配套K12内蒙古集宁一中2017-2018学年高二数学下学期第二次月考试题 理

集宁一中2017—2018学年第二学期第二次月考
高二年级理科数学试题
本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1．
31i
i
+=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -
2. 若x,y 满足约束条件
x 0x y 30x 2y 0⎧≥⎪
≥=+⎨⎪≤⎩
+-，则z 2-x y 的取值范围是
A.[0,6]
B. [0,4]
C.[6, +∞）
D.[4, +∞）
3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是
A. π
+12
B.
π+32 C. π3+12 D. π
3+32
4．证明1＋12＋13＋14＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *
)，假设n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项
数是( )
A ．1
B ．k －1
C ．2
k
D ．k
5. 执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =（ ）
A 3
B 4
C 5
D 6
6．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
7．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
则f′(0)＝( )
A. 26
B. 29
C. 212
D. 215
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）
A．πB．3π
4
C．
π
２
D．
π
4
9.设a,b是两条不同的直线，αβ
、是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊂α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
10．若双曲线C:22221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2
224x y -+=所截得的
弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2 B
D
．
3
11．设函数'
()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，
'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(,1)(0,1)-∞-
B ．(1,0)(1,)-+∞
C ．(,1)
(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞
12. 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的
左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
A ．1
3
B ．12
C ．2
3 D ．3
4
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，共20分，把正确答案填在答题纸上对应横线处）
13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = ． 14. 已知
()
f x 为偶函数，当0x <错误！未找到引用源。

时，()ln()3f x x x =-+错误！未
找到引用源。

，则曲线()
y f x =在点(1,3)-处的切线方程是_______________．
15．已知1
1
e
a dx x
=
⎰
，则61()x ax -展开式中的常数项为_______。

16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值
18.（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2
π
∠BA =
，C 1AB =B =，
D 2A =，
E 是D A 的中点，O 是C A 与BE 的交点．将∆ABE 沿BE 折起到1∆A BE 的位
置，如图2．
（I ）证明：CD ⊥平面1C A O ；
（II ）若平面1A BE ⊥平面CD B E ，求平面1C A B 与平面1CD A 夹角的余弦值． 19．（本小题满分12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出
的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气
温位于区间[)2025，
，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 20. (本小题满分12分) 函数
()2f x x x
=-+.
（1）求函数f(x)的值域； （2） 若
()1
g x x =+，求g(x)<f(x)成立时x 的取值范围。

21. （本小题12分）
已知椭圆E :22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ,M
两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t =4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2|AM|=|AN|时，求k 的取值范围. 22（本小题满分12分） 已知函数()()(),ln x
g x f x g x ax x
=
=-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值；
（Ⅲ）若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+（0>a ）成立，求实数a 的取值范围.
高二理数数学答案
一、选择题：
1～5. DDACB ； 6～10.DCBDA ； 11～12. AA.
二、填空题
13. 1.96； 14. 21y x =-- 15. -20 16. 6
三、解答题
17【解】 （1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设
知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM = 由16OM OP =得2C 的极坐标方程()
cos =4＞0ρθρ 因此2C 的直角坐标方程为
()()2
2240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρπ
ααπα∠⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭⎛⎫
=--
⎪⎝⎭≤+
当=-12
π
α时，S 取得最大值
18（1）略；（II
19解：【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500
()2161
2003035P X +===⨯ ()362
3003035P X ===⨯ ()25742
5003035
P X ++==
=⨯.
则分布列为：
⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.
②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =
⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣
⎦ 880026800555
n n n -+=+=
此时max 520Y =，当300n =时取到.
③当300500n <≤时，
()()()()122
20022002300230022555
Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025
n
-=
此时520Y <.
④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.
综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.
20（1）[)∞+，
2 5分 （2）()()∞+⋃，31,3- 12分 21. （I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22
143
x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127
y =. 因此AMN ∆的面积11212144
227749
=⨯⨯
⨯=
.
（II ）由题意3t >，0k >，()
A .
将直线AM
的方程(y k x =+代入22
13
x y t +=得(
)22222330tk x x t k t +++-=.
由(22
123t k x tk ⋅=+
得)
212
33tk x tk -=+
，故
1AM x ==
由题设，直线AN 的方程为(1
y x k
=-
，故同理可得AN ==，
由2AM AN =得22
233k tk k t
=++，即()()3
2321k t k k -=
-. 当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
323321
32022
k k k k k k k -+-+-=<--，
即32
02k k -<-.由此得3
2020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020
k k -<⎧⎨
->⎩2k <<
. 因此k 的取值范围是)
2.
22解：函数)(),(x f x g 的定义域均为（0,1）⋃（1，∞+），且ax x x
x f -=
ln )(. 1分 （Ⅰ）函数
2
2)(l n
1ln )(ln 1
ln )(x x x x x x x g -=⋅
-=',
当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ;当e >x 时,0)(>'x g . 所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(,
增区间是),e (+∞. 3分
（Ⅱ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，故2
ln 1()0(ln )
x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立， 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤． 又()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()2
11
1ln 2
4
a x =--+-， 故当11ln 2x =，即2e x =时，max 1()4
f x a '=-．
所以10,4a -≤于是14a ≥，故a 的最小值为14
． 6分 （Ⅲ）命题“若212,[e,e ],x x ∃∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于
“当2[e,e ]x ∈时，有()min max ()f x f x a '≤+”．
由（Ⅱ），当2[e,e ]x ∈时，max 1()4f x a '=-，∴()max 14f x a '+=．
问题等价于：“当2[e,e ]x ∈时，有min 1()4f x ≤”． 8分
01当14
a ≥时，由（Ⅱ）
，()f x 在2[e,e ]上为减函数， 则min ()f x =2
22e 1(e )e 24
f a =-≤，故21124e a ≥-．
2当0<14a <时，由于()f x '()2
11
1ln 2
4
a x =--+-在2
[e,e ]上为增函数， 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f ''，即1[,]4
a a --．
由()f x '的单调性和值域知，
∃唯一20(e,e )x ∈，使0()0f x '=，且满足：
当0(e,)x x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当20(,e )x x ∈时，()0f x '>， ()f x 为增函数；
所以，min ()f x =0
0001()ln 4
x f x ax x =
-≤，20(e,e )x ∈． ∴2001111111ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=，与104
a <<矛盾，不合题意．
综上，得21124e
a ≥-． 1。