随机变量的期望与方差
随机变量的期望与方差
随机变量是概率论中非常重要的概念，它描述了一次随机试验中可能出现的各种结果及其对应的概率。
而随机变量的期望和方差是对这些结果的统计性质的度量。
首先，我们来看看随机变量的期望。
期望是对随机变量的平均值的度量，它表示了在多次随机试验中，随机变量的结果的平均表现。
对于离散型随机变量，期望可以用如下公式来计算：E(X) = Σ(x_i * p_i)其中，E(X)表示随机变量X的期望，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，期望的计算方式稍有不同。
在这种情况下，期望可以用如下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
期望可以理解为随机变量的平均表现，它具有很多应用。
例如，在赌博中，我们可以用期望来判断一个赌局是否合理。
如果某个赌局的期望为负，意味着赌徒平均而言会亏损，此时赌徒应该避免参与这个赌局。
接下来，我们来看看随机变量的方差。
方差是对随机变量结果的离散程度的度量，它表示了多次随机试验中，随机变量结果与其期望之间的差异程度。
方差越大，表示结果的离散程度越大，反之亦然。
对于离散型随机变量，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = Σ((x_i - E(X))^2 * p_i)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x_i表示随机变量X可能的取值，p_i表示该取值出现的概率。
对于连续型随机变量，方差的计算方式稍有不同。
在这种情况下，方差可以用如下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量X的取值，f(x)表示X的概率密度函数。
方差可以理解为随机变量结果的离散程度。
它具有很多应用。
例如，在金融领域，方差被广泛用于度量投资组合的风险。
一个投资组合的方差越大，意味着其回报的波动性越大，风险越高。
期望与方差的计算方法
期望与方差的计算方法概述：期望和方差是概率论和统计学中常用的两个重要概念，用于描述随机变量的特征和分布情况。
本文将介绍期望和方差的计算方法，帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
一、期望的计算方法：期望是对随机变量取值的加权平均，衡量了随机变量的中心趋势。
在离散型随机变量和连续型随机变量的情况下，期望的计算方法有所不同。
1.1 离散型随机变量的期望计算：对于离散型随机变量X，其概率分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）表示。
离散型随机变量的期望计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X = x))其中，x表示每个可能的取值，P(X = x)表示随机变量X等于x的概率。
示例：假设有一个骰子，其各个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，每个面点数出现的概率都为1/6。
我们可以通过计算来求得该骰子的期望。
E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5因此，该骰子的期望为3.5。
1.2 连续型随机变量的期望计算：对于连续型随机变量X，其概率分布可以用概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）表示。
连续型随机变量的期望计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x)) dx其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
示例：假设X服从标准正态分布，其概率密度函数为f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)。
我们可以通过积分计算来求得X的期望。
E(X) = ∫(x * (1/√(2π)) * e^(-x^2/2)) dx根据标准正态分布的性质，可知E(X) = 0因此，X的期望为0。
二、方差的计算方法：方差是衡量随机变量离散程度的指标，描述了随机变量取值与期望的偏离程度。
方差的计算方法与期望的计算方法类似，在离散型和连续型随机变量的情况下也有所不同。
掌握概率分布的期望与方差
掌握概率分布的期望与方差概率分布的期望与方差是统计学中重要的概念。
它们用于衡量随机变量的中心位置和离散程度，是概率分布的重要特征参数。
在本文中，我们将详细介绍概率分布的期望和方差的定义、计算方法以及它们的意义和应用。
一、期望的定义与计算方法期望是概率分布的平均值，用于表示随机变量的中心位置。
对于离散型随机变量，期望的定义如下：设X是一个随机变量，其取值集合为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的期望E(X)定义为：E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn即随机变量每个取值与其对应的概率乘积的总和。
而对于连续型随机变量，期望的计算方法则需要使用积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，那么X的期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，积分范围为随机变量的取值区间。
二、方差的定义与计算方法方差是概率分布的离散程度的度量，用于衡量随机变量取值与其期望之间的偏离程度。
对于离散型随机变量，方差的定义如下：设X是一个随机变量，其期望为E(X)，概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = (x1 - E(X))^2 * p1 + (x2 - E(X))^2 * p2 + ... + (xn - E(X))^2 * pn即随机变量每个取值与其对应的期望差的平方与其概率乘积的总和。
对于连续型随机变量，方差的计算方法与离散型随机变量类似，需要进行积分。
假设X的概率密度函数为f(x)，期望为E(X)，那么X的方差Var(X)定义为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx三、期望与方差的意义与应用期望和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们具有以下意义和应用：1. 期望是随机变量的中心位置，它表示随机变量平均取值的大小。
通过期望可以了解随机变量的分布特征，为问题的分析和决策提供依据。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。
在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。
一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。
例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。
随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。
二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。
方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。
这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。
例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。
在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。
现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。
方差与期望
方差与期望期望公式：方差公式：方差=E(x²)-E(x)²，E(X)是数学期望。
在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。
它反映随机变量平均取值的大小。
概率论简介：期望值像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望值”所期望的数。
期望值可能与每一个结果都不相等。
换句话说，期望值是该变量输出值的加权平均。
期望值并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。
赌博是期望值的一种常见应用。
例如，美国的轮盘中常用的轮盘上有38个数字，每一个数字被选中的概率都是相等的。
赌注一般押在其中某一个数字上，如果轮盘的输出值和这个数字相等，那么下赌者可以获得相当于赌注35倍的奖金（原注不包含在内），若输出值和下压数字不同，则赌注就输掉了。
考虑到38种所有的可能结果，然后这里我们的设定的期望目标是“赢钱”，则因此，讨论赢或输两种预想状态的话，以1美元赌注押一个数字上，则获利的期望值为：赢的“概率38分之1，能获得35元”，加上“输1元的情况3 7种”，结果约等于-0。
0526美元。
也就是说，平均起来每赌1美元就会输掉0。
0526美元，即美式轮盘以1美元作赌注的期望值为负0。
0526美元扩展资料：在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
（标准差、方差越大，离散程度越大）若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D （X）较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。
概率分布的期望与方差的计算
概率分布的期望与方差的计算概率分布是概率论和统计学中的重要概念之一，用于描述随机变量的取值及其对应的概率。
期望和方差是概率分布的两个重要指标，用来描述随机变量的集中程度和离散程度。
本文将介绍概率分布的期望与方差的计算方法，并举例说明。
一、期望的计算期望是随机变量的平均值，用于表示随机变量的中心位置。
下面介绍几种常见概率分布的期望计算方法。
1. 离散型随机变量的期望计算对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ(xP(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率。
举例：假设某公司的年度营业额X（单位：万元）服从以下概率分布：X | 10 | 20 | 30 | 40P(X) | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.1则该概率分布的期望计算如下：E(X) = 10*0.2 + 20*0.3 + 30*0.4 + 40*0.1 = 24 (万元)2. 连续型随机变量的期望计算对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫(x*f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数。
举例：假设某产品的寿命X（单位：小时）服从指数分布，其概率密度函数为：f(x) = λ * exp(-λx)，x ≥ 0则该概率分布的期望计算如下：E(X) = ∫(x * λ * exp(-λx))dx，积分区间为0到∞利用积分计算方法可得E(X) = 1/λ二、方差的计算方差衡量了随机变量的离散程度，是随机变量与其期望之间差异的平方的期望。
下面介绍几种常见概率分布的方差计算方法。
1. 离散型随机变量的方差计算对于离散型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(x))其中，x代表随机变量X的取值，P(x)代表X取值为x的概率，E(X)代表X的期望。
举例：继续以上述年度营业额X的概率分布为例，其期望为24万元。
则该概率分布的方差计算如下：Var(X) = (10-24)^2 * 0.2 + (20-24)^2 * 0.3 + (30-24)^2 * 0.4 + (40-24)^2 * 0.1 = 136 (万元^2)2. 连续型随机变量的方差计算对于连续型随机变量X，其方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中，f(x)为X的概率密度函数，E(X)代表X的期望。
随机变量的期望与方差
随机变量的期望与方差随机变量是概率论中的重要概念，它描述了在概率试验中可能出现的各种结果以及与这些结果相关联的概率。
在这篇文章中，我们将讨论随机变量的期望与方差，这是两个度量随机变量集中程度的重要指标。
一、随机变量的期望随机变量的期望是对随机变量取值的加权平均值。
它是描述随机变量平均取值水平的指标。
设随机变量X的取值为x1, x2, ..., xn，它们对应的概率为p1, p2, ..., pn，则X的期望值（记为E(X)）可以通过以下公式计算：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn例如，假设我们有一个掷骰子的概率试验，随机变量X表示掷骰子的结果。
骰子的六个面分别标有1到6的数字。
每个面朝上的概率均等，即1/6。
那么X的期望值为：E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = 3.5在这个例子中，掷骰子的平均结果为3.5。
二、随机变量的方差随机变量的方差描述了随机变量取值在期望值周围的离散程度。
方差越大，随机变量取值相对于期望值的离散程度越大。
方差的计算公式如下：Var(X) = E((X - E(X))^2)其中，E(X)表示随机变量X的期望值。
该公式的含义是，计算随机变量X取值与期望值之差的平方的期望。
在上述掷骰子的例子中，我们可以计算出随机变量X的方差。
E((X - 3.5)^2) = (1-3.5)^2*(1/6) + (2-3.5)^2*(1/6) + ... + (6-3.5)^2*(1/6) ≈ 2.92所以，随机变量X的方差为2.92。
三、随机变量的期望与方差的意义期望和方差是描述随机变量性质的两个重要指标。
期望告诉我们随机变量的平均取值水平，而方差则描述了随机变量取值的离散程度。
在统计学和概率论中，期望和方差有着广泛的应用。
例如，在保险领域，可以根据过去的理赔数据计算出某种保险险种的平均赔付额。
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量在概率论中具有重要地位，它描述了随机事件的变化规律，数学期望和方差是衡量随机变量分布的重要指标。
一、数学期望数学期望是对随机变量取值的平均值的度量，记作E(X)，其中X为随机变量。
数学期望可以理解为长期重复试验中，随机变量取值的平均结果。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X=x))其中x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值分散程度的度量，记作Var(X)或σ^2，其中X为随机变量。
方差描述的是随机变量取值与其数学期望之间的偏离情况。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))^2 * P(X=x))其中x为随机变量的取值，E(X)为该随机变量的数学期望。
对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx其中f(x)为随机变量的概率密度函数。
三、应用举例为了更好理解数学期望与方差的作用和计算方法，下面以骰子为例进行说明。
假设我们有一个六面骰子，其取值范围为1到6，每个面出现的概率相等。
我们可以定义骰子的随机变量X表示投掷后骰子的结果。
1. 计算数学期望：E(X) = (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) = 3.5所以，这个六面骰子的数学期望为3.5，即在长期重复的投掷中，平均每次的点数是3.5。
2. 计算方差：Var(X) = ((1-3.5)^2 * 1/6) + ((2-3.5)^2 * 1/6) + ((3-3.5)^2 * 1/6) + ((4-3.5)^2 * 1/6) + ((5-3.5)^2 * 1/6) + ((6-3.5)^2 * 1/6) ≈ 2.92所以，这个六面骰子的方差为2.92，即在长期重复的投掷中，每次投掷结果与平均值3.5偏离的程度。
随机变量的期望值与方差
随机变量的期望值与方差随机变量是概率论中的重要概念，用于描述随机事件的数值特征。
在概率论和统计学中，我们经常需要计算随机变量的期望值和方差，以便更好地理解和分析随机事件的性质和规律。
一、随机变量的期望值随机变量的期望值是对随机变量取值的加权平均值，用来描述随机变量的平均水平。
对于离散型随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
对于连续型随机变量，期望值的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，E(X)表示随机变量X的期望值，x表示随机变量X的取值，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
期望值的计算可以帮助我们了解随机变量的平均水平，例如在投掷一枚均匀骰子的情况下，每个点数出现的概率相等，因此骰子的期望值为：E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5二、随机变量的方差随机变量的方差是对随机变量取值与其期望值之间差异的度量，用来描述随机变量的离散程度。
方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差的计算可以帮助我们了解随机变量的离散程度，例如在投掷一枚均匀骰子的情况下，每个点数出现的概率相等，因此骰子的方差为：Var(X) = E[(X-3.5)^2] = ((1-3.5)^2+(2-3.5)^2+(3-3.5)^2+(4-3.5)^2+(5-3.5)^2+(6-3.5)^2)/6 = 2.9167三、期望值与方差的意义期望值和方差是描述随机变量特征的重要指标，它们能够帮助我们更好地理解和分析随机事件的性质和规律。
1. 期望值：期望值可以用来描述随机变量的平均水平。
例如，在投掷一枚均匀骰子的情况下，骰子的期望值为3.5，表示骰子的平均点数为3.5。
期望值可以帮助我们预测随机事件的平均结果。
随机变量的期望与方差知识点
随机变量的期望与方差知识点统计学中的随机变量是指在一次试验中可以取得不同数值的变量。
对于随机变量，我们常常关注它的期望与方差，这些是描述随机变量性质的重要指标。
本文将介绍随机变量的期望与方差的概念、计算方法以及它们的实际含义。
一、随机变量的期望随机变量的期望是一个数学期望值，用来衡量随机变量的平均取值水平。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中Σ 表示求和，x 表示随机变量X可以取到的值，P(X=x) 表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫ [x * f(x)]dx其中∫ 表示积分，x 表示随机变量X可以取到的值，f(x) 表示X的密度函数。
期望的计算方法可以帮助我们了解随机变量的平均取值水平。
例如，在某个游戏中，随机变量X表示一次投掷骰子的结果。
假设骰子是均匀的，那么它的每个面出现的概率都是1/6。
我们可以通过计算期望来了解投掷骰子的平均结果是多少。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值的离散程度，它描述了随机变量偏离期望的程度。
方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中 E(X) 表示随机变量X的期望。
方差的计算方法可以帮助我们了解随机变量取值的离散程度。
对于同样表示投掷骰子结果的随机变量X，假设我们想知道投掷10次骰子的结果的离散程度。
我们可以通过计算方差来了解。
三、随机变量期望与方差的实际含义随机变量的期望和方差都是对随机变量的性质进行描述的重要指标。
它们不仅有着严格的数学定义，也有着实际的含义。
期望是描述随机变量的平均取值水平，它可以用来预测随机变量的未来表现。
例如，在股票市场中，可以用过去的股价数据计算股票未来收益的期望，帮助投资者做出投资决策。
方差是描述随机变量取值离散程度的指标，它可以用来评估随机变量的风险。
例如，在金融领域中，可以利用方差来衡量投资组合的风险。
随机变量的期望与方差
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
X的分布列为
X0
5 10 15 20
P
8 27
8 27
6 27
4 27
1 27
E(X)＝0×287＋5×287＋10×267＋15×247＋20×217＝230.
【答案】
4 (1)9
(2)E(X)＝230
第39页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
微专题2：二项分布的均值与方差 (2015·湖南，理)某商场举行有奖促销活动，顾客购买 一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白 球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个 球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个 红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖． (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率； (2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等 奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．
(3)设X为该生选对试题个数，Y为成绩． 则X～B(50，0.7)，Y＝3X. ∴E(X)＝50×0.7＝35，D(X)＝50×0.7×0.3＝10.5. 故E(Y)＝E(3X)＝3E(X)＝105， D(Y)＝D(3X)＝9D(X)＝94.5. 【答案】 (1)3.5，10，3152 (2)n＋2 1，112(n2－1) (3)105，94.5
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
答案 C 解析 至少有一枚5点或一枚6点的概率为1－(1－13)(1－13)＝ 1－49＝59.∴X～B(30，59)，∴E(X)＝30×59＝530.
第16页
高考调研 ·高三总复习·数学（理）
6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，
对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为
随机变量的期望与方差
随机变量的期望与方差随机变量是概率论中的核心概念，用来描述随机事件的数值特征。
而随机变量的期望和方差是对随机变量进行描述和分析的重要指标。
本文将对随机变量的期望和方差进行详细解释和讨论。
一、随机变量的期望随机变量的期望是对随机变量取值的平均值的衡量。
设X是一个随机变量，其概率密度函数（离散情况下为概率质量函数）为p(x)，则随机变量X的期望（记作E(X)或μ）定义为：E(X) = ∑[x * p(x)] (离散情况)E(X) = ∫[x * p(x)]dx (连续情况)其中，x为随机变量X的取值。
期望可以理解为随机变量的平均取值。
二、随机变量的方差随机变量的方差是对随机变量离散程度的度量，表示随机变量的取值与其期望之间的偏离程度。
设X是一个随机变量，其期望为E(X)，则随机变量X的方差（记作Var(X)或σ²）定义为：Var(X) = E((X - E(X))²)根据方差的定义，可以得出以下性质：1. Var(X) ≥ 0，即方差是非负的；2. 当且仅当X为常数时，Var(X) = 0。
三、期望与方差的性质1. 常数性质：对于任意常数a，有E(a) = a和Var(a) = 0。
2. 线性性质：对于任意两个随机变量X和Y以及任意常数a和b，有以下性质成立：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)Var(aX + bY) = a²Var(X) + b²Var(Y) + 2abCov(X, Y)其中，Cov(X, Y)为随机变量X和Y的协方差，表示它们的线性相关性。
3. 切比雪夫不等式：对于任意随机变量X和任意正数ε，有以下不等式成立：P(|X - E(X)| ≥ ε) ≤ Var(X) / ε²切比雪夫不等式给出了随机变量偏离其期望的概率上限。
四、应用举例1. 投掷硬币：设随机变量X表示一次投掷硬币出现正面的次数。
由于投掷硬币的结果是随机的，可以采用0表示反面，1表示正面。
期望值和方差的公式
期望值和方差的公式一、期望值概念：期望值是随机变量取值与其概率的加权平均，用来表示随机变量的平均取值。
1.离散型随机变量的期望值：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的期望值E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn2.连续型随机变量的期望值：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的期望值E(X)定义为：E(X) = ∫xf(x)dx性质：1.期望值的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)2.期望值的保序性：如果随机变量X的取值总是大于等于随机变量Y的取值，则有：E(X)≥E(Y)二、方差概念：方差是用来度量随机变量与其期望值之间的偏离程度或波动程度。
1.离散型随机变量的方差：设X是一个离散型随机变量，其取值为x1,x2,...,xn，对应的概率分别为p1,p2,...,pn，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 -E(X))^2*p2 + ... + (xn - E(X))^2*pn2.连续型随机变量的方差：设X是一个连续型随机变量，其概率密度函数为f(x)，则随机变量X 的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx性质：1.方差的线性性质：对于任意的常数a和b，以及随机变量X和Y，有：Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)2.方差的非负性：对于任意的随机变量X，有：Var(X) ≥ 03.方差的可加性：对于独立随机变量X和Y，有：Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)三、期望值和方差的计算公式1.对离散型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn（2）方差：Var(X) = (x1 - E(X))^2*p1 + (x2 - E(X))^2*p2 + ... + (xn -E(X))^2*pn2.对连续型随机变量的期望值和方差的计算公式：（1）期望值：E(X) = ∫xf(x)dx（2）方差：Var(X) = ∫(x - E(X))^2f(x)dx总结：期望值和方差是概率论中重要的概念，用于描述随机变量的分布特征。
随机变量的数字特征——期望,方差以及协方差
例12: 设X ~ B(n , p), Y = eaX,求E（Y）。
解：
EY EeaX n eak P( X k)
k0
n
e
akC
k n
pk (1
p)nk
k0
n
C
k n
(e
a
p)k (1
p)nk
k0
(ea p (1 p))n
例13: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E（Y）。
g( xk )pk
k
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g( X )] g( xk ) pk
k
（2） 设X 为连续型随机变量, 其概率密度为 f (x)，且 Y= g(X)也是连续型随机变量。若
g( x) f ( x)dx
绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且
E(Y ) E[g(X )] g(x) f (x)dx
2、几种常见离散型分布的数学期望
1） 两点分布 例3：设随机变量X服从参数为p 的两点分布，求EX
解： EX=0×(1-p)+1×p=p
2） 二项分布 例4：设随机变量X~B(n,p)，求EX 解： 易知 X 的概率分布为：
P( X k) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1, , n
k!
E( X ) kP( X k)
k k e
k0
k0 k!
e
k 1
k0 (k 1)!
ee
例5 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一 把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门 时试开次数的数学期望.
解:设试开次数为X,
期望 方差及相关系数的计算
期望方差及相关系数的计算期望、方差及相关系数的计算在统计学中，期望、方差和相关系数是常用的概念和计算方法，它们能够帮助我们对数据进行分析和比较，进而得到有关数据分布和观察结果的重要信息。
本文将介绍期望、方差和相关系数的定义以及如何计算它们。
一、期望的计算期望是反映随机变量平均值的重要指标，它可以用于描述一组数据的集中趋势。
对于一个离散型随机变量X，其期望的计算公式如下：E(X) = Σ(X * P(X))其中X代表随机变量取值，P(X)代表X取该值的概率。
对于一个连续型随机变量X，其期望的计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中f(x)代表X的概率密度函数。
二、方差的计算方差是反映随机变量离散程度的指标，它能够告诉我们数据的分散程度以及数据的稳定性。
方差的计算公式如下：Var(X) = E((X - E(X))^2)其中E(X)代表随机变量X的期望。
方差描述了随机变量与其期望之间的差异程度，方差越大，数据的分散程度越大。
三、相关系数的计算相关系数是用于衡量两个变量之间相关程度的指标。
它能够帮助我们了解两个变量之间的线性关系强度以及相关性的方向。
相关系数的计算公式如下：r(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))其中Cov(X,Y)代表随机变量X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)分别代表X和Y的标准差。
相关系数的取值范围在-1到1之间，当其值为正时，表示两个变量正相关；当其值为负时，表示两个变量负相关；当其值接近0时，表示两个变量之间基本上没有线性关系。
综上所述，本文介绍了期望、方差和相关系数的计算方法。
这些方法能够帮助我们对数据进行分析和比较，从而得到对数据分布和观察结果的更深入了解。
期望、方差和相关系数的计算在统计学中具有重要的意义，是进行数据分析和决策的基础。
希望本文能对读者理解和应用这些概念有所帮助。
(完整版)随机变量的数学期望与方差
第9讲 随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。
2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。
教学重点：1．随机变量的数学期望2．随机变量函数的数学期望3．数学期望的性质4．方差的定义5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。
教学学时：2学时。
教学过程：第三章 随机变量的数字特征§3.1 数学期望在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X 的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了。
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。
因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。
车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品，21天每天出三件废品。
这样可以得到这100天中每天的平均废品数为27.1100213100172100301100320=⨯+⨯+⨯+⨯ 这个数能作为X 取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27。
对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是Λ,,21x x ， 相应的概率为 Λ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。
但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近∑∞=1k k k p x由此引入离散随机变量数学期望的定义。
定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是Λ ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k如果 ∑∞=1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为∑∞==1)(k k k p x X E也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。
连续随机变量的期望与方差
连续随机变量的期望与方差在概率论与数理统计中，连续随机变量是指可以取得无限个可能取值的随机变量。
与离散随机变量不同的是，连续随机变量通常涉及到概率密度函数的求解和积分计算。
对于连续随机变量而言，期望与方差是两个重要的统计量，它们能够描述随机变量的集中程度和离散程度。
1. 期望连续随机变量的期望可以用积分的形式进行计算。
对于一个连续随机变量X和其概率密度函数f(x)，其期望E(X)定义为：E(X) = ∫[x * f(x)]dx在连续随机变量的期望计算中，需要注意以下几点：- 若概率密度函数f(x)是奇函数，则期望E(X) = 0；- 若概率密度函数f(x)是偶函数，则期望E(X) = ∫[x * f(x)]dx中的积分上下限可以变为负无穷到正无穷，即E(X) = ∫[-∞, +∞][x * f(x)]dx；- 若概率密度函数f(x)的绝对值的积分存在有限值，则期望E(X)存在；- 若概率密度函数f(x)具有多个间断点或离散点，则期望E(X)存在的条件是积分存在，并且积分值有限。
2. 方差连续随机变量的方差描述了随机变量数据离散程度的大小。
方差可以通过随机变量与其期望之间的差的平方与概率密度函数的乘积的积分计算得出。
对于一个连续随机变量X和其概率密度函数f(x)，其方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]= ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx在连续随机变量的方差计算中，需要注意以下几点：- 方差Var(X)永远是非负数；- 若Var(X) = 0，则说明X是一个确定值，没有离散性；- 若随机变量X的期望存在，则方差Var(X)存在；- 在方差计算过程中，需要保证积分存在，并且积分值有限。
连续随机变量的期望与方差是对随机变量进行统计描述的重要指标。
期望描述了随机变量取值的平均水平，方差描述了随机变量取值的离散程度。
总结：- 连续随机变量的期望E(X)可以通过概率密度函数的积分计算得出。
概率与统计中的期望与方差
概率与统计中的期望与方差概率与统计是数学中的一个重要分支，它研究了随机事件的发生规律和随机变量的性质。
在概率与统计中，期望与方差是两个基本的概念。
本文将详细解释期望与方差的概念、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
一、期望期望是随机变量的平均值，也可以说是一组数据的加权平均值。
在概率与统计中，期望可以用来预测随机变量的取值。
设随机变量X的取值为x₁、x₂、⋯、xn，对应的概率为p₁、p₂、⋯、pn。
则随机变量X的期望E(X)定义为：E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ⋯ + xnPn期望有以下几个重要性质：1. E(c) = c，其中c是常数。
2. E(aX + b) = aE(X) + b，其中a和b是常数。
3. 如果随机变量X和Y相互独立，则E(XY) = E(X)E(Y)。
二、方差方差是随机变量的离散程度的度量。
方差越大，表示数据的变动范围越大；方差越小，表示数据的变动范围越小。
设随机变量X的期望为μ，其方差定义为：Var(X) = E[(X - μ)²]方差的计算方法如下：1. Var(X) = E(X²) - [E(X)]²通过上述公式，我们可以得到方差的性质：1. Var(c) = 0，其中c是常数。
2. Var(aX + b) = a²Var(X)，其中a和b是常数。
3. 如果随机变量X和Y相互独立，则Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)。
三、期望与方差的应用概率与统计中的期望与方差具有广泛的应用。
下面我们将介绍期望与方差在实际问题中的应用。
1. 风险评估期望与方差可以用于风险评估，特别是在投资领域中。
假设有两个投资项目A和B，分别有不同的回报率和概率。
通过计算项目A和B的期望和方差，可以评估两个项目的风险程度，帮助投资者做出正确的决策。
2. 质量控制在质量控制中，期望与方差可以用于评估生产过程的稳定性和一致性。
通过计算产品的期望和方差，可以判断产品的质量水平和变动范围，进而采取相应的措施来提高产品的质量。
随机变量与期望方差
0.1 b=
0.4 .
归纳求离散型随机变量期望的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③、求出期望。
例1、随机抛掷一个骰子，设随机变量ξ 为所得骰子的点数，
(1)求随机变量ξ 的概率分布律； (2)求Eξ 。 解：（1）随机变量ξ的概率分布律为： x P(ξ =x) 1 1/6 2 1/6 3 1/6 4 1/6 5 1/6 6 1/6
解：(1) X～B（3，0.7）
X P 0 1
3
2
2
3
0.3
C 0.7 0.3
1 3
C 0.7 0.3
2 3 2
0.7
3
1 2 (2) EX 0 0.33 1 C3 0.7 0.32 2 C3 0.72 0.3 3 0.73
EX 2.1 3 0.7
k
…
pqk-1 …
q D 2 p
例4 有一批数量很大的产品,其次品率是 15%,对这批产品进行抽查,每次抽出1件, 如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查, 直到抽出次品,但抽查次数最多不超过10 次.求抽查次数ξ的期望（结果保留三个有 效数字）.
分析： （1）P（ξ=k）=0.85 k-1×0.15,（ k=1,2,…,9） k=10时,前9次取出的都是正品,第10次可能取出次品,也 可能取出正品, 所以P（ξ=10）=0.859×（0.15+0.85）=0.859 （2）写出ξ的分布列,由概率分布可得
x 6 7 8 9 10 上海队员： P ( x ) 0 0.3 0.4 0.2 0.1
x 6 7 8 9 10 辽宁队员： P( x) 0.04 0.24 0.44 0.22 0.06
概率与统计中的随机变量的期望与方差
概率与统计中的随机变量的期望与方差随机变量是概率与统计学中的重要概念，它描述了在统计分析中具有随机性的变量。
在概率论中，我们经常使用期望与方差来描述随机变量的特征。
本文将详细介绍随机变量的期望与方差的概念、计算公式以及一些实际应用案例。
一、期望的定义与计算公式在概率与统计中，随机变量的期望是对随机变量取值的平均预期。
对于离散型随机变量，期望的定义如下：E(X) = ΣxP(X=x)，其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的每一个可能取值，P(X=x)表示随机变量X取值等于x的概率。
对于连续型随机变量，期望的定义如下：E(X) = ∫[a, b]xf(x)dx，其中，E(X)表示随机变量X的期望，[a, b]表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
二、方差的定义与计算公式方差是对随机变量取值与期望之间差异的度量。
对于离散型随机变量，方差的定义如下：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)，其中，Var(X)表示随机变量X的方差，x表示随机变量X的每一个可能取值，E(X)表示随机变量X的期望，P(X=x)表示随机变量X取值等于x的概率。
对于连续型随机变量，方差的定义如下：Var(X) = ∫[a, b](x-E(X))^2f(x)dx，其中，Var(X)表示随机变量X的方差，[a, b]表示随机变量X的取值范围，E(X)表示随机变量X的期望，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。
三、期望与方差的应用案例1. 投掷骰子：假设投掷一枚均匀骰子，该骰子的期望值是多少？方差是多少？解：骰子的每个面都有相等的概率出现，因此骰子的期望值可以计算为 E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5。
每个面离期望值的差距为1.5，因此方差为 Var(X) = [(1-3.5)^2 + (2-3.5)^2 + (3-3.5)^2 + (4-3.5)^2 + (5-3.5)^2 + (6-3.5)^2]/6 = 2.9167。
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X X 服从两点分布 X～B(n，p)
E(X)
p
np
D(X)
p(1－p)
np(1－p)
1．在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式． 2．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问 题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后 按定义计算出随机变量的均值、方差．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．( ) (3随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均 程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小. ( )
1 3
2 3
1 2
2 3
P(
2)
P( A1B1 A2 )
Байду номын сангаас
p( A1B1 A2 B2 )
2 3
1 2
1 3
2 2
3
1 2
2
2 9
P(
3)
P( A1B1 A2 B2 )
2 2 1 2
3 2
1 9
综上知， 的分布列为
1
2
3
p
2
3
2
1
9
9
所以E( ) 1 2 2 2 3 1 13
.
【例2】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定 甲球每先 3次次投投时且 篮投先 投篮投 中结中 的束者 概．获率设胜为甲，1每，一次且直投各到篮次有投投人中篮获的互胜概不或率影每为响人1 3．都，投乙
2
①求甲获胜的概率；
②求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．
解：设Ak
,
Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(
p
1
1
1
1
3
4
6
4
若E(X)=2,则a=( ）；D(X)＝（ ）
：a=0; D(X)= 5
2
2．(2018 全国Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都
为 p，各成员的支付方式相互独立．设 X 为该群体的 10 位成员中使
用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则 p＝( )
【答案】B
题型一：求离散型随机变量的均值、方差
【例1】(2017•全国卷Ⅱ改编)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝( )
A．1.96
B．1.98
C．2
D．2.02
(1)
[依题意，X～B(100,0.02)，所以
D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.]
3.(2017年北京）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转
变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生 上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取 了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中 仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
Ak
)
1 3
,
P(Bk
)
1 2
, 其中k
1,2,3
(1)记“甲获胜”为事件C, 所以P(C) P( A1) P( A1B1A2 ) P( A1B1A2B2 A3 )
1
2
1
1
2
2
1
2
1
13
3 3 2 3 3 2 3 27
(2)的所有可能取值为1，2，3
P(
1)
P( A1)
P( A1B1)
3 9 99
[规律方法] 求离散型随机变量X的均值 与方差的步骤
（1）理解X的意义，写出X可能取的全 部值. （2）求X取每个值时的概率. （3）写出X的分布列. （4）由均值的定义求E（X）. （5）由方差的定义求D（X）.
课堂训练
瞄准高考·使命必达
1.已知随机变量X的分布列如下：
x
a
2
3
4
离散型随机变量的均值与 方差
最新考纲
理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念.会求简单离散型随机变量 的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题.
考情考向分析
以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，经常以频率分布直方图为载体， 结合频率与概率，考查离散型随机变量、离散型随机变量分布列的求法及其均值 与方差，在高考中多以解答题的形式进行考查，难度多为中档.
1．离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn (1)均值：称 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 平均水平
n
(2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变
A．0.7
B．0.6
C．0.4
D．0.3
【答案】B
【解析】由题意可知，10 位成员中使用移动支付的人数 X 服从二 项分布，即 X～B(10，p)，所以 D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以 p＝0.4 或 0.6.又因为 P(X＝4)＜P(X＝6)，所以 C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，所 以 p＞0.5，所以 p＝0.6.故选 B.
4.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日 销售量的频率分布直方图，如图所示：
将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另 一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E(X)和方差D(X)
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．(教材改编)已知 X 的分布列为
X －1 0 1
P
1 2
1a 3
设 Y＝2X＋3，则 E(Y)的值为( )
7 A.3
B．4
C．－1
D．1
【答案】A
3．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变 量η的均值E(η)及方差D(η)分别是( ) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6
支付金额（ 元） 支付方式
仅使用A
（0，1000] 18人
（1000，2000] 9人
大于2000 3人
仅使用B
10人
14人
1人
（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A， B两种支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人， 以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的 分布列和数学期望
i＝1
平均偏离程度
量 X 与其均值 E(X)的
，其算术平方根 DX为随机变
量 X 的标准差．方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程
度越小.
2．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b (2)D(aX＋b)＝ a2D(X)
； (a，b 为常数)．
3．两点分布与二项分布的均值、方差