浙江省诸暨市14—15学年上学期高一期末考试数学试题(扫描版)(附答案)
2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+13．（5分）等比数列{a n}中，a3=7，前3项之和s3=21，则公比q的值是（）A．﹣ B．C．或1 D．﹣或14．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则tanθ=（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ=（）A．B．﹣C．D．7．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．8．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β29．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为（）A．B．C．1 D．210．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知向量||=||=2，且，则|=．12．（4分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=a n+3n，则a9=．13．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+1且f（5）=7，则f（﹣5）的值是．14．（4分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．x∈[0，]，f（x）的值域．15．（4分）若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于．16．（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+），f（2014）=2，则f（﹣1）=．17．（4分）定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”．现给出以下函数，其中是“V型函数”的是．（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．（1）求角C；（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．19．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的单调增区间．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．21．（14分）已知函数f（θ）=﹣sin2θ﹣4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ（1）对任意的θ∈[0，]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范围；（2）对θ∈[﹣π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，求m的取值范围．22．（16分）已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2，试求出M；（Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A={x|0≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩（∁R B）=（）A．{x|x≥1}B．{x|x＞1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【解答】解：根据题意，B={x|x＜1}，则∁R B={x|x≥1}，又由集合A={x|0≤x≤2}，则A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}，故选：D．2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．B．y=e﹣x C．y=lg|x|D．y=﹣x2+1【解答】解：A中，y=为奇函数，故排除A；B中，y=e﹣x为非奇非偶函数，故排除B；C中，y=lg|x|为偶函数，在x∈（0，1）时，单调递减，在x∈（1，+∞）时，单调递增，所以y=lg|x|在（0，+∞）上不单调，故排除C；D中，y=﹣x2+1的图象关于y轴对称，故为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，故选：D．3．（5分）等比数列{a n}中，a3=7，前3项之和s3=21，则公比q的值是（）A．﹣ B．C．或1 D．﹣或1【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3=7，前3项之和s3=21，∴a1+a2=21﹣7=14，∴+=14，整理可得2q2﹣q﹣1=0，即（2q+1）（q﹣1）=0，解得q=1或q=故选：D．4．（5分）已知向量=（x﹣1，2），=（2，1），则“x＞0”是“与夹角为锐角”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵向量=（x﹣1，2），=（2，1），∴当x=5时，=（4，2）=2，此时两向量共线，∴与夹角为0．向量•=2x﹣2+2=2x，若“与夹角为锐角，则向量•=2x，设与夹角为θ，则cosθ=＞0，即2x＞0，解得x＞0，∴“x＞0”是“与夹角为锐角”的必要而不充分条件．故选：A．5．（5分）已知sinθ+cosθ=，θ∈（0，π），则tanθ=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinθ+cosθ=，θ∈（0，π ），∴（sinθ+cosθ ）2==1+2sinθ cosθ，∴sinθ cosθ=﹣＜0．由根与系数的关系知，sinθ，cosθ 是方程x2﹣x﹣=0的两根，解方程得x1=，x2=﹣．∵sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ=，cosθ=﹣．∴tanθ=﹣，故选：A．6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则φ=（）A．B．﹣C．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，故选：D．7．（5分）若函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log a（x+k）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数则f（﹣x）+f（x）=0即（k﹣1）（a x﹣a﹣x）=0则k=1又∵函数f（x）=ka x﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数则a＞1则g（x）=log a（x+k）=log a（x+1）函数图象必过原点，且为增函数故选：C．8．（5分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【解答】解：y=xsinx是偶函数且在（0，）上递增，∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数，∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D．9．（5分）平面向量，，满足||=1，•=1，•=2，|﹣|=2，则•的最小值为（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设=（x1，y1），=（x2，y2）．∵满足||=1，∴不妨取=（1，0）．∵平面向量，，•=1，•=2，∴x1=1，x2=2．∴=（1，y1），=（2，y2）．∵|﹣|=2，∴=2，化为=3．只考虑y1y2＜0．不妨取y2＞0，y1＜0．∴•=2+y1y2=2﹣（﹣y1）y2=，当且仅当﹣y1=y2=时取等号．∴•的最小值为．故选：B．10．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数F（x）=f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．1﹣2a B．2a﹣1 C．1﹣2﹣a D．2﹣a﹣1【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=；即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；画出x≥0时f（x）的图象，再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），∴f（﹣x）=（﹣x+1），又f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log 2（1﹣x），∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，解得x=1﹣2a，∴所有根的和为1﹣2a．故选：A．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）已知向量||=||=2，且，则|=2．【解答】解：不妨取=（2，0），=（x，y），∵向量||=||=2，且，∴=2，2x=2，解得x=1，．则|=||=．故答案为：2．12．（4分）在数列{a n}中，已知a1=1，a n+1=a n+3n，则a9=109．=a n+3n转化为a n+1﹣a n=3n利用递推关系式：【解答】解：，a n+1a n﹣a n﹣1=3（n﹣1）（n≥2）a n﹣1﹣a n﹣2=3（n﹣2）…a2﹣a1=3×1以上所有式子相加得到：a n﹣a1=3（1+2+…+（n﹣1））（n≥2）所以：当n=1时，a1=1适合上式所以（n≥1）故答案为：10913．（4分）已知f（x）=ax5+bx3+1且f（5）=7，则f（﹣5）的值是﹣5．【解答】解：令g（x）=ax5+bx3，则g（x）为奇函数，由f（5）=7，得g（5）+1=7，g（5）=6．f（﹣5）=g（﹣5）+1=﹣g（5）+1=﹣6+1=﹣5．故答案为：﹣5．14．（4分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．x∈[0，]，f（x）的值域[0，3] ．【解答】解：f（x）=2cos2x+2sinxcosx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+）x∈[0，]，故2x+，从而可得sin（2x+），即有f（x）=1+2sin（2x+）∈[0，3]故答案为：[0，3]．15．（4分）若实数x、y满足且x2+y2的最大值等于34，则正实数a的值等于．【解答】解：作出可行域x2+y2表示点（x，y）与（0，0）距离的平方，由图知，可行域中的点B（，3）与（0，0）最远故x2+y2最大值为=34⇒a=（负值舍去）．故答案为：．16．（4分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）=f（x+），f（2014）=2，则f（﹣1）=﹣2．【解答】解：∵奇函数f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣x）=﹣f（x）=f（x+），以x+代x，∴f（x+3）=f（x）∴函数的周期为3，∴f（2014）=f（3×671+1）=f（1）=2，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2故答案为：﹣2．17．（4分）定义在R上的函数f（x）满足条件：存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x恒成立，则称函数f（x）为“V型函数”．现给出以下函数，其中是“V型函数”的是（1），（3）．（1）f（x）=；（2）f（x）=；（3）f（x）是定义域为R的奇函数，且对任意的x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|成立．【解答】解：对于（1）若f（x）=，则|f（x）|=||=≤|x|，故对任意的m＞，都有|f（x）|＜m|x|，故是V型函数，对于（2）当x≤0，要使|f（x）|≤m|x|成立，当x=0时，1≤0，即|2x|≤m成立，这样的M不存在，故（2）不是V型函数；对于（3），f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤2|x|成立，存在M≥2＞0，使|f （x）|≤M|x|对一切实数x均成立，符合题意．故是V型函数；故答案为（1），（3）三、解答题：（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）在△ABC中，已知sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB．（1）求角C；（Ⅱ）若c=4，求a+b的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB，得a2+b2=c2+ab，所以，cosC==，角C=．（Ⅱ）因为c=4，所以16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，又ab≤，所以16≥，从而a+b≤8，其中a=b时等号成立．故a+b的最大值为8．19．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数f（x）的单调增区间．【解答】解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A=1 函数f（x）的周期为T=4×=π，而T=，则ω=2，又x=﹣时，y=0，∴sin[2×φ]=0，而﹣＜φ＜，则φ=，∴函数f（x）的表达式为f（x）=sin（2x+）；（3）由复合函数的单调性及定义域可求的单调增区间：由得，所以的单调增区间为，k∈Z．20．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，c n=，记数列{c n}的前n项和T n，若对n∈N*，T n≤k （n+4）恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为公比的等比数列，∴．（2）∵b n=log2a n==n，∴c n==．∴数列{c n}的前n项和T n=+…+==．∵对n∈N*，T n≤k（n+4）恒成立，∴，化为=．∵n++5=9，当且仅当n=2时取等号．∴，∴．∴实数k的取值范围是．21．（14分）已知函数f（θ）=﹣sin2θ﹣4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ（1）对任意的θ∈[0，]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，求m取值范围；（2）对θ∈[﹣π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，求m的取值范围．【解答】解：∵函数f（θ）=﹣sin2θ﹣4cosθ+4，g（θ）=m•cosθ（1）对任意的θ∈[0，]，若f（θ）≥g（θ）即cos2θ﹣4cosθ+3≥mcosθ，cosθ∈[0，1]，∴cosθ+﹣4≥m，∵设cosθ=t，则f（t）=t+﹣4在（0，1]上是减函数，∴函数f（t）=t+﹣4在（0，1]上的最小值为f（1）=0，∴对任意的θ∈[0，]，若f（θ）≥g（θ）恒成立，m取值范围为m≤0；（2）对θ∈[﹣π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根，即cos2θ﹣4cosθ+3=mcosθ有两个不等实根，cosθ∈[﹣1，1]，∴cosθ=0得3=0，问题不成立，∴两边同除以cosθ，得cosθ+﹣4=m有两个不等实根，设cosθ=t，则f（t）=t+﹣4在[﹣1，0）和（0，1]上有交点，并且此函数在两个区间上是减函数，又函数f（t）=t+﹣4在（0，1]上的最小值为f（1）=0，在[﹣1，0）的最大值为﹣8，∴要使对θ∈[﹣π，π]，f（θ）=g（θ）有两个不等实根的m 的范围为m≥0或者m＜﹣8．22．（16分）已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2，试求出M；（Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当b=2时，f（x）=﹣x2+2bx+c在区间[﹣1，1]上是增函数，则M是g（﹣1）和g（1）中较大的一个，又g（﹣1）=|﹣5+c|，g（1）=|3+c|，则；（Ⅱ）g（x）=|f（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c|，（i）当|b|＞1时，y=g（x）在区间[﹣1，1]上是单调函数，则M=max{g（﹣1），g（1）}，而g（﹣1）=|﹣1﹣2b+c|，g（1）=|﹣1+2b+c|，则2M≥g（﹣1）+g（1）≥|f（﹣1）﹣f（1）|=4|b|＞4，可知M＞2．（ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1，1]之内，此时M=max{g（﹣1），g（1），g（b）}，又g（b）=|b2+c|，①当﹣1≤b≤0时，有f（1）≤f（﹣1）≤f（b），则M=max{g（b），g（1）}（g（b）+g（1））|f（b）﹣f（1）|=；②当0＜b≤1时，有f（﹣1）≤f（1）≤f（b）．则M=max{g（b），g（﹣1）}（g（b）+g（﹣1））|f（b）﹣f（﹣1）|=．综上可知，对任意的b、c都有．而当b=0，时，在区间[﹣1，1]上的最大值，故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为．。
浙江省诸暨中学14—15学年第高一下学期期中考试数学(附答案)
诸暨中学2014学年第二学期高一年级数学学科期中试题卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1.各项均为实数的等比数列}{n a 中，11=a ，3a =2，则5a = A. 4 B.2 C. ±4 D. ±22.等差数列}{n a 中，21a a +=3，43a a +=7，则65a a += A. 9 B. 10 C.11 D.123.边长为1的正方形ABCD 中，||+= A.2 B.2 C. 1 D.224.在△ABC 中，若222b a ab c +=+，则角C =A.30ºB. 45ºC.60ºD.120º 5.等差数列}{n a 中，543a a a ++=12，那么}{n a 的前7项和7S = A.22 B.24 C.26 D.286.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 是线段OD 中点，AE 的延长线交DC 于点F ，若a AB =，b AD =，则AF = A.b a +31 B.b a +21 C.b a 31+ D.b a 21+ 7.在△ABC 中，若1=b ，3=c ，B=30º，则a =A.2B.1C.1或2D.2或38.数列}{n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a -=++12，则}{n a 的前51项和51S = A.1 B.2 C.3 D.49.为了测得河对岸塔AB 的高度，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，此时测得塔顶A 的仰角为60º。
再由点C 沿北偏东15º方向走了20米到达点D ，测得∠BDC= 45º，则塔AB 的高度为A.206米B.203米C.202米D.20米10.有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中的每一项都是1-，0,1这三个数中的某一个数，若1a +2a +3a +…+2015a =427且21)1(+a +22)1(+a +23)1(+a +…+22015)1(+a =3869，则有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中值为0的项数是A.1000B.1015C.1030D.1045 二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分。
浙江省绍兴市诸暨市诸暨中学2024届数学高一第二学期期末检测试题含解析
浙江省绍兴市诸暨市诸暨中学2024届数学高一第二学期期末检测试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知向量，,,则( )A ．B ．C ．5D ．252．已知函数4()2x xaf x +=是奇函数，若(21)(2)0f m f m -+-≥，则m 的取值范围是（ ） A ．1mB ．1m <C ．m 1≥D ．1m3．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为A ．35B ．20C ．18D ．94．已知{}n a 为等差数列，1353a a a ++=，则3a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．32D ．15．已知不等式20x ax b ++<的解集是{}12x x -<<，则a b +=( ) A ．3-B ．1C ．1-D ．36．已知一几何体的三视图，则它的体积为 （ ）A ．13B ．23C ．1D ．27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，686a a +=，963S S -=，则使n S 取得最大值时n 的值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．88．若集合，则的真子集的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．89．函数5sin(2)2y x π=+的图象的一条对称轴方程是（ ） A ．2x π=-B ．4πx =-C ．8x π=D ．54=x π 10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若362,6,S S ==则9S =（ ） A ．18B ．14C ．10D ．22二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2025届浙江省诸暨市诸暨中学高三数学第一学期期末检测试题含解析
2025届浙江省诸暨市诸暨中学高三数学第一学期期末检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()2224m f m f f n n ⎛⎫⎪⎝⎭⋅=，当01x <<时，()0f x <.若()42f =，则函数()f x 在[]1,16上的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．3D ．82．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 交双曲线的右支于点P ，以双曲线的实轴为直径的圆与直线l 相切，切点为H ，若113F P F H =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．132B ．5C ．25D ．133．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ） A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,104．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．25．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．已知复数z 满足202020191z i i ⋅=+（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i7．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2B ．2C 10D ．108．在5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-的展开式中，含3x 的项的系数是（ ）A ．74B ．121C ．74-D ．121-9．二项式732x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，1x 项的系数为（ ） A ．94516-B ．18932-C ．2164-D ．2835810．已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．圆，但要去掉两个点 B ．椭圆，但要去掉两个点 C ．双曲线，但要去掉两个点D ．抛物线，但要去掉两个点11．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．21312．框图与程序是解决数学问题的重要手段，实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后，可以制作框图，编写程序，得到解决，例如，为了计算一组数据的方差，设计了如图所示的程序框图，其中输入115x =，216x =，318x =，420x =，522x =，624x =，725x =，则图中空白框中应填入（ ）A ．6i >，7S S =B ．6i 7S S =C ．6i >，7S S =D ．6i ，7S S =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试卷word版含答案
D．无论 为何值,均有4个零点
9.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC, ∠ADC＝90°,AD＝2,BC＝1,P是腰DC上的动点,
则 的最小值为 （）
A．4B．5C． D．2
10.
A． B． C． D．
二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分
(1)当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用 是多少元？
(2)设该食堂 天购买一次配料, 求该食堂在这 天中用于配料的总费用 （元）关于 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少?
20.对于函数 , 如果存在实数 使得 , 那么称 为 的线性函数.
(1)下面给出两组函数, 是否分别为 的线性函数？并说明理由;
19.
已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为 元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若 天购买一次, 需要支付 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.
第一组: ;
第二组: ;
(2)设 , 线性函数 .若不等式
在 上有解, 求实数 的取值范围;
21.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学
过: = =
请用上面的数学思维来证明如下:
11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是.
12.已知 ,则 =. (用t表示)
浙江省诸暨市暨阳初中2025届数学高一上期末达标检测模拟试题含解析
16 5 3
;
5
即点
P
的坐标是
(8,-15)
，
16 5
,
3 5
.
【点睛】本题考查了平面向量 线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是
基础题.
的 12、②③④
【解析】由正切函数的单调性，可以判断①真假；根据正弦函数的单调性，结合诱导公式，可以判断②的真假；根据 函数奇偶性与单调性的综合应用，可以判断③的真假；根据正弦型函数的对称性，我们可以判断④的真假，进而得到 答案
15．某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道
为坐标轴建立平面直角坐标系，根据垃圾分类要求，下述格点为垃圾回收点： 2, 2 ，3,1 ，3, 4，2,3 ，4,5 ，
6, 6 .请确定一个格点（除回收点外）___________为垃圾集中回收站，使这 6 个回收点沿街道到回收站之间路程的和
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11、 (8,-15) ，
16 5
,
3 5
【解析】设点 P x, y ,得出向量 AP 3 BP, AP 3 BP ,代入坐标运算即得 P 的坐标，得到关于 x, y 的方程，从而
2
2
可得结果.
【详解】设点 P x, y ,
因为点 P 在直线,且 | AP | 3 | PB | , 2
【解析】根据对数的运算性质求出 f (1 ) 2 ，再根据指数幂的运算求出 f (2) 1 即可.
4
9
【详解】由题意知，
f
(1) 4
log2
1 4
log2
2023届浙江省诸暨市高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析
则 ， ，
由于 ，所以 ，
所以 的最大值为 ， 的最大值为 ，C选项错误.
当 时， ，
，当 时， ，所以D选项正确.
故选：C
5、A
【解析】如图，
，
又 ，
∴ ，故 ．选A
6、D
【解析】
本题选择D选项.
7、B
【解析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为 为锐角，所以 ，所以 ，所以“ ”是“ 为锐角”的必要条件；
【详解】由含有一个量词的命题的否定可得，命题“ ”的否定为“ ”
故答案为
【点睛】对于含有量词的命题的否定要注意两点：一是要改换量词，把特称（全称）量词改为全称（特称）量词；二是把命题进行否定．本题考查特称命题的否定，属于简单题
12、 （ 在 之间都可以）.
【解析】画出函数 的图象，结合图象可得答案.
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数 的定义域是
A.（-1，2]B.[-1,2]
C.（-1 ，2）D.[-1,2)
2．化简
A. B.
C.1D.
3．函数 的定义域为
A B.
C. D.
4．将函数 ， 且 ，下列说法错误的是（）
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
浙江省绍兴市诸暨市2024届高三上学期期末数学试题含答案
诸暨市2023-2024学年第一学期期末考试试题（高三数学）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分（答案在最后）1.设集合{}1,2,3A =，{}B =，{}1,2C =，则()A B C ⋂⋃=（）A.{}3 B.{}1,2 C.{}2,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】解出集合B ，在根据交集和并集的概念即可得出答案.【详解】因为{}{}11B xx x =>=>，所以{2,3}A B = ，(){1,2,3}A B C = .故选：D2.若函数()()log a f x x b =+（0a >，1a ≠）的图象过点()2,0-和()1,1-，则（）A.2a =，3b =B.3a =，2b =C.2a =，4b =D.4a =，2b =【答案】A 【解析】【分析】利用待定系数法计算即可.【详解】因为()()log a f x x b =+过点()2,0-得()log 203a b b -=⇒=，则()()log 3a f x x =+，又()()log 3a f x x =+过点()1,1-得()log 1312a a -+=⇒=，即2a =，3b =.故选:A3.已知i 是虚数单位，R a ∈，则“21a =”是“()2i 2i a +=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】判断“21a =”和“()2i 2i a +=”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】当()2i 2i a +=时，即212i 2i a a -+=，得210,121a a a ⎧-=∴=⎨=⎩，而21a =时，1a =±，推不出一定是1a =，即推不出()2i 2i a +=;所以“2 1a =”是“()i 2 2i a +=”的必要不充分条件，故选：B4.已知a ，b为单位向量，若a b a b ⋅=+ ，则a b ⋅= （）A.1±B.1C.1-D.1-【答案】C 【解析】【分析】由已知可得()()22a ba b ⋅=+，即()2112a ba b ⋅=++⋅，解方程即可得出结果.【详解】因为a ，b为单位向量，若a b a b ⋅=+ ，得22a b a b ⋅=+ ，即()()22a b a b⋅=+ 所以()2112a ba b ⋅=++⋅，解得：1a b ⋅=± ，又因为[]cos ,1,1a b a b ⋅=∈- ，所以1a b ⋅=.故选:C5.6a⎛ ⎝的展开式中mm a b （即分子a 的指数和分母b 的指数相同）项的系数为（）A.15-B.15C.20- D.20【答案】B 【解析】【分析】根据二项式展开式通项公式求解即可.【详解】通项公式()6216C r r rr T ab -+=-，由m m a b可得62r r =-，故4r =，系数为46C 15=.故选:B6.若直线l 与三次函数()y f x =有三个公共点且公共点的横坐标成等差数列，则直线l （）A.经过定点B.不经过定点C.斜率为定值D.斜率可为任意实数【答案】A【解析】【分析】先设三个交点，由题意得出2b a c =+,再得出定点即可.【详解】设这三个交点的坐标分别为(),()a f a ，(),()b f b ，(),()c f c 由题意可得2b a c =+，由于三次函数()y f x =的图像是中心对称图形，由2b a c =+可知，()(),b f b 为()f x 对称中心，即直线l 经过定点是三次函数的对称中心.故选:A ．7.小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】设正四面体的棱长为a ，可求出四面体的高，进而求出其体积表达式，结合正方体体积求出棱长，从而可求得其外接球的半径，即可求得答案.【详解】设正四面体的棱长为a ，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，设正四面体如图，F 为为底面BCD 的中心，E 为CD 的中点，F 在BE 上，O 为正四面体外接球的球心，则AF 为四面体的高，O 在AF上，则22323BE a,BF ==⨯=，则3AF ==，即得23134312V V a a a ====⨯⨯正四面体正方体324a =，又设正四面体外接球的半径R ，则222OB OF BF =+，即22263()()33R R =-+，即得4R a =，故外接球体积为3334π4π64π62433434R V ⎛⎫⎛===⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭球，故选：C ．8.已知函数()()sin cos π0f x x ωωω=+>，,m n ∀∈R 都有()()()2i f m f n f x -≤，若恰好有4个点()(),i i x f x 同在一个圆心在x的圆内，则ω的取值范围为（）A.4⎛⎫⎪⎪⎝⎭B.4⎫⎪⎪⎭C.3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭D.,π2⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式可得()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可知点()(),i i x f x 为()f x 的最值点，结合周期性列式求解.【详解】由题意可得：()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为,m n ∀∈R 都有()()()2i f m f n f x -≤，所以这4个点()(),i i x f x 为()f x 的最值点，由恰好有4个点在圆内，可得22223214π25214π2T T ωω⎧⎛⎫⎛⎫<+⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪>+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得3ππ4ω<<，所以ω的取值范围为3π,π4⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C ．【点睛】方法点睛：求解函数sin()y A x ωϕ=+的性质问题的三种意识（1）转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为sin()y A x ωϕ=+的形式；（2）整体意识：类比sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的“x ωϕ+”看成sin y x =中的“x ”，采用整体代入求解；（3）讨论意识：当A 为参数时，求最值应分情况讨论00A A ><,.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A.若点P 为11B C 中点，则EP //平面1ACDB.若点P 为11A C 中点，则EP //平面1ACDC.若点P 为AC 中点，则EP ⊥平面1ACDD.若点P 为1D C 中点，则EP ⊥平面1ACD 【答案】AC 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，建立如图所示的空间直角坐标系，令2AB =,则1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,1)A C D E ，1(2,2,0),(2,0,2)AC AD =-=-，设平面1ACD 的法向量(,,)n x y z = ，则1220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1x =，得(1,1,1)n = ，对于A ，当点P 为11B C 中点时，(1,2,2)P ，(1,0,1)EP =- ，显然0n EP ⋅=，即//EP平面1ACD ，而EP ⊄平面1ACD ，因此EP //平面1ACD ，A 正确；对于B ，当点P 为11A C 中点时，(1,1,2)P ，(1,1,1)EP =--，显然10n EP ⋅=-≠，即EP与平面1ACD 不平行，因此EP 与平面1ACD 不平行，B 错误；对于C ，当点P 为AC 中点时，(1,1,0)P ，(1,1,1)EP n =---=-，因此EP ⊥平面1ACD ，C 正确；对于D ，当点P 为1D C 中点时，(0,1,1)P ，(2,1,0)EP =-- 与n不平行，因此EP 不垂直于平面1ACD ，D 错误.故选：AC10.已知函数()()sin sin 1f x x x =+-，()f x '为()f x 的导函数，则下列结论正确的是（）A.()()1f x f x -=+B.()()π0f x f x ++=C.1122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭' D.()π2f x f x ⎛'⎫=+⎪⎝⎭【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知函数，求出导函数，依次代入验证各选项的正确性即可.【详解】由已知得()()cos cos 1f x x x -'=-()()()()sin sin 11f x x x f x -=-++=+，故A 正确：()()()()()πsin sin 1sin πsin 1πf x f x x x x x ++=+-+++--()()sin sin 1sin sin 10x x x x =+----=，故B 正确；111cos cos 0222f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'，而112sin 022f ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭，所以1122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'不成立，故C 错误；()()πππcos cos 1sin sin 1222f x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=++--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎝⎭⎭，故D 正确：故选：ABD11.已知双曲线2222:1(0)x C a b a bν-=>>上两点,M N 关于x 轴对称，,A B 分别为C 的左右顶点，若直线MA 和NB 交于点P ，则（）A.直线MA 和MB 的斜率之积为定值B.直线MA 和NB 的斜率之积为定值C.点P 在椭圆22221x y a b+=上D.PAB 面积的最大值为ab【答案】ABC 【解析】【分析】根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.【详解】设点(),M m n ，(),N m n -，则有22221m n a b -=，得到22222a n m a b-=，又易知(,0),(,0)A a B a -，对于选项A ，直线MA 和MB 的斜率之积22222MA MBn n n b k k m a m a m a a=⋅==+--为定值，所以选项A 正确；对于选项B ，直线MA 和NB 的斜率之积22222MA NB n n n b k k m a m a m a a--=⋅==-+--为定值，所以选项B 正确；对于选项C ，设点00(,)P x y ，直线:MA ()n y x a m a=++，直线:NB ()ny x a m a -=--，因为点P 为直线MA 和NB 的交点，由()()n y x a m a n y x a m a ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=-⎪-⎩，解得200,a na x y m m ==，所以22222222002222222(()a nax y a n a m m a b a b m m b+=+=+，又22222a n m a b -=，所以222220022221x y a m a a b m m -+=+=，故点P 在椭圆22221x y a b+=上，所以选项C 正确；对于选项D ，由选项C 可知PAB 面积的1(2)2na naS a a m m=⨯=，所以2222222222222222(1)n a m a a S a a b a b a b m m m-===-<，得到S ab <，所以选项D错误，故选：ABC.12.在22⨯的红色表格中，有一只会染红黄蓝三种颜色的电子蛐蛐从A 区域出发，每次跳动都等可能的跳往相邻区域，当它落下时会将该区域染成新的颜色（既与该区域原来的颜色不同，也与蛐蛐起跳时区域的颜色不同）．记蛐蛐第n 跳后表格中的不同染色情况种数为a ，（第一次跳后有如图四种情况，即14a =），则（）A.28a = B.1n n a a +>，恒成立C.蛐蛐能将表格中的三块染成蓝色D.蛐蛐能将表格中的四块染成黄色【答案】AC 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可知AB 正误；通过距离例子可知C 正确；根据染色原则可知D 错误.【详解】对于A ，当2n =时，对第一个表格往左跳，区域染成蓝色；或往下跳，区域染成蓝色；共两种情况；其他表格亦如此，2428a ∴=⨯=，A 正确；对于B ，表格最多不超过4381=种不同的染色情况，1n n a a +∴>不可能恒成立，B 错误；对于C ,若蛐蛐按照如下顺序跳，即可将三个区域染成蓝色；情况一：情况二：C 正确；对于D ，三块都是黄色也可能，但当三块染成黄色后，不可能第四块还是黄色，因为要和起跳时区域不一样，D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.设等比数列{}n a 的公比为q ，n S 为前n 项和，若12qS =，26qS =，则4a =______．【答案】8【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，把条件用1a ，q 表示出来，求出1a ，q 的值，再利用等比数列的通项公式或相邻项之间的关系求4a .【详解】因为：112qS qa ==，()21212226qS q a a qa qa qa =+=+=+=，得24qa =，于是22112a qa q a qa ===，324128a a q q ==⨯=.故答案为：814.一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO 与键盘所在面的侧边长BO 均为32cm ，点P 为眼睛所在位置，D 为AO 的中点，连接PD ，当PD AO ⊥时，称点P 为“黄金视角点”，作PC BC ⊥，垂足C 在OB 的延长线上，当11cm BC =，23AOC π∠=时，PC =______cm．【答案】【解析】【分析】把PC 的计算转化为PN 和OM 的计算，利用直角三角形求解.【详解】过O 作OM OC ⊥交DP 于M ，过M 作MN PC ⊥交PC 于C ，则6DOM PMN π∠=∠=，16πsin 6OM ==，43·tan 6PN π==，于是PC ==(cm)．故答案为：．15.将正整数1~10由小到大排列1210m ，，，，，，从中随机抽取两个数，这两个数其中一个在m 前面，一个在m 后面的概率为25，则m =______．【答案】4或7【解析】【分析】利用组合，结合古典概型的概率公式求解即可．【详解】由题意11110210C C 2C 5m m--⨯=，整理得到211280m m -+=解得4m =或7，故答案为：4或7．16.已知动点P 在抛物线24y x =上，抛物线焦点为F ，准线与x 轴交于点E ，以E ，F 为焦点的椭圆1C 和双曲线2C 皆过点P ，则椭圆1C 和双曲线2C 离心率之比的取值范围为______．【答案】(0,3-【解析】【分析】利用椭圆和双曲线的定义把离心率之比转化为求PF PE的范围，而求PF PE的范围需要利用基本不等式.【详解】由题意椭圆1C 和双曲线2C 离心率之比1112221211PF c PE PF PEe a ac PF e a PE PFa PE--====++．令PF t PE=，设()(),0P m n m >，则24n m =，因为()1,0E -，()1,0F ，所以PF t PF==，因为244411612626m m m m m=≤=+++++，所以22t ≥，故12121131122e t e t t -==-≤=-++又120e e>，所以(120,3e e ∈-．故答案为：(0,3-．四、解答题：本题共6小题，共70分．17.已知{}n a 为等比数列，前n 项和n S ，且24S =，11a -，21a +，31a -成等差数列．（1）求n a 和n S ；（2）若11n n n n b S S a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）13n n a -=，312n n S -=（2）12131n +--【解析】【分析】（1）先根据等比数列基本量运算得出1,a q ，再写出通项公式及前n 项和即可；（2）应用裂项相消即可求解.【小问1详解】因为11a -，21a +，31a -成等差数列，所以()213212a a a +=+-，又24S =，即124a a +=，可列出方程()()12114124a q q q α⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13n n a -=，1331132n n n S --==-【小问2详解】由（1）得13n n a -=，所以()()11114311231313131nn n n n n n n n a b S S ++++⋅⎛⎫===- ⎪----⎝⎭，223111111111112221313131313131313131n n n n n T +++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=- ⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭．18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AD CD ⊥，N 是线段PC的中点，AD CD ==，BC =（1）求点N 到平面PAB 的距离；．（2）若二面角N AD P --的余弦值为63，求四棱锥P ABCD -体积的大小．【答案】（1）2（2）2【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理得出点到平面距离；（2）解法一空间向量得出点到平面距离求体积，解法二现根据二面角求边长再求四棱锥体积即可.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面,ABCD 所以PA AC ⊥,因为2222248842AB AC BC AC BC =+-⋅⋅=+-=，所以222BC AC AB AB AC =+⊥，，AB ⊂平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，,AB AP A AC ⋂=⊥平面ABP ，所以点C 到平面PAB 的距离2c d CA ==，又因为BN 是线段PC 的中点，所以点N 到平面PAB 的距离122N d CA ==．【小问2详解】解法一：建立如图空间直角坐标系，则()0,0,2P h ，()0,2,0C ，()0,1,N h ，()0,0,0A ，()1,1,0D -，()0,1,AN h = ，()1,1,0AD =- ，()1,,n x y z =，所以111011,1,0AN n y hz n h AD n x y ⎧⋅=+=⎪⎛⎫⇒=-⎨ ⎪⎝⎭⋅=-+=⎪⎩，又因为DC ⊥平面APD ，则()21,1,0n DC == ，所以121226213122n n h n n h⋅==⇒=⋅+，所以13223P ABCDV-=⋅⋅=．解法二：如图，作NO垂直AC于O，取AD中点M，连结MO，MN，易知OMN∠是二面角N AD P--的余角，所以Rt NOM△中，6sin1322NOM NO∠==⇒=，所以22PA NO==，所以13223P ABCDV-=⋅⋅=．19.在ABC中，已知sintan3cosABA=-．（1）若1tan3B=，求sin A的值；（2）已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且2AM=，1MN=，求ABC的面积．【答案】（1）1或45（2）125【解析】【分析】（1）根据条件得到cos33sinA A=-，再利用平方关系即可求出结果；（2）根据条件，利用正弦定理边转角得到3c b=，利用sinsinABNACNS BN c BANS NC b CAN⋅∠==⋅∠，得到4a=，结合cos cos0AMB AMC∠+∠=，利用余弦定理得285b=，进而得出π2BAC∠=，即可求出结果.【小问1详解】因为1sin33cosAA=-，得到3sin3cosA A=-，即cos33sinA A=-，由平方关系得22sin(33sin)1A A+-=，整理得到25sin9sin40A A-+=，解得sin1A=或4sin5A=.【小问2详解】因为sin sin cos 3cos B AB A=-，得到sin cos sin cos 3sin A B B A B +=，整理得到sin 3sin C B =，所以3c b =，又sin 3sin ABN ACN S BN c BAN S NC b CAN ⋅∠===⋅∠ ，所以131BN BM NC BM +==-，得到2BM =，又M 是BC 的中点，所以4a =，又cos cos 0AMB AMC ∠+∠=，得到22449440222222b b +-+-+=⋅⋅⋅⋅，整理得到285b =，又2228891655b c a +=+⨯==，得到π2BAC ∠=，所以213381222255ABCS bc b ===⨯= .20.已知点(0,2)A 在椭圆C ：22221(1)1x ya a a +=>-上，过右焦点的两相互垂直的弦中点分别记为M ，N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求直线MN 经过的定点坐标．【答案】20.22154x y +=21.5,09⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把已知点的坐标代入入方程，即可求出椭圆标准方程.（2）分情况讨论，设出过右焦点的直线方程，代入椭圆方程，根据一元二次方程根与系数的关系确定M ，N 的坐标，求出直线MN 的方程，再判断直线MN 过定点.【小问1详解】由题意得：220411a a +=-⇒25a =，所以椭圆C 的标准方程为：22154x y +=.【小问2详解】若两条弦分别与x 轴，y 轴平行，此时直线MN 就是x 轴，故定点在x 轴上．否则设过右焦点的直线记为1x ty =+：交椭圆于两点()11,x y ，()22,x y ，则1x ty =+，联立方程组：2214520x ty x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得：()2241520ty y ++=整理得：()22458160t y ty ++-=，1222844545M t t y y y t t --∴+=⇒=++，22245114545M M t x ty t t -∴=+=+=++，用1t -代替t ，可得：222554545N t x t t==++，22444545N t t y t t ==++，若M N x x =，解得1t =±，MN l ：59x =，否则()222222449544555515445M N MN M N t ty y t t t k t x x t t t +-++===---++,∴()25119MN t k t -=，故MN l ：()222514594545t t x y t t t -⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，其中：令0y =得：()()22222514520255945459945t t t x tt t t -+=⋅+==+++.故直线MN 过定点5,09⎛⎫⎪⎝⎭.21.为丰富课余生活，某班组织了五子棋大赛．下表统计了该班学生近期课间与其他班学生的200场比赛的胜负与先后手列联表（不记平局，单位：场）．最后甲乙两人晋级决赛，决赛规则如下：五局三胜，没有平局，其中第一局先后手等可能，之后每局交换先后手．已知甲先手胜乙的概率为23后手胜乙的概率为13．先后手胜负合计胜负先手6040100后手4060100合计100100200（1）依据0.01α=的独立性检验，能否认为五子棋先后手与胜负有关联？（2）在甲第一局失败的的条件下，求甲最终获胜的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P k k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.828【答案】（1）可以认为五子棋先后手与胜负有关联（2）827【解析】【分析】（1）先计算2K 再和临界值比较即可下结论；（2）应用条件概率公式计算可得.【小问1详解】()22200360016008 6.635100100100100K -==>⨯⨯⨯，故可以认为五子棋先后手与胜负有关联．【小问2详解】设事件A ：甲第一局失败；事件B ：第一局甲先手；事件C ：甲获胜1()()2P B P B ∴==；()()()1211123232P A P AB P A B =+=⋅+⋅=∣．分两种情况讨论：甲第一局先手且失败，但最终获胜：共4局比赛：1112112333381⋅⋅⋅⋅=．共5局比赛：11221111122219123333333333392727⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭甲第一局后手且失败，但最终获胜：共4局比赛：1221242333381⋅⋅⋅⋅=共5局比赛：121122222111112423333333333392781⎛⎫⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭．故甲在第一局失败的情况下获胜的概率1144124()812781818127P AC =+++==．综上()()()827P AC P C A P A ==．22.已知函数()e 12x f x ax a =--R a ∈且0a ≠．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程．（2）若对任意[)1,x ∈-+∞，都有()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）0y =（2）01a <≤【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可；（2）法一、利用必要性探路，先由已知得()1010f a=-≥得出01a <≤，而()0f '随a 增大而减小得01a <≤时()00f '≥符合题意，再根据常用的切线放缩结合换元法及二次函数的性质证充分性即可；法二、先确定0a >，利用分类讨论()0f '的符号结合隐零点、常用切线放缩一一验证即可.【小问1详解】由题意知，当1a =时，()1e2xf x =-'，易知()00f =，()00f '=，即得曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为0y =．【小问2详解】法一：因为1(0)1001f a a=-≥⇒<≤，又因为111()(0)222x e a f x a f a a ''=-⇒=--，所以()0f '随a 增大而减小，当1a =时，11(0)1022f '=--=，下证充分性：设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，显然0x ≥时()0h x '≥，则此时()h x 单调递增，0x <时()0h x '<，此时()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，由()1e 12xx axx f x a +≥+⇒≥--，[)1,x ∞∈-+，令[)20,1t x t ∞=+⇒=-，即()211122f x a t t a a ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，设()21122a g t t t a a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，0,01t a ≥<≤，易知其对称轴为02122at a a a==--，且11,22a a ∞⎡⎫-∈+⎪⎢⎣⎭，即()y g t =开口向上，对称轴(]010,12t a a=∈-，所以()g t 在()00,t 单调递减，在()0,t ∞+单调递增，所以()()22min 0002211222222a a a a a a g t g t t t a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-=-+- ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222110222222aa a a a a a ⎛⎫=+-=->⎪---⎝⎭，所以当01a <≤时，()0f x ≥恒成立．法二：由题意可知，0a >，又由()e 2x a f x a =--'可知()f x '在[)1,x ∞∈-+上递增，且()()212112(0)2222a a a a af a a a-+--=-'=--=.（i）当()00f '≥时，即01a <≤，此时存在[]01,0x ∈-，使得()00f x '=，即()f x 在()01,x -上递减，在0(,)x +∞上递增，所以()00200min0020001e 12e ()22x x x x f x f x ax a a a x x ⎡⎤⎛+⎢⎥==--++ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦设()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，显然0x ≥时()0h x '≥，则此时()h x 单调递增，0x <时()0h x '<，此时()h x 单调递减，所以()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，①当011,2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，令002002200000112e 2e ()x x x x a a x x x x ϕ⎛++=+-≤+ ⎝⎭()()0000220002111210x x x x x x x +++≤+=+≤，所以可得()00f x ≥．②当01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，再令)11,112t t x ∞⎫⎛⎫=⇒-=-∈+ ⎪⎪⎝⎭⎭，此时()()00022000011211x x x e a x x x ϕϕ++≤=+--)210x ≤=≤，所以可得()00f x ≥．（ii ）当()00f '<时，即1a >，则存在1(0,)x ∈+∞，使得()10f x '=，则()f x 在()11,x -上递减，在1(,)x +∞上递增，所以()min 11()(0)10f x f x f a=<=-<，不成立．综上（i ），（ii ）知01a <≤．【点睛】方法点睛：对于不等式恒成立问题一般可以通过必要性探路结合端点效应先得出参数范围，再证充分性的方法处理；或者通过含参分类讨论的方法处理.需要多积累一些常用的切线放缩：1e 1,e e ,ln 1,ln ex x x x x x x x ≥+≥≤-≤等方便处理不等关系.。
2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高一上学期期末数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年浙江省绍兴市诸暨市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}30,1,2,3,4,N N U A x x ⎧⎫==∈∈⎨⎬⎩⎭∣，则U A =ð（）A ．{}0,1,3B ．{}1,3C ．{}0,2,4D ．{}2,4【正确答案】C【分析】首先确定集合A 中元素，然后由补集定义求解．【详解】3N N {13}A x x ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭∣，，又{0,1,2,3,4}U =，∴{0,2,4}U A =ð．故选：C ．2．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．1【正确答案】B【分析】如图所示，根据弦长得到OAB 为等边三角形，得到答案.【详解】根据题意：作出如下图形，AB OA OB r ===，则OAB 为等边三角形，故π3BOA ∠=.故选：B.3．已知命题2:R,10p x x x ∃∈-+<，那么命题p 的否定是（）A ．2R,10x x x ∀∈-+≥B ．2R,10x x x ∀∈-+<C ．2R,10x x x ∃∈-+≤D ．2R,10x x x ∃∈-+≥【正确答案】A【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题进行判断即可.【详解】因为在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“2R,10x x x ∃∈-+<”的否定是“2R,10x x x ∀∈-+≥”.故选：A4．已知幂函数()f x x α=的图像过点()2,44=，则实数m 的值为（）A ．2B ．2±C ．4D ．4±【正确答案】D4=，即可求得答案.【详解】由题意幂函数()f x x α=的图像过点()2,4，则24,2αα=∴=，则()2f x x=4=24,16,4m m =∴=∴=±，故选：D5．已知0.61,log 2a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a c b <<D ．b<c<a【正确答案】A【分析】由指数函数与对数函数的单调性判断．【详解】因为0.52a ==，0.60.60.51222b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭1>，log 1c =<，所以c<a<b ．故选：A ．6．若()(),f x g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，则()()01f g +=（）A ．1B ．2C ．34D ．54【正确答案】D【分析】由奇偶性的定义求得()f x 与()g x 的表达式，然后求函数值．【详解】()()2x f x g x +=（1），则()()2x f x g x --+-=，又()(),f x g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，∴()()2x f x g x --+=（2），（1）（2）两式相加除以2得22()2x x g x -+=，相减除以2得22()2x x f x --=，∴(0)0f =，1252(1)24g +==，∴5(0)(1)4f g +=，故选：D ．7．设0a >且1a ≠，则“log log a a x y >”是“x y a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据对数函数以及指数函数的性质，判断“log log a a x y >”和“x y a a >”之间的逻辑推理关系，即可判断答案.【详解】当1a >时，由log log a a x y >可得0x y >>，由于x y a =为R 上增函数，则x y a a >，当01a <<时，由log log a a x y >可得0x y <<，由于x y a =为R 上减函数，则x y a a >，即“log log a a x y >”是“x y a a >”的充分条件；当x y a a >时，比如取12a =，2,1x y =-=-满足条件，但log ,log a a x y 无意义，故“log log a a x y >”不是“x y a a >”的必要条件，故“log log a a x y >”是“x y a a >”充分不必要条件，故选：A8．已知,R a b ∈，0,0a b >>，且22231a ab b --=，则（）A ．a b +有最小值1B ．a b -有最小值1C ．35a b +有最小值D ．35a b -有最小值【正确答案】D【分析】由题意可得()(3)1a b a b +-=，则13a b a b+=-，a b +无最小值，判断A ；设,3,10a b m a b n m n +=-=>>>，则1mn =，结合基本不等式可判断B ；7171352222a b m n m m+=-=-，结合函数的单调性，可判断C ；利用352a b m n -=+，结合基本不等式求得35a b -的最小值，判断D.【详解】由0,0a b >>，且22231a ab b --=可知()(3)1a b a b +-=，而30a b a b +>->，则1031,13a b a b a b<-<∴+=>-，则a b +无最小值，A 错误；设,3,10a b m a b n m n +=-=>>>，且1mn =，则11()122a b m n -=+≥⨯=，当且仅当1m n ==，即1,0a b ==时取等号，这与题设矛盾，故a b -最小值不为1，B 错误；7171352222a b m n m m +=-=-，由于函数7122y x x=-在(1,)+∞上递增，故7122y x x=-在(1,)+∞上无最小值，即35a b +无最小值，C 错误；352a b m n -=+≥=当且仅当2m n ==时，即88a b ==时取等号，D 正确，故选：D关键点睛：该题为根据条件等式求最值问题，解答时由22231a ab b --=可得()(3)1a b a b +-=，由此看到两个因式之积为定值，由此设,3a b m a b n +=-=，进而将问题转化为基本不等式求最值问题或利用函数单调性，解决问题.二、多选题9．下列函数的定义域是R 的有（）A ．()f x =B ．()1f x x=C ．()2xf x =D ．()lg ||f x x =【正确答案】AC【分析】根据每个选项中函数的解析式，确定其定义域，即可判断出答案.【详解】对于A ，()||f x x =，其定义域为R,正确；对于B,()1f x x=,定义域为{R |0}x x ∈≠，错误；对于C,()2xf x =定义域为R ，正确；对于D ，()lg ||f x x =定义域为{R |0}x x ∈≠，错误，故选：AC10．已知角α的终边上有一点P 的坐标是()3,4a a ，其中0a ≠，则下列取值有可能的是（）A ．4sin 5α=-B ．3cos 5α=-C ．1sin cos 5αα+=D ．1sin cos 5αα-=【正确答案】BCD【分析】分0a >和a<0讨论，求出相应的三角函数值即可判断.【详解】当0a >时，()3,4P a a ，则44sin 55a a α==，33cos 55a a α==，则7sin cos 5αα+=，1sin cos 5αα-=，故D 正确；当a<0时，()3,4P a a -，则44sin 55a a α-==-，33cos 55a a α==--，则1sin cos 5αα+=，7sin cos 5αα-=，故BC 正确；综上，A 错误，BCD 可能正确.故选：BCD.11．若函数31,0()14727,0x x x x f x x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-⋅-≥⎩，则函数()1()1g x f x a x =+--的零点情况说法正确的是（）A ．函数()g x 至少有两个不同的零点B ．当[)1,3a ∈-时，函数()g x 恰有两个不同的零点C ．函数()g x 有三个不同零点时，{}5,3a ∈-D ．函数()g x 有四个不同零点时，()3,a ∈+∞【正确答案】ABC 【分析】根据题意，令1x a t x+-=，则函数()g x 的零点也即方程()1=f t 的解，根据函数()f x 的解析式可得：1t =-或3t =，再结合对勾函数的性质逐项进行判断即可求解.【详解】令1x a t x +-=，则函数()11g x f x a x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭的零点即方程()1=f t 的解，当0t <时，31()11t f t t +==-，解得：1t =-；当0t ≥时，()47271t t f t =-⋅-=，解得：3t =；也即11x a x +-=-或13x a x +-=，则有11x a x+=-或13x a x +=+，因为1()x x x ϕ=+，当0x >时，1()2x x xϕ=+≥（当且仅当1x =时取等号）；当0x <时，11()[()(2x x x x xϕ=+=--+-≤-（当且仅当=1x -时取等号），对于A ，若函数()g x 没有零点，则有2132a a -<-<+<，无解，所以函数()g x 必有零点，当1a =-时，112x a x+=-=-有一个零点，132x a x +=+=有一个零点，其他时候至少两个零点，所以函数()g x 至少有两个不同的零点，故选项A 正确；对于B ，当1a =-时，由选项A 的分析可知：函数()g x 有两个零点；当13a -<<时，212a -<-<，236a <+<，此时方程11x a x+=-无解；方程13x a x +=+有两解，此时函数()g x 有两个零点；综上所述：当[)1,3a ∈-时，函数()g x 恰有两个不同的零点，故选项B 正确；对于C ，若函数()g x 有三个不同零点，则方程11x a x+=-有一解且13x a x +=+有两解，或者方程11x a x+=-有两解且13x a x +=+有一解，当方程11x a x+=-有一解且13x a x +=+有两解时，则有3212a a +>⎧⎨-=⎩或3212a a +>⎧⎨-=-⎩，解得：3a =；当方程11x a x+=-有两解且13x a x +=+有一解时，则有3212a a +=-⎧⎨-<-⎩或3212a a +=⎧⎨-<-⎩，解得：5a =-；综上所述：若函数()g x 有三个不同零点时，{}5,3a ∈-，故选项C 正确；对于D ，若函数()g x 有四个不同零点，则方程11x a x+=-和13x a x +=+均有两解，则有3212a a +>⎧⎨->⎩或3212a a +>⎧⎨-<-⎩或3212a a +<-⎧⎨-<-⎩，解得：3a >或5a <-，故选项D 错误，故选.ABC12．已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 的图象关于12x =对称C ．[]1,1x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,1-D ．[]0,2x ∈时，()f x x +的值域为[]0,2【正确答案】ACD【分析】根据周期性和奇函数可判断AB,由奇函数的对称性可判断C,结合周期性以及奇函数的对称性可判断D.【详解】对于A,函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，则()()2f x f x +=，故()()()()()111110f x f x f x f x f x +=-=--⇒++-=，故()f x 的图象关于点()1,0对称，A 正确，对于B,()()()111f x f x f x -+=--=-+,得不到()()1f x f x -+=，故无法确定()f x 的图象是否关于12x =对称，故B 错误，对于C,由()f x 是奇函数，记()()g x f x x ，=+故()()()()=g x f x x f x x g x ---=--=-，所以()g x 是奇函数，当[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，故当[]1,0x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,0-，进而可得[]1,1x ∈-时，()f x x +的值域为[]1,1-，故C 正确，对于D ，当[]1,2x ∈时，[]21,0x -∈-，故()()22f x x -+-的值域为[]1,0-，由()f x 的周期性可得()()()()2222f x x f x x f x x +=-+=-+-+，故()f x x +值域为[]12，，又[]0,1x ∈时，()f x x +的值域为[]0,1，因此[]0,2x ∈时，()f x x +的值域为[]0,2，故D 正确，故选：ACD 三、填空题13．tan125sin273⋅ ______0（填,><）【正确答案】>【分析】直接判定角所在象限及其正负即可.【详解】125 在第二象限，tan1250︒∴<,273︒ 在第四象限，sin 2730︒∴<,tan125sin 2730︒︒∴⋅>，故答案为.>14．若函数()()()221f x x x ax b =-++；且()()4f x f x =-，则a b +=______.【正确答案】7【分析】由题得()()13f f =，()()04f f =，得到方程组，解出即可.【详解】()(4)f x f x =- ，()()13f f ∴=，()()04f f =，即()()2083315164a b b a b ⎧=⨯++⎪⎨-=⨯++⎪⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，故7a b +=，此时()()()221815f x x x x =--+，()()()()()()()2222441484151815f x x x x x x x f x ⎡⎤⎡⎤-=-----+=--+=⎣⎦⎣⎦故7.15．函数2214sin cos y x x=+的最小值是______.【正确答案】9【分析】利用同角三角函数的平方关系，结合基本不等式求函数最小值.【详解】由22sin cos 1x x +=，()222222222214144sin cos sin cos 14sin cos sin cos cos sin x x y x x x x x x x x ⎛⎫=+=++=+++ ⎪⎝⎭5549≥++=，当22224sin cos cos sin x x x x=，即2212sin ,cos 33x x ==时等号成立.所以函数2214sin cos y x x=+的最小值是9.故9.16．已知函数()2(1)1x x axf x x ++=+，对任意两个不等实数[)12,1,x x ∞∈+，都有()()2112120x f x x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(],4∞-【分析】()()()()12211212121200f x f x x f x x f x x x x x x x -->⇒>--，则()11f x a x x x =+++在[)1,+∞上单调递增，据此可得答案.【详解】对任意两个不等实数[)12,1,x x ∞∈+，由()()2112120x f x x f x x x ->-可得()()121221011->-f x f x x x x x 即()()121212f x f x x x x x ->-，则()11f x ax xx =+++在[)1,+∞上单调递增，则取任意[)12,1,x x ∞∈+，12x x <，有()()121212121111⎛⎫-=++-++ ⎪++⎝⎭f x f x a a x x x x x x ()()()()()12121211011++-=-⋅<++x x a x x x x ，又()()()12120110，x x x x -<++>.则()()12110x x a ++->，即()()1211a x x <++，对任意[)12,1,x x ∞∈+恒成立，注意到()()12114++>x x ，则4a ≤.故答案为.(],4∞-四、解答题17．（1）已知11223a a +=，求22173a a a a --+-++的值；（2）已知()()2cos sin π4π3πcos sin 22θθθθ-+-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求tan θ的值.【正确答案】（1）4；（2）2.【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简求值；（2）利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简求值.【详解】（1）()21112227a a a a --⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，∴()()2221247a a a a --+=+-=，∴原式477473-==+.（2）()()2cos sin π2cos sin 4π3πsin cos cos sin 22θθθθθθθθ-+-+==-⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 6cos θθ∴=，sin tan 2cos θθθ∴==.18．已知集合{}{}2132,280A xa x a B x x x =-≤≤-=--≤∣∣.(1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；(2)若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)1[,)2-+∞(2)(,1]-∞-【分析】（1）解不等式可得集合B ，由A B B ⋃=可得A B ⊆，讨论A 为空集和非空集两种情况，求得答案；（2）由题意可得集合B 为集合A 的真子集，列出不等式组，求得答案.【详解】（1）解2280x x --≤得24x -≤≤，知{}24B xx =-≤≤∣，由A B B ⋃=，得A B⊆①当A =∅时，132a a ->-，解得43a >；②当A ≠∅时，13212324a aa a -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得1423a -≤≤，综上，12a ≥-，即实数a 的取值范围为1[,)2-+∞.（2）由题意x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，可知B A ，则13212324a aa a -≤-⎧⎪-≤-⎨⎪-≥⎩，解得1a ≤-，经检验1a =-，符合题意，故1a ≤-，即实数a 的取值范围是(,1]-∞-.19．已知,R a b +∈，函数()a f x x x b=+-.(1)若()()123f f ==，求()f x ；(2)若1b =，当[]2,3x ∈时，求()f x 的最小值.【正确答案】(1)()2f x x x=+(2)()(]()[)min 20,111,434,2a a f x a a a ∞⎧+∈⎪⎪=∈⎨⎪⎪+∈+⎩【分析】（1）根据所给条件代入函数解析式，即可得到方程组，解得a 、b ，即可求出函数解析式；（2）设1t x =-，()1a g t t t=++，[]1,2t ∈，根据对勾函数的性质对a 分01a <≤、14a <<、4a ≥三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可得解.【详解】（1）解：由题意知131232a b a b ⎧+=⎪⎪-⎨⎪+=⎪-⎩，222a b a b =-⎧∴⎨=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，()2f x x x∴=+.（2）解：()1111a a f x x x x x =+=-++-- ，()0a >，设1t x =-，因为[]2,3x ∈，则[]1,2t ∈，令()1a g t t t =++，[]1,2t ∈，根据对勾函数的性质可知()g t在(上单调递减，在)+∞上单调递增，当01a <≤时()g t 在[]1,2上单调递增，所以()()min 12g t g a ==+，当14a <<时()g t在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 1g t g==，当4a ≥时()g t 在[]1,2上单调递减，所以()()min 232a g t g ==+，()(]()[)min20,111,434,2a a f x a a a ∞⎧+∈⎪⎪∴=+∈⎨⎪⎪+∈+⎩.20．为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为x 米(36)x ≤≤.(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为1800(1)a x x+元(0)a >，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a 的取值范围.【正确答案】(1)4米，28800元(2)012.25a <<【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.【详解】（1）设甲工程队的总造价为y 元，则24163(3002400)144001800()14400(36)y x x x x x =⨯+⨯+=++≤≤161800()14400180021440028800x x ++≥⨯+=.当且仅当16x x=，即4x =时等号成立.即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.（2）由题意可得，161800(1)1800(14400a x x x x+++>对任意的[]36x ∈，恒成立.即2(4)(1)x a x x x++>，从而2(4)1x a x +>+恒成立，令1x t +=，22(4)(3)96,1x t t x t t++==+++[4,7]t ∈又96y t t=++在[4,7]t ∈为单调增函数，故min 12.25y =.所以012.25a <<.21．已知0,0,3232m n n m m n -->>+<+.(1)证明：m n <；(2)若函数()4log (0,1)4ax f x a a x -=>≠+，当定义域为(),m n 时，值域为()()()1log 2,1log 2a a n m +-+-，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析(2)10,18⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）通过变形得113322m m n n -<-，利用函数()132x xh x =-的单调性即可；（2）首先求出(0,1)a ∈，则得到方程组，转化成,m n 是()424t a t t -=-+上两个大于4的根，即()221480at a t a +-+-=上有两个大于4的根，列出不等式组，解出即可.【详解】（1）1132323322m m nm n n n n ---<-⇒-<- 设()132xx h x =-，设12113,22x x x y y ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，易得12,y y 在R 上为增函数，则()h x 为增函数，而()()h m h n <，即m n <.（2）由题意知：()()()0,11log 21log 2a a m n a n m <⎧⇒∈⎨+-<+-⎩,48()log log 144aa x f x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，()()440x x -+>，解得>4x 或<4x -设3814y x =-+，()(),44,x ∈-∞-⋃+∞，因为反比例函数48y x=-在(),0∞-和()0,∞+上单调递增，通过向左平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到3y ，则函数3814y x =-+在(),4-∞-和()4,+∞上单调递增，根据复合函数单调性知()f x 在(),4-∞-和()4,+∞的范围内各自单调递减，而2020m n ->⎧⎨->⎩，且m n <，故2m n <<，因为定义域为(),m n ，故4m n <<，根据()f x 在()4,+∞上单调递减，()()4log log 244log log 24a a a a m a m m n a n n -⎧=-⎪⎪+∴⎨-⎪=-⎪+⎩，,m n ∴是方程()424t a t t -=-+上两个大于4的根，()221480at a t a ∴+-+-=上有两个大于4的根，则有()()22Δ(21)1612042144801242a a a a a a a a⎧⎪=--->⎪⋅+-⋅+->⎨⎪-⎪>⎩，11218100,181010a a a a a ⎧><⎪⎪⎛⎫∴>⇒∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎩或.22．已知函数()221,01,0x ax x f x x ax x ⎧++>=⎨--<⎩.(1)当2a =时，求()f x 的单调递减区间；(2)当0a =时，函数()()()22R g x f x k x x k =--∈恰有3个不同的零点，求实数k 的取值范围.【正确答案】(1)(),0∞-(2)⎫⎪⎝+⎭∞⎪【分析】（1）由2a =，得到()f x ，利用二次函数的性质求解；（2）由题意得到()221,01,0x x f x x x ⎧+>=⎨-<⎩，再分2x >，02x <<，0x <，转化为两函数交点求解；法二：令()0g x =，转化为1,021,0x x x k x x x x ⎧+>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，利用数形结合法求解；【详解】（1）解：当2a =时，()222221,0(1),021,0(1)2,0x x x x x f x x x x x x ⎧⎧++>+>⎪==⎨⎨--<--<⎪⎩⎩，由二次函数的性质得()f x 的单减区间为(),0∞-.（2）由题意知，()221,01,0x x f x x x ⎧+>=⎨-<⎩，易知2x =不是()g x 的零点.①当2x >时，()()2212g x x k x x =+--，令()0g x =，则222121122x x k x x x x++==+--，②当02x <<时，()()2212g x x k x x =++-，令()0g x =，则222121122x x k x x x x++-==+--，③当0x <时，()()2212g x x k x x =---，令()0g x =，则222121122x x k x x x x --==+--，设21x t +=，则221411526x x x t t ++=+--+，记()4156h t t t=+-+，对于①，()5,t ∈+∞，设56m t t=-+，任取()12,5,t t ∈+∞，且12t t <，则()1212121212555661m m t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()12,5,t t ∈+∞，所以12510t t ->，又12t t <，则120t t -<，所以120m m -<，即12m m <，则m 在()5,+∞上递增，此时()h t 单调递减，且()()1,h t ∞∈+，故当()1,k ∈+∞时，()g x 只有1个零点：当(],1k ∈-∞时，()g x 没有零点.对于②，()1,5t ∈，此时()h t在(单调递减，在)单调递增，且1t =时，()h t 趋近-∞，5h t ==时，()h t 趋近-∞，，故当k ∞⎛-∈- ⎝⎭，即k ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，()g x 有2个零点；当12k ∞⎛⎫---∈+ ⎪ ⎪⎝⎭，即k ∞⎛∈- ⎝⎭时，()g x 没有零点；当12k =时，()g x 只有1个零点.对于③，令21x m -=，则221411322x x x m m-+=+---，记()4132m m m ϕ=+--，因为(),0x ∈-∞，则(),1m ∈-∞-，显然()m ϕ在(),1-∞-单调递减，且()(),1m ϕ∞∈-，则(),1k ∈-∞时，()g x 有1个零点：当[)1,k ∈+∞时，()g x 没有零点.综上所述，k ∞⎫∈+⎪⎪⎝⎭时，()g x 有3个零点.法二：令()0g x =，即2221,021,0x x k x x x x ⎧+>-=⎨-<⎩，因为0x ≠，故1,021,0x x x k x x x x ⎧+>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪⎩，因为1y x x =+与1y x x=-的渐近线分别为y x =和y x =-，而2y k x =-是恒过()2,0的折线.由图可知，当()2y k x =-与1y x x=+相切时，()g x 有两个零点，即()12k x x x-=+在()0,1有且只有一个解.即()21210k x kx +-+=在()0,1有且只有一个解.当10k +=，即1k =-时，12x =-，不成立；当10k +≠时，()24410k k ∆=-+=，解得12k +=，故当1,2k ∞⎛⎫∈+ ⎪ ⎪⎝⎭时，()g x 有3个零点.。
浙江省诸暨市诸暨中学2022-2023学年高一上数学期末调研试题含解析
又 ，
所以 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
2、D
【解析】由一元二次方程的根与系数的关系得出两根的和与积，再凑配求解
【详解】显然方程有两个实数解，由题意 ， ，
所以
故选：D
3、C
【解析】根据函数的奇偶性的定义和幂函数的概念，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
对于B，是指数型函数，所以B正确，
对于C，是对数型函数，由于表中的 取到了负数，所以C错误，
对于D，是反比例型函数，图象是双曲线，所以D错误，
故选：B
5、C
【解析】由 ，应用诱导公式求值即可.
【详解】 .
故选：C
6、C
【解析】以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 与 所成角
因为 ，所以 ，
设函数 ，根据基本初等函数的性质，可得函数 在 上单调递减，
因为 时，所以函数 的最大值为 ，
所以 ，即实数 的取值范围是
【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解函数的解析式，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的奇偶性，以及利用分离参数，结合函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】首先利用面面垂直转化出线面垂直，进一步求出线面的夹角，最后通过解直角三角形求出结果.
【详解】取BD中点O，连接AO，CO.
因为AB=AD，所以 ，又平面 平面 ，所以 平面 .
因此， 即为AC与平面 所成的角，
由于 ， ，所以 ,
2023届浙江诸暨中学数学高一上期末含解析
（2）(i)证明见解析；(ii) .
【解析】(1)根据题意∵ 为奇函数，∴ ，令x＝1即可求出 ；
(2)(i)验证 为奇函数即可；
(ii))求出 在区间 上的值域为A，记 在区间 上的值域为 ，则 .由此问题转化为讨论f(x)的值域B，分 ， ， 三种情况讨论即可.
【小问1详解】
∵ 为奇函数，
专业
机电维修
车内美容
衣物翻新
美容美发
泛艺术类
电脑技术
招生人数
就业率
（1）从该校已毕业的学生中随机抽取 人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；
（2）为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少 人，将“机电维修”专业的招生人数增加 人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高 个百分点，求 的值
A. B.
C.2D.
12．若 ，则 的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．设 ，且 ，则 的取值范围是________.
14．函数 的单调递增区间是_________
15．一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为 ，则该球的表面积为__________
（2）先根据甲收益 函数，分类讨论，再根据对应函数单调性确定最值取法，最后比较大小确定最大值
【详解】解：（1）当甲合作社投入为25万元时，乙合作社投入为47万元，此时两个个合作社的总收益为：
（万元）
（2）甲合作社的投入为 万元 ，则乙合作社的投入为 万元，