常用函数的导数计算.
常用微积分式导数公式
常用微积分式导数公式微积分是数学的一个重要分支，用于研究函数的变化规律。
在微积分中，导数是一个重要概念，用于描述函数在特定点的变化率。
下面是常用微积分式中的一些导数公式：1.基本导数公式：- 常数的导数是0：d/dx(c) = 0。
- 幂函数的导数：d/dx(x^n) = n*x^(n-1)。
- 指数函数的导数：d/dx(e^x) = e^x。
- 对数函数的导数：d/dx(ln(x)) = 1/x。
2.三角函数的导数公式：- 正弦函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
- 余切函数的导数：d/dx(cot(x)) = -csc^2(x)。
- sec函数的导数：d/dx(sec(x)) = sec(x) * tan(x)。
- csc函数的导数：d/dx(csc(x)) = -csc(x) * cot(x)。
3.反三角函数的导数公式：- 反正弦函数的导数：d/dx(arcsin(x)) = 1 / sqrt(1 - x^2)。
- 反余弦函数的导数：d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)。
- 反正切函数的导数：d/dx(arctan(x)) = 1 / (1 + x^2)。
- 反余切函数的导数：d/dx(arccot(x)) = -1 / (1 + x^2)。
- 反sec函数的导数：d/dx(arcsec(x)) = 1 / (，x， * sqrt(x^2- 1))。
- 反csc函数的导数：d/dx(arccsc(x)) = -1 / (，x， * sqrt(x^2 - 1))。
4.复合函数的导数公式：- 若y = f(g(x))，则y对x的导数为dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)。
5.对数微分法则：- 若y = log_b(x)，则dy/dx = 1 / (x * ln(b))。
常用的导数公式大全
常用导数公式大全一阶导数1.常数函数：$ \frac{d}{dx} C = 0$2.幂函数：$ \frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}$3.指数函数：$ \frac{d}{dx} e^x = e^x$4.对数函数：$ \frac{d}{dx} \log_a x = \frac{1}{x \ln a}$5.三角函数：–正弦函数：$ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$–余弦函数：$ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$–正切函数：$ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$二阶导数1.常数函数：$ \frac{d2}{dx2} C = 0$2.幂函数：$ \frac{d2}{dx2} x^n = n(n-1)x^{n-2}$3.指数函数：$ \frac{d2}{dx2} e^x = e^x$4.对数函数：$ \frac{d2}{dx2} \log_a x = -\frac{1}{x^2 (\ln a)^2}$5.三角函数：–正弦函数：$ \frac{d2}{dx2} \sin x = -\sin x$–余弦函数：$ \frac{d2}{dx2} \cos x = -\cos x$–正切函数：$ \frac{d2}{dx2} \tan x = 2\seq^2 x$高阶导数1.幂函数：$ \frac{d n}{dx n} x = n!$2.指数函数：$ \frac{d n}{dx n} e^x = e^x$3.对数函数：$ \frac{d n}{dx n} \log_a x = (-1)^{n-1} (n-1)! \frac{1}{x^n (\ln a)^n}$4.三角函数：–正弦函数：$ \frac{d n}{dx n} \sin x = \sin{(x + n\frac{\pi}{2})}$–余弦函数：$ \frac{d n}{dx n} \cos x = \cos{(x + n\frac{\pi}{2})}$–正切函数：$ \frac{d n}{dx n} \tan x = n! (1-2^{2n}) B_{2n}x^{2n-1}$总结在解决实际问题时，掌握常用的导数公式是非常重要的。
函数求导公式大全
函数求导公式大全函数的导数是微积分中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
求导公式是求函数导数的工具，通过掌握各种函数的求导公式，可以更快捷地求解导数，解决实际问题。
本文将介绍常见的函数求导公式，希望能够帮助大家更好地理解和掌握函数的导数计算。
1. 常数函数的求导公式。
常数函数的导数等于0，即对于常数c，其导数为f'(x)=0。
2. 幂函数的求导公式。
幂函数的求导公式为，若f(x)=x^n，则f'(x)=nx^(n-1)，其中n为任意实数。
3. 指数函数的求导公式。
指数函数的求导公式为，若f(x)=a^x，则f'(x)=a^xlna，其中a为常数且a>0。
4. 对数函数的求导公式。
对数函数的求导公式为，若f(x)=lnx，则f'(x)=1/x。
5. 三角函数的求导公式。
（1）正弦函数的求导公式为，f'(x)=cosx。
（2）余弦函数的求导公式为，f'(x)=-sinx。
（3）正切函数的求导公式为，f'(x)=sec^2x。
（4）余切函数的求导公式为，f'(x)=-csc^2x。
6. 反三角函数的求导公式。
（1）反正弦函数的求导公式为，f'(x)=1/√(1-x^2)。
（2）反余弦函数的求导公式为，f'(x)=-1/√(1-x^2)。
（3）反正切函数的求导公式为，f'(x)=1/(1+x^2)。
（4）反余切函数的求导公式为，f'(x)=-1/(1+x^2)。
7. 复合函数的求导公式。
复合函数的求导使用链式法则，若y=f(u)和u=g(x)，则y=f(g(x))，其导数为f'(u)g'(x)。
8. 高阶导数的求导公式。
高阶导数是指对函数的导数再求导数，常用的高阶导数求导公式包括幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的高阶导数求导公式。
9. 隐函数的求导公式。
隐函数是指由x和y的关系式所确定的函数，其导数的求导公式需要使用隐函数求导法。
基本初等函数导数公式大全
基本初等函数导数公式大全基本初等函数是指常见的代数函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及其组合。
这些函数在数学中起着重要的作用，我们经常需要求它们的导数以解决各种问题。
下面是基本初等函数的导数公式大全：1. 多项式函数：多项式函数是由若干个幂函数组成的函数。
对于多项式函数y = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀，其中a₀, a₁, ..., aₙ是常数，n是非负整数，则其导数为y' =n*aₙxⁿ⁻¹ + (n-1)*aₙ₋₁xⁿ⁻² + ... + a₁。
2. 指数函数：指数函数是以底数为常数e的幂函数，其中e ≈ 2.71828。
对于指数函数y = aᵢe^(bᵢx)（其中aᵢ, bᵢ为常数），其导数为y' = bᵢaᵢe^(bᵢx)。
3. 对数函数：对数函数是指数函数的反函数。
对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为常数且a > 0且a ≠ 1，则其导数为y' = 1/(xlna)。
4. 正弦函数与余弦函数：正弦函数y = sin(x)的导数为y' = cos(x)。
余弦函数y = cos(x)的导数为y' = -sin(x)。
5. 正切函数与余切函数：正切函数y = tan(x)的导数为y' = sec²(x)。
余切函数y = cot(x)的导数为y' = -csc²(x)。
6. 反正弦函数、反余弦函数与反正切函数：反正弦函数y = arcsin(x)的导数为y' = 1/√(1-x²)。
反余弦函数y = arccos(x)的导数为y' = -1/√(1-x²)。
反正切函数y = arctan(x)的导数为y' = 1/(1+x²)。
7. 双曲正弦函数与双曲余弦函数：双曲正弦函数y = sinh(x)的导数为y' = cosh(x)。
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。
一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。
多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。
具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。
如果n=0，则f’(x)=0。
例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。
解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。
指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。
同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。
例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。
解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。
对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。
例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。
解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
导数公式大全
导数公式大全导数公式是微积分中非常重要的一部分，它可以用来计算函数在其中一点处的斜率。
以下是一些常见的导数公式：1.基本导数公式：- 总幂法则：如果 $f(x) = x^n$，其中 $n$ 是任意实数，则 $f'(x) = nx^{n-1}$- 幂函数常数因子法则：如果 $f(x) = cx^n$，其中 $c$ 是常数，$n$ 是任意实数，则 $f'(x) = cnx^{n-1}$-和差法则：如果$f(x)=u(x)+v(x)$，其中$u(x)$和$v(x)$可导，则$f'(x)=u'(x)+v'(x)$- 积法则：如果 $f(x) = u(x) \cdot v(x)$，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 可导，则 $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ - 商法则：如果 $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，其中 $u(x)$ 和$v(x)$ 可导，且 $v(x) \neq 0$，则 $f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2}$2.指数函数与对数函数的导数：- 指数函数：如果 $f(x) = a^x$，其中 $a$ 是常数且 $a > 0$，则$f'(x) = a^x \ln(a)$-自然指数函数：如果$f(x)=e^x$，则$f'(x)=e^x$- 对数函数：如果 $f(x) = \log_a(x)$，其中 $a$ 是常数且 $a >0$，则 $f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)}$- 自然对数函数：如果 $f(x) = \ln(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{x}$3.三角函数的导数：- 正弦函数：如果 $f(x) = \sin(x)$，则 $f'(x) = \cos(x)$- 余弦函数：如果 $f(x) = \cos(x)$，则 $f'(x) = -\sin(x)$- 正切函数：如果 $f(x) = \tan(x)$，则 $f'(x) = \sec^2(x)$- 反正弦函数：如果 $f(x) = \arcsin(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 反余弦函数：如果 $f(x) = \arccos(x)$，则 $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$- 反正切函数：如果 $f(x) = \arctan(x)$，则 $f'(x) =\frac{1}{1+x^2}$4.常用函数的导数：-常数函数：如果$f(x)=c$，其中$c$是常数，则$f'(x)=0$- 反函数：如果 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$，则 $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$-绝对值函数：如果$f(x)=，x，$，则$f'(x)$可以分为两段来计算，当$x>0$时，$f'(x)=1$；当$x<0$时，$f'(x)=-1$这里列出的只是一些常见的导数公式，实际上导数还可以通过链式法则、隐函数求导法则以及高阶导数等方法计算。
常用微积分式导数公式
常用微积分式导数公式微积分是数学中重要的分支，它涉及到诸多的概念和公式。
其中导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数的变化率。
在实际应用中，导数常常用于求解最优化问题、解微分方程、描述曲线的性质等等。
下面将介绍一些常用的微积分导数公式。
一、基本函数的导数公式：1.常数函数导数公式：如果c是一个常数，那么对于常数函数f(x)=c，它的导数为f'(x)=0。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n，其中n是任意实数，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其中x>0，它的导数为f'(x) = 1/x。
5.三角函数导数公式：- 正弦函数的导数公式：f'(x) = cos(x)- 余弦函数的导数公式：f'(x) = -sin(x)- 正切函数的导数公式：f'(x) = sec^2(x)- 余切函数的导数公式：f'(x) = -csc^2(x)-反正弦函数的导数公式：f'(x)=1/√(1-x^2)-反余弦函数的导数公式：f'(x)=-1/√(1-x^2)-反正切函数的导数公式：f'(x)=1/(1+x^2)-反余切函数的导数公式：f'(x)=-1/(1+x^2)二、基本运算法则：1. 变量替换法则：如果y=f(u)，且u=g(x)是可导函数，那么由链式法则可得dy/dx = (dy/du)*(du/dx)。
2.和、差、积法则：-和差法则：[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)-积法则：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)3.乘幂法则：[f(x)^n]'=n*f'(x)*f(x)^(n-1)。
求导基本公式16个
求导基本公式16个求导是微积分中的重要概念，用来求函数的变化率和斜率。
在求导过程中，有一些基本公式是非常重要的，它们可以帮助我们简化计算。
下面是16个常用的求导基本公式：1. 常数规则：对于常数c，导数为0。
即：d/dx(c) = 0。
2. 变量规则：对于自变量x，导数为1。
即：d/dx(x) = 1。
3. 幂规则：对于幂函数y = x^n（n为常数），导数为ny^(n-1)。
即：d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
4. 指数函数规则：对于以e为底的指数函数y = e^x，导数为e^x。
即：d/dx(e^x) = e^x。
5. 对数函数规则：对于以a为底的对数函数y = log_a(x)，导数为1/(x·ln(a))。
即：d/dx(log_a(x)) = 1/(x·ln(a))。
6. 乘法法则：对于函数y = u(x)v(x)，导数为u'(x)v(x) +u(x)v'(x)。
即：d/dx(uv) = u'v + uv'。
7. 除法法则：对于函数y = u(x)/v(x)，导数为(u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/(v(x))^2。
即：d/dx(u/v) = (u'v - uv')/(v^2)。
8. 链式法则：对于复合函数y = f(g(x))，导数为f'(g(x))·g'(x)。
即：d/dx(f(g(x))) = f'(g(x))·g'(x)。
9. 正弦函数法则：对于正弦函数y = sin(x)，导数为cos(x)。
即：d/dx(sin(x)) = cos(x)。
10. 余弦函数法则：对于余弦函数y = cos(x)，导数为-sin(x)。
即：d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
11. 正切函数法则：对于正切函数y = tan(x)，导数为sec^2(x)。
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。
计算导数有多种方法，下面将详细解释常见的导数计算公式。
1.函数的导数定义：函数f(x)在其中一点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h2.基本导数公式：(1)常数函数：f(x)=c(c为常数)，导数f'(x)=0(2)幂函数：f(x)=x^n，导数f'(x)=n*x^(n-1)(3) 指数函数：f(x) = a^x (a大于0且不等于1)，导数 f'(x) =ln(a) * a^x(4) 对数函数：f(x) = ln(x)，导数 f'(x) = 1 / x(5)三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数 f'(x) = cos(x)余弦函数：f(x) = cos(x)，导数 f'(x) = -sin(x)正切函数：f(x) = tan(x)，导数 f'(x) = 1 / cos^2(x) = sec^2(x) (6)反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数f'(x) = 1 / √(1-x^2)反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数 f'(x) = -1 / √(1-x^2)反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数 f'(x) = 1 / (1+x^2)(7) 指数函数与对数函数复合：f(x) = a^x，导数 f'(x) = a^x *ln(a)3.导数的四则运算法则：(1)和差法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数，那么(f+g)'=f'(x)+g'(x)，(f-g)'=f'(x)-g'(x)(2)乘法法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数，那么(f*g)'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(3)商法则：若f(x)和g(x)分别是可导函数且g(x)不等于0，那么(f/g)'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^24.链式法则：(1)如果y=f(u)和u=g(x)都是可导函数，那么复合函数F(x)=f(g(x))的导数为F'(x)=f'(g(x))*g'(x)5.高阶导数：(1)二阶导数：f''(x)=(f'(x))'(2)n阶导数：f^n(x)=(f^(n-1)(x))'(n为正整数)总结起来，导数计算的公式和法则包括函数的导数定义、基本导数公式（常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等）、导数的四则运算法则、链式法则以及高阶导数的计算公式。
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
几种常见函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、常见函数的导数公式：1.常数函数的导数公式：若f(x)=C（C为常数），则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数公式：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数公式：若f(x) = a^x（a为正常数且a≠1），则f'(x) = ln(a)・a^x。
4. 对数函数的导数公式：若f(x) = log_a(x)（a为正常数且a≠1），则f'(x) = 1 / (x • ln(a))。
5.三角函数的导数公式：a) 正弦函数的导数公式：f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)。
b) 余弦函数的导数公式：f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)。
c) 正切函数的导数公式：f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
d) 余切函数的导数公式：f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)。
二、基本初等函数的导数公式：1.(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（求和法则）2.(a・f)'(x)=a・f'(x)（常数倍法则）3.(f・g)'(x)=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)（乘积法则）4.(f/g)'(x)=(f'(x)・g(x)-f(x)・g'(x))/(g(x))^2（商法则）5.(fⁿ)'(x)=n・f'(x)・f^(n-1)(x)（幂法则）其中，f'表示f的导数，fⁿ表示f的n次幂，f^(n-1)表示f的n-1次导数。
三、导数的运算法则：1.和差法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
高等数学常用导数公式大全
高等数学常用导数公式大全在高等数学中，导数是描述函数变化率的重要概念之一。
导数的应用十分广泛，特别是在求解极值、曲线切线以及函数图像的特征等方面具有重要作用。
本文将总结高等数学中常用的导数公式，供同学们参考使用。
常见函数的导数公式基本初等函数的导数公式1.常数函数：f(f)=f，导数为f′(f)=0。
2.幂函数：f(f)=f f，导数为f′(f)=ff f−1。
3.指数函数：f(f)=f f，导数为 $f'(x) = a^x \\ln a$。
4.对数函数：$f(x) = \\log_a x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{x \\ln a}$。
5.三角函数：$f(x) = \\sin x$，导数为 $f'(x) = \\cosx$；$f(x) = \\cos x$，导数为 $f'(x) = -\\sin x$。
6.反三角函数：$f(x) = \\arcsin x$，导数为 $f'(x) =\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$；$f(x) = \\arccos x$，导数为$f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
复合函数的导数公式1.链式法则：若f=f(f)，f=f(f)，则f=f(f(f))的导数为 $\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du} \\cdot \\frac{du}{dx}$。
高阶导数公式1.二阶导数：若f=f(f)的一阶导数为f′，则f″表示f′的导数，即 $y'' = \\frac{d}{dx} (f'(x))$。
隐函数求导公式1.隐函数求导：对于方程f(f,f)=0，当不能解出f对f的显式表达时，可利用隐函数求导公式，即$\\frac{dy}{dx} = - \\frac{F_x}{F_y}$。
常用函数导数总结在高等数学中，经常会遇到一些复杂函数的导数计算，下面给出一些常用函数的导数总结：1.反函数的导数计算：若f=f(f)的反函数为f=f−1(f)，则f−1(f)的导数为 $\\frac{dx}{dy} =\\frac{1}{\\frac{dy}{dx}}$。
常用导数计算公式大全
常用导数计算公式大全提到微积分中的导数计算，常用导数计算公式是必不可少的工具。
在数学领域中，导数是描述函数变化率的重要概念。
通过计算导数，我们可以研究函数的斜率、变化速率，进而解决各种问题。
本文将介绍一些常用的导数计算公式，帮助读者更好地理解和应用导数。
基本导数公式下面是一些基本的导数公式：1.常数函数导数：如果f(f)=f是一个常数函数，那么f′(f)=0。
2.幂函数导数：如果f(f)=f f是一个幂函数，其中f为常数，那么f′(f)=ff f−1。
3.求和的导数：若f(f)=f(f)+f(f)是两个函数的和，那么f′(f)=f′(f)+f′(f)。
4.差的导数：若f(f)=f(f)−f(f)是两个函数的差，那么f′(f)=f′(f)−f′(f)。
5.积的导数：若$f(x) = g(x) \\cdot h(x)$是两个函数的乘积，那么$f'(x) = g'(x) \\cdot h(x) + g(x) \\cdot h'(x)$。
6.商的导数：若$f(x) = \\frac{g(x)}{h(x)}$是两个函数的商，那么$f'(x) = \\frac{g'(x) \\cdot h(x) - g(x) \\cdoth'(x)}{h(x)^2}$。
以上是一些基本的导数计算公式，接下来我们将更深入地探讨一些特殊函数的导数。
特殊函数的导数1.指数函数导数：若f(f)=f f是指数函数，那么f′(f)=f f。
2.对数函数导数：若$f(x) = \\ln(x)$是自然对数函数，那么$f'(x) = \\frac{1}{x}$。
3.三角函数导数：若$f(x) = \\sin(x)$是正弦函数，那么$f'(x) = \\cos(x)$。
若$f(x) = \\cos(x)$是余弦函数，那么$f'(x) = -\\sin(x)$。
4.反三角函数导数：若$f(x) = \\arcsin(x)$是反正弦函数，那么$f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}}$。
常见函数的导数表与归纳
常见函数的导数表与归纳在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。
对于常见的函数，它们的导数可以通过一些基本规则和公式进行求导。
本文将介绍常见函数的导数表，并对其中的规律进行归纳总结。
一、常数函数的导数常数函数表示为f(x) = C，其中C为常数。
对于常数函数，它的导数始终为0，即f'(x) = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，没有变化。
二、幂函数的导数2.1 常数幂函数常数幂函数表示为f(x) = x^n，其中n为正整数。
对于常数幂函数的导数，可以通过幂函数的导数公式进行求导：f'(x) = n * x^(n-1)通过这个公式，我们可以推导出常见常数幂函数的导数：2.1.1 正整数幂数函数当n为正整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)例如，对于f(x) = x^2，它的导数为f'(x) = 2x。
类似地，对于f(x) =x^3，它的导数为f'(x) = 3x^2。
2.1.2 负整数幂数函数当n为负整数时，对于幂函数f(x) = x^n，它的导数为：f'(x) = n * x^(n-1)但由于负整数的倒数是无限大，因此导数在定义域上并不连续。
例如，对于f(x) = x^(-1)，它的导数f'(x) = -x^(-2)，在x = 0处未定义。
2.2 指数函数指数函数表示为f(x) = a^x，其中a为常数且a>0且a≠1。
对于指数函数的导数，我们需要使用自然对数e以及指数函数的链式法则进行计算。
f'(x) = ln(a) * a^x例如，对于f(x) = 2^x，它的导数f'(x) = ln(2) * 2^x。
三、对数函数的导数对数函数可以分为自然对数函数和常用对数函数两种。
3.1 自然对数函数自然对数函数表示为f(x) = ln(x)，其中x>0。
对于自然对数函数的导数，可以直接使用导数的定义进行计算：f'(x) = 1/x例如，对于f(x) = ln(x)，它的导数f'(x) = 1/x。
常用导数
这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y'=0 【y=0 y'=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数y=x^n,y'=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】3.指数函数y=a^x,y'=a^x * lna 【y=e^x y'=e^x：导数为本身的函数之二】4.对数函数y=logaX,y'=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y'=1/x】5.三角函数(1)正弦函数y=(sinx ）y'=cosx(2)余弦函数y=（cosx）y'=-sinx(3)正切函数y=(tanx）y'=1/(cosx)^2(4)余切函数y=（cotx）y'=-1/(sinx)^26.反三角函数(1)反正弦函数y=（arcsinx）y'=1/√1-x^2(2)反余弦函数y=（arccosx）y'=-1/√1-x^2(3)反正切函数y=（arctanx）y'=1/(1+x^2)(4)反余切函数y=（arccotx）y'=-1/(1+x^2)口诀为了便于记忆，有人整理出了以下口诀：常为零，幂降次，对导数（e为底时直接导数，a为底时乘以lna），指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）；正变余，余变正，切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方），割乘切，反分式推导在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.①(u±v)'=u'±v'②(uv)'=u'v+uv'③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^22. 原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'.3. 复合函数的导数：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在数学中，求导是一项非常重要的运算，它用于计算函数在某一点的导数。
为了方便计算，数学家们总结出了一系列常用的求导公式，能够帮助我们更快速地求出函数的导数。
本文将介绍一般常用的求导公式，并给出相应的解释和使用示例。
一、基本导数法则1. 常数函数导数公式若y = C（C为常数），则y' = 0。
解释：常数函数的导数恒为0，因为其图像是一条水平线，斜率为0。
例如：如果y = 5，那么y' = 0。
2. 幂函数导数公式若y = x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
解释：幂函数的导数可以通过将指数降低1并作为新的指数乘以原指数，得到幂函数的导数。
例如：如果y = x^3，那么y' = 3x^2。
3. 指数函数导数公式若y = a^x（a>0且a≠1），则y' = a^x * ln(a)。
解释：指数函数的导数等于函数的值乘以底数的自然对数。
例如：如果y = 2^x，那么y' = 2^x * ln(2)。
4. 对数函数导数公式若y = lo gₐ(x)（a>0且a≠1），则y' = 1 / (x * ln(a))。
解释：对数函数的导数等于1除以自变量乘以底数的自然对数。
例如：如果y = log₂(x)，那么y' = 1 / (x * ln(2))。
5. 指数对数函数导数公式若y = a^(bx + c)（a>0且a≠1，b和c为常数），则y' = (b * ln(a)) * a^(bx + c)。
解释：指数对数函数的导数等于指数项的系数乘以底数的自然对数，再乘以函数本身。
例如：如果y = 3^(2x + 1)，那么y' = (2 * ln(3)) * 3^(2x + 1)。
二、常用三角函数导数公式1. 正弦函数导数公式若y = sin(x)，则y' = cos(x)。
2. 余弦函数导数公式若y = cos(x)，则y' = -sin(x)。
导数的运算公式
导数的运算公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x运算法则减法法则：(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)加法法则：(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)乘法法则：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)除法法则：(g(x)/f(x))'=(g'(x)f(x)-f'(x)g(x))/(f(x))^2根据导数定义证明数学导数运算法则由基本函数的和、差、积、商或互复合而成的函数的导函数，可由函数的求导法则推出。
的基本推导规则如下:1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导(即②式)。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。
4.如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算方法函数y=f(x)在x0点的导数f'(x0)的几何意义：表示函数曲线在点p0(x0,f(x0))处的切线的斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。
根据导数的定义，利用变化率的极限，可以计算出已知函数的导函数。
在实际计算中，最常见的解析函数可以看作是一些简单函数的和、差、积、商或复合结果。
只要知道这些简单函数的导函数，就可以根据求导法则计算更复杂函数的导函数。
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(2)观察当
Δx
趋近于
0
时，Δy趋近于哪个定值； Δx
(3)ΔΔyx趋近于的定值就是函数 y＝f(x)的导数.
问题 2 利用定义求下列常用函数的导数：
① y＝c ②y＝x ③y＝x2 ④y＝1x ⑤y＝ x
答案 ①y′＝0 ②y′＝1 ③y′＝2x ④y′＝－x12 ⑤y′＝21 x
问题 3 导数的几何意义是曲线在某点处的 切线的斜率.物理意义是运动物体在某一 时刻的瞬时速度. (1)函数 y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意
物线上平行于直线 AB 的切线的切点，由图知点 P 在 x 轴上方，y
＝
x，y′＝2
1
，由题意知 x
kAB＝12.
∴kl＝2
1 ＝1，即 x0 2
x0＝1，∴y0＝1.∴P(1,1).
小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可
以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题.解题时可先利
用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确
函数 y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝 对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少 得越慢.
问题 5 画出函数 y＝1x的图象.根据图象，
描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1) 处的切线方程.
答案 函数 y＝1x的图象如图所示， 结合函数图象及其导数 y′＝－x12发现，当 x<0 时，随着 x 的增加，函数 y＝1x减少得越 来越快；当 x>0 时，随着 x 的增加，函数减少得越来越慢.
1. 利 用 常 见 函 数 的 导 数 公 式 可 以 比 较 简 捷 的 求 出 函 数 的 导 数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察 函数的结构特征，积极地进行联想化归.
2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y＝1－2sin2x2的导数.因为 y＝1－2sin2x2＝cos x， 所以 y′＝(cos x)′＝－sin x.
f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝ 0 f′(x)＝ 1 f′(x)＝ 2x f′(x)＝ －x12
1
f′(x)＝ 2 x
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝ 0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝ αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝ cos x
f(x)＝cos x
义是什么？ (2)函数 y＝f(x)＝x 的导数的物理意义呢？
答案 (1)若 y＝c 表示路程关于时间的函数， 则 y′＝0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0，即一直处 于静止状态. (2)若 y＝x 表示路程关于时间的函数，则 y′＝1 可以解释为 某物体做瞬时速度为 1 的匀速运动.
问题 4 在同一平面直角坐标系中，画出函数 y＝2x，y＝3x， y＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数. (1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数 y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？
求 y＝cos x 在 x＝π3处的导数，过程如下：
y′|
x
π 3
＝cosπ3
′＝－sin
π3＝－
3 2.
解 错误.应为 y′＝－ x，
∴y′| x π ＝－sin 3
π3＝－
3 2.
小结 函数 f(x)在点 x0 处的导数等于 f′(x)在点 x＝x0 处的函数 值.在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函 数，再将 x0 代入导函数求解，不能先代入后求导.
点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 AOB 上求一点 P，使
△ABP 的面积最大.
解 设 P(x0，y0)，过点 P 与 AB 平行的直线为 l，如图. 由于直线 x－2y－4＝0 与抛物线 y2＝x 相交于 A、B 两点，
所以|AB|为定值，要使△ABP 的面积最大，只要 P 到 AB
的距离最大，而 P 点是抛物线的弧 A O B 上的一点，因此点 P 是抛
∴f′(3)＝2
1
＝ 3
3 6.
D.
3 2
(A )
3.设正弦曲线 y＝sin x 上一点 P，以点 P 为切点的切线为直
线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是
(A )
A.[0，π4]∪[34π，π)
B.[0，π)
C.[π4，34π]
D.[0，π4]∪[π2，34π]
解析 ∵(sin x)′＝cos x，
跟踪训练 2 求函数 f(x)＝ 1 在 x＝1 处的导数. 3 x
解
f′(x)＝( 1
3
)′＝(x
1 3
)′＝－13x
1 1 3
，
x
＝－13x
4 3
＝－ 3
1 3
， x4
∴f′(1)＝－
1 3
＝－13，
31
∴函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－13.
探究点三 导数公式的综合应用
（
（
例 3 已知直线 x－2y－4＝0 与抛物线 y2＝x 相交于 A、B 两
计算.
跟踪训练 3 点 P 是曲线 y＝ex 上任意一点，求点 P 到直线 y ＝x 的最小距离. 解 根据题意设平行于直线 y＝x 的直线与曲线 y＝ ex 相切于点(x0，y0)，该切点即为与 y＝x 距离最近的 点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为 1， 即 y xx0 ＝1.∵y′＝(ex)′＝ex， ∴ex0＝1，得 x0＝0，代入 y＝ex，得 y0＝1，即 P(0,1).
∴∵－kl＝1≤coksl≤x，1，∴αl∈[0，4π]∪[34π，π).
4.曲线 y＝ex 在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积
为___12_e_2___. 解析 ∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2 ∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为 y－e2＝e2(x－2)， 即 y＝e2x－e2. 当 x＝0 时，y＝－e2，当 y＝0 时，x＝1. ∴S△＝12×1×|－e2|＝12e2.
探究点二 基本初等函数的导数公式 问题 1 你能发现 8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？
答案 公式 6 是公式 5 的特例，公式 8 是公式 7 的特例.
例 1 求下列函数的导数： (1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝x13；(4)y＝4 x3； (5)y＝log3x. 解 (1)y′＝0；
②y＝3
x＝x
1 3
，则
y′＝13·x-
2 3
≠13
3
x；
③y＝x12＝x－2，则 y′＝－2x－3.
④由 f(x)＝3x，知 f′(x)＝3，
∴f′(1)＝3.
∴①③④正确.
答案 C
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于
A.
3 6
B.0
C. 1
2x
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝ 1 ， 2x
点(1,1)处切线的斜率就是导数 y′|x＝1＝－112＝－1，故斜率为 －1，过点(1,1)的切线方程为 y＝－x＋2.
问题 6 利用导数的定义可以求函数的 导函数，但运算比较繁杂，有些函数 式子在中学阶段无法变形，怎样解决 这个问题？
答案 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程， 降低运算难度.
(2)y′＝(5x)′＝5xln 5；
(3)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4；
(4)y′＝(4
x3)′＝
3
(x4
)
′＝34
1
x4
＝
3 4
；
(5)y′＝(log3x)′＝xl1n 3.
4x
小结 对于教材中出现的 8 个基本初等函数的导数公式，要
想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理 解，如 sinπ3＝ 23是常数，而常数的导数一定为零，就不会出 现sinπ3 ′＝cosπ3 这样的错误结果.二是准确记忆，灵活变形 . 如根式、分式可转化为指数式，利用公式 2 求导.
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
学习目标
1.能根据定义求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求 简单函数的导数.
1.几个常用函数的导数
原函数
f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
利用点到直线的距离公式得距离为
2 2.
1.给出下列结论： ①若 y＝x13，则 y′＝－x34； ②若 y＝3 x，则 y′＝13 3 x； ③若 y＝x12，则 y′＝－2x－3；
④若 f(x)＝3x，则 f′(1)＝3.
其中正确的个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
解析 ①y＝x13＝x－3，
()
则 y′＝－3x－4＝－x34；
答案 函数 y＝2x，y＝3x，y＝4x 的图象如图所 示，导数分别为 y′＝2，y′＝3，y′＝4. (1) 从图象上看，函数 y＝2x，y＝3x，y＝4x 的导 数分别表示这三条直线的斜率.
(2)在这三个函数中，y＝4x 增加得最快，y＝2x 增加得最慢.
(3)函数 y＝kx(k>0)增加的快慢与 k 有关系，即与函数的导数 有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢.
跟踪训练 1 求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝x x；(4)y＝log1 x.
3
解 (1)y′＝8x7；
(2)y′＝(12)xln 12＝－(12)xln 2；