数理方程1
数理方程（ＰＤＦ）
un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=
数理方程第一章答案
u = f( − 3 ) + g(x + y) (−3 ) + ( ) = 3 代入边界条件得： (−3 ) + ( ) = 0 (2)式积分得： (−3 ) + ( ) = 3 −
(−3 ) + ( ) = 0 (3)
求得： 所以：
( )= ( )= u= ( + ) + ( −3 )
14.解下列定解问题. = , > 0, − ∞ < x < +∞ (2). (0, ) = 特征方程： 特征线 f(x + at) f(x) = u=( + )
∫ ( )
[∫ ( ) +
∫ ( )
+ ]
( ) ( )
( )]
+ ( )+
(2).
+ ( , ) = ( , ) ,u = u(x, y)
直接套用公式 6. 推导杆的微小纵振动方程 解： 设细杆截面积 S，密度 ，杨氏模量 E 取一小段 dx, 用牛顿第二定律得：
E S u ( x dx, t ) u ( x, t ) 2u ES Sdx 2 x x t
数理方程 A 参考答案 中国科学技术大学
代入原方程得：
u 1, u f ( )
u xy f ( x 2 y 2 ) 15.一端固定的半无界弦的定解问题. = , > 0, >0 ( , 0) = 0 (0, ) = sin , (0, ) =
若为cos ,则 =? 解： 为满足边界条件作以下延拓： φ(x) = sin , 由达朗贝尔公式得： u(t, x) = [sin( +
d 2 R 2 dR )0 dr 2 r dr
数理方程 - 01 - 数理方程绪论
2015/10/13
11
通解（一般解）
• 一般来讲，一阶偏微分方程的解依赖一个任意函数， 二阶方程依赖两个任意函数。 • 通解或一般解：m 阶偏微分方程的解如果包含有 m 个任意函数。 • 注意：这 m 个函数不能合并，如 f + g 其实就相当于 一个任意函数。
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12
例
• 求 tuxt 2ux 2 xt 的通解
M1
M2 d
O
x
x+x
x
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15
受力分析
3. 惯性力：
▫ 惯性会使物体有保持原有运动状态的倾向，若是以该 物体为参照物，看起来就仿佛有一股方向相反的力作 用在该物体上，故称之为惯性力：F = -ma。 每点的质量为 dm ( x)dx ，每点的加速度为 a utt ， 所有点求和得到积分，即惯性力为
2 ▫ 设 v ux ，则化为 vt v 2 x t
▫ 视 x 为参数，则为关于 v 的一阶常微分方程，
2 2 dt dt 2 2 3 t t ▫ 由求解公式可得 v e 2 xe dt G( x) t G ( x) xt 3
《数理方程》第一讲
通过Ω 的边界流出Ω 外的热量为Q2 ， Ω 内温度变化所需要的热量为 Q3 。
10
9.1.2 热传导方程的导出
则
Q1
Q1 Q2 Q3
t2 t1
1.6
F ( x, y, z, t )dVdt
1.7
由热力学的Fourier实验定理得：
t2 u u dQ 2 k d dt Q2 k d dt t1 n n
1.13
16
9.1.2 热传导方程的导出
可得
U U 2U R GU C t L G t C t2 2U 2U U LC RC LG RGU 2 2 t x t 2U I 2I I U R L 2 x IR L t t t t x2 I I U 2U U 2 G C GU C x xt x t x
20
9.1 典型方程的建立
三类典型方程： 波动方程 热传导方程 Poisson方程
utt a 2 u f
ut a 2 u f
u g
21
9.2
定解条件与定解问题
utt a2 u f ut a2 u f
u g 三类方程 如果有解，则其解应该不唯一。 在这众多的解中确定出所需要的解，还需要 增加另外的条件，即定解条件，使之成为定 解问题，在此条件下，再来讨论适定性，即 存在性、唯一性和稳定性。
Q3
t2 t1
u u u k ( cos cos cos )dSdt t1 x y z t2 2u 2u 2u Q2 k 2 2 dvdt 2 t1 y z x
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程第1讲-69页PPT资料
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
数理方程第一章定解问题liu婧-1
二、热传导问题
所谓热传导就是由于物体内
部温度分布的不均匀, 热量要 从物体内温度较高的点处流 向温度较低的点处. 热传导问 题归结为求物体内部温度分 布规律
三维热传导方程的导出
设物体在Ω内无热源. 在Ω中任取一闭曲面 S， 以函数u(x, y,z,t )表示物体在t 时刻, M = M (x, y,z ) 处的温度. 根据Fourier 热传导定律 , 在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小 面积dS 的热量dQ 与时间dt 、曲面面积dS 以 及物体温度u 沿曲面dS 的外法线n 的方向导 数三者成正比, 即
数学物理方程
第一章 绪论
第一节 引言
1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研 究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。
第二节 基本概念
微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类
按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分
方程；
按未知函数及其导数的次数，分为线性微分
2
u u u 2 u 2 a 2 2 2 a u. t x y z
2 2 2
(1.2.7)
它称为三维热传导方程。
若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x, y, z, t)，则 有热源的热传导方程为
ut a u f ( x, y, z, t ).
一维弦振动
固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ
一维杆振动
固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS
数理方程课件一
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
3、拉普拉斯方程
稳定的温度分布导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 即变为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
∂2u ∂2u ∂2u + 2 + 2 =0 2 ∂x ∂y ∂z
∂2u ∂2u ∂2u 1 + 2 + 2 = − 2 f (x, y, z) ∂x2 ∂y ∂z a
如果在位移方向上还受外力的作用， 如果在位移方向上还受外力的作用，设单位长度上受 的外力为 f, 则
单位质量所受外 力，力密度
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
说明： 说明：
• 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t为 质点的位移是以t为自变量的函数，其运动是以t 自变量的常微分方程； 自变量的常微分方程； • 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 弦的位移是x,t的函数，其运动方程是以x,t为自变 x,t的函数 x,t 量的偏微分方程。 量的偏微分方程。 • uxx项反映弦上的各个质点彼此相联 。 • utt项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。 项反映弦在各个时刻的运动之间的联系。
第1章 典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和 定解条件的推导
一、 基本方程的建立 二、 定解条件的推导 三、 定解问题的概念
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
一、 基本方程的建立
导出步骤： 导出步骤：
1、确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分，分析邻 确定物理量，从所研究的系统中划出一小部分， 近部分与它的相互作用。 近部分与它的相互作用。 2、根据物理规律，以算式表达这个作用。 根据物理规律，以算式表达这个作用。 3、化简、整理。 化简、整理。
数理方程课件
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程第一章典型方程与定解条件共31页文档
第1章 典型方程和定解条件的推导
数学物理方程与特殊函数
☆ 数学和物理的关系 数学和物理从来是没有分开过的
☆ 数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。
☆ 课程的主要内容
三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数
波动方程 热传导 拉普拉斯方程
1
分离变量法 行波法 积分变换法 格林函数法
例2、时变电磁场
从麦克斯韦方程出发：
v H v E
v Jc
v B
v D t
v
t
D v
v
B 0
在自由空间：Jrc 0,v0
D E
B H
H
E
E
t H
t
E 0
H 0
15
19.05.2020
数学物理方程与特殊函数
第1章 典型方程和定解条件的推导
H
E
E
t H
t
E 0
对第一方程两边取旋度，得：
H (E )
t
根据矢量运算：
r
rr
H ( H ) 2 H
H 0
r
由此得：2H r (H)
即：
t t
2H2H
t2
2tH 2 1 ( 2 x H 2 2 yH 2 2 zH 2) ——磁场的三维波动方程
同理可得：
2E t2
1
2E
——电场的三维波动方程
其中：cos1cos'1
sin tan u(x,t)
x
T
x
M'
ds
T'
'
gds x dx x
sin ' tan ' u(x dx,t)
数理方程-总结复习及练习要点(1)
数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。
在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。
下面是数理方程的总结复习及练习要点。
一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。
二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。
三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。
因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。
数学物理方程 第一章典型方程和定解条件
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、 弦振动方程的边界条件
(1)固定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：
u|xa0 或： u(a,t)0 第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
ns
ns
(3)热交换状态
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交
换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。
dQ k1(uu 1)dSdt
k
u n
dSdt
k 1 热交换系数；u 1 周围介质的温度
u nuSu1S,
k1
k
第三类边界条件
边界条件
第一类边界条件
给 出 边 界 上 各 点 的 函 数 值 : u |s f 第二类边界条件
• 在 杆 中 隔 离 一 小 段 ( x , x d x ) , 分 析 受 力 情 况
截面x：受到弹(应)力P(x,t)S; 截面xdx：受到弹力P(xdx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.
牛顿运动定律：
dm 2 tu 2[P (xdx,t)P (x,t)]S.
dm 2u[P (xdx,t)P (x,t)]S. t2
2u2u2u0 ( Laplace方程 ) x2 y2 z2 ( 位势（Possion）方程 )
19世纪打开偏微分方程研究热烈局面的第一人是傅立叶 (Fourier)，当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要 确定物体内部各点的温度如何随时间变化。Fourier对这种 热流动问题颇感兴趣，1807年向巴黎科学院提交用数学研 究热传导的论文并创立了分离变量法：
数理方程第一部分
数理方程第一部分前言数学物理方程的研究对象是描述各种自然现象的微分方程、积分方程、函数方程等等。
通常，《数学物理方程》教材中所研究的内容，着重是偏微分方程的三类曲型方程的定解问题。
它产生于如振动和波动、流体流动、电磁场、弹性、热传导、粒子扩散等实际问题。
当前，数学技术已成为高科技的重要部分，数学建模、数值计算已越来越发挥重要作用，正在成为广大数学工作者特别是应用数学工作者和计算数学工作者广阔的用武之地，而数学物理方程是一门重要的基础课，是进一步学习现代数学知识的准备，是利用数学知识为经济建设服务的桥梁。
数理方程教材中主要讨论基本理论和求解这些问题的一些方法和技巧。
本讲义是根据课程设置需要及本课程特点而编写的。
由于理论内容涉及到的高等数学知识比较多且深，推导过程长，常使初学者难以掌握主要过程和整体思路，所以本讲义将重点放在这两个内容上。
对于较深入（主要是理论证明方面）的知识或例题将在课堂补充讲解。
另外，一些相对简单的推导过程留给读者（读者也可通过查阅参考书得到这些结果），一些繁琐而不重要的内容给予说明。
这样，一方面可以使解决问题的过程变得精悍，减少读者的学习负担，另一方面，可以使读者通过这些推导练习加深对理论内容的理解，起到由点到面，循序渐近的作用，增强学好这门课的信心。
由于准备仓促，遗漏及错误之处在所难免，在此作者表示歉意，并请读者指正。
主要参考书1.复旦大学数学系主编《数学物理方程》，人民教育出版社；(数学系本科生用书)2.戴嘉尊《数学物理方程》，东南大学出版社；(数学系本科生用书)3.华南理工大学研究生处《数学物理方法》，华南理工大学出版社(工科硕士研究生用书)4.杨秀雯等《数学物理方程与特殊函数》，天津大学出版社(工科硕士研究生用书)第一章典型方程和定解问题§1.1 一些典型方程的推导1.1.1 波动方程的推导例1.1.1 弦的波动方程。
解(1)假设长为l且均匀柔软的弦，两端固定,其上作用一外力，作微小横振动.(2)建立数学模型如图. 设时刻弦上处振幅为具有二阶边连续偏导数=(,),,在弦上t x u u x t取微段MM'.由弦均匀设线密度为ρ，由弦柔软知张力沿弦的切线方向，由弦作微小横振动可设),(,00t x f 度为设弦上横向连续外力密≈'≈αα───在时刻t 弦上点x处单位长度上的作用力大小，设微段的重心处横坐标为ξ,并),(0t f ξ以近似微段上各点处的力密度，则(如图)①水平方向合力： 取,0cos cos T T T T ≈'⇒=-''αα'=T T ②铅垂方向合力： 由牛顿第二定律得 .),(sin sin 0s t f T T ∆⋅+-''ξαα.),(),(,, (1.1.1)),(),(),( ),,~,,,0( 0,),( ),(),(),( ),(),()],(),([ ),(),()tan (tan ),(),()sin (sin ),(),(sin sin 0222222211010000单位质量上的横向力与弦的材料及张力有关其中或连续时当得并令故两边同除之间位于--=--=+∂∂=∂∂+''=''''''∆∆→→→∆→∆∆∆+''⋅∆≈∆+∆''''⋅∆≈∆+'-∆+'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-''ρρξξξξρξξξρξξρξααξρξααξρξααt x f t x f Ta f xu a t u t x f t x u a t x u u u x s x x x x x x x x t u s s t f x t u T t u s s t f t x u t x x u T t u s s t f T t u s s t f T t u s s t f T T xx tt tt xx tt xx tt x x tttttt称(1.1.1)为一维波动方程.当0≠f 时称为非齐次方程；当f =0时称为齐次方程.据题意给出弦上点所满足的偏微分方程及其它条件一并给出的定解问题：).<(0 )()0,(),()0,()0( 0),(,0),0()0 ,<(0 (I) 2⎪⎩⎪⎨⎧<=='=>==><+''=''l x t x u x x u t t l u t u t l x f u a u t xx tt ψϕ(3)求解(参§3.1)；(4)检验(§9.1).(5)改善假设，重新推导方程.特别地，当弦的两端拉紧且弦只受重力作用时，,0g f ρ-=方程为g u a u xxtt-''='' 2,,g u g u tttt >>''''即远大于重力加速度因弦上的加速度故可忽略g ，而有 (1.1.2) 22222xua t u ∂∂=∂∂ .(2) ?1sin sin tan tan lim ?)tan (tan )sin (sin (1) : ., : 00推导上面的方程按单调减少且凸的微段吗换为上面为何能将问题进行推导的理以等价无穷小的手段这里是利用牛顿第二定程也可用其它方法推导方注=-'-'-'-'→'→αααααααααα 例1.1.1’ 弹性直杆的纵向振动问题(题3). 例1.1.1” 锥体杆的纵向振动（复旦P11）例 1.1.2 薄膜的振动问题(天大P133) 例1.1.3 三维波动问题（南京P6）1.1.2 热传导方程的推导1．梯度与方向导数: 设u u x y z l ==(,,),(cos ,cos ,cos ),具一阶连续偏导数0αβγ 则u 的梯度和u 沿)(0l l 或方向的方向导数分别为.)grad (gradu cos cos cos ),,,(=gradu 0l u l zuy u x u l u z u y u x u =⋅=++= γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2．高斯公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω∑∑Ω--=++=++=∑++=++=++通量故有的外法线向量为其中dS n udS z u y u x u v z u y u x u n dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz v z R y Q x P ∂∂γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂γβαγβα∂∂∂∂∂∂)cos cos cos ()d ( ).cos ,cos ,(cos )cos cos cos ()d (22222203．热传导：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方；4．热传导学中的傅里埃（Fourier ）实验定律：这实际上是将热量故应取负值相反而热量流向与温度增加即沿外法向故高且靠近曲面的点处温度向内有热量由体外流经曲面当物体内部温度低时例如产生的的方向相反而即取得最大值的方向流向和温度梯度的正向其中负号是由于热流的即三者成正比的法线方向的方向导数沿曲面及物体温度以曲面面积与时间的热量内流过一个无穷小面积物体在无限短的时间段(,,,0grad ,,,,.grad ),( ,,, n n n u nuu ludSdtnuk dQ n udS u dS dt dQ dS dt >⋅=-=∂∂∂∂∂∂∂∂).,, 过程如下面的推导进行计算也可只按热量值的相等按向量来运算例1.1.4 三维热传导方程的推导 解（1）假设：.,0生热量单位时间单位体积上产热源强度性假设物体均匀且各向同--f (2)建立数学模型：.,,.n S S其外法线方向为分片光滑的边界为区域假设物体对应的有界闭如图Ω设时刻t 物体上点M x y z u u x y z t u (,,)(,,,),.处的温度为且具有二阶连续偏导数由物体均匀可设密度=ρ为常数,由各向同性可设比热系数为常数c ──单位质量温度升高一个单位所需热量.则.,,(1.1.3) )( ),,,()(),,,( ,],,[),,,(,)],,,()([),,,( ,),,,( ],[)3(),,,(= ),,,(]),,,(),,,([ ],[)2( )( ],[)1( 0222222220222222210 0222222 021 2221 222222 2121212121212121ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂c f f c ka f zu y u x u a t u t z y x f zuy u x u k t z y x u c t t t z y x f u dvdt t z y x f z uy u x u k dvdt t z y x u c Q Q Q dvdtt z y x f Q t t dvdt t z y x u c dvdt t z y x u c dv t z y x u t z y x u c Q t t dvdt z uy u x u k dt dS n u k Q S t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t S ==+++=+++='Ω+++='+==''=⋅-⋅=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩ其中即得的任意性连续及的二阶偏导数连续由假设即故由能量守恒定律有上物体内部产生的热量在时间区间需的热量上物体内部温度升高所在时间区间流入的总热量上通过在时间区间源入升源升入(1.1.4) )( ,0 ;,0 .(1.1.3) 2222222zu y u x u a t u f f ∂∂∂∂∂∂∂∂++==≠称齐次波动方程时当称为非齐次波动方程时当为三维波动方程称例 1.1.5 二维热传导方程的推导──请详细给出推导过程通过侧面流入热量为一方面则处温度为板上时刻的边界正向为域初始时刻温度分布为热量单位时间单位面积产生热源强度面上下底面绝热同性设平面薄板均匀且各向解, :),,(.),,(,)(,,: 0t M u M t D y x f Γ--ϕ)( ,),,()( )],,(),,([ , )()(])[=)cos sin ())cos()2cos(()cos cos ()cos cos ( 222220222212222221212121212121212121212121f yu x u a t u dt d t y x f dtt d y ux u k dt d t u c dtd t uc dtd t u c d t y x u t y x u c Q dtd y ux u k dt dy x u dx y u k dt dx y u dy x u k dtds y uds x u k dt ds y u ds x u k dtds y uds x u k dsdt y u x u k dsdt n u k Q t t Dt t D t t Dt t DDt t Dt t Dt t t tt t t t t t t t t t ++=++===⋅-⋅=+=+-=--=-+-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓΓ∂∂∂∂∂∂σσ∂∂∂∂σ∂∂ρσ∂∂ρσ∂∂ρσρσ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕπ∂∂πϕ∂∂β∂∂α∂∂β∂∂α∂∂∂∂从而有故由能量守恒得内部升温需要的热量为另一方面升入例 1.1.6 一维热传导方程的推导──请详细给出推导过程,),( )],(),([ , = , ).(,)(),(,,, 2220002200001202202200000212121212121212121212121f x u a t u dt dx t x f dt dx xukS dt dx t u c dtdx tuc dx dt t u c dx t x u t x u c Q dt dx x ukS dt dx x u kS dt x u x u kS dt xuxukS Sdt nunu k Sdt nu kSdt nu kQ x f q t t l t t l t t l t t l lt t l t t l t t l x t t lx x t t lx x t t lx t t x t t lx +=+===⋅-⋅===⎥⎦⎤-⎢⎣⎡⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡=+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰========∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ∂∂ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ从而有故由能量守恒得内部升温需热量为另一方面通过两端面流入热量为一方面则为初始时刻杆上温度分布热量单位时间单位长度产生热源强度线入的热量即单位时间单位面积流流入另一端有恒定热流一端温度为零侧面绝热设杆均匀各向同性升入状态下二维或三维的动态稳恒方程拉普拉斯位势方程二维或三维的方程泊松热传导方程波动方程归结为则可将以上推导的方程或或表示算子如果用小结 0 (Laplace) )( (Poisson) ,)Laplace ( : 2222222222222222222=∇=∇+∇=+∇=+++∇u f u fu tufu t uzy x y x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 这就是本书所研究的主要方程类型.弦振动方程描述波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质；热传导方程反映了热的传导，物质的扩散是不可逆现象；而拉普拉斯方程描述平衡的状态，定常的状态.这三种方程所描述的自然现象的本质十分不同，因而这三种方程的性质也十分不同.最后,我们指同前面讨论的三种情形虽然是相互排斥的，但并不包括二阶线性方程的所有情形.§1.2 初始条件与边界条件初始条件： 用以说明初始状态的条件.一般地，波动问题的初始条件有两个,即开始时的位移)(0M u t t ϕ==与开始时的速度 ,),(0件有一个而热传导问题的初始条M u t t t ψ='=即开始时体内各点温度).(0M u t t ϕ==边界条件： 用以说明边界上的约束情况的条件.1. 第一类边界条件如弦的振动问题中,当x =0端固定时，有u x ==00.又如杆上的热传导问题中,当x =0端温度分布为)()(0t f u t f x ==时有. 一般地，用S 表示一维的某端点或二维区域的边界线或三维区域的边界面，则有, ),(S P t P f u S∈=称为第一类边界条件. 2. 第二类边界条件如弦的振动问题中,当x =l 端自由时，有∂∂unx l==0.又如杆上的热传导问题中,当x =l 端与外界处于绝热状态时有∂∂unx l==0，而当端面有热流f t 0()流入时，有∂∂u nf t x l==().一般地，有,),(S P t P f nu S∈=∂∂称为第二类边界条件. 3. 第三类边界条件如弦的两端垂直固定在弹性支承上:.0)( 0 ,),( ,0),0,( ),()( :,0 02222000=-∂∂=-∂∂∂∂→∆>∂∂∆=-+∂∂∆====+=∆+=x x x x xx ku x uT uk x uT x t u x u x t u x u k x uT x x 或得有界由令故取为负值而弹性体恢复力向下为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ.0)( 0 ,),( ,0)0,( ),()()( :),0](,[ 022220=+∂∂=-∂∂-∂∂→∆<∂∂∆-=-+∂∂-<∆∆+====-=∆+=x lx lx l x xl x ku x uT uk x uT x t u x u xt u x u k xuT x l x l l x 或得有界由令而弹性体恢复力向上为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ如果在热传导过程中，物体Ω的内部和周围介质通过边界S 有热量交换，以u 1表示和物体接触的介质的温度,这时利用另一个热传导实验定律：从一介质流入另一介质的热量和两个介质的温度差成正比，即,)(11dSdt u u k dQ -=得S 上流速（单位时间单位面积通过的热量）为Su u k dSdt dQ)(11-=(*)其中k 1是两介质间的热交换系数.在物体内部任取一个无限贴近于边界S 的闭曲面Γ，由于在Γ内侧热量不能积累，所以在Γ上的热量流速应等于边界S 上的热量流速，而在Γ上由于热量dQ k u n dSdt dQ dSdt=-∂∂,得流速为=-k u n ∂∂Γ，假设内部温度低，则速度方向均向内，故有),/( )(111S k k u u n u u u k n u kS SS 的极限为Γ==⎪⎭⎫⎝⎛+⇒-=-Γσσσ∂∂∂∂一般地，有∂∂σu n u f P t P S+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∈(,) S.称为第三类边界条件.对于以上的三类边界条件，当f =0称为是齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件. 注意：第三类边界条件形式不能简单地视为第一类、第二类两类边界条件的和使用.§1.3 定解问题的提法解（古典解）: 如果一个函数具有偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入 该方程能使它成为恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）.定解条件： 初始条件与边界条件都称为定解条件。
数理方程总复习 复习1(第二章分离变量法)
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐 次，转换为齐 次边界条件 定 解 问 题 选择合适 的坐标系 非齐次方程， 齐次边界条件
非齐次方程， 齐次定解条件 特征函数法
齐次方程， 齐次边界条件 分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
数理方程教学大纲
数理方程教学大纲一、引言数理方程是物理学、工程学、经济学等多个学科的重要工具。
它以数学为语言，描述了自然现象中的各种复杂现象，帮助我们理解并解决实际问题。
本教学大纲旨在为学生提供全面、系统的数理方程学习方案，培养其运用数理方程解决实际问题的能力。
二、教学目标1、理解数理方程的基本概念和分类；2、掌握常见数理方程的解法及应用；3、能运用数理方程解决实际问题；4、培养学生对数理方程的兴趣和爱好。
三、教学内容1、数理方程基本概念：讲解什么是数理方程，其基本形式和分类等；2、一阶线性微分方程：讲解一阶线性微分方程的基本解法，包括分离变量法、积分因子法等；3、高阶微分方程：讲解高阶微分方程的解法，如降阶法、常数变易法等；4、偏微分方程：讲解偏微分方程的基本概念和分类，以及常见的偏微分方程的解法；5、特殊类型方程：讲解一些特殊类型的数理方程，如Sturm-Liouville 方程、Schrödinger方程等；6、数理方程应用：通过实例讲解数理方程在物理学、工程学、经济学等领域的应用。
四、教学方法1、课堂讲解：通过讲解典型例题，使学生掌握数理方程的基本概念和解题方法；2、数值模拟：利用计算机进行数值模拟，帮助学生理解数理方程的解的性质和实际应用；3、小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进交流与合作，加深对数理方程的理解；4、自主学习：鼓励学生通过自主学习，深入探究数理方程的相关知识和应用领域。
五、教学资源1、教材：选用优秀的数理方程教材，保证教学内容的科学性和系统性；2、网络资源：推荐优秀的数理方程学习网站和在线课程资源，以便学生进行拓展学习；3、教学软件：使用适当的数学软件和编程工具，辅助学生进行数理方程的学习和计算；4、实验课程：设置相关的实验课程，让学生在实践中进一步理解和掌握数理方程的相关知识。
六、评估与反馈1、课堂表现：观察学生在课堂上的表现，包括听讲、提问、讨论等方面的情况；2、作业与考试：定期布置作业和进行考试，以检验学生对数理方程知识的掌握程度；3、反馈与指导：根据学生的表现和考核结果，进行及时的反馈和指导，帮助学生发现不足并改进学习策略。
数理方程
1. 基本概念偏微分方程： 含有未知多元函数及其偏导的方程，如2122121(,,,,;,,,;,)0n n u u u u F x x x u x x x x ∂∂∂∂=∂∂∂∂ 其中：12(,,,)n u u x x x =为多元函数.方程的阶：未知函数导数的最高阶数； 方程的次数：最高阶偏导的幂次；线性方程：未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程，否则就是非线性的；自由项：不含未知函数及其导数的项；齐次方程：没有自由项的偏微分方程称为齐次方程，否则称为非其次的； 方程的解：若将某函数代入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则该函数为方程的解；通解：包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数； 特解:不含任意独立函数的方程的解. 例如：22()()sin cos u u x y x y∂∂+=∂∂为一阶非线性非齐次偏微分方程；u 为未知函数。
2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂为二阶线性齐次方程； 二阶线性非其次偏微分方程22uy x x y∂=-∂∂的通解为 221(,)()()2u x y xy x y F x G y =-++其中，(),()F x G y 为两个任意独立的函数.注意：通解所含独立函数的个数＝偏微分方程的阶数.2. 线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为[](,)L u G x y =其中，L 为二阶线性偏微分算符，满足11221122[][].[][][].L cu cL u L c u c u c L u c L u =+=+(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u 为方程的解，则()c u c R ⋅∈也为方程的解；b.12,u u 为方程的解，则1122c u c u +也为方程的解. (2). 非齐次线性偏微分方程解的特征a. I u 为非齐次方程的特解，II u 为齐次方程的通解，则I II u u +为非其次的通解；b. 若1122[](,),[](,).L u H x y L u H x y ==则1212[][](,)(,).L u L u H x y H x y +=+ (3).线性偏微分方程的叠加原理若k u 是方程[](1,2,)k L u f k ==的解(其中L 为二阶线性偏微分算符),如果级数1()kk k k cu c R ∞=⋅∈∑收敛，且二阶偏导数存在，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是1[]k kk L u c f ∞==⋅∑的解；特别地，若k u 是方程[]0L u =的解，则1k k k u c u ∞==⋅∑一定是[]0L u =的解.4.1数理方程的建立考虑一根均匀柔软的细弦沿x 轴绷紧，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动，如图1.1所示.设(,)u x t 是平衡时坐标为x 的点t 时刻沿y 方向的位移，现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)x x dx +与外界的相互作用以建立方程. 假设：(1)弦是完全柔软的，所以张力T 沿着弦振动波形的切线方向；(2)只讨论弦做横向振动，故忽略弦在水平方向的位移，弦的横向加速度为tt u ，单位长度的质量为ρ或线密度为ρ；(3)振动的振幅是极小的，因此张力与水平方向的夹角12,αα也是很小的，则332sin ,3!tan ,3cos 1 1.2!iiii i i i i i i αααααααααα=--≈=++≈=--≈ 而2tan [1()].T i i u uk ds dx dx x xαα∂∂==≈⇒=+=∂∂ 根据牛顿第二运动定律，在(纵向)水平方向上有21()cos ()cos 0()().T x dx T x T x dx T x T αα+-=⇒+=≡∈R在横向上有21sin sin ()()[]()().tt tt x dxxT T g ds ds u uuT g ds ds u xx ααρρρρ+--⋅=⋅∂∂⇒--⋅=⋅∂∂ 根据()()'()f x dx f x f x dx +-=，上式可以化简为2222[]()().tt tt u uT dx g ds ds u T g u x xρρρρ∂∂⋅-⋅=⋅⇒⋅-⋅=⋅∂∂即弦的横振动方程为2222.(,)tt xx xx u Tu a u g u a x ρ∂=⋅-==∂此式即为弦做微小横振动的运动方程，简称弦的振动方程，其中a 就是弦上振动传播的速度.图1.1所示讨论：①若弦的重量远远小于弦的张力，则重力加速度可以忽略不计，其运动方程为2.tt xx u a u =(*)此式称为弦的自由振动方程，也称为一维波动方程.②如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)F x t 作用，则(*)式可以改为2(,).(**)tt xx u a u f x t =+则(**)式称为弦的受迫振动，其中(,)(,).F x t f x t ρ=③对于0t ≥，两端固定，则00,0x x l u u ====，弦在0t =时无纵向移动，0000,t t uu v t ==∂==∂。
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
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高斯公式
p( x, y, z )dydz q( x, y, z )dzdx r ( x, y, z )dxdy ( p q r )dxdydz
S x y z V
应用:
Ne
1 V 的体积= S xdydz ydzdx zdxdy 3
1 V x kj 6 k 1 x km
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代数方程
微分方程： 含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式 Ex.1 通解: Ex.2 通解:
x1 1 x2– 3x + 2 = 0 (x– 1)(x– 2) = 0 x2 2
y 3 y 2 y 0
y( x) C1e C2e
x
2x
d 2u 2 u 0 2 dt
1 3 1 2 2x 1 2 1 1 2 2x 2x ( x x )e ( x x ) xe ( x ) x e 3 2 2 6 2
非齐次方程通解
y C1e
2x
1 1 2 2x C 2 xe ( x ) x e 6 2
2x
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T ( t ) 2T ( t ) f ( t ) 例 求解初值问题 T (0) 0, T (0) 0 对应的齐次方程通解为:
y py qy 0
辅助方程 两相异实根
两相等实根
m pm q 0 m1 x m2 x m1 m2 y C1e C2e
2
m1 m2 m
y (C1 C2 x)e mx
两共轭复根
m1, 2 i
y e x (C1 cosx C2 sinx)
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求解得
u
y2 f ( x ) ( y1 , y2 )
v
y1 f ( x ) ( y1 , y2 )
其中
u
x
y1 y1
0
y2 y1 y y2 y1 ——朗斯基行列式 2 y 2
v
x 0
y2 f ( ) d C1 ( y1 , y2 )
y (uy1 vy2 ) (uy1 vy ) 2 uy1 vy2 0 y uy1 vy 2 y (uy1 vy2 ) uy1 vy2 (uy1 vy2)
故 u, v 满足方程组
uy1 v y 2 0 2 uy1 v y f ( x )
简谐振动 (常微分方程) 2 d u 2u 0 u = u( t ) dt 2
O
2u 2u a2 2 2 t x
弦振动 (偏微分方程)
u
u=u(x, t )
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简谐振动(自由无阻尼运动)数学模型
牛顿第二定律: F = m a a—加速度;F—合外力;m—物体质量
O
cos( x)dx
和
cos( x , y )dx
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的结果有何区别？
虎克定律: F= –k u(t) F—弹力;k—弹性系数; u(t)—弹簧伸长
m a = –k u(t)
2
d u m 2 ku( t ) dt
2
u
d u 2 u( t ) 0 2 dt
2
由辅助方程 m2 + m = 0, 得
u(t ) C1 cost C2 sint
cost
t
sintf ( )
0
d sint
t
costf ( )
0
d
1
t
0
f ( ) sin ( t )d
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如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 相应 的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),方程中出现的导数是偏导数,相应的 方程称为偏微分方程。
《数理方程》1
常微分方程回顾
常微分方程常数变易法
简谐振动的数学模型
格林公式和高斯公式
思考题与练习题
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物理量的数学描述——一元(多元)函数、矢量函数
物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律, 常使用基于物理原理的微分方程来描述
物理现象 物理定律 微分方程 求解
y1 y1
t
C1 y1 C2 y2 C1 cost C2 sint
y2 cost sint y sint cost 2
t y f ( ) y2 f ( ) y(t ) y1 d y2 1 d C1 y1 C 2 y2 0 ( y , y ) 0 ( y , y ) 1 2 1 2
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u(t ) C1 cost C2 sint
令
2 A C12 C 2
2 C 12 C 2
C1
sin C1 / A
C2
cos C 2 / A
u(t ) A(sin cost cos sint ) u(t ) A sin( t )
( 为已知常数 )
u(t ) C1 cost C2 sint
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定解条件: 初始位移 u(t0) = ? 初始速度 u’(t0) = ?
表示导数——撇记号 u u u · · ·· ·· dy du d2y 莱布尼兹记号 ·· ·· ·· 2 dx dt dx 二阶常系数齐次线性常微分方程
u( x ) e px q( x )dx C
y e px e px q( x )dx Ce px
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二阶非齐次方程常数变易法
y py qy f ( x )
设对应的齐次方程通解为: C1 y1(x) + C2 y2(x)
常数变易，设 令 y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x) 则有
y1 f ( ) d C 2 ( y1 , y2 )
非齐次方程通解为
y( x ) y1
x 0 x y f ( ) y2 f ( ) 1 d y2 d C1 y1 C 2 y2 0 ( y , y ) ( y1 , y2 ) 1 2
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例1 用常数变易法求 y 4 y 4 y ( x 1)e 2 x 通解.
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格林公式
L
p( x , y )dx q( x , y )dy [q x p y ]dxdy
D
应用:
面积公式
1 D的面积= L xdy ydx 2
1 n xj S 2 j 1 x j 1 yj y j 1
顶点按逆时针排列,且
(xn+1，yn+1)=(x1，y1)
4x
x( x 1)e 4 x u1 x( x 1) 4x e
1 3 1 2 u1 ( x x ) 3 2
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2
e2x 2e
2x
0 ( x 1)e
2x
( x 1)e 4 x
1 2 u2 x x 2
( x 1)e 4 x u x 1 2 4x e 非齐次方程特解
x ki
yki ykj ykm
z ki z kj z km
i
k
ek
j
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思考题与练习题
1.微分方程和代数方程的最大区别是什么 2. 二阶常微分方程 y py qy 0 的系数 满足什么条件时,通解中含有正弦函数？
3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？
4. 谐振动中的参数 有何意义？ 5. 不定积分
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一阶非齐次方程的常数变易法
第一步, 求对应齐次方程通解
dy py 0 dx
dy py q( x ) dx
y Ce px
第二步, 常数变易 令
y u( x)e px
代入非齐次方程, 得
u( x)e px q( x)
u( x ) e px q( x )
解: 由辅助方程 m2 – 4 m + 4 = 0, 得齐次方程通解 C1 e2x + C2 xe2x 则 y1 = e2x , y2 = x e2x
1 e2x 2xxe 02x 2x
2e
( 2 x 1)e
2x
e
2x
4x
xe
( x 1)e
( 2 x 1)e
2x
x( x 1)e