银川九中高三2班_2.3.2离散型随机变量的方差(一)PPT课件
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课件10：2.3.2 离散型随机变量的方差
问题 3 随机变量的方差与样本的方差有何不同？ 答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一 个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的， 刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，因此它 是一个常量而非变量． 问题 4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？ 答 方差的单位是随机变量单位的平方；标准差与 随机变量本身有相同的单位．
解 (1)易知司机遇上红灯次数 ξ 服从二项分布， 且 ξ～B(6，13)，∴E(ξ)＝6×13＝2， D(ξ)＝6×13×(1－31)＝34. (2)由已知 η＝30ξ，
∴E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.
探究点三 均值、方差的综合应用 问题 实际问题中，均值和方差对我们的一些决策有何作用？ 答 利用均值和方差的意义可以分析、解决实际问题，也就 是当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均 值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应 看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定 (即计算方差的大小)，稳定者就更好，如果我们希望比较稳 定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否相当接近即可．
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解 根据月工资的分布列，利用计算器可算得 E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋ (1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000； E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1 ＝1 400，
x2，x3 的概率 p1，p2，p3 分别为___0_._4___，___0_._1___， ___0_.5____.
《离散型随机变量的方差》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.3.2课时)
课堂练习
1.填空 （1）已知x~B(100,0.5),则
Ex=_5_0_,Dx=__2_5_,sx=_5__. E(2x-1)=__9_9_, D(2x-1)=_1_0_0_, s(2x-1)=__1_0__.
课堂练习
2.选择
x
1
2
P
0.3
0.7
（1）已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( )
EX1 = 1200 0.4 + 1 4பைடு நூலகம்0 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 = 1400
DX1 = (1200 -1400) 2 0. 4 + (1400 -1400 ) 2 0.3 + (1600 -1400 )2 0.2
+ (1800 -1400) 2 0. 1 = 40 000
P（ξ=0）= 9 3 12 4
②当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则
P（ξ=1）= 3 9 9 12 11 44
课堂练习
继续答题
③当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则
P（ξ=2）=
329 = 9 12 11 10 220
④当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则
变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 DX 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为 σX
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小.
新知探究
说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度 量指标. 思考 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来 估计总体方差.
2.3.2 离散型随机变量的方差
D（Y）＝a2D（X）， 4.会利用离散型随机变量的方差反映离散型随机变 量偏离均值的平均水平，解决一些相关的实际问题
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
人教B版选修2-3高中数学2.3.2《离散型随机变量的方差》ppt课件1
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
设事件A 发生的概率为p，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4．证明：因为ξ 所有可能取的值为 0，1 且 P（ξ
=0）=1-p,P(ξ =1)=p,
所以，Eξ =0×(1-p)+1×p=p 新疆 王新敞 奎屯
则 D ξ = （ 0-p ） 2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2
＋0×(3-0.7)2＝0.61
乙的技术稳定性较好
例 ． 设随机变量X的分布列为
X1
P
1 n
求 V (X)
2 …n
1 n
…
1 n
E(X)＝
n1(1+2+...+n)＝ n
2
1
V(X)＝
1 n (k n 1)2 1 n [(n 1)2 4k(n 1) 4k 2 ] n2 1
pΒιβλιοθήκη (1 p)
2
1
2 4
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
设事件A 发生的概率为p，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过 1/4
4．证明：因为ξ 所有可能取的值为 0，1 且 P（ξ
=0）=1-p,P(ξ =1)=p,
所以，Eξ =0×(1-p)+1×p=p 新疆 王新敞 奎屯
则 D ξ = （ 0-p ） 2×(1-p)+(1-p) 2×p=p(1-p)
V(X2)＝0.5×(0-0.7)2＋0.3×(1-0.7)2＋0.2×(2-0.7)2
＋0×(3-0.7)2＝0.61
乙的技术稳定性较好
例 ． 设随机变量X的分布列为
X1
P
1 n
求 V (X)
2 …n
1 n
…
1 n
E(X)＝
n1(1+2+...+n)＝ n
2
1
V(X)＝
1 n (k n 1)2 1 n [(n 1)2 4k(n 1) 4k 2 ] n2 1
pΒιβλιοθήκη (1 p)
2
1
2 4
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
《2.3.2离散型随机变量的方差》课件3-优质公开课-人教A版选修2-3精品
高考调研
题型一
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
利用定义求方差
例 1 已知随机变量 X 的分布列为： X P 求 D(X)． 0 0.1 1 0.15 2 0.25 3 0.25 4 0.15 5 0.1
第15页
第二章
2.3
第三课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
解析
欲求 D(X)必须先求 E(X)．
1 (x1＋x2＋…＋xn) n ＝ ． 样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的 偏离程度
它可以刻画样本数据的 稳定性 ．
，用
第 5页
第二章
2.3
第三课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
2.随机变量的方差、标准方差的定义 设离散型随机变量的分布列如下表． X p x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn
2 i＝1
n
＝
E(X2)－(E(X))2
.
第11页
第二章
2.3
第三课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
2.方差的性质 当 a，b 均为常数时，随机变量函数 η＝aξ＋b 的方差 D(η)＝D(aξ ＋b)＝a2D(ξ)．特别是： (1)当 a＝0 时，D(b)＝0，即常数的方差等于 0； (2)当 a＝1 时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方差等 于这个随机变量的方差本身；
第12页
第二章
2.3
第三课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·选修2-3
(3)当 b＝0 时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方差， 等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积.
2.3.2离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差232 离散型随机变量的方差在我们探索概率与统计的奇妙世界时，离散型随机变量的方差是一个非常重要的概念。
它就像是一把神奇的尺子，能够帮助我们更深入地理解随机现象背后的规律。
那什么是离散型随机变量的方差呢？咱们先从一个简单的例子说起。
假设你参加一个抽奖活动，有三种可能的奖品，价值分别为 10 元、20 元和 50 元，获得它们的概率分别是 05、03 和 02。
这个时候，我们可以把获得的奖品价值看作一个离散型随机变量 X。
那么，这个随机变量的平均值，也就是期望，通过计算可以得到：E(X) ＝ 10×05 ＋ 20×03 ＋ 50×02 ＝ 21（元）。
但是，仅仅知道平均值还不够。
因为即使平均值相同，不同的抽奖活动可能具有不同的“波动程度”。
比如说，另一个抽奖活动的奖品价值平均值也是 21 元，但是有的奖品价值很低，有的又很高，这样的抽奖活动风险就比较大。
而离散型随机变量的方差，就是用来衡量这种“波动程度”或者“分散程度”的。
具体来说，离散型随机变量 X 的方差记作 Var(X)，它的计算公式是：Var(X) ＝ E(X E(X)）²。
咱们还是以刚才的抽奖活动为例，来计算一下方差。
首先，计算（X E(X)）²在每个取值下的值：当 X ＝ 10 时，（10 21)²＝ 121；当 X ＝ 20 时，（20 21)²＝ 1；当 X ＝ 50 时，（50 21)²＝ 841。
然后，分别乘以对应的概率：121×05 ＋ 1×03 ＋ 841×02 ＝ 2188（元²）这就是这个抽奖活动奖品价值的方差。
方差越大，说明抽奖结果的波动越大，不确定性也就越大；方差越小，说明抽奖结果相对稳定，比较接近平均值。
再举一个例子，比如说掷骰子。
掷出的点数就是一个离散型随机变量。
课件12：2.3.2 离散型随机变量的方差
发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
甲保护区
X
0
1 23
P 0.3 0.3 0.2 0.2
乙保护区
Y0
1
2
P 0.1 0.5 0.4
试评定这两个保护区的管理水平．
解：甲保护区的违规次数 X 的均值和方差分别为： E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3； D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－ 1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数 Y 的均值和方差分别为： E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3； D(Y)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.
仅知道均值大小是不够的，比如：两个随机变量的 均值相等(即均值相等)，这时还需要知道随机变量的 取值如何在均值附近变化，即计算其方差，方差大 说明随机变量取值比较分散；方差小说明随机变量 的取值比较集中、稳定．
活学活用
甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生
动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度
解得 a＝152，b＝c＝14.
【答案】152
1 4
5．已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 ξ 的均值与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差．
解：(1)投篮一次命中次数 ξ 的分布列为 ξ0 1 P 0.4 0.6
则 E(ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6， D(ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
3．对于已知 D(X)求 D(aX＋b)型，利用方差的性质 求解，即利用 D(aX＋b)＝a2D(X)求解．
2.3.2离散型随机变量的方差1
η的分布列为
练习4、根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产 被盗的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上 家庭财产保险，参加者需交保险费100元，若在一年 以内，万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元 （a>100），问a如何确定，可使保险公司期望获 利？
四、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式
X
DX 1.71
例2：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX 1 9, EX 2 9
DX1 0.4, DX2 0.8
DX为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X与其均值EX的平均偏离程度，称DX为随机变 量X的方差
D X的算术平方根√DX 为随机变量X的标准差，记作σX；
注意:
(1).随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值 偏离于均值的平均程度. (2).方差或标准差越小,则随机变量 偏离于均值的 平均程度越小.
2.离散型随机变量方差的性质
(1).满足线性关系的离散型随机变量的方差 D（ aX+ b）= a2· DX
1 练习：已知 3 ，且 D 13, 则D 117 8
(2).服从两点分布的随机变量的方差 DX=p(1-p) (3).服从二项分布的随机变量的方差 若X ~B（ n , p ），则 DX=np（1-p)
例4.（07全国）某商场经销某商品，根据以往资料 统计，顾客采用的分期付款期数 的分布列为：
P
1 0.4
2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)
10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p
课件7：2.3.2 离散型随机变量的方差
【解】 (1)X 的可能值为 0,1,2. 若 X＝0，表示没有取出次品，其概率为 P(X＝0)＝CC313102＝161， 同理，有 P(X＝1)＝CC21C132120＝292. P(X＝2)＝CC22C132110＝212.
∴X 的分布列为
X0 1 2
P
6 11Βιβλιοθήκη 9 221 22∴E(X)＝0×161＋1×292＋2×212＝12，
D(X1)＝2. E(X2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4； D(X2)＝(3.7－4)2×17＋(3.8－4)2×17＋(3.9－4)2×17＋(4－4)2×17 ＋(4.1－4)2×17＋(4.2－4)2×17＋(4.3－4)2×17＝0.04；
D(X2)＝0.2.
1．本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题， 套用公式即可完成．
【防范措施】 熟练掌握方差的性质是解答此类问题的关 键．
【正解】 D(Y)＝D(3X＋18)＝9D(X)＝9×13＝117. 【答案】 117
课堂小结 1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准 差)，可直接由定义(公式)求解． 2．已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y＝ aX＋b 的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解， 即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． 3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布， 可直接用它们的均值、方差公式计算.
类型3 方差的实际应用 例 3.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉 强度如下：
XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
∴X 的分布列为
X0 1 2
P
6 11Βιβλιοθήκη 9 221 22∴E(X)＝0×161＋1×292＋2×212＝12，
D(X1)＝2. E(X2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4； D(X2)＝(3.7－4)2×17＋(3.8－4)2×17＋(3.9－4)2×17＋(4－4)2×17 ＋(4.1－4)2×17＋(4.2－4)2×17＋(4.3－4)2×17＝0.04；
D(X2)＝0.2.
1．本题已知分布列求均值、方差和标准差，属较容易题， 套用公式即可完成．
【防范措施】 熟练掌握方差的性质是解答此类问题的关 键．
【正解】 D(Y)＝D(3X＋18)＝9D(X)＝9×13＝117. 【答案】 117
课堂小结 1．已知随机变量的概率分布，求它的均值、方差(或标准 差)，可直接由定义(公式)求解． 2．已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 Y＝ aX＋b 的均值和方差，可直接用均值、方差的性质求解， 即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)． 3．如果能分析出所给随机变量服从两点分布或二项分布， 可直接用它们的均值、方差公式计算.
类型3 方差的实际应用 例 3.有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉 强度如下：
XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
-学年高二数学2.3.2离散型随机变量的方差课件(人教B版2-3)
例1 已知随机变量X的分布列是
（1）求方差和标准差； （2）设随机变量Y＝-5X+E（X），求D（Y）的值. 【思路点拨】（1）先求出均值，再计算方差，从而求出标 准差；（2）注意符号E（X）是常数，根据方差的性质公式 计算D（Y）.
【规范解答】（1）E（X）＝1 1 2 1 3 1 4 2 5 4 16 ,
1.有甲、乙两名射手，他们的射击技术用下表表示：
试问哪一名射手技术较好？( ) （A）甲 （B）乙 （C）一样好
（D）无法比较
【解析】选A.由题意经计算可知E（X）甲＝E（X）乙，而 D（X）甲<D（X）乙，∴甲的射击技术较好.
2.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生 动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区内每个季度发 现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
试判定这两个保护区的管理水平较高的是_____.
【解析】甲保护区的违规次数ξ1的数学期望和方差为： E（ξ1）=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3; D（ξ1）=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2 ×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21; 乙保护区的违规次数ξ2的数学期望和方差为： E（ξ2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3;
D（ξ2）=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2× 0.4=0.41; 因为E（ξ1）=E（ξ2）,D（ξ1）>D（ξ2）,所以两个保护 区内每季度发生的违规事件的平均次数是相同的，但乙保 护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规 事件次数相对分散和波动.故甲保护区的管理水平较高. 答案：甲
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高二数学 选修2-3
2.3.2离散型随机变 量的方差（一）
银川九中 李尚怀
尚
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
尚
四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
2、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
尚
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
4、如果随机变量X服从二项分布，即
X～ B（n,p），则 EX np
5、如果随机变量X服从超几何分布，
即X～ H（n,M,N）则 EX nM N
尚
二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
第二名同学的成绩更尚 稳定.
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ （1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差 （2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量
的稳定性呢？ （3）随机变量 X 的方差
尚
(二)、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X DX 1.2 1.095
尚
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1 EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
尚
五、方差的应用
例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
10
10
10
10
尚
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。
X1 的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
解：EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
i 1
称 X
DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小尚，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
尚
例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1
乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2
1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1 1000 1400 1800 2200 0.4 0.3 0.2 0.1
( xi
x)2
( xn
x)2 ]
s2 1 [(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
(2 2)2 (2 2)2 (3 加2)权2 平(3均 2)2 (4 2)2 ] 1
s2 4 (1 2)2 3 (2 2)2 2 (3 2)2 1 (4 2)2
－10环。
尚
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
EX1 9, EX 2 9 DX1 0.4, DX 2 0.8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
X 1111222334 10
1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
X
1
2
3
4
P
4
32Βιβλιοθήκη 11010
10
10
尚
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [( x1
x)2
尚
三、新课分析
（一）、随机变量的方差 1、定性分析 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX 2 9 DX1 0.4, DX 2 0.8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中
平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多
数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8
2.3.2离散型随机变 量的方差（一）
银川九中 李尚怀
尚
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. （2）随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别？
随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同 而变化的，因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来 越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差.
尚
四、基础训练
1、已知随机变量X的分布列
2、数学期望的性质
E(aX b) aEX b
尚
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 EX p
4、如果随机变量X服从二项分布，即
X～ B（n,p），则 EX np
5、如果随机变量X服从超几何分布，
即X～ H（n,M,N）则 EX nM N
尚
二、探究引入
要从两名同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数
第二名同学的成绩更尚 稳定.
2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性？ （1）样本的稳定性是用哪个量刻画的？ 方差 （2）能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量
的稳定性呢？ （3）随机变量 X 的方差
尚
(二)、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
X DX 1.2 1.095
尚
2、若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为 常数，求EX和DX。 解：离散型随机变量X的分布列为：
Xc P1 EX＝c×1＝c DX＝（c－c）2×1＝0
尚
五、方差的应用
例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
10
10
10
10
尚
离散型随机变量取值的方差
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn
P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
n
( xi EX )2 pi 为随机变量X的方差。
X1 的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数
X
的分布列为
2
X2
5
6
7
8
9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
请问应该派哪名同学参赛？
EX1 8 , EX 2 8
发现两个均值相等
因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.
X0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求DX和σX。
解：EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2 DX (0 2)2 0.1 (1 2)2 0.2 (2 2)2 0.4 (3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
i 1
称 X
DX 为随机变量X的标准差。
它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离 于均值的平均程度越小尚，即越集中于均值。
3、对方差的几点说明 （1）随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随 机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明：随机变量集中的位置是随机变量的均值；方差或标
尚
例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1
乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2
1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1 1000 1400 1800 2200 0.4 0.3 0.2 0.1
( xi
x)2
( xn
x)2 ]
s2 1 [(1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (1 2)2 (2 2)2 10
(2 2)2 (2 2)2 (3 加2)权2 平(3均 2)2 (4 2)2 ] 1
s2 4 (1 2)2 3 (2 2)2 2 (3 2)2 1 (4 2)2
－10环。
尚
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
EX1 9, EX 2 9 DX1 0.4, DX 2 0.8
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右， 应派哪一名选手参赛？
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
X 1111222334 10
1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
X
1
2
3
4
P
4
32Βιβλιοθήκη 11010
10
10
尚
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
s2
1 n [( x1
x)2
尚
三、新课分析
（一）、随机变量的方差 1、定性分析 除平均中靶环数以外，还有其他刻画两名同学各自 射击特点的指标吗？
（1）分别画出 X1 , X 2 的分布列图.
P
P
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
O 5 6 7 8 9 10 X1
O 5 6 7 8 9 X2
（2）比较两个分布列图形，哪一名同学的成绩更稳定？
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX1 9, EX 2 9 DX1 0.4, DX 2 0.8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中
平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多
数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8