湖北省宜昌市高二3月阶段检测数学(理)试题 Word版含答案
2021-2022年高二3月月考数学理试题 含答案
2021年高二3月月考数学理试题 含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）1、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC .BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB2．如右图，A 、B 是⊙O 上的两点，AC 是⊙O 的切线，∠B=70°，则∠BAC 等于（ ）A. 70°B. 20°C. 35°D. 10°3．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．4．极坐标方程表示的曲线为（ ）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆5．在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（ ）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥MN6．在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于D ，AB ＝，则DB ＝（ ） A ． B ． C ． D ． 7．若且满足，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．9．直线被圆截得的弦长为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，平行四边形ABCD 中，，若的面积等于，则 的面积等于（ ）． A ． B ． C ． D ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
把答案填在题中的横线上） 11．点是椭圆上的一个动点，则的最大值为___________。
12．参数方程的普通方程为__________________。
2016-2017年湖北省宜昌市长阳二中高二(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置）1．（3分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（∁U A）∩B＝（）A．{5，6}B．{3，5，6}C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}2．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（3，），且P（X＞）＝0.1587，则P（≤X≤）＝（）A．0.6588B．0.6883C．0.6826D．0.65863．（3分）命题“”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．C．D．4．（3分）若x、y满足，则对于z＝2x﹣y（）A．在处取得最大值B．在处取得最大值C．在处取得最大值D．无最大值5．（3分）已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[1，+∞）6．（3分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．16B．C．32D．488．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0与直线ax+y﹣1＝0的相交所得弦长为2，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．29．（3分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30B．70C．90D．﹣15010．（3分）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）A．1B．2C．3D．611．（3分）已知多项式x3+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a2＝（）A．32B．42C．46D．5612．（3分）已知椭圆x2+ky2＝2k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置）13．（3分）某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有株．14．（3分）供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据如表提供的数据（其中＝0.7，y＝x+），用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．15．（3分）如图，是一程序框图，则输出结果为．16．（3分）如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为．三、解答题（本题6小题共70分，请写出必要的解答过程）17．（10分）为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：（Ⅰ）试判断是否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：K2＝（Ⅱ）为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．18．（12分）某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q（p＜q）的值；（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．19．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝log2a n，c n＝a n+b n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知，（1）求出f（x）图象的对称中心的坐标；（2）△ABC三个内角A、B、C所对边为a、b、c，若f（A）+1＝0，b+c＝2．求a的最小值．21．（12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．22．（12分）已知椭圆，一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为时，求k的值．2016-2017学年湖北省宜昌市长阳二中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置）1．（3分）已知三个集合U，A，B及元素间的关系如图所示，则（∁U A）∩B＝（）A．{5，6}B．{3，5，6}C．{3}D．{0，4，5，6，7，8}【解答】解：∵U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，5，6}，∴∁U A＝{0，4，5，6，7，8}，∴（∁U A）∩B＝{5，6}，故选：A．2．（3分）已知随机变量X服从正态分布N（3，），且P（X＞）＝0.1587，则P（≤X≤）＝（）A．0.6588B．0.6883C．0.6826D．0.6586【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，），∴曲线关于x＝3对称∵P（X＞）＝0.1587，∴P（≤X≤）＝1﹣2×0.1587＝0.6826故选：C．3．（3分）命题“”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0B．C．D．【解答】解：∵命题：“”是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题得“”的否定是：“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选：A．4．（3分）若x、y满足，则对于z＝2x﹣y（）A．在处取得最大值B．在处取得最大值C．在处取得最大值D．无最大值【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x﹣y为y＝2x﹣z，由图可知，当直线y＝2x﹣z过A（）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值．故选：C．5．（3分）已知p：x≤﹣1，q：a≤x＜a+2，若q是p的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．[3，+∞）C．（﹣∞，﹣3]D．[1，+∞）【解答】解：∵q是p的充分不必要条件，∴q⇒p成立，但p⇒q不成立，即a+2≤﹣1，即a≤﹣3，故选：C．6．（3分）已知点A（2，﹣3）、B（﹣3，﹣2），若直线kx+y﹣k﹣1＝0与线段AB相交，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：由kx+y﹣k﹣1＝0，得y＝﹣k（x﹣1）+1，∴直线过定点C（1，1），又A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），讨论临界点：当直线l经过B点（﹣3，﹣2）时，k BC＝﹣k＝＝，结合图形知﹣k∈[，+∞）成立，∴k∈（﹣∞，﹣]；当直线l经过A点（2，﹣3）时，k AC＝﹣k＝＝﹣4，结合图形知﹣k∈（﹣∞，﹣4]，∴k∈[4，+∞）．综上k∈（﹣∞，﹣]∪[4，+∞）．故选：C．7．（3分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）A．16B．C．32D．48【解答】解：由三视图知该多面体是如图所求的三棱柱ABC﹣A1B1C1，且△ABC中，AB＝4，高为4，AC＝BC，AA＝2，∴该多面体的体积：V＝S ABC×AA1＝＝16．故选：A．8．（3分）圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0与直线ax+y﹣1＝0的相交所得弦长为2，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．2【解答】解：圆的方程可化为（x﹣1）2+（y﹣4）2＝4，所以圆心坐标为（1，4），由点到直线的距离公式得：d＝＝1，解得a＝﹣，故选：A．9．（3分）（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．30B．70C．90D．﹣150【解答】解：∵（1﹣2x）5展开式的通项公式为T r+1＝C5r•（﹣2x）r，∴（2+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为2C52•（﹣2）2+C51•（﹣2）＝70，故选：B．10．（3分）若双曲线的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为（）A．1B．2C．3D．6【解答】解：设双曲线的一条渐近线为y＝，把y＝代入圆（x﹣2）2+y2＝4，并整理，得，，∴，解得a2＝1，∴2a＝2．故该双曲线的实轴长为2．故选：B．11．（3分）已知多项式x3+x10＝a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，则a2＝（）A．32B．42C．46D．56【解答】解：∵多项式x3+x10＝[﹣1+（x+1）]3+[﹣1+（x+1）]10＝a0+a1（x+1）+…+a9（x+1）10，9+a10（x+1）∴a2＝﹣＝42，故选：B．12．（3分）已知椭圆x2+ky2＝2k（k＞0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），由椭圆x2+ky2＝2k（k＞0）化为＝1，∴2k﹣2＝1，解得k＝，∴a2＝3，∴＝＝．故选：D．二、填空题（本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置）13．（3分）某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计，得到苗高（单位：cm）的频率分布直方图如图．若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于区间[112，116]的有11株．【解答】解：根据频率分布直方图知，在区间[100，104）内的频率为0.02×4＝0.08，频数为4，所以样本容量为＝50；所以在区间[112，116]内的频率为1﹣（0.02+0.075+0.1）×4＝0.22，频数为50×0.22＝11，即有11株．故答案为：11．14．（3分）供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．请根据如表提供的数据（其中＝0.7，y＝x+），用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝0.7x+0.35．【解答】解：∵由题意知＝4.5，＝3.5，＝0.7，＝3.5﹣3.15＝0.35∴要求的线性回归方程是y＝0.7x+0.35，故答案为：y＝0.7x+0.35．15．（3分）如图，是一程序框图，则输出结果为．【解答】解：按照框图的流程得到经过第一次循环得到的结果为过第二次循环得到的结果为经过第三次循环得到的结果为经过第四次循环得到的结果为经过第五次循环得到的结果为此时输出s故答案为：．16．（3分）如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为84．【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法．共有A42+2A43+A44＝84．故答案为：84．三、解答题（本题6小题共70分，请写出必要的解答过程）17．（10分）为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：（Ⅰ）试判断是否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：K2＝（Ⅱ）为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．【解答】解：（Ⅰ）因为K2＝≈2.057，且2.057＜2.706，所以没有90%的把握认为，消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是＝，则抽取女生为30×＝4人，抽取男生为15×＝2人；抽取的分别记为a、b、c、d、E、F（其中E、F为男生），从中任取2人，共有15种情况：ab，ac，ad，aE，aF，bc，bd，bE，bF，cd，cE，cF，dE，dF，EF；其中至少有1名是男生的事件为aE，aF，bE，bF，cE，cF，dE，dF，EF，有9种；故所求的概率为P＝＝．18．（12分）某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q（p＜q）的值；（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．【解答】解：（1）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：P＝1﹣P（ξ＝0）＝1﹣＝．∵P（ξ＝0）＝，P（ξ＝3）＝，p＜q，∴，解得p＝，q＝．（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝1）＝+（1﹣）×+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++（1﹣）×＝，∴Eξ＝0×＝．19．（12分）设数列{a n}的前n项和，数列{b n}满足b n＝log2a n，c n＝a n+b n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和，当n＝1时，a1＝S1＝2，∴当n≥2时，S n﹣1＝2n﹣2，∴a n＝S n﹣S n﹣1＝（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）＝2n，当n＝1时，成立，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴数列{a n}的通项公式为：a n＝2n；（2）b n＝，由c n＝a n+b n＝2n+n，数列{c n}的前n项和T n＝a1+b1+a2+b2+…+a n+b n＝（2+22+23+…+2n）+（1+2+3+…+n）＝+＝2n+1﹣2+，故数列{c n}的前n项和T n＝2n+1﹣2+．20．（12分）已知，（1）求出f（x）图象的对称中心的坐标；（2）△ABC三个内角A、B、C所对边为a、b、c，若f（A）+1＝0，b+c＝2．求a的最小值．【解答】解：，化简可得：f（x）＝cos2x﹣sin2x﹣＝cos（2x+）（1）令2x+＝+kπ，解得x＝，k∈Z∴f（x）的对称中心为：（，0），（2）由（1）可知f（x）＝cos（2x+）∵f（A）+1＝0，即cos（2A+）+1＝0，∴cos（2A+）＝﹣1．∵0＜A＜π，∴＜2A+＜∴2A+＝π，∴A＝∵b+c＝2，∴b2+c2＝（b+c）2﹣2bc＝4﹣2bc由余弦定理，可得：a2＝b2+c2﹣2bc•cos A＝4﹣3bc≥4﹣3（）2＝1．当且仅当b＝c＝1时，a取得最小值1．21．（12分）如图，在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．【解答】解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示：则A（3，0，0），C1＝（0，3，3），D1＝（0，0，3），E（3，0，2）∴＝（﹣3，3，3），＝（3，0，﹣1）∴cosθ＝＝＝﹣则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为（2）B（3，3，0），＝（0，﹣3，2），＝（3，0，﹣1）设平面BED1F的一个法向量为＝（x，y，z）由得令x＝1，则＝（1，2，3）则直线AC1与平面BED1F法向量所成角的余弦值为||＝＝所以正弦值为22．（12分）已知椭圆，一个顶点为A（2，0），离心率为，直线y＝k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为时，求k的值．【解答】解：（1）∵椭圆一个顶点为A（2，0），离心率为，∴，∴b＝，∴椭圆C的方程为+＝1；（2）直线y＝k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4＝0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝∴|MN|＝×＝∵A（2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为d＝，∴△AMN的面积S＝|MN|d＝＝|MN|d＝××＝∵△AMN的面积为，∴＝∴k＝±．。
湖北省宜昌市第二中学2022高二数学3月月考试题 理
湖北省宜昌市第二中学2022高二数学3月月考试题理一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，或，则中的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 42.下列有三种说法：命题“，”的否定是“，”；已知p、q 为两个命题，若为假命题，则为真命题；命题“若，则且”为真命题其中正确的个数为A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个3.若，则A. 1B.C. iD.4.已知m，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5.若实数x，y 满足约束条件，则目标函数的最大值为A. 1B. 2C.D.6.已知一个棱长为2的正方体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.B. 4C.D. 7.已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则该双曲线的标准方程为A. B. C. D.8.执行如图的程序框图，若输出，则输入x 的值为A. 或B. 或C. D.9.在中，，，，D是AB 上一点，且，则等于A. 1B. 2C. 3D. 410.直线l经过椭圆的上顶点和右焦点，椭圆中心到l 的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.11.已知是R 上的奇函数，且为偶函数，当时，，则A. B. C. 1 D.12.已知，是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F 两点，若，则斜率k 的值为A. B. C. 或 D. 或二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足条件，，与的夹角为，则______．14.过点作曲线的切线，则切线方程为______．15.如图，已知点，点在曲线上，若阴影部分面积与面积相等，则________．16.1934年，来自东印度今孟加拉国的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第8行第7列的数是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、c，B为锐角，向量，，且．求角B的大小；如果，求的最大值．18.已知数列的前n 项和，，．求；猜想数列的通项公式，并用数学归纳法给予证明．19.如图，在四棱锥中，，且．证明：平面平面PAD；若，，求二面角的余弦值．20.某校高一班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：当时，若函数在，e 是自然对数的底数上有两个零点，求n的最小值．Ⅰ求高一班参加校生物竞赛的人数及分数在之间的频数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；Ⅱ若要从分数在之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在之间的概率．21.椭圆的左、右焦点分别为，，M 在椭圆上，的周长为，面积的最大值为2．求椭圆C的方程；直线与椭圆C交于A，B ，连接，并延长交椭圆C于D，E ，连接探索AB与DE的斜率之比是否为定值并说明理由．22.已知函数．讨论函数的单调区间；。
湖北省高二下学期3月联考数学试题(解析版)
一、单选题1．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（ ）()2216010m/s 2s t gt g =-=4t =A ． B ． C ． D ．20m/s 30m/s 40m/s 50m/s 【答案】A【分析】利用导数的概念即可求出结果.【详解】因为，所以当时，. 60s gt '=-4t =20m/s s '=故选：A.2．直线与平行，则（ ） 320ax y -+=()2210a x y ---==a A ．6 B ．C ．或3D ．36-2-【答案】A【分析】根据两直线平行与系数的关系即可求出结果. 【详解】已知直线与平行， 320ax y -+=()2210a x y ---=由，得.经验证，符合题意. ()322a a --=-6a =故选：A.3．已知函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点为（ ）()f x ()f x '()f xA ．和B ．C ．D ．1x 4x 2x 3x 5x 【答案】D【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项. 【详解】因为当，，所以单调递增；当时，，当()3,x x ∈-∞()0f x ¢>()f x ()35,x x x ∈()0f x '<时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故的极()5,x x ∈+∞()0f x ¢>()f x ()35,x x ()5,x +∞()f x 小值点为. 5x 故选：D.4．已知等比数列满足，则（ ）{}n a 1352112nn a a a a -+++⋅⋅⋅+=-234a a a =A ．8B ．C ．D ．168-【答案】C【分析】利用等式数列前n 项和公式求出，，进而即可求出结果.22q =11a =-【详解】设等比数列的公比为，由， {}n a q ()211352121121nn n a q a a a a q-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦+++⋅⋅⋅+==--解得，.22q =11a =-所以. ()332234318a a a a a q ===-故选：C.5．某制造商制造并出售球形瓶装的某种液体材料.瓶子的制造成本是分，其中r （单位：40.1πr cm ）是瓶子的半径.已知每出售1mL 的液体材料，制造商可获利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为8cm ，则当每瓶液体材料的利润最大时，瓶子的半径为（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm【答案】A【分析】根据给定条件，借助球的体积公式求出每瓶液体材料的利润，再利用导数求解作答. 【详解】依题意，每瓶液体材料的利润，，34344()0.3π0.1)π0.1π(43f r r r r r =⨯-=-08r <≤则，令，得，当时，，当时，2()0.4π(3)f r r r =-'()0f r '=3r =(0,3)r ∈()0f r '>(3,8)r ∈()0f r '<，因此函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，取最大值， ()f r (0,3)(3,8]3r =()f r 所以当每瓶液体材料的利润最大时，. 3r =故选：A6．已知，分别为双曲线的左、右焦点，若点到该双曲线渐近线的距1F 2F ()222210,0x y a b a b -=>>2F 离为1，点在双曲线上，若的面积为（ ） P 12tan F PF ∠=12F PF △A ． BCD【答案】B【分析】根据点到该双曲线渐近线的距离为1，可以求出，利用双曲线定义和余弦定理可以2F 1b =得到，再根据，进而可以求出()121221cos 4PF PF F PF -∠=12tan F PF ∠=121cos 5F PF ∠=结果.【详解】因为点到该双曲线渐近线的距离为1，双曲线渐近线方程为， 2(,0)F c by x a=±.1b ==由， ()12222121212222cos PF PF a c PF PF PF PF F PF ⎧-=⎪⎨=+-∠⎪⎩可得.()2121221cos 44PF PF F PF b -∠==因为， 12tan F PF ∠=12sin F PF ∠=121cos 5F PF ∠=所以，1212251cos 2PFPF F PF ==-∠故的面积为12F PF △1212115sin 222PF PF F PF ∠=⨯=故选：B.7．定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式()0,∞+()f x ()f x '()()0xf x f x '-<()20f =的解集为（ ）()()10x f x ->A ． B ． C ． D ．()0,2()1,2()0,1()2,+∞【答案】B 【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结()()f xg x x=()g x ()0,∞+()20f =果.【详解】设，则，因为，所以在上()()f x g x x=()()()2xf x f x g x x '-'=()()0xf x f x '-<()g x ()0,∞+单调递减.因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式()20f =()20g =02x <<()0f x >2x >()0f x <的解集为.()()10x f x ->()1,2故选：B.8．若数列对任意连续三项，，，均有，则称该数列为“跳跃{}n a i a 1i a +2i a +()()2210i i i i a a a a +++-->数列”，下列说法中正确的是（ ） A ．存在等差数列是“跳跃数列”{}n a B ．存在公比大于零的等比数列是“跳跃数列”{}n aC ．若等比数列是“跳跃数列”，则公比 {}n a ()1,0q ∈-D ．若数列满足，则为“跳跃数列” {}n a 121n n a a +=+{}n a 【答案】C【分析】由可判断A ；由可()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+判断B ；解不等式可判断C ；由得()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>121n n a a +=+，计算可判断D.243n n a a +=+()()221i i i i a a a a +++--【详解】若是等差数列，设公差为，则，所以不存在等差数{}n a d ()()222120i i i i a a a a d +++--=-≤列是“跳跃数列”，故A 错误；{}n a 若是等比数列，设公比为，则，当时，{}n a q ()()()()2222111i i i i i a a a a a q q q +++--=--+0q >，所以B 错误；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+≤由，得，所以C 正确；()()()()22221110i i i i i a a a a a q q q +++--=--+>()1,0q ∈-因为，所以，所以121n n a a +=+212143n n n a a a ++=+=+，故D 错误.()()()()()()()22214343213322610i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a +++--=--+--=--+=-+≤故选：C.二、多选题9．已知函数的导函数为，则下列选项正确的有（ ） ()f x ()f x 'A ．若，则 ()()ln 21f x x =-()221f x x ='-B ．若()f x =()2535f x x -'=C ．若，则()cos sin x f x x =π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭D ．若，则 ()3xf x =()31ln 3f '=【答案】AC【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A ，B ，C ；根据指数函数的求导公式判断选项D. 【详解】对于A ，令，，因为，，所以ln y μ=21x μ=-1y μ'=2μ'=()12221f x y x μμ'=⨯='⋅'=-，故A 正确；对于B ，因为，所以，故B 不正确；()53f x x ==()2353f x x ='对于C ，因为，所以，故C 正确；()()()22cos sin sin cos 1sin sin x x x x f x x x''=-'-=π24f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭对于D ，因为，所以，故D 不正确.()3ln3xf x ='()13ln3f '=故选：AC.10．如图，在四棱锥中，平面，，，P ABCD -PA ⊥ABCD AB CD A π2ABC ∠=122AB PA CD ===，M 为PC 的中点，则（ ）BC =A ．直线AM 与BC 所成的角为π4B ．DM = C．直线AM 与平面 ADP D ．点M 到平面ADP 【答案】ACD【分析】过A 作，垂足为E ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一AE CD ⊥判断各个选项即可.【详解】过作，垂足为，则，A AE CD ⊥E 2DE =以为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，A AE AB AP 则，，，，，，()0,2,0B ()2,0C ()2,0D -()002P ,,)M)AM =，.()BC = ()DM =对于A ，因为cos ,AM BC AM BC AM BC ⋅===所以直线AM 与BC 所成的角为，故A 正确. π4对于B B 不正确. =对于C ，设平面的法向量为，ADP (),,n x y z =因为，，()2,0AD =- ()0,0,2AP = 所以令.20,20,n AD y n AP z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩x)n = 设直线与平面所成的角为，则，AM ADP αsincos ,AM n AM n AM n α⋅====所以直线与平面C 正确. AM ADP 对于D ，设点到平面的距离为，则M ADPd AM n d n⋅=== 即点到平面D 正确. M ADP故选：ACD.11．已知函数，，若与的图象上有且仅有2对关于原点对()ln 1f x x x =+()e xg x ax -=+()f x ()g x 称的点，则a 的取值可以是（ ） A ．2e B ． C ． D ．e 2+e 1+2e 【答案】ABD【分析】根据与的图象上有且仅有两对关于原点对称的点，可转化为与在()f x ()g x ()f x ()g x --上有两个交点，分离参数构造函数，求导讨论单调性求最值即可求解.(0,)+∞a 【详解】因为与的图象上有且仅有2对关于原点对称的点， ()f x ()g x 所以方程有且仅有两解.()()0f x g x +-=由，得. ()()ln 1e 0xf xg x x x ax +-=++-=e 1ln x a x x+=+设，则与的图象有两个交点，()e 1ln x x x x ϕ+=+y a =()e 1ln xx x xϕ+=+因为，所以在上单调递减，在上单调递增，且两边趋向正无()()()21e 1x x x x ϕ-'+=()x ϕ()0,1()1,+∞穷，所以，故，所以. ()()min 1e 1x ϕϕ==+()1e 1a ϕ>=+()e 1,a ∞∈++故选：.ABD 12．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线与C 交于点，，则下列结论2:4C y x =()11,A x y ()22,B x y 正确的是（ ）A ．若，则直线AB 的斜率为1 124y y +=B ．若，则 124x x +=8AB =C ．的最小值为4AB D ．若直线AB 的斜率为1，则AF BF -=【答案】ACD【分析】利用点差法求直线AB 的斜率判断选项A ；根据焦点弦长公式求解判断选项B ；对于选项C ，D ，用直线的倾斜角为表示，进一步计算判断C ，D 选项.AB α,AF BF 【详解】对于A ，因为所以，，则. 2112224,4,y x y x ⎧=⎨=⎩22121244y y x x -=-12x x ≠1212124y y x x y y -=-+因为，所以直线的斜率为，故A 正确.124y y +=AB 12121y yx x -=-对于B ，，故B 错误. 12122622p pAB AF BF x x x x =+=+++=++=对于C ，如图，过点作轴，垂足为，作垂直于准线的直线，垂足为.A AH x ⊥H 1AA 1A设直线的倾斜角为.，则，即AB α1cos AF AA p FH p AF α==+=+()1cos AF p α-=，同理可得.，当且仅当1cos pAF α=-1cos p BF α=+22244sin sin p AB AF BF αα=+==≥90α=︒时，等号成立，故C 正确.对于D ，因为直线的斜率为1，所以AB cos α=，故D 正确.1cos p AF BF α-=-故选：ACD.三、填空题13．已知数列满足，，则______. {}n a 11a =1n n a a n +=-4a =【答案】5-【分析】根据递推公式计算可得. 【详解】因为，， 11a =1n n a a n +=-所以，，， 211a a -=-232a a -=-433a a -=-累加可得，解得. 411236a a -=---=-45a =-故答案为：.5-14．函数的导函数为，若，则______.()f x ()f x '()()31e 03xf x x f x '=++()0f '=【答案】2【分析】可以求出导函数，代入可得．()()31e 03xf x x f x '=++0x =()0f '【详解】由，得，()()31e 03xf x x f x '=++()()2e 01x f x x f ''=++得. ()02f '=故答案为：2.15．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=m __________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）4,5,6【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为， 22:(3)(1)1C x y ++-=C ()3,1C -1所以圆心到直线的距离为()3,1C -4320x y m ++=d因为直线与圆相交 4320x y m ++=22:(3)(1)1C x y ++-=所以，解得，2915m -<27m <<所以整数的所有可能取值为.m 3,4,5,6故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.4,5,6四、双空题16．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点()f x '()f x ()f x ''()f x '()y f x =()(),x f x 处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，，则()()()()3221f x K f x =+'''()13e x f x -=()21g x x=1x =1K 2K ______；设余弦曲线的曲率为K ，则的最大值为______ 12K K =()cos h x x =2K 【答案】【分析】根据曲率的定义求得，，从而求得，求得的表达式，结合导数求得的最大1K 2K 12K K 2K 2K 值.【详解】因为，所以，，()13e x f x -=()13e x f x -='()13e x f x -=''所以，，所以.()13f '=()13f ''=()()()()()32133222133101911f K f -===⨯+'+''因为，所以，. ()21g x x =()32g x x -=-'()46g x x -=''所以，，所以，()21g '=-()16g ''=()3223266514K -==⨯+所以35212322310265K K ---⨯===⨯因为，所以，则， ()cos h x x =()sin h x x =-'()cos h x x =-''所以.()()2223322cos cos 1sin 2cos xxK x x ==+-令，则.[]2cos 0,1t x =∈()()232tK h t t ==-因为，所以在上单调递增，()()42202t h t t +=>-'()h t []0,1当，即时，有最大值，所以.1t =2cos 1x =2K ()11h =2max 1K =；1.五、解答题17．已知函数.()3223129f x x x x =--+(1)求曲线在处的切线方程； ()y f x =()()1,1f (2)求在上的最值. ()f x []3,3-【答案】(1) 1280x y +-=(2)最小值为，最大值为16. 36-【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，再根据点斜式方程即可得切线方程； （2）求出函数在上的所有极值和，通过比较即可得最值.()f x []3,3-()()3,3f f -【详解】（1）因为，所以.()3223129f x x x x =--+()26612f x x x '=--因为，，()112f '=-()14f =-所以所求切线方程为，即.()4121y x +=--1280x y +-=（2），令，得或.()()()26612621f x x x x x '=--=-+()0f x '==1x -2x =当时，，单调递增； [)3,1x ∈--()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减； ()1,2x ∈-()0f x '<()f x 当时，，单调递增，(]2,3x ∈()0f x ¢>()f x 所以，当时，取极大值；当时，取极小值， =1x -()f x ()116f -=2x =()f x ()211f =-又因为，，()336f -=-()30f =所以在上的最小值为，最大值为16.()f x []3,3-36-18．如图1，在中，，，AD 是BC 上的高，沿AD 把折起，ABC A 60ABC ∠=︒90BAC ∠=︒ABD △使，如图2.=90BDC ∠︒(1)证明：.AB CD ⊥(2)设E ，F 分别为BC ，AC 的中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ADB DEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，验证即可；0AB DC ⋅=（2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解即可得出答案. ADB DEF 【详解】（1）由题意可知，DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设，以为坐标原点，以，2DB =D DB，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， DC DA则，，，，.(0,0,A ()2,0,0B ()0,6,0C ()1,3,0E (F因为，(2,0,AB =- ()0,6,0DC =所以，故. (200600AB DC ⋅=⨯+⨯+-⨯= AB CD ⊥（2）设平面的法向量为，DEF (),,n x y z =因为，，()1,3,0DE=(DF = 所以令，得.30,30,n DE x y n DF y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩1y =(3,1,n =- 取平面的一个法向量为.ADB ()0,1,0m =设平面与平面所成的锐二面角为，则ADB DEF αcos m n m nα⋅=== 故平面与平面. ADB DEF 19．已知函数.()22e xf x x ax =--(1)若函数在R 上单调递减，求实数a 的取值范围；()f x (2)若过点可作三条直线与曲线相切，求实数a 的取值范围. ()1,1-()y f x =【答案】(1)证明见解析(2) 2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意可得在上恒成立，分离参数后即可求出结果；()0f x '≤R （2）设切点为，表示出切线方程，进而转化为的图象与直线()()00,x f x ()2212e xh x x x x =++-有三个交点，研究图像即可求出结果.y a =()h x 【详解】（1）因为在上单调递减，所以在上恒成立，()f x R ()0f x '≤R 因为，()22e xf x x a =--'所以，即.22e 0x x a --≤22e x a x ≥-令，则，()22e x g x x =-()()22e 21e x xg x =-=-'所以在上单调递增，在上单调递减， ()g x (),0∞-()0,∞+所以， ()()max 02g x g ==-故实数的取值范围是.a [)2,-+∞（2）设切点为，则， ()()00,x f x ()020002e x f x x ax =--()00022e x f x x a =--'所以切线方程为 ()()()00200002e 22e x x y x ax x a x x ---=---将点代入得，()1,1-()()()002000012e 22e 1x x x ax x a x ---=----整理得，02000212e 0x x x x a ++--=即关于的方程有三个不同根，x 2212e 0x x x x a ++--=等价于的图象与直线有三个交点.()2212e xh x x x x =++-y a =因为，()()()()()2121e 211e x xh x x x x =+-=+-'+所以在，上单调递减，在上单调递增. ()h x (),1-∞-()0,∞+()1,0-因为，， ()21eh -=()01h =所以实数的取值范围是.a 2,1e ⎛⎫⎪⎝⎭20．设等差数列的公差为d ，前n 项和为，等比数列的公比为q .已知，，{}n a n S {}n b 11b a =29b =，.q d =10165S =(1)求，的通项公式 {}n a {}n b (2)当时，记，求数列的前n 项和. 1d >nn na cb ={}n c n T 【答案】(1)或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭【分析】（1）由已知应用等差、等比数列的通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式；（2）由题设有，应用错位相减法求Tn ．113n n c n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭【详解】（1）由题意知，119,1045165a d a d =⎧⎨+=⎩解得或 13,3a d =⎧⎨=⎩127,22,3a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以或 3,3n n n a n b =⎧⎨=⎩1477,6272.23nn nn a b -+⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）因为，所以.1d >13133n n n n n a n c n b -⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭因为，012111111233333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112333333nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得121211111333333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11133131322313nn nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-⨯=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-故19231443n n n T -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭21．已知椭圆，四点，，，中恰有三()2222:10x y C a b a b+=>>(1P ()21,1P )3P ()4P 点在C 上. (1)求C 的方程；(2)若圆的切线l 与C 交于点A ，B ，证明为定值，并求出定值.2243x y +=OA B OB A ⋅【答案】(1)22142x y +=(2)【分析】(1)利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进C 3P 4P 2P 3P 1P C 而求出结果；(2)先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到l OA OB ⊥l ，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果.()22341m k =+OA OB ⊥【详解】（1）由，两点关于轴对称，可得经过，两点.3P 4P y C 3P 4P 与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上.2P 3PC 2P C 所以在上.1P C 则，解得，22211b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故的方程为.C 22142x y +=（2）当切线的斜率不存在时，得l :l x =当，. :l x=AB，则.0OA OB ⋅== OA OB⊥当时，同理可证. :l x =当切线的斜率存在时，设.l :l y kx m =+因为与圆相切， l 2243x y +=所以圆心到的距离为()0,0l d ==即，()22341m k =+联立得.22,1,42y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222214240k x kmx m +++-=设，，则，. ()11,A x y ()22,B x y 122412km x x k +=-+21222412m x x k -=+ ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()222222212441212k m k m m k k+-=-+++. 22243412k m k -+-=+由，得，则.()22341m k =+0OA OB ⋅= OA OB ⊥综上，若圆的切线与交于点A ，B ，则， 2243x y +=l C OA OB ⊥所以由等面积法可得OA OB d AB⋅==所以为定值，定值为OA B OB A ⋅【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．已知函数，.()22e xa f x x =0a ≠(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若恒成立，求实数a 的取值范围. ()ln ln x xf x a -≤【答案】(1)答案见解析(2). 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）对进行求导，得，分类讨论和两种情况，利用导()f x ()()222e 21x a x f x x'-=0<a 0a >数研究函数的单调性，即可得出函数的单调性；()f x （2）根据题意，将原不等式转化为，令，即，根据ln 22e e xxax x a ≥()e xu x x =()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()x μ的单调性及函数值的正负得出恒成立，参变分离得，构造新函数，利用2ln x x a ≥2e x xa ≥()2ex x v x =导数研究的单调性和最值，从而得出实数a 的取值范围.()v x 【详解】（1）因为，，()22e xa f x x=()(),00,x ∈-∞⋃+∞所以. ()()222222e 214e 2e xx x a x a x a f x x x --='=当时，由，得，由，得，且，0a >()0f x ¢>12x >()0f x '<12x <0x ≠故的单调递增区间为，单调递减区间为，；()f x 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(),0∞-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，由，得，且，由，得， 0<a ()0f x ¢>12x <0x ≠()0f x '<12x >故的单调递增区间为，，单调递减区间为.()f x (),0∞-10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）易知，.0x >0a >由，可得， ()ln ln x xf x a -≤22e ln ln lnxx a x a a≥-=所以恒成立，即恒成立22e ln xx x x a a ≥ln 22e e ln x x ax x a≥设，则，()e xu x x =()()1e xu x x '=+当时，，当时，， 1x <-()0u x '<1x >-()0u x '>所以在上单调递减，在上单调递增. ()u x (),1-∞-()1,-+∞因为当时，，当时，，0x <()0u x <0x >()0u x >所以恒成立, 即恒成立,等价于恒成立，ln 22e e ln xxaxx a ≥()2ln x u x u a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭2ln x x a ≥即对恒成立.2exxa ≥()0,x ∈+∞设，，则. ()2e x x v x =0x >()212ex xv x -'=当时，；当时，.10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0v x '>1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭()0v x '<所以在上单调递增，在上单调递减，()v x 10,2⎛⎫⎪⎝⎭1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭所以，所以，即的取值范围是.()max 1122e v x v ⎛⎫== ⎪⎝⎭12e a ≥a 1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】方法点睛：对于含参不等式的恒成立问题，往往采用参变分离或构造含参函数两种方法，参变分离在使用时，一定保证能够分离出函数，可利用导数清晰的研究出其单调性；构造含参函数，利用导数研究其单调性时，一般导函数能够分解因式，再利用分类讨论，可得答案.。
高二下学期3月月考数学(理)试题 Word版含答案
高二理科数学月考试题一第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、下列没对向量垂直的有（ ）对（ ）A ．(3,4,0),(0,0,5)B ．(3,1,3),(1,0,1)-C ．(2,1,3),(6,5,7)--D ．(6,0,12),(6,5,7)-2、已知向量(,2,5)a x =-和(1,,3)b y =-平行，则xy 为A ．4B ．3C ．-2D ．13、函数()22ln f x x x =-的单调递增区间是 A ．(0,1) B ．2(0,)4 C ．1(,)2+∞ D ．1(,0)2-1(,)2+∞ 4、曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为A ．212eB ．22eC ．2eD ．294e 5、已知函数()32()1f x x ax a xb =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是A ．12a -<<B ．36a -<<C ．3a <-或6a >D ．1a <-或2a >6、如图，平面六面体1111ABCD A B C D -，其中0014,3,3,90,60AB AD AA BAD BAA '===∠=∠=，0160DAA ∠=,则1AC 的长为A ．55B ．65C ．85D ．957、曲线ln(21)y x =-上的点到直线230x y -+=的最短距离是A ．5B ．25C ．35D ．08、已知3,(1,2,0),()4a c a c ==-=，则cos ,a c =A ．13B ．3C ．3D ．3 9、,,a b c 为三个非零向量，则①对空间任一向量p ，存在唯一实数组(,,)x y z ，使p xa yb zc =++；②若//,//a b b c ，则//a c ；③若a b b c ⋅=⋅，则a c =；④()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅，以上说法一定成立的个数A ．0B ．1C ．2D ．310、已知函数()y xf x '=的图象如右图所示（其中：()f x '是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111A ．111111B ．111111C ．111111D ．111111第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..11、在ABC ∆中，已知15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --，则AB 边上的中线CD 的长是12、在曲线的切线323610y x x x =++-斜率中，最小值是13、已知函数()()cos sin 4f x f x x π'=+，则()4f π的值为 14、直线y a =与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是 15、已知向量(2,2,0),(2,0,2)a b ==-，若存在单位向量n ，使n a ⊥，且n b ⊥， 则n 为三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16、（本小题满分12分）设函数()28ln 3f x x x =-+. （1）求曲线()y f x =在点(1,4)处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间.17、（本小题满分12分）如图边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,CC B C 的中点.（1）证明：1A N ⊥平面1AMD ；（2）求二面角1M AD D --的余弦值.18、（本小题满分12分）已知a 为实数，()2(4)()f x x x a =--. （1）求导数()f x '；（2）若1x =-是函数()f x 的极值点，求()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值；（3）若()f x 在(,2]-∞-和[2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.19、（本小题满分12分）某厂生产产品x 件的总成本()32120075c x x =+（万元），已知产品单价P （万元）与产品件数x 满足：2k P x=，生产件这样的产品单价为50万元. （1）设产量为x 件时，总利润为()L x （万元），求()L x 的解析式；（2）产量x 定为多少件时总利润()L x （万元）最大？并求最大值（精确都1万元）20、（本小题满分13分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，24,AB AD BD PD ===⊥平面ABCD.（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）若二面角P BC D --大小为4π，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.21、（本小题满分14分）已知()ln xf x e x =. （1）求()()y f x f x '=-的单调区间与极值；（2）证明：()1f x '>.。
湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(含答案解析)
湖北省部分重点高中联考2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题足()()f x f x '<恒成立，若01a <<，则()30f ，()f a ，()1af 三者的大小关系为（）A ．()()()130af f a f >>B ．()()()301f f a af >>C ．()()()301f af f a >>D ．()()()301f a f af >>二、多选题三、填空题14．函数2sin sin2y x x =+在()0,π上的最大值为15．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，点的最小距离为.16．某区突发新冠疫情，为抗击疫情，某医院急从甲、乙、丙等人参加周一到周六的某社区核酸检测任务，每天安排一人，乙、丙至少选两人参加．考虑到实际情况，当甲、乙、丙三人都参加时，按照乙、甲、丙先后顺序排列而不一定相邻，那么不同的安排数为四、解答题17．在()*413,2nx n n N x ⎛⎫-≥∈ ⎪⎝⎭的展开式中，第数列．(1)证明展开式中没有常数项；(2)若不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()1e xf x x ax =--．(1)当e a =时，求函数在区间[]1,3-上的最大值与最小值；(2)若函数()f x 的两个极值点分别为1x ，()212x x x <，证明：121x x <．参考答案：16．34800【分析】根据给定条件分两类，再用分步乘法计数原理，排列，组合分类计算作答．【详解】第一种情况：甲、乙、丙中只选两人，有23C 种选法，再从余下安排到周一到周六有66A 种，因此，共有不同安排种数为：第二种情况：当甲、乙、丙三人都参加时，从余下乙丙三人全排列有33A 种方法，在种；由分类加法计数原理得：共有不同的安排数为故答案为：34800．17．(1)证明见解析(2)2214x 和764x【分析】（1）先根据第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列列方程求出式的通式，令x 的次数为0计算即可；（2）求出使x 的次数为整数的r 【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得解得2n =（舍去）或7n =4712x x ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭的展开式的通式为有2022123202323202320232a a a a ++++=⋅ ，∵2023(1)x +二项展开式中2023202320232023C C r rr r a a --===，∴20222022202120200123202323202323202320232a a a a a a a a ++++=++++=⋅ .19．(1)()32694f x x x x =+++(2)15m <<【分析】（1）求出函数()f x 的导函数，由()f x 在=1x -时有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，两式联立可求常数a ，b 的值，检验所得a ，b 的值是否符合题意，从而得解析式；（2）利用导数研究函数的单调性、极值，根据函数图象的大致形状可求出参数k 的取值范围.【详解】（1）由()3223f x x ax bx a =+++可得()236f x x ax b '=++，因为()3223f x x ax bx a =+++在=1x -时有极值0，所以()()1010f f ⎧-=⎪⎨-='⎪⎩，即2360130a b a b a -+=⎧⎨-+-+=⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩或29a b =⎧⎨=⎩，当1a =，3b =时，()()22363310f x x x x '=++=+≥，函数()f x 在R 上单调递增，不满足在=1x -时有极值，故舍去，当2a =，9b =时满足题意，所以常数a ，b 的值分别为2a =，9b =，所以()32694f x x x x =+++．（2）由（1）可知()32695h x x x x m =++-+，()()()()2343313h x x x x x '=++=++，令()0h x '=，解得11x =-，23x =-，∴当3x <-或1x >-时，()0h x '>，当31x -<<-时，()0h x '<，∴()h x 的递增区间是(),3-∞-和()1,-+∞，单调递减区间为()3,1--，当3x =-时，()h x 有极大值m 5-+；当=1x -时，()h x 有极小值1m -，。
湖北省宜昌市金东方高中高二数学上学期第三次月考试卷理(含解析)
2015-2016学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．72．圆与圆（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切3．椭圆+=1的焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|=6，则∠F 1PF 2的大小为（ ） A ．150° B ．135°C ．120°D ．90°4．若直线l 1：ax+（1﹣a ）y ﹣3=0与直线l 2：（a ﹣1）x+（2a+3）y ﹣2=0互相垂直，则a 的值是（ ）A ．﹣3B ．1C ．0或D ．1或﹣35．样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（ ）A ．B ．C ．D ．26．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2=1，则x≠1”B ．命题“∃x ∈R ，x 2+x+2＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+x+2≥0”C．命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题是假命题D．已知m、n∈N，命题“若m+n是奇数，则m、n这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题7．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜98．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l 的斜率为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．39．不等式的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．（﹣2，﹣1] C．ϕD．[﹣2，+∞）10．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]11．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．12．已知点O为坐标原点，F为椭圆C： =1的左焦点，点P、Q在椭圆上，点P、Q、R满足•=0， +2=，则|的最大值为（）A．6 B．（1++）C．3+3D．3+3二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随即取一点，则此点到坐标原点的距离小于或等于2的概率是．14．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P= ．15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．16．已知双曲线的左右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P在左支上，若的最小值为8a，求离心率的取值范围．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．18．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a、b，求“事件a、b均小于80分钟”的概率；（2）请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间．参考公式： =， =﹣其中=， =．19．已知抛物线C：y2=2px，点P（﹣1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．20．已知命题P函数y=lg（2ax2+2x+1）的定义域为R；命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．22．左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与焦点为F的抛物线C2：x2=2y相交于A、B两点，若四边形ABF1F2为矩形，且△ABF的周长为3+2．（1）求椭圆C1的方程；（2）过椭圆C1上一动点P（不在x轴上）作圆O：x2+y2=1的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C1交于E、G两点，O为坐标原点，求△OEG的面积S△OEG的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌市金东方高中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】分层抽样方法．【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求植物油类与果蔬类食品所需抽取的个数．【解答】解：共有食品100种，抽取容量为20的样本，各抽取，故抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为2+4=6．故选C．【点评】本题考查基本的分层抽样，属基本题．2．圆与圆（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；函数思想；方程思想；直线与圆．【分析】求出圆心距与半径和与差的关系，判断即可．【解答】解：圆的圆心（﹣1，﹣1），半径为：2；圆的圆心（2，1），半径为2，圆心距为： =∈（0，4）．所以两个圆的位置关系是相交．故选：C．【点评】本题考查两个圆的位置关系的判断，是基础题．3．椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=6，则∠F1PF2的大小为（）A．150°B．135°C．120°D．90°【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；规律型；方程思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的简单性质求出焦距，利用定义求出三角形的边长，即可求解角的大小．【解答】解：椭圆+=1的焦距为F1F2=10，a=7，点P在椭圆上，若|PF1|=6，由椭圆的定义可知|PF2|=8，△F1PF2是直角三角形，∠F1PF2的大小为90°．故选：D．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及定义的应用，考查计算能力．4．若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a 的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3【考点】两条直线垂直的判定．【专题】计算题．【分析】利用两条直线垂直的充要条件列出方程，求出a的值．【解答】解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选D．【点评】本题考查两直线垂直的充要条件：l1：A1x+B1y+C1=0；l2：A2x+B2y+C2=0垂直⇔A1A2+B1B2=0，如果利用斜率必须分类型解答．5．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．B．C．D．2【考点】极差、方差与标准差．【专题】概率与统计．【分析】由样本平均值的计算公式列出关于a的方程，解出a，再利用样本方差的计算公式求解即可．【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本方差为S2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，故选：D．【点评】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．6．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．命题“∃x∈R，x2+x+2＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+2≥0”C．命题“若x=y，则x2=y2”的逆否命题是假命题D．已知m、n∈N，命题“若m+n是奇数，则m、n这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题为假命题【考点】命题的否定；四种命题．【专题】计算题；综合题．【分析】根据原命题与否命题的关系，可得A选项不正确；根据含有量词的命题否定的规律，得到B选项是正确的；根据原命题与逆否命题真值相同，可知C选项不正确；对于D，得到逆命题后，再根据自然数奇偶性的加减规律，可得D选项也不正确．【解答】解：对于A，命题“若p，则q”的否命题是：“若非p，则非q”因此命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A项不正确；对于B，命题“∃x∈R，p（x）”的否定是：“∀x∈R，非p（x）”因此命题“∃x∈R，x2+x+2＜0”的否定是“∀x∈R，x2+x+2≥0”，故B项正确；对于C，命题“若x=y，则x2=y2”是真命题，因此它的逆否命题也是真命题，故C项不正确；对于D，命题“若m+n是奇数，则m、n这两个数中一个为奇数，另一个为偶数”的逆命题是“若m、n这两个数中一个为奇数，另一个为偶数，则m+n是奇数”，显然这是一个真命题，故D项不正确．故选：B【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了四种命题及其相互关系和含有量词的命题的否定等知识点，属于基础题．7．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155）内的学生人数）图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（）A．i＜6 B．i＜7 C．i＜8 D．i＜9【考点】设计程序框图解决实际问题．【专题】压轴题；操作型．【分析】由题目要求可知：该程序的作用是统计身高在160～180cm（含160cm，不含180cm））的学生人数，由图1可知应该从第四组数据累加到第七组数据，故i值应小于8．【解答】解：现要统计的是身高在160﹣180cm之间的学生的人数，即是要计算A4、A5、A6、A7的和，当i＜8时就会返回进行叠加运算，当i≥8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，故i＜8．故答案为：i＜8．【点评】把统计与框图两部分内容进行交汇考查，体现了考题设计上的新颖，突出了新课标高考中对创新能力的考查要求．我们知道，算法表现形式有自然语言、程序框图、算法语句等三种．由于各版本的课标教材所采用的编程语言不同，因而考查算法语句的可能性很少，又由于程序框图这一流程图形式与生产生活等实际问题联系密切，既直观、易懂，又需要一定的逻辑思维及推理能力，所以算法考查热点应是以客观题的形式考查程序框图这一内容．8．已知直线l与双曲线x2﹣y2=1交于A、B两点，若线段AB的中点为C（2，1），则直线l 的斜率为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出A，B的坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式代入即可求得直线l的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A，B在双曲线上，∴，，两式作差可得：，即（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），∴，∵线段AB的中点为C（2，1），∴x1+x2=4，y1+y2=2，∴．即直线l的斜率为2．故选：C．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，训练了“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题，常采用这种方法，是中档题．9．不等式的解集记为p，关于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集记为q，已知p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．（﹣2，﹣1] C．ϕD．[﹣2，+∞）【考点】集合关系中的参数取值问题；充要条件．【专题】综合题．【分析】分别求解解集p与q，由p是q的充分不必要条件可知p是q的真子集，利用集合的包含关系可以求得．【解答】解：由题意，p=（﹣∞，1）∪（2，+∞），q：（x﹣1）（x+a）＞0，由于p是q 的充分不必要条件可知p是q的真子集，从而有﹣a=1或1＜﹣a＜2，解得实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]，故选B．【点评】利用集合的包含关系解决有关四种条件问题是一种行之有效的方法，注意细细体会10．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A．[，2] B．[，2] C．[，4] D．[2，4]【考点】两条直线的交点坐标；函数最值的应用．【专题】直线与圆．【分析】可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|2+|PB|2=10．三角换元后，由三角函数的知识可得．【解答】解：由题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），∵动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0的斜率之积为﹣1，始终垂直，P又是两条直线的交点，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．设∠ABP=θ，则|PA|=sinθ，|PB|=cosθ，由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]∴|PA|+|PB|=（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∵θ∈[0，]，∴θ+∈[，]，∴sin（θ+）∈[，1]，∴2sin（θ+）∈[，2]，故选：B．【点评】本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角函数的应用，属中档题．11．在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．12．已知点O为坐标原点，F为椭圆C： =1的左焦点，点P、Q在椭圆上，点P、Q、R满足•=0， +2=，则|的最大值为（）A．6 B．（1++）C．3+3D．3+3【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意，P，Q关于x轴对称，设P（x，y），则R（x，3y），用坐标表示出|，再换元，即可求出|的最大值．【解答】解：由题意，P，Q关于x轴对称，设P（x，y），则R（x，3y），∵F（﹣，0），∴|=•+=|x+3|+，设x=3cosα（0＜α＜π），则|=|3cosα+3|+3sinα=3+3sin（α+）∴sin（α+）=1时， |的最大值为3+3，故选：C．【点评】本题考查求|的最大值，考查三角函数知识的运用，属于中档题．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随即取一点，则此点到坐标原点的距离小于或等于2的概率是．【考点】几何概型．【专题】计算题；规律型；概率与统计．【分析】根据题意，在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离小于2时，点P 位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的内部，如图中的扇形部分．因此算出图中扇形部分面积，再除以正方形OABC面积，即得本题的概率．【解答】解：到坐标原点的距离小于2的点，位于以原点O为圆心、半径为2的圆内，区域D：不等式组表示正方形OABC，（如图）其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，2），C（0，2）．因此在区域D内随机取一个点P，则P点到坐标原点的距离大于2时，点P位于图中正方形OABC内，且在扇形OAC的内部，如图中的扇形部分∵S正方形OABC=22=4，S扇形=π•22=π∴所求概率为P==．故答案为：．【点评】本题给出不等式组表示的平面区域，求在区域内投点使该到原点距离小于2的概率，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识点，属于基础题．14．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A，B两点，A，B在x轴上的正射影分别为D，C．若梯形ABCD的面积为，则P= 2 ．【考点】抛物线的标准方程；直线的一般式方程；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据抛物线方程得出其焦点坐标和过焦点斜率为1的直线方程，设出A，B两点的坐标，把直线与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而用A，B 坐标表示出梯形的面积建立等式求得p．【解答】解：抛物线的焦点坐标为F（0，），则过焦点斜率为1的直线方程为y=x+，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x2＞x1），由题意可知y1＞0，y2＞0由，消去y得x2﹣2px﹣p2=0，由韦达定理得，x1+x2=2p，x1x2=﹣p2所以梯形ABCD的面积为：S=（y1+y2）（x2﹣x1）=（x1+x2+p）（x2﹣x1）=•3p=3p2所以3p2=12，又p＞0，所以p=2故答案为2．【点评】本题考查抛物线的焦点坐标，直线的方程，直线与抛物线的位置关系，考查考生的运算能力，属中档题15．某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．16．已知双曲线的左右焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0），P在左支上，若的最小值为8a，求离心率的取值范围（1，3] ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线定义得=+4a+|PF1|≥8a，由此利用基本不等式结合双曲线的性质能求出双曲线的离心率的取值范围．【解答】解：由双曲线定义知：|PF2|﹣|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，当且仅当=|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号设P（x0，y0）（x0≤﹣a）由焦半径公式得：|PF1|=﹣ex0﹣a=2a∴ex0=﹣2a，e=﹣≤3，又双曲线的离心率e＞1，∴e∈（1，3]．故答案为：（1，3]．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．三、解答题（本大题共6个小题，共70分）17．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（Ⅰ）估计该校男生的人数；（Ⅱ）估计该校学生身高在170～185cm之间的概率；（Ⅲ）从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm 之间的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】综合题．【分析】（1）由频率分步直方图知样本中男生人数为2+5+13+14+2+4，全校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，知道每个个体被抽到的概率是0.1，得到分层抽样比例为10%估计全校男生人数．（2）由图可知样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1，样本容量为70，得到样本中学生身高在170～185cm之间的频率．用样本的频率来估计总体中学生身高在170～180cm之间的概率．（3）由题意知本题是一个古典概型，通过列举法看出试验发生包含的所有事件数，再从这些事件中找出满足条件的事件数，根据古典概型公式，得到结果．【解答】解：（Ⅰ）样本中男生人数为2+5+13+14+2+4=40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为=400；（Ⅱ）∵样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，∴样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故可估计该校学生身高在170～180cm之间的概率p=0.5；（Ⅲ）样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：∴从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185～190cm之间的可能结果数为9，∴所求概率p2=．【点评】抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同，这是解决一部分抽样问题的依据，样本容量、总体个数、每个个体被抽到的概率，这三者可以知二求一．这是一个统计综合题，可以作为一个解答题出在文科的试卷中．18．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：（1）在5次试验中任取2次，记加工时间分别为a、b，求“事件a、b均小于80分钟”的概率；（2）请根据第二次、第三次、第四次试验的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）根据（2）得到的线性回归方程预测加工70个零件所需要的时间．参考公式： =， =﹣其中=， =．【考点】线性回归方程．【专题】应用题．【分析】（1）确定a，b构成的基本事件、“a，b均小于80分钟”的基本事件的个数，即可求得概率；（2）分别计算回归系数，利用公式，可得y关于x的线性回归方程=x+；（3）利用线性回归方程，代入计算可得结论．【解答】解：（1）a，b构成的基本事件（a，b）有：（62.67），（62，75），（62，80），（62，89），（67，75），（67，80），（67，89），（75，80），（75，89），（80，89）共有10个．…其中“a，b均小于80分钟”的有（62.67），（62，75），（67，75）共3个．…∴事件“a，b均小于80分钟”的概率为．…（2）=（20+30+40）=30，…=（67+75+80）=74…∴==．…∴=﹣=74﹣×30=54.5…∴y关于x的线性回归方程y=x+54.5…（3）由（2）知y关于x的线性回归方程为y=x+54.5，当x=70时，y=×70+54.5=100．…∴预测加工70个零件需要100分钟的时间．…【点评】本小题主要考查考查古典概型、线性回归，样本估计总体等知识，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识．19．已知抛物线C：y2=2px，点P（﹣1，0）是其准线与x轴的焦点，过P的直线l与抛物线C交于A、B两点．（1）当线段AB的中点在直线x=7上时，求直线l的方程；（2）设F为抛物线C的焦点，当A为线段PB中点时，求△FAB的面积．【考点】抛物线的应用；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题．【分析】（1）先求出抛物线的方程，再将其与直线方程联立，利用线段AB的中点在直线x=7上，从而求出直线l的方程；（2）利用点B在抛物线上及A为线段PB中点，求出点B的坐标，进而求出△FAB的面积．【解答】解：（1）因为抛物线的准线为x=﹣1，所以p=2，抛物线方程为y2=4x设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y=k（x+1），（依题意k存在，且k≠0）与抛物线方程联立，消去y得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0…（*），x1x2=1所以AB中点的横坐标为，即所以（此时（*）式判别式大于零）所以直线l的方程为（2）因为A为线段PB中点，所以由A、B为抛物线上点，得，y22=4x2解得x2=2，当时，；当时，所以△FAB的面积S△PFB﹣S△PFA=|PF||y2﹣y1|=【点评】直线与圆锥曲线相交问题，既可从数的角度，也可从形的角度加以探究，应注意分类讨论和数形结合的思想方法的运用．20．已知命题P函数y=lg（2ax2+2x+1）的定义域为R；命题Q不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立；若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题；求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出P，Q成立的等价条件，利用P∨Q为真，P∧Q为假，确定实数a的取值范围【解答】解：若函数y=lg（2ax2+2x+1）的定义域为R，则，解得：a＞，即P：a＞．若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对任意实数x恒成立，当a=2时，不等式等价为﹣4＜0，成立．当a≠0时，要使不等式恒成立，则，解得﹣2＜a＜2，综上：﹣2＜a≤2，即Q：﹣2＜a≤2，若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，则P，Q一真一假，若P假Q真，则，解得﹣2＜a≤．若P真Q假，则，解得a＞2．综上：实数a的取值范围是（﹣2，]∪（2，+∞）．【点评】本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系，先求出命题p，q成立的等价条件是解决本题的关键．21．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：相切．（1）求圆O的方程；（2）若圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，且，求直线MN的方程；（3）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【考点】直线与圆的位置关系；等比数列的性质；向量在几何中的应用．【专题】直线与圆．【分析】（1）利用点到直线的距离公式求出半径r，从而求得圆O的方程．（2）用点斜式设出MN的方程为y=2x+b，由条件求出圆心O到直线MN的距离等于=1，由1=，求出b的值，即可得到MN的方程．（3）由题意可得|PA|•|PB|=|PO|2 ，设点P（x，y），代入化简可得x2=y2+2．由点P在圆内可得 x2+y2＜4，可得0≤y2＜1．化简=2（y2﹣1），从而求得的取值范围．【解答】解：（1）半径r==2，故圆O的方程为 x2+y2=4．（2）∵圆O上有两点M、N关于直线x+2y=0对称，故MN的斜率等于直线x+2y=0斜率的负倒数，等于2，设MN的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．由弦长公式可得，圆心O到直线MN的距离等于=1．由点到直线的距离公式可得 1=，b=±，故MN的方程为2x﹣y±=0．（3）圆O与x轴相交于A（﹣2，0）、B（2，0）两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，∴|PA|•|PB|=|PO|2 ，设点P（x，y），则有•=x2+y2，即=x2+y2，两边平方，化简可得 x2=y2+2．由点P在圆内可得 x2+y2＜4，故有0≤y2＜1．∵=（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）=x2+y2﹣4=2（y2﹣1）∈[﹣2，0）．即的取值范围是[﹣2，0）．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，直线和圆的位置关系，两个向量的数量积的定义，属于中档题．22．左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C1： +=1（a＞b＞0）与焦点为F的抛物线C2：x2=2y相交于A、B两点，若四边形ABF1F2为矩形，且△ABF的周长为3+2．（1）求椭圆C1的方程；（2）过椭圆C1上一动点P（不在x轴上）作圆O：x2+y2=1的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C1交于E、G两点，O为坐标原点，求△OEG的面积S△OEG的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据A为通径的端点，可得A（c，），带入x2=2y得c2=，结合△ABF的周长2c++1=3+2．解出a，b，c值，可得椭圆C1的方程；（2）设P（2m，2n）（n≠0），可得以线段OP为直径的圆的方程与单位圆相减，可得直线CD的方程，联立椭圆方程，代入三角形面积公式，结合二次函数的图象和性质，可得△OEG 的面积S△OEG的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得A（c，），带入x2=2y得c2=，又△ABF的周长为：2c++1=3+2，所以a=2，b=c=，。
湖北省宜荆2023-2024学年高二下学期3月联考数学试题含答案
2024年宜荆荆随恩高二3月联考高二数学试题（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年3月19日下午15：00-17：00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．）1.已知等比数列{}n a 中，23468,16==a a a a ，则公比q =（）A.2-B.2C.3D.2或2-【答案】B 【解析】【分析】由2348a a a =，可得338a =，解得32a =，再由616a =可得3316a q = ，根据32a =求解即可.【详解】解：因为数列{}n a 为等比数列，2348a a a =，所以338a =，解得32a =，又因为616a =，即3316a q = ，解得2q =.故选：B.2.若两条平行直线()002x y m m +=>-与30x ny +-=之间的距离是m +n =（）A.5B.15- C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】利用两直线平行可求出n 的值，利用平行线间的距离公式可求出m 的值，即可得出m n +的值.【详解】因为直线()002x y m m +=>-与30x ny +-=平行，则2n =-，=，解得7m =，故725m n +=-=.故选：A.3.O 为坐标原点，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P 为C 上一点，若4PF =，则POF 的面积为A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】由抛物线的标准方程24y x =可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出(,)P x y ,由PF =4以及抛物线的定义列式可得(1)4x --=,即3x =,再代入抛物线方程可得点P 的纵坐标,再由三角形的面积公式1||2S y OF =可得.【详解】由24y x =可得抛物线的焦点F (1,0),准线方程为=1x -,如图:过点P 作准线=1x -的垂线,垂足为M ,根据抛物线的定义可知PM =PF =4,设(,)P x y ,则(1)4x --=,解得3x =,将3x =代入24y x =可得y =±,所以△POF 的面积为1||2y OF ⋅=112⨯=故选B .【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P 点的坐标;②利用OF 为三角形的底,点P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.4.如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,2AN NB BM MC == ，则MN = （）A.112263a b c +-B.112263a b c -+C.111263a b c -- D.111263a b c ++ 【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的加法、减法和数乘运算求解.【详解】解：MN BN BM =- 1223BA BC =-，()()1223OA OB OC OB =---，112263OA OB OC =+-，112263a b c =+- ，故选：A5.若(),P x y 满足221x y +=，()1,2A ，()1,4B 则22PA PB +最小值是（）A.22610-B.2210-C.2410- D.2410-【答案】D 【解析】【分析】代入(),P x y 化简可得2224412PA PB x y +=--，再设cos x θ=，cos y θ=，根据辅助角公式求解即可.【详解】由题意，()()()()2222221214PA PB x y x y +=-+-+-+-22242122224412x x y y x y =-+-+=--.因为221x y +=，故可设cos x θ=，sin y θ=，则()()22244cos 3sin 24PA PB θθθϕ+=-+=-+，其中1tan 3ϕ=.故当()sin 1θϕ+=时22PA PB +取小值24-.故选：D6.下列不等式中，对任意()0,x ∈+∞的恒成立的是（）A.()e e 1xx ≥+ B.sin x x>C.()21ln 12x x x -≥+ D.1ln 1x x -≤+【答案】C 【解析】【分析】对于AB ，取1x =即可推翻，对于D ，取2e x =即可推翻，对于C ，构造函数()()()21ln 1,02x f x x x x =++>-，通过求导得其单调递增，进而有()()00f x f >=，由此即可判断.【详解】对于AB ，当1x =时，()e e 1xx ≥+即e 2e ≥不成立，sin x x >即sin11>不成立，AB 错误；对于C ，令()()()21ln 1,02x f x x x x =++>-，则()211011x f x x x x '=-+=>++，从而()f x 单调递增，所以()()00f x f >=，即对任意()0,x ∈+∞，()21ln 12x x x -≥+恒成立，C 正确；对于D ，取2e x =，则此时22e 1ln e 1e 1-==>+，D 错误.故选：C.7.已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，点M 在C 上，若使12MF F △为直角三角形的点M 有8个，则C 的离心率的范围是（）A.3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.3232⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.2,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.23,32⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】先根据12MF F △为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点1F 、2F 和M 为直角顶点的点M 的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出a <；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解.【详解】12MF F △为直角三角形，可分为以下三类讨论：以点1F 为直角顶点；以点2F 为直角顶点；以点M 为直角顶点.由椭圆的对称性可知：以点1F 为直角顶点的点M 有两个；以点2F 为直角顶点的点M 有两个，则要使12MF F △为直角三角形的点M 有8个，须使以点M 为直角顶点的直角三角形有4个.由椭圆的对称性可得在x 轴上方有两个点M 满足以点M 为直角顶点.则22212121212cos 02MF MF F F F MF MF MF +-∠==，即()()()222222222121211112222240MF MF F F MF a MF c MF a MF a c+-=+--=-⨯⨯+-=，所以()()222Δ224240a a c=-⨯-⨯⨯->，解得222ac <即a <，所以2c e a =>，又因为椭圆离心率1e <，所以12e <<.故选：C.8.已知函数()e exxf x -=-，若不等式()()1ln 0f ax f x ++<在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A.2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.()1,-+∞ C.2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.(),1-∞-【答案】D 【解析】【分析】判断函数()e exxf x -=-的奇偶性以及单调性，从而将不等式()()1ln 0f ax f x ++<在()0,∞+上恒成立，转化为1ln ax x +<-在()0,∞+上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.【详解】由于函数()e exxf x -=-，定义域为R ，满足()()ee xx f x f x --=-=-，得()f x 是奇函数，且在R 上为增函数.()()1ln 0f ax f x ++< 在()0,∞+上恒成立，()()()1ln ln f ax f x f x ∴+<-=-在()0,∞+上恒成立，1ln ax x ∴+<-在()0,∞+上恒成立，ln 1x a x+∴<-在()0,∞+上恒成立.令()()ln 1,0,x g x x x ∞+=-∈+，则()2ln xg x x='，当01x <<时，()0g x '<，故()g x 在()0,1上单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,∞+上单调递增，()()11,1g x g a ∴≥=-∴<-，即a 的取值范围为(),1∞--，故选：D.【点睛】方法点睛：利用函数的单调性和奇偶性解不等式，再分离参数法借助导数求范围.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有选错的得0分）9.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前项的和，且910S S <，101112S S S =>，则下列说法正确的是（）A.0d >B.110a = C.149S S < D.10S ，11S 均为n S 的最大值【答案】BCD 【解析】【分析】由题意首先得101091111101212110,0,0a S S a S S a S S =->=-==-<，结合已知可得0d <，进一步有121011120a a a a a >>>>=>> ，由此即可逐一判断每个选项.【详解】由题意101091111101212110,0,0a S S a S S a S S =->=-==-<，又{}n a 是公差为d 的等差数列，所以0d <，故A 错B 对；从而121011120a a a a a >>>>=>> ，所以10S ，11S 均为n S 的最大值，D 对；而1011121314111495550a a a a S a d S a d -=++++=+=<，所以149S S <，C 对.故选：BCD.10.有一个棱长为4的正四面体-P ABC 容器，D 是PB 的中点，E 是CD 上的动点，则下列说法正确的是（）A.二面角P AB C --所成角的正弦值为23B.直线AE 与PB 所成的角为π2C.ABE 的周长最小值为4+D.如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为63【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，作出辅助线，由三线合一以及二面角的定义、余弦定理即可验算；对于B ，证明PB ⊥面CDA 后，结合AE ⊂面CDA 即可判断；对于C ，把ACD 沿着CD 展开使得它与平面BDC 在同一个平面内，将问题转换为牛吃草问题，结合解三角形知识即可判断；对于D ，等价于验算正四面体内切球的半径.【详解】对于A ，如图所示，取AB 中点F ，连接,CF PF ，因为正四面体的四个面都是正三角形，所以由三线合一可知,CF AB PF AB ⊥⊥，4sin 60CF PF ==⨯= ，而面CBA ⋂面PBA BA =，从而二面角P AB C --所成角的平面角为CFP ∠，在CFP 中，4CF PF PC ===，由余弦定理有1cos3CFP ∠=，从而sin 3CFP ∠=，故A 错误；对于B ，如图所示，连接,,,AD CD BE AE ，由于D 为PB 中点，所以,PB CD PB AD ⊥⊥，又,,CD AD D CD AD ⋂=⊂面CDA ，所以PB ⊥面CDA ，又AE ⊂面CDA ，所以PB AE ⊥，故B 正确；对于C ，把ACD 沿着CD 展开使得它与平面BDC 在同一个平面内，连接AB 交CD 于点E ，则AE BE +的最小值即为（展开后的）AB 的长，由于23AD CD ==4AC =，2222223341cos 2322323CD AD ACADC CD AD +-+-∠==⋅⨯⨯，π1cos cos sin 23ADB ADC ADC ⎛⎫∠=+∠=-∠=- ⎪⎝⎭，（展开后的AB 满足）(22222262cos 2322231633AB BD AD BD AD ADB ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，故展开后的166616133AB =+=+，ABE 的周长最小值为4613++，C 错误；对于D ，如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为内切球的半径R ，设球心为O ，取AC 的中点M ，连接,BM PM ，过点P 作PF 垂直于BM 于点F ，则F 为ABC 的中心，点O 在PF 上，过点O 作ON ⊥PM 于点N ，因为2,4AM AB ==，所以22224223BM AB AM =-=-=，同理23PM =则1333MF BM ==，故2263PF PM MF =-=，设OF ON R ==，故3OP PF OF R =-=-，因为~PNO PFM，所以ON OPFM PM=，3233R-=3R =，D 正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：判断C 的关键是将原问题转换为牛吃草问题，由此即可顺利得解.11.已知()()()2ln 20220x x x f x ax x x ⎧-->⎪=⎨--+≤⎪⎩，其图像上能找到A 、B 两个不同点关于原点对称，则称A 、B 为函数()y f x =的一对“友好点”，下列说法正确的是（）A.()y f x =可能有三对“友好点”B.若01a <<，则()y f x =有两对“友好点”C.若()y f x =仅有一对“友好点”，则a<0D.当a<0时，对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=【答案】BD 【解析】【分析】不妨设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x+=有实数根，从而构造函数，利用导数得其单调性，画出图形，讨论()y g x =的图象以及直线y a =的图象的交点个数情况即可逐一判断求解.【详解】若(),x y 和(),x y --互为友好点，不妨设0x >，则()2ln 2220x x ax x --+-++=，即2ln x xa x+=，令()2ln ,0x x g x x x +=>，则()()243112ln 12ln x x x x x x x g x x x ⎛⎫+-+ ⎪--='⎝⎭=，令()12ln h x x x =--，则()210h x x=--<'，所以()h x 单调递减，注意到()h x 和()g x '同号，且()10h =，所以当01x <<时，()0h x >即()0g x '>，()g x 单调递增，当1x >时，()0h x <即()0g x '<，()g x 单调递减，从而即可在同一平面直角坐标系中作出()y g x =的图象以及直线y a =的图象，如图所示，当1a >时，()y f x =不存在友好点，当1a =或0a ≤时，()y f x =仅存在一对友好点，当01a <<时，()y f x =存在两对友好点，从而()y f x =不可能有三对“友好点”，若()y f x =仅有一对“友好点”，则1a =或0a ≤，故AC 错，B 对，当a<0时，()y f x =仅存在一对友好点，即对任意的1>0x ，总是存在20x <使得()()120f x f x +=，D 对.故选：BD.【点睛】关键点点睛：关键是将设0x >，()f x 存在友好点等价于方程2ln x xa x +=有实数根，由此即可通过数形结合顺利得解.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上､下底面边长分别为2和4，若侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为45︒，则该正四棱台的体积为__________.【答案】2823【解析】【分析】作出辅助线，根据侧棱与底面所成角的大小求出台体的高，利用台体体积公式求出答案.【详解】如图，延长1111,,,AA BB CC DD 相交于点P ，连接11,AC A C ，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，交AC 于点O ，则PO ⊥平面1111D C B A 于点1O ，且点1O 在11A C 上，其中11AC A C ==，过点1A 作1A F ⊥AC 于点F，则11OF AO ==，所以AF OA OF =-==因为侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角为45︒，所以145A AF ∠=︒，故1A F AF ==，则该正四棱台的体积为(2212433V =++=.故答案为：313.已知曲线1e e x y +=-在0x =的切线与曲线()ln y x m =+只有一个公共点，则实数m 的值为________；【答案】2e【解析】【分析】根据题意，利用导数的几何意义，求得曲线1e e x y +=-在0x =的切线方程为e y x =，结合直线e y x =与()ln y x m =+相切求得切点1(,1)eP m --，代入切线方程，即可求解.【详解】由函数1e e x y +=-，可得1e x y +'=，所以0|0x y ==且0|e x y ='=，所以曲线1e e x y +=-在0x =的切线方程为e y x =，由函数()ln y x m =+单调递增，且(),x m ∈-+∞，又1y x m'=+，结合对数型函数图象，要使得切线e y x =与()ln y x m =+只有一个公共点，则直线e y x =与()ln y x m =+相切，切点为00(,)P x y ，可得01e x m =+，解得01ex m =-，则01ln 1e y m m ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，所以切点为1(,1)e P m --，将切点1(,1)eP m --代入直线e y x =，可得1e()1em -=-，解得2em =.故答案为：2e.14.通过双曲线的学习，我们知道函数1yx=的图象是“等轴双曲线”，其离心率为，经深入研究发现函数()0b y ax abx=+>的图象也是双曲线，且直线0x =和y ax =是它的渐近线，那么1y x =+的离心率是________．【答案】3【解析】【分析】由题意定义一般标准形式的双曲线的渐近线的夹角为AOB ∠，它使得双曲线的一支包含在AOB ∠内部，且令2AOB ∠θ=，则有tan baθ=，从而即可通过类比法求解.【详解】如图所示：对于标准的双曲线方程22221x y a b-=，在其对应的渐近线上各取一点（不同于原点）,A B ，我们定义渐近线的夹角为AOB ∠，它使得双曲线的一支包含在AOB ∠内部，且令2AOB ∠θ=，tan baθ=，对于1y x =+，我们知道其渐近线为33y x =和y 轴，从而可得其渐近线的夹角为πππ263-=，所以ππ33tan tan tan 263ba θ====，所以1y x =+的离心率是c e a ===.故答案为：3.四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知圆C 的方程为：()()22224x y -+-=，直线l 的方程为：()10m x y m +--=，（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 相交，设直线l 与圆C 相交于A 、B ，求弦长AB 的最小值，及此时直线l 的方程；（3）圆C 的圆心C 与A 、B 构成三角形，求三角形ABC 面积的最大值．【答案】（1）0x y -=或20x y +-=（2）证明见解析，弦长AB 的最小值，此时20l x y -+=:（3）2【解析】【分析】（1）分别求解直线在,x y 轴上的截距，根据截距相等求解即可；（2）根据直线()10m x y m +--=过定点()1,1D 可判断直线与圆相交，再根据当直线l 与直线CD 垂直时弦长AB 最小求解即可；（3）由三角形的面积公式判断即可.【小问1详解】令0x =可得0y m --=，即y m =-，令0y =，易得此时1m ≠-，可得1mx m =+，依题意1mm m =-+，化简得()20m m +=，故0m =或2m =-.故直线l 的方程为：0x y -=或20x y +-=.【小问2详解】()10m x y m +--=即()10m x x y -+-=，故直线l 过定点()1,1D .因为()()2212124-+-<，故()1,1D 在圆C 内.故直线l 与圆C 相交.故当直线l 与直线CD 垂直时弦长AB 最小，此时()2,2C ，()1,1D ，故直线CD ==AB ==此时21121CD k -==-，111AB k -==-，故()11y x -=--，即20l x y -+=:.【小问3详解】依题意1sin 2sin 2ABC S AC BC ACB ACB =∠=∠ ，故当sin 1ACB ∠=，即ACB ∠为直角时ABC S 取最大值.由（2）可得当20l x y -+=:时,A B 坐标分别为()()0,2,2,0，此时ACB ∠为直角.故三角形ABC 面积的最大值为2.16.如图1，在等腰梯形ABCD 中，BC AD ∥，36AD BC ==，22AB CD ==，BE AD ⊥于点E ．将ABE 沿着BE 折起，使A 到达P 的位置，如图2，连接PC ，PD ，得到四棱锥-P BCDE ，且PC CD ⊥．已知Q 是棱PD 上一点，且PB ∥平面CEQ ．（1）求PQQD的值；．（2）求二面角P CE Q --的余弦值．【答案】（1）12（2）63【解析】【分析】（1）连接BD 交CE 于点O ，连接OQ ，由线面平行的性质定理可得PB OQ ∥，从而可得答案.（2）利用线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面BCDE ，过点Q 作CD 的平行线交PC 于点M ，过点M 作PE 的平行线交EC 于点N ，连接QN ．证明EC ⊥平面MNQ ，利用二面角的定义找到平面角直接求解即可.【小问1详解】由题意等腰梯形ABCD中，AB CD ==，可知2,4AE ED ==，2BC =．如图，连接BD 交CE 于点O ，连接OQ．因为PB ∥平面CEQ ，PB ⊂平面PBD ，且平面PBD 平面CEQ OQ =，所以PB OQ ∥，则12PQ BO BC QD OD ED ===【小问2详解】在CDE中，CE =，CD =，4ED =，所以222DE CE CD =+，则CD CE ⊥．又因为CD PC ⊥，CE ，PC ⊂平面PCE ，CE PC C ⋂=，所以CD ⊥平面PCE ．因为PE ⊂平面PCE ，所以PE CD ⊥．因为PE BE ⊥，CD ，BE ⊂平面BCDE ，且CD ，BE 相交，所以PE ⊥平面BCDE ．过点Q 作CD 的平行线交PC 于点M ，过点M 作PE 的平行线交EC 于点N ，连接QN ．因为CD ⊥平面PCE ，所以QM ⊥平面PCE ，则MQ EC ⊥．又因为PE ⊥平面BCDE ，所以PE EC ⊥，则,MN EC MN MQ M ⊥⋂=，所以EC ⊥平面MNQ ，EC NQ ⊥．故∠MNQ 是二面角P CE Q --的平面角．因为13PQ PD =，所以133MQ CD ==，2433MN PE ==，3NQ ==，所以463cos 3263MN MNQ NQ ∠===，即二面角P CE Q --的余弦值为3．17.已知数列{}n a 的首项11a =，且满足132nn n a a ++=⨯，数列{}n b 的前n 项和n S 满足()2114n n S b =+，且0n b >．（1）求证：{}2nn a -是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设()142nn n nn n c a b b+=-⋅⋅，求数列{}n c 的前19项和．【答案】（1）证明见详解（2）21n b n =-（3）4039-【解析】【分析】（1）由递推关系借助等比数列的定义进行证明；（2）利用当2n ≥时，1n n n b S S -=-，求出数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，可得通项公式；（3）由()1112121nn c n n ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求和.【小问1详解】11123223322212222n n n n n nn n n n n n n nn n n n a a a a a a a a +++--+⨯--+⨯-⨯-+====-----所以{}2nn a -是以121a -=-为首项，1-为公比的等比数列.所以2(1)nnn a -=-；【小问2详解】当1n =时，()2111114b S b ==+，得11b =；当2n ≥时，()()2211111144n n n n n b S S b b --=-=+-+，整理得()()1120n n n n b b b b --+--=，因为0n b >，所以10n n b b -+≠，则120n n b b ---=，故数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，从而()12121n b n n =+-=-，所以数列{}n b 的通项公式为21n b n =-；【小问3详解】由()()()()()1441121121212121n n nn n n n n n c a b b n n n n +⎛⎫=-⋅=-⋅=-+ ⎪⋅-+-+⎝⎭，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1911111111113355735373739T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭14013939=--=-.18.如图，已知A ，B 为抛物线E ：()220x py p =>上任意两点，抛物线E 在A ，B 处的切线交于点P ，点P 在直线1y =-上，且π2APB ∠=，动点Q 为抛物线E 在A ，B之间部分上的任意一点．（1）求抛物线E 的方程；（2）抛物线E 在Q 处的切线交PA ，PB 于M ，N 两点，试探究PMN 与ABQ 的面积之比是否为定值，若为定值，求出定值，若不为定值，请说明理由．【答案】（1）24x y=（2）PMN 与ABQ 的面积之比为定值12，理由见详解【解析】【分析】（1）设A 、B 的坐标分别为211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用导数求出斜率，得到切线方程，根据已知可得1212x x p =-和121x x p p⋅=-，从而解得p ，得解；（2）求出直线AB 方程，设点()00,Q x y 得MN 的方程，再求出弦AB ，MN 长，点Q ，P 分别到直线AB ，MN 距离即可计算作答.【小问1详解】抛物线方程为()220x py p =>，故212y x p=，所以x y p '=，设A 、B 的坐标分别为211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PA 的方程为：2111()2x x y x x p p =-+即2112x x y x p p=-，同理PB 的方程为：2222x x y x p p=-，联立PA ，PB 方程21122222x x y x p p x x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得1212,22P P x x x xx y p+==，因为点P 在直线1y =-上，所以1212x x p=-，又因为π2APB ∠=，即121x x p p ⋅=-，所以2p =，则抛物线E ：24x y =；【小问2详解】PMN 与ABQ 的面积之比为定值12，设点200,4x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由（1）知切线MN 的方程为：20024x x y x =-，又切线PA 的方程为：21124x x y x =-，切线PB 的方程为：22224x x y x =-，设点(,1)P m -，即有211124x x x -=-，222412x x x -=-，因此直线AB 的方程为：12my x =+，有12||AB x =-，点()00,Q x y 到直线AB的距离是2d =，则2201011242ABQmS x x x x =--+ ，由200211224224x y x x x y x x ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点M 的横坐标012M x x x +=，同理点N 的横坐标022N x x x +=，有||MN =，点(,1)P m -到直线MN的距离1d =，则12001142PMN m S x x x y =--+ ，所以1212S S =.【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点20(,2x x p处的切线斜率0x k p =；抛物线22(0)y px p =≠在点200(,)(0)2y y y p≠处的切线斜率0p k y =.19.已知函数()()1ln R f x a x x a x=--+∈（1）若函数()y f x =在[)3,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个不同的极值点12,x x ，其中12x x >，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若不等式()12f x kx <恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（2）()2,+∞（3）[)0,∞+【解析】【分析】（1）由题意()2110a f x x x'=+-≥在[)3,+∞上恒成立，即1a x x ≤+在[)3,+∞上恒成立，构造函数求不等式右边的最小值即可；（2）由题干的必要性得1a x x=+在()0,∞+上有两个零点，求得a 的范围，注意检验充分性是否成立即可；（3）原问题等价于()()22211111111ln 11ln 1k x f x x ax x x x x >=--=-+-恒成立，其中11x >，由此可构造函数，结合导数求解即可.【小问1详解】()()1ln R f x a x x a x =--+∈，()211a f x x x'=+-，因为函数()y f x =在[)3,+∞上单调递增，所以()2110a f x x x'=+-≥在[)3,+∞上恒成立，即1a x x ≤+在[)3,+∞上恒成立，令()1g x x x =+，则()211g x x'=-，当3x ≥时，()0g x '>，()g x 单调递增，从而()()min 1033g x g ==，所以103a ≤，即实数a 的取值范围为03,1⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；【小问2详解】()211af x x x'=+-，若函数()y f x =有两个不同的极值点12,x x ，必要性：则()0f x '=在()0,∞+上有两个零点，即1a x x=+在()0,∞+上有两个零点，由（1）可知()211g x x'=-，所以当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()min 12g x g ==，且当0,x x →→+∞时，都有()g x ∞→+，所以2a >，充分性：当2a >时，()222114102a x ax a f x x x x x -+-'=+-==⇒=或x =，且当0x <<x >()0f x ¢>，即此时()f x 单调递增，当22a a x -+<<时，有()0f x '<，即此时()f x 单调递减，即函数()y f x =有两个不同的极值点,22a a ，令21,22a a x x ==，由此可知充分性成立；综上所述，实数a 的取值范围是()2,+∞；【小问3详解】在（2）的条件下，有1211221112,1,0x x a x x x x x x +==+>=<<，所以1201x x <<<，所以()12f x kx <，等价于()()22211111111ln 11ln 1k x f x x ax x x x x >=--=-+-，令()()221ln 1,1m x x x x x =-+->，则()12ln m x x x x x'=--，令()12ln n x x x x x =--，则()212ln 1n x x x '=--，当1x >时，210,2ln 0x x -<-<，即()212ln 10n x x x '=--<，所以()n x 即()m x '单调递减，从而()()10m x m ''<=，所以()m x 单调递减，从而()()10m x m <=，所以实数k 的取值范围为[)0,∞+.【点睛】关键点点睛：第三问的关键是恰当转换已知条件得()()221ln 1,1k m x x x x x >=-+->恒成立，由此即可顺利得解.。
湖北省宜昌市高二数学3月月考试题 理
湖北省宜昌金东方高中2012-2013学年高二数学3月月考试题 理 考试时间：120分钟 满分：150分一、 选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案写在第Ⅱ卷卷首答题栏内。
)1. 复数=+-+-i i i 11 ( ) A. 2i - B. 12i C. 0 D. 2i 2. “n ＝10”是 “31()n x x+”的展开式中有常数项的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3. 在复平面内,复数i i +-221对应的点的坐标为（ ） A.()1,0- B.()1,0 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛53,544. 在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步， 程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）A ． 34种B ．48种C ．96种D ．144种5. 已知a =2224x dx --⎰，则61()ax x-展开式中的常数项为（ ） A.3160π- B. 3120π- C.2π D. 3160π6. 某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动．从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽取2道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( )A ．925B ．625C ．310D ．127. 甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（ ） A.827 B.6481 C.49 D.898. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表所示，则 q ＝( )A ．1 B. 21± C ．21+ D ．21- 9. 平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为（ ）A ． 1+nB ． n 2C ．222++n n D ． 12++n n 10．将1,2,3，…，9这9个数字填在3×3的正方形方格中，要求每一列从上到下的数字依次增大，每一行从左到右的数字也依次增大，当4固定在中心位置时，则填写方格的方法有( )．A ．6种B ．12种C ．18种D ．24种二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2020-2021学年湖北省宜昌市夷陵中学高二下学期3月份阶段性检测数学试题 word版
宜昌市夷陵中学2020-2021学年高二下学期3月份阶段性检测数学试题考试时间：150分钟 试卷满分：150分一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知A 、B 是非空集合，设x ∉A∩B ，则A 、x ∉A 且x∉B B 、x ∉A 或x∉BC 、x ∉A 且x∈BD 、x ∉A 或x∈B 2、设复数z=1+3i2-i ，则|z|等于 A 、3 B 、322C 、2D 、23、已知关于x 的不等式2240ax x a -+<在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是 A 、1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B 、1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C 、(,2)-∞D 、(2,)+∞ 4、已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭图象关于直线518x π=对称，则函数()f x 在区间[0,]π上零点的个数为A 、1B 、2C 、3D 、45、在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为、 A 、16 B 、13 C 、12 D 、236、设数列{}15n n a -⋅的前n 项和为n T ，若n T n =，则2020a =A 、101015 B 、202115 C 、202015 D 、2019157、函数2()(2)e x f x x x =-的图象大致是A 、B 、C 、D 、8、已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右焦点1F ，2F ，过2F 的直线交右支于A 、B 两点，若223AF F B =，1AF AB=，则该双曲线的离心率为A 、52B 、2C 、5D 、3二、不定项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.）9、下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中 A 、//AE CD B 、//CH BEC 、DG BH ⊥D 、BG DE ⊥10、已知曲线C 的方程为221()91x y k R k k +=∈--，则A 、当k=5时，曲线C 是半径为2的圆B 、当k=0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y=13x ± C 、存在实数k,使得曲线C 是离心率为2的双曲线D 、“k>1”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件11、PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值（单位：3μg/m ）的折线图，则下列说法正确的是、A 、这10天中PM2.5日均值的众数为33B 、这10天中PM2.5日均值的中位数是32C 、这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D 、这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差12、关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是 A 、(1)f 是()f x 的最小值； B 、函数()y f x x =-有且只有1个零点；C 、()f x 在(,1)-∞上单调递减；D 、设()()g x xf x =，则1()g g e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭。
《精编》湖北省宜昌市宜都一中高二数学下学期3月月考试卷 理(含解析)新人教A版.doc
2021-2021学年湖北省宜昌市宜都一中高二〔下〕3月月考数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔每小5题，总分值50分〕1．〔5分〕离散型随机变量X的分布列如右表，那么常数q的值为〔〕x 0 1 2p q2A．﹣1 B．1C．D．考点：离散型随机变量及其分布列．分析：利用概率的根本性质即可得出．解答：解：由概率的标准性可得：，化为2q2+q﹣1=0，又q≥0，解得．应选D．点评：正确理解概率的根本性质是解题的关键．2．〔5分〕命题p：∀x∈R，x≥0的否认是〔〕A．￢p：∃x∈R，x＜0 B．￢p：∃x∈R，x≤0C．￢p：∀x∈R，x＜D．￢p：∀x∈R，x≤0考点：命题的否认．专题：阅读型．分析：这个一个全称命题，否认方法是：先将关键词任意改成存在，再否认后面的结论，由此可以得出正确选项．解答：解：全称命题的否认是特称命题，同时否认结论，将“∀〞改成“∃〞，再将结论改成“x＜0〞即可应选A．点评：此题考查了“含有量词的命题的否认〞，属于根底题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．3．〔5分〕根据历年气象统计资料，宜都三月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为．那么在吹东风的条件下下雨的概率为〔〕A．B．C．D．考点：条件概率与独立事件．专题：概率与统计．分析：利用条件概率的计算公式即可得出．解答：解：设事件A表示宜都三月份吹东风，事件B表示三月份下雨．根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P〔B|A〕==．应选B．点评：正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．4．〔5分〕如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，假设△PBD 的面积为f〔x〕，那么f〔x〕的图象大致是〔〕A．B．C．D．考点：棱柱的结构特征；函数的图象．专题：图表型．分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，那么PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f〔x〕=BD×PO，再在在三角形PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f〔x〕的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．解答：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，那么PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f〔x〕=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f〔x〕=××=，画出其图象，如以下列图，对照选项，A正确．应选A．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等根底知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于根底题．5．〔5分〕F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，那么cos∠F1PF2=〔〕A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．解答：解：设|PF1|=2|PF2|=2m，那么根据双曲线的定义，可得m=2∴|PF1|=4，|PF2|=2∵|F1F2|=4∴cos∠F1PF2===应选C．点评：此题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．6．〔5分〕〔2021•潍坊一模〕某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队，要求甲、乙至少有一辆参加，且假设甲、乙同时参加，那么它们出发时不能相邻，那么不同排法种数为〔〕A．720 B．600 C．520 D．360考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：利用分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法〞即可得出．解答：解：由题意可分为以下3类：①只有甲汽车被选中，那么可有=240种方法；②只有乙汽车被选中，那么可有=240种方法；③假设甲乙两辆汽车都被选中，且它们出发时不能相邻，那么不同排法种数==120种方法．综上由分类加法计数原理可知：所要求的不同排法种数=240+240+120=600．应选B．点评：熟练掌握分类加法计数原理、排列与组合的计算公式、“插空法〞是解题的关键．7．〔5分〕以下命题中不正确的命题个数是〔〕①假设A、B、C、D是空间任意四点，那么有+++=0；②|a|﹣|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件；③假设a、b共线，那么a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，假设=x+y+z〔其中x、y、z∈R〕，那么P、A、B、C四点共面．A．1B．2C．3D．4考点：向量的共线定理．专题：综合题．分析：①由向量的运算法那么知正确②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，得出两向量反向．③向量共线的几何意义知所在的线平行或重合．④利用空间向量的根本定理知错．解答：解：易知只有①是正确的，对于②，|a|﹣|b|=|a+b|⇔=⇔⇔反向，故②错．对于③共线，那么它们所在直线平行或重合对于④，假设O∉平面ABC，那么、、不共面，由空间向量根本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．应选C．点评：此题考查向量的运算法那么、向量模的平方等于向量的平方、向量的几何意义、空间向量根本定理．8．〔5分〕〔2021•安徽〕〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是〔〕A．﹣3 B．﹣2 C．2D．3考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，故可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得；第一个因式取2，第二个因式取〔﹣1〕5，可得2×〔﹣1〕5=﹣2∴〔x2+2〕〔〕5的展开式的常数项是5+〔﹣2〕=3应选D．点评：此题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．9．〔5分〕〔2021•成都一模〕设集合S={1，2，3，4，5，6}，定义集合对〔A，B〕：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数为n，那么的值为〔〕A．B．C．D．考点：计数原理的应用．专题：计算题；概率与统计．分析：先确定满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数，再对满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论，可得满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数，从而可求概率．解答：解：∵S={1，2，3，4，5，6}，A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素，且A∪B=S，∴A={1，2，3}，B={4，5，6}，∴满足A∪B=S的集合对〔A，B〕的总个数为m=2满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论A={1，2，3}时，B={3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，4，5，6}，有7个，A={1，2，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A={1，3，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A={2，3，4}时，B={4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个当A={1，2，5}或A={1，3，5}或A={1，4，5}或A={1，2，3，5}或A={2，4，5}或A={3，4，5}时，B={5，6}，有6个，故满足A∩B≠∅的集合对〔A，B〕的总个数为n=22，那么=应选A．点评：此题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．10．〔5分〕〔2021•龙泉驿区模拟〕集合M={1，2，3}，N={1，2，3，4}，定义函数f：M→N．假设点A〔1，f〔1〕〕、B〔2，f〔2〕〕、C〔3，f〔3〕〕，△ABC的外接圆圆心为D，且，那么满足条件的函数f〔x〕有〔〕A．6个B．10个C．12个D．16个考点：分类加法计数原理；向量的共线定理．专题：压轴题．分析：此题从，说明△ABC是等腰三角形，f〔1〕=f〔3〕；M和N以即函数的理解，分类乘法计数原理的应用．解答：解：由，说明△ABC是等腰三角形，且BA=BC，必有f〔1〕=f〔3〕，f〔1〕≠f〔2〕；点A〔1，f〔1〕〕、当f〔1〕=1=f〔3〕时f〔2〕=2、3、4，三种情况．f〔1〕=f〔3〕=2；f〔2〕=1、3、4，有三种．f〔1〕=f〔3〕=3；f〔2〕=2、1、4，有三种．f〔1〕=f〔3〕=4；f〔2〕=2、3、1，有三种．因而满足条件的函数f〔x〕有12种．应选C点涉及向量，和三角形的转化，函数的定义；△ABC是等腰三角形，且BA=BC⇒f〔1〕评：=f〔3〕，这是解题的关键．二、填空题〔每小5题，总分值25分〕11．〔5分〕在〔1﹣x2〕20展开式中，如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等，那么T4r= ﹣15504X30．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得=，求得 r=4，可得 T4r=T16=•〔﹣x2〕15，运算求得结果．解答：解：由题意可得=，∴4r﹣1=r+1，或 4r﹣1+r+1=20，r∈N．解得 r=4，∴T4r=T16=•〔﹣x2〕15=﹣15504x30，故答案为﹣15504x30．点评：此题主要考查二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．12．〔5分〕高二某班要办文明礼仪的专刊，现有红、黄、白、绿、蓝五种颜色的粉笔供选用，要求在黑板中A、B、C、D每一局部只写一种颜色，如以下列图，相邻两块颜色不同，那么不同颜色的书写方法共有180 种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：利用分步乘法计数原理，按照A→B→C→D顺序依次写，注意相邻两块颜色不同．解答：解：第一步，先选一种颜色写黑板A局部，有5种选法；第二步，选一种颜色写黑板B局部，有4种选法；第三步，选一种颜色写黑板C局部，有3种选法；第四步，选一种颜色写黑板D局部，有3种选法，根据分步乘法计数原理，不同颜色的书写方法共有5×4×3×3=180〔种〕，故答案为：180．点评：此题考查简单计算原理，正确理解分步乘法计数原理及分类加法计数原理是解决该类问题的根底，属根底题．13．〔5分〕直线为α的法向量，上的投影为m，那么l与α的距离为|m| ．考点：点、线、面间的距离计算；平面向量数量积的含义与物理意义．专题：向量法；空间位置关系与距离．分析：作出示意图，把线面间距离转化为点A到平面的距离d，由图象得d=d=•|cos ＜，＞|=||，根据向量的投影定义即可求得答案．解答：解：如以以下列图所示：因为直线l∥α，A∈l，所以点A到平面α的距离即为直线l与α的距离，设为d，那么d=•|cos＜，＞|=||=|m|，所以直线l与α的距离为|m|，故答案为：|m|．点评：此题考查点、线、面间的距离计算及平面向量数量积的含义与物理意义，解决此题的关键是正确理解向量投影的定义，属中档题．14．〔5分〕F是抛物线C：y2=4x的焦点，A，B是C上的两个点，线段AB的中点为M〔2，2〕，那么△ABF的面积等于 2 ．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：利用点斜式设过M的直线方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，根据AB的中点坐标求得k，进而求得直线方程，求得AB的长度和焦点到直线的距离，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：设过M的直线方程为y﹣2=k〔x﹣2〕，由∴，，由题意，于是直线方程为y=x，x1+x2=4，x1x2=0，∴，焦点F〔1，0〕到直线y=x的距离∴△ABF的面积是×4×=2故答案为2点评：此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时涉及弦长问题，常用“韦达定理法〞设而不求计算弦长〔即应用弦长公式〕15．〔5分〕在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线BD1垂直的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：如图，易证明BD1⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有条直线与直线BD1垂直．与直线BD1垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A1C1B，共有直线条，而所有的直线共有条，从而求得任取一条，它与对角线BD1垂直的概率．解答：解：如图，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，P，Q分别为相应棱上的中点，容易证明BD1⊥正六边形EFGHIJ，此时在正六边形上有条直线与直线BD1垂直．与直线BD1垂直的平面还有平面ACB、平面NPQ、平面KLM、平面A1C1B，共有直线条．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱的中点共20个点，任取2点连成直线数为条直线〔每条棱上如直线AE，ED，AD其实为一条〕，故对角线BD1垂直的概率为．故答案为．点评：此题考查古典概型及其概率计算公式的应用，表达了分类讨论的数学思想，属于根底题．三、解答题〔总分值75分〕16．〔12分〕7名身高互不相等的学生，分别按以下要求排列，各有多少种不同的排法？〔1〕7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；〔2〕7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；〔3〕任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题；概率与统计．分析：〔1〕将较高的3个学生捆成一个元素，按“先捆绑，再松绑〞的方法即可求得答案；〔2〕最高的站在中间，从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边即可求得答案；〔3〕按先取后排〔先排第一列，再排第二列，最后排第三列〕即可．解答：解：〔1〕将较高的3个学生捆成一个元素，与另4个学生构成5个学生自由排列有种方法，捆成一个元素的三学生内部可自由排列，有种方法，∴共有•=720种；〔2〕∵最高的站在中间，∴从剩余的6名学生中选3名在左边，剩余的3人在右边，共有•=20种；〔3〕从7名身高互不相等的学生中选出6人有种方法，再从6人中任选2人排在第一列〔前矮后高〕，有种方法，再从剩余的4人中选2人排在第二列〔前矮后高〕，有种方法，最后剩余的两人排在第三列〔前矮后高〕，有一种方法，由分步乘法计数原理可得共有=630种方法．点评：此题考查排列、组合及简单计数问题，突出考查分步乘法计数原理的应用，考查理解与应用能力，属于中档题．17．〔12分〕表示焦点在y轴上的椭圆； q：直线y﹣1=k〔x+2〕与抛物线y2=4x有两个公共点．假设“p∨q〞为真，“p∧q〞为假，求k的取值范围．考点：复合命题的真假；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据方程表示焦点在y轴的椭圆，可得x2、y2的分母均为正数，且y2的分母较大，由此建立关于k的不等式，解之即得k的取值范围．再把直线方程代入抛物线方程消去x，求得方程得判别式，分别根据判别式大于0，求得k的范围．由复合命题的真值表，结合p∨q为真，p∧q为假，可得p和q一真一假，分类讨论后可得k的取值范围．解答：解：∵方程，表示焦点在y轴的椭圆，∴2﹣2k＞1+k＞0，解不等式得，故假设p为真命题，那么：，消去x得y2﹣y+2k+1=0△=4﹣k〔2k+1〕＞0，即，即时，直线与抛物线有二个公共点；假设q为真命题，那么：，又p∨q为真，p∧q为假，所以p和q一真一假．即p为真，q为假；或p为假，q为真．∴得k=0或．∴k的取值范围是k=0或．点评：此题考查含有字母参数的方程表示椭圆，直线与圆锥曲线的关系问题，复合命题的真假判断．属于根底题．18．〔12分〕如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC．〔Ⅰ〕证明：A1C⊥平面BED；〔Ⅱ〕求二面角A1﹣DE﹣B的大小．考点：直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：证明题；综合题；转化思想．分析：法一：〔Ⅰ〕要证A1C⊥平面BED，只需证明A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF 都垂直；〔Ⅱ〕作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H，说明∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角，然后解三角形，求二面角A1﹣DE﹣B的大小．法二：建立空间直角坐标系，〔Ⅰ〕求出，证明A1C⊥平面DBE．〔Ⅱ〕求出平面DA1E和平面DEB的法向量，求二者的数量积可求二面角A1﹣DE﹣B 的大小．解答：解：解法一：依题设知AB=2，CE=1．〔Ⅰ〕连接AC交BD于点F，那么BD⊥AC．由三垂线定理知，BD⊥A1C．〔3分〕在平面A1CA内，连接EF交A1C于点G，由于，故Rt△A1AC∽Rt△FCE，∠AA1C=∠CFE，∠CFE与∠FCA1互余．于是A1C⊥EF．A1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以A1C⊥平面BED．〔6分〕〔Ⅱ〕作GH⊥DE，垂足为H，连接A1H．由三垂线定理知A1H⊥DE，故∠A1HG是二面角A1﹣DE﹣B的平面角．〔8分〕，，．，．又，．．所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．〔〔12分〕〕解法二：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如以下列图直角坐标系D﹣xyz．依题设，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，E〔0，2，1〕，A1〔2，0，4〕．，．〔3分〕〔Ⅰ〕因为，，故A1C⊥BD，A1C⊥DE．又DB∩DE=D，所以A1C⊥平面DBE．〔6分〕〔Ⅱ〕设向量=〔x，y，z〕是平面DA1E的法向量，那么，．故2y+z=0，2x+4z=0．令y=1，那么z=﹣2，x=4，=〔4，1，﹣2〕．〔9分〕等于二面角A1﹣DE﹣B的平面角，所以二面角A1﹣DE﹣B的大小为．〔12分〕点评：此题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19．〔12分〕有甲乙两个箱子，甲箱中有6个小球，其中1个标记0号，2个小球标记1号，3个小球标记2号；乙箱装有7个小球，其中4个小球标记0号，一个标记1号，2个标记2号．从甲箱中取一个小球，从乙箱中取2个小球，一共取出3个小球．求：〔1〕取出的3个小球都是0号的概率；〔2〕取出的3个小球号码之积是4的概率；〔3〕取出的3个小球号码之积的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：〔1〕利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；〔2〕利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；〔3〕利用互斥事件和独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列即可得出．解答：解：〔1〕欲使取出3个小球都为0号，那么必是在甲箱中取出0号球并且在乙箱中从4个0号球中取出另外2个0号小球．记A表示取出3个0号球那么有：=．〔2〕取出3个小球号码之积是4的情况有：情况1：甲箱：1号，乙箱：2号，2号；情况2：甲箱：2号，乙箱：1号，2号记B表示取出3个小球号码之积为4，那么有：P〔B〕===．〔3〕取出3个小球号码之积的可能结果有0，2，4，8设X表示取出小球的号码之积，那么有：P〔X=0〕==，P〔X=2〕==，P〔X=4〕==，．所以分布列为：X 0 2 4 8P点评：熟练掌握互斥事件和独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列是解题的关键．20．〔13分〕杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家、杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：〔1〕求第20行中从左到右的第4个数；〔2〕假设第n行中从左到右第14与第15个数的比为，求n的值；〔3〕求n阶〔包括0阶〕杨辉三角的所有数的和；〔4〕在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中〔从右上到左下〕前k 个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m、k〔m，k∈N×〕的数学公式表示上述结论，并给予证明．第0行 1 ………………………………第1斜列第1行 1 1 ……………………………第2斜列第2行 1 2 1 …………………………第3斜列第3行 1 3 3 1 ………………………第4斜列第4行 1 4 6 4 1 ……………………第5斜列第5行 1 5 10 10 5 1 …………………第6斜列第6行 1 6 15 20 15 6 1 ………………第7斜列第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 ……………第8斜列第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 …………第9斜列第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 ………第10斜列第10行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 ……第11斜列第11行111 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 …第12斜列11阶杨辉三角考点：二项式定理的应用．专题：探究型．分析：〔1〕据第20行各个数是〔a+b〕20的展开式的二项式系数〔2〕据杨辉三角中第n行中的各个数是〔a+b〕n的展开式的二项式系数，列出方程解得．〔3〕据各行的所有数和是各个二项式的二项式系数和，〔a+b〕n的二项式系数和为2n得解．〔4〕利用二项式系数的性质C n m﹣1+C n m=C n+1m证明．解答：解：〔1〕C203=1140〔2〕由，即，解得n=34〔3〕1+2+22+…+2n=2n+1﹣1〔4〕C m﹣1m﹣1+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=C m+k﹣1m证明：左式=C m﹣1m﹣1+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=C m m+C m m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1C m+1m+C m+1m﹣1+…+C m+k﹣2m﹣1=…=C m+k﹣2m+C m+k﹣2m﹣1=右式点评：此题考查二项式系数、二项式系数和公式、二项式系数性质等．21．〔14分〕〔2021•湖南〕如图，椭圆C1：=1〔a＞b＞0〕的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．〔Ⅰ〕求C1，C2的方程；〔Ⅱ〕设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E．〔i〕证明：MD⊥ME；〔ii〕记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l ，使得=？请说明理由．考点：圆锥曲线的综合．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：〔Ⅰ〕先利用离心率得到一个关于参数的方程，再利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长得另一个方程，两个方程联立即可求出参数进而求出C1，C2的方程；〔Ⅱ〕〔i〕把直线l的方程与抛物线方程联立可得关于点A、B坐标的等量关系，再代入求出k MA•k MB=﹣1，即可证明：MD⊥ME；〔ii〕先把直线MA的方程与抛物线方程联立可得点A的坐标，再利用弦长公式求出|MA|，同样的方法求出|MB|进而求出S1，同理可求S2．再代入就可知道是否存在直线l 满足题中条件了．解答：解：〔Ⅰ〕由题得e=，从而a=2b，又2=a，解得a=2，b=1，故C1，C2的方程分别为，y=x2﹣1．〔Ⅱ〕〔i〕由题得，直线l的斜率存在，设为k，那么直线l的方程为y=kx，由得x2﹣kx﹣1=0．设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1，又点M的坐标为〔0，﹣1〕，所以k MA•k MB==== =﹣1．故MA⊥MB，即MD⊥ME．〔ii〕设直线MA的斜率为k1，那么直线MA的方程为y=k1x﹣1．由，解得或．那么点A的坐标为〔k1，k12﹣1〕．又直线MB的斜率为﹣，同理可得点B的坐标为〔﹣，﹣1〕．于是s1=|MA|•|M B|=•|k1|••|﹣|=．由得〔1+4k12〕x2﹣8k1x=0．解得或，，那么点D的坐标为〔，〕．又直线ME的斜率为﹣．同理可得点E的坐标为〔，〕．于是s2=|MD|•|ME|=．故=，解得k12=4或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线存在，且有两条，其方程为y=x和y=﹣x．点评：此题是对椭圆与抛物线以及直线与抛物线和直线与椭圆的综合问题的考查．是一道整理过程很麻烦的题，需要要认真，细致的态度才能把题目作好．。
湖北省宜昌市高二下学期数学3月月考试卷
湖北省宜昌市高二下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）已知直线 l、m，平面、且，则是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2017高一上·福州期末) 如下图，梯形中，∥, , ,,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，并且平面平面 .给出下面四个命题：① ；②三棱锥的体积为；③ 平面；④平面平面 .其中正确命题的序号是（）A . ①②B . ③④C . ①③D . ②④3. （2分）如图，正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的余弦值是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二下·上海月考) 若 (是虚数单位),则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）(2016·天津文) i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为________．6. （1分）(2019·和平模拟) 如果（表示虚数单位），那么________.7. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是________.①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则8. （1分） (2018高二下·海安月考) 已知复数z满足：z(1－i)＝2＋4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为________．9. （1分）(2019高二下·上海月考) 已知 (是虚数单位),定义:给出下列命题:⑴对任意都有⑵若是的共轭复数,则恒成立；⑶若则⑷对任意结论恒成立.则其中所有的真命题的序号是________.10. （1分） (2020高三上·青浦期末) 若复数（是虚数单位），则的模为________11. （1分） (2015高二下·霍邱期中) 若i（x+yi）=3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是________．12. （1分） (2019高二下·徐汇月考) 由正方体各个面的对角线所确定的平面共有________个13. （1分）直线y=x+b，b∈R与圆x2+y2+2x=0相切的充要条件是b∈________．14. （1分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=________15. （1分） (2017高二上·江苏月考) 已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为3，则该棱锥的高为________.16. （1分） (2018高二下·中山月考) 已知复数，且，则的最大值为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （5分） (2015高二下·河南期中) 已知复数z=（2m2+3m﹣2）+（m2+m﹣2）i，（m∈R）根据下列条件，求m值．（1） z是实数；（2） z是虚数；（3） z是纯虚数；（4） z=0．18. （10分）已知复数满足:求的值.19. （10分）已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.（1）求证：直线EF与BD是异面直线；（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.20. （10分） (2020高二上·吉林期末) 如图，正方体的棱长为，为棱的中点.（1）求与所成角的大小；（2）求与平面所成角的正弦值.21. （15分） (2018高二下·上海月考) 复数所对应的点在点及为端点的线段上运动，复数满足，求：（1）复数模的取值范围；（2）复数对应的点的轨迹方程.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分)17-1、17-2、17-3、17-4、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
湖北省宜昌市高二下学期数学3月月考试卷
湖北省宜昌市高二下学期数学3月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分）（2015·重庆）""是”“的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）(2020·江西模拟) 已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1 ， S2 ，则 =（）A . 2B . 4C . 4D . 83. （2分） (2018高二上·长安期末) 已知双曲线C：(a>0，b>0)与直线交于其中，若 ,且 ,则双曲线C的渐近线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）如图，半圆的直径AB=4，O为圆心，C为半圆上不同于A,B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值等于（）A . 2B . -2C . -1D . 0二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）(2018·天津模拟) 已知复数，，则在复平面内所对应的点位于第________象限．6. （1分）(2017·上海模拟) 若关于x，y，z的三元一次方程组有唯一解，则θ的取值的集合是________．7. （1分） (2016高二上·嘉定期中) 设 =（2k+2，4）， =（k+1，8），若∥ ，则k的值为________．8. （1分） (2016高二上·绍兴期中) 设双曲线x2﹣ =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是________9. （1分）(2017·泰州模拟) 已知双曲线的离心率为2，那么该双曲线的渐近线方程为________．10. （1分）(2018·茂名模拟) 设椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，为椭圆下半部分上一点，若椭圆在处的切线平行于，且椭圆的离心率为，则直线的斜率是________．11. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xoy中，若直线l与圆C1：x2+y2=1和圆C2：（x﹣5 ）2+（y﹣5 ）2=49都相切，且两个圆的圆心均在直线l的下方，则直线l的斜率为________．12. （1分） (2019高二下·上海月考) 如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为________．13. （1分）已知方程x2﹣px+1=0（p∈R）的两根为x1、x2 ，若|x1﹣x2|=1，则实数p的值为________ ．14. （1分）(2016·浙江文) 如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，∠ADC=90°，沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．15. （1分）(2018·杭州模拟) 在中，角所对的边分别为若对任意 ,不等式恒成立，则的最大值为________.16. （1分）(2020·漳州模拟) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分） (2019高二上·长春月考) 求满足条件：过直线和直线的交点，且与直线垂直的直线方程.18. （10分） (2017高一下·景德镇期末) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．19. （10分）已知复数z=3+bi，b为正实数，且（z﹣2）2为纯虚数（1）求复数z；（2）若w=，求复数w的模|w|．20. （15分） (2017高三下·黑龙江开学考) 已知顶点为原点O的抛物线C1的焦点F与椭圆C2： =1（a＞b＞0）的右焦点重合，C1与C2在第一和第四象限的交点分别为A、B．（1）若△AOB是边长为2 的正三角形，求抛物线C1的方程；（2）若AF⊥OF，求椭圆C2的离心率e；（3）点P为椭圆C2上的任一点，若直线AP、BP分别与x轴交于点M（m，0）和N（n，0），证明：mn=a2．21. （15分）已知正方形的中心为直线和的交点，正方形一边所在直线的方程为，求其他三边所在直线的方程.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共12题；共12分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共60分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、。
2021年高二3月阶段测试数学(理)试题含答案
2021年高二3月阶段测试数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若，则（）A． B． C． D．2．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内的极值点有（）A．1个 B．2个 C． 3个 D．4个3．已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则（）A． B． C． D．24．设函数，则下列结论正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数在上单调递减C．若，则函数的图象在点处的切线方程为D．若，则函数的图象与直线只有一个公共点5．定积分的值为（）A． B． C． D．6．已知函数，则其导函数的图象大致是（）7．已知（），计算得，，，，，由此推算：当时，有（）A.（）B.（）C.（）D.（）8．若函数（）在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.9．如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的阴影部分区域，则阴影部分的面积为（）A． B．C． D．10．已知定义在实数集R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为（）A． B． C． D．第 II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数的导函数为，且满足，则．12．函数的单调递增区间是．13．计算定积分．14．若，，，…，N，则．15．已知函数的图象如图所示，它与直线在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题12分）求函数的极值点。
17(本小题满分12分)求函数的单调区间。
18．(本小题满分12分)求由曲线与直线所围成平面图形的面积19. （本小题12分）设直线为曲线在点处的切线（1）求的方程。
（2）证明：除切点之外，曲线在直线的下方。
湖北省宜昌市长阳县高二下学期数学3月月考试题(理)(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！湖北省宜昌市长阳县高二数学3月月考试题 理本卷满分150分，选择题12小题共60分，填空题4小题共20分，解答题6小题共70分一、选择题(本题12小题共60分，请将唯一正确答案的序号填涂在答题卡对应位置) 1.已知三个集合B A U ,,及元素间的关系如图所示，则=B A C U )(（ ） A.{5，6} B.{3，5，6} C.{3} D.{0，4，5，6，7，8} 2.已知随机变量X 服从正态分布)41,3(N ，且1587.0)27(=>X P ， 则=≤≤)2725(X P ( ) A.0.6588 B.0.6883 C.0.6826 D.0.65863.命题“01,20300>+-∈∃x x R x ”的否定是（ ）A. 01,2030≤+-∈∀x x R xB. 01,20300<+-∈∃x x R x C. 01,20300≤+-∈∃x x R x D. 01,2030>+-∈∀x x R x4.若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-+00202y y x y x ，则对于y x z -=2（ ）A.在)0,2(-处取得最大值B.在)2,0(处取得最大值C.在)0,2(处取得最大值D.无最大值 5.已知1:-≤x p ，2:+<≤a x a q ，若q 是p 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ） A.]1,(-∞ B.),3[+∞ C.]3,(--∞ D.),1[+∞6.已知点)3,2(-A 、)2,3(--B ，若直线01=--+k y kx 与线段AB 相交，则k 的取值范围是（ ） A.434≥-≤k k 或 B.434≤≤-k C. 443≥-≤k k 或 D. 4415≤≤-k 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是 某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A.16 B.316C.32D.488.圆0138222=+--+y x y x 与直线01=-+y ax 的相交所得弦长为32，则=a （ ）A.34-B.43- C.3 D.2 第1题图第7题图第15题图9.5)21)(2(x x -+展开式中，2x 项的系数为（ ） A.30 B.70 C.90 D.-15010.双曲线13222=-y ax 的一条渐近线被圆4)2(22=+-y x 所截弦长为2，则该双曲线的实轴长为（ ）A.1B.2C.3D.611.已知多项式1010992210103)1()1()1()1(++++⋅⋅⋅+++++=+x a x a x a x a a x x ，则=2a （ ）A.32B.42C.46D.5612.椭圆)0(222>=+k k ky x 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则该椭圆的离心率是（ ） A.23 B.22 C.36 D.33 二、填空题(本题4小题共20分，请将最终结论填下在答题卡对应位置) 13.某苗圃对一批即将出售的树苗进行了抽样统计， 得到苗高（单位：cm ）的频率分布直方图如图． 若苗高属于区间[100，104）的有4株，则苗高属于 区间[112，116]的有 ______ 株．14.供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨） 与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．请根据下表提供的数据(其中7.0ˆ=b,a x b y ˆˆ+=)，用最小二乘法求出y 关于x 的 线性回归方程___ __ ．x 3 4 5 6 y 2.5 344.515.如右图是一程序框图，则输出结果为 ______ ．16.如图，一环形花坛分成D C B A ,,,四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花， 且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 ______ ．三、解答题(本题6小题共70分，请写出必要的解答过程) 17.（本题满分10分）为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生 中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：第13题图第16题图附：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少一名男生的概率。
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宜昌市一中2017年春季学期高二年级3月阶段检测试题
理 科 数 学
本试题卷共4页，共22题。
满分150分。
考试用时120分钟。
命题人：吴海涛 审题人：陈永林
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共12小题，共60分
1．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≥-,则p ⌝为
A.00,sin 1x R x ∃∈≤-
B.00,sin 1x R x ∃∈<-
C.00,sin 1x R x ∀∈≤-
D.00,sin 1x R x ∀∈<-
2.若直线12:230,:(1)40l ax y a l x a y +++=+++=平行，则a 的值是（ ） A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1或2
3．已知条件p ：12x +>，条件q ：256x x ->，则￢p 是￢q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4.已知点P 在圆07442
2=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为
122-，
则实数k =( )
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．2
5．某班有34位同学，座位号记为01，02，…34，用如图的随机数表选取5组数作为参加
青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是（ ）
A ．23
B ．09
C ．02
D ．16
6.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值为5,则判断框内应填入 （ ） A ．2?k <
B ．3?k <
C ．4?k <
D ．5?k <
7．某住宅小区有1500名户，各户每月的用电量近似服从正态分布N （200，100），则月用电量在220度以上的户数估计约为（ ）
（参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2
），则P （μ-σ＜X ≤μ+σ）=0.6826，P （μ-2σ＜X ≤μ+2σ）=0.9544，P （μ-3σ＜X ≤μ+3σ）=0.9974） A.17 B.23 C.34 D.46 8．在下列各数中，最大的数是（ ）
A ． (9)85
B ．(6)210
C ．(4)1000
D ．(2)11111
9．已知多项式5432()42 3.5 2.6 1.70.8f x x x x x x =++-+-，用秦九韶算法算(5)f 时,V 1的值为（ ）
A ．22
B ．564.9
C ．20
D ．14130.2
10．如图，在半径为R 的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
11．如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且
图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A ．288种 B ．264种 C ．240种 D ．168种
12.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若FA AP λ=错误！未找到引用源。
，BF FA μ=，
11,42λμ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,则μ的取值范围是( ) A. 41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦错误！未找到引用源。
B. 4,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦错误！未找到引用源。
C.[2，
3] D.[3，4]
二、填空题：本大题共4小题，共20分
13. 在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，
若已知11A B =，11D A =，
A A 1=c .则向量M
B 1 = 。
14. 已知5
(cos 1)x θ+的展开式中2x 的系数与45
()4
x +的展开式中3x 的系数相等，则
cos θ＝____。
15.
椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若2ABF 的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则
12y y -的值为________．
16.已知函数()f x 的定义域为[-1,5], 部分对应值如下表，()f x
的导函数()y f x '=的图像如图所示。
下列关于()f x 的命题： ①函数()f x 的极大值点为0, 4； ②函数()f x 在[0,2]上是减函数；
③如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值为2，那么t 的最大值为4； ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、2、3、4个. 其中正确命题的序号___ _____.(写出所有正确命题的序号)
三、解答题：本大题共6小题，共70分
17. （本小题满分10分）已知命题p ：对[]1,1m ∈-，
不等式2
53a a --≥命题q ：不等式2
20x ax ++<有解,若p 是真命题，q 是假命题，求a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）,下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及方差。
19．（本小题满分12分）某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在170～175cm 的男生人数有16人． （1）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？
（2）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大的把握认为“身高与性别有关”？
参考公式：K 2=错误！未找到引用源。
20．（本小题满分12分）已知函数()()x
f x ax e a R =-∈，ln ()x
g x x
=. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）0(0,)x ∃∈+∞,使不等式 ()()x f x g x e ≤-成立，求a 的取值范围。
21．（本小题满分12分）如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB=BE=2． （1）求证：EG ∥平面ADF ；
（2）设H 为线段AF 上的点，且AH=HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值．
22. （本小题满分12分）如图，曲线Γ由两个椭圆T 1：22
221(0)x y a b a b +=>>和椭圆T 2：
22
22
1(0)y x b c b c +=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”． （1）若猫眼曲线Γ过点
，且,,a b c 的公比为
，求猫眼曲线Γ的方程；
（2）对于题（1）中的猫眼曲线Γ，任作斜率为(0)k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，
交椭圆T 1所得弦的中点为M ，交椭圆T 2所得弦的中点为N ，求证：
OM
ON
k k 为与k 无关的定值； （3
l 为椭圆T 2的切线，且交椭圆T 1于点A ，B ，N 为椭圆T 1上的任意一点（点N 与点A ，B 不重合），求△ABN 面积的最大值．。