21.3极差、方差与标准差-21.3.1
极差方差标准差公式
极差方差标准差公式方差、标准差和极差是统计学中常用的三种描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍极差、方差和标准差的概念、计算公式及其在实际应用中的意义。
首先，我们来介绍极差的概念。
极差是用来衡量一组数据中最大值和最小值之间的差距的统计量。
它可以简单地用最大值减去最小值来计算，即：极差 = 最大值最小值。
极差可以直观地反映出数据的波动程度，但它只考虑了最大值和最小值，对数据的整体分布情况并不十分准确。
因此，我们需要引入方差和标准差这两个指标来更全面地描述数据的分散程度。
接下来，我们将介绍方差的概念及其计算公式。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它是各数据与其均值之差的平方的平均数。
方差的计算公式如下：方差= Σ（Xi X）^2 / n。
其中，Xi代表第i个数据点，X代表数据的均值，n代表数据的个数。
通过计算各数据与均值之差的平方并求平均数，可以得到数据的方差。
方差越大，数据的离散程度越高，反之则越低。
最后，我们将介绍标准差的概念及其计算公式。
标准差是方差的平方根，它是数据离散程度的一种度量，通常用来衡量数据的波动情况。
标准差的计算公式如下：标准差= √方差。
标准差的计算方法与方差密切相关，通过对方差取平方根，可以得到数据的标准差。
标准差越大，数据的波动越剧烈，反之则越平稳。
在实际应用中，极差、方差和标准差都是重要的统计指标，它们可以帮助我们更准确地了解数据的分布情况，从而进行科学的数据分析和决策。
例如，在财务分析中，我们可以利用这些指标来评估投资组合的风险；在质量控制中，我们可以利用这些指标来评估产品质量的稳定性；在市场营销中，我们可以利用这些指标来评估市场需求的波动情况等等。
综上所述，极差、方差和标准差是描述数据分散程度的重要统计指标，它们在数据分析和研究中具有重要的意义。
通过对这些指标的深入理解和应用，我们可以更好地把握数据的特征和规律，为科学决策提供可靠的依据。
《极差方差与标准差》课件
在统计分析中，标准差是描述数据 分布的重要参数之一，可以帮助我 们了解数据的离散程度和波动情况 。
05
极差、方差与标准差的关 系
三者之间的关系
01
02
03
极差
表示数据分布的离散程度 ，计算公式为最大值减去 最小值。
方差
表示数据偏离平均值的程 度，计算公式为每个数据 点与平均值的差的平方和 的平均值。
案例三：标准差在人力资源管理中的应用
总结词
评估员工绩效稳定性
详细描述
标准差用于评估员工绩效的稳定性，通过计算员工绩效数据的离散程度，可以了解员工工作表现是否 稳定可靠，为人力资源管理和员工培训提供参考依据。
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标准差的值越大，表示数据点越离散 ；标准差的值越小，表示数据点越集 中。
计算公式：标准差 = sqrt[(1/N) * Σ(xi-μ)^2]，其中xi是数据点，μ是平 均值，N是数据点的数量。
标准差的计算方法
手动计算
适用于数据量较小的情况，可以通过 逐一计算每个数据点与平均值的差的 平方，然后求和，最后除以数据点的 数量得到标准差。
标准差
是方差的平方根，表示数 据点与平均值的偏离程度 。
三者在数据分析中的作用
极差
用于初步了解数据的分布 范围，判断数据的离散程 度。
方差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，帮助了解数 据的稳定性。
标准差
用于量化数据点与平均值 的偏离程度，常用于金融 、统计学等领域。
06
案例分析
案例一：极差在金融领域的应用
课程目标
知识目标
掌握极差、方差与标准差的计算方法 ，理解其数学意义。
能力目标
极差方差标准差
极差、方差和标准差在统计学中，极差、方差和标准差是用来衡量数据分布离散程度的重要指标。
它们能够帮助我们了解数据的变异程度，从而更好地理解和分析数据。
本文将介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法以及在实际应用中的意义。
1. 极差极差是最简单的衡量数据分布离散程度的指标，它是数据集中最大值与最小值之间的差值。
极差可以帮助我们判断数据的取值范围，并了解数据的变化幅度。
1.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，极差可通过以下公式计算：Range = Max - Min其中，Max表示数据集中的最大值，Min表示数据集中的最小值。
1.2 例子下面以一个数据集为例来计算极差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9最大值为9，最小值为1，因此极差为9 - 1 = 8。
2. 方差方差是衡量数据分布离散程度的常用指标，它能够帮助我们了解数据的分散程度。
方差的值越大，数据集的离散程度就越高。
方差可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
2.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，方差可通过以下公式计算：Variance = (Σ(xi - x̄)^2) / n其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
2.2 例子下面以一个数据集为例来计算方差。
数据集：1, 3, 5, 7, 9首先，计算数据集的均值：(1 + 3 + 5 + 7 + 9) / 5 = 5。
然后，计算每个观测值与均值的差的平方，并求和：(1 - 5)^2 + (3 - 5)^2 + (5 - 5)^2 + (7 - 5)^2 + (9 - 5)^2 = 32。
最后，将求和结果除以观测值的个数：32 / 5 = 6.4。
因此，方差为6.4。
3. 标准差标准差是方差的平方根，它是衡量数据分布离散程度的常用指标之一。
标准差能够帮助我们了解数据的分散程度，并与均值进行比较。
标准差的值越大，表示数据的离散程度越高。
3.1 计算方法假设有一个包含n个观测值的数据集，标准差可通过以下公式计算：Standard Deviation = √(Σ(xi - x̄)^2 / n)其中，xi表示第i个观测值，x̄表示数据集的均值，Σ表示求和。
极差 方差 标准差
极差方差标准差极差是指一组测量值内最大值与最小值之差，又称范围误差或全距，以R表示。
它是标志值变动的最大范围，它是测定标志变动的最简单的指标。
极差没有充分利用数据的信息，但计算十分简单，仅适用样本容量较小（n<10)情况。
方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数。
在概率论和数理统计中，方差（英文Variance）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。
在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，是各数据偏离平均数的距离平方的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0,5,9,14} 和{5,6,8,9} 其平均值都是7 ，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
极差.方差与标准差(知识点讲解)
极差.方差与标准差(知识点讲解)极差、方差与标准差一、本节知识导学本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通过例题发现极差（最大值-最小值）的作用：用来表示数据高低起伏的变化大小；同时也希望同学们通过深入思考发现极差的不足之处：极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他数据的波动情况不敏感。
因此有必要重新找一个对整组数据的波动情况更敏感的指标, 构造方差前请同学们注意以下几个方面： 1．为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减。
2．为什么要“平方”。
3．为什么“求平均数”比“求和”更好。
同时请同学们意识到：比较两组数据的方差有一个前提条件是，两组数据要一样多。
对于方差的学习，重点在于方差公式的导出和对于方差概念的理解，而不是数字的计算，应充分利用计算器和计算机去完成繁杂的计算。
对于方差与标准差之间除了计算公式不一样，数量单位也不一样但通过求算术平方根运算又可以将他们联系在一起。
二、例题1．不通过计算，比较图中（1）（2）两组数据的平均值和标准差分析：平均值是反映一组数据的平均水平，标准差是反映一组数据与其平均值的离散程度。
本例不通过计算，从折线图来估算标准差，应先估算平均值的大小。
解：从图（1）（2）中可以看出，两组数据的平均值相等。
（图（1）中数据与图（2）中前10个数据相等, 且图（2）中后几个数据不影响平均值）。
图（1）的标准差比图（2）的标准差大。
（因为图（1）中各数据与其平均值离散程度大，图（2）中前10个数据与其平均值的离散程度与图（1）相同，而后几个数据与其平均值的离散程度小。
因此整体上说图（2）所有数据与其平均值的离散程度小于图（1）。
）2．求下列数据的方差（小数点后保留两位）：5，7，9，9，10，11，13，14。
分析：要求方差，必须先求平均数。
解：= （5+7+9+9+10+11+13+14）=9.75方差s 2= =7.69[（5-9.75）2+(7-9.75)2+……+(14-9.75) 2]3．求下列一组数据的极差、方差和标准差（小数点后保留两位）：50，55，96，98,65，100，70，90，85，100分析：由于标准差是方差的变形所以一般情况下先求方差解：极差为100-50=50平均数为=（50+55+96+98+65+100+70+90+85+100）=80.9方差为：s 2= =334.69 标准差为：s=[(50-80.9)2+(55-80.9)2+……+(100-80.9) 2]=18.294．在某次数学竞赛中，甲、乙两班的成绩如下已经算出两班的平均数都是80分，请你根据已有的统计知识分析两个班的成绩。
极差方差标准差公式
极差方差标准差公式极差、方差和标准差是统计学中常用的三个描述数据分散程度的指标，它们在数据分析和统计推断中具有重要的作用。
本文将对极差、方差和标准差的计算公式进行详细介绍，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
首先，我们来介绍极差的计算公式。
极差是用来衡量数据集中最大值和最小值之间的差异程度的指标，它的计算公式非常简单，即最大值减去最小值。
假设我们有一个包含n个观测值的数据集X，其中最大值为X_max，最小值为X_min，则极差R的计算公式为：R = X_max X_min。
接下来，让我们来了解方差的计算公式。
方差是用来衡量数据集中各个数据与其均值之间的偏离程度的指标，它的计算公式如下：首先计算每个数据与均值的差值的平方，然后对这些平方差值求和并除以观测值的个数n。
假设数据集X的均值为X_mean，则方差的计算公式为：$$。
S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i X_{mean})^2。
$$。
其中，S^2表示样本方差，n表示观测值的个数，X_i表示第i个观测值，X_{mean}表示观测值的均值。
最后，让我们来介绍标准差的计算公式。
标准差是方差的平方根，它的计算公式为：$$。
S = \sqrt{S^2}。
$$。
标准差是衡量数据集中数据离散程度的重要指标，它的计算公式简单明了，是方差的平方根。
综上所述，极差、方差和标准差是描述数据分散程度的重要指标，它们的计算公式分别为极差R=X_max-X_min，方差S^2=1/nΣ(Xi-X_mean)^2，标准差S=√(S^2)。
通过对这些指标的计算和理解，我们可以更好地分析和解释数据的分布特征，为后续的统计推断和数据分析奠定基础。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和运用极差、方差和标准差这些重要的统计学概念。
极差方差标准差
极差方差标准差极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们在数据分析和研究中起着重要的作用。
本文将分别介绍极差、方差和标准差的概念、计算方法和应用场景，帮助读者更好地理解和运用这三种统计指标。
首先，我们来介绍极差。
极差是用来衡量数据的离散程度的指标，它是一组数据中最大值和最小值之间的差值。
计算极差的方法非常简单，只需将数据中的最大值和最小值相减即可得到极差。
例如，对于一组数据{3, 5, 7, 9, 11}，最大值为11，最小值为3，因此极差为11-3=8。
极差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。
在实际应用中，极差常常用来描述一组数据的波动情况，例如股票价格的波动范围、温度的变化范围等。
接下来，让我们来了解方差。
方差是描述一组数据离散程度的统计量，它衡量的是每个数据点与数据集平均值的偏离程度。
方差的计算方法是将每个数据点与平均值的差的平方求和，然后除以数据点的个数。
简单来说，方差就是数据偏离平均值的程度的平均值。
方差越大，说明数据点偏离平均值的程度越大，数据的波动性也就越大。
在实际应用中，方差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在金融领域中用来衡量投资组合的风险。
最后，让我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它是描述一组数据离散程度的常用指标。
标准差可以帮助我们更直观地理解数据的波动情况，因为它的数值与原始数据的单位保持一致。
计算标准差的方法是先计算方差，然后将方差的平方根作为标准差。
标准差越大，说明数据的波动范围越大，反之则波动范围较小。
在实际应用中，标准差常用来衡量一组数据的稳定性和可靠性，例如在质量控制中用来衡量产品质量的稳定性。
综上所述，极差、方差和标准差是统计学中常用的三种测量数据离散程度的方法，它们分别从不同角度描述了数据的波动情况。
通过对这三种指标的理解和应用，我们可以更好地分析和理解数据，为决策提供有力的支持。
希望本文能够帮助读者更好地掌握极差、方差和标准差的概念和应用，提升数据分析能力。
21.3极差、方差与标准差
根据两段时间的气温情况绘成折线图如下：
25 20 15 10 5 0 2001年 2002年
日
日
日
日
日
日
日 27
21
22
23
24
25
26
结论:2001年的2月下旬的气温变化幅 度大于2002年同期的变化幅度.
28
日
极差=最大值-最小值
问：2001年2月下旬上海的气温的极差是多少？
22-6=16
2002年同期的上海的气温的极差又是多少？ 16-9=7
仔细观察
测试次数 小明 小兵 1 13 10
小明和小兵两人参加体育项目训 练，近期的五次测试成绩如下表所示。
2 14 13
3 13 16
4 12 14
5 13 12
平均 13 13
体育项目测试成绩折线图
18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 小明 小兵
从表和图中可以看到，小兵的测试成 绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加 以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加 吗？在下表中写出你的计算结果。
探索思考
请你提出一个可行的方案，在表 的格子中写上新的计算方案，并将计 算结果填入表中。
1 2 3 4 13 14 13 12 0 1 -1 0 0 1 0 1 5 13 0 0 求和 平均 13 65 0 0 2 65 0 20 0.4 13 0 4
小 明
每次测试成绩
每次成绩—平均成绩
（每次测试成绩-平均成绩）2
S
标准差=
2
2 ，方差 = 标准差 方差
计算问题2中小明、小兵五次测试成绩的 标准差，谁的成绩稳定？
八年级数学下册第21章数据的整理与初步处理21.3极差方差与标准差习题课件华东师大版
1×0.544 6=0.108 92≈0.11.
5
S乙2 甲0, 的极差为11.94-11.01=0.93,乙的极差为0.
1.(2012·达州中考)2011年达州市各县(市、区)的户籍人口统 计表如下：
则达州市各县(市、区)人口数的极差和中位数分别是( )
(A)145万人 130万人
(B)103万人 130万人
S甲2 S…乙2 .……………………7分 答：乙山上的杨梅产量较稳定.
看平均数，还要比较方 差的大小.
………………………………………………………………8分
【规律总结】
计算方差时的规律
【跟踪训练】
4.(2012·盐城中考)甲、乙、丙、丁四人进行射击测试,每人10
次射击的平均成绩恰好都是9.4环,方差分别是 S甲2 0.90,S乙2 1.22,
S丙2 0.43,S丁2 1.68.在本次射击测试中,成绩最稳定的是( )
(A)甲
(B)乙
(C)丙
(D)丁
【解析】选C.成绩的稳定性决定于方差的大小，方差越小的越稳
定，故选C.
5.已知一个样本1,3,2,5,4,则这个样本的标准差为________.
【解析】样本的平均数 x 1 3 1 4 2 5 3,
【规范解答】 (1)甲山上4棵树的产量分别为： 50千克、36千克、40千克、34千克, ∴甲山产量的样本平均数为： x 50 36 40 34… …40(…千…克…)；…………………1分
4
乙山上4棵树的产量分别为： 36千克、40千克、48千克、36千克,
∴乙山产量的样本平均数为： x 36 40 48 36… …40…(千…克…)；……………………2分
方差与标准差 【例2】(8分)王大伯几年前承办了甲、乙两片荒山,各栽100棵 杨梅树,成活98%,现已挂果,经济效益初步显现,为了分析收成情 况,他分别从两山上随意各采摘了4棵树上的杨梅,每棵的产量如 折线统计图所示. (1)分别计算甲、乙两山样本的平均数,并估算出甲、乙两山杨 梅的产量总和；
方差极差标准差公式
方差极差标准差公式方差、极差和标准差是统计学中常用的概念，它们可以帮助我们衡量数据的离散程度和波动性。
在实际应用中，我们经常需要计算和理解这些指标，以便更好地分析数据并做出相应的决策。
本文将对方差、极差和标准差的计算公式进行详细介绍，并且说明它们在实际中的应用。
方差是衡量数据离散程度的一种统计指标，它的计算公式为，方差=Σ(xi-μ)²/n，其中Σ代表求和，xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，n代表数据的个数。
方差的计算过程是先计算每个数据点与均值的差值，然后将差值的平方求和并除以数据个数。
方差越大，代表数据的离散程度越高；方差越小，代表数据的离散程度越低。
极差是一组数据中最大值与最小值之间的差异，它的计算公式为，极差=最大值-最小值。
极差可以直观地反映数据的波动情况，但它只考虑了最大值和最小值，没有考虑其他数据点的情况，因此在一些情况下，极差并不能完全反映数据的离散程度。
标准差是方差的平方根，它的计算公式为，标准差=√方差。
标准差是衡量数据波动性的一种常用指标，它不仅考虑了数据与均值的偏离程度，还考虑了数据的数量级。
标准差越大，代表数据的波动性越高；标准差越小，代表数据的波动性越低。
在实际应用中，方差、极差和标准差经常用于金融、经济、科学等领域。
比如在金融领域，投资组合的波动性常用标准差来衡量；在经济领域，通货膨胀率的波动程度可以用标准差来评估；在科学研究中，实验数据的稳定性可以通过方差来分析。
总之，方差、极差和标准差是统计学中常用的衡量数据离散程度和波动性的指标，它们可以帮助我们更好地理解和分析数据。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的指标来衡量数据的离散程度和波动性，从而更好地进行决策和分析。
21.3极差、方差与标准差 第1课时 学案
21.3《极差、方差与标准差》第1课时学案教学目标：知识与技能：了解刻画数据离散程度的三个量的概念，能借助计算器求出相应标准差和方差。
过程与方法：能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并解决实际问题。
情感、态度与价值观：主动参与探究活动，开拓思路，在复杂的关系中寻找问题关键。
教学重点：理解识记方差公式，灵活运用方差公式解题。
教学难点：灵活运用方差公式解决实际问题。
研讨过程：一、情境导入1．某学校初三一班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)!统计如下：甲：65 94 95 98 98乙：62 71 98 99 100(1)分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数.(2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数.2．P150问题1（1）从表中可以看出，2001年2月下旬和2002年同期的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．我们可以由此认为2002年2月下旬的气温总体上比2001年同期高吗?（2）比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法．请求平均数。
（3）经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．这是不是说，两个时段的气温情况总体上没有什么差异呢?本课我们来学习“表示一组数据离散程度的指标”二、探索新知1．极差根据两段时间的气温情况绘成折线图.观察它们有差别吗?通过观察，可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大)从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃.思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小?引导学生得出极差：我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为 .练习：1．求下列各题中的极差(1)某班里个子最高的学生身高为1.75米，个子最矮的学生身高为1.42米，求该班所有学生身高的极差.(2)小华家中，年纪最大的长辈的年龄是78岁，年纪最小的孩子的年龄是9岁，求小华家中所有成员的年龄极差.2．你也结合生活实际，编一道极差的题目. 问题2：(1)极差与数据变化范围大小的关系是什么?(2)为什么说本章导图中的两个城市，一个“四季温差不大”，一个“四季分明”?3．方差、标准差.问题3：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的5次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定?为什么?(1)计算出两人的平均成绩.(2)画出两人测试成绩的折线图，如图. (3)观察发现什么?通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定. 思考：什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度?我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差 ，而小明的 .那么如何加以说明呢?可以直接将各数据与 的差进行累加吗? 试一试：(1)在下表中，写出你的计算结果.通过计算，依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?(2)如果不行，请你提出一个可行的方案，在表中，格子中写上新的计算方案，(3)思考：如果一共进行7次测试，小明因故缺席了两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填人右表中：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况.这个结果通常称为 .我们通常用S 2表示一组数据的方差，用x 表示一组数据的平均数，x 1、x 2、…、x n 表示各个数据，方差的计算公式：问题4：观察S 2的数量单位与原数据单位一致吗?如何使其一致呢?教师总结：在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是 .即：练习：计算(1)小明5次测试成绩的标准差为( ). (2)小兵5次测试成绩的标准差为( ).问题5：从标准差看，谁的成绩较为稳定?与前面依据方差所得到的结论一样吗?三、回顾反思1．极差可反映出一组数据的变化范围.2．方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度、稳定性.四、当堂检测课本154页练习1、2题 教学反思：21.3《极差、方差与标准差》第2课时学案一、情境导入我们知道“表示一组数据离散程度的指标”有极差、方差和标准差极差：最大值一最小值方差：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”标准差＝方差，方差＝标准差2.用笔算的方法计算标准差比较繁琐，如果能够利用计算器，就会大大提高效率．二、探索新知以课本P155为例讲解示范，学生根据自己的计算器进行统计，教师巡回指导.课本155页练习1、2题三、回顾反思1．极差可反映出一组数据的变化范围.2．方差与标准差可表示出一组数据与其平均值的离散程度、稳定性.3.计算器能大大提高我们统计的效率。
初中数学八年级《21.3极差、方差与标准差》2课时教案附优化作业设计
21.3 极差、方差与标准差教学目标1、知识与技能了解刻画数据离散程度的三个量——极差、方差、标准差的概念，能借助计算器求出相应方差和标准差。
2、过程与方法能在具体情境中用方差、标准差刻画一组数据的波动大小，并能解决相应的实际问题。
3、情感、态度与价值观培养学生学会在复杂的关系中寻找问题关键所在的品质。
重点与难点1、重点：方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题。
2、难点：理解记忆方差公式。
教学方法本节课要使学生知道为什么要学习方差和方差公式，目的不明确学生很难对本节课内容产生兴趣和求知欲望。
教师在授课过程中可以多举几个生活中的小例子，如选择仪仗队员、选择运动员、选择质量稳定的电器等。
学生从中可以体会到生活中为了更好的做出选择判断能，经常要去了解一组数据的波程度，仅仅知道平均数是不够的。
也可以选择一些更具时代气息，更有现实意义的引例。
例如，通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像，进而引到教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上，这样引入自然而又真实，学生也更感兴趣一些。
课文中提供了几个实际情境，目的是通过对对问题的分析和探究，使学生进一步理解方差的意义。
教具准备教学用三角板、圆规，画好图的小黑板。
第一课时表示一组数据离散程度的指标教学过程一、复习引入教师讲解：我们常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”。
但在有些情况下“平均水平”是不够的，如评价选手的射击水平、机器加工零件的精度、手表的日走时误差时，还需要用一个新的数来刻画一组数据的波动情况。
我们不妨先举一个例子说明。
下表显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温，如何对这两段时间的气温进行比较呢？上海每日最高气温统计表（单位：℃）2月21日2月22日2月23日2月24日2月25日2月26日2月27日2月28日2001年12 13 14 22 6 8 9 122002年13 13 12 9 11 16 12 10 从表中可以看出，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同。
21.3极差、方差和标准差(第一课时)课件
实践应用
． 例1 观察图21.3.1，分别说出两段时间内气温的极差
解： 由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间 差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图(b) 中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整段 时间内气温变化的范围不太大．
例2 自动化生产线上，两台数控机床同时生产直径 为40.00毫米的零件，为了检验产品质量,从产品中 各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)．
练习
1.试计算下列两组数据的极差： A组：0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5； B组：4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5．
A组：10 – 0 = 10 B组：9 – 1 = 8
练习
1、样本3，4，2，1，5的平均数为 3 中位
数为 3
；极差为 4 ；
那么,到底何为极差?我们来看下面这个问题： 表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002 年同期的每日最高气温：
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差 异呢？我们可以根据上表提供的数据,绘制出 相应的折线图．
下图是根据两段时间的气温情况绘成的折线图．
观察一下，它们有差别吗？
通过观察，我们可以发现： 图(a)中折线波动的范 围比较大——从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范 围则比较小——从9℃到16℃．
1.在数据统计中,能反映一组数据变化范围大小的指标是
( D)
A 平均数
B 众数
C 中位数 D 极差
2.数据 0 , -1 , 3 , 2 , 4 的极差是＿＿5＿＿＿.
3. 某日最高气温是4 ℃, 温差是 9 ℃,则最低气温是＿-＿5 ＿ ℃. 4.数据 -1 , 3 , 0 , x 的极差是 5 ,则 x =＿＿- 2＿或＿＿4.
方差与标准差的关系
方差与标准差的关系方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是衡量数据分散程度的指标。
在统计学中，我们经常需要了解数据的分散程度，以便更好地理解数据的特征和规律。
方差和标准差的概念和计算方法虽然有所不同，但它们之间存在着密切的关系。
本文将从方差和标准差的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行介绍。
首先，我们来看一下方差的定义和计算方法。
方差是衡量数据离散程度的一种统计指标，它表示各个数据与其均值之间的偏离程度。
方差的计算公式为，方差=Σ(xi-μ)²/n，其中xi表示第i个数据，μ表示数据的均值，n表示数据的个数。
方差的计算过程包括求出每个数据与均值的差值，然后对差值的平方求和，最后再除以数据的个数。
接下来，我们来看一下标准差的定义和计算方法。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的一种统计指标。
标准差的计算公式为，标准差=√方差。
标准差的计算过程是先求出方差，然后对方差进行开方运算。
方差和标准差之间的关系非常密切。
首先，从定义上来看，标准差是方差的平方根，它们之间存在着数学上的直接关系。
其次，从计算方法上来看，计算标准差需要先计算出方差，然后再对方差进行开方运算，这也说明了它们之间的密切联系。
另外，从实际应用的角度来看，方差和标准差都可以用来衡量数据的离散程度，它们在数据分析和统计推断中都具有重要的作用。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用方差或者标准差来衡量数据的离散程度。
一般来说，当我们需要对数据的离散程度进行比较时，可以选择使用标准差，因为标准差的数值与原始数据的单位保持一致，更容易进行比较。
而在一些特定的统计推断和假设检验中，方差更常用于计算总体方差的估计值。
总之，方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是衡量数据分散程度的重要指标。
方差和标准差之间存在着密切的关系，它们的计算方法和应用场景也有所不同。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况选择合适的指标来衡量数据的离散程度，以便更好地进行数据分析和统计推断。
极差和方差
极差和方差
极差和方差是统计学中最常用的概念，它们描述了数据集关于其平均值的某些性质。
极差是数据集中最大值和最小值的差值，而方差描述的是数据点距离其平均值的距离程度。
共轭的是，极差和方差都可以用来衡量数据集中单个值相对于其他值的波动程度。
极差被定义为一组数据中最大值和最小值之间的差值。
它主要应用于衡量一段数据内所有值的最大最小距离。
极差可以用一个公式来描述，即：极差=最大值-最小值。
在统计学中，用极差来检测偏差并提出建议是一个很有用的概念。
它可以用来识别任何超出常规范围的变量，从而有助于提出有效的统计分析方案。
而方差是数据集中每一个值到其均值的距离的平方的平均值。
它主要应用于衡量数据集中各值距离其均值的最大距离。
方差也可以用公式来描述，即：方差＝（每个数据点-平均值）的平方和／数据点数。
方差可以用来衡量数据集中各点数据波动程度，如果方差越大，则数据集中各点数据越不同，可以表明数据集中的数据分布越不均匀。
极差和方差的应用非常广泛，在统计学中，它们可以用来识别偏差，估计样本数据集中的离群值，衡量数据集中值分布的程度，以及估计样本数据的可靠性。
此外，极差和方差也被用于统计学以外的科学领域，如评估一组实验结果的可靠性，衡量运动员能力和表现，甚至在投资领域也有应用，如衡量基金的收入率和收益率。
另外，它们也常被应用于机器学习领域，用来估计模型的参数，以及作为模型的评估指标。
可以看出，极差和方差是一对不可分割的概念，它们在统计学、科学、机器学习等诸多领域都得到了广泛的应用。
因此，熟悉和掌握这两个概念都是非常有必要的，以有效地处理数据集，并做出准确的统计决策。
初二下册数学第21章知识点大全(华师大版)
初二下册数学第21章知识点大全（华师大版）
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21.1算术平均数与加权平均数
加权算术平均数公式
加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。
设原始数据为被分成K组，各组的组中的值为X1，X2，...，Xk，各组的频数分别为f1，f2，...，fk，加权算术平均数的计算公式为：M=(X1f1+X2f2+...+Xkfk)/(f1+f2+...+fk) >>>>初二数学知识点：算术平均数与加权平均数知识点
21.2平均数、中位数和众数的选用
1.平均数
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。
2.中位数
中位数是指将统计总体当中的各个变量值按大小顺序排列
起来，形成一个数列，处于变量数列中间位置的变量值就称为中位数。
>>>>初二上册数学知识点归纳：平均数、中位数、众数
21.3极差、方差与标准差
本节以自主探索为主，并初步体验：对图的观察和分析是科学研究的重要方法。
通过例题发现极差(最大值-最小值)的。
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平均 65 13
(每次成绩 平均成绩）
2
0 1 0
0
1
0.4 91 13
38 7
2
(每次成绩 2 平均成绩）
9 9 0 1 1
9 9 38
我们可以用“先平均，再求差，然后平方， ★我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值 后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值 的情况。这个结果通常称为方差 方差. 的情况。这个结果通常称为方差 通常用S 表示一组数据的方差， 通常用 2表示一组数据的方差，用 x 表示一组 数据的平均数， 表示各个数据。 数据的平均数，x1、x2、…..表示各个数据。 表示各个数据
1
2
3
4
5
求和
小明
每次测试成绩 每次成绩－ 平均成绩
13
14
13
12
13
0
10
1
13
0
16
-1
14
0
12
小兵
每次测试成绩 每次成绩－ 平均成绩
-3
0
3
1
-1
65 0 65 0
通过计算，依据最后求和的结果可以比较两 组数据围绕其平均值的波动情况吗? 不能 如果不行，请你提出一个可行的方案，在表 21.3.4的红色格子中写上新的计算方案，并 将计算结果填入表中．
思 考
这里一年四 季温度差不 大
• 为什么说本章导图中的两个城市 ， 一个 为什么说本章导图中的两个城市， 四季温差不大” 一个“ 四季分明” “ 四季温差不大 ” ， 一个 “ 四季分明 ” ？
观察图21.3.1 21.3.1， 例1 观察图21.3.1，分别说出两段时间内气温 的极差． 的极差．
(1)知识小结：对于一组数据，有时只知道它的 知识小结：对于一组数据， 知识小结 平均数还不够，还需要知道它的波动大小； 平均数还不够，还需要知道它的波动大小；而 描述一组数据的波动大小的量不止一种， 描述一组数据的波动大小的量不止一种，最常 用的是方差和标准差.方差与标准差这两个概念 用的是方差和标准差 方差与标准差这两个概念 既有联系又有区别: 既有联系又有区别 方差的单位是原数据单
小明和小兵两人参加体育项目训练， 小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如表21.3.2所示 所示. 近期的五次测试成绩如表 所示 谁的成绩较为稳定？为什么？ 谁的成绩较为稳定？为什么？ 表21.3.2
• 通过计算，我们发现两人测试成绩的平均值都是 13分．从图21.3.2可以看到： 相比之下，小明的 成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其 平均值的离散程度较大．通常，如果一组数据与 其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳 定． 所以我们说小明的成绩较为稳定. 所以我们说小明的成绩较为稳定 • 思考 • 怎样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度? • 我们已经看出，小兵的测试成绩与平均值的偏差 较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢?可 以直接将各数据与平均值的差进行累加吗?在表 21.3.3中写出你的计算结果．
不同时段的最高气温25来自22 20 16 15
10 2001年 2001 年 2002年 2002 年
9 56
0 21日 22日 23日 24日 25日 26日 27日 28日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 27 日 28 日
通过观察，发现： 通过观察，发现：2001年2月下旬的气温波动比 年 月下旬的气温波动比 较大-------从6 ℃到22℃ ，而2002年同期的气温 较大 从 ℃ 年同期的气温 波动比较小---------从9 ℃到16 ℃. 波动比较小 从
位的平方， 位的平方，而标准差的单位与原数据单位 相同。 相同。
(2)方法小结： 方法小结： 方法小结 求方差 先平均，再求差，然后平方， 先平均，再求差，然后平方，最后再平均 求标准差 先求方差，然后再求方差的算术平方根. 先求方差，然后再求方差的算术平方根
__
A的极差﹤B的极差 的极差﹤ 的极差 的极差
1 x A = (10 + 8 × 5) = 5 10 __ 1 xB = (4 + 6 + 3 + 7 + 2 + 8 + 1 + 9 + 5 + 5) = 5 10
比较下列两组数据的极差、方差和标准差 比较下列两组数据的极差、方差和标准差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; 组 B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5 组 求方差: 解: 求方差 A的方差﹤B的方差 的方差﹤ 的方差 的方差
1.比较下列两组数据的极差、方差和标准 比较下列两组数据的极差、 比较下列两组数据的极差 差: A组:0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5; 组 B组:4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5 组 解:
A组极差 组极差:10-0=10,B组极差 组极差:9-1=8 组极差 组极差 求方差: 求方差 先求平均数
1 2 2 2 S = [( x1 − x) + ( x2 − x) + ⋯⋯ + ( xn − x) ] n
2
在实际应用时常常将求出的方差再开平方， 在实际应用时常常将求出的方差再开平方， 这就是标准差 标准差. 这就是标准差
2
S = 标准差 = 方差
s = 方差 = 标准差
2
• 计算可得： • 小明5次测试成绩的标准差为 √2/5（根号5分之 2）， • 小兵5次测试成绩的标准差为 2．
21.3 极差、方差与标准差 极差、
复习回忆: 复习回忆:
1.平均数、众数、中位数的意义？ 平均数、众数、中位数的意义？ 平均数 平均数:所有数据之和 数据个数. 所有数据之和/数据个数 平均数 所有数据之和 数据个数 众数:数据中出现最多的数值 数据中出现最多的数值. 众数 数据中出现最多的数值 中位数:将数据从小到大排列处在中 中位数 将数据从小到大排列处在中 间位置的那个值.数据是偶数个时取 间位置的那个值 数据是偶数个时取 两个数的平均数作为中位数. 两个数的平均数作为中位数 2.求下列数据的平均数、众数和中位数 求下列数据的平均数、 求下列数据的平均数 450，420，500，450，500，600，500， ， ， ， ， ， ， ， 480，480，500。 ， ， 。 488 500 490
发现： 发现：
方差或标准差越小，离散程度越小，波动越小 方差或标准差越小，离散程度越小，波动越小. 方差或标准差越大，离散程度越大， 方差或标准差越大，离散程度越大，波动越大
总结: 总结 平均数------反映一组数据的总体趋势 ------反映一组数据的 平均数------反映一组数据的总体趋势 极差----反映一组数据变化范围的大小； 极差 反映一组数据变化范围的大小； 反映一组数据变化范围的大小 方差与标准差------ 描述一组数据的波 方差与标准差------ 描述一组数据的波 动大小或者与平均值的离散程度的大小. 或者与平均值的离散程度的大小 动大小或者与平均值的离散程度的大小.
2 A
标准差: 标准差
sA = 5
sB = 6
SA﹤SB
• 2 算一算，第150页问题1中哪一年气温的离散 程度较大?和你从图21.3.1中直观看出的结果一 致吗?
解：2001年2月下旬气温的方 年 月下旬气温的方 差为20.75（度C平方）， 平方）， 差为 （ 平方 2002年2月下旬气温的方差为 年 月下旬气温的方差为 4（度C平方），因此 平方），因此2001年 （ 平方），因此 年 2月下旬气温的离散程度较大， 月下旬气温的离散程度较大， 月下旬气温的离散程度较大 和图中直观的结果一致。 和图中直观的结果一致。
两段时间的平均气温分别是多少？ 两段时间的平均气温分别是多少？
经计算可以看出，对于2 经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间 而言，2001年和2002年上海地区的平均气 年和2002 而言，2001年和2002年上海地区的平均气 温相等，都是12℃ 12℃． 温相等，都是12℃． 这是不是说， 这是不是说，两个时段的气温情况没有什么 差异呢？根据上表提供的数据, 差异呢？根据上表提供的数据,绘制出相应的 折线图我们进行分析． 折线图我们进行分析．
1 2 2 2 s = [(0 − 5) + (10 − 5) + 8 × (5 − 5) ] = 5 10 1 2 2 2 2 2 s B = [(4 − 5) + (6 − 5) + (3 − 5) + (7 − 5) 10 2 2 2 2 2 + (2 − 5) + (8 − 5) + (1 − 5) + (9 − 5) + 2 × (5 − 5) ] = 6
由图可知， (a)中最高气温与最低气温之间 解 由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间 差距很大，相差16℃ 也就是极差为16℃； 16℃， 极差为16℃ 差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图 (b)中所有气温的极差为7℃ 所以从图中看， 中所有气温的极差为7℃， (b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看， 整段时间内气温变化的范围不太大． 整段时间内气温变化的范围不太大．
(课本150页)表20.2.1显示的是上海2001年 课本150页 150 20.2.1显示的是上海2001年 显示的是上海2001 月下旬和2002年同期的每日最高气温： 2002年同期的每日最高气温 2月下旬和2002年同期的每日最高气温：
试对这两段时间的气温进行比较． 2002年 试对这两段时间的气温进行比较． 2002年2 月下旬的气温比2001年高吗？ 2001年高吗 月下旬的气温比2001年高吗？