2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性应用案巩固提升新人教B版必修第二册
新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
(1)两人都能破译的概率； (2)两人都不能破译的概率； (3)恰有一人能破译的概率． 【解】 设“甲能破译”为事件 A，“乙能破译”为事件 B，则 A，B 相互独立，从而 A 与－B 、－A 与 B、－A 与－B 均相互独立． (1)“两人都能破译”为事件 AB，则 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(1)求相互独立事件发生的概率的步骤是 ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求乘积． (2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式 的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．
相互独立事件的应用
求：
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.
第五章 统计与概率
5．3.5 随机事件的独立性
第五章 统计与概率
考点
学习目标
在具体情境中，了解两个事件相 独立性的概念
互独立的概念
能利用相互独立事件同时发生的
独立性的应用 概率公式解决一些简单的实际应
用问题
核心素养 数学抽象
数学抽象、 数学运算
问题导学 预习教材 P114－P116 的内容，思考以下问题： 1．事件 A 与 B 相互独立的概念是什么？ 2．如果事件 A 与 B 相互独立，则－A 与 B，－B 与 A，－A 与－B 也相 互独立吗？ 3．两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗？
解析：选 A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的， 其结果不受先后影响，故 A 是相互独立事件；B 中是不放回地 摸球，显然 A 事件与 B 事件不相互独立；对于 C，其结果具有 唯一性，A，B 应为互斥事件；D 中事件 B 受事件 A 的影响．
相互独立事件概率的求法
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课后篇提升新人教B版必修第二册
5.3.2事件之间的关系与运算课后篇巩固提升夯实基础1.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则()A.A⊆BB.A=BC.A+B表示向上的点数是1或2或3D.AB表示向上的点数是1或2或3A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A∪B={1,2,3},所以A+B表示向上的点数为1或2或3,故选C.2.已知事件M“3粒种子全部发芽”,事件N“3粒种子都不发芽”,那么事件M和N()A.是互斥且对立事件B.不是互斥事件C.是互斥但不对立事件D.是对立事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生,故事件M和事件N互斥,而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”,有可能1个不发芽,也有可能2个不发芽,也有可能3个不发芽,故事件M和事件N不对立,故事件M和事件N互斥不对立.故选C.3.口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出一个球,摸出红球的概率是0.43,摸出白球的概率是0.27,那么摸出黑球的概率是()A.0.43B.0.27C.0.3D.0.74.某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项,已知中一等奖的概率为0.1,中二等奖的概率为0.1,那么本次活动中,中奖的概率为()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.7,中二等奖为互斥事件,故中奖的概率为0.1+0.1=0.2.故选B.5.若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是()A.[0,0.9]B.[0.1,0.9]C.(0,0.9]D.[0,1]A和B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A∪B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.6.甲、乙两人下棋,甲不输的概率是0.8,两人下成平局的概率是0.5,则甲胜的概率是()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.7p,则p+0.5=0.8,所以p=0.3,故选A.7.一枚硬币连掷三次,事件A为“三次反面向上”,事件B为“恰有一次正面向上”,事件C为“至少两次正面向上”,则P(A)+P(B)+P(C)=.A,B,C之间是互斥的,且又是一枚硬币连掷三次的所有结果,所以P(A)+P(B)+P(C)=1. 8.同时抛掷两枚骰子,既不出现5点也不出现6点的概率为,则5点或6点至少出现一个的概率是.,“既不出现5点也不出现6点”和“5点或6点至少出现一个”是对立事件,所以5点或6点至少出现一个的概率是P=1-.能力提升1.(多选)下列命题:①对立事件一定是互斥事件;②若A,B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B);③若事件A,B,C彼此互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1;④若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A与B是对立事件.其中不正确的命题序号是()A.①B.②C.③D.④2.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是()A.0.62B.0.38C.0.7D.0.684.8g”为事件A,“质量不小于4.85g”为事件B,“质量不小于4.8g,小于4.85g”为事件C,易知三个事件彼此互斥,且三个事件的并事件为必然事件,所以P(C)=1-0.3-0.32=0.38.故选B.3.已知事件A,B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=.事件A,B互斥,且P(A)=2P(B),它们都不发生的概率为,∴1-P(A)-P(B)=1-2P(B)-P(B)=,∴P(B)=1,∴P(A)=2P(B)=,∴P()=1-P(A)=1-.4.甲射击一次,中靶的概率是P1,乙射击一次,中靶的概率是P2,已知111是方程x2-5x+6=0的根,且P1满足方程x2-x+1=0.则甲射击一次,不中靶的概率为;乙射击一次,不中靶的概率为.P1满足方程x2-x+1=0知,1-P1+1=0,解得P1=1.因为111是方程x2-5x+6=0的根,所以111=6,所以P2=1,因此甲射击一次,不中靶的概率为1-11,乙射击一次,不中靶的概率为1-1.5.高一军训时,某同学射击一次,命中10环,9环,8环的概率分别为0.13,0.28,0.31.(1)求射击一次,命中10环或9环的概率;(2)求射击一次,至少命中8环的概率;(3)求射击一次,命中环数小于9环的概率.,命中i环”为事件A i(0≤i≤10,且i∈N),则A i两两互斥.由题意知P(A10)=0.13,P(A9)=0.28,P(A8)=0.31.(1)记“射击一次,命中10环或9环”为事件A,那么P(A)=P(A10)+P(A9)=0.13+0.28=0.41.(2)记“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么P(B)=P(A10)+P(A9)+P(A8)=0.13+0.28+0.31=0.72.(3)记“射击一次,命中环数小于9环”为事件C,则C与A是对立事件,所以P(C)=1-P(A)=1-0.41=0.59.6.在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条,分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张,不中奖的概率为1,中二等奖或三等奖的概率是1.(1)求任取一张,中一等奖的概率;(2)若中一等奖或二等奖的概率是1,求任取一张,中三等奖的概率.,抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为A,B,C,D,它们是互斥事件.由条件可得P(D)=1,P(B+C)=P(B)+P(C)=1,(1)由对立事件的概率公式知P(A)=1-P(B+C+D)=1-P(B+C)-P(D)=1-1 111,所以任取一张,中一等奖的概率为11.(2)∵P(A+B)=1,P(A+B)=P(A)+P(B),∴P(B)=1111,又P(B+C)=P(B)+P(C)=1,∴P(C)=1,即任取一张,中三等奖的概率为1.7.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地某车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(2)求该地某车主甲、乙两种保险都不购买的概率.A表示事件:该车主购买甲种保险;B表示事件:该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买.(1)由题意得,P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B,所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8.(2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2.。
第五章统计与概率知识点总结清单-高一上学期数学人教B版
新教材人教B版2019版数学必修第二册第五章知识点清单目录第五章统计与概率5. 1统计5. 1. 1 数据的收集5. 1. 2 数据的数字特征5. 1. 3 数据的直观表示5. 1. 4用样本估计总体5. 2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟5. 3概率5. 3. 1样本空间与事件5. 3. 2事件之间的关系与运算5. 3. 3古典概型5. 3. 4频率与概率5. 3. 5随机事件的独立性5. 4统计与概率的应用5. 1统计5. 1. 1 数据的收集一、普查(全面调查)与抽样调查1. 统计的相关概念2. 普查(全面调查)与抽样调查二、简单随机抽样1. 简单随机抽样的定义一般地，简单随机抽样(也称为纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取个体. 当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.2. 常见的简单随机抽样方法(1)抽签法用抽签法从个体个数为N的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤：①将总体中的N(N为正整数)个个体依次编号；②把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签③将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌；④从盒中随机抽取k个号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本.(2)随机数表法①将总体中的N(N为正整数)个个体依次编号(所有个体编号的位数要一致)；②在随机数表中任意指定一个开始选取的位置；③从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则剔除，如此继续下去，直到产生的不同编号个数等于样本所需的个体数.三、分层抽样1. 分层抽样的定义一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).2. 分层抽样的步骤(1)分层：按某种特征将总体分成若干层；(2)计算抽样比：抽样比=样本容量；总体中的个体数(3)定数：按抽样比确定每层应抽取的个体数；(4)抽样：各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；(5)成样：综合各层抽取的样本，组成最终的样本.四、抽样方法的选取1. 简单随机抽样与分层抽样的比较2. 抽样方法的选取(1)看总体是否由差异明显的几个部分组成，若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样.(2)看总体容量和样本容量的大小，当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大时，采用随机数表法.5. 1. 2 数据的数字特征一、数据的数字特征1. 最值：一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况. 一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示.2. 平均数(1)如果给定的一组数是x 1，x 2，…，x n ，则这组数的平均数为x =1n (x 1+x 2+…+x n )，简记为x =1n∑x i n i=1(2)求和符号∑的性质：①∑ n i=1(x i +y i )= ∑ n i=1x i +∑ ni=1y i ； ②∑ n i=1(kx i )=k ∑x i ni=1③∑ n i=1t=nt.(3)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，且a ，b 为常数，则ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的平均数为a x +b.3. 中位数：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n+1，则称x n+1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n +x n+12为这组数的中位数.4. 百分位数(1)一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100-p)%的数据不小于该值.(2)求p%分位数的步骤：①将数据按照从小到大排列(假设排列后的数据为x 1，x 2，…，x n )； ②计算i=np%的值；③如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取x i 0为p%分位数；如果i 是整数，取x i +x i+12为p%分位数.规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是x n(即最大值).(3)常用的百分位数：25%分位数(第一四分位数)，50%分位数(中位数)，75%分位数(第三四分位数).5. 众数：一组数据中，出现次数最多的数据.6. 极差：一组数的最大值减去最小值所得的差.7. 方差与标准差∑n i=1(x i-x)2. 方差的算术平方根(1)如果x1，x2，…，x n的平均数为x，则方差为s2=1n称为标准差.(2)若x1，x2，…，x n的方差为s2，则ax1，ax2，…，ax n的方差为a2s2，x1+a，x2+a，…, x n+a的方差为s2.二、对数据的数字特征的理解5. 1. 3 数据的直观表示一、柱形图(条形图)、折线图与扇形图二、茎叶图1. 一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水平方向排列. 若数据是两位数，则茎上的数字表示十位上的数字，叶上的数字表示个位上的数字. 茎叶图也可以只表示一组数.2. 用茎叶图表示数据的优缺点(1)优点：①从茎叶图上可以看出所有的原始数据及数据的分布情况；②茎叶图可以在收集完数据后描述，也可以在收集数据的过程中描述，即一边收集数据，一边记录.(2)缺点：①茎叶图只便于表示比较集中的数据；②茎叶图只方便比较两组数据.三、频数分布直方图与频率分布直方图1. 绘制频数分布直方图、频率分布直方图的步骤(1)找出最值，计算极差.(2)合理分组，确定区间(组距)：①若极差组距为整数，则极差组距=组数；②若极差组距不为整数，则[极差组距]+1=组数([x]表示不大于x的最大整数).(3)整理数据(可以将频数与频率列表).(4)作出有关图示：①频数分布直方图的纵坐标是频数，每一组数对应的矩形高度与频数成正比；②频率分布直方图的纵坐标是频率组距，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，且每个矩形的面积等于这一组数对应的频率，所有矩形的面积之和为1.2. 频数分布折线图与频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中的每个矩形上面一边的中点用线段连接起来得到的折线图即对应为频数分布折线图和频率分布折线图. 为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.四、频率分布直方图1. 频率分布直方图的特征(1)频率分布直方图的形状与组数(组距)有关. 组数(组距)的变化会引起频率分布直方图的结构变化.(2)频率分布直方图由样本决定，因此它会随着样本的改变而改变.(3)若固定分组数，则随着样本容量的增加，频率分布直方图中的各个矩形的高度会趋于特定的值.(4)频率分布直方图能够直观地表明数据分布的情况，一般呈中间高、两端低的“峰”状结构. 但是从直方图本身得不到具体的数据内容.2. 与频率分布直方图有关的结论(1)小矩形的面积=组距×频率组距=频率；(2)所有小矩形的面积之和等于1；(3)频数样本容量=频率，此关系式的变形为频数频率=样本容量，样本容量×频率=频数.5. 1. 4用样本估计总体一、用样本估计总体1. 一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的特征(分布)能够反映总体的特征(分布). 特别地，样本平均数(也称为样本均值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会太大，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大.2. 分层抽样中的平均数与方差假设样本是用分层抽样的方法得到的，且是分两层抽样. 第一层有m个数，分别为x1，x2，…，x m，平均数为x，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，y n，平均数为y，方差为t2，则1m =∑x imi=1，s2=1m∑m i=1(x i-x)2，y=1n∑y ini=1，t2=1n∑n i=1(y i-y)2.如果记样本均值为a，样本方差为b2，a=1m+n ∑x imi=1+∑y ini=1=mx+nym+n，b2=m[s2+(x−a)2]+n[t2+(y−a)2]m+n =1m+n[(ms2+nt2)+1m+n(x−y)2]二、用样本估计总体1. 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系(1)众数：最高小矩形底边中点的横坐标；(2)中位数：把频率分布直方图划分为左、右两个面积相等的部分，分界线与横轴交点的横坐标；(3)平均数：每个小矩形的面积乘对应小矩形底边中点的横坐标之和.5. 2数学探究活动：由编号样本估计总数及其模拟5. 3概率5. 3. 1样本空间与事件一、随机现象与必然现象1. 一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象(或偶然现象)，发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象(或确定性现象).二、样本点和样本空间1. 随机试验(1)在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验(简称为试验).(2)随机试验满足下述条件：①在相同的条件下能够重复进行；②所有结果是明确可知的，且不止一种；③每次试验总会出现这些结果中的一种，但在一次试验之前不能确定这次试验会出现哪一种结果.2. 样本点和样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母Ω表示).三、随机事件件称为基本事件.四、随机事件发生的概率五、样本点的确定1. 确定样本点的方法(1)列举法：把所有样本点一一列举出来，适用于样本点较少的试验. 列举时要按照一定的顺序，做到不重不漏.(2)列表法：将样本点用表格的形式表示出来，通过表格可以弄清样本点的总数以及相应的事件所包含的样本点数. 此方法适用于互不影响的两步试验问题.(3)画树形图法：此方法是用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，画树形图法便于分析较复杂的多步试验问题.5. 3. 2事件之间的关系与运算一、事件的包含与相等定义符号表示图示包含关系如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)A⊆B(或B⊇A)相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”A=B 二、事件的运算定义符号表示图示事件的和(或并) 给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)A+B(或A∪B)事件的积(或交) 给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)AB(或A∩B) 三、互斥事件与对立事件定义符号表示图示互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB=⌀(或A∩B=⌀) 对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件A 2. (1)互斥事件的概率加法公式：P(A+B)=P(A)+P(B)(A，B互斥)，P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)(A1，A2，…，A n两两互斥).(2)对立事件的概率：P(A)=1-P(A).四、事件的混合运算同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，例如(A B)+(A B)可简写为A B+A B.五、对互斥事件与对立事件的理解与判断1. 从事件发生的角度(1)在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也有可能只有一个发生，但不可能同时发生；(2)在一次试验中，两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生.两事件对立，则它们必定互斥，但两事件互斥，它们未必对立. 对立事件是互斥事件的一个特例.2. 从事件个数的角度互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件.5. 3. 3古典概型一、古典概型1. 古典概型的定义如果一个随机试验满足：(1)样本空间Ω只含有有限个样本点；(2)每个基本事件的发生都是等可能的，那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.2. 古典概型的概率公式古典概型中，假设样本空间含有n个样本点，事件C包含其中的m个样本点，.则P(C)=mn二、求古典概型的概率1. 求古典概型概率的关键是列举出试验的样本空间和所求事件所包含的样本点，列样本点的方法有列举法、列表法和画树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择.2. 解决古典概型概率问题的步骤(1)求出样本空间包含的样本点个数n；(2)求出事件A包含的样本点个数k；.(3)求出事件A的概率P(A)=kn5. 3. 4频率与概率一、用频率估计概率，则当n很大时，一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为mn. 不难看出，此时也有0≤P(A)≤1，这可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为mn种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率.二、对频率与概率的理解1. 任何事件的概率都是[0，1]之间的一个确定的数，是客观存在的，与每次试验的结果无关，它度量该事件发生的可能性大小.2. 频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到的事件的频率可能不同.3. 频率是概率的估计值，概率是频率的稳定值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率. 在实际问题中，事件的概率通常是未知的，常用频率作为它的估计值5. 3. 5随机事件的独立性一、随机事件的独立性1. 事件相互独立的定义一般地，当P(AB)=P(A)P(B)时，就称事件A与B相互独立(简称独立). 事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.2. 事件相互独立的性质(1)如果事件A与B相互独立，则A与B，A与B， A与B也相互独立.(2)如果事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件都发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1∩A2∩…∩A n)=P(A1)P(A2)…P(A n). 并且此式中任意多个事件A i换成其对立事件A i后等式仍成立.二、事件独立性的判断1. 判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B，A与B，A 与B，是否具有独立性.5. 4统计与概率的应用一、统计与概率的应用1. 在实际生产与生活中，统计与概率有着非常重要的作用. 在实际问题中，通常会给出统计图表或数据信息，要求我们根据统计与概率知识解决问题或者进行决策. 我们要分析给出的统计图表或数据信息的特点，利用提取到的有效信息确定适用的统计与概率的模型解决问题. 熟练地运用统计与概率的知识，可以对相关数据进行分析、处理、预测等操作.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率随机事件的独立性课后篇巩固提升新人教B版必修第二册
5.3.5随机事件的独立性课后篇巩固提升夯实基础1.掷一枚硬币两次,记事件A=“第一次出现正面”,B=“第二次出现反面”,下列结论正确的为()A.A与B相互独立B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.A与B互斥D.P(AB)=12A,由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响,所以A与B相互独立,所以A中结论正确.对于选项B,C,由于事件A与B可以同时发生,所以事件A与B不互斥,故选项B,C中结论不正确.对于选项D,由于A与B相互独立,因此P(AB)=P(A)P(B)=1,4所以D中结论不正确.故选A.2.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为()A.0.42B.0.28C.0.18D.0.120.6,0.7,则甲、乙考试未达到优秀的概率分别为0.4,0.3,由于两人考试相互独立,所以甲、乙两人都未达到优秀的概率为0.4×0.3=0.12.故选D.3.某市某校在秋季运动会中,安排了篮球投篮比赛.现有20名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进的概率均为0.4,每名同学有2次投篮机会,且各同学投篮之间没有影响.现规定:投进两个得4分,投进一个得2分,一个未进得0分,则一名同学投篮得2分的概率为()A.0.5B.0.48C.0.4D.0.32A ,“第二次投进”为事件B ,则得2分的概率为P=P (A B )+P (B B )=0.4×0.6+0.6×0.4=0.48.故选B .4.在某段时间内,甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1),乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1),若在这段时间内两地下雨相互独立,则这段时间内两地都下雨的概率为 ( )A.P 1P 2B.1-P 1P 2C.P 1(1-P 2)D.(1-P 1)(1-P 2)P 1,乙地不下雨的概率为P 2,且在这段时间内两地下雨相互独立,所以这段时间内两地都下雨的概率为P=(1-P 1)(1-P 2).5.甲、乙两名学生通过某种听力测试的概率分别为12和13(两人是否通过测试互不影响),两人同时参加测试,其中有且只有一人能通过的概率是( ) A.13B.23C.12D.1A ,B ,则P (A )=12,P (B )=13,两人中有且只有一人能通过为事件B B+A B , 故所求的概率为P (B B+A B )=P (B )P (B )+P (A )P (B )=(1-12)×13+12×(1-13)=12.故选C .6.一射手对同一目标独立地进行4次射击,已知至少命中一次的概率为8081,则此射手的命中率是 ,此射手恰好命中三次的概率是 .3281设此射手每次射击命中的概率为P ,分析可得,至少命中一次的对立事件为射击四次全都没有命中,由题意可知该射手对同一目标独立地射击四次全都没有命中的概率为1-8081=181,则(1-P )4=181,解得P=23.(2)此射手恰好命中三次的概率为P 1=13×23×23×23+23×13×23×23+23×23×13×23+23×23×23×13=3281.7.一名学生骑自行车上学,从他家到学校的途中有5个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是13.求: (1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率; (2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率; (3)这名学生至少遇到一次红灯的概率.设事件A 为在途中遇到4次红灯,P (A )=(13)4×(1-13)×5=10243.(2)设首次停车前经过3个路口为事件B , 则P (B )=(1-13)3×13=881.(3)设至少遇到一次红灯为事件C , 则其对立事件为全遇到绿灯, 所以P (C )=1-(1-13)5=211243.能力提升1.甲骑自行车从A 地到B 地,途中要经过4个十字路口,已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,且在每个路口是否遇到红灯相互独立,那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( ) A.13 B.427C.49D.1127解析由题可知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是13,在每个十字路口没有遇到红灯的概率都是1-13=23,所以甲在前两个十字路口都没有遇到红灯,直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是23×23×13=427. 2.端午节放假,甲回老家过节的概率为13,乙、丙回老家过节的概率分别为14,15.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( ) A.5960B.12C.35D.160A ,B ,C ,至少1人回老家过节为事件D ,则P (D )=1-P (BBB )=1-P (B )P (B )P (B )=1-23×34×45=35.故选C .3.体育课上定点投篮项目测试规则:每位同学有3次投篮机会,一旦投中,则停止投篮,视为合格,否则一直投3次为止.每次投中与否相互独立,某同学一次投篮投中的概率为p ,若该同学本次测试合格的概率为0.784,则p=( ) A.0.4 B.0.6 C.0.1 D.0.2p+p (1-p )+p (1-p )2=0.784,整理可得p (2-p+1-2p+p 2)=p (p 2-3p+3)=0.784,将各选项中的数分别代入方程可知A 项正确. 4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为12,23,23,若他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为 .A 表示“甲命中”,事件B 表示“乙命中”,事件C 表示“丙命中”,则P (A )=12,P (B )=23,P (C )=23,所以他们3人分别向目标各发1枪,则三枪中至少命中2枪的概率为p=P (AB B )+P (A B C )+P (B BC )+P (ABC )=12×23×13+12×13×23+12×23×23+12×23×23=1218=23.5.在奥运知识有奖问答竞赛中,甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲答对这道题的概率是34,甲、乙两人都回答错误．．的概率是112,乙、丙两人都回答正确．．的概率是14.设每人回答问题正确与否是相互独立的. (1)求乙答对这道题的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题的概率.记甲、乙、丙答对这道题分别为事件A ,B ,C ,设乙答对这道题的概率P (B )=x ,由于每人回答问题正确与否是相互独立的,因此A ,B ,C 是相互独立事件. 由题意,得P (BB )=P (B )P (B )=(1-34)×(1-x )=112,解得x=23, 即乙答对这道题的概率为23.(2)设“甲、乙、丙、三人中,至少有一人答对这道题”为事件M , 丙答对这道题的概率P (C )=y. 由题意得P (BC )=P (B )P (C )=23×y=14,解得y=38.甲、乙、丙三人都回答错误的概率为P (BBB )=P (B )P (B )P (B )=(1-34)(1-23)(1-38)=596.因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中,至少有一人答对这道题”是对立事件,所以所求事件概率为P (M )=1-596=9196.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册
方法归纳 解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若 A， B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B ， A 与 B 也是相互独立的，代入相 互独立事件的概率公式求解．
跟踪训练 3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮 活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮 猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结 果也互不影响．求“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率．
解析：设 A1，A2 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件， B1，B2 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件．根据独立性假 定，得 P(A1)＝2×34×14＝38，P(A2)＝342＝196.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人 射中”2 种情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A B )＋P( A B)]＝0.72＋ 0.26＝0.98.
(4)“2 人至多有 1 人射中目标”包括“有 1 人射中”和“2 人 都未射中”两种情况．
故所求概率为 P＝P(A] B )＋P(A B )＋P( A B)
解析：(1)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不 影响的，所以事件 A 与 B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射 手可能同时击中目标，也就是说事件 A 与 B 可能同时发生，所以事 件 A 与 B 不是互斥事件．
甲、乙击中目标相互不影响，所以相互独立，甲击中目标、乙 击中目标，可以同时发生，所以不互斥．
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对事件是否 相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
新教材高中数学第5章统计与概率5 3概率5 3 5随机事件的独立性学案含解析新人教B版必修第二册
5.3.5 随机事件的独立性学 习 任 务核 心 素 养(教师独具) 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点) 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)3．综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)1．通过学习事件相互独立的概念，体会数学抽象的素养. 2．借助相互独立事件的乘法公式解题，提升数学运算的素养.3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B 为“第三名同学抽到中奖奖券”．问题：(1)上述问题中事件A 的发生是否会影响B 发生的概率？ (2)互斥事件与相互独立事件有什么区别？〖提示〗 (1)因为抽取是有放回的，所以A 的发生不会影响B 发生的概率，事件A 和事件B 相互独立．(2)两个事件相互独立与互斥的区别：两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．知识点1 相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A ，B 为两个事件，一般地，当P (AB )＝P (A )P (B )时，就称事件A 与事件B 相互独立．(简称独立)(2)性质：如果A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．1．设A 与B 是相互独立事件，下列命题中正确的有( )①A 与B 对立；②A 与B 相互独立；③A 与B 互斥；④A －与B 相互独立；⑤P (AB )＝P (A )·P (B )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个C 〖由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确．〗 知识点2 n 个事件相互独立与独立事件的概率公式1．n 个事件相互独立对于n 个事件A 1，A 2，…，A n ，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n 个事件A 1，A 2，…，A n 相互独立．2．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )．(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )．2.在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192 〖由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P ＝512×712×34＝35192.〗类型1 相互独立事件的判断〖例1〗 判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．〖思路探究〗 由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组．(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．〖解〗 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， 所以P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.所以P (AB )＝P (A )P (B )， 所以事件A 与B 相互独立．判断事件是否相互独立的方法有哪两种？〖提示〗 (1)定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )·P (B )． (2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．[跟进训练]1．(1)下列事件中，A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A ＝“第一次摸到白球”，B ＝“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A ＝“人能活到20岁”，B ＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥(1)A (2)A 〖(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，A ，B 应为互斥事件，不相互独立；对于D ，事件B 受事件A 的影响．故选A ．(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B 相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A ．〗类型2 相互独立事件概率的计算1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A ＝“甲击中目标”，B ＝“乙击中目标”，试问事件A 与B 是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B 与A B 呢？〖提示〗 事件A 与B ，A 与B ，A 与B 均是相互独立事件，而A B 与A B 是互斥事件．2．在尝试与发现1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？〖提示〗 “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C ，则C ＝A B ＋A B . 所以P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.〖例2〗 (对接教材P 116例3)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为25，34，13，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率； (2)求3人中至少有1人被选中的概率．〖解〗 设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A ，B ，C ，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.(1)3人同时被选中的概率P 1＝P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝25×34×13＝110.(2)3人中有2人被选中的概率 P 2＝P (AB C ＋A B C ＋A BC )＝25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×13＝2360. 3人中只有1人被选中的概率P 3＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×34×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×13＝512.故3人中至少有1人被选中的概率为P 1＋P 2＋P 3＝110＋2360＋512＝910.(变设问)保持条件不变，求三人均未被选中的概率． 〖解〗 法一：由例题解析知，三人均未被选中的概率 P ＝P (A B C )＝⎝⎛⎭⎫1－25×⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－13＝110. 法二：由例2(2)知，三人至少有1个被选中的概率为910， ∴P ＝1－910＝110.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤： ①首先确定各事件之间是相互独立的； ②确定这些事件可以同时发生； ③求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．类型3 相互独立事件概率的综合应用〖例3〗 三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．〖解〗 记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34. 电路不发生故障，即T 1正常工作且T 2，T 3至少有一个正常工作，T 2，T 3至少有一个正常工作的概率P 1＝1－P (A 2)P (A 3)＝1－14×14＝1516，所以电路不发生故障的概率P ＝P 1×P (A 1)＝1516×12＝1532.求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式； (3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[跟进训练]2．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．〖解〗 记事件“该选手能正确回答第i 轮的问题”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝45，P (A 2)＝35，P (A 3)＝25. 法一：该选手被淘汰的概率为P (A 1)＋P (A 1∩A 2)＋P (A 1∩A 2∩A 3)＝P (A 1)＋P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝15＋45×25＋45×35×35＝101125. 法二：该选手被淘汰的概率为 1－P (A 1∩A 2∩A 3)＝1－45×35×25＝101125.1．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件A 〖由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．〗 2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P 1，乙解对的概率为P 2，那么至少有1人解对的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)D 〖设甲解对为事件A ，乙解对为事件B ， 则P (A )＝P 1，P (B )＝P 2.则P ＝1－P (A －·B )＝1－(1－P 1)(1－P 2)．〗3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．34C 〖由题意知，恰有一次通过的概率为12×⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12＝12.〗 4．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用分数表示)19 〖从甲袋中取出一个红球的概率为46＝23，从乙袋中取出一个红球的概率为16，故取出的两个球都是红球的概率为23×16＝19.〗5．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14.假设他们破译密码是彼此独立的，此密码被破译的概率为________．35 〖用A ，B ，C 分别表示三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14. 且P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35.〗回顾本节内容，自我完成以下问题：1．你对随机事件的独立性定义是怎样理解的？〖提示〗 事件A 与B 相互独立的直观理解是，事件A 是否发生不会影响事件B 发生的概率，事件B 是否发生也不会影响事件A 发生的概率．2．如何用语言描述相互独立事件同时发生的概率？〖提示〗相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．3．相互独立事件与互斥事件的区别是什么？〖提示〗相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB 互斥事件A，B中有一个发生，记作：A＋B(或A∪B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)(教师独具)不同赛制的可靠性探究乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10分平后，先多得2分的一方为胜方；1场比赛应采用奇数局，如三局两胜制、五局三胜制等；一场比赛应连续进行，但在局与局之间，任何一方运动员都有权要求不超过1分钟的休息时间．某校要通过选拔赛选取一名同学参加市级乒乓球单打比赛，选拔赛采取淘汰制，败者直接出局．现有两种赛制方案：三局两胜制和五局三胜制．1．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用三局两胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？〖提示〗甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用三局两胜制时，甲获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是由独立事件的概率公式，得甲最终获胜的概率为P1＝0.62＋2×0.62×(1－0.6)＝0.648.2．若甲、乙对决，甲每局获胜的概率为0.6，现采用五局三胜制，则这场比赛中甲获胜的概率是多少？〖提示〗 甲、乙两人对决，甲每局获胜的概率为0.6，采用五局三胜制，若甲最终获胜，至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由独立事件的概率公式，得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P 2＝0.63＋3×0.63×(1－0.6)＋6×0.63×(1－0.6)2＝0.682 56.3．两选手对决时，选择何种赛制更有利于选拔出实力最强的选手，并说明理由．(各局胜负相互独立，各选手水平互不相同)〖提示〗 甲、乙两人对决，若甲更强，则其获胜的概率p ＞12.采用三局两胜制时，若甲最终获胜，其胜局情况是：“甲甲”或“乙甲甲”或“甲乙甲”．而这三种结局互不影响，于是得甲最终获胜的概率为P 3＝p 2＋2p 2(1－p )．采用五局三胜制，若甲最终获胜，则至少需比赛3局，且最后一局必须是甲胜，而前面甲需胜两局，由此得五局三胜制下甲最终获胜的概率为P 4＝p 3＋3p 3(1－p )＋6p 3(1－p )2.而P 4－P 3＝p 2(6p 3－15p 2＋12p －3)＝3p 2(p －1)2(2p －1)．因为p ＞12，所以P 4＞P 3，即五局三胜制下甲最终获胜的可能性更大．所以五局三胜制更能选拔出最强的选手．。
2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.5随机事件的独立性学案含解析第二册
5。
3.5 随机事件的独立性素养目标·定方向课程标准学法解读1。
理解两个随机事件相互独立的含义．2．掌握独立事件的概率计算．通过对独立事件的含义、概率计算的学习，培养学生的数学抽象、数学运算素养．必备知识·探新知知识点事件的相互独立性定义设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A)P（B）,则称事件A与事件B相互独立．思考1：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？提示：相互独立事件互斥事件条件事件A（或B）是否发不可能同时发生的两生对事件B（或A)发生的概率没有影响个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P（AB)＝P（A)P（B）P(A∪B）＝P（A)＋P（B)知识点相互独立事件性质及计算公式当事件A，B相互独立时，A与错误!，错误!与B，错误!与错误!也相互独立．若事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A)×P（B）；若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P（A1A2…A n）＝P(A1）×P （A2）×…×P(A n)．思考2:怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率？提示：相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．关键能力·攻重难题型探究题型相互独立事件的判断┃┃典例剖析__■典例1 从一副扑克牌（52张)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌"，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1）A与B；(2)C与A．［解析］（1)P(A）＝错误!＝错误!，P(B)＝错误!＝错误!。
事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”,故P(AB)＝错误!＝错误!，因此事件P(A)P(B)＝P（AB)，因此事件A与B 相互独立．(2）事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．规律方法:两个事件是否相互独立的判断。
新教材高中数学第五章统计与概率3.5随机事件的独立性课件新人教B版必修第二册 课件(共13张PPT)
问题 1.如果乙要连胜四局,比赛应如何进行? 提示:若要乙连胜四局,则对阵情况是第一局:甲对乙,乙胜;第二局:乙对丙,乙胜;第 三局:乙对甲,乙胜;第四局:乙对丙,乙胜. 2.要求出乙连胜四局时的概率需要用到哪些概率知识?如何求? 提示:应用事件的独立性知识,按照每局乙胜的情况分析,所求概率为P=(1-0.4)2×0. 52=0.32=0.09.
求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各事件之间的关系,用事件间的“并”“交”恰当地表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. 注意:当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时,可先间接地计算其对立事件 的概率,再求出符合条件的事件的概率.
∩F)+P( D∩E∩F)=0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5=0.55. 解法二:“红队中至少有两名队员获胜”与“红队中最多有一名队员获胜”为对 立事件,而红队都不获胜的事件为 D∩ E ∩ F ,且P( D∩ E ∩ F )=0.4×0.5×0.5=0.1. 则红队中至少有两名队员获胜的概率P2=1-P1-P( D∩ E ∩ F )=1-0.35-0.1=0.55. 方法总结 处理事件的独立性问题主要用直接法和间接法.当遇到“至少”“至 多”问题时可以考虑间接法.
解析 设甲胜A为事件D,乙胜B为事件E,丙胜C为事件F,则 D, E , F 分别表示A胜 甲、B胜乙、C胜丙. 因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5, 所以由对立事件的概率公式知P( D)=0.4,P( E )=0.5,P( F )=0.5. (1)红队中有且只有一名队员获胜的事件有D∩ E ∩ F , D∩E∩ F , D∩ E ∩F,以上 3个事件彼此互斥且相互独立. 所以红队中有且只有一名队员获胜的概率P1=P[(D∩ E ∩ F )∪( D∩E∩ F )∪( D ∩ E ∩F)]=P(D∩ E ∩ F )+P( D∩E∩ F )+P( D∩ E ∩F)=0.6×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+ 0.4×0.5×0.5=0.35. (2)解法一:红队中至少有两名队员获胜的事件有D∩E∩F,D∩E∩ F ,D∩ E ∩F, D ∩E∩F,由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立, 因此红队中至少有两名队员获胜的概率P2=P(D∩E∩F)+P(D∩E∩ F )+P(D∩ E
5.3.5 随机事件的独立性(课件)高一数学(人教B版2019必修第二册)
教材例题
【典例 2】已知甲运动员的投篮命中率为 0.7, 乙运动员的投篮命中率为 0.8. （1）若甲、乙各投篮一次，则都命中的概率为多少? （2）若甲投篮两次，则恰好投中一次的概率为多少?
【解析】(1)记事件 :甲投中, :乙投中,因为 与 相互独立,所以 即都命中的概率为 0.56.
教材例题
课堂练习
【解析】A 中，M，N 是互斥事件，不相互独立；B 中，M，N 不是相互独立 事件；C 中，P(M)＝12，P(N)＝12，P(MN)＝14，P(MN)＝P(M)P(N)，因此 M， N 是相互独立事件；D 中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此 M，N 是相互独立事件.故选 CD.
课堂练习
一般地,当
时,就称事件 与 相互独立(简称独立).事件 与
相互独立的直观理解是, 事件 是否发生不会影响事件 发生的概率,事件 是
否发生也不会影响事件 发生的概率.
可以证明,如果事件 与 相互独立,则 与 与 与 也相互独立.
新知探索 知识点一：随机事件的独立性
相互独立事件的定义和性质： 定义：一般地，当 P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件 A 与 B 相互独立(简称独立). 性质：如果事件 A 与 B 相互独立，则与 B，A 与，与也相互独立. n 个事件相互独立： “A1，A2，…，An 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的 概率都等于它们各自发生的概率之积”.
【解析】(1)三道题都猜对可以表示为
, 又因为
相互独立,因此
教材例题
(2)“至少猜对一道题”的对立事件是 “三道都猜错”,后者可以表示为
,
所以
因此所求概率为
课堂练习
【训练 1】一袋中装有 5 只白球，3 只黄球，在有放回地摸球中，用 A1 表示第 一次摸得白球，A2 表示第二次摸得白球，则事件 A1 与 是( ) A.相互独立事件 B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件
2020_2021学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3概率5.3.5随机事件的独立性知识基础练含
5.3.5 随机事件的独立性必备知识基础练进阶训练第一层知识点一随机事件独立性的判断1.①甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．今从甲、乙两组中各选一名同学参加游园活动．“从甲组中选出一名男生”与“从乙组中选出一名女生”．②一盒内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．“从8个球中任取1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取1个，取出的仍是白球”．③一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任取1个，取出的是苹果”与“取出第一个后放回筐内，再取1个是梨”．其中为相互独立事件的有( ) A ．①② B ．①③ C ．② D ．②③2．袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得黑球，A 2表示第二次摸得黑球，则A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件 3．下面所给出的事件中：①抛掷一枚骰子，事件A ＝{出现1点}，事件B ＝{出现2点}；②先后抛掷两枚均匀硬币，事件A ＝{第一枚出现正面}，事件B ＝{第二枚出现反面}； ③在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中，任取一个小球，观察颜色后放回袋中，事件A ＝{第一次取到绿球}，B ＝{第二次取到绿球}．A 知识点二相互独立事件同时发生的概率同时落在奇数所在区域的概率是( )A.49B.29C.23D.135．三人破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为________．6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒知识点三相互独立事件概率的综合应用7.在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为5和4.求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率．8.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意记事件的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．关键能力综合练进阶训练第二层一、选择题1．甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A ：“甲击中目标”，事件B ：“乙击中目标”，则事件A 与事件B ( )A ．相互独立但不互斥B ．互斥但不相互独立C ．相互独立且互斥D ．既不相互独立也不互斥2．张老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，他预估做对第一道题的概率是0.80，做对两道题的概率是0.60，则预估做对第二道题的概率是( )A ．0.80B ．0.75C ．0.60D ．0.483．甲、乙两颗卫星同时独立地监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为( )A ．0.95B ．0.6C ．0.05D ．0.44．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.165．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为45，乙及格的概率为35，丙及格的概率为710，三人各答一次，则三人中只有1人及格的概率为( )A.320 B.42135C.47250D ．以上都不对 6．(易错题)如图所示，用K ，A 1，A 2三个不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 二、填空题7．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．8．在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者，则乙连胜四局的概率为________．9．(探究题)同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．三、解答题10．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众需彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X ＝2的概率．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )A ．P (B )＝710 B ．P (A ∪B )＝910C ．P (A ∩B )＝0D ．P (A ∪B )＝P (C )2．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别是12，14，两人租车时间都不会超过四小时．则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为________．3．(学科素养—数据分析)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A组：10,11,12,13,14,15,16；B组：12,13,15,16,17,14，a.假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率．5．3.5 随机事件的独立性必备知识基础练1．解析：根据相互独立事件的概念可知，①③符合．答案：B2．解析：根据相互独立事件的概念可知，A1与A2相互独立，故A1与A2也相互独立．答案：A3．解析：①事件A与B是互斥事件，故A与B不是相互独立事件．②第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，∴A与B相互独立．③由于每次取球观察颜色后放回，故事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，∴A 与B相互独立．答案：②③4．解析：∵左边转盘指针落在奇数区域的概率为23，右边转盘指针落在奇数区域的概率为23，∴两个转盘指针同时落在奇数区域的概率为23×23＝49. 答案：A5．解析：用A ，B ，C 分别表示“甲、乙、丙三人能破译出密码”，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14， 且P (A － B － C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝45×23×34＝25.∴此密码被破译的概率为1－25＝35.答案：356．解析：所求概率P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26. 答案：0.267．解析：记“甲气象台预报天气准确”为事件A ，“乙气象台预报天气准确”为事件B ，显然事件A ，B 相互独立，且P (A )＝45，P (B )＝34.(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝45×34＝35.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P ＝1－P (A － B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－15×14＝1920. 8．解析：记C A 1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；C A 2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B 1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B 2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C B 1与C B 2互斥，C ＝C B 1C A 1＋C B 2C A 2. P (C )＝P (C B 1C A 1＋C B 2C A 2)＝P (C B 1C A 1)＋P (C B 2C A 2) ＝P (C B 1)P (C A 1)＋P (C B 2)P (C A 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为45，15，12，25，故P (C A 1)＝45，P (C A 2)＝15，P (C B 1)＝12，P (C B 2)＝25，P (C )＝12×45＋25×15＝0.48. 关键能力综合练1．解析：甲、乙两名射手是否击中目标互不影响，可以同时发生． 答案：A2．解析：设事件A i (i ＝1,2)表示“做对第i 道题”，A 1，A 2相互独立，由已知得，P (A 1)＝0.8，P (A 1A 2)＝0.6，由P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8P (A 2)＝0.6， 解得P (A 2)＝0.60.8＝0.75.答案：B3．解析：解法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为：①甲预报准确，乙预报不准确；②甲预报不准确，乙预报准确；③甲预报准确，乙预报准确．这三个事件彼此互斥，故所求事件的概率为0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＋0.8×0.75＝0.95.解法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是“在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”，故所求事件的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95.故选A.答案：A4．解析：设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品，事件B ：乙实习生加工的零件为一等品，则P (A )＝23，P (B )＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×34＝512.答案：B5．解析：利用相互独立事件同时发生及互斥事件有一个发生的概率公式可得所求概率为45×⎝⎛⎭⎪⎫1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－710＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35×710＝47250.答案：C6．解析：解法一：由题意知，K ，A 1，A 2正常工作的概率分别为P (K )＝0.9，P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.8.因为K ，A 1，A 2相互独立，所以A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P (K )[P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.解法二：A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为 1－P (A 1 A 2)＝1－(1－0.8)×(1－0.8)＝0.96.所以系统正常工作的概率为P (K )[1－P (A 1 A 2)]＝0.9×0.96＝0.864.故选B.答案：B7．解析：三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04. 三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96. 答案：0.24 0.968．解析：乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，∴概率P ＝(1－0.4)×0.5×(1－0.4)×0.5＝0.09.答案：0.099．解析：设“同学甲答对第i 个题”为事件A i (i ＝1,2,3)，则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5，且A 1，A 2，A 3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3发生，故所求概率为P ＝P (A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3＋A 1A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.答案：0.4610．解析：(1)设事件A 表示“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”．观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙未选中3号歌手的概率为1－35＝25，所以P (A )＝23×25＝415.(2)用事件B ，C ，D 分别表示“甲、乙、丙选中3号歌手”．根据题意P (B )＝23，P (C )＝35，P (D )＝35. X ＝2意味着甲、乙、丙三人中只有2人选中3号歌手，所以P (X ＝2)＝P (BC D －)＋P (B C－D )＋P (B －CD )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝1125.学科素养升级练1．解析：由题意知A ，B ，C 为互斥事件，故C 正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，所以P (B )＝710，P (A )＝210，P (C )＝110则P (A ∪B )＝910，故A 、B ，C 正确，D 错误．故选ABC.答案：ABC2．解析：由题意可知，甲、乙在三小时以上且不超过四个小时还车的概率分别为14，14，设甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A ，则P (A )＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.答案：5163．解析：设事件A i 为“甲是A 组的第i 个人”， 事件B i 为“乙是B 组的第i 个人”，i ＝1,2，…，7. 由题意可知P (A i )＝P (B i )＝17，i ＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A 组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P (A 5＋A 6＋A 7)＝P (A 5)＋P (A 6)＋P (A 7)＝37.(2)设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知，C ＝A 4B 1＋A 5B 1＋A 6B 1＋A 7B 1＋A 5B 2＋A 6B 2＋A 7B 2＋A 7B 3＋A 6B 6＋A 7B 6.因此P (C )＝P (A 4B 1)＋P (A 5B 1)＋P (A 6B 1)＋P (A 7B 1)＋P (A 5B 2)＋P (A 6B 2)＋P (A 7B 2)＋P (A 7B 3)＋P (A 6B 6)＋P (A 7B 6)＝10P (A 4B 1)＝10P (A 4)P (B 1)＝1049.。
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.3古典概型课件新人教B版必修第二册
题型一 样本空间[经典例题] 例 1 连续掷 3 枚硬币，观察这 3 枚硬币落在地面上时是正面 朝上还是反面朝上． (1)写出这个试验的所有样本点； (2)求这个试验的样本点的总数； (3)“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？
【解析】 (1)这个试验包含的样本点有(正，正，正)，(正，正， 反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反)；
跟踪训练 1 4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4，从这 4 张卡片 中随机抽取 2 张，则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的所有样 本点数为( )
A.2 B．3 C．4 D．6
解析：用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为 (1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共 4 种可能．故选 C.
判断是否为古典概型，关键试验是否具有有限性和等可能性.
方法归纳 判断一个试验是古典概型的依据
判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特 征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
跟踪训练 2 下列试验是古典概型的为________． ①从 6 名同学中选出 4 人参加数学竞赛，每人被选中的可能性 大小 ②同时掷两颗骰子，点数和为 6 的概率 ③近三天中有一天降雨的概率 ④10 人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
方法归纳
1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事 件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式．
2．运用事件的概率加法公式解题的步骤：(1)确定题中哪些事 件彼此互斥；(2)将待求事件拆分为几个互斥事件之和；(3)先求各互 斥事件分别发生的概率，再求和．
跟踪训练 4 在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率 如下表所示：
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.2事件之间的关系与运算课件新人教B版必修第二册
若 A∩B 为__∅_，A∪B 为 __必__然__事_件__，那么称事件 A
与事件 B 互为对立事件
若 A∩B＝ ∅，且 A∪B ＝U，则 A 与 B 对立
事 件 的 运 算
并事 件
交事
若某事件发生当且仅当
_事__件__A__发__生__或_事__件___B_发_，生
则称此事件为事件 A 与事 件 B 的并事件(或和事件) 若某事件发生当且仅当
跟踪训练 1 从一批产品中取出”，C 表示“三件产 品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是( )
A.A 与 C 互斥 B．任何两个均互斥 C．B 与 C 互斥 D．任何两个均不互斥
解析：由题意可知，事件 A 与事件 C 不可能同时发生，故 A 与 C 互斥，选 A.
【解析】 (1)用 x1，x2 分别表示甲、乙两个元件的状态，则可 以用(x1，x2)表示这个并联电路的状态．以 1 表示元件正常，0 表示 元件失效，则样本空间为 Ω＝{(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)}．
(2)根据题意，可得 A＝{(1,0)，(1,1)}，B＝{(0,1)，(1,1)}， A ＝{(0,0)，(0,1)}， B ＝{(0,0)，(1,0)}．
2．抽查 10 件产品，记事件 A 为“至少有 2 件次品”，则 A 的 对立事件为( )
A．至多有 2 件次品 B．至多有 1 件次品 C．至多有 2 件正品 D．至少有 2 件正品
解析：至少有 2 件次品包含 2,3,4,5,6,7,8,9,10 件次品，共 9 种 结果，故它的对立事件为含有 1 或 0 件次品，即至多有 1 件次品．
(原创)人B版(2019)数学-必修第二册-第五章+概率与统计-§3.5随机事件的独立性PPT
探究点2 独立事件的概率乘法公式
（1）若 A 与 B 相互独立， 则 P( AB) P( A)P(B) ，
同时 P( AB) P( A)P(B) ， P( AB) P( A)P(B) ， P( AB) P( A)P(B) ;
(2) 若 A1, A2,..., An 两两独立， 则 P( A1A2...An ) P( A1)P( A2 ) ... P( An ) .
(2)事件 A＝{2,4,6}，事件 B＝{3,6}，事件 AB＝{6}，基本事件空 间Ω＝{1,2,3,4,5,6}．所以 P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16＝12×13， 即 P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件 A 与 B 相互独立．当“出现 6 点”时， 事件 A，B 同时发生，所以 A，B 不是互斥事件．选 B.
（1）三道题都猜对可以表示为 A1A2A3 ，又因为 A1, A2, A3 相互独立，因
此：
P( A1A2 A3)
P( A1 )P( A2 )P( A3 )
1 4
1 4
1 4
1 64
.
（2）“至少猜对一道题“的对立事件时“三道都猜错”，后者可以表
示为
A1
A2
A3
，所以：
P(
A1
A2
A3 )
P(
A1)P(
名三好学生，两班各派 1 名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好
学生的概率是( C )
A．254
B．152
C．214
D．38
解析 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件 A，B 分别为甲班、
乙班派出的是三好学生，则事件 AB 为两班派出的都是三好学生，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝396×366＝214.
2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.4频率与概率课件新人教B版必修第二册
教材反思 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大 量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件 发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算 概率．
跟踪训练 1 李老师在某大学连续 3 年主讲经济学院的高等数
学，下表是李老师这门课 3 年来的考试成绩分布：
一名学生，估计这名学生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率．
【解析】 由频率分布直方图可以看出，所抽取的学生成绩中， 在[90,100]内的概率为
0．01×(100－90)＝0.1. 因为由样本的分布可以估计总体的分布，所以全校学生的数学 得分在[90,100]内的频率可以估计为 0.1. 根据用频率估计概率的方法可知，随机选取一名学生，这名学 生该次数学考试成绩在[90,100]内的概率可以估计为 0.1.
A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5 解析：共 20 个数据，频率为 0.2，在此范围内的数据有 4 个， 只有在 11.5～13.5 范围内有 4 个数据：13,12,12,12，故选 D. 答案：D
新教材高中数学第5章统计与概率5 3概率5 3 2事件之间的关系与运算学案含解析新人教B版必修第二册
科学的思考方式英语作文Scientific Thinking。
Scientific thinking is a way of approaching problems and finding solutions based on evidence and logical reasoning. It involves a systematic approach to understanding the world around us, using observation, experimentation, and critical thinking to arrive at conclusions that are based on facts rather than opinions or beliefs.The first step in scientific thinking is to ask questions. Scientists are always curious about the world around them and are constantly asking questions about how things work, why things happen, and what causes certain phenomena. They use their observations and experiences to formulate hypotheses, or educated guesses, about the answers to these questions.Once a hypothesis has been formulated, scientistsdesign experiments to test it. They carefully control all the variables that could affect the outcome of the experiment, and then collect data to see if their hypothesis is supported or refuted by the evidence. If the results of the experiment support the hypothesis, it can be considered valid and may be used to make predictions about future events.However, if the results do not support the hypothesis, scientists must revise their ideas and come up with a new hypothesis to explain the data. This process of testing and revising hypotheses is an important part of scientific thinking, as it allows scientists to refine their understanding of the world and develop new theories and explanations for the phenomena they observe.In addition to testing hypotheses, scientific thinking also involves critical thinking. Scientists must be able to evaluate evidence objectively, weigh the strengths and weaknesses of different arguments, and consider alternative explanations for the data they collect. They must also be willing to revise their ideas in light of new evidence,even if it contradicts their previous beliefs or assumptions.Finally, scientific thinking requires a willingness to collaborate with others and share information openly. Scientists often work in teams to design experiments, collect data, and analyze results, and they must be able to communicate their findings clearly and accurately to others in their field. This collaboration helps to ensure that scientific knowledge is accurate and reliable, and that new discoveries can be built upon by future generations of scientists.In conclusion, scientific thinking is a powerful tool for understanding the world around us. By asking questions, testing hypotheses, and evaluating evidence objectively, scientists are able to develop new theories and explanations for the phenomena they observe. This process of discovery and refinement is a hallmark of scientific thinking, and it has led to many of the greatest advances in human knowledge and understanding.。
2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.4统计与概率的应用学案新人教B版必修第二册(最新整理)
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5．4 统计与概率的应用考点学习目标核心素养统计与概率的意义通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用数学抽象统计与概率的应用能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题数学抽象、数学运算判断正误（正确的打“√”,错误的打“×”）（1)事件A发生的概率很小时,该事件为不可能事件．（)（2)某医院治愈某种病的概率为0。
8，则10个人去治疗，一定有8人能治愈．( ）(3)平时的多次比赛中，小明获胜的次数比小华的高，所以这次比赛应选小明参加．（)答案:（1）×(2)×(3)√已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是（)A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错解析:选C.概率是指一件事情发生的可能性大小．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有（)A．f(n)与某个常数相等B．f(n）与某个常数的差逐渐减小C．f(n）与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定解析：选D.随着n的增加，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．事件A发生的概率是错误!,则错误!表示的________．解析：根据概率的含义知错误!表示的是事件A发生的可能性大小．答案：事件A发生的可能性的大小统计在决策中的应用2019年4月20日,福建省人民政府公布了“3＋1＋2"新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．“2"中记入高考总分的单科成绩是由原始分转化得到的等级分，学科高考原始分在全省的排名越靠前,等级分越高．小明同学是2018级的高一学生．已确定了必选地理且不选政治，为确定另选一科，小明收集并整理了化学与生物近10大联考的成绩百分比排名数据x（如x＝19的含义是指在该次考试中,成绩高于小明的考生占参加该次考试的考生数的19％），绘制茎叶图如下．（1）分别计算化学、生物两个学科10次联考的百分比排名的平均数和中位数；(2)根据已学的统计知识,并结合上面的数据，帮助小明作出选择．并说明理由．【解】(1）化学学科10大联考的成绩百分比排名的平均数为12＋16＋21＋23＋25＋27＋34＋42＋43＋5910＝30。
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5.3.5 随机事件的独立性
[A 基础达标]
1.如图，用K 、A
1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、
A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的
概率为( )
A ．0.960
B ．0.864
C ．0.720
D ．0.576
解析：选B.可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2
＝0.96，所以系统正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864.
2．一件产品要经过2道独立的加工程序，第一道工序的次品率为a ，第二道工序的次品率为b ，则产品的正品率为( )
A ．1－a －b
B ．1－ab
C ．(1－a )(1－b )
D ．1－(1－a )(1－b )
解析：选C.设A 表示“第一道工序的产品为正品”，B 表示“第二道工序的产品为正品”，则P (AB )＝P (A )P (B )＝(1－a )(1－b )．
3．(2019·陕西省西安中学段考)从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为15，身体关节构造合格的概率为1
4.从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的的概率是
(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A.1320
B.15
C.14
D.25
解析：选D.法一：所求概率P ＝15×34＋45×14＋15×14＝3＋4＋120＝820＝2
5.
法二：所求概率P ＝1－45×34＝1－35＝2
5
.
4．(2019·河南省郑州市中原区月考)一道竞赛题，A ，B ，C 三人可解出的概率分别为1
2，
13，1
4
，则三人独立解答，仅有一人解出的概率为( ) A.124
B.1124
C.
1724
D.1
解析：选B.所求概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝14＋18＋112＝11
24
.
5．某大街在甲、乙、丙三处设有红、绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为13，12，2
3
，则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ) A.19 B.16 C.13
D.718
解析：选D.设汽车分别在甲、乙、丙三处通行为事件A ，B ，C ，则P (A )＝13，P (B )＝1
2，
P (C )＝23，停车一次即为事件A －BC ＋A B －C ＋AB C －的发生，故概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12×23＋13×⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－12×23＋13×12×⎝
⎛⎭⎪⎫1－23＝718.
6．在甲盒内的200个螺杆中有160个是A 型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A 型．若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A 型螺栓的概率为________．
解析：从甲盒内取一个A 型螺杆记为事件M ，从乙盒内取一个A 型螺母记为事件N ，因事件M ，N 相互独立，则能配成A 型螺栓(即一个A 型螺杆与一个A 型螺母)的概率为P (MN )＝
P (M )·P (N )＝
160200×180240＝35
. 答案：3
5
7．已知A ，B ，C 相互独立，如果P (AB )＝16，P (B －C )＝1
8，P (AB C －)＝18
，则P (A －B )＝________．
解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧
P （AB ）＝16
，
P （B －C ）＝1
8，P （AB C －）＝18
，
解得P (A )＝13，P (B )＝12，P (C )＝1
4.
所以P (A －B )＝23×12＝1
3
.
答案：13
8．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，3
4.
某辆车在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为512×712`×34＝35
192.
答案：35
192
9．已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为1
2
，求灯亮的概率．
解：因为A ，B 断开且C ，D 至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮，P ＝P (A －B －
)[1－P (CD )]＝P (A －)P (B －)·[1－P (CD )]＝12×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝3
16
.
所以灯亮的概率为1－316＝13
16
.
10．有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验． (1)求恰有一件不合格的概率；
(2)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)．
解：设从三种产品中各抽取一件，抽到合格品的事件为A 、B 、C . (1)因为P (A )＝0.90，P (B )＝P (C )＝0.95， 所以P (A －)＝0.10，P (B －)＝P (C －
)＝0.05.
因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有一件不合格的概率为：
P (A ·B ·C －)＋P (A ·B －·C )＋P (A －·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C －)＋P (A )·P (B －
)·P (C )
＋P (A －
)·P (B )·P (C )＝2×0.90×0.95×0.05＋0.10×0.95×0.95≈0.176.
(2)法一：至少有两件不合格的概率为
P (A ·B －·C －)＋P (A －·B ·C －)＋P (A －·B －·C )＋P (A －·B －·C －
)＝0.90×0.052＋
2×0.10×0.05×0.95＋0.10×0.052
＝0.012.。