翻开的书页-一个常见求二面角的有效图形
二面角8种求法
平面角定义法例题2:已知正方体 ABCD-ABCD 中，E 、 所成的二面角二面角求法正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二 面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角 大小方法的典型几何体。
笔者通过探求正方体中有关二面角， 分析求二面角大小的八种方法：（1） 平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间 距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。
此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。
以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角a -l- B 中，在棱I 上取一点O,分别在a 、B 两个平面内作AC L I ，BOLI ，/ AOB 即是所求二面角的平面角例题1:已知正方体ABCD-AB i CD 中，C O 是上下底面正方形的中心，求二面角 O-BC-O 的大小。
C iC利用三垂线定理法此方法是如图二面角a -l- B 中，在平面a 内取一点A, 过A 作AB 丄平面B ，B 是垂足，由B （或A ）作B0（或AO 丄l ，连接A0（或B0即得A0是平面B 的斜线，B0是 A0在平面B 中的射影，根据三垂线定理（或逆定理）即得 A0LI ， B0LI ， 即/ A0B 是 a -I- B 的平面角。
例题3 :已知正方体 ABCD-A i C l D 中，求二面角 B-AC-B 的大小。
线面垂直法例题4:已知正方体ABCD-ABiGD 中，求平面 ACD 与平面BDC 所成的二面角。
此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。
方法是 过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平 面角。
如图在二面角a -I- B 的棱上任取一点0过0作平面丫丄I ， a G 丫 =A0 B G Y =B0得/ A0B 是平面角, v I 丄丫，I 丄 A0I 丄 B0•••/ A0B是二面角的平面角。
二面角的五种求法.doc
(1)二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二 面角。
二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。
而二 面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ， 分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠βα--l 的平面角。
(2)二面角的通常求法a.由定义作出二面角的平面角；b.作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。
c.利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；d.空间坐标求二面角的大小;(法向量法)e ．射影面积法例１：在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B-AD-C 后，BC=21AB ，求二面角B-AD-C 的大小。
证明：连结BC ，在等边三角形ABC 中设AB=AC=a ,则BD=CD= a例2：（2006年广东高考题）如图右所示，DE AF ,分别是⊙o 、⊙1O 的直径，AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD ，BC 是⊙o的直径，6==AC AB ，AD OE //（1）求二面角F AD B --的大小； 解：（法一）AD 均与两圆所在的平面垂直AF AD AB AD ⊥⊥∴,故BAF ∠是二面角F AD B --的平面角。
ABCA的中点为BC D CDAD BD AD ⊥⊥∴,为二面角C AD B BDC --∠∴21ABBC 21= 又a BC 21=∴为等边三角形BCD ∆∴∠∴060的大小为二面角C AD B --∴BC 是⊙o 的直径，AB=AC∴ BC AO ⊥又AF 是⊙o 的直径∴四边形ABCF 是正方形∴BAF ∠=450即二面角F AD B --的大小为450（法二）运用空间向量坐标运算以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形 则A （0，0，0），D （0，0，8） ，B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),0,6,0(-==∴→→BC AC O DA 圆⊥ ，AC DA ⊥∴又AB AC ⊥ ，→∴AC 是面DAB 的法向量 同理，O DA 圆⊥ ， BC DA ⊥∴ 又BC AF ⊥ →∴BC 是面DAF 的法向量2226636||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→BC AC BCAC BC AC∵二面角F AD B--所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***（法三）以A 为原点建立空间直角坐标系A-XYZ ，如图所示： 由（法一）可知：四边形ABCF 是正方形 则A （0，0，0），D （0，0，8） ，B （6，0，0），C （0，6，0），F （6，6，0）)0,6,6(),8,0,0(),0,0,6(===∴→→→AF AD AB ，设),,(z y x n =→为面DAB 的法向量，则0,0=⋅=⋅→→→→AB n AD n即⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==00608y z y z ,令1=x ，则)0,0,1(=→n同理：设),,(z y x m =→为面DAF 的法向量，则)0,1,1(-=→m22211||||,cos =⨯=⋅⋅>=<∴→→→→→→m n mn m n ∵二面角F AD B --所成的角为锐角 ∴二面角F AD B --的大小为450***例3：射影面积法如图5，二面角l αβ--为锐二面角, △ABC 在半 平面α内, △ABC 在平面β内的射影为△A 1B 1C 1，那么二面角l αβ--的大小111 cos A B C ABCS S θθ∆∆=应满足.（思考例题2用射影面积法）。
解二面角问题三种方法
V — AB — C 的平面角并求出解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。
（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作 垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角 的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。
下面举几 个例子来说明。
例1：如图，立体图形 V — ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角 它的度数。
例2:在三棱锥 P-ABC 中，N APB=Z BPC* CPA=60,求二面角 A-PB-C 的余弦值。
这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、 在正方体 ABC — A 1B 1G D 中，找出二面角 B — AC — B i 的平面角并求出它的度数。
2、 .边长为a 的菱形ABCD ，/ ACB=60,现沿对角线BD 将其折成才60°的二面角，贝U A C 之间的距离为 _______ 。
（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、 正三棱柱ABC — ABQ 的底面边长是4,过BC 的一个平面与 AA 交于D,若A[=3,求二面角D-BC — A 的正切值。
总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面 角的平面角的三个主要特征。
并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。
在常见的几何 体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等 等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。
至于求角，通常是把这 角放在一个三角形中去求解。
由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角 形的知识去求解。
AD1D这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。
求二面角的五种方法
求二面角的五种方法一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小.例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小.例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值.例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2π), ∠CSB =β(0<β<2π), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证：θ=π-arccos(cos α·cot β).二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角.例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______；⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______.例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小.三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角.例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.例7设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小.四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角.例8已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等.例9二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a,B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角, 求面积△BCD的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小.五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面所成的二面角θ, 满足S0=S cosθ, 利用这个公式求二面角的方法称“射影法”, 射影法对于解决棱不太明显的二面角问题有独特的作用.例10过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD, 若AB=PA, 则平面ABP与平面CDP所成的二面角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°例11 P是正方形ABCD所在平面外一点, △PAB是正三角形, 且平面PAB⊥平面ABCD,求二面角P-AC-B的大小.友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！。
翻开的书页——一个常见求二面角的有效图形
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图 １
一
图２
图３
ＥＦ ＝ ｆ ＋ Ｂ ＋ Ｆ ｌ ＝ ＥＢ ＋ＢＣ ＋ ＥＢ
２ ． ＿ — ÷
二
、
方法概述（ 动作要领）
— — —
ＣＦ ＋ ２ Ｂ ． Ｅ Ｂ ＋ ２ ・ Ｆ ＋ ２ Ｂ ＥＢ ． Ｆ ＝ １ ＋
＋ ． 商 一
由于 向量 、Ｄ雪的夹角等于二面角的平
１ ｃｓ ： ａｅ ｏ ， ． ０ ， ｒ ｃｓ 故Ｃ、ＣＤ、Ｂ Ｄ、Ａ Ｂ的长 即可求出二面角的大小． 二、 应用举例
厦
面角 —ＥＦ—Ｄ的大小为 ａＥ Ｏ ． Ｘ Ｓ Ｃ
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“ 对是蒙 对的！ 艮 ＇ 多选 （ ） ， 彳 Ｂ 的同学说，“ 我的
运气真是太好了． ”
维普资讯
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数学教 学
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翻开 的书页一 一个常见求二面角的有效图形
０６ ４ 河北省秦皇岛开发区燕大附中 吉 众 ６０ ０
看书是我们再熟悉不过 的一件事情了， 任意 翻开一本书就可构成二面角 Ｑ一２ ； ２ 一 在 上取
补； 设法求得 、 Ｄ、ＢＤ、 Ｂ的长， 再求二 面角只是简单 的计算 ， 举手之劳， 如图 ３ 请看： ．
二面角问题求解方法大全
二面角问题求解方法大全本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March五法求二面角一、 定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AMB --的大小。
练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角E —AF —C 的余弦值.二、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。
例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 111111ABCD P -ABCD60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PABPC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。
（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。
下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。
斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。
尤其对无棱问题5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。
分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PEAC=AB ，PB=PC ∴AE ⊥ BC ，PE ⊥BC∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6PCBAE∴PEA ∠=900∴二面角P-BC-A 的平面角为900。
例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC由三垂线定理知BF ⊥PC∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE=23,EF=42∴tan BFE ∠=6=EFBE∴BFE ∠=arctan 6解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FMAB=AC,PB=PC ∴AE ⊥BC,PE ⊥BC∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC∴平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE由三垂线定理知AM ⊥PCPC BAEF MEPCBAF图1图2∴FMA ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.=PE AE AP∴sin FMA ∠=742=AM AF ∴FMA ∠=argsin742解3：（投影法）过B 作BE ⊥AC 于E,连结PE ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC∴BE ⊥平面PAC∴PEC ∆是PBC ∆在平面PAC 上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141=∆PEC S ,47=∆PBC S由射影面积公式得，77cosarg ,77=∴==∆∆θθPBC PEC S S COS , 解4：（异面直线距离法）过A 作AD ⊥PC,BE ⊥PC 交PC 分别于D 、E 设PA=1,则AD=22,PB=PC=2 ∴BE=PC S PBC 21∆=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得 AB 2=AD 2+BE 2+DE 2-2ADBE θCOS ,θCOS =77cos arg ,77=∴θ [点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
立体几何中二面角的求法
立体几何中二面角的求法二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点。
近几年的高考试题中，几乎每年都涉及到二面角的求法。
常见的二面角求法有定义法、垂线法、垂面法、延伸法和射影法。
定义法是通过定义直接求出二面角的大小。
例如，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，若E为CC1的中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数，可以通过定义法直接作出二面角的平面角。
垂线法是通过垂线的性质来求出二面角的大小。
例如，在三棱锥V-ABC中，若VA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角EBD-C的度数，可以应用垂线法作出二面角的平面角。
垂面法是通过垂面的性质来求出二面角的大小。
例如，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E、F分别是AB、C1D1的中点，要证明A1、E、C、F四点共面，可以通过垂面法证明，并进一步求出二面角A1-EC-D的大小。
延伸法是通过延伸线段来求出二面角的大小。
例如，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若D为CC1的中点，要求平面A1BD与平面ABC所成二面角的度数，可以应用延伸法，将线段BD向外延伸，再作出二面角的平面角。
射影法是通过射影的性质来求出二面角的大小。
例如，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M为AA1上点，且EC-D的平面角：根据图示，平面A'BD与平面ABC只有一个交点。
因此，将A'D延长与AC相交于F点，连接BF，BF即为所求二面角的棱。
由于CD=C'D，所以A'C'=CF=BC=AC，因此∠ABF=90°。
取BF的中点E，连接DE，则CE垂直于BF，又DC垂直于平面ABF，因此DE垂直于BF，从而∠DEC为所求二面角的平面角。
需要注意的是，本题也可以使用射影法求二面角的度数。
例5：本题旨在使用射影法求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角的度数。
立体几何中二面角8个常用求法
⽴体⼏何中⼆⾯⾓8个常⽤求法
⼆⾯⾓定义的回顾：
⼆⾯⾓的通常求法
1、由定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
2、利⽤三垂线定理（逆定理）作出⼆⾯⾓的平⾯⾓；
3、作⼆⾯⾓棱的垂⾯，则垂⾯与⼆⾯⾓两个⾯的交线所成的⾓就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。
4、空间坐标法求⼆⾯⾓的⼤⼩
5、平移或延长（展）线（⾯）法
6、射影公式S射影=S斜⾯cosθ
7、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
⼀、利⽤定义作出⼆⾯⾓的平⾯⾓，并设法求出其⼤⼩。
⼆、三垂线定理（逆定理）法
由⼆⾯⾓的⼀个⾯上的斜线（或它的射影）与⼆⾯⾓的棱垂直，推得它位于⼆⾯⾓的另⼀的⾯上的射影（或斜线）也与⼆⾯⾓的棱垂直，从⽽确定⼆⾯⾓的平⾯⾓。
四、找（作）公垂⾯法
由⼆⾯⾓的平⾯⾓的定义可知两个⾯的公垂⾯与棱垂直，因此公垂⾯与两个⾯的交线所成的⾓，就是⼆⾯⾓的平⾯⾓。
五、平移或延长（展）线（⾯）法
将图形中有关线段或平⾯进⾏平移或延长（展），以其得到⼆⾯⾓的两个平⾯的交线。
图⼆：
六、射影公式
由公式S射影=S斜⾯cosθ，作出⼆⾯⾓的平⾯⾓直接求出。
运⽤这⼀⽅法的关键是从图中找出斜⾯多边形和它在有关平⾯上的射影，⽽且它们的⾯积容易求得。
图⼆：
七、化归为分别垂直于⼆⾯⾓的两个⾯的两条直线所成的⾓
图⼆：
图三：
⼋、空间向量求解⼆⾯⾓
求解⼆⾯⾓⼤⼩的⽅法很多，诸如定义法、三垂线法、垂⾯法、射影法、向量法等若⼲种。
⽽这些⽅法中最简单易学的就是向量法。
图⼆：
图四：
图五：
图六：
图七：
图⼋：
图九：
图⼗：。
二面角的求法课件5
A
从一条直线出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角。
• 二面角的大小用它的平面角来度量； 求二面角常用方法有：
B
（1）定义法： 根据定义作出二面角的平面角； （2） 用三垂线定理或其逆定理；
P
a
B
A
A
（3）垂面法： 作二面角棱的垂面，则垂面
O
P
和二面角的两个面的交线所成的角即是该二
面角的平面角。
B
二面角求法
3
例1 在正方体AC1中，E为BC中点，3（1）求面 B1BCC1与面AB1C所成的二面角的正弦值；（2）
求二面角E—B1D1—C1的正切值。2 2
D A
C
D
B
A
C E
B
F
D1
A1
（1）
C1
B1
A1
D1
H
（2）
C1 G B1
例2、如图，△ABC在平面α上的射影为正△AB1 C1，
CF 2 m2 n2 2mn cos 再由RtECF可得 EF 2 d 2 m2 n2 2mn cos
mA
E
d d
mB n
C
F
用此公式亦可求二面角的平面角；这实为异
l
面直线上两点的距离公式，但这里不局于限(0º,90º],
(0º,180º)。
B
5
600 aE
P 3
A
例4 已知Rt△ABC顶点A不在α内，斜边BC在α内，
AB、AC分别与平面α成300、450角，求△ABC所在
平面与α所成角。
A
A1
300
450
B
E
二面角的求法总结
二面角的求法总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊二面角的求法总结！咱就说，这二面角啊，那可是立体几何里的一块儿硬骨头呀！
比如说，想象一下，有两个平面，就像两面墙似的，它们相交的那个角，那就是二面角啦！那怎么求这个角呢？咱可以用定义法呀！就像你要找到一个秘密宝藏的入口一样，得仔细去找那个关键的角。
比如有个图形，你通过仔细分析找到那两个平面的交线，然后在交线上找个点，向两个面做垂线，这垂线和交线组成的角不就是咱要找的二面角嘛！
还有三垂线法呢！你看，这就好比有个侦探在找线索，通过一些蛛丝马迹，运用三垂线定理来找到二面角。
比如说有个立体图形摆在那，你得开动脑筋，找出那些隐藏的垂线，然后顺着这个线索求出二面角，是不是很神奇？
再来说说射影面积法！哇哦，这可有意思啦！就像给一个物体照影子，通过影子的大小和形状来推断物体本身。
比如有个复杂的图形，你通过求出某个面在另一个面上的射影面积，再结合它们之间的关系，就能求出二面角啦，多有意思呀！
向量法你们可不能忘啊！这就像拥有了超能力一样，可以用向量这个强大的工具来解决二面角问题。
想象你是个超级英雄，拿着向量这个武器，勇敢地冲向那个复杂的立体图形，几下子就把二面角给搞定了！
总之，求二面角的方法那可真是多种多样啊！我们得像探险家一样，根据不同的情况选择合适的方法，不断去探索，去发现！我觉得吧，只要我们用心去学，认真去钻研，就没有搞不定的二面角！大家一起加油哦，让我们在数学的世界里尽情遨游吧！。
求二面角的几何法
3种求二面角的几何法二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关键在于充分利用平面角的定义。
下面来介绍求二面角的大小的几种方法：直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。
例1. 如图 ABCD 是矩形，AB =a ，BC =b (a >b)，沿对角线AC 把 △ADC 折起，使 AD ⊥BC ，证明：平面 ABD ⊥平面BCD 。
证明：由题意可知：AD ⊥BC ，AD ⊥DC∴ AD ⊥面BCD 又 AD 面ABD ∴ 平面ABD ⊥平面BCD例2. 在四棱锥 A-BCDE 中，底面是直角梯形，其中 BC ∥DE ，∠BCD =90°，且 DE =CD =21BC ，又AB =AE =21BC ，AC =AD ， 求证：面ABE ⊥面BCD 。
证明：取BE 的中点M ，CD 的中点N ， 连结 AM ，AN ，MN ，∵ AB =AC (已知) ∴ AM ⊥BE同理 AC =AD 有AN ⊥CD 在直角梯形BCDE 中，∵ M 、N 分别是BE 、CD 的中点 ∴ MN ∥BC 又 ∠BCD =90° ∴ MN ⊥CD ∴ CD ⊥面AMN ∴ CD ⊥AM又 AM ⊥BE ，CD 、BE 是梯形的两个腰，即它们一定相交，CB∴ AM ⊥面BCD ， 又AM 面ABE ∴ 面ABE ⊥面BCD 。
当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。
1.充分利用二面角的定义，证明某角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定理或其逆定理把它作出来再计算。
例3.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =32 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。
解：由已知条件，D 是BC 的中点∴ CD =BD =2 又△ADC 是正三角形 ∴ AD =CD =BD =2∴ D 是△ABC 之外心又在BC 上 ∴ △ABC 是以∠BAC 为直角的三角形， ∴ AB ⊥AC ， 又 PC ⊥面ABC∴ PA ⊥AB (三垂线定理)∴∠PAC 即为二面角 P-AB-C 之平面角， 易求 ∠PAC =30°例4.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC 为面的二面角的度数。
二面角的几种求法
二面角的几种求法4.1概念法顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。
例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。
求二面角A BC D --的大小。
图2分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。
解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。
根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。
又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。
根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。
可以求出AE =DE =3AD =。
根据余弦定理知：22222237cos 24AE DE ADAED AE DE+-+-∠===-⨯ 即二面角A BC D --的大小为7arccos 4π-。
同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。
图3解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。
由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。
即AE PD ⊥。
由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。
通过计算可以得到：PC =PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到CE =AE CE ==，又AC =。
由余弦定理：222222133cos 22223AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅ 即：23AEC π∠=。
4.2空间变换法空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。
下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
例3：如图4所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE，点F在平面α内，点C在平面β内。
求二面角F DE C--的大小。
图4分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面β于点B。