2014-2015学年高中人教A版数学选修1-1同步课件 2.3.2 抛物线的简单几何性质

可得 ky2-4y+4(2k+1)=0
( П) y=1 y
(1)当k=0时，由方程(П)，得 1 把 x4 y=1 代 这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 , 1 ) 入 y2=4 (2)当k≠0时，方程(П)的 x, 得 判别式为△=-16(2k2+ k-1)
P o
x
下面分三种情况讨论。 ① 由△ =0，即2k2+k-1=0 解得k=-1或k=1/2 于是，当k=-1或k=1/2时，
解得
k<-1或k>1/2
于是,当k<-1或k>1/2时,
方程(П) 没有实数解,
从而方程组(І) 没有解. 这时,直线l与抛物线没有公共点.
综上可得:
当k=-1或k=1/2或k=0时，
直线l与抛物线只有一个公共点 当-1<k<1/2 ,且k≠0时
直线l与抛物线有2个公共点.
当k<-1或k>1/2时 直线l与抛物线没有公共点.
对称轴 y=0 y=0 x=0
o F
y F o x y
F o y o F x
y≥0 y≤0
x
(0,0)
x=0
例 1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点 M( 2,2 2 ) ， 求它的标准方程，并用描点法画出图形. 解：因为抛物线关于x轴对称， y 它的顶点在原点， 并且过M( 2,2 2 ) o 所以可设它的标准方程 为y2=2px(p>0)
M
x
y 因为点M在抛物线上，
所以
(2 2 ) 2 p 2
2
o
M
x
即: p=2.
因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
练习1 求适合下列条件的抛物线方程：
(1) 顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过 2 16 点M(5,-4) ; y x
5
(2) 顶点在原点，焦点是F(0,5) ; x 20 y
思考
P点位置不同,直线与抛物线 的位置关系怎样?
y y
P
o x o
P
x
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程 得到一元二次方程
直线与抛物线 相交(一个交点)
计算判别式
△> 0 ，相交 △= 0 ，相切
此方法适用于 其他各种曲线
△< 0 ，相离
练习4 一顶点在原点，焦点在x轴上的抛 物线截直线2x-y-4=0所得的弦长为 3 5 ， 求抛物线的4;
y 16 x
2
(4) 焦点是F(0,-8)，准线是 y=8. x 32 y
2
先定型，再定量
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的 焦点,且与抛物线相交于A,B两点,求线段 AB的长. y 解法一: 由已知得抛物线的焦点为(1,0) 所以直线AB的方程为y=x -1 联立方程组得 y 4 x ① y x 1 ②
2
即m 32m 144 0.
2
m 4或m 36
所求的抛物线方程为 : y 2 4 x或y 2 36x
小 结:
抛物线的简单几何性质 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线的位置关系的判断方法
动画 圆锥曲线的得来
复位 相离 相切 相交
l
如何从式子中解得直线与圆的关系?
把直线方程代入圆的方程 得到一元二次方程 > 0, 相 交 计 算 判 别 式 = 0, 相 切 < 0, 相 离
y
复位
Ｂ o
l l
相离
Ｍ
Ａ Ｃ
x
l
相切
相交１ 相交２
l
练习3 1、求直线 y = x -1与抛物线 y2 =4x 的位置关系。
x1 3 2 2 x2 32 2
A’
A
o
B’ B
F
x
试比较两种 解法
2=2x，过点Ｑ(2,1) 已知抛物线 y 练习２
作斜率为1直线交抛物线于A、B两点，
试求弦AB的中点M。
依照上题的思路：xA+xB=4 所以xM=2 将xM=2代入 y=x-1得yM＝１ 所以Ｍ为（２，１）
y M B o l l A x
线的距离分别为dA,dB, 由抛物线的定义 可知 |AF|=dA=x1+1, |BF|=dB=x2+1, y 于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 由已知得抛物线的焦点为(1,0) 所以直线AB的方程为
A’
dA
F B
A
B’
y=x -1 ①
dB
o
x
y
将①代入方程y2=4x,得 (x-1)2=4x 整理得 x2-6x+1=0 解 得 于是 |AB|=x1+x2+2=8 : 所以线段的长是8.
解 : 设抛物线方程为 y mx(m 0)与
2
直线2 x y 4 0联立消去y得 2 4x (16 m) x 16 0
由弦长公式 1 k 2 x1 x2 3 5
(1 k )[(x1 x2 ) 4x1x2 ] 45
2 2
16 m 2 16 (1 2 )[( ) 4 ] 45 4 4
相交
注：得到一元二次方程，需计算判别式。 2、求直线 y = 6与抛物线 y2 =4x 的位置关系。
相交
注：得到一元一次方程，得到一个交点。
例 3 已知抛物线的方程为y2=4x,直线l 过定点P(-2,1),斜率为k。当k为何值时， 直线l与抛物线：只有一个公共点；有两 个公共点；没有公共点。 y 解：由题意， P 直线l的方程为 o x y=kx+2k+1 y=kx+(2k+1) 由方程组 (І) 2 y =4x
2
A
o
B
F
x
y
②代入①得
(x-1)2=4x
o
x1 3 2 2 x2 32 2
A
整理得 x2-6x+1=0 解 得 将x1 , x2代入y=x-1得AB坐标为 : A(3 2 2,2 2 2 ) B (3 2 2,2 2 2 ) 由两点间距离公式得:AB=8 .
F B
x
解法二:如图设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B到准
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 抛物线的简单几何性质 y
o
x
o F
图 y 形
x y F o x y
标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px P P x （ ， 0 ） 2 (p>0) 2 y2= -2px P P （ ， 0 ）x 2 (p>0) 2
x2=2py (p>0) x2= -2py (p>0)
P yP （0， ） 2 2
P P （0， ）y 2 2
F o
y o F
x x
先来研究抛物线 的简单几何性质. 1、范围
y2=2px(p>0)
l N
y
M
x0
2、对称性 关于x轴对称
3、顶点 4、离心率 (0,0) e=1
K
o
F
x
图
y
形
x
范 围 x≥0 x≤0
顶点坐标 (0,0) (0,0) (0,0)
方程(П)只有一个解，
从而方程组(І)只有一个解，
这时，直线l与抛物线只有一个公共点
②由△>0,即 2k2 + k -1<0
解得 -1<k<1/2
于是,当-1<k<1/2 ,且k≠0时,
方程(П)有2个解
从而方程组(І)有2个解.
这时,直线l与抛物线有2个公共点.
③由△<0,即 2k2+k-1>0