7.4多元复合函数与隐函数微分法解析
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5、复合函数微分法与隐函数微分法解析
显函数
u t
v t
证略
推广： 设z=f(u,v,w) ,u=u(t)，v=v(t)，w=w(t) ，
则z=f(u(t),v(t),w(t))对t的导数为
z u t v t w t
全 导 数 公 式
dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
复合函数微分法与隐函数微分法
注意：本节的知识点容易让人产生混乱
一、复合函数微分法 复习： 一元复合函数 y f (u), u ( x)
dy dy du 求导法则 f (u ) u dx du dx
微分法则 dy f (u)du f (u) ( x)dx 要求：熟练掌握多元复合显函数求导的链式法则
df y df 1 x 2 y 0 du x du x
dz z du z dv dt u dt v dt
2、复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理：若函数u=u(x,y)，v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x 及y的偏导数，函数z=f(u,v)在点(u,v)处偏导数连 续，则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在点(x,y)处对x 及y的偏导数都存在，且有： z z z u z v f1 u1 f 2 v1 x u x v x u v
1、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 定理：若函数u=u(t)，v=v(t)都在点t可导，函数z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导数连续，则复合函数z=f(u(t),v(t)) 在点t可导，且有链式法则： z
dz z du z dv dt u dt v dt
(1)z只有一个自变量 (2)z有两个中间变量 (3)两个中间变量u,v都只一个自变量
多元复合函数与隐函数微分法知识分享
du z dv,
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
u
v
dzzdxzdy x y
zduzdv. u v
z f [ u ( x ,y ) ,v ( x ,y ) ] zf(u ,v)
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量,
其全微分表达形式都一样,
这性质叫做全微分形式不变性.
例4 求下列函数的偏导数和全微分： （ 1 ） zxln x (2y);（2）zxarctayn. x
xfx(x,y)yfy(x,y)kf(x,y). 证明 在 zf(t,x t)y中 ,令 u tx ,vt,y
其x 中 ,y相对 t是 于常 , 数
则由复合函数求偏导数的链式法则可得
d dzt u fd du t fvd dvt f 1 ( t, t x ) x y f 2 ( t, t x ) y y
§ 7.4 多元复合函数与隐函数微 分法
一、多元复合函数微分法 二、一阶全微分的形式不变性 三、隐函数微分法
一、多元复合函数微分法
定理7.3 设z f(u,v)在(u,v)处可,微 函数u u(x, y),vv(x, y),在(x, y)处的偏导数都 ,则存 复合函z数 f[u(x, y),v(x, y)]在(x, y)处的偏导 数 都 存, 且 在有 如 下 的 链 式 法 则
解 (1)由微分运算法则可得
d z lx n 2 y ) d x ( x d lx n 2 y )(
lnx (2y)dxxd(x2y) x2y
lnx (2y)dxxdx2dy x2y
[lx n 2 (y) x]x d 2xd y x2y x2y
因此 zlnx(2y) x , z 2x .
x
二、一阶全微分的形式不变性
设函数 z f ( u , v ) , u u ( x , y ) , v v ( x , y ) 都可微, 则复合函数 zf[u (x,y),v(x,y)]的全微分为
多元复合函数和隐函数的求导法则
别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2
x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解
(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u
f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z
x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy
7.4多元复合函数与隐函数微分法
ve u sin t cos t
t
e cos t e sin t cos t
t t
e t (cos t sin t ) cos t .
例 8 设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
f1( x y , xy) y f 2( x y , xy) ,
z f u f v y u y v y
f1( x y , xy) x f 2 ( x y , xy) .
z z 例１０ 设 z f ( x x y ) , 且 f ( u) 可微 , 求 与 . x y 解 在 z f ( x x 2 y 2 ) 中, 令 u x x 2 y 2 ,
则 Fx 2 x, Fy 2 y ,
F (0,1) 0,
Fy (0,1) 2 0,
2 2 x y 1 0 在点(0,1) 的某邻域 依定理知方程 内能唯一确定一个单值可导、且 x 0 时 y 1 的 函数 y f ( x ) ．
z
u v
x
y x
y
又如, z f ( x, v) , v ( x, y )
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z f x x z y
1 f1 f 2 2 f2
x
v
x y
z f 不同, 注意: 这里 与 x x z f 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 x x
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
u (t ) , v (t ) , w (t ) z dv z dw d z z du v d t w d t d t u d t f1 f 2 f 3
多元复合函数与隐函数微分法
Fx 2xy,zFysin zx2z, F zcoz sx2y,
所以z Fx x Fzc来自2xyz ， ozsx2y
zyF Fzy cozxs 2zx2y.
24
例11 设 隐 函 数 z z ( x ,y ) 由 方 程 sz ix 2 n y 确 定 z ， 求 z , z . x y
解法2 方程两边关于x求偏导数,
所以
zexy(xyy21), zexy(x2xy1) .
x
y
15
例8 求下列函数的偏导数和全微分.
(2)zxlnx2(2y)
解 dzd[xlnx2(2y)]
ln x 2 ( 2 y )d x x d [lx 2 n 2 y ()]
lnx2 (2y)dxxd(xx2222yy)
[lx n 22 (y)x2 2 x2 2y]d xx22 x 2yd y,
求
z x
z (0,0) , y
. ( 0 , 0 )
解 视 z 为 x ,y 的 二 元 函 数 z z ( x ,y ),
方程两边关于x 求偏导数,
y3z2zz4x4z3z5z4z0，
x
x x
当 xy 0时 , z 1， 代入上式得
1 5 z 0， z 1 ;
x
x (0,0) 5
27
例12 由 方 程 y 3 z x 4 z z 5 1 确 定 隐 函 数 z z ( x ,y ) ，
解得 y y2 ex . cosy2xy
21
二元隐函数存在定理 设 函 数 F (x,y,z)满 足 :
1 )F (x 0,y 0,z0) 0； 2) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内 F 具有连续偏导数
多元复合函数与隐函数求导
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan
多元复合函数求导法和隐函数求导公式
通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。
多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。
定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。
其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。
现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。
多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。
定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。
作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。
u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。
现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。
同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。
于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。
多元复合函数与隐函数微分法(3)
,
Fy( x, y)
y x2
x y
2
,
dy Fx x y . dx Fy y x
2. F ( x, y, z) 0
【隐函数存在定理 2】设函数F ( x, y, z)在点
P0( x0 , y0 , z0 )的某一邻域内有连续的偏导数，
且F ( x0 , y0 , z0 ) 0， Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0，则方程
若 u (t)及v (t)都在点 t 可导， z f (u,v)在对应点
(u,v)具有连续偏导数，则复合函数 z f [ (t ), (t )]在
对应点t 可导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
２.【全微分形式不变性的简单应用】 (1)利用全微分形式不变性，比较容易地得出全微分
的四则运算公式，
d(u v) du dv,
d(u v) udv vdu,
d
u v
vdu udv v2
(v 0).
(2)利用全微分形式不变性及全微分的四则运算公
式，求函数的全微分会更简便些.
【例 4】已知exy 2z e z 0，求 z 和 z . x y
z f u f , x u x x
两者的区别
y
区
z f u f . y u y y
别 类
似
把 z f (u, x, y)中
的u及 y 看作不变而 把复合函数 z f [ ( x, y), x, y] 对 x的偏导数 中的 y看作不变而对 x的偏导数
4.【多个中间变量且中间变量既有一元又有 多元函数的情形】
7.5 多元复合函数与隐函数的微分法解析
且
z z u z v …(7.5.3) x u x v x
z
u
x y
z z u z v y u y v y
…(7.5.4)
v
9
注1 此定理也可称为求导的链式法则. 事实上, 当z对x求偏导时, 应将y看作常数, 此时的中间变量 u,v均是x的一元函数, 从而z亦是x的一元函数, 于是可利用公 式(7.5.1). 此时应把相应的导数记号改写成偏导数记号, 就可 得公式(7.5.3)；类似地可得公式(7.5.4)． 可将此定理中复合函数的中间变量推广到多于两个的情形. 例如, 设由函数
(t ), (t )均连续, 所以当t 0时, 0;
x dx y dy 同时亦有 , ; 于是有 t dt t dt o( ) o( ) o( ) x 2 y 2 lim lim lim ( ) ( ) 0 t 0 t 0 t t t 0 t t
故
dz z z dx z dy lim dt t 0 t x dt y dt
4
即复合函数z f ( (t ), (t ))在点t处可导, 且有公式(7.5.1)
成立.
由于多元函数的复合关系可能出现多种情形, 因此, 分清复
合函数的复合层次是求偏导数的关键.
u s t x y z
f u f s f t f 2y t y s y t y s
u f s f t f f 2z z s z t z s t
15
注2 在计算多元复合函数的偏导数时, 可不写中间变量, 而
又有
而
z z u z v y u y v y
u v 2 y, x y y
多元复合函数与隐函数的微分法
z z u z v y u y v y
这个复合过程，可以形 象的用链来描述：
z
u
x
v
y
z z 例1 设z e ln v , u xy, v x y . 求 ， x y z z u z v u x 解 z x u x v x y v 1 u u . y e ln v e 2 x
z u
u
x
v
y
2 2 2 2 z z z z u z v x 2 u u2 y uv y u uv y
同理讨论
2z 2z z x 2 1 v v y v u
例2 设方程e z xyz确定函数z f ( x , y )，
z z 求 及 . x y
解 令 F ( x , y , z ) e z xyz
Fx yz
F y xz
2z ? x y
z e Fz xy
yz yz Fx z z z e xy e xy Fz x
注意：
若u ( x ), v ( x )， 1. 在定理中,对 z f (u , v)， 则复合函数z f [ ( x ), ( x )]是x的函数，
此时z对x的导数称为全导数，
dz z du z dv 且有 dx u dx v dx
z
u
v
x
例3 求y (sin x)
定理 设u ( x, y ), v ( x, y )在点( x, y )处有偏导数，
则复合函数 z f (u , v)在对应点(u , v)处可微，
且 z f [ ( x , y ), ( x , y )]在点( x, y )处有偏导数，
这个复合过程，可以形 象的用链来描述：
z
u
x
v
y
z z 例1 设z e ln v , u xy, v x y . 求 ， x y z z u z v u x 解 z x u x v x y v 1 u u . y e ln v e 2 x
z u
u
x
v
y
2 2 2 2 z z z z u z v x 2 u u2 y uv y u uv y
同理讨论
2z 2z z x 2 1 v v y v u
例2 设方程e z xyz确定函数z f ( x , y )，
z z 求 及 . x y
解 令 F ( x , y , z ) e z xyz
Fx yz
F y xz
2z ? x y
z e Fz xy
yz yz Fx z z z e xy e xy Fz x
注意：
若u ( x ), v ( x )， 1. 在定理中,对 z f (u , v)， 则复合函数z f [ ( x ), ( x )]是x的函数，
此时z对x的导数称为全导数，
dz z du z dv 且有 dx u dx v dx
z
u
v
x
例3 求y (sin x)
定理 设u ( x, y ), v ( x, y )在点( x, y )处有偏导数，
则复合函数 z f (u , v)在对应点(u , v)处可微，
且 z f [ ( x , y ), ( x , y )]在点( x, y )处有偏导数，
复合函数和隐函数微分
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
dt
例1 求导数
⑴ 设 z e uv u sin x v cos x 求 dz
dx
解 dz z du z dv dx u dx v dx
例2 设z=eu sinv
解：
z exy
而u=xy,v=x+y
sin(x y)
求 z 和
x
z y
z yexy sin(x y) exy cos(x y) x
exy[ y sin(x y) cos(x y)]
z xexy sin(x y) exy cos(x y) y
§1.5
复合函数和隐函数微分
一、多元复合函数的微分法
定理 如果函数u (t )及v (t)都在点t 可导，
函数z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则
复合函数z f [ (t), (t)]在对应点t 可导，且其导
数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
y 1 (xy)2
1
x ( xy)2
ex
(x 1)e x 1 x2e 2x
[注记]：
求多元复合函数的偏导数应注意到：
① 必须严格分清自变量与中间变量，及其关系；
② 求对某个自变量的偏导数时，应经过一切有 关的中间变量（纵向的和横向的）最后归结 到自变量；
③ 有几个中间变量，就应含有几项；有几次复 合，每项就应有几个因子相乘。
从全微分法看多元复合函数和隐函数的导数
从全微分法看多元复合函数和隐函数的导数
多元复合函数的求偏导
例1. 设z f xy, x y ,其中f 具有连续的偏导数，求 z , z .
x y 解： 法一，方程两边直接取微分
dz f1d(xy)+ f 2d(x+ y) f1(xdy + ydx) + f 2(dx+dy)
( yf1+ f2)dx+ (xf1 f 2)dy
yf1 f2
f1 xy
x
f
f2 x y
y
z f u f v y u y v y
xf1 f2
注：全微分法与多元复合函数偏导法，所得结果是一模一样的.
从全微分法看多元复合函数和隐函数的导数
隐函数求导
例2 设 z z(x, y)由方程 exy 2z ez 2 所确定，求 z , z .
第九章 多元函数微分学
从全微分法看 多元复合函数和隐函数的导数
从全微分法看多元复合函数和隐函数的导数
一元函数微分形式不变性 函数f(u)，不论u 是自变量还是中间变量，均有 dy f (u)du
全微分形式不变性 二元函数z=f(u,v),无论u,v是自变量还是中间变量,均有 dz z du zdv u v
注： 整理方向
从而有：
dz dx dy
z x
yf1
f2,
z y
xf1
f2.
从全微分法看多元复合函数和隐函数的导数
多元复合函数的求偏导
例1. 设z f xy, x y ,其中f 具有连续的偏导数，求 z , z .
x y 解 ： 法二，首先给出多元复合函数关系图
由：连线相乘，分线相加，得
z f u f v x u x v x
7.4多元复合函数与隐函数微分法
§7.4
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
多元复合函数与隐函数微分法
一、多元复合函数微分法 1、链式法则：
设z = f (u , v)在(u , v)处可微, u = u ( x, y ), v = v( x, y )在( x, y )处
存在偏导数, 则z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y )处存在偏导数,
【微积分7-4-2】
∆z ∂z ∆u ∂z ∆v o( ρ ) ∴ = • + • + ∆x ∂u ∆x ∂v ∆x ∆x
∆u ∂u ∆v ∂v 而 lim = , lim = ∆x → 0 ∆x ∂x ∆x →0 ∆x ∂x
o( ρ ) o( ρ ) ρ o( ρ ) = • , lim =0 又由于 ∆x ρ ∆x ρ →0 ρ
【微积分7-4-18】
（2）应用举例：
∂z ∂z 例6 设z = f ( x, y )是由方程 sin z = xyz所确定的隐函数, 求 及 ∂x ∂y 解法一：按上述结论求解
令F ( x, y, z ) = sin z − xyz , 则有
∂u 2 ∂u 而 = 1 + 2 xy , = 2x2 y ∂x ∂y
∂z ∂u 2 ′(u ) ′( x + x 2 y 2 ) ∴ = f = (1 + 2 xy ) f ∂x ∂x
∂z ∂u 2 2 2 = f ′(u ) = 2 x yf ′( x + x y ) ∂y ∂y
【微积分7-4-8】
且有
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v = • + • ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
7.4多元复合函数微分法
结论：无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达形式都一样,
这性质叫做一阶全微分形式不变性.
例 求函数 z x ln( x 2 y) 的全微分。
解: 由微分运算法则: d(uv) udv vdu
dz ln(x 2 y)dx xdln(x 2 y)
ln( x 2 y)dx x d( x 2 y) x 2y
z yz z xz
(2)
x
ez
xy
; y
ez
xy
一.偏导数与全微分的定义
z
x ( x0 , y0 )
x0 Δx Δx
x0 d z z d x z d y
z
y
(
x0 ,
y0
)
lim
Δ y0
f ( x0 , y0 Δy ) f ( x0 , y0 ) Δy
x
y
定义的重要性:(1)体现了偏导数的实质是求导数
e xy ( y sin( x y) cos( x y))
z y
z u u y
z v v y
eu sin v x eu cosv 1
eu( xsinv cosv).
e xy ( x sin( x y) cos( x y))
其它形式复合函数偏导数的链式法则：
1.
z
f (u,v)
u (x) v ( x)
u
z
x
v
z f [( x), ( x)] dz f du f dv ( 全导数公式 )
dx u dx v dx
2.z f (u) , u u( x, y), z f [u(x, y)]
x
z x
dz du
u x
z y
-74复合函数与隐函数微分
z z u z v y u y v y
(2)
例1 z=eu sinv u=xy v=x+y
解： z eu sin v u
z eu cos v v
u y x
u x y
v 1 x
v 1 y
z z u z v x u x v x
2．一个三元方程的情形
设 F(x,y,z)=0 确定 z=f(x,y) 则
F F z 0 z Fx
x z x
x Fz
F F z 0 z Fy
y z y
y Fz
例7 sin z xyz 0 确定z=f(x,y) 求 z , z
（1）当x,y是自变量时, dz z dx z dy
(*)
x y
（2）当x,y是中间变量时，例如 x=x(t,s), y=y(t,s)时
dz z dt z ds
t
s
z
x
x t
z y
y t
dt
z
x
x s
z y
求 2z
xy
解：令 F(x, y, z) xy yz zx 1
则 z Fx y z
x Fz y x
z Fy x z y Fz y x
2z xy
y
z x
Байду номын сангаасy
y y
y s
ds
z x
x t
dt
x s
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z=f(x,v),v=v(x,y),则z=f[x,v(x,y)]有链式法
z f f v x x v x
z f v y v y
(7.23)
f z 在(7.23)中我们在等式的右边记为 而不用 , x x z 这是为防止和等式左边的 混淆. x
y
2019年1月7日星期一
8
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z z u z v y u y v y
1 1 f'u xe f'v y 2 x 1 ( ) x x y xe f'u 2 f'v 2 x y
y
z x y xe f'1 2 f'2 2 y x y
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z
u v
x y
注1 此定理也可称为求导的链式法则.记忆可用上图所示
的链子来记. 定理中的等式数为自变量的个数； 每一个等 式中的项数为中间变量的个数. z到x的路径有两条,一条
2019年1月7日星期一 19
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上式等式左端看作以 u,v 为中间变量 ,λ 为自 变量的函数,等式两端对λ求导数,得
f du f dv k k 1 f ( x, y ) u d v d
即
f f k 1 x y k f ( x, y ) u v
由链式法则有 z eu sin v 1 eu cos v 1 x x y e [sin( x y ) cos( x y )]
2019年1月7日星期一 15
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z eu sin v 1 eu cos v (1) y e x y [sin( x y ) cos( x y )] 所以 z z x y 2sin( x y )e x y
此写法常用于抽象函数的微分运算.
2019年1月7日星期一 4
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z z , . 例7.21 x y 解 这是两个中间变量,两个自变量的复合函数. z z u v v v 1 u ln u vu , 2 x, y v u x x z z u z v x u x v x
2019年1月7日星期一
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注3 复合函数的微分法是难点.下面对几种特殊情况给予 讨论. 1.只有一个自变量的情形 (Ⅰ).若z=ƒ(u,v)可微,u=u(x),v=v(x)可导,则z=ƒ(u(x),v(x)) 是x的一元函数.此时z对x导数是全导数,其求导法则为
dz f du f dv dx u dx v dx
是“z→u→x”, 一条是“z→v→x”; z到y路径也有两条,
一条是“z→u→y”,一条是“z→v→y”.
2019年1月7日星期一 3
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证 设y不变而x有一个改变量∆x,且u,v,z的相应改变量 分别为 xu, x v, x z, 则由z=ƒ(u,v)可微,知
z z x z x u x v o( ) 且 ( x u ) 2 ( x v) 2 . u v x z z x u z x v o( ) x u x v x x
变性求全微分,则
z z dz du dv u v
而 所以
2019年1月7日星期一 22
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du=2xdx－2dy, dv=ydx+xdy
z cos v 2 , v u sin v
dv 2x dx
所以,由全导数公式(7.21),有
dz z du z dv 2u cos v x 2 e 2 2x dx u dx v dx u sin v u sin v 2e2 x 2 x cos x 2 . 2x 2 e sin x 2019年1月7日星期一 12
z=f[x(s,t),y(s,t)]
仍有全微分公式 z z dz dx dy x y
2019年1月7日星期一 21
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例7.26 设z=f(x2－2y,xy)且可微,求全微分dz,并由 此求 z , z . x y 解 设u=x2－2y,v=xy.则z=f(u,v),由全微分形式不
2019年1月7日星期一 14
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z z . 例7.22 x y 解 设u=x+y,v=x－y,则z=eusinv. z z u u e cos v e sin v, v u
设z=[sin(x－y)]ex+y,求
u v u v 1, 1 1, 1, y y x x
当∆x→0时,对此式两边取极限,得
z z u z v , x u x v x z f u f v , x u x v x
z z u z v 同理可得 . y u y v y
亦可记为
z f u f v . y u y v y
u z v z x y
x
x
(Ⅱ).若z=ƒ(x,y), y=φ(x), 则z=ƒ(x,φ(x))是x的一元函数,
dz f dx f dy f f dy . 其全导数为 dx x dx y dx x y dx
2019年1月7日星期一 10
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上式对任意正实数 λ 都成立 , 特别取 λ=1, 即得 所证等式.
2019年1月7日星期一
f f x y kf ( x, y ) x y
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全微分形式的不变性 设函数z=f(x,y)可微,当x,y为自变量时,有全微
分公式
z z dz dx dy x y 当x=x(s,t),y=y(s,t)为可微函数时,则对复合函数
2019年1月7日星期一
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例7.24 若可微函数f(x,y)对任意正实数λ满足关系 式
f(λx,λy)=λkf(x,y)
则称 f(x,y) 为 k 次齐次函数 . 证明 k 次齐次函数满足 方程
f f x y kf ( x, y ) x y
证 设u=λx,v=λy,则由已知条件有等式 f(u,v)=λkf(x,y)
5
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z z 例 1 设z f ( x y, x y ), 求 , . x y
2 2
解 令u x y, v x2 y 2 ,
z
u v
x y
则z f (u, v), 从而u, v是x, y的函数.
z f u f v f f 2x x u x v x u v f z f u f v f 2y v y u y v y u
dz f f dy f x e x f y. dx x y dx
z
x y
x
2019年1月7日星期一
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例7.19 设z=f(u,v)=ln(u2+sinv), u ( x) e x,v=x2, dz 求 . dx z 2u du x , e 解 2 u u sin v dx
z 1 x xF' (u ) y x x F' (u )
2019年1月7日星期一 17
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于是
z z x y x[ y F (u ) uF' (u )] y[ x F' (u )] x y y y y y xy xF ( ) x F' ( )] xy yF' ( )] x x x x y 2 xy xF ( ) x xy z
2019年1月7日星期一
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注2 在计算多元复合函数的偏导数时,可不写中间变量, 而用 fi表示“函数ƒ对第i个中间变量求导”,用 fij 表示 先对第i个,后对第j个中间变量求导”.从而算例中的结果 可写为：(见上)
z f f 2x f1 2 xf 2 x u v f z f 2x f1 2 yf 2 v y u
z
u v
x y
2019年1月7日星期一
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z z y 例7.25 设 z f ( xe ,arctan ) ,其中f可微,求 , . x y x y y 解 由链式法则,令 u=xe , v arctan ,有 x z z u z v x u x v x 1 y y f'u e f'v ( 2 ) y 2 x 1 ( ) x y y e f'u 2 f'v 2 x y z y y 或 e f'1 2 f'2 2 x x y
2019年1月7日星期一
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y 例7.23 设 z xy xF ( ) ,其中F可微,试证: x z z x y xy z x y y 证 设 u ,则有 z=xy+xF(u) x z y y F (u ) xF' (u ) ( 2 ) x x y F (u ) uF' (u )
第七章
第四节 多元复合函数与隐函 数微分法
一、多元复合函数微分法
二、隐函数微分法
2019年1月7日星期一
1
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因多元复合函数的求导法则 在多元微积分中占有非常重要的 地位，下面将一元复合函数的求导法则推广到多元的