量子力学试题

1、通常情况下，无限远处为零的波函数所描述的状态称为什么态？一般情况下，这种态所属的能级有什么特点？答：束缚态，能级是分立的。

2、简述两个算符存在共同的完备本征态的充要条件，并举一例说明（要求写出本征函数系）。

在这些态中，测量这两个算符对应的力学量时，两个测量值是否可以同时确定？答：两个算符存在共同的完备本征函数系的充要条件是这两个算符对易。

例如，0]ˆ,ˆ[2=z L L ，这两个算符有共同的完备本征函数系{}),(ϕθm Y 。

3、若两个力学量的算符不对易，对这两个力学量同时进行测量时，一般地它们是否可以同时具有确定值？它们的均方偏差之间有什么样的关系？答：不可能同时具有确定值。

它们的均方偏差之间满足海森堡不确定性关系。

4、请写出线性谐振子偶极跃迁的选择定则。

答：1'±=-=∆l l l 1,0'±=-=∆m m m 5、全同粒子体系的波函数应满足什么条件？ 答：描写全同粒子体系的波函数只能是对称的或是反对称的，且它们的对称性不随时间改变。

6、自由粒子体系，动量守恒守恒；中心力场中运动的粒子，角动量守恒。

7、五个基本原理：①微观体系的状态可以用波函数完全描述②力学量可以用厄米算符来描述③体系状态的波函数可以用算符的本证函数来展开④体系状态的波函数要满足薛定谔方程⑤全同性原理。

8、绝对黑体是不是不发射任何辐射？答：不是。

绝对黑体吸收辐射（电磁波）的能力最强，同时它辐出辐射（电磁波）的能力也最强，所以它也能辐射各种频率的电磁波。

9、光电效应和康普顿散射都包含电子与光子的相互作用过程。

试分析各个作用过程。

答：光电效应是金属中的电子吸收光子的过程，一个电子吸收一个光子后挣脱表面束缚而成为自由电子。

康普顿散射是电子与光子发生弹性碰撞的过程，电子和光子的方向发生改变，能量也发生交换，但总的能量不变。

10、如果一束光照射某一金属不产生光电效应，现用一只聚光镜将光聚焦在一点后再照射该金属，这时是否会产生光电效应？为什么？答：不会。

因为能否产生光电效应只决定于入射光的频率而与强度（亮度）无关。

11、同一金属，如有光电效应产生，则入射光的强度与光电流有何关系？ 答：光电流的大小与光电子的数量成正比，而后者决定于照射光的强度。

12、何理解波函数的归一化条件？答：对一个微观粒子，它出现在全空间的概率应该是100%。

13、黑体是一个理想模型，它是指 将辐射到它上面的辐射完全吸收的物体 。

14、光电效应是光的 粒子性的反映。

在光电效应中，电子吸收光子遵守 要么电子吸收全部光子，要么不吸收光子，即遵守“全/无”规则。

15、红限频率是指使金属发射光电子所需照射的光的最小频率。

16、非相对论性的一维自由粒子的波函数可以表达为。

17、不确定关系可以用来区分 微观 粒子和 宏观 粒子，划分 经典力学和 宏观力学的界限。

18、德布罗意波既不是机械波又不是电磁波，而是一种 概率波 。

19、无限深势阱中的粒子的能量必定是 量子化的 。

20、STM 的理论基础是 量子力学中的隧道效应 。

6指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

① 2224dx d x ； ② []2； ③ ∑=nK 1解：①2224dx d x 是线性算符22222122212222211222221122244 )(4)(4)(4 u dxdx c u dx d x c u c dx d x u c dx d x u c u c dx d x ⋅+⋅=+=+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=)(2cos ),(xp Et h A t x Ψπ②[]2 不是线性算符22221122222121212122211][][ 2][ u c u c u c u u c c u c u c u c +≠++=+③∑=nK 1是线性算符∑∑∑∑∑=====+=+=+NK N K N K N K nK u c u c u c u c u c uc 1221111221111221117 指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。

224 dxd dx d i dx d ，， 不是厄米算符，，当解：dxddxdx ddx dx ddx dx d dx dx d x dxdx d dx dxd *)( *)( * * 00 * * * -∴≠-=-=∴→→±∞→-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ是厄米算符dxdi dx dxdi dx dx d i dx dx d i i dx dx di∴=-=-=⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞- *)( *)(* * * -φψφψφψφψφψ ③∑=nK 1是线性算符∑∑∑∑∑=====+=+=+NK N K N K N K nK u c u c u c u c u c uc 122111122111122117、下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？① 2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd ∴2x 不是22dx d 的本征函数。

② x x e e dxd =22 ∴xe 不是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 22-==∴可见，x sin 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④)cos 3(cos 3)sin 3()cos 3(22x x x dx d x dx d --=-= ∴x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

是厄米算符22222222-224 *)4( *4 * 4*4 *4 *4 *4 4* dxd dx dx d dx dx d dx dxd dx d dx dx d dx d dx dx d dx d dxd dx dx d ∴=-=+=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞-∞∞∞∞-φψφψφψφψφψφψφψφψ8、问下列算符是否是厄米算符：①x p xˆˆ ②)ˆˆˆˆ(21x p p x x x + 解：①⎰⎰=τψψτψψd p x d p x x x )ˆ(ˆ)ˆˆ(2*12*1⎰⎰==τψψτψψd x p d p x x x 2121*)ˆˆ(ˆ*)ˆ（ 因为 x x p x pˆˆˆχ≠∴ x p x ˆˆ 不是厄米算符。

②⎰⎰⎰+=+τψψτψψτψψd x p d p x d x p p x x x x x 2*12*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21)]ˆˆˆˆ(21[ ⎰⎰+=τψψτψψd p x d x p x x 2*12*1)ˆˆ(21)ˆˆ(21 ⎰+=τψψd x p p x x x 2*1]))ˆˆˆˆ(21[ ⎰+=τψψd p x x p x x 2*1])ˆˆˆˆ(21[ ∴ )ˆˆˆˆ(21x p p x x x +是厄米算符。

9已知粒子在中心力场中运动，试证明xL ˆ（角动量在x 方向的分量）是守恒量。

证：因为粒子在势函数为)(r U 的中心力场中运动时，哈密顿算符)(2222)(22ˆ)(22ˆˆr r U rL r r r r U p H ++∂∂∂∂-=+=μμμ因为x L ˆ与θ、ϕ有关而与r 无关，且0]ˆ,ˆ[2=L L x 所以，0]ˆ,ˆ[=H L x10、试证：对于一维运动，设有两个波函数1ψ及2ψ是对应于同一级量E 的解，则=-'12'21ψψψψ常数。

其中，“’”是对x 的微商。

证：因为)()()(222]2[x x x E U dxd m ψψ=+- ，所以21''1/)(2 U E m --=ψψ22''2/)(2 U E m --=ψψ 1''11''1ψψψψ=凑全微分得：0)(''12'21=-ψψψψ 积分得： =-'12'21ψψψψ常数11、试证明：一维运动的束缚态都是不简并的。

证明：设1ψ和2ψ是对应于同一能级E 的不同本征态，则=-'12'21ψψψψ常数。

在特例下，令=-'12'21ψψψψ0，即2'21'1ψψψψ=⎰⎰+=C dx dx 2'21'1ψψψψ 由此得：2'1ψψC = 所以1ψ和2ψ描述同一个态。

12、已知轨道角动量的两个算符和 共同的正交归一化本征函数完备集为,取试证明:也是 和共同本征函数, 对应本征值分别为:。

证是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数13、证明在定态中，几率流与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r mi m i J er t f r t r Et i Et i Et i Et i Et iψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（，14、证明：i z y x =σσσˆˆˆ 证：由对易关系z x y y x i σσσσσˆ2ˆˆˆˆ=- 及对易关系0ˆˆˆˆ=+x y y x σσσσ 得z y x i σσσˆˆˆ= 上式两边乘z σˆ，得2ˆˆˆˆz z y x i σσσσ= ∵ 1ˆ2=z σ ∴ i z y x =σσσˆˆˆ 15求在自旋态)(21z S χ中，xS ˆ和y S ˆ的测不准关系：?)()(22=y x S S ∆∆ 解：在z S ˆ表象中)(21z S χ、xS ˆ、y S ˆ的矩阵表示分别为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01)(21z S χ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01102ˆ x S ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=002ˆi i S y ∴ 在)(21z S χ态中00101102)0 1(2121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχx x S S 4010110201102)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+χχxxS S 4)(2222=-=∆xxx S S S 001002)0 1(ˆ2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i S S y y χχ401002002)0 1(ˆ2222121 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+i i i i S S yyχχ 4)(2222=-=∆yyy S S S 16)()(422 =∆∆y x S S 讨论：由x S ˆ、y S ˆ的对易关系[xS ˆ，y S ˆ]z S i ˆ =要求4)()(2222z y x S S S ≥∆∆在)(21z S χ态中，2 =z S ∴ 16)()(422 ≥y x S S ∆∆可见①式符合上式的要求。