无穷级数-1
无穷级数11-1
∞
记 rn = S − S n = un+1 + un+ 2 + ⋯
称为该级数的余和 余项 余式) 称为该级数的余和(余项 余式 余和 余项,
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哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
讨论级数的敛散性: 例 1 讨论级数的敛散性
1 (1) ∑ n ( n1+1) ; (2) ∑ ln(1 + n ) ; (3) ∑ ( −1) n . n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞
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哈 尔 滨 工 程 大 学 微 积 分
2 3 n 解 (2) S n = ln + ln + ⋯ + ln 1 2 n−1 = ln n → +∞
1 级数发散,即 不表示任何数.但为了方便可写 级数发散 即 ∑ ln(1 + n )不表示任何数 但为了方便可写 n =1 ∞ ∞
重点与难点
重点：无穷级数收敛和发散的概念; 重点：无穷级数收敛和发散的概念 正项级数的比值审敛法; 正项级数的比值审敛法 级数绝对收敛与收敛的关系; 级数绝对收敛与收敛的关系 幂级数的收敛半径与收敛区间; 幂级数的收敛半径与收敛区间 Taylor级数 级数; 级数 函数的幂级数展开式; 函数的幂级数展开式 函数的Fourier级数 级数; 函数的 级数 函数展开为正弦或余弦级数。 函数展开为正弦或余弦级数。
(ii) 从形式上看 有 lim S n = lim ∑ uk = ∑ un 从形式上看, n→ ∞ n→ ∞
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k =1 n =1
无穷级数审敛法汇总(一)
无穷级数审敛法汇总（一）\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|<\varepsilon 。
证：\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0,\exists N>0,n>m>N 时,\exists \ a,\Big|\sum_{k=1}^m a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2},\Big|\sum_{k=1}^n a_k-a\Big|<\frac{\varepsilon}{2}\implies\Big|\sum_{k=m+1}^na_k\Big|=|a_{m+1}+\cdots+a_n|=\Big|\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^m a_k\Big|\leq\Big|\sum_{k=1}^n a_k\Big|+\Big|\sum_{k=1}^ma_k\Big|<\varepsilon.\qquad \qquad \square二.比较判别法（正项级数）正项级数 \sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n ,若 \exists N\in \mathbb{N},c_1>0,c_2>0, 且n>N,c_1a_n\leq c_2b_n ，则\sum_{n=1}^\infty b_n 收敛 \implies\sum_{n=1}^\infty a_n 收敛； \sum_{n=1}^\infty a_n 发散\implies\sum_{n=1}^\infty b_n 发散。
高等数学无穷级数11-1
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与kun
有相同的敛散性.
n1 n1
证 令un与kun 的部分和分别为 sn 及n .
n1 n1
则 n k1u k2u kn u
k(u 1u 2 u n) ksn
于是 当sns, nksn ks ;
当sn不存在极k限 0时 且 ,
nksn 也不存在极限.
所以, un与kun 有相同的敛散性.
n1
n1
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.
性质2 设有两个级数 un与vn,
n1
n1
若 un s , v n , 则 (unvn)s.
n1
试判别级数 (un a) 的敛散性.
n1
解
因为 u n
n1
收敛, 故
ln im un 0.
从而 ln i m (una)a0
故级数 (un a) 发散.
n1
求级数
n1
5 n(n
1)
1 2n
的和.
解
收敛.
n0aqn当 当qq
1时, 收敛 1时, 发散
例 讨论级数 3lnna(a0) 的敛散性.
n1
解 因为 3 ln n a 是以 lna
n1
为公比的等比级数, 故
当1 ae时, |lna|1, 级数 收敛.
e
当0 a
数学竞赛无穷级数(一)
n!1an 1
an 1
1
lim
ˇˇf .x/ˇˇ dx D 0. 记 un
f .x/ dx. 则无穷级数 P un 的敛散性
n!1 an
an
nD1
b
与瑕积分 f .x/ dx 的敛散性相同。
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
3. 广义积分与无穷级数的收敛性的联系
定理 5 设 a 为一整数，函数 f .x/ > 0 在 Œa; C1/ 上单调减少，un
1
C1
f .n/. 则无穷级数 P un 的敛散性与广义积分
f .x/ dx 的敛散性相同。
nDa
a
例4
当实数
p
取何值时，级数
1
P
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
所以当 a < e 时，原级数收敛；当 a > e 时，发散。
例1
设
a
>
0
为常数，试判断级数
1
P
nD1
an nŠ nn
的敛散性。
解 注意到
D
lim
n!1
anC1 .n C 1/Š.an nŠ
.n C 1/nC1
nn
D
lim
n!1
ann .n C 1/n
a
a
D lim
n!1
1
C
1 n
nD e:
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
对于形如$sum a^{n^2}$的级数，我们可以通过根号审敛法来判断其敛散性。
积分审敛法及其他方法简介
积分审敛法原理
设$f(x)$在$[1, +infty)$上非负且单调减少，则级数$sum_{n=1}^{infty} f(n)$与广义 积分$int_{1}^{+infty} f(x) dx$同敛散。
和函数求解技巧和性质总结
和函数求解技巧
和函数是幂级数的和，可以通过逐项积分、逐项求导 等方法求解。在求解过程中，需要注意积分和求导后 的收敛半径可能发生变化。
和函数性质
和函数具有连续性、可积性、可导性等性质。在收敛 域内，和函数可以表示为原函数的形式，从而方便进 行各种运算和分析。
典型例题分析与解答
足单调递减条件，因此不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。实际上，该级数发散。 • 例题2：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^2}$的敛散性。 • 解答：该级数为交错级数。对于数列$\frac{1}{n^2}$，由于$\frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{n^2}$且$\lim{n
VS
交错级数性质
若交错级数收敛，则其满足$u_{n+1} leq u_n$，且$lim_{n to infty}u_n = 0$。
莱布尼茨判别法原理及应用举例
莱布尼茨判别法原理
对于交错级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}u_n$，若数列${u_n}$单调递减且$lim_{n to infty}u_n = 0$，则该级数收敛。
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该幂级数的系数是 $frac{1}{n}$，可以通过比值 法或根值法求出收敛半径为1。 然后通过对幂级数逐项积分 或逐项求导等方法求出和函 数为$lnfrac{1}{1-x}$，但需 要注意收敛域为$(-1,1)$。
第十章 无穷级数1 柯西收敛原理与数项级数的概念
也收敛,并收敛于cS .
❖ 设有两级数 ak 与 bk .若存在一个 N ,使得
k 1
k 1
ak bk , 当 k N ,
则两个级数敛散性相同.
❖ 将收敛级数的项任意加括号所成的新级数,仍然收
敛到原级数的和. (反之不成立!)
Remark:
1. 级数收敛与否,与前有限项的取值无关.
2. 设 ak收敛, bk发散,则 (ak bk ) 一定发散.
k 1
k 1
k 1
设 ak发散, bk发散,则 (ak bk ) 不一定发散.
k 1
k 1
k 1
例如: (1)n 发散, (1)n1发散.
n1
n1
思考题
判断级数
1
n1 n(n 1)(n 2)
是否收敛;若收敛,求其和.
思考题答案
an
1 2
( n1
n
1
) 1
( n
1
1
n
1
2)
数学分析II
第十章 无穷级数
§1 柯西收敛原理与数项级数的概念
生物数学教研室
1. Cauchy收敛原理
定理 1 (Cauchy收敛原理)
Cauchy序列
设an是一个序列,则an有极限的充要条件是:
0, N , s.t. 当 n N , m N 时,有
an am .
定理 2 (函数的Cauchy收敛原理)
4 3
n1
P1
n 1,2,
An
An1
3{4n2
[(
1 )n1 9
A1
]}
A1
3
1 9
A1
3
4
(1)2 9
高数课件28无穷级数1常数项级数审敛法
un1 ( n 1)! 10 n n 1 ( 2) ( n ), n 1 10 un n! 10
n! 故级数 n 发散. n1 10 un1 ( 2n 1) 2n 1, lim lim n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
证明 (1) 设 vn un vn ,
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn
即部分和数列有界
un收敛. n 1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0 时，若
v n 收敛, 则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
n 1 n 1
un 证明 (1) 由lim l n v n
n n
s,
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un1 un 2 ),
rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
( 1) n n 例 7 判别级数 的收敛性. n1 n 2
x (1 x ) ( ) 解 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1) x 故函数 单调递减, un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
7 无穷级数-1
∞
1 1 1 1 1 1 1 = 1 + + ++ 2 2 3 3 4 n n +1 1 =1 n +1 1 =1 因此 lim Sn = lim 1 n→∞ n→∞ n +1 所以级数收敛,其和为1. 所以级数收敛,其和为 .
证: 设 Sn = u1 + u2 + u3 + Wn = v1 + v2 + v3 +
un ,且 lim Sn = S vn ,且 lim Wn = W
n→∞
n→∞
项部分和为T 设级数 ∑ ( un ± vn ) 的前 n 项部分和为 n ,则 Tn = ( u1 ± v1 ) + ( u2 ± v2 ) + … + ( un ± vn ) = (u1 + u2 + u3 + … + un ) ± (v1 + v2 + v3 + … = Sn ± Wn 因此 lim Tn = lim (Sn ±Wn ) = S ±W 所以
1. 定义 给定一个数列{un},则表达式 定义: u1 + u2 + u3 + … + un + … 称为无穷级数 简称级数 简称级数). 简记为 ∑ un , 称为无穷级数 (简称级数 . 称为级数的一般项. 第 n 项 un 称为级数的一般项. 项的和, 部分和, 级数的前 n 项的和 称为级数的前 n 项部分和 记为 Sn , 即:
是否收敛? 例3: 判断级数 1 1 + 1 1 + 1 1 + …… 是否收敛? 考虑部分和: 解: 考虑部分和 S1 = 1, S2 = 1 1 = 0, S3 = 1 1 + 1 = 1, S4 = 1 1 + 1 1 = 0 , …… 部分和数列{Sn } :1,0,1,0,1,0,1 …… 因为这个数列没有极限, 级数没有和.所以它发散. 因为这个数列没有极限 级数没有和.所以它发散.
第八章 数列与无穷级数 1
从而必有： | 从而必有：an − L |=| f ( n) − L |< ε成立 ,
故, lim an = L.
n→ ∞
8
讨论下列数列的敛散性, 并求收敛数列的极限. 例1. 讨论下列数列的敛散性 并求收敛数列的极限
e (1){ n }; ( 2){ 2 }; ( 3) {sin nπ }. n (1) 令， f ( x ) = x x，则 f ( n) = n n = a n , 解:
注意 : 定理 2中的 L为 ∞ ( −∞ , 或 + ∞ )时 , 结论仍然成立 .
10
e ( 2){ 2 }. n
n
lim 解: n→∞ sin nπ = n→∞ 0 = 0.
注意： 若令 f ( x ) = sin xπ , 注意：
不能由 lim f ( x ) = lim sin xπ不存在 ,
17
若对任意的正整数n, 都有: 定义 若对任意的正整数 都有 an≤an+1, (或an+1≤an) 或 则称数列{a 是单调增加 或是单调减少)数列 是单调增加(或是单调减少 数列。 则称数列 n}是单调增加 或是单调减少 数列。 定理7 单调有界数列必有极限. 定理 单调有界数列必有极限 单调增加有上界数列必有极限, 单调增加有上界数列必有极限 和单调减少有下界数列必有极限。 和单调减少有下界数列必有极限。
( 2)若 lim a n = L, 且存在正整数 N , 使得 n > N时 ,
n→ ∞
必有： 必有： an > 0(或an < 0), 则L ≥ 0(或L ≤ 0).
14
1 . 计算下列极限: 例2. 计算下列极限 (1) lim 2 n→ ∞ n + n + 1 − n
7--1 无穷级数
∞
例 2 讨论 P-级数
1 1 1 1 1 + p + p + p + L + p + L的收敛性.( p > 0) 的收敛性. 2 3 4 n
解
设 p ≤ 1,
设 p > 1, 由图可知
二、级数的概念
级数的定义: 1. 级数的定义:
∞
一般项 (常数项 无穷级数 常数项)无穷级数 常数项
∑un = u1 +u2 +u3 +L+un +L n=1
级数的部分和 部分和数列 s1 = u , s2 = u + u , 1 1 2
sn = u + u2 +L un = ∑ui + 1
i=1
收敛, 这时极限 s 叫做级数 收敛 ,
∑u
n =1
∞
n
的和. 并写 的和 .
成 s = u1 + u2 + L + u3 + L
没有极限, 如果sn没有极限,则称无穷级数 发散. ∑u 发散.
n=1 n ∞
常数项级数收敛(发散) lim 存在(不存在) 即 常数项级数收敛(发散) ⇔ sn存在(不存在)
技巧: 技巧 拆项相消” 利用 “拆项相消” 求 和
三、基本性质
质1 果 数 un 收 ,则 ku 亦 敛 性 1 如 级 质 敛 ∑ n 收 .
n=1
n=1
∑
∞
∞
结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 敛散性不变.
无穷级数常见6个公式
无穷级数常见6个公式所谓无穷级数，是指一种非常普遍存在的数学概念，它指由一个有限个元素组成的数列，其元素满足某些矩阵关系，其和无穷不尽，且不可能得出它的终值。
无穷级数经常被用来求得某有限步之和或有限非正式步之和，其中常见六个公式分别是求和的加法公式、减法公式、乘法公式、除法公式、指数函数公式和对数函数公式。
1、加法公式加法公式是无穷级数中应用最为广泛的公式，它表达的思想是，任何正数的和都可以表示成一个无穷级数的和：a1 + a2 + a3 + ... + an =an其中，a1，a2，a3，…，an是一组数，即所有正数的和，它以有限或无穷级数来等价表示。
2、减法公式减法公式用来描述减法的等价关系，即任何一个正数的差值（无论是有限的还是无穷的）也可以被无穷级数形式表示：a1 - a2 - a3 - ... - an =an其中，a1，a2，a3，…，an是一组数，以有限或无穷级数形式表示所有正数的差值。
3、乘法公式乘法公式既可用来描述乘法等价关系，也可用来描述有限和无穷级数乘法的等价关系。
无穷级数和有限级数相乘，得到的还是一个无穷级数：a1a2a3...an = (a1 + a2 + a3 + ... + an) (a1a2...an) 其中，a1，a2，a3，…，an是一组有限数，用有限或无穷级数形式表示所有有限的乘法。
4、除法公式除法公式用来描述有限和无穷级数的除法的等价关系：a1a2a3...an / a2a3...an = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / an 其中，a1，a2，a3，…，an都是有限数，用无穷级数形式表示所有有限的除法。
5、指数函数公式指数函数公式用来描述指数函数的等价关系：a1 + a2 + a3 + ... + an = an (1 + a1/an + a2/an + ... + (an-1)/an)其中，a1，a2，a3，…，an都是有限数，用无穷级数形式表示指数函数。
(高数详解1-10章全部)10第十章无穷级数
第十章无穷级数【考试要求】1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质．2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法．3．掌握几何级数、调和级数与p级数的敛散性．4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法．5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间．6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）．7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法．【考试内容】一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义一般地，如果给定一个数列 1u ，2u，，n u，，则由这数列构成的表达式123n u u u u +++++叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数，记为1nn u∞=∑，即1231n n n u u u u u ∞==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念作常数项级数1nn u ∞=∑的前n 项和121nn n i i s u u u u ==+++=∑，ns 称为级数1nn u ∞=∑的部分和，当n 依次取1,2,3,时，它们构成一个新的数列11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，，1n s u =，． 如果级数1nn u ∞=∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞=，则称无穷级数1n n u ∞=∑收敛，这时极限s 叫做这级数的和，并写成123n s u u u u =+++++或者1nn us ∞==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷级数1n n u ∞=∑发散．3．收敛级数的基本性质（1）如果级数1nn u ∞=∑收敛于和s ，则级数1nn ku ∞=∑也收敛，且其和为ks ．一般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数1nn u ∞=∑、1nn v ∞=∑分别收敛于和s 、σ，则级数1()nn n uv ∞=±∑也收敛，且其和为s σ±． （3）在级数1nn u ∞=∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性．（4）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变． （5）如果级数1nn u ∞=∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞=． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞不为零，则级数1n n u ∞=∑一定发散．4．几个重要的常数项级数（1）等比级数级数21nnn q q q q ∞==++++∑或 21nnn q q q q ∞==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数的公比．其收敛性为：当1q <时，级数收敛；当1q ≥时级数发散． （2）调和级数级数11111123n nn∞==+++++∑ 称为调和级数，此级数是一个发散级数． （3）p 级数级数11111123p p p pn nn ∞==+++++∑称为p 级数，其中常数0p >．其收敛性为：当1p >时，级数收敛；当1p ≤时级数发散．二、正项级数的审敛法 1．比较审敛法设1n n u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数，且存在正数N ，使当n N ≥时有n n u v ≤成立．若级数1nn v ∞=∑收敛，则级数1n n u ∞=∑收敛；如果级数1nn u ∞=∑发散，则级数1nn v ∞=∑也发散． 2．比较审敛法的极限形式设1nn u ∞=∑和1nn v ∞=∑都是正项级数．（1）如果lim nn nu l v →∞=，0l ≤<+∞，且级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；（2）如果lim nn nu l v →∞=，0l <≤+∞，且级数1n n v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散．说明：极限形式的比较审敛法，在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下，其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶．上述结论表明，当n →∞时，如果n u 是与n v 同阶或是比n v 高阶的无穷小，而级数1n n v ∞=∑收敛，则级数1nn u∞=∑收敛；如果n u 是与n v 同阶或是比n v 低阶的无穷小，而级数1nn v ∞=∑发散，则级数1nn u ∞=∑发散． 3．比值审敛法（达朗贝尔判别法）设1nn u∞=∑为正项级数，如果1lim n n nu u ρ+→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或1limn n nu u +→∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．4．根值审敛法（柯西判别法）设1nn u ∞=∑为正项级数，如果lim n ρ→∞=，则当1ρ<时级数收敛；1ρ>（或lim n →∞=+∞）时级数发散；1ρ=时级数可能收敛也可能发散．三、交错级数及其审敛法1．交错级数的概念所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正负交错的，从而可以写成下面的形式：1234u u u u -+-+=，或12341(1)nnn u u u u u ∞=-+-+-=-∑ ，其中1u ，2u，都是正数．2．交错级数的审敛法—莱布尼茨定理如果交错级数11(1)n nn u ∞-=-∑满足条件：（1）1n n u u +≥ （1,2,3,n =）；（2）lim 0n n u →∞=．则级数收敛．四、绝对收敛与条件收敛 1．绝对收敛与条件收敛对于一般的级数12n u u u ++++ ，它的各项为任意实数．如果级数1nn u ∞=∑各项的绝对值所构成的正项级数1nn u ∞=∑收敛，则称级数1nn u ∞=∑绝对收敛；如果级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1nn u ∞=∑发散，则称级数1n n u ∞=∑条件收敛．例如，级数1211(1)n n n ∞-=-∑是绝对收敛级数，而级数111(1)n n n ∞-=-∑是条件收敛级数．对于绝对收敛级数，我们有如下结论：如果级数1nn u ∞=∑绝对收敛，则级数1nn u ∞=∑必定收敛．这说明，对于一般的级数1nn u ∞=∑，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nn u ∞=∑收敛，则此级数一定收敛．这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化为正项级数的收敛性 判定问题． 2．重要结论一般说来，如果级数1nn u ∞=∑发散，我们不能断定级数1nn u ∞=∑也发散．但是，如果我们用比值审敛法或根值审敛法根据1lim 1n n nu u ρ+→∞=>或lim 1n ρ→∞=>判定级数1n n u ∞=∑发散，则我们可以断定级数1nn u ∞=∑必定发散（这是因为从1ρ>可推知n →∞时n u 不趋于零，从而n →∞时n u 也不趋于零，因此级数1nn u ∞=∑发散）． 五、幂级数 （一）函数项级数1．函数项级数的定义如果给定一个定义在区间I 上的函数列 1()u x ，2()u x ，，()n u x ，，则由这函数列构成的表达式123()()()()n u x u x u x u x +++++称为定义在I 上的函数项无穷级数，简称函数项级数．2．收敛域、发散域、和函数对于每一个确定的值0x I ∈，函数项级数1()n n u x ∞=∑成为常数项级数102030()()()u x u x u x +++．如果该常数项级数收敛，就称点0x 是函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点；如果该常数项级数发散，就称点0x 是发散点．函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为收敛域，发散点的全体称为发散域．对应于收敛域内的任意一个常数x ，函数项级数成为一收敛的常数项级数，因而有一确定的和s ．这样，在收敛域上，函数项级数的和是x 的函数()s x ，通常称()s x 为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成 123()()()(s x u x u x u x=++ ．（二）幂级数及其收敛性1．幂级数的定义函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数，即所谓幂级 数，形式为012nn n a x a a x a x ∞==++∑，其中常数0a ，1a ，2a ，，n a ，叫做幂级数的系数． 2．阿贝尔定理 如果级数nn n a x ∞=∑当0x x =（00x ≠）时收敛，则适合不等式0x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛．反之，如果级数nnn a x ∞=∑当0x x =时发散，则适合不等式0x x >的一切x 使这幂级数发散．由上述定理可以推出，如果幂级数nn n a x∞=∑不是仅在0x =一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数R 存在，使得当x R <时，幂级数绝对收敛；当x R >时，幂级数发散；当x R =或x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散．正数R 叫做幂级数的收敛半径，开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间．3．求收敛半径及收敛区间的方法 （1）对于标准形式的幂级数nnn a x ∞=∑或1nnn a x ∞=∑，有如下方法：如果1lim n n na a ρ+→∞=，其中n a 、1n a +是幂级数0nn n a x ∞=∑的相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径1,0,00,R ρρρρ⎧≠⎪⎪⎪=+∞=⎨⎪=+∞⎪⎪⎩ ．（2）对于非标准形式的幂级数0()n n u x ∞=∑或1()nn u x ∞=∑（如202!nnn x n ∞=∑或0(1)2n nn x n ∞=-∑），方法如下：令1()lim 1()n n nu x u x +→∞<，得到x 的范围，然后再求x 的两个边界值所对应的常数项级数的敛散性即可．（三）幂级数的和函数 1．幂级数和函数的性质 性质 1 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续．性质 2 幂级数n n n a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上可积，并有逐项积分公式0000()xxn n n n s x dx a x dx ∞∞==⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎰⎰ （x I ∈），逐项积分后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径．性质 3 幂级数nnn a x ∞=∑的和函数()s x 在其收敛区间(,)R R -内可导，并有逐项求导公式()00()n n n n n n s x a x a x ∞∞==''⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑（x R <），逐项求导后所得到的幂级数和原来的幂级数有相同的收敛半径． 2．幂级数和函数的求法（“先导后积”或“先积后导”）当幂级数的一般项形如(1)nxn n +时，可用先求导后求积分的方法求其和函数；当幂级数的一般项形如2(21)n n x +、1n nx -等形式，可用先求积分后求导的方法求其和函数．3．常用的幂级数展开式 （1）2111n nn x x x x x ∞===+++++-∑，11x -<<；（2）21(1)11n n n x x x x ∞==-=-+-++∑，11x -<<．【典型例题】【例10-1】用比较法或其极限形式判别下列级数的敛散性． 1．11n ∞=∑． 解：因1141lim lim 12n n n n n→∞→∞-==，而调和级数11n n∞=∑发散，故原级数发散．2．213n n ∞=-∑ ．解：因222233lim lim 31n n n n n n n →∞→∞-==-，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．3．1352nn nn ∞=-∑ ．解：因33552lim lim 152335nn n n n n n n nn n →∞→∞-=⋅=-⎛⎫ ⎪⎝⎭，而级数135nn ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．4．11sin n n ∞=∑ ．解：因 1sin lim 11n n n→∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数发散． 5．11(1cos )n n ∞=-∑ ．解：因 211cos1lim 12n n n→∞-=，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．6．32tan n nn π∞=∑ ．解：因2222tan lim lim 211n n n n n n n n πππ→∞→∞⋅==，而级数211n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．7．312(1)n n n n ∞=++∑ ．解：因333322(1)lim lim 11(1)n n n n n n n n n n→∞→∞+++=⋅=+，而级数311n n∞=∑是收敛的p 级数，故原级数收敛．8．111nn a∞=+∑ （0a >）． 解：当1a =时， 111lim lim 0122n n n a →∞→∞==≠+，故原级数发散；当01a <<时，11lim lim 10110n n n a →∞→∞==≠++，故原级数发散；当1a >时，因11lim lim 111n n n n n n a a aa →∞→∞+==+，而级数11nn a∞=∑是收敛的等比级数，故原级数收敛．【例10-2】利用比值审敛法判别下列级数的敛散性．1．1(1)!2nn n ∞=+∑ ． 解：因11(2)!(2)!22lim lim (1)!2(1)!2n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=++，故原级数发散．2．213n n n∞=∑ ．解：因221212(1)(1)313lim lim 1333n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故原级数收敛．3．1135(21)3!nn n n ∞=⋅⋅⋅⋅-⋅∑ ．解：因1135(21)(21)3(1)!limlim 135(21)3!n n n nn n n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅+=⋅⋅⋅⋅-⋅，故原级数收敛．4．110!nn n ∞=∑ ．解：因111010!(1)!lim lim 0110(1)!10!n n n n n n n n n n ++→∞→∞+=⋅=<+，故原级数收敛．5．1212nn n ∞=-∑ ． 解：因112121212lim lim 2122122n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<--，故原级数收敛． 6．21sin2nn nπ∞=∑ ． 解：因22sin22limlim 1122nnn n nnn n πππ→∞→∞==⋅，故原级数与级数212n n n∞=∑敛散性相同．对于级数212n n n∞=∑，因221212(1)(1)212lim lim 1222n n n n n n n n n n ++→∞→∞++=⋅=<，故级数212n n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛．【例10-3】利用根值审敛法判别下列级数的敛散性．1．12(1)2nnn ∞=+-∑ ． 解：111lim lim lim 22nn n n e→∞→∞→∞==，故原级数收敛．2．11[ln(1)]nn n ∞=+∑ ． 解：lim lim lim ln(1n n n →∞→∞→∞==，故原级数收敛．【例10-4】判定下列级数的敛散性，如果是收敛的，判定是绝对收敛还是条件收敛． 1．111(1)n n ∞-=-∑ ． 解：因级数11111(1)n n n ∞∞-==-=∑∑发散，但由莱布尼茨定理可知，原级数满足111n n u u +=>=，且1lim 0n →∞=，所以原级数收敛且为条件收敛． 2．1211(1)n n n∞-=-∑ ．解：因级数1221111(1)n n n n n∞∞-==-=∑∑收敛，所以原级数绝对收敛．3．11(1)1n n nn ∞+=-+∑ ．解：因1lim(1)1n n n n +→∞-+不存在，故原级数发散．4．11sin 27n n n π∞=∑ ．解：11sin 272n n n π≤，而级数112nn ∞=∑是收敛的等比级数，故根据比较审敛法可知，级数11sin 27n n n π∞=∑收敛，故原级数绝对收敛．【例10-5】求下列幂级数的收敛半径和收敛域． 1．11(1)nn n xn∞-=-∑． 解：因111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==，故收敛区间为(1,1)-．又当1x =-时，原级数即为11()n n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为111(1)n n n ∞-=-∑，收敛，故原级数的收敛域为(1,1]-．2．0!nn xn ∞=∑ ．解：因111(1)!lim lim lim11!n n n n na n a n n ρ+→∞→∞→∞+===+，所以收敛半径R =+∞，故级数的收敛域为(,)-∞+∞．3．0!nn n x ∞=∑． 解：因1(1)!lim lim !n n n na n a n ρ+→∞→∞+===+∞，所以收敛半径0R =，即级数仅在点0x =处收敛．4．2121n nn x n ∞=+∑ ． 解：因12122(1)1limlim lim 21n n n n n n na n a n ρ++→∞→∞→∞++===+，所以收敛半径112R ρ==，故收敛区间为11(,)22-．又当12x =-时，原级数即为21(1)1n n n ∞=-+∑，收敛；当12x =时，原级数即为2111n n ∞=+∑，收敛，故原级数的收敛域为11[,]22-．【例10-6】求下列幂级数的收敛域．1．1(1)2nnn x n ∞=-⋅∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 11(1)1(1)2lim 1(1)22n n n n n x x n x n ++→∞--+⋅=<-⋅，则12x -<，故当13x -<<时级数收敛，当1x <-或3x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为1(1)n n n ∞=-∑，收敛；当3x =时，原级数即为11n n∞=∑，发散．因此原级数的收敛域为[1,3)-．2．211(1)21n nn xn +∞=-+∑ ．解：这是非标准形式的幂级数，我们用比值审敛法．令 231221(1)23lim 1(1)21n n n n n xn x x n +++→∞-+=<-+，则当11x -<<时级数收敛，当1x <-或1x >时级数发散．当1x =-时，原级数即为111(1)21n n n ∞+=-+∑，收敛；当1x =时，原级数即为11(1)21nn n ∞=-+∑，也收敛．因此原【例10-7】求下列幂级数的和函数． 1．11n n nx∞-=∑ ．解：先求幂级数的收敛域．令 1(1)lim 1nn n n xx nx-→∞+=<，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为1(1)nn n ∞=-∑，发散；当1x =时，原级数即为1n n ∞=∑，也发散．因此原再求和函数．设和函数11()n n s x nx ∞-==∑，则11()()()()1nnn n xs x x x x ∞∞=='''====-∑∑， (1,1)x ∈-．2．2111(1)21n n n xn -∞-=--∑ ． 解：先求幂级数的收敛域．令212211(1)21lim 1(1)21n nn n n x n x x n +-→∞--+=<--，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为11(1)21nn n ∞=--∑，收敛；当1x =时，原级数即为111(1)21n n n ∞-=--∑，也收敛．因此原级数的收敛域为[1,1]-．再求和函数．设和函数2111()(1)21n n n xs x n -∞-==--∑，则 122241()(1)1n n n s x xx x ∞--='=-=-+-∑， 故[]2001()arctan arct 1xxs x dx x x ===+⎰， [1,1]x ∈-．3．111(1)n n x n n ∞+=+∑． 解：先求幂级数的收敛域． 令211(1)(2)lim 11(1)n n n xn n x xn n +→∞+++=<+，可得收敛区间为(1,1)-．当1x =-时，原级数即为111(1)(1)n n n n ∞+=-+∑，收。
高等数学：第十章 无穷级数1-2
1 45
1 n(n 1)
也是收敛的
3.收敛级数的性质
(4)将收敛级数的项任意加括号后所成的新级数， 仍然收敛到原级数的和（无穷和的结合律）。
注意: 如果加括号后所成的级数收敛 则 不能断定去括号后原来的级数也收敛。
例如: 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.
推 论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.
k
1
ak收敛
lim
n
Sn存在.
设 lim n
Sn
S.则有
Sn S，Sn-1 S.
从而 an Sn Sn1 0.
2.数项级数及其收敛性概念
(4)级数收敛的充要条件 定理4：对于任意给定的ε>0，存在一 个N,使得
n p
| ak | ,只要n N , p 1. k n1
定理4的证明：
n
便有 0 1 (n ) 2
这是不可能的.
级数发散 .
1
n1 n
调和级数的部分和
sn
1
1 2
1 n
1
把每一项看成是以 n 为高 以 1 为底的的矩形面积
sn 就是图中 n 个矩形的面积之和
由定积分的几何意义 这块面积显然大于定积分
n1 1dx 即
1x
Sn
1
1 2
1 n
n1 1dx ln( n 1) ,
n1
2.数项级数及其收敛性概念
(2)无穷级数的收敛与发散 ㄥ?在亩ý
仪讯 n? Í
篇 ¶ 恐停 , 艨滞蛐{Sn} 蝎轘 蚱? ý
詹移S? 怫? Ç
.琨祸? 恐万衶Sn }恍 蚱? ⅲ
n
A—无穷级数1§1-§2
n =1
n= 1
n→ ∞
=S−S=0
∞
n =1
说明： 说明：1. lim un = 0
n→ ∞
∑ un
∞
(C )
2 . lim un ≠ 0
n→ ∞
n =1
∑ un
( D)
1 n 的敛散性。 例1. 判别 ∑ ( 1 + ) 的敛散性。 n n =1 1 n ∵ 解： lim un = lim ( 1 + ) = e ≠ 0 n→ ∞ n→ ∞ n 级数发散。 ∴ 级数发散。 例2. 证明调和级数 ∞ 1 1 1 1 发散。 ∑ n = 1 + 2 + 3 + ⋯ + n + ⋯ 发散。 n =1 ∞ 1 ：（反证 设 反证） 证：（反证） ∑ ( C )， S n → S ( n → ∞ ) 则 n= 1 n 也应有 S 2 n → S ( n → ∞ ) ∴ S 2 n − Sn → S − S = 0 ( n → ∞ ) ;
用 Sn 近似代替 S 产生的误差为 rn ,
且 ∵ n → ∞ 时, Sn → S，∴ rn → 0 .
例题讨论
例1. 讨论等比级数（几何级数）的敛散性： 讨论等比级数（几何级数）的敛散性：
∑ aq
n= 0
∞
n
= a + aq + aq + ... + aq + ... (a ≠ 0, q为公比） 为公比）
第十一章
无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要组成 部分，是表示函数、 部分，是表示函数、研究函数的性质以及 进行数值计算的一种工具。 进行数值计算的一种工具。 (常) 数项级数 常 级数 函数项级数 正项级数 交错级数 幂级数 傅里叶级数
无穷级数1解析
sn
s
,
则
nlnliim0un
nlim(sn
sn1)
lim
n
sn
lim
n
sn1
s
s
0
.
注意:
(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不
能因为一般项趋于零就断定级数收敛.
(2)如果一般项不趋于零, 则级数必发散.
因此, 此性质常用于判断级数发散.
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作业
无穷级数作业1
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铃
n1
1 n(n 1)
的收敛性.
解 因为
sn
1 12
1 23
1 34
1 n(n 1)
(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n 1
1
1 n 1
,
所以
lim
n
sn
lim (1
n
1 )1 , n 1
从而这级数收敛,
它的和是
1.
n1
性性质质22
如果 un sຫໍສະໝຸດ 、 vn ,
则
(un vn)s
.
n1
n1
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数
的收敛性.
比如, 级数 1 1 1 1 是收敛的,
高等数学第十一章：无穷级数-1常数项级数的概念和性质
级数收敛的概念
定义
如果级数 un 的部分和数列 {sn }有极限，即
n1
lim
n
sn
s
则称无穷级数
un 收敛，这时极限
n1
s 叫做这级数的和；如果 un没有极限，则称 n1
无穷级数 un发散。 n1
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n1
敛， 且其和为 ks 。
性质2 如果级数 un、 vn 分别收敛于 s和 t则
n1
n1
级数 (un vn )也收敛， 且其和为 s t.
n1
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级 数
的收敛性。
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例1 判定无穷级数
1 1 1
12 23
n(n 1)
的收敛性。
解
un
1 n(n 1)
1 n
1 n1
,
sn
1 1 2
1 23
1 n(n 1)
(1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 1
2 23
n n1
n1
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第一节 常数项级数的概念与性质
高等数学11-1 无穷级数的概念与性质
1 sin 1 n 1 0, 解. （1）因为 lim n sin lim n n n 1 / n 所以级数发散.
17/21
常数项级数的概念与性质
1 ln n 3 (2) n 3 n 1 3n 1 1 因调和级数 解 发散, 由性质1知, 发散. n 1 n n 1 3n ln n 3 l n3 而级数 n 是以 r 为公比的等比级数, 3 n 1 3
常数项级数的概念与性质
一、常数项级数的概念
引例 求圆的面积
正六边形：a1 正十二边形：a1＋a2 正二十四边形：a1＋a2 a3
正3 2n 边形：a1＋a2 a3
圆：A a1＋a2 a3 圆：A a1＋a2 a3 an
an
an
1/21
常数项级数的概念与性质
n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
12/21
常数项级数的概念与性质
性质3 添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性 .
注：
仅讨论级数 un 的敛散性时， 可简记为 un ，
n1
但求收敛级数的和时，需指明从哪一项开始！
13/21
常数项级数的概念与性质
性质4 设级数 un 收敛, 则对其各项任意加括号所得
n
矛盾！ 级数发散 .
9/21
常数项级数的概念与性质
小结：判断级数敛散性步骤：
（1）求出级数的前n项和（部分和）Sn；
（2）讨论 lim Sn 的存在性.
n
10/21
常数项级数的概念与性质
二、收敛级数的基本性质
性质1 设常数 k 0, 则 un与 kun
第九章 无穷级数(1)
n1
ln
n 1已证 n
是发散的，但有lim ln n 1 ln1 0.
n
n
性质 5 的逆否命题可叙述为：若级数 un 的通项un 当
n1
n
时不趋于零，即
lim
n
un
0，则级数
n1
un
是发散的.
我们常用此结论证明级数发散.
例7
证明调和级数 1 是发散的. n1 n
例1 判断几何级数（等比级数）
a aq aq2 aqn1
的收敛性.
解 当公比 q 1 时，级数的部分和
sn
a
aq
aq2
aqn1
1 qn a
1 q
当 q 1时，lim qn 0,所以 n
lim
n
sn
a 1 q
当q
1时，lim qn ，所以 n
性质 5（级数收敛的必要条件）若级数un 收敛，则 n1
通项
un
必趋于零，即
lim
n
un
0.
注意
性质
5
中
lim
n
un
0 只是级数收敛的必要条件，
不是充分条件，即当
lim
n
un
0 可以判断级数
n1
un
发散，但
不能由lim n
un
0 去断言
un
n1
收敛.例如，级数
第一节 常数项级数的概念及基本性质
一、 基本概念
无穷级数收敛的充要条件
无穷级数收敛的充要条件无穷级数是数学中一个重要的概念，它由无穷多个数相加或相乘而成。
在无穷级数中，我们关心的一个关键问题是它是否收敛。
在本文中，我们将探讨无穷级数收敛的充要条件。
我们先来定义无穷级数的收敛。
如果无穷级数的部分和序列存在有限的极限，那么我们称这个无穷级数是收敛的。
换句话说，如果存在一个实数L，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n 大于N时，无穷级数的部分和Sn与L的差的绝对值小于ε，那么我们称这个无穷级数收敛于L。
充分条件：如果无穷级数收敛，那么它的通项序列趋于零。
也就是说，如果无穷级数的每一项趋于零，那么这个无穷级数是收敛的。
这是因为如果每一项都趋于零，那么随着项数的增加，无穷级数的部分和序列将逐渐接近某个有限的极限。
必要条件：如果无穷级数收敛，那么它的通项序列不能发散。
也就是说，如果无穷级数的通项序列发散，那么这个无穷级数是发散的。
这是因为如果通项序列发散，那么无穷级数的部分和序列将无法趋于有限的极限，从而无穷级数是发散的。
我们还可以利用级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法来判断无穷级数的收敛性。
这些方法都是基于比较无穷级数与其他已知收敛或发散的级数之间的关系，从而得出结论。
需要注意的是，无穷级数的收敛性与级数的项数无关，只与每一项的取值相关。
因此，无穷级数的收敛性不能通过有限项的求和结果来判断，必须考虑无穷多项的趋势。
总结起来，无穷级数收敛的充要条件是它的通项序列趋于零。
如果无穷级数的每一项趋于零，那么它是收敛的；如果无穷级数的通项序列发散，那么它是发散的。
此外，我们还可以利用比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法来判断无穷级数的收敛性。
无穷级数的收敛性是数学分析中的一个重要问题，它在实际问题的建模与求解中具有广泛的应用。
只有理解并掌握无穷级数的收敛充要条件，我们才能更好地应用这一概念解决实际问题。
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引例2 历史争论：Zeno’s Paradox(芝诺悖论)
1 8 T 4
1 4
T 2
1 2
T
0
1
增加时增加的面积, 则圆内接正
3 2 边形面积为 a0 a1 a2 an
n 时, 这个和逼近于圆的面积 A .
即
n
T T T 2 4 8 这是一个没有终结的过程，因此永远跑不到原点.
n 1
n 1
n 1
un ,
n
n 1
vn
则级数 ( u n vn ) 也收敛, 其和为 S .
n 1
lim n c lim S n c S
n n
k 1
uk , 则 n c uk c S n ,
k 1
n
n
证明 令 S n
Zeno： T ，
实际经验告诉我们：若等速行进，跑一半路程 花时间T，则跑完全程应花时间2T，即有
T T T T ？ 2T . 如何理解此等式? 2 4 8
A a0 a1 a2 an
解决此悖论，要引进极限方法. 先算前 n 项之和：
注意
n
但由引例 2 已知，此级数发散 .
例4 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和: (1)
(2) S n
n
n 1
e n n!
n
;
( 2)
2n 1 . 2n n 1
e n n! 解 (1) 令 u n n , 则 n
un 1 un
故
n
e n1 ( n 1) ! ( n 1) n1
的前 n 项和
其中第 n 项 u n 叫做级数的通项. 称上式为无穷级数， 级数
S n 当n 时， ln n 1 ，因此 lim n
u
n 1
n
在这种情况下，Zeno是有道理的：永远不能到达终点.
S n u k u1 u 2 u3 u n
1 1 ( n ） n 1 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 . 1
技巧: 利用 “拆项相消” 求和
Sn
n 1 k2 k 2 (ln 3 ln 1 2 ln 2) (ln 4 ln 2 2 ln 3) (ln 5
2 1 ln n 2 ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n
n 1
Z.Y.Quan(HNU) 2010-2011
4
说明 (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 . (2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则 ( u n vn ) 必发散 . (用反证法可证)
T T T T T n1 2 4 8 2 (1 1 )T 2n 2T (1 1 ) 1 2n 1 2
但是，如果以如下方式减速前进：
1 8
T 3
1 4
T 2
1 2
T
0
1
让 n ，上述和 2T．(与实际经验相符!) 可见，要把无限多项之“和”2T 理解为前 n 项之 和，当 n 时的极限。
lim rn 0.
n
Sn S . 反之，若 limS S n 0, 显然有 lim n
n
例如，在泰勒公式中曾得到 1 1 1 1 e e 1 (0 1) 1! 2 ! 3 ! n ! (n 1) ! e 0, 故 由于 lim n ( n 1) ! 1 1 1 1 e lim[e (1 )] lim 0 n n ( n 1) ! 1! 2 ! 3 ! n! 根据级数收敛的定义，有 1 1 1 1 1 e. 1! 2 ! 3 ! n!
k 1
n
称为它的部分和.
数列 { Sn }: S1 , S2 , S3 , ... , Sn , ... 称为级数
定义2
对于级数 un , 如果当n 时,它的部分和
n 1 n
数列{S n } 以常数 S 为极限, 即 lim S n S , 则称该级数
收敛 , 并称 S 为它的和, 记作
例如,
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n n
可见: 若级数的通项不趋于0 , 则级数必发散 .
lim u n 0 并非级数收敛的充分条件. 1 1 1 1 例如，调和级数 1 2 3 n n 1 n 1 虽然 lim u n lim 0， n n n
u
n 1
n
的部分和数列.
S un u1 u2 un
n 1
注意 定义中的加号是形式上的,并没有实际意义. 因为我们不能像代数学中那样逐项相加而得出一个 数(即和)来.
若 lim S n 不存在 , 则称该级数发散 .
n
显然, 当级数收敛时, 部分和 Sn 是级数和 S 的 近似值,称差值 rn S S n un1 un2 为级数的余项. 显然
n
k 1
u k , n vk ,
k 1
n
则
这说明 c u n 收敛 , 其和为 c S .
n 1
n ( u k vk ) S n n S ( n )
k 1
说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .
这说明级数 ( u n vn ) 也收敛, 其和为 S .
n 0
aq
2) 若 q 1 , 则
n
n
a a q a q a q ( a 0 )
2
当 q 1时, S n n a , 因此级数发散 ;
( q 称为公比 ) 的敛散性. 解 1) 若 q 1 , 则部分和 n S n a a q a q 2 a q n 1 a a q
第7章
无穷级数
常数项级数 无穷级数 幂级数 傅里叶级数
a
n 1
n
xn ?
§7.1 常数项级数的概念和性质
内容提要
一、常数项级数的概念 二、级数收敛的必要条件 三、无穷级数的基本性质
表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算
一、常数项级数的概念
引例1 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 3 2 ( n 0 , 1, 2 ,) 边形,设 a0 表示 内接正三角形面积, ak 表示边数
几点结论 1．无穷级数是以加法形式出现的极限问题； 2．正由于本质是极限，故出现“极限是否存在” 的问题，即无穷多项“相加”可能是“没有和”的； 3．正由于本质是极限，故加法的性质(如交换 律、结合律等)不可以无条件平移过来.
Z.Y.Quan(HNU) 2010-2011
2
例1 讨论等比级数 (又称几何级数)
Sn 1 S 2 n
1 3 5 2n 1 n 2 2 2 23 2
三、无穷级数的基本性质
性质1 若级数 un 收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1
性质2 设有两个收敛级数
S
乘以常数 c 所得级数 证明 令 S n
c un 也收敛 , 其和为 c S .
n2
ln 1
1 n2
的敛散性 .
ln 1
n
ln 3 2 ln 4 ） [ln(n 1) ln(n 1) 2 ln n]
1 ln 2 ln(n 1) ln n ln(1 n ) ln 2
lim S n ln 2, 故原级数收敛 , 其和为 ln 2 .
此时需化时
T T T T ？ 2 3 4
实际经验不能给我们任何启示！
Z.Y.Quan(HNU) 2010-2011
1
若先考虑 S n T
T T T ，有 2 3 n
定义1 给定一个数列 u1 , u2 , u3 , , u n , 将各项依次 相加, 简记为
n 1
Sn T
n
n n 1 k 1 1 k 1 1 T dx T dx k k k k x k 1` k 1` k 1`
n
un ,
即
T ln k 1 ln k T ln n 1
k 1
n 1
un u1 u2 u3 un
ln(n 1) ( n ）
所以级数 (1) 发散 ;
技巧 利用 “拆项相消” 求和
(2)
Sn
1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n ( n 1)
例3 判别级数 解 1 ln 1 2 n
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
(1 1 ) n e (1 1 ) n 1 n n
u n u n 1 u 1 e
n
e n! nn
e 1 ( n 1, 2 , ) (1 1 )n n
从而 lim u n 0 , 这说明级数 (1) 发散.
1 3 5 2n 1 1 3 5 2n 1 2 3 n 2 3 4 n 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2n 1 1 1 2 3 n 1 n 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2n 1 1 1 2n1 2n 1 1 1 n 1 1 n 1 n 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2n 1 2n 1 S n 3 n 2 n , 故 lim S n 3, (2) n 2 2 2n n 1 这说明原级数收敛, 其和为 3 .