日照5月高三二模数学试题
山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学(理)试题(解析版)
三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
2
1䁥. 如图，已知椭圆 ： 2
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1ሺ
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＞0ݔ，A（4，0）是长轴的一个端点，
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（1）求椭圆 E 的方程．
（2）过椭圆 E 右焦点 F 的直线，交椭圆 E 于 A1，B1 两点，交直线 x=8 于
BF∥DE，DE=2BF=2 2，
毈 0．
（1）证明：平面 ACF⊥平面 BDEF；
（2）求二面角 E-AC-F 的余弦值．
20. 为评估设备 M 生产某种零件的性能，从设备 M 生产零件的流水线上随机抽取 100 个零件作为样本，测 量其直径后，整理得到如表： 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
2019 年山东省日照市高考数学模拟试卷（理科）（5 月份）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x|lgx＞0}，B={x|x≤1}，则（ ）
A.
B.
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C.
D.
2. 将函数 f（x）=sin2x 的图象向右平移 个单位长度得到 g（x）图象，则函数的解析式是（ ）
. “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数” 越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是 2017 年 9 月到 2018 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
10. 已知点 A，B，C，D 在同一个球的球面上， 毈 毈 2， 毈 2，若四面体 ABCD 外接球的球心 O 恰好在侧棱 DA 上， 毈 2 ，则四面体 ABCD 的体积为（ ）
2019届山东省日照市高三5月校际联合考试数学(理)试题(解析版)
2019年山东省日照市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|lg x＞0}，B={x|x≤1}，则（）A. B. C. D.2.将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位长度得到g（x）图象，则函数的解析式是（）A. B. C. D.3.若函数，则=（）A. B. C. D. 04.已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β②若m⊥α，m⊥β，则α∥β③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β其中正确的命题是（）A.①②B.②③C.①④D. ②④5.执行下面的程序框图，若输出的S值为-2，则①中应填（）A. ？B. ？C. ？D. ？6.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是（）A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值7.过点P（1，1）的直线l将圆形区域{（x，y）|x2+y2≤4}分为两部分，其面积分别为S1，S2，当|S1-S2|最大时，直线l的方程是（）A. B. C. D.8.若无重复数字的三位数满足条件：①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数．则这样的三位数的个数是（）A. 540B. 480C. 360D. 2009.倾斜角为30°的直线l经过双曲线＞，＞的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.10.已知点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD外接球的球心O恰好在侧棱DA上，，则四面体ABCD的体积为（）A. B. C. D.11.已知数列{a n}前n项和为S n，满S n=an2+bn（a，b为常数），且a9=，设函数f（x）=2+sin2x-2sin2，记，则数列{y n}的前17项和为（）A. B. C. 11 D. 1712.设函数，若函数g（x）=f2（x）+bf（x）+c有三个零点x1，x2，x3，则x1x2+x2x3+x1x3=（）A. 12B. 11C. 6D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设复数z=（5+i）（1-i）（i为虚数单位），则z的虚部是______．14.设向量=（1，1），=（-1，2），则向量+与向量的夹角为______．15.抛物线y=2x2图象在第一象限内一点（a i，2a i2）处的切线与x轴交点的横坐标记为a i+1，其中i∈N*，若a2=32，则a2+a4+a6=______．16.若函数f（x）=mx2-e x+1（e为自然对数的底数）在x=x1和x=x2两处取得极值，且x2≥2x1，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，M是AC的中点，，．（1）若，求AB的长；（2）若，求△的面积．18.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DE⊥平面ABCD，BF∥DE，DE=2BF=， ．（1）证明：平面ACF⊥平面BDEF；（2）求二面角E-AC-F的余弦值．19.如图，已知椭圆：＞＞，A（4，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，，．（1）求椭圆E的方程．（2）过椭圆E右焦点F的直线，交椭圆E于A1，B1两点，交直线x=8于点M．判定直线CA1，CM，CB1的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．20.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到如表：经计算，样本的平均值u=64，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值．（Ⅰ）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的频率）：①P（u-σ＜X≤u+σ）≥0.6826；②P（u-2σ＜X≤u+2σ）≥0.9544；③P（u-3σ＜X≤u+3σ）≥0.9974．评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备性能等级为甲；仅满足其中两个，则设备性能等级为乙；若仅满足其中一个，则设备性能等级为丙；若全部不满足，则设备性能等级为丁．试判断设备M的性能等级．（Ⅱ）将直径小于等于u-2σ或直径大于u+2σ的零件认为是次品．（i）从设备M的生产流水线上任意抽取2个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）；（ii）从样本中任意抽取2个零件，计算其中次品个数Z的数学期望E（Z）．21.已知函数，∈，（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x-1）（1-sin x）对任意∈，恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：＞．22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和曲线C的极坐标方程；（2）已知射线：＜＜与曲线C交于O，M两点，射线：与直线l交于N 点，若△OMN的面积为1，求α的值和弦长|OM|．23.已知函数f（x）=x|x+a|，a∈R．（1）若f（1）+f（-1）＞1，求a的取值范围；（2）若a＜0，对∀x，y∈（-∞，-a]，不等式恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由B={x|x≤1}，且A={x|lg x＞0}=（1，+∞），∴A B=R，故选：B．化简集合A，再根据两个集合的特征即可确定出两个集合的关系本题考查集合的运算，对数不等式的解法，集合间的关系，属于基本知识考查题2.【答案】C【解析】解：由题意，将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位长度，可得的图象，故选：C．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数，则f（-3）=23-3=1，则f（f（-3））=f（1）=log31-2=-2，故选：B．根据题意，由函数的解析式计算可得f（-3）=1，进而可得f（f（-3））=f（1），即可得答案．本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：①若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若m⊥α，m⊥β，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则α∥β；故②为真命题；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，故③为真命题；④若m∥α，n∥β，m∥n，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选：B．由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．5.【答案】B【解析】解：执行如图的程序框图，运行结果如下：n=1，S=0S=lg1-lg2满足判断框内的条件，n=2，S=lg1-lg2+lg2-lg3满足判断框内的条件，n=3，S=lg1-lg2+lg2-lg3+lg4-lg5…观察规律可知：满足判断框内的条件，n=99，S=lg1-lg2+lg2-lg3+…+lg99-lg100=lg1-lg100=-2由题意，此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为-2．故判断框内应填入的条件是n＜99？．故选：B．根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=-2，可得出判断框内应填入的条件．本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，是基础题．6.【答案】D【解析】解：在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有减弱，故B 错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差大于11月份的方差，故C错误；在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值，故D正确．故选：D．观察指数变化的走势图，能求出去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．本题考查命题真假的判断，考查简单的合理推理、推理论证能力等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．7.【答案】A【解析】解：当圆心O与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与点P连线的斜率k=1，所以直线l的方程为x+y-2=0．故选：A．当圆心O与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．8.【答案】D【解析】解：因为①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数，所以这个三位数有2个奇数和一个偶数，故有C51A21A52=200个．故选：D．因为①个位数字与十位数字之和为奇数，②所有位的数字和为偶数，所以这个三位数有2个奇数和一个偶数，再根据分步计数原理即可得到答案．本题考查了分步计数原理，判断出这个三位数有2个奇数和一个偶数，是关键，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：如图MF2为△ABF2的垂直平分线，可得AF2=BF2，且∠MF1F2=30°，可得MF2=2c•sin30°=c，MF1=2c•cos30°=c，由双曲线的定义可得BF1-BF2═2a，AF2-AF1=2a，即有AB=BF1-AF1=BF2+2a-（AF2-2a）=4a，即有MA=2a，AF2==，AF1=MF1-MA=c-2a，由AF2-AF1=2a，可得-（c-2a）=2a，可得4a2+c2=3c2，即c=a，b==a，则渐近线方程为y=±x．故选：A．由垂直平分线性质定理可得AF2=BF2，运用解直角三角形和双曲线的定义，求得AB=4a，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：由，可知，取AC的中点M，则点M为△ABC外接圆的圆心，所以OM⊥平面ABC，且OM为△ACD的中位线，所以DC⊥平面ABC，故三棱锥D-ABC的体积为．故选：C．确定△ABC外接圆的直径为AC，球心O′为AC的中点，求出球心到平面ABC的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．本题考查几何的体积的求法，球的内接体，考查学生的空间想象能力以及计算能力．11.【答案】D【解析】解：f（x）=sin2x+cosx+1，由，得a n=2na-a+b，{a n}为等差数列，a1+a17=2a9=π，y1+y17=f（a1）+f（a17）=sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1=sin2a1+cosa1+1+sin（2π-2a1）+cos（π-a1）+1=2，数列{y n}的前17项和为2×8+1=17．故选：D．化简函数的解析式，利用数列的和求出通项公式，判断数列是等差数列，然后求解数列的和即可．本题考查数列与函数相结合，三角函数的化简以及数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．12.【答案】B【解析】解：作出函数f（x）的图象如图所示，由图可得关于x的方程f（x）=t的解有两个或三个（t=1时有三个，t≠1时有两个），所以关于t的方程t2+bt+c=0只能有一个根t=1（若有两个根，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有四个或五个根），由f（x）=1，可得x1，x2，x3的值分别为1，2，3，x1x2+x2x3+x1x3=1×2+2×3+1×3=11．故选：B．画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解即可．本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】-4【解析】解：∵z=（5+i）（1-i）=6-4i．∴z的虚部是-4．故答案为：-4．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14.【答案】【解析】解：；∴；∴；又；∴．故答案为：．可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．考查向量坐标的加法和数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式．15.【答案】42【解析】解：∵y=2x2（x＞0），∴y′=4x，∴y=2x2（x＞0）在第一象限内图象上，一点（a i，处的切线方程是：，整理，得，∵切线与x轴交点的横坐标为a i+1，∴，∴{a2k}是首项为a2=32，公比的等比数列，∴a2+a4+a6=32+8+2=42．故答案为：42．利用函数的导数，求解切线斜率，得到切线方程，然后利用，数列与函数的关系，转化求解数列的和即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，数列与函数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．16.【答案】，【解析】解：方法1：f'（x）=2mx-e x，，，直线y=2mx，曲线y=e x，x2≥2x1，A（2x1，4mx1），B（2x1，），，x1≤ln2，构造，，在（0，1）递减，．方法2：f'（x）=2mx-e x由题知有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，易知h（x）在（-∞，0），（0，1）上为减函数；在（1，+∞）上为增函数．当x2=2x1时，由，得x1=ln2，此时；当x2＞2x1时，综上．故答案为：．方法1：f'（x）=2mx-e x，x=x1和x=x2两处取得极值，且x2≥2x1，设A（2x1，4mx1），B（2x1，），构造，，在（0，1）递减，转化求解即可．方法2：f'（x）=2mx-e x ，有两个不等的实数根x1，x2且x2≥2x1，令，则，利用函数的单调性转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】解：（1），…………………………（2分）在△ABC中，由正弦定理得，∴ ．…………………………（6分）（2）在△BCM中，由余弦定理得=，∴12=4+BC2-2BC，解得BC=4（负值舍去），…………………………（10分）∴△ ，…………………………（12分）【解析】（1）根据正弦定理进行求解即可．（2）根据余弦定理结合三角形的面积公式进行计算即可．本题主要考查解三角形的应用，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键．18.【答案】解：（1）连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AC，…………………………（3分）又BD⊂平面BDEF，DE⊂平面BDEF，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF，∴平面ACF⊥平面BDEF．…………………………（5分）（2）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE，∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD，∴OG，AC，BD两两垂直．以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，B（0，1，0），，，，D（-1，0，0），，，，，，，，，，，，，，，，，，，，则，，所以EF⊥AF，EF⊥CF，且AF∩CF=F，所以EF⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为，，．…………………………（9分）设平面AEC的一个法向量为=（x，y，z），则，∴ ，得，令，得平面AEC的一个法向量，，，从而，…………………………（12分）【解析】（1）连接BD交AC于点O，证明AC⊥BD，DE⊥AC，推出AC⊥平面BDEF，得到平面ACF⊥平面BDEF．（2）连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE，说明OG，AC，BD两两垂直．以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系求出平面AFC的一个法向量，平面AEC的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量的数量积的应用，二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．19.【答案】解：（1）由|-|=2|-|，得||=2|，即||=||，∴△AOC是等腰三角形，…………………………（2分）又a=OA=4，∴点C的横坐标为2；又cos＜，＞=，设点C的纵坐标为y C，∴=，解得y C=±3，应取C（2，3），…………………………（3分）又点C在椭圆上，∴+=1，解得b2=12，∴所求椭圆的方程为+=1；………………………（5分）（2）由题意知椭圆的右焦点为F（2，0），C（2，3），由题意可知直线CA1，CM，CB1的斜率存在，设直线A1B1的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k2）x2-16k2x+16k2-48=0；……………………（7分）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线CA1，CM，CB1的斜率分别为k1，k2，k3，则有x1+x2=，x1x2=，可知M的坐标为（8，6k）；……………………（9分）∴k1+k3=+=+=2k-3•=2k-3•=2k-1，又2k2=2•=2k-1；∴k1+k3=2k2，即直线CA1，CM，CB1的斜率成等差数列．…………………………（12分）【解析】（1）由题意可得a=4，求出点C的坐标，代入椭圆方程得到b，从而求得椭圆的方程；（2）设出直线A1B1的方程，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系得到k1+k3，并求得k2的值，由k1+k3=2k2说明直线CA1，CM，CB1的斜率成等差数列．本题主要考查了直线与椭圆的位置关系应用问题，由直线与曲线方程联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的常用方法，但圆锥曲线的特点是计算量大，也考查了运算推理能力，该题是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）P（μ-σ＜X≤μ+σ）=P（62.8＜X≤67.2）=0.8＞0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=P（60.6＜X≤69.4）=0.94＜0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=P（58.4＜X≤71.6）=0.98＜0.9974，∵设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，）），于是EY=2×=．（ⅱ）由题意可知Z的分布列为E（Z）=+1×+2×=．【解析】（Ⅰ）利用条件，可得设备M的数据仅满足一个不等式，即可得出结论；（Ⅱ）易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06．（ⅰ）由题意可知Y～B（2，）），可得EY=2×．（ⅱ）确定Z的取值，利用超几何分布可得相应的概率，即可求出其中次品个数Z的数学期望EZ．本题考查了二项分布列及其数学期望、正态分布曲线的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）f'（x）=e x-e x（sin x+cos x）=e x（1-sin x-cos x）==，∵∈，，∴∈，，∴，所以f'（x）≤0，故函数f（x）在，上单调递减，函数f（x）的最大值为f（0）=e0-e0sin0=1；f（x）的最小值为，所以函数f（x）的值域为[0，1]．（2）原不等式可化为e x（1-sin x）≥k（x-1）（1-sin x）…（*），因为1-sin x≥0恒成立，故（*）式可化为e x≥k（x-1）．令g（x）=e x-kx+k，则g'（x）=e x-k当k≤0时，g'（x）=e x-k＞0，所以函数g（x）在，上单调递增，故g（x）≥g（0）=1+k≥0，所以-1≤k≤0；当k＞0时，令g'（x）=e x-k=0，得x=ln k，且当x∈（0，ln k）时，g'（x）=e x-k＜0；当x∈（ln k，+∞）时，g'（x）=e x-k＞0．所以当＜，即＜＜时，函数g（x）min=g（ln k）=2k-k lnk=k（2-ln k）＞0，成立；当，即时，函数g（x）在，上单调递减，，解得综上，．（3）令，则．由＜， ＞，故存在∈，，使得h'（x0）=0即．且当x∈（-∞，x0）时，h'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．故当x=x0时，函数h（x）有极小值，且是唯一的极小值，故函数=，因为∈，，所以＞＞，故＞，＞．【解析】（1）利用导数求函数的值域即可；（2）恒成立问题转化为最值即可；（3）构造函数可解决此问题．本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得直角坐标方程为：．转换为极坐标方程为：，即．曲线C的参数方程是（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，…………………………（3分）化为一般式得化为极坐标方程为：．………………………（5分）（2）由于＜＜，得，．所以△ ，所以，由于＜＜，所以，所以．…………………………（10分）【解析】（1）先把直线l和曲线C的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得|OM|，|ON|，再根据面积列式可解得极角，从而可得|OM|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）f（1）+f（-1）=|1+a|-|-1+a|＞1，若a≤-1，则-1-a+a-1＞1，得-2＞1，即不等式无解，若-1＜a＜1，则1+a+a-1＞1，得2a＞1，即＜＜，若a≥1，则1+a-a+1＞1，得2＞1，即不等式恒成立，综上所述，a的取值范围是，．（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需，当x∈（-∞，-a]时，f（x）=-x（x+a），所以．因为，所以，解得-3≤a≤1，结合a＜0，所以a的取值范围是[-3，0）．【解析】（1）运用绝对值不等式的解法即可；（2）恒成立问题转化为最值问题即可解决．本题考查绝对值不等式的解法和函数恒成立问题转化为最值即可解决．。
山东省日照市高三数学5月阶段训练(日照二模)A卷 文
2012年高三阶段训练文 科 数 学2012.5本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷进（非选择题）两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：（2）答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
（3）第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
（4）第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
（5）填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体的体积公式：sh V 31=椎体，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}222|,,1|x y x N R x x y y M -==∈-==，则N M ⋂=A ．),1[+∞- （B ）)2,1[- （C ）),2[+∞ （D ）ø (2）已知i 为虚数单位，复数iiz -+=121，则复数z 的虚部是 （A ）23 （2）21- （C)i 23 (D ）i 21-（3）要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况。
宜采用的抽样方法依次为（A ）①简单随机抽样，②系统抽样 （B ）①分层抽样，②简单随机抽样 （C ）①系统抽样，②分层抽样 （D ）①②都用分层抽样 （4）已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，则“βα//”是“m l ⊥”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （5）要得到函数)42cos(3π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin 3=的图象（A ）沿x 轴向左平移8π个单位 （B ）沿x 向右平移8π个单位 （C ）沿x 轴向左平移4π个单位 （D ）沿x 向右平移4π个单位（6）已知向量AB (2,x 1),CD (1,y)(xy 0),=-=->且AB //CD ，则yx 12+的最小值等于 （A ）16 （B ）2 （C ）4 （D ）8 （7）函数121-=x y 图象关于x 轴对称的图象大致是（8）已知21e e 、是两夹角为。
山东省日照一中2025届高三第二次模拟考试数学试卷含解析
山东省日照一中2025届高三第二次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知甲盒子中有m 个红球，n 个蓝球，乙盒子中有1m -个红球，+1n 个蓝球(3,3)m n ≥≥，同时从甲乙两个盒子中取出(1,2)i i =个球进行交换，（a ）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为(1,2)i p i =.（b ）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为(1,2)i i ξ=.则（ ） A ．1212,()()p p E E ξξ>< B ．1212,()()p p E E ξξ C ．1212,()()p p E E ξξ>>D ．1212,()()p pE E ξξ<<2．若x ，y 满足约束条件0,2,10,x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则4z x y =+的取值范围为（ ）A ．[]5,1--B ．[]5,5-C ．[]1,5-D ．[]7,3-3．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知命题300:2,80p x x ∃>->，那么p ⌝为（ ）A ．3002,80x x ∃>-≤ B ．32,80x x ∀>-≤ C ．3002,80x x ∃≤-≤D ．32,80x x ∀≤-≤5．tan570°=（ ） AB ．CD6．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④7．在声学中，声强级L （单位：dB ）由公式1210110I L g -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：2W/m ）.160dB L =，275dB L =，那么12I I =（ ） A ．4510 B ．4510-C ．32-D ．3210-8．若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x ⋂=<< B ．{|2}A B x x ⋂=< C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}AB x x =-<<10．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -11．已知非零向量a ，b 满足||a b |=|，则“22a b a b +=-”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解:12．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，12b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省日照市高三下学期数学5月模拟考试试卷
山东省日照市高三下学期数学5月模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一上·闵行期中) 若关于x的不等式＜2的解集是（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞），则实数a的值是________．2. （1分） (2019高一上·分宜月考) 函数的单调增区间为________.3. （1分）已知集合，集合的所有非空子集依次记为：，设分别是上述每一个子集内元素的乘积.(如果的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身)，那么 ________．4. （1分）(2020·南京模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的S值为________．5. （1分）(2020·南京模拟) 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是________．6. （2分）函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是________7. （1分）(2020·南京模拟) 已知双曲线的离心率为，那么此双曲线的准线方程为________．8. （1分）(2020·南京模拟) 已知正四棱锥的体积为，底面边长为2，则侧棱的长为________．9. （1分）(2020·南京模拟) 已知函数若则函数的最小正周期为________．10. （1分）(2020·南京模拟) 已知等差数列{an}满足：a1＝﹣8，a2＝﹣6．若将a1 ， a4 ， a5都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为________．11. （1分）(2020·南京模拟) 设函数和的图象在y轴左、右两侧靠近y轴的交点分别为 M 、 N ，已知 O 为原点，则 ________．12. （1分）(2020·南京模拟) 设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为，则a+b 的取值范围为________．13. （1分）(2020·南京模拟) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos （A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为________．14. （1分） (2016高一下·徐州期末) 已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为________．二、解答题 (共11题；共105分)15. （10分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴交于点（0，1），它在y轴右侧的得一个最高点和最低点的坐标分别为（x0 ， 2）、（x0+3π，﹣2）．（1）求f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后将所得图象按向右平移，得到函数y=g（x）的图象，写出函数y=g（x）的解析式，并用列表作图的方法画出y=g（x）在长度为一个周期的闭区间上的简图．16. （10分） (2017高二下·合肥期中) 请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？17. （10分） (2019高二下·上海期末) 一个多面体的三视图如图：主视图和左视图均为一个正方形上加一个等腰直角三角形，正方形的边长为a，俯视图中正方形的边长也为a.主视图和左视图俯视图（1）画出实物的大致直观图形；（2）求此物体的表面积；（3）若，一个蚂蚁从该物体的最上面的顶点开始爬，要爬到此物体下底面四个项点中的任意一个顶点，最短距离是多少?（精确到0.1个单位）18. （10分）(2020·榆林模拟) 已知动圆过定点，且与直线相切，动圆圆心的轨迹为，过作斜率为的直线与交于两点，过分别作的切线，两切线的交点为，直线与交于两点．（1）证明：点始终在直线上且；（2）求四边形的面积的最小值．19. （15分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.20. （15分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.21. （5分）设矩阵A= ，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．22. （5分）(2020·南京模拟) 在极坐标系中，求曲线关于直线对称的曲线的极坐标方程.23. （5分）(2020·南京模拟) 若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）＝（a﹣1）（b﹣1）的最大值．24. （10分）(2020·南京模拟) 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．（1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；（2）若考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．25. （10分）(2020·南京模拟) 已知（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共11题；共105分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、24-1、24-2、25-1、25-2、。
山东省日照市高三下学期5月校际联合考试数学试题(解析版)
山东省日照市高三下学期5月校际联合考试数学试题一、单项选择题1．设集合()(){}140A x x x =+-<，{}09B x x =<<，那么A B =〔 〕A ．()0,4B ．()4,9C ．()1,4-D ．()1,9-【答案】A【分析】首先解一元二次不等式，求出集合A ，然后根据交集的概念直接求解. 【详解】∵()(){}140A x x x =+-< ∴{}14A x x =-<<因此{}04A B x x ⋂=<<，即A B =()0,4应选：A2．假设复数z 满足i 23i z =+，那么z 的实部与虚部之和为〔 〕 A ．1- B ．1C ．2-D ．3【答案】B【分析】求出复数即可得到答案. 【详解】由题意可得：()()()232332i i i z i i i i +-+===--， 那么实部与虚部之和为3(2)1+-=. 应选：B.3．假设α为第二象限角，那么〔 〕 A ．sin cos 0αα-< B ．tan 0α< C ．sin 202πα⎛⎫+>⎪⎝⎭D ．()cos 20πα->【答案】B【分析】根据各象限三角函数值的正负可确定A 错误，B 正确；通过反例可知CD 错误. 【详解】α为第二象限角，sin 0α∴>，cos 0α<；sin cos 0αα∴->，A 错误；sin tan 0cos ααα=<，B 正确； 对于C ，假设23πα=，那么41sin 2cos 2cos 0232ππαα⎛⎫+===-< ⎪⎝⎭，C 错误；对于D ，假设56πα=，()51cos 2cos 2cos032ππαα-=-=-=-<，D 错误. 应选：B.4．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E 〔：焦耳〕与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.据此推断5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的〔 〕倍. A ．lg 4.5 B ．4.5C ．450D ． 4.510【答案】D【分析】1E 和2E ，根据题中条件，由对数的运算，计算12E E ，即可得出结果. 【详解】1E 和2E ，那么1lg 4.8 1.58E =+⨯，2lg 4.8 1.55E =+⨯， 所以1122lglg lg 4.5E E E E =-=，那么 4.51210EE =，即 4.51210E E =. 应选：D .5．()()612x x --展开式中3x 的系数为〔 〕 A ．80 B ．80-C ．400D ．400-【答案】C【分析】写出()62x -的展开项公式，然后将原式分解为()()6622x x x ---，计算可得结果.【详解】解：()62x -的展开式通项公式为()6162rr rr T C x -+=⋅⋅-那么含3x 的项为：()()()43423366212x C x C x ⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅-33=1516208x x ⨯⨯+⨯⨯ 3400x =.应选：C .【点睛】关键点点睛：解题的关键是熟练应用二项式定理求二项式乘积展开式的系数问题，属于根底题.6．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()ln f x x x =+，那么()3222,log 9,a f b f c f⎛⎫=-== ⎪⎝⎭的大小关系为〔 〕A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【答案】D【分析】又函数为偶函数可得a f=，根据解析式可判断()f x 在()0,∞+上为增29的大小即可判断.【详解】解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，那么332222a f f f⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x >时，()ln f x x x =+，可得()f x 在()0,∞+上为增函数，又由2203log 8log 9<=<，那么()232log 98f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故有b a c >>. 应选：D.7．F 是抛物线C ：22y px =的焦点，2x =-是抛物线C 的准线，点()0,N t 〔0t ≠〕连接FN 交抛物线C 于M 点，0MN MF +=，那么OFN △的面积为〔 〕A ．6B ．3C ．D ．【答案】D【分析】首先求出抛物线方程，进一步求出,M N 的坐标，最终求出答案. 【详解】∵2x =-是抛物线C 的准线， ∴4p =，抛物线为28y x = ∴(2,0)F∵0MN MF +=∴M 为NF 的中点，即M 的横坐标为14p=，代入28y x =，得到y =∴(1M∴N∴122OFN S =⨯⨯△. 应选：D.81的正方体1111ABCD A BC D -中，球1O 同时与以B 为公共顶点的三个面相切，球2O 同时与以1D 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E ，假设球1O ，2O 的半径分别为1r ，2r ，那么〔 〕A ．1OB = B ．126r r +=C D ．这两个球的外表积之和的最小值是4π 【答案】C【分析】首先求出1O B =和212,O D 以及1BD 12r r +=，进一步求出体积和外表积公式，最后逐项判断正确与否，得出结论.【详解】球1O 同时与以B 为公共顶点的三个面相切，以1O B 为对角线可构造一个正方体，边长为1r所以1O B ==同理212,O D =1BD =那么1211)1)3r r BD +==所以12r r += 故这两个球的体积之和为：33221212112244()()()33r r r r r rr r ππ+=+-+因为12r r +=，所以22212112212121212()()()()33)r r r rr r r r r r rr rr ⎡⎤+-+=++-=-⎣⎦21233()2r r +⎤≥-⨯=⎥⎦即33124()3r r π+≥，当且仅当 12r r ==时等号成立;这两个球的外表积之和22212124()4()32r r S r r πππ+=+≥= 当且仅当1232r r ==时等号成立 故A,B,D 项均错误. 应选：C.【点睛】此题难点在于根据题目条件求出12r r +，以及根本不等式中注意当且仅当的讨论.二、多项选择题9．m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，那么〔 〕 A ．假设m α⊥，n α⊥，那么//m n B ．假设//m α，//n α，那么//m n C ．假设//m α，m β⊥，那么αβ⊥ D ．假设αβ⊥，//m α，βn//，那么m n ⊥ 【答案】AC【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，假设m α⊥，n α⊥，根据线面垂直的性质，可得//m n ，所以A 正确；对于B 中，假设//m α，//n α，那么m 与n 平行、相交或异面，所以B 不正确； 对于C 中，假设//m α，m β⊥，结合面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，所以C 正确；对于D 中，假设αβ⊥，//m α，βn//，那么m 与n 平行、相交或异面，所以D 不正确. 应选：AC.10．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同〔晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度〕，二十四节气及晷长变化如下列图，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸〔一丈等于十尺，一尺等于十寸〕，那么以下说法正确的选项是〔 〕A ．小寒比大寒的晷长长一尺B ．春分和秋分两个节气的晷长相同C ．小雪的晷长为一丈五寸D ．立春的晷长比立秋的晷长长 【答案】ABD【分析】先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a 的根本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b 的根本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．【详解】解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{}n a ，其中115a =，13135a =，那么10d =，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{}n b ，其中1135b =，1315b =，那么10d '=-，故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，应选项A 正确； 因为春分的晷长为7b ，所以7161356075b b d '=+=-=， 因为秋分的晷长为7a ，所以716156075a a d =+=+=， 故春分和秋分两个节气的晷长相同，应选项B 正确； 因为小雪的晷长为11a ，所以1111015100115a a d =+=+=，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，应选项C 错误； 因为立春的晷长和立秋的晷长分别为4b ，4a ，所以413153045a a d =+=+=，41313530105b b d '=+=-=，所以44b a >，故立春的晷长比立秋的晷长长，应选项D 正确． 应选：ABD ．【点睛】关键点点睛：此题的解题关键是读懂题意，构造等差数列.此题考察了逻辑推理和转化化归能力，属于中档题.11．假设函数()()sin 2f x A x ϕ=+〔0A >，02πϕ<<〕的局部图像如下列图，那么以下表达正确的选项是〔 〕A ．,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图像的一个对称中心 B ．两数()f x 的图像关于直线3x π=对称C ．函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 的图像可由sin 2y A x =的图像向左平移12π个得到【答案】AD【分析】由()f x 的图象，求得函数的解析式()2sin(2)6f x x π=+，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数()()sin 2f x A x ϕ=+的图象，可得2A =，即()()2sin 2f x x ϕ=+，又由5()012f π=，根据五点对应法，可得522,12k k Z πϕππ⨯+=+∈， 解得2,6k k Z πϕπ=+∈，因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，所以()2sin(2)6f x x π=+，当12x π=-时，可得()012f π-=，所以,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，所以A 正确； 当3x π=时，可得()2sin(2)1336f πππ=⨯+=，所以3x π=不是函数()f x 的对称轴，所以B 不正确；由,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，可得52[,]626x πππ+∈-，此时函数()f x 先增后减， 即函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦先增后减，所以C 不正确； 由2sin 2y x =的图像向左平移12π个，可得2sin[2()2si ]12n(2)6y x x ππ=+=+，所以D 正确. 应选：AD.12．双曲线2222:1x y C a b-=〔0a >，0b >〕，1A ，2A 是其左、右顶点，1F ，2F 是其左、右焦点，P 是双曲线上异于1A ，2A 的任意一点，以下结论正确的选项是〔 〕 A ．122PF PF a -=B ．直线1PA ，2PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F △的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】ABC【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解.【详解】A ，根据双曲线方程以及双曲线的定义可得122PF PF a -=，所以A 正确； B ，设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 正确； C ，根据双曲线对称性分析：要使12PF F △为等腰三角形，那么12F F 必为腰， 在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-， 此时12PF F △为等腰三角形，也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P FF '为等腰三角形， 同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个，所以C 正确； D ，12120222A PA F PF π∠∠<<<， 设1PF m =，2PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=，那么()222224m n m n mn a -=+-=，①由余弦定理可得2221242cos c m n mn F PF =+-∠，② ②-①得，()21221cos 4FPF mn b -∠=，那么122121212sin 1sin 21cos PF F b F PF S mn F PF F PF ∆∠=∠=-∠ 212122122212sin cos 2222tan 2sin F b F P PF F PFb F P F F ∠∠⋅=∠=∠，所以D 不正确.应选：ABC【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对根底知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题的关键是能记住常见的二级结论，可以简化计算，考查了计算能力.三、填空题13．函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，那么13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】12-【分析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsin x f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：12-. 14．点(),a b 在直线44x y +=上，当0a >，0b >时，49a b+的最小值为______． 【答案】16【分析】根据题目可得44a b +=，利用根本不等式中“1〞的用法求出答案. 【详解】因为点(),a b 在直线44x y +=上， 所以44a b += 所以()4914911691443643616444b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当169b a a b =，即31,4a b ==时等号成立, 故49a b+的最小值为16. 故答案为：16.【点睛】根本不等式中“1〞的特殊用法是一种常见的题型，做题时尤其注意当且仅当的讨论.15．定义在R 上函数()()sin f x A x =+ωϕ〔0>ω〕振幅为2，满足212x x -=，且()()21f x f x ==()0,102上()f x 零点个数最少为______．【答案】16【分析】根据题意可得2A =，要使零点个数最少，周期需最大，12,x x 应为()y f x =与y =6π=ω，进而求出周期212T ωπ==，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，得出11021282T T ÷=+，即可求解.【详解】振幅为2，2A ∴=，212x x -=，()()21f x f x ==要使零点个数最少，周期需最大，12,x x 应为()y f x =与y =()()12sin 2sin x x ωϕωϕ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩()212333x x πππω⇒-=-=，212x x -=，6πω∴=， 由212T ωπ==，为了使区间零点最少，将第一个零点放在原点，11021282T T ∴÷=+，最后1个零点恰好在102x =处不在区间()0,102中，2816∴⨯=，所以()0,102上()f x 零点个数最少为16. 故答案为：16【点睛】关键点点睛：此题考查了由三角函数的性质求解析式，研究三角函数的性质、零点，解题的关键是由三角函数的性质求出6π=ω，确定212T ωπ==，考查了数学运算以及分析能力.四、双空题16．牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设r 是函数()y f x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值，过点()()(),n n x f x n *∈N 作曲线()y f x =的切线1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值，设()()3220f x x x x =+-≥的零点为r ，取00x =，那么r 的2次近似值为______：设()333222n nn n x x a n x *+=∈+N ，数列{}n a 的前n 项积为n T ．假设任意的n *∈N ，n T λ<恒成立，那么整数λ的最小值为______．【答案】452 【分析】利用导数求出直线1n l +的方程，可得出()3122132n n n x x x ++=+，结合00x =可求出2x的值，推导出1n n n x a x +=，可求得11n n T x +=，由条件可得出()11,2n T r→∈，由此可求得整数λ的最小值. 【详解】()322f x x x =+-，那么()232'=+f x x ，()232n n f x x '=+，所以，曲线()y f x =在点()()(),n n x f x n *∈N 处的切线方程为()()()322232n n n n y x x x x x -+-=+-，即()233222n n y x x x =+--， 由题意可知点()1,0n x +在直线()233222n n y x x x =+--上，所以，()3122132n n n x x x ++=+，00x =，那么11x =，245x =， ()()2313221n n nn n n x x x a x x ++==+，31211232341111n n n n n n x x x x x T a a a a x x x x x x +++∴==⋅⋅⋅⋅==， 因为函数()()3220f x x x x =+-≥的零点近似值为r ，且函数()f x 在[)0,+∞上为增函数， 因为111028f ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，()110f =>，由零点存在定理可知1,12r ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意可知，()1111,2n x r+→∈，故整数λ的最小值为2. 故答案为：45；2. 【点睛】关键点点睛：此题考查数列不等式恒成立问题，解题的关键在于利用导数求出切线方程，得出数列{}n x 的递推公式，利用数列{}n x 的递推公式求解.五、解答题17．向量(2sin m x =，()cos ,cos2x x n =，函数()f x m n =⋅， 〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔2〕ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其中7a =，假设锐角A 满足26A f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且sin sin B C +=，求b c +的值． 【答案】〔1〕最小正周期为π；单调递减区间()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；〔2〕13b c +=．【分析】〔1〕由向量数量积、二倍角和辅助角公式化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由2T ωπ=可得最小正周期；令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解不等式求得单调递减区间； 〔2〕根据2sin 26A f A π⎛⎫-==⎪⎝⎭A ，利用正弦定理可表示出b c +=)sin sin B C +，代入即可求得结果. 【详解】〔1〕()2sin cos 2sin 222sin 23f x m n x x x x x x π⎛⎫=⋅===+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期T π=；令()3222232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得：()71212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴的单调递减区间为()7,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 〔2〕由2sin 26A f A π⎛⎫-== ⎪⎝⎭sin A =，又A 为锐角，3A π∴=；sin sin sin a b c A B C ∴====，)sin sin 13b c B C ∴+=+==. 【点睛】方法点睛：求解正弦型函数()sin y A ωx φ=+的对称轴、对称中心和单调区间时，通常采用整体对应的方式，即令x ωϕ+整体对应sin y x =的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.18．青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时效劳中增设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%．为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：假设这10人中至少有2人到达优秀，那么认为该训练方式有效；否那么，那么认为该训练方式无效．〔1〕如果训练结束后有5人800米跑到达优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑到达优秀的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；〔2〕如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率p ，并根据p 的值解释该试验方案的合理性． 〔参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件〕 【答案】〔1〕分布列见解析；期望为1；〔2〕0.01p ≈；答案见解析．【分析】〔1〕根据题意，得到随机变量X 的所有可能取值，分别求得相应的概率，得出分布列，利用公式求得期望；〔2〕根据独立重复试验的概率计算公式，求得10中1人800米跑到达优秀、10中0人800米跑到达优秀的概率，结合概率得出结论.【详解】〔1〕由题意，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，可得()25210209C P X C ===，()1155210519C C P X C ===，()25210229C P X C ===， 所以X 的分布列如下：所以()0121999E X =⨯+⨯+⨯=． 〔2〕该训练方式无效的情况有：10中1人800米跑到达优秀、10中0人800米跑到达优秀，所以01090110101111110.015%22221024p C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=≈< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故可认为该训练方式无效事件是小概率事件，从而认为该训练方式有效，故该试验方案合理．【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值； 2、求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；4、假设随机变量X 的分布列为特殊分布列〔如：两点分布、二项分布、超几何分布〕，可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.19．数列{}n a 中，19a =-，且12n a +是2与n a 〔n *∈N 〕的等差中项． 〔1〕求数列{}n a 的前n 项和n G ；〔2〕设123n n T a a a a =⋅⋅⋅，判断数列{}n T 是否存在最大项和最小项？假设存在求出，不存在说明理由．【答案】〔1〕2210,51050,5n n n n G n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩；〔2〕不存在最小项，存在最大项；945．【分析】〔1〕由题知{}n a 是以9-为首项，公差为2的等差数列，进而分5n ≤和5n >两种情况讨论求解；〔2〕由〔1〕知数列{}n a 为递增数列，前5项为负数，第6项开始为正数，进而根据数列单调性求解.【详解】解析：〔1〕19a =-，由得12n n a a +=+，即12n n a a +-=， 故{}n a 是以9-为首项，公差为2的等差数列． 所以211n a n =-．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么()29211102n n n S n n -+-==-，故当5n ≤，210n n G S n n =-=-+，5n >，()()1256n n G a a a a a =-+-++-+++①，1256n n S a a a a a =++++++②，②-①得52n n S G S -=，所以2521050n n G S S n n =-=-+所以2210,51050,5n n n n G n n n ⎧-+≤=⎨-+>⎩．〔2〕数列{}n a 为9,7,5,3,1,1,3,5,,211,n -----⋅⋅⋅-⋅⋅⋅． 所以数列{}n a 为递增数列，前5项为负数，第6项开始为正数，又12n n T a a a =⋅⋅⋅，所以当5n ≥时，0n T <且数列{}n T 递减，故数列{}n T 不存在最小项．又数列{}n T 中只有有限项正项，所以数列{}n T 中存在最大项，()()()()49753945T =-⨯-⨯-⨯-=．【点睛】此题考查等差数列的定义，前n 5n ≤和5n >两种情况讨论求解.20．如图，在多面体ABCDE 中，四边形BCDE 是矩形，ADE 为等腰直角三角形，且90ADE ∠=︒，122AB AD ==，2BE =．〔1〕求证：平面ADE ⊥平面ABE ；〔2〕线段CD 上存在点P ，使得二面角P AE D --的大小为4π，试确定点P 的位置并证明．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕点P 为线段CD 的中点；证明见解析． 【分析】〔1〕由AE BE ⊥和DE BE ⊥可得BE ⊥平面ADE ，进而由BE ⊂平面ABE 可证得平面ADE ⊥平面ABE ；〔2〕建立空间直角坐标系，根据线段长度求出所需点的坐标，设(),,P x y z ，根据点P 在线段CD 上，可设DP λDC λEB ==，进而用λ表示出点P 的坐标，然后求出平面PAE 和平面AED 的法向量，用空间向量的夹角可列方程，求解即可确定P 的位置.【详解】〔1〕证明：由，等腰直角三角形ADE 中2AD =，得2AE =， 222BE AB ==222AE BE AB +=，因此AE BE ⊥， 又DE BE ⊥，AE DE E =，可得BE⊥平面ADE ，又BE ⊂平面ABE ，所以平面ADE ⊥平面ABE ．〔2〕点P 为线段DC 的中点，使得二面角P AE D --为大小为4π， 以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，过E 作平面ABE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，那么()0,0,0E ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，易得()1,0,1D ， 设(),,P x y z ，由DP λDC λEB ==，()0,1λ∈ 即()()1,,10,2,0x y z λ--=，得()1,2,1P λ． 设平面AEP 的一个法向量为()1111,,n x y z =， 那么1100EA n EP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112020x x y z λ=⎧⎨++=⎩，不妨设11y =，取()10,1,2n λ=-．平面ADE 的一个法向量为()20,1,0n = 因为二面角P AE D --的大小为4π于是1222cos cos ,42114πn λn ===⨯+．解得12λ=或12λ=-〔舍去〕． 所以当点P 为线段CD 的中点时，二面角P AE D --的大小为4π． 【点睛】利用向量解二面角问题时需要注意：(1)求解此题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，那么二面角θ与,m n <>互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．21．椭圆2222:1x y C a b+=〔0a b >>〕经过点)2,1P，且离心率为22．O ：222x y r +=的任意一切线l 与椭圆交于A ，B 两点．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕是否存在O ，使得0OA OB ⋅=，假设存在，求AOB 的面积S 的范围；不存在，请说明理由．【答案】〔1〕22142x y +=；〔2〕存在；43S ⎡∈⎢⎣． 【分析】〔1〕根据离心率及过点)P求出2a ，2b 即可求出椭圆方程；〔2〕首先要分直线l 的斜率存在与不存在这两种情况，再分别根据各情况求面积即可.【详解】〔1〕因为椭圆2222:1x y C a b +=〔0a b >>〕的离心率e =且过点)P．所以22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．〔2〕假设存在O ：222x y r +=满足题意，①切线方程l 的斜率存在时，设切线方程l ：y kx m =+与椭圆方程联立，22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，()222214240k x kmx m +++-=〔〕 设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意知，〔〕有两解所以()()()222Δ4421240km k m =-+->，即22420k m -+>对〔〕应用根与系数的关系可得 122421km x x k -+=+，21222421-=+m x x k 所以()()2212122421m k y y kx m kx m k -=++=+ 因为0OA OB ⋅=，所以12120x x y y +=，即22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++ 化简得223440m k --=，且21m >，O 到直线l的距离d r ==所以()2222431m r k ===+，又222r b ≤=，所以满足题意所以存在圆的方程为O：224 3x y+=．AOB的面积12s AB r =，又因为12AB x=-==当0k≠时AB=≤当且仅当2214kk=即2k=±时取等号．又因为20k>，所以3AB>，所以3AB<≤当0k=时，3AB=②斜率不存在时，直线与椭圆交于,33⎛±⎝⎭两点或33⎛-±⎝⎭两点．易知在圆的方程为O：2243x y+=且3AB=．AB≤≤43s⎡∈⎢⎣．【点睛】关键点睛：解决此题的关键一是要分类讨论，二是判断圆的存在性，二是准确的计算.22．函数()311ln62x ax xf x a x⎛⎫=+-+⎪⎝⎭．〔1〕假设0a≥讨论()f x的单调性；〔2〕当1a≥-时，讨论函数()f x的极值点个数．【答案】〔1〕增区间为()1,+∞，减区间为()0,1；〔2〕答案见解析．【分析】〔1〕求得()211ln22x a xf x=+-'，令()()g x f x'=，可得()2xxaxg='+，求得函数()g x 的单调性，结合()10f '=，结合()f x '的符号，即可求解； 〔2〕①当0a ≥时，由〔1〕得到()f x 只有一个极值点；②当10a -≤<时，由()0g x '=，求得x =1a =-和10a -<<分类讨论，结合单调性与最值，即可求解. 【详解】〔1〕由题意，函数()311ln 62x ax x f x a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭定义域为()0,∞+， 可得()211ln 22x a x f x =+-'， 令()()g x f x '=，可得()2a x ax x g x x+'+==，因为0a ≥所以()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上为增函数，又因为()10f '=，所以()0,1x ∈，()0f x '<，()1,x ∈+∞，()0f x '>， 所以()f x 的增区间为()1,+∞，()f x 的减区间为()0,1．〔2〕①当0a ≥时，由〔1〕可知()f x 在()0,∞+上有唯一极小值()1f ， 所以极值点个数为1个．②当10a -≤<时，那么()20ax x xg +'==，得x =当(x ∈时，()0g x '<，)x ∈+∞时，()0g x '>，所以()min1ln 22a g g x a ==-+-，令()1ln 22a a h a =-+-，()()1ln 2h a a ='-．因为10a -≤<，所以()0h a '<，即()h a 在()1,0a ∈-上单调递减， 所以()()max 10h a h =-=，所以〔ⅰ〕当1a =-时，()()min 10g x h =-=，在()0,∞+上()0g x ≥恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，所以()f x 无极值点．〔ⅱ〕当10a -<<时，01a <-<，()0h a <，即()min 0g x <易知20ae <<24241113ln 02222a a a a g e e a e e ⎛⎫=+-=+> ⎪⎝⎭所以存在唯一20a x e ⎛∈ ⎝使得()00g x =，且当00x x <<时，()0g x >，当0x x <<()0g x <，那么()f x 在0x x =处取得极大值；又()10g =1x <时，()0g x <，当1x >时，()0g x >， 即()f x 在1x =处取得极小值；故此时极值点个数为2，综上所述：当1a =-时，()f x 的极值点个数为0；当10a -<<时，()f x 的极值点个数为2；当0a ≥时，()f x 的极值点个数为1．【点睛】函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：()f x 中别离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；。
山东省日照市高三数学5月校际联合检测试题 理(日照二
2014年高三校际联合检测理 科 数 学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II 卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式： 锥体的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
球的体积公式：343V R π=，其中R 是球的半径。
第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于 A. M N ⋃ B. M N ⋂C. ()U C M N ⋂D. U M C N ⋂2.如果复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，那么b 等于B. 23C. 23- D. 23. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan a c b B +-=，则角B 的值为 A.6πB.3π C.566ππ或D.233ππ或5.已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相同，则,a b 的值为 A.1,3a b ==B.3,1a b ==C.4,3a b =-=D.3,4a b ==-6.已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为7.已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为3y x =±，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于 A.12B.22C.32D.18. 三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为 A.211 B. 42C. 38D. 1639. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A.17 B.16C.15D.1410.设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()212xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，若在区间()2,6-内，函数()()()log 2,0,1a y f x x a a =-+>≠恰有1个零点，则实数a 的取值范围是A. ()1,4B.()4,+∞C. ()1,14,4⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭D. ()()0,11,4⋃第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在()2012x-的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.12.阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为____________. 13.在Rt ABC ∆中，,,126C B CA ππ∠=∠==，则2AC AB -=u u u r u u u r____________.14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________. 15.已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =⋅⋅⋅≥∈.如果A 中元素()11,2,3,,a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1515,⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >； ③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”；④若*i a R ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间；（II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，若()41,cos 5f A B ==，求sinC 的值.17.（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，等比数列{}n b 满足112253,,.a b a b a b ===（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 对任意*n N ∈均有12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅+=，求数列{}n c 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=o，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a . （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）求二面角B —EF —D 的平面角的余弦值.19.（本小题满分12分）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下统计表：（I ）求a ，b 的值，并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”所占比例；（II ）从年龄段在[)[)35,404045与，的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.（i ）已知选取2人中1人来自[)3540，中的前提下，求另一人来自年龄段[)4045，中的概率；（ii ）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.20.（本小题满分13分）已知定点()01:1F l y =-，和直线，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E.（I ）求曲线E 的方程；（II ）若点A 的坐标为()()12,1:1,0l y kx k R k =+∈≠，直线，与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.21.（本小题满分14分）已知()axe f x x=，其中e 为自然对数的底数.（I ）若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（II ）当12a =时，求函数()[](),10f x m m m +>在上的最小值； （III ）求证：()1172nii e i =<⋅∑.2014届高三二轮模拟考试理科数学参考答案及评分标准2014-5说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
山东省日照市高考数学5月份模拟试卷
山东省日照市高考数学5月份模拟试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共14分)1. （1分） (2017高一上·上海期中) 已知A={x| ＞x}，B={x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A∩B=________．2. （1分）(2017·南京模拟) 若函数是偶函数，则实数a的值为________．3. （1分）(2017·奉贤模拟) 已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=________．4. （1分） (2017高三上·常州开学考) 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为________．5. （1分） (2016高二下·吉林期中) 从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试，则选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为________．6. （1分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 双曲线（a＞0）的一条渐近线方程为y= x，则a=________．7. （1分） (2018高一下·长阳期末) 在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第行第列的数是________.8. （1分）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为________9. （1分） (2016高三上·大连期中) 已知函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则m2+ n的最小值为________．10. （1分）(2017·南昌模拟) 四面体ABCD的四个顶点均在半径为2的球面上，若AB，AC，AD两两垂直，，则四面体ABCD体积的最大值为________．11. （1分） (2017高二上·越秀期末) 已知F1、F2是椭圆 =1的焦点，点P在椭圆上，若∠F1PF2=，则△F1PF2的面积为________．12. （1分） (2016高一上·嘉兴期末) 已知定义在R上的偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=0.001x ，则=________．13. （1分）(2017·江西模拟) 设△AnBnCn的三边长分别为an ， bn ， cn ， n=1，2，3…，若b1＞c1 ，b1+c1=2a1 ， an+1=an ， bn+1= ，cn+1= ，则∠An的最大值是________．14. （1分） (2019高三上·北京月考) 设函数，，若函数恰有三个零点，则的取值范围是________．二、解答题 (共12题；共105分)15. （5分）(2017·合肥模拟) 已知，，函数f（x）= ．（Ⅰ）求函数y=f（x）图象的对称轴方程；（Ⅱ）若方程f（x）= 在（0，π）上的解为x1 ， x2 ，求cos（x1﹣x2）的值．16. （15分） (2018高二上·定远期中) 如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点，（1）证明：；（2）求异面直线与所成的角；（3）证明：平面平面。
山东省日照市高三下学期数学5月校际联合考试试卷附解析
高三下学期数学5月校际联合考试试卷一、单项选择题1.设集合，，那么〔〕A. B. C. D.z满足，那么的实部与虚部之和为〔〕A. -1B. 1C. -2D. 33.假设为第二象限角，那么〔〕A. B. C. D.4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量〔单位：焦耳〕与地震里氏震级之间的关系为.据此推断2021年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的〔〕倍.A. B. 4.5 C. 450 D.5.展开式中的系数为〔〕A. 80B. -80C. 400D. -4006.函数是定义在上的偶函数，当时，，那么的大小关系为〔〕A. B. C. D.7. 是抛物线：的焦点，是抛物线的准线，点〔〕连接交抛物线于点，，那么的面积为〔〕A. 6B. 3C.D.8.在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，假设球，的半径分别为，，那么〔〕A. B.C. 这两个球的体积之和的最小值是D. 这两个球的外表积之和的最小值是二、多项选择题9. ，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，那么〔〕A. 假设，，那么B. 假设，，那么C. 假设，，那么D. 假设，，，那么10.我国天文学和数学著作?周髀算经?中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同〔晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度〕，二十四节气及晷长变化如下列图，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸〔一丈等于十尺，一尺等于十寸〕，那么以下说法正确的选项是〔〕A. 小寒比大寒的晷长长一尺B. 春分和秋分两个节气的晷长相同C. 小雪的晷长为一丈五寸D. 立春的晷长比立秋的晷长长11.假设函数〔，〕的局部图像如下列图，那么以下表达正确的选项是〔〕A. 是函数图像的一个对称中心B. 两数的图像关于直线对称C. 函数在区间上单调递增D. 函数的图像可由的图像向左平移个单位得到12.双曲线〔，〕，，是其左、右顶点，，是其左、右焦点，是双曲线上异于，的任意一点，以下结论正确的选项是〔〕A. B. 直线，的斜率之积等于定值C. 使得为等腰三角形的点有且仅有8个D. 的面积为三、填空题13.函数，那么________．14.点在直线上，当，时，的最小值为________．15.定义在上函数〔〕振幅为2，满足，且．那么上零点个数最少为________．16.牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，设的零点为，取，那么的2次近似值为________：设，数列的前项积为．假设任意的，恒成立，那么整数的最小值为________．四、解答题17.向量，，函数，〔1〕求函数的最小正周期和单调递减区间；〔2〕的内角的对边分别为，其中，假设锐角满足，且，求的值．18.青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时效劳中增设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%．为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：假设这10人中至少有2人到达优秀，那么认为该训练方式有效；否那么，那么认为该训练方式无效．〔1〕如果训练结束后有5人800米跑到达优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑到达优秀的人数为，求的分布列及数学期望；〔2〕如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性．〔参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件〕19.数列中，，且是与〔〕的等差中项．〔1〕求数列的前项和；〔2〕设，判断数列是否存在最大项和最小项？假设存在求出，不存在说明理由．20.如图，在多面体中，四边形是矩形，为等腰直角三角形，且，，．〔1〕求证：平面平面；〔2〕线段上存在点，使得二面角的大小为，试确定点的位置并证明．21.椭圆〔〕经过点，且离心率为．：的任意一切线与椭圆交于，两点．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕是否存在，使得，假设存在，求的面积的范围；不存在，请说明理由．22.函数．〔1〕假设讨论的单调性；〔2〕当时，讨论函数的极值点个数．答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】∵，∴，因此，即。
山东省日照市2020届高三数学5月校际联合考试试题 文(含解析)
2020年山东省日照市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.己知2(,)a ib a b ii R R +=∈∈+，则a b +=（ ） A. 1- B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数相等的条件列式求解． 【详解】由2a ib i i+=+, 得a+2i=-1+bi ， ∴a=-1，b=2，则a+b=1． 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．2.已知集合{}{}1,0,1,2,|1A B x x =-=≥，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. {}1-B. {}0C. {}1,0-D. {}1,?01-， 【答案】C 【解析】 【分析】由Venn 图得阴影部分表示为集合A∩∁R B ，根据集合运算关系进行计算即可． 【详解】阴影部分表示为集合A∩∁R B ， 则∁R B={x|x ＜1}， 则A∩∁R B={-1，0}， 故选：C ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn 图表示集合关系是解决本题的关键．3.抛物线2x 4y =的准线方程是 （ ） A. y 1=- B. y 2=- C. x 1=- D. x 2=-【答案】A 【解析】 【分析】由2x 2py(p 0)=>的准线方程为p y 2=-，则抛物线2x 4y =的准线方程即可得到． 【详解】解：由2x 2py(p 0)=>的准线方程为p y 2=-，则抛物线2x 4y =的准线方程是y 1=-， 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．4.在平面直角坐标系xOy 中，12P ⎛ ⎝⎭是角α终边上的一点，则sin2α=（ ）A.12C. 12-D. -【答案】B 【解析】 分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【详解】因为12P ⎛ ⎝⎭是角α终边上的一点，所以由三角函数定义得1sin 2y x r r αα====，所以sin 22sin cos ααα==故选：B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式，属于基础题．5.已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（ ） A. 8- B. 6-C. 10D. 0【答案】D 【解析】 【分析】由a 1，a 3，a 4成等比数列，可得}6,5{=a 1a 4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴}6,5{=a 1a 4， ∴21(22)a +⨯=a 1•（a 1+3×2）， 化为2a 1=-16， 解得a 1=-8． ∴则S 9=-8×9+982⨯ ×2=0， 故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2020年9月到2020年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 【答案】D 【解析】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强。
XX日照市高三数学5月校际联考试题(文附答案)
XX日照市高三数学5月校际联考试题（文附答案）高三校际联合考试文科数学XX.05本试卷共6页，满分150分。
考生注意：．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
．设集合A．[1，2]B．c．{1}D．{l，2}．若复数在复平面内对应的点关于y轴对称，且，则复数A．B．1c．D．．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A．2B．3c．10D．15．将函数的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则的一个可能取值为A.B.c.0D.已知点F为双曲线的一个焦点，则点F到c的一条渐近的距离为A.2B.4c.D.若满足，则A.B．c．D．．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力，绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A表示甲的创造力指标值为4，点B表示乙的空间能力指标值为3，则下面叙述正确的是A．乙的记忆能力优于甲的记忆能力B．乙的创造力优于观察能力c．甲的六大能力整体水平优于乙D．甲的六大能力中记忆能力最差．已知直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条c．充要条件D．既不充分也不必要条如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为A.B.c.D.0．某数学爱好者编制了如图的程序框图，其中od表示除以n的余数，例如od=1．若输入的值为8，则输出i的值为A．2B．3c．4D．51．已知，，直线l是的公切线，则直线l的方程为A.B.c.D.．已知中，，P为线段Ac上任意一点，则的范围是A．[1，4]B．[0,4]c．[－2,4]D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省日照市高三五月统一质量检测考试数学(理)试题(解析版).docx
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{}{}{}{}12345672346=1451,5U M N ==，，，，，，，，，，，，，，则等于（ ） A. M N ⋃B. M N ⋂C. ()U C M N ⋂D. U M C N ⋂2. 如果复数()2,12bib R i i-∈+为虚数单位的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A. 2B. 23C. 23- D. 23. 设,a b R ∈，则“()20a b a -<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若2()0a b a -<，则知0,a ≠即20,a >所以0,a b -<即a b <；令0,1a b ==，满足a b <，但2()0a b a -=.所以2()0a b a -<是a b <的充分而不必要条件. 选A .考点：充要条件.4. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若()222tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ） A.6πB.3π C.566ππ或D.233ππ或5. 已知不等式21x ->的解集与不等式20x ax b ++>的解集相同，则,a b 的值为（ ） A.1,3a b ==B.3,1a b ==C.4,3a b =-=D. 3,4a b ==-6. 已知函数()()1ln 1f x y f x x x ==--，则的图象大致为（ ）【答案】A【解析】(0,1)(1,)x ∈+∞，1y x =-的图象始终位于ln y x =的图象的上方，所以函数值为正数，排除,B D 当取212x e x e =<=时，12()()f x f x >，排除C . 选A .考点：函数的图象.7. 已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为3y x =±，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ） A.12B.22C.32D.18. 三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A.211B. 42C. 38D. 1639. 如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为（ ）A.17 B.16 C.15D.14【答案】B【解析】由图可知阴影部分面积11()6S x xd x =-=⎰由几何概型可知概率为16. 选B .考点：定积分的应用，几何概型.10. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()[]222,0f x f x x +=-∈-，当时，()212xf x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，若在区间()2,6-内，函数()()()log 2,0,1a y f x x a a =-+>≠恰有1个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,4B.()4,+∞C. ()1,14,4⎛⎫⋃+∞⎪⎝⎭D. ()()0,11,4⋃第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11. 在()2012x -的展开式中，系数为有理数的项共有___________项.【答案】11【解析】由通项公式可知0,2,4,6,,20r =共11项.考点：二项式定理.12. 阅读如图所示的程序框图，若输入5i =，则输出的k 值为____________.13. 在Rt ABC ∆中，,,126C B CA ππ∠=∠==，则2AC AB -=____________.【答案】2【解析】22|2|4||||42A C A B A C A B A C A B -=+-⋅=. 考点：平面向量的数量积、模、夹角.14.在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =.推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =___________.15. 已知有限集{}()123,,,,2,n A a a a a n n N =⋅⋅⋅≥∈.如果A 中元素()11,2,3,,a i n =⋅⋅⋅满足1212n n a a a a a a ⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1515,22⎧⎫-+--⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是“复活集”；②{}1212,,,a a R a a ∈若且是“复活集”，则124a a >； ③{}*1212,,,a a N a a ∈若则不可能是“复活集”； ④若*i a R ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是___________.（填上你认为所有正确的结论序号）事实上，()()()()22n 1!n 1n 2n 3n 2n 22n 2-≥--=-+=--+>，矛盾，∴当n 4≥时不存在复活集A ，故④正确．答案为①③④考点：新定义，集合的概念，集合的关系，阶乘.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间； （II ）已知ABC ∆的内角分别是A ，B ，C ，若()41,cos 5f A B ==，求sinC 的值.由周期12πππ,2362T =-=得2,T πωπ==所以.2=ω当6x π=时，1)(=x f ，可得s i n(2)1.6ϕπ⋅+= 因为,2ϕπ<所以6=ϕπ故()s i n (2).6f xx π=+17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，等比数列{}n b 满足112253,,.a b a b a b ===（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设数列{}n c 对任意*n N ∈均有12112n n nc c c a b b b +++⋅⋅⋅+=，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）21n a n =-， 13n n b -=； （Ⅱ） 3.nn S =.【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知可首先求得2d =，进一步得21n a n =-；根据22353,9,b a b a ====得到113,1,3.n n q b b -===（Ⅱ）从1212…12112n n nc c c a b b b ++++=①出发，得到1123c b a ==， 再据12112n n n c c c a b b b ++++=…+112121(2)n n n c c c a n b b b --++=≥ ② ①-②，得12nn n n c a a b +=-=, 从而可得13(1)23(2)n n n c n -=⎧=⎨⋅≥⎩， 从第二项起利用等比数列的求和公式.试题解析： (Ⅰ)由题意251,14,a d a d =+=+且125,,a a a 成等比数列，2(1)14,d d ∴+=+又0d ≠，2d =， 1(1)21.na nd n ∴=+-=- 又223,b a ==13, 3.n n q b -∴== ………………………………5分考点：等差数列、等比数列的通项公式，数列的求和.18.（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD=DC=CB=a ，60ABC ∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE=a. （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）求二面角B —EF —D 的平面角的余弦值.【答案】（I ）见解析；（II ）1010.B C ∴⊥平面AC F E ……………5分 （Ⅱ）由(Ⅰ)知,以点C 为原点，,,C A C B C F所在直线为,,x y z 坐标轴,建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(0,,0),(3,0,0),C B a A a31(,,0),(0,0,),(3,0,)22a D a F a E a a -CABFEHG D19.（本小题满分12分）“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[]25,55岁的人群中随机抽取n 人进行了一次调查，得到如下统计表：（I ）求a ，b 的值，并估计本社区[]25,55岁的人群中“光盘族”所占比例；（II ）从年龄段在[)[)35,404045与，的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队.（i ）已知选取2人中1人来自[)3540，中的前提下，求另一人来自年龄段[)4045，中的概率； （ii ）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）.计算条件概率为11352821133528()5(/).()6C C C P A B P B A=C CC P A C ⋅==+ （ⅱ）设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75,80,85.计算以下概率即得.211252223155(75)(80)(85).282814335888C C C C P =P =P =C C C ξξξ⋅======，，211252223155(75)(80)(85).282814335888C C C C P =P =P =C C C ξξξ⋅======，， ξ75 80 85P3281528514所以 315575808581.25.282814E ξ=⨯+⨯+⨯= ……………12分 考点：条件概率，频率分布表，离散型随机变量的分布列及数学期望.20.（本小题满分13分）已知定点()01:1F l y =-，和直线，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；（II ）若点A 的坐标为()()12,1:1,0l y kx k R k =+∈≠，直线，与曲线E 相交于B ，C 两点，直线AB ，AC 分别交直线l 于点S ，T.试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.得到点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 得到2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==.设线段S T 的中点坐标为()0,1x -，而()()()1212124418822222222xx x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k ++=-=-=-+++.故以线段S T 为直径的圆的方程为()2222114x y S T k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=.令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-.令1y =-，得1822x x =-+， ∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ∴()()()121212888222222x x S T x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x x x x x x k k ---===+++. ∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x kkk+-+-==. ……………8分设线段S T 的中点坐标为()0,1x -，21. （本小题满分14分）已知()axe f x x=，其中e 为自然对数的底数.（I ）若()f x 是增函数，求实数a 的取值范围；（II ）当12a =时，求函数()[](),10f x m m m +>在上的最小值； （III ）求证：()1172nii e i e=<⋅∑. 【答案】（Ⅰ）实数a 的取值范围是[1,)+∞.（Ⅱ）当0m <≤1时，12m i n e()(1)1m f x f m m +=+=+； 当12m <<时，m i n e ()(2)2f x f ==； 当2m ≥时，2m in e()()m f x f mm==. （Ⅲ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知'()f x =2(1)(0a x a x e e a x x x-')=≥在[1,)+∞上恒成立. 根据20,0a x e x >>，知10a x -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x ≥在[1,)+∞上恒成立. 只需求[1,)x ∈+∞时，1x的最大值.2e <2222111(1)21311e n <++++--- 2e =21111111111[1(1)]232435211e n n n n =+-+-+-++-+---+ 2e =21111[1(1)]221e n n=++--+ 试题解析：（Ⅰ）由题意知'()f x =2(1)(0a x a xe e a x x x-')=≥在[1,)+∞上恒成立. 又20,0a x e x >>，则10a x -≥在[1,)+∞上恒成立， 即1a x≥在[1,)+∞上恒成立. 而当[1,)x ∈+∞时，max 1()1x=，所以1a ≥，于是实数a 的取值范围是[1,)+∞. ………………………………4分（Ⅱ）当12a =时，则2'2e (1)2()xx f x x-=.当102x ->，即2x >时，'()0f x >； 当1002xx -<≠且，即202xx <<<或时，'()0f x <. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当0x >时，2e e ()2xf x x =≥，所以22(0),ee x x x ≤> 可得22112e (e )(e )n nn n n n =≤⋅………………………………11分 于是211111(e )e 2(e )(e )ni n i i n ==+++∑2e ≤2222111(1)23e n ++++≤ 2e <2222111(1)21311e n <++++--- 2e=21111111111[1(1)]232435211e n n n n =+-+-+-++-+---+2e=21111[1(1)]221e n n =++--+ 277e 42e<⋅= ……………………………………14分 考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值、证明不等式，“裂项相消法”求和，“放缩法”，转化与化归思想，分类讨论思想.。
山东省日照市高三数学5月阶段训练(日照二模)B卷 理 新人教B版
高三阶段训练理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：柱体的体积公式：Sh V =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高；锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高； 圆柱的侧面积公式：cl S =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长；如果事件B A ,互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+； 如果事件B A ,，那么)()()(B P A P AB P ⋅=第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知复数)1(i i bi a -=+（其中R b a ∈,，i 是虚数单位），则b a +的值为（A ）-2 (B)-1 (C)0 (D)2 (2)已知全集R U =，函数11+=x y 的定义域为集合A ，函数)2(log 2+=x y 的定义域为集合B ，则集合B A)(C u ⋂=（A ）（-2，1） （B ）（-2，-1］ （C ）（2,-∞-） （D ）（-1，+∞） （3）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（A ）3x x y += （B ）xy 3= （C ）x y 2log -= （D ）xy 1=（4）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （5）已知函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f y =的图象可由函数x y sin =的图象（纵坐标不变）作下述变换得到（A ）先把各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移12π个单位 （B ）先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位 （C ）先把各点的横坐标缩短到原来的21倍，再向右平移6π个单位 （D ）先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位（6）有6个人站成前后两排，每排3人，若甲、乙两人左右前后均不相邻，则不同的站法种数为 （A ）240 （B ）384 （C ）480 （D ）768（7）若实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+10,01,0x y x y x 则|3|y x -的最大值为（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 （8）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积、表面积为 （A)7314,33++-+ππ (B)734,32+++ππ (C ）7314,33++++ππ （D ）7313,332++-+ππ (9)已知a 是实数，则函数1sin )(+=ax a x f 的图象不．可能是（10）已知函数⎩⎨⎧>-≤+-=,1,1,1,)(2x ax x ax x x f 若2121,x x R x x ≠∈∃，使得)()(21x f x f =成立，则实数a 的取值范围是（A ）（-2，2） （B ）),2()2,(+∞⋃--∞ （C ）)2,(-∞ （D ）]2,(-∞（11）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两渐近线与圆2)2(22=+-y x 相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（A ）),2(+∞ （B ）（1，2） （C ）（1，2） （D ）（+∞,2）（12）已知定义在R 上的函数)(x f y =满足)()2(x f x f =+当11≤<-x 时，3)(x x f =，若函数||log )()(x x f x g a -=至少有6个零点，则a 的取值范围是（A ）（1，5） （B ）（0，),5[]51+∞⋃ （C ）（0，),5[)51+∞⋃ （D ）]5,1()1,51[⋃ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. （13）若⎰>+=+aa dx xx 1)1(2ln 3)12(则a 的值是 .（14）在ABC ∆中，已知内角3π=A ，边32=BC ，则ABC ∆的面积S 的最大值为 .（15）设命题p ：非零向量||||,,b a b a =是)()(b a b a -⊥+的充要条件：命题q ：平面上M 为一动点，C B A ,,三点共线的充要条件是存在角α，使22MA sin MB cos MC αα=+ ，下列命题①q p ∧；②q p ∨③q p ∧⌝；④q p ∨⌝.其中假．命题的序号是 .（将地热异常有假命题的序号都填上） （16）两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11=a ，第2个五角形数记作52=a ，第3个五角形数记作123=a ，第4个五角形数记作224=a ，……，按此规律继续下去，若145=n a ，则=n .三、解答题：本大题共6小题，共74分。
2021届山东省日照市高三第二次模拟考试数学试题(解析版)
2021届山东省日照市高三第二次模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}251,4A x x B x x =-<<=≤则A B =（ ）A ．()2,3B ．[)2,3C ．[)2,1- D ．()2,1-【答案】C【分析】解出集合B 的解集，按照交集定义求得交集即可. 【详解】{}24[2,2]B x x =≤=-，则[2,1)A B ⋂=- 故选：C2．已知i 为虚数单位，复数77sin cos 66z i ππ=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据三角函数的诱导公式，求得复数12z =-，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由717sinsin()sin ,cos cos()cos 66626662ππππππππ=+=-=-=+=-=-即复数771sincos 6622z i ππ=-=-+，所以复数对应的点为1(2-位于第二象限. 故选：B 3．已知2,4a b ==，当()4b a b ⊥-时，向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．4π C ．23π D ．34π 【答案】B【分析】由()4b a b ⊥-得()40b a b -=，从而可求a b ，然后根据向量夹角公式可解.【详解】解：()4b a b ⊥-，2,4a b ==，()40b a b ∴-=，即22440a b b a b b -=-=，4a b ∴=，2cos ,224a b a b a b∴<>===⨯， 所以向量a 与b 的夹角为4π， 故选：B.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）A 3B 3C ．12sin θD ．12cos θ【答案】A【分析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长AB a ，底面内切圆半径OC r =，2ASB θ∠=,则OAB 是等边三角形，3sin 60r a ==，侧面SAB 中，2sin a b θ=， 3sin r b θ∴=，即33sin b r θ==.故选：A5．已知数列{}n a 是等比数列，n T 是其前n 项之积，若567a a a ⋅=，则7T 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】A【分析】先设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，得到41a =，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为数列{}n a 是等比数列，设公比为q ，由567a a a ⋅=得456111a q a q a q ⋅=，即311a q =，即41a =，由等比数列的性质可得，77123456741T a a a a a a a a ===.故选：A6．若实数x y 、满足条件221x y +=，则21y x -+的范围是（ ） A ．2⎡⎣B ．[]3,5-C ．(],1-∞-D ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】21y x -+的几何意义即圆上的点(,)x y 到定点(1,2)-的斜率，求得斜率取值范围即可. 【详解】21y x -+的几何意义即圆上的点(,)x y 到定点(1,2)-的斜率，由图知，斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间，其中AC 斜率不存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为(1)22y k x kx k =++=++，2211k k +=+，解得34k =-，故21y x -+的取值范围为3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，故选：C【点睛】方法点睛：根据21y x -+的几何意义即点(,)x y 到(1,2)-的斜率，从而转化为斜率范围进行求解.7．地铁某换乘站设有编号为1m ，2m ，3m ，4m 的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号1m ，2m 2m ，3m3m ，4m1m ，3m疏散乘客时间（s ）120 140190160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．1m B ．2mC ．3mD ．4m【答案】B【分析】先求出1m 比3m 快，再求出1m 比4m 快，然后求出2m 比1m 快，即可得2m 是疏散乘客最快的一个安全出口.【详解】同时开放1m ，2m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为120（s ），同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为140（s ），得1m 比3m 快； 同时开放3m ，4m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为190（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得1m 比4m 快，同时开放2m ，3m 两个安全出口，疏1000名乘客需要时间为140（s ），同时开放1m ，3m 两个安全出口，疏散1000名乘客需要时间为160（s ），得2m 比1m 快，综上所述：疏散乘客最快的一个安全出口的编号是2m ， 故选：B【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，考查推理论证能力，属于基础题.8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()1f x -是奇函数，当01x ≤≤时，有()21f x x =-，若函数()()1y f x k x =--的零点个数为5，则实数k 取值范围是（ ） A ．1152k << B ．1163k << C ．32124k <<或612k =- D ．36312k -<<-或63123k <<【答案】C【分析】依据题干可知函数()f x 的周期为4，数形结合结合进行判断即可. 【详解】∵偶函数()f x ，∴()()f x f x -=，()1f x -是奇函数，得()()11f x f x -=---，即()()2f x f x =---，()()2f x f x ---=-，得4T =， 函数()()1y f x k x =--的零点个数 即方程()()10f x k x --=根的个数即()y f x =与()1y k x =-的图像交点的个数， 因为()21f x x =-的图像为半圆，因为4T =如图所示：故由图像可知斜率k 应该在1k 与2k 之间或为3k ， 点()4,0到直线1l 的距离为123211k k k =⇒=+（24k =-舍）点()8,0到直线2l 的距离为11k =⇒=（12k =-舍） 点()6,0到直线3l 的距离为11k =⇒=（k =舍）k <<或k =， 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题画出图象是是解题的关键同时找到直线与曲线交点个数的零界情况.二、多选题9．已知曲线C 的方程为()22113x y m R m m+=∈+-，则（ ）A ．当1m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3y x =± C ．当1m 时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆 D ．存在实数m 使得曲线C【答案】AB【分析】满足选项A ，B ，C ，D 的条件，逐一分析曲线C 的方程并判断得解.【详解】对于A 选项：m =1时，方程为22122x y +=，即222x y +=，曲线C 是圆，A 正确；对于B 选项：m =5时，方程为22162x y -=，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y x =，B 正确； 对于C 选项：m >1时，不妨令m =5，由选项B 知，曲线C 为双曲线，C 不正确； 对于D 选项：要曲线C 为双曲线，必有(1)(3)0m m +-<，即m <-1或m >3，m <-1时，曲线C ：2213(1)y x m m -=--+，m >3时，曲线C ：22113x y m m -=+-，-(m +1)≠3-m ，m +1≠m -3，D不正确. 故选：AB10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图例：用该样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ） A ．54周岁以上参保人数最少 B ．18～29周岁人群参保总费用最少 C ．丁险种更受参保人青睐 D ．30周岁以上的人群约占参保人群20％【答案】AC【分析】根据选项逐一对相应的统计图进行分析判断即可.【详解】解：对A ：由扇形图可知，54周岁以上参保人数最少，故选项A 正确； 对B ：由折线图可知，18～29周岁人群人均参保费用最少，但是由扇形图知参保人数并不是最少的，所以参保总费用不是最少，故选项B 错误； 对C ：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项C 正确；对D ：由扇形图可知，30周岁以上的人群约占参保人群80％，故选项D 错误. 故选：AC.11．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 可以垂直 D ．四边形1BFD E 2 【答案】BCD【分析】利用平行平面的性质可判断A 错误；利用正方体的对称性可判断B 正确；当E 、F 为棱中点时，由线面垂直可得面面垂直，从而判断C 正确；当E 与A 重合，F 与1C 重合时，四边形1BFD E 的面积有最大值，可判断D 正确.【详解】解：对于选项A ，因为平面1111//ABB A CC D D ，平面1BFD E 平面11ABB A BE =，平面1BFD E平面111CC D D D F =，所以1//BE D F ，同理可证1//D E BF ，所以四边形1BFD E 是平行四边形，故A 错误； 对于选项B ，由正方体的对称性可知，平面α分正方体所得两部分的体积相等，故B 正确；对于选项C ，在正方体1111ABCD A B C D -中，有1AC BD AC BB ⊥⊥，，又1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面1BB D ，当E 、F 分别为棱11AA CC ，的中点时， 有//AC EF ，则EF ⊥平面1BB D ，又因为EF ⊂平面1BFD E ， 所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ，故C 正确；对于选项D ，四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD ， 当E 与A 重合，F 与1C 重合时，四边形1BFD E 的面积有最大值，此时11S D E BE =⋅=，故D 正确； 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：根据正方体的特殊几何性质，结合直线与平面、平面与平面的平行垂直判定与性质定理求解.12．若实数2t ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()()()()3ln 22ln 3t t t t ++>++ B ．()()2112t t t t +++>+C ．()11log 1t t t+>+ D ．()()()()12log 2log 3t t t t +++>+【答案】ABD【分析】构造函数()ln xf x x=，利用导数可得函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，由(3)(2)f t f t +<+可推得A 正确，由(1)(2)f t f t +>+可推得B 正确，当2t =时，作差比较可知C 错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D 正确.【详解】对A ，令()ln x f x x =，则21ln ()x x x f x x ⋅-'=21ln xx -=，当x e >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，因为2t ≥，所以32t t e +>+>，所以(3)(2)f t f t +<+， 所以ln(3)ln(2)32t t t t ++<++，所以()()()()3ln 22ln 3t t t t ++>++，故A 正确；对B ，由A 知，函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，因为2t ≥，所以21t t e +>+>， 所以(1)(2)f t f t +>+，即ln(1)ln(2)12t t t t ++>++，即(2)ln(1)(1)ln(2)t t t t ++>++，所以(2)(1)ln(1)ln(2)t t t t +++>+，所以()()2112t t t t +++>+，故B 正确：对C 选项，当2t =时，213ln 31log 322ln 2+-=-3ln 22ln 32ln 2-=ln8ln 902ln 2-=<，故C 错：对D ，()()()()12log 2log 3t t t t ++-++=ln(2)ln(3)ln(1)ln(2)t t t t ++-++2(ln(2))ln(1)ln(3)ln(1)ln(2)t t t t t +-+⋅+=+⋅+因为2t ≥，所以ln(1)0t +>，ln(2)0t +>，ln(3)0t +>，2ln(1)ln(3)ln(1)ln(3)2t t t t +++⎛⎫+⋅+< ⎪⎝⎭22ln(43)2t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭22ln(44)2t t ⎛⎫++< ⎪⎝⎭22ln(2)2t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln(2)t =+，所以2(ln(2))ln(1)ln(3)0ln(1)ln(2)t t t t t +-+⋅+<+⋅+，即()()()()12log 2log 3t t t t +++>+，故D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于AB ，构造函数，利用函数的单调性比较大小是解题关键；对于D ，作差，利用基本不等式放缩后，比较大小是解题关键.三、填空题13．某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的选法有________种． 【答案】6【分析】根据组合知识直接计算.【详解】选出的人员中恰好有一名女生的选法有21326C C =种故答案为：614．若不等式()21x a -<成立的充分不必要条件是12x <<，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]1,2【分析】计算不等式()21x a -<，然后得出1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，计算即可. 【详解】由()21x a -<得11a x a -<<+，因为12x <<是不等式()21x a -<成立的充分不必要条件，∴满足1112a a -≤⎧⎨+≥⎩且等号不能同时取得，即21a a ≤⎧⎨≥⎩，解得12a ≤≤．故答案为：[]1,215．球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ，B ，C 是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为,,AB BC CA ，由这三条劣弧组成的图形称为球面ABC ．己知地球半径为R ，北极为点N ，P ，Q 是地球表面上的两点．若P ，Q 在赤道上，且经度分别为东经20︒和东经60︒，则球面NPQ △的面积为__________．【答案】229R π【分析】PQ 在赤道上，且经度分别为东经20°和东经60°，则相差40°，由球面三角形的定义可知，球面三角形NPQ 占整个上半球比例为4013609=，从而求得球面三角形NPQ 的面积.【详解】因为PQ 在赤道上，且经度分别为东经20︒和东经60︒， 上半球面面积为221422R R ππ⨯⨯=，球面NPQ △的面积为22602023609R R ππ︒-︒⨯2=︒； 故答案为：229R π 16．如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为O '，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C ．如图，椭圆中心为O ，球与地面的接触点为E ，4OE =．若光线与地面所成角为θ，椭圆的离心率e =__________．【答案】45【分析】根据平行投影计算出椭圆C 的短半轴长b ，再求出光线与水平面所成锐角的正弦，进而求得椭圆C 的长轴长2a 而得解.【详解】连接OO '，则O OE θ'∠=，因为34，O E OE '==，如图：所以2222345OO O E OE ''=++=，所以3sin 5O E OO θ'==' 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是球的半径R ，即3b =，过球心与椭圆长轴所在直线确定的平面截球面所得大圆及对应光线，如图：椭圆的长轴长2a 是AC ，过A 向BC 做垂线，垂足是B ，则,AB O O O E AC ''⊥⊥，由题意得：326sin sin 5AB R ACB θ==∠==，，又sin ABACB AC ∠=，则35AB AC =，10AC =，即2105a a ==，， 所以椭圆的离心率为22259455c a b e a a --====.故答案为：45四、解答题17．在ABC 中，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2cos cos cos c C a B b A =+． （1）求C 的大小； （2）若3,7b a c ==ABC 的面积．【答案】（1）3C π=；（233． 【分析】（1）先利用正弦定理将2cos cos cos c C a B b A =+转化为2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，再利用两角和的正弦公式化简可求得答案；（2）由余弦定理结合已知条件可求出1a =，3b =，然后利用三角形的面积公式可求得结果【详解】解：（1）∵2cos cos cos c C a B b A =+， ∴根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==可得， 2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+，∴()2sin cos sin C C A B =+，∴2sin cos sin C C C =．因为sin 0C ≠，∴1cos 2C =，又()0,C π∈ ∴3C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，3b a =得222793a a a =+-， 解得1a =，由3b a =得3b = 所以ABC的面积11sin 13sin 223S ab C π==⨯⨯=所以ABC的面积4． 18．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为(),12n n n S a S n N *=-∈．（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）设()112nn n b n a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数． 【分析】（1）S n 前后两项作差消去，求得a n 的前后两项关系，从而求得a n 的通项公式； （2）由（1）求得b n ，对n 分奇数，偶数两种情况讨论，分组求和求得数列前n 项和. 【详解】解：（1）由已知12n n a S =-，① 所以有1112n n a S ++=-，②②-①，得112n n n a a a ++-=-，即13n n a a +=，∴113n n a a +=， 所以数列{}n a 是公比为13的等比数列． 又1111212a S a =-=-，∴113a =．所以1111333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得()()()()1121312nn nn n n b n n a ⎛⎫=-+=-⋅+-⋅⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()()2343333321234nn T n =-+-+-⋯-+-+-+-⋯-()()()3131121122132222nn n n n -----++--⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113373144n n n n ++----=--=-当n 为偶数时，()()2343333321234nn T n =-+-+-⋯++-+-+-⋯+()()()()31311222132222nn n n n ----+-+⎛⎫+⎛⎫=+⋅+⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭113343344n n n n ++-++-=+=综上所述，1173,4433,4n n n n n T n n ++⎧---⎪⎪=⎨+-⎪⎪⎩为奇数为偶数 【点睛】方法点睛：（1）通过a n +1=S n +1-S n 得到a n 前后两项的关系，从而求得通项公式； （2）对于含有(-1)n 的问题可以讨论n 的奇偶性，即可去掉该项，然后按照分组求和的方法求得数列前n 项和.19．如图，在三棱锥A BCD -中，90,1BCD BC CD ∠=︒==，ACB ACD θ∠=∠=．（1）证明：AC BD ⊥； （2）有三个条件； ①60θ=︒；②直线AC 与平面BCD 所成的角为45︒； ③二面角A CD B --3请你从中选择一个作为条件，求直线BC 与平面ACD 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为6． 【分析】（1）取BD 中点O ，连接,OA OC ，证明BD ⊥平面AOC ，可证线线垂直； （2）分析图形，在CA 上取点P ，使得PO OC ⊥（即平面PBD ⊥平面BCD ），这样以,,OC OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求线面角的正弦值．不管选①②③中哪一个，都推导出OM OC =．得出各点坐标，用向量法求解即可． 【详解】（1）取BD 中点O ，连接,OA OC ，则OC BD ⊥，又BC DC =，ACB ACD θ∠=∠=．AC AC =，所以ABC ADC ≅△△， 所以AB AD =，所以AO BD ⊥，AO CO O =，,AO CO ⊂平面AOC ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，所以BD AC ⊥；（2）在CA 上取点P ，使得90POC ∠=︒，连接,PB PD ，由于OC 与BD 是平面BCD 内相交直线，所以PO ⊥平面BCD ，以,,OC OD OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，2BD =，22OCOB =，因此PD PC =同理PD PC PB ==， 选①，60θ=︒，则PCD 是等边三角形，1PD CD PC ===，22OP =， 则22P ，2,0,0)2C ，2(0,2D ，2(0,,0)2B -， 22(BC =，22(DC =，22(0,DP =， 设平面PCD 的一个法向量是(,,)n x y z =，则2222220 n DC x yn DP y z⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，取1x=，则1y z==，即(1,1,1)n=，记直线BC与平面PCD（即平面ACD）所成的角为α，则220622sin cos,13BC nBC nBC nα++⋅=<>===⨯．选②，由PO⊥平面BCD得PCO∠是PC（即AC）与平面BCD所成的角，所以45PCO∠=︒，OP OC=，以下同选①；选③，作PM CD⊥，垂足为M，连接OM，由PO⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以PO CD⊥，又PO PM P=，,PO PM⊂平面POM，而OM⊂平面POM，所以CD OM⊥，所以PMO∠是二面角P CD B--即二面角A CD B--的平面角，已知即为3cos PMO∠=，则tan2PMO∠=，2212212OM⨯==，所以2tan2OP OM PMO=∠=OC，以下同选①．【点睛】方法点睛：本题考查证明线面垂直，考查求直线与平面所成的角，求线面角常用方法：（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．20．近年来，随着猪肉价格的上涨，作为饲料原材料之一的玉米，价格也出现了波动．为保证玉米销售市场稳定，相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施．该部门调查研究发现，这一年某地各月份玉米的销售均价（元／斤）走势如图所示：（1）该部门发现，3月到7月，各月玉米销售均价y （元／斤）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01），若不调控，依据相关关系预测12月份玉米的销售均价；（2）该部门在这一年的12个月份中，随机抽取3个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为X ，求X 的分布列和数学期望． 参考数据：()()77733325 5.360.64ii i ii i i xy x xy y =====--=∑∑∑,,．回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()()1122211,n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xn xx x ====---===---∑∑∑∑【答案】（1）0.060.75y x =+，可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤；（2）分布列见解析；期望为13655． 【分析】(1)由图写出3~7所对应均价，并算出它们的平均数，利用最小二乘法计算即可得解；(2)写出随机变量X 的所有可能值，并算出各值对应的概率，列出分布列算出期望得解. 【详解】（1）由题意 月份x34567计算可得：()7235, 1.072,10ii x y x x ===-=∑，∴()121()ˆˆ0.064,0.752()niii nii x x y y bay bx x x ==--===-=-∑∑， ∴从3月到7月，y 关于x 的回归方程为0.060.75y x =+，当12x =时，代入回归方程得 1.47y =，即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤；（2）X 的取值为1，2，3，()143121155C P X C ===，()3111433331227355C C C C P X C ===， ()()()27211355P X P X P X ==-=--=， X 的分布列为()1272713612355555555E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点睛：古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求概率的事件包含的基本事件数．21．己知抛物线2:2Ey px =，过抛物线E 上一点(1,3)C 作直线CA CB ，交抛物线于A ，B 两点，交x 轴于D ，F 两点，且CD CF =． （1）求E 的方程：（2）求ABC 的面积，并判断是否存在最大值，若存在请求出最大值，不存在请说明理由．【答案】（1）29y x =；（2）(1m >-且3m ≠)；不存在． 【分析】(1)将点(1,3)C 代入抛物线E 的方程即可得解；(2)由题设条件可得直线AC 斜率与直线BC 斜率互为相反数，由此求得直线AB 斜率，设出直线AB 方程，由弦长公式及点到直线距离公式列式，求出ABC 的面积，再借助函数探讨最大值问题即可. 【详解】（1）因为抛物线E 过点()1,3C ，所以2321p =⋅，所以29p =，所以E 的方程，29y x =．（2）因为CD CF =，所以直线AC 斜率AC k 与直线BC 斜率BC k 满足0AC BC k k +=，设()()1122,,A B x y x y ，，则2119y x =，2229y x =，22121212121293333110001133911y y y y x x y y y y ----+=⇒+=⇒+=--++--，则有126y y +=-， 直线AB 斜率122212129936299AB y y k y y y y -====-+--；设直线AB 的方程为：23x y m =-+， 由2239x y m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去x 得：2690y y m +-=， 由题意易知264(9)363601m m m ∆=--=+>⇒>-，直线AB 不过点C ，即3m ≠， 由根与系数的关系知：12126,9y y y y m +=-=-，12AB y y =-==，又因为点C 到直线AB的距离d ===ABC的面积11|||3|22ABCSAB d m =⋅=⋅=-=1m >-且3m ≠)，设0t =>，2|3||(1)4||4|0m m t -=+-=->，t →+∞时，2|4|t -→+∞，即|3|m -→+∞，ABC 的面积不存在最大值.【点睛】结论点睛：直线l ：y =kx +b 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB x x =-；直线l ：x =my +t 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离12||||AB y y =-. 22．已知()cos cos axf x a x a=-，其中0a >且1a ≠． （1）若()()2,a x f x ϕ'==，曲线()y x ϕ=在点()(),t t ϕ处的切线为l ，求直线l 斜率的取值范围：（2）若()f x '在区间()0,2π有唯一极值点0x ， ①求a 的取值范围；②用{}min ,,a b c 表示,,a b c 的最小值．证明：()(){}0min 2,1f x a a ππ'<-． 【答案】（1）9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）①01a <<；②证明见解析． 【分析】（1）由导数的几何意义知，直线l 斜率的取值范围即为()t ϕ'的值域； （2）①设()()g x f x ='，由题意()0g x '=有且只有一个变号零点，对a 分1a >和01a <<讨论即可；②由①知()022sinsin 11a f x a a a ππ'=-++，利用诱导公式化简得()()021sin1a f x a a π'=++，然后对a 分情况讨论并结合放缩法可证.. 【详解】解：（1）当2a =时，()cos 22cos 2xf x x =-()()sin 22sin x f x x x ϕ='=-，所以()24cos 2cos 2k t t t ϕ='=--，令[]2cos 1,1422m t m k m m =∈-=--，，， 当14m =时，min 94k =-，当1m =-时，max 4k =， 所以，直线l 斜率的取值范围是9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）①设()()g x f x ='，则()sin sin g x ax a x =-，()11cos cos 2sin sin 22a a g x a ax a x a x x +-'=-=- i ）若1a >，则1224,11x x a a ππ==++在区间()0,2π内，且使1sin 02a x += 1sin 02a x -≠，所以()g x '在()0,2π内至少有两个变号零点， 即()g x 在区间()0,2π内至少有两个极值点，故不满足题意．．ii ）01a <<时，令()0g x '=，得()22,,11m n m n x x m n Z a aππ==∈+- 令2021m m x a ππ<=<+，解得：012m a <<+<，故m 只能取1， 令2021n n x aππ<=<-，解得：011n a <<-<，此时n 无解． 故，仅当1m =时，()120,21x a ππ=∈+， ()()11112sin sin 2sin sin ,012222a a a a g x a x x a x x a +-+-'=-=<< 因为1sin 02a x ->， 当()10,x x ∈时，()1sin 002a x g x +>'>，， 当()1,2x x π∈时，()1sin002a x g x +<'<，， 所以()g x 在()0,2π有唯一的极大值点．综上，01a <<时，()f x '在区间()0,2π有唯一极大值点．②证明：由①知，02,011x a a π=<<+， 此时()()00022222sin sin sinsin sin sin 21sin 11111a a a f x ax a x a a a a a a a a ππππππ⎛⎫'=-=-=+-=+ ⎪+++++⎝⎭，a ）当()21a a ππ≤-时，即103a <≤时，由不等式：0x >时，sin x x > 知得()()221sin 1211a a a a a a a πππ+<+=++ 所以，()02f x a π'<．b ）当()12a a ππ-<时，即113a <<时， ()()()()()()()11221sin 1sin 1sin 111111a a a a a a a a a a a a a ππππππ--⎛⎫+=+-=+<+=- ⎪++++⎝⎭综上，()(){}0min 2,1f x a a ππ'<-.【点睛】关键点点睛：（2）问中①的关键是利用三角恒等变换将()g x '化简为()112sin sin 22a a g x a x x +-'=-，然后对a 分：1a >和01a <<讨论；（2）问中②的关键是利用①知02,011x a a π=<<+，从而求出()000sin sin f x ax a x '=-，并化简得()()021sin 1a f x a a π'=++，然后分情况讨论并结合放缩法可证明.。