1A BB C -- 20（本小题满分12分）解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e a aa -==∴===， 2243a b =。

又双曲线的焦点坐标为(0,b =224,3a b ∴==， ∴椭圆的方程为22143x y +=。

（2）若直线l 的倾斜角为0，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-， 当直线l 的倾斜角不为0时，直线l 可设为4x my =+，22224(34)243603412x my m y my x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-，综上所述：范围为13[4,)4-， 21（本小题满分12分）解：（1）()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x '=+=+，令sin cos ),4y x x x π=+=+当'3(2,2),()0,()44x k k f x f x ππππ∈-+>单增，'37(2,2),()0,()44x k k f x f x ππππ∈++<单减（2）令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立， 而'()(sin cos )x g x e x x k =+-，令'()(sin cos )()(sin cos )(cos sin )2cos x x x x h x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-='[0,],()0()2x h x h x π∈≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤，当1k ≤时，'()0,()g x g x ≥在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合；当21k e π<<时，'()g x 为一个单调递增的函数，而''2(0)10,()02g k g e k ππ=-<=->，由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得'0()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0,g x ≤从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞ 22证明：（本小题满分10分） （1）//EF BC DEF EBC DEF BAD DEF BCD BAD ⇒∠=∠⎫⇒∠=∠⇒∆⎬∠=∠⎭∽EFA ∆（2）EFA ∆∽2EFD FE FD FA ∆⇒=⋅ 又因为FG 为切线，则2FG FD FA =⋅所以，1EF FG ==. 23、（本小题满分10分）（1）C :3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ ⇒ 22:194x y C +=， 将1312x x y y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩ ⇒32x x y y '=⎧⎨'=⎩代入C 的普通方程得221x y ''+=，即22:1C x y '+=；（2）设(,),P x y 00(,)A x y ， 则003,22x yx y +== 所以0023,2x x y y =-=，即(23,2)A x y -代入22:1C x y '+=，得22(23)(2)1x y -+=，即2231()24x y -+=AB 中点P 的轨迹方程为2231()24x y -+=. 24、（本小题满分10分）（1）解不等式：114x x ++-<124x x ≥⎧⎨<⎩ 或1124x -≤<⎧⎨<⎩ 或124x x <-⎧⎨-<⎩⇒12x ≤<或11x -≤<或21x -<<-， ⇒22x -<<⇒()2,2M =-.（2）需证明：22224(2)816a ab b a b ab ++<++， 只需证明222244160a b a b --+>， 即需证明22(4)(4)0a b -->。