北师大版高中数学必修2：4.2空间图形的公理

证明共线问题：①可由两点连一条直线，再验证其他各点均在 这条直线上；②可直接验证这些点都在同一条特定的直线上——相 交两平面的唯一交线，其关键是通过绘出图形，作出两个适当的平 面或辅助平面，证明这些点是这两个平面的公共点．
课堂小结
请谈一谈你的体会
作业：
层次一：习题1-4A组第1、2 、5题 层次二：习题1-4B组第1、2题 课后思考题：平面几何中的平行四边形的判定方 法在空间中是否还成立？
公理4 平行于同一条直线的两条直线平行.
自我检测： 判断下列命题是否正确:
1.经过三点确定一个平面（ 错误） 2.经过一条直线和一个点确定一个平面（错误 ） 3.两两相交且不共点的三条直线确定一个平 面（正确 ）
4.如果两个平面有三个不共线的公共点，那
么这两个平面重合（正确 ）
例1：如图：空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD， DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
总结归纳：
公理1：如果一条直线上的两点 在一个平面内，那么这 条直线在此平面内.
图形语言：
总结归纳： 公理1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么
这条直线在此平面内.
图形语言：
公理1可以帮助我们解决哪些几何问题？ ⑴判定直线或点是否在平面内； ⑵检验平面.
公理2 经过不在同一条直线上的 _____________________________ 三 ____个____点___，有___且____只____有___一个平面.
图形语言：
公理4可以帮助我们解决哪些几何问题？ 可以证明线线平行
知识小结
基本公理四条及三条推论:
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线在这个平面内． 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有 且只有一个平面.
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么 它们有且只有一条经过这个点的公共直线.
求证：O1、M、A三点共线．
【证明】 ∵A1C1∩B1D1＝O1. 又B1D1 平面B1D1A，A1C1 平面AA1C1C， ∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C 平面AA1C1C， ∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C. ∴O1、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上， 由公理3可知O1、M、A三点共线．
思考
如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角形所在的平面与课桌所在 的平面是否只相交于一点B？为什么？
B
公理3：若两个不重合的平面有一个公共 点，则它们有且只有一条过该点的公共 直线.
图形语言：
应用：判断两个平面是否相交及证明点在 直线上。
D A
D A
C B
C B
总结归纳： 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
证明：连接BD，
因为 EH是△ABD的中位线，
所以
EH∥BD，且EH=
1 2
BD。
同理，FG∥BD，且FG=
1 2
BD。
所以 EH∥FG，且EH=FG，
所以四边形EFGH为平行四边形。 如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？
答案：菱形
例2：如图所示，O1是正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面 A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．
空间图形的公理
西安市第八十五中学 梁雁
D A
D A
C B
C B
复习回顾：
空间点、线、面的位置关系
1、空间点与直线的位置关系： 点在直线上和点在直线外 2、空间点与平面的位置关系： 点在平面内和点在平面外 3、空间两条直线的位置关系： 平行、相交和异面 4、空间直线与平面的位置关系： 直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行 5、空间平面与平面的位置关系： 平行平面和相交平面
图形语言：
不共线的三点可以确定一个平面.
推论1： 经过一条直线和这条直线
外的一点有且只有一个平面.
图形语言：
Байду номын сангаас
推论2： 经过两条相交直线有且只
有一个平面.
图形语言：
推论3: 经过两条平行直线,有且只
有一个平面.
图形语言：
怎样用两根细线检验桌子的四条腿 的底端是否共面？
怎样用两根细线来 检验桌子的四条腿的底 端是否共面？