人教版初中数学第五章小结
新人教版七年级数学下册全册教案附同步练习及单元测试卷(含答案)
新人教版七年级数学下册全册教案附同步练习及单元测试卷（含答案）第五章相交线与平行线5.1.1相交线教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．学生活动：口答哪些道路是交错的，哪些道路是平行的．教师导入：图中的道路是有宽度的，是有限长的，而且也不是完全直的，当我们把它们看成直线时，这些直线有些是相交线，有些是平行线．相交线、平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用．所以研究这些问题对今后的工作和学习都是有用的，也将为后面的学习做些准备．我们先研究直线相交的问题，引入本节课题．二、探究新知，讲授新课1．对顶角和邻补角的概念学生活动：观察上图，同桌讨论，教师统一学生观点并板书．【板书】∠1与∠3是直线AB、CD相交得到的，它们有一个公共顶点O，没有公共边，像这样的两个角叫做对顶角．学生活动：让学生找一找上图中还有没有对顶角，如果有，是哪两个角？学生口答：∠2和∠4再也是对顶角．紧扣对顶角定义强调以下两点：（1）辨认对顶角的要领：一看是不是两条直线相交所成的角，对顶角与相交线是唇齿相依，哪里有相交直线，哪里就有对顶角，反过来，哪里有对顶角，哪里就有相交线；二看是不是有公共顶点；三看是不是没有公共边．符合这三个条件时，才能确定这两个角是对顶角，只具备一个或两个条件都不行．（2）对顶角是成对存在的，它们互为对顶角，如∠1是∠3的对顶角，同时，∠3是∠1的对顶角，也常说∠1和∠3是对顶角．2．对顶角的性质提出问题：我们在图形中能准确地辨认对顶角，那么对顶角有什么性质呢？学生活动：学生以小组为单位展开讨论，选代表发言，井口答为什么．【板书】∵∠1与∠2互补，∠3与∠2互补（邻补角定义），∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。
人教版七年级下册数学第五章知识点总结
第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线有关概念邻补角：假如两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角。
对顶角：假如一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角。
对顶角的性质: 对顶角相等.5.1.2垂线有关概念1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线相互垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
从垂直的定义可知，推断两条直线相互垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角。
2 垂直的表示：1）图形：2）文字：a、b相互垂直, 垂足为O3）符号：a⊥b或b⊥a,若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O 3.垂直的书写形式：如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O。
3 书写形式：①断定：∵∠AOD=90°（已知）∴AB⊥CD（垂直的定义）反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°。
书写形式：②性质：∵ AB⊥CD （已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义） (∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)4.垂线的性质（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线的性质（2）连接直线外一点与直线上各点的全部线段中，垂线段最短或说成垂线段最短直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的间隔。
5.1.3同位角、内错角、同旁内角5.2平行线及其断定5.2.1平行线有关概念1.平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行线的表示：我们通常用符号“//”表示平行。
同一平面内的两条不重合的直线的位置关系只有两种：相交或平行3.平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行假如a//c, b//c;那么a//b假如两条直线都垂直于第三条直线,那么这两条直线相互平行.假如a⊥c, a⊥b;那么b//c 5.2.25.2.2平行线的断定有关概念一般地，断定两直线平行有以下的方法：1.两条直线被第三条所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行．简洁地说，同位角相等，两直线平行．2.两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行. 简洁说成：内错角相等，两直线平行.3.两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简洁说成：同旁内角互补，两直线平行.5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质1.平行线的性质1两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简写为：两直线平行，同位角相等.2.平行线的性质2两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简写为：两直线平行，内错角相等.3.平行线的性质3两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简写为：两直线平行，同旁内角互补.5.3.2命题、定理推断一件事情的语句叫做命题。
数学八年级第五章——第五章 平面向量教材分析
第五章平面向量教材分析这一章主要介绍平面向量的基础知识，包括平面向量的概念、运算以及简单应用等本章教学时间约25课时，具体安排如下：5.1向量约1课时5.2向量的加法与减法约2课时5.3实数与向量的积约2课时5.4平面向量的坐标运算约2课时5.5线段的定比分点约l课时5.6平面向量的数量积及运算律约2课时5.7平面向量数量积的坐标表示约1课时5.8平移约1课时5.9正弦定理、余弦定理约4课时5.10解斜三角形应用举例约2课时5.11实习作业约2课时5.12研究性课题向量在物理中的应用约3课时小结与复习约2课时(一)本章内容向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法本章共分两大节减法、实数与向量的积、平面向量的坐标运算；线段的定比分点、平面向量的数量积及运算律、平面向量数量积的坐标表示、平移等第二大节是“解斜三角形”这一大节可以看成是向量知识的应用，内容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形应用举例，实习作业和研究性课题等正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理，教科书通过向量的数量积把三角形的边与角联系起来，推导出了这两个定理，并运用这两个定理初步解决了测量、工业、几何等方面的实际问题为培养学生的创新意识和实践能力，激发学生学习数学的好奇心，启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造性地解决问题，本节中安排了一个实习作业和研究性课题教学中要加以实施为扩大学生的知识面，本章中还安排了两个阅读材料，即“向量的三种类型”和“人们早期怎样测量地球的半径”本章重点是向量的概念，向量的几何表示和坐标表示，向量的线性运算，平面向量的数量积，线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，解斜三角形等难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用等(二)本章教学要求1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2.掌握向量的加法与减法3.掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算5.掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件6.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点公式和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决斜三角形的计算问题，通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力通过实习作业和研究性课题，培养学生从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究探索的能力本章一开始，从帆船航行的距离和方向两个要素出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念向量的加法与减法、实数与向量的积，实际是向量的线性运算知识的加法、加法运算律，然后用相反向量及向量的加法定义向量的减法，这样把向量的加法与减法统一了起来教科书又通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，接着给出了实数与向量的积的运算律，最后介绍了向量共线的充要条件和平行向量基本定理，这样为后面介绍平面向量的坐标表示奠定了理论基础在“向量及其表示”中，主要介绍有向线段，向量的定义，向量的长度，向量的表示，相等向量，相反向量，自由向量，零向量在“向量的线性运算”中，介绍向量加法的定义，向量加法的运算律；向量减法的定义，向量方程，向量长度的三角不等式；数乘向量的定义，单位向量，数乘向量的运算律在“向量的共线与共面”中，介绍平行向量，共线向量，共面向量，两个向量共线的充要条件，直线的向量方程，三个向量共面的充要条件在“向量的内积”中，介绍两个向量的夹角，向量内积的定义，向量内积的几何意义，向量内积的运算律，向量内积的性质通过建立直角坐标系，给出了向量的另一种表示式----坐标表示式，这样就使得向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，然后给出了向量的加法、减法及实数与向量的积的坐标运算，这就为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁在向量坐标运算的基础上，还导出了线段的定比分点坐标公式和线段的中点公式向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系，特别用向量的数量积能有效地解决线段垂直的问题把向量的数量积应用到三角形中，还能解决三角形边角之间的有关问题平面向量数量积的概念，教科书是从学生熟知的功的概念引入的，在介绍了平面向量数量积的定义及几何意义之后，又介绍了平面向量数量积的5个重要性质、运算律及其坐标表示特别通过两个向量数量积的坐标表示，很容易推导出平面内两点间的距离公式本大节的最后，介绍了平移(这里讲的平移是指图象的平移)接着推导出了平移公式，并举例说明了平移公式的应用对这一章中概念的处理，是根据概念在教科书中的地位、作用及特点，对不同的概念采用不同的处理方式一些概念是通过例举反映概念实质的具体的对象，并充分发挥几何图形的直观的特点，使学生在感性认识的基础上建立概念，并理解概念的实质，像向量的概念等；一些概念则不仅给出严格的定义，还要分析满足定义的充要条件，要求学生理解、记忆，并通过适当的练习，让学生会用，像向量数量积的概念等这一章中的一些例题，不是先给出解法，而是先进行分析，探索出解题思路，再给出解法解题后，有的还总结出解决该题时运用的数学思想和数学方法，有的还让学生进一步考虑相关的问题关于向量运算，是借助于几何直观，并通过与数的对比引入，这样便于学生接受例如，关于向量的减法，在向量代数中，常有两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果a+x=b，则 x叫做向量b与a的差这样，作b-a时，可先在平面内取一点O，再作，则就是b-a第二种方法是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a、b，定义b-a=b+(-a)在这种定义下，作b-a时，可先在平面内任取一点O，作则由向量加法的平行四边形法则知，由于b+(-a)=b-a，即就是b-a实验表明，对中学生来讲，用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作b-a而用第二种定义方法，学生根容易接受b-a=b+(-a)，但作b-a较繁为便于学生接受，在定义向量的减法时，先给出相反的向量(对比初中代数中的相反数)，再把b-a定义为b+(-a)，并告诉学生，作b-a时，只要按教科书图作出即可(三)注意培养学生的思维能力注意对学生思维能力的培养，对知识的处理，都尽量设计成让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、类比、想象、抽象、概括的形式，从而培养学生的思维能力对于解斜三角形，教科书是这样引入的：“在初中，我们已会解直角三角形，就是说，已会根据直角三角形中的边与角求出未知的边与角那么，如何来解斜三角形呢?也就是如何根据斜三角形中已知的边与角求出未知的边与角呢?”通过设问，引起学生思考(四)注意数学思想方法的渗透在这一章中，从引言开始，就注意结合具体内容渗透数学思想方法海中航行时的位移，渗透数学建模的思想通过介绍相等向量及有关作图的训练，渗透平移变换的思想由于向量具有两个明显特点——“形”的特点和“数”的特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁，向量的坐标实际是把点与数联系了起来，进而可把曲线与方程联系起来，这样就可用代数方程研究几何问题，同时也可以用几何的观点处理某些代数问题，因此这部分知识还渗透了数形结合的解析几何思想(五)突出知识的应用(1)加强向量在数学知识中的应用，注意突出向量的工具性，很多公式都用向量来推导，如线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等(2)加强向量在物理中的应用为培养学生用向量知识解决有关物理问题的能力，在这一章的最后，安排了一个研究性课题，即向量在物理中的应用知识建立物理量之间的关系，也就是抽象成数学模型，然后再用建立起的数学模型解释相关物理现象(3)注意联系实际在这一章中，把联系实际分成三个层次：第一层次，在知识的引入上联系实际例如，向量的概念从帆船航行的位移引入，平面向量的数量积从力作的功引入第二层次，引导学生用数学知识解决实际生活和生产中的问题例如，在向量的加法之后，安排了求小船实际航行的速度的例题在解斜三角形之后，专门安排了“解斜三角形应用举例”一节等第三层次，安排实习作业安排实习作业的目的是进一步巩固学生所学知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，从而增强学生用数学的意识。
数学-七年级数学第五章知识点大全
七年级数学第五章知识点大全数学知识有三个不同于其它知识地主要特征：其一是数学知识比其它知识更清晰地使其结果具有真理性;其二是数学知识乃是获得其它正确知识地必经的第一步;其三是数学知识的获得并不依赖于其它知识。
接下来小编在这里给大家分享一些关于七年级数学第五章知识点，供大家学习和参考，希望对大家有所帮助。
七年级数学第五章知识点一:有理数知识网络：概念、定义：1、大于0的数叫做正数(positive number)。
2、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数(negative number)。
3、整数和分数统称为有理数(rational number)。
4、人们通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴(number axis)。
5、在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。
6、一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value)。
7、由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
8、正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
9、两个负数，绝对值大的反而小。
10、有理数加法法则(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
(3)一个数同0相加，仍得这个数。
11、有理数的加法中，两个数相加，交换交换加数的位置，和不变。
12、有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
13、有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
14、有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值向乘。
任何数同0相乘，都得0。
15、有理数中仍然有：乘积是1的两个数互为倒数。
16、一般的，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
17、三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
初中数学第5章知识点总结
初中数学第5章知识点总结第五章：集合一、集合的概念1.集合：集合是指具有共同特性的事物的总体。
2.元素：集合中的每一个事物称为该集合的元素。
3.元素的确定：元素的确定是指一个人或一组人在某种情况下表示出来的一种具体指向特定事物的引导性行为。
4.集合的表示方法：（1）列举法：用大括号将有限个元素列出。
（2）描述法：用条件句描述元素的性质。
5.集合的分类：（1）基本集合：由表示集合的字母表示的，自然地，这就是被称为基本集合。
（2）组合集合：基础上由基本集合组成的集合。
（3）空集合：一个不包含任何元素的集合被称为空集合。
二、集合间的关系1.相等集合：如果两个集合具有完全相同的元素，则这两个集合称为相等集合。
2.子集：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
3.真子集：若A⊆B，且A≠B，则A是B的真子集。
4.空集合：任何集合的子集。
5.全集合：全集合是指一个集合中所包含的其他集合的集合。
6.交集：集合A和集合B的交集是指同时属于A和B的元素组成的集合。
7.并集：集合A和集合B的并集是指属于A或者属于B的元素组成的集合。
8.差集：集合A与集合B的差集是指属于A而不属于B的元素组成的集合。
9.互斥集合：若A∩B=ϕ，则称A与B是互斥的。
三、集合的运算1.交运算：表示两个集合所共有的元素，记作A∩B。
2.并运算：表示包括A和B的全部元素，记作A∪B。
3.差运算：表示属于A而不属于B的元素组成的集合，记作A－B。
四、集合的应用1.生活中的集合问题例1：如果一个集合A表示所有英语成绩超过80分的学生，一个集合B表示所有物理成绩超过80分的学生，问集合A和B的交集和并集的意义是什么？答：集合A和B的交集是英语和物理成绩都超过80分的学生的集合，而集合A和B的并集是英语或物理成绩有一门科目超过80分的学生的集合。
这两个集合的意义就是帮助我们统计学生的成绩情况和分析学生的学习状况。
2.概率中的集合问题例2：在一个班级里，学生选修了数学、英语和物理三门课程，现在要进行一次抽签活动，抽中数学和英语两门课程的学生，问这个问题可以用集合表示吗？答：可以用集合表示，假设集合A表示选修数学课程的学生，集合B表示选修英语课程的学生，抽中数学和英语两门课程的学生可以用A∩B来表示，即属于A又属于B的学生的集合。
最新人教版初中数学目录(详细)
最新人教版初中数学目录(详细)七年级上册第一章有理数本章主要介绍有理数及其运算。
在实验与探究填幻方中，可以通过填写幻方来理解正数和负数的概念。
在阅读与思考中国人最先使用负数中，可以了解负数的历史渊源。
在观察与猜想翻牌游戏中的数学道理中，可以通过猜测数字的规律来理解有理数的乘除法。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第二章整式的加减本章主要介绍整式及其加减运算。
在阅读与思考数字1与字母X的对话中，可以了解整式的含义。
在信息技术应用电子表格与数据计算中，可以通过电子表格来计算整式的值。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第三章一元一次方程本章主要介绍一元一次方程及其解法。
在阅读与思考“方程”史话中，可以了解方程的历史渊源。
在实验与探究无限循环小数化分数中，可以通过实验来了解无限循环小数的性质。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第四章几何图形初步本章主要介绍几何图形及其性质。
在阅读与思考几何学的起源中，可以了解几何学的发展历程。
在课题研究设计制作长方体形状的包装纸盒中，可以通过手工制作来了解几何图形的性质。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
七年级下册第五章相交线与平行线本章主要介绍相交线与平行线及其性质。
在观察与猜想看图时的错觉中，可以通过观察图形来理解相交线的性质。
在信息技术应用探索两条直线的位置关系中，可以通过计算机软件来研究平行线的性质。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第六章实数本章主要介绍实数及其性质。
在阅读与思考为什么√2不是有理数中，可以了解实数的分类及其性质。
在数字活动中，可以通过游戏来巩固实数的概念。
最后，在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第七章平面直角坐标系本章主要介绍平面直角坐标系及其应用。
在阅读与思考用经纬度表示地理位置中，可以了解坐标的应用。
在数学活动中，可以通过练题来巩固所学知识。
第八章二元一次方程组本章主要介绍二元一次方程组及其解法。
人教版初中数学第五章知识点总结
第五章相交线与平行线5.1相交线5.1.1相交线1.相交线：两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交。
这个公共点叫做它们的交点。
2.互为邻补角：（1）两条直线相交，有公共边的两个角叫做互为邻补角；（2）有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角叫做互为邻补角。
3.互为对顶角：（1）两条直线相交，没有公共边的两个角叫做互为对顶角；（2）如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角叫做互为对顶角。
4.对顶角相等5.1.2垂线1.垂直定义：两条相交直线所形成的四个角中，如果有一个角是90°，那么这两条直线互相垂直。
其中的一条直线．．叫做另一条直线．．的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.垂线的性质：（1）在．同一．．．，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（过一点作一条线段或射线的垂．．平面内线，就是过这个点作这条线段或射线所在直线的垂线）（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短3.点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
5.1.3同位角内错角同旁内角1.同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧，被截两直线同方向的两个角，叫做同位角。
2.内错角：两条直线被第三条直线所截，在被截两直线之间，截线两侧的两个角，叫做内错角。
3.同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在被截两直线之间，截线同侧的两个角，叫做同旁内角。
5.2平行线及其判定5.2.1平行线1.平行线：（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
（2）在同一平面内，没有公共点的两条直线叫做平行线。
2.平行公理：经过直线外．．．一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
3.平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（平行于同一直线的两条直线互相平行）5.2.2平行线的判定判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-[教学设计]初中数学-七年级上册-第五章--5
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5.1方程（第1课时）教学目标1．感受运用代数法解决问题的必要性，体会“方程”是解决实际问题的有效工具．2．理解方程的定义，会设未知数，列方程．3．感受用方程解决实际问题的优越性，体会从算式到方程是数学的进步．教学重点设未知数，列方程．教学难点分析实际问题中的相等关系，并利用相等关系正确列出方程．教学过程新课导入【思考】甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发．甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？【师生活动】学生回答：时间＝(3－1)÷(1.2－0.8)＝5．教师提问：问题中蕴含的数量关系是什么？学生回答：甲队速度×时间－乙队速度×时间＝3－1．【设计意图】从学生熟知的问题入手，引出用算式解决问题的本质是找出问题中的数量关系，为进一步根据具体问题列方程作好铺垫．新知探究一、探究学习【问题】甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发.甲队从距大本营1 km的一号营地出发，每小时行进1.2 km；乙队从距大本营3 km的二号营地出发，每小时行进0.8 km．多长时间后，甲队在途中追上乙队？你还能用新的方法解决这个问题吗？【师生活动】教师提问：如果设两队行进的时间为x h，根据“路程＝速度×时间”，你能分别列式表示甲队和乙队的行进路程以及甲、乙两队距大本营的路程吗？教师分析，学生回答.（1）列表：（2）在上面的表格中，有一些未知的量，根据设A，B两地相距x km，分别列式表示甲队和乙队从A地到B地的行驶时间，完成表格．教师提问：想一想，甲队追上乙队时，他们距大本营的路程之间有什么关系？学生分组讨论并回答，教师总结；寻找相等关系，列方程．甲队距大本营的路程＝乙队距大本营的路程，列方程：1.2x＋1＝0.8x＋3．教师总结：这样，我们就根据实际问题中的相等关系，得到了一个含有未知数x的等式．再来看两个实际问题．【问题1】用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？【师生活动】教师提问：这个问题中的已知条件是什么？相等关系是什么？学生回答：已知条件是大水杯的单价比小水杯的单价多５元．相等关系是用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯．教师提问：如果设大水杯的单价为x元，那么小水杯的单价为(x－5)元．如何表示相等关系？学生回答：3x＝4(x－5)．【问题2】下图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其面积是4 000mm2，长和宽的比为8∶5(即宽是长的58)．这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米？【师生活动】教师提问：这个问题中的已知条件是什么？相等关系是什么？学生回答：已知条件是长方形纪念币的面积是4 000 mm2，长和宽的比为8∶5．相等关系是长×宽＝面积．教师提问：如果设这枚纪念币的长为x mm，则纪念币的宽可以表示为58x mm，面积可以表示为58x mm2．如何表示相等关系？学生回答：58x2＝4 000．【新知】方程必须满足两个条件：（1）是等式；（2）化简后含有未知数．注意：方程是等式，但等式不一定是方程，如3＋1＝4是等式，但不含未知数，所以不是方程．教师提问：用算术方法和用列方程法解决问题，各有什么特点？学生回答：用算术方法解题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只含有已知数．用列方程法解题时，方程中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．【归纳】列方程的一般步骤如下：（1）设未知数，一般求什么就设什么为x；（2）分析题意，找相等关系；（3）根据相等关系列方程．【设计意图】教师引导学生采用不同设未知数的方法列方程，让学生体会解题策略的多样性．二、典例精讲【例】根据下列问题，设未知数并列出方程：（1）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这所学校有多少名学生？（2）如图，一块正方形绿地沿某一方向加宽5 m，扩大后的绿地面积是500 m2，求正方形绿地的边长．【答案】解：（1）设这所学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1－0.52)x．根据“女生比男生多80人”，列得方程0.52x－(1－0.52)x＝80．（2）设正方形绿地的边长为x m，那么扩大后的绿地面积为(x2＋5x)m2．根据“扩大后的绿地面积是500 m2”，列得方程x2＋5x＝500．【设计意图】将简单的列方程题目大胆地放给学生自主、合作学习，学生通过展示自己的学习成果，进一步激发学习兴趣．通过例题的练习与讲解，让学生学会如何列方程解决实际问题．课堂小结板书设计一、方程的定义二、列方程的一般步骤课后任务完成教材第113页练习1～3题．教学反思_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________。
初一数学第五章知识点
初一数学第五章知识点代数初步知识1.代数式：用运算符号+ -连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义;单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：(1)数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用乘，或省略不写;(2)数与数相乘，仍应使用乘，不用乘，也不能省略乘号;(3)数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a5应写成5a;(4)带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a应写成a;(5)在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3a写成的形式;(6)a与b的差写作a-b，要注意字母顺序;若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a .3.几个重要的代数式：(m、n表示整数)(1)a与b的平方差是：a2-b2 ; a与b差的平方是：(a-b)2 ;(2)若a、b、c是正整数，则两位整数是：10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c;(3)若m、n是整数，则被5除商m余n的数是：5m+n ;偶数是：2n，奇数是：2n+1;三个连续整数是：n-1、n、n+1 ;(4)若b0，则正数是:a2+b，负数是：-a2-b，非负数是：a2，非正数是：-a2 .一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程. ⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ca=cb三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.四、去括号法则1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2.去括号(按去括号法则和分配律)3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4.合并(把方程化成ax = b (a≠0)形式)5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=a(b).六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.2.设：设未知数(可分直接设法，间接设法)3.列：根据题意列方程.4.解：解出所列方程.5.检：检验所求的解是否符合题意.6.答：写出答案(有单位要注明答案)如何整理数学学科课堂笔记一、内容提纲。
七年级数学第五章知识总结
七年级数学第五章知识总结本章主要讲述的知识点有相交线与平行线。
其中相交线当中，两线相交，共产生两对对顶角，还引入了邻补角的概念。
相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90︒。
经过直线外一点，作直线的垂线，有且只有一条；点到直线上各点的距离中，垂线段最短。
两条直线的另外一种关系是平行，平行就是指两条直线永不相交。
平行线之间的距离处处相等。
过直线外一点，作已知直线的平行线，有且只有一条。
当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。
两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF 的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF 的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。
平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。
两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行Array如图所示，只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5＝∠7；∠6＝∠8），就可以说AB//CD平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4＝180︒），就可以说AB//CD平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到。
初中数学各章节知识点总结(人教版)
知识点汇二0一七年十一月2019新人教版初中数学总目录七年级上册（共四章）第一章有理数（第1-3页）1.1 正数和负数1.2 有理数（数轴/相反数/绝对值）1.3 有理数的加减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1.4 有理数的乘除法观察与猜想翻牌游戏中的数学道理1.5 有理数的乘方（乘方/科学记数法/近似数）数学活动小结复习题1第二章整式的加减（第3-4页）2.1 整式阅读与思考数字1与字母X的对话2.2 整式的加减信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结复习题2第三章一元一次方程（第4-5页）3.1 从算式到方程（一元一次方程/等式的性质）阅读与思考“方程”史话3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项实验与探究无线循环小数化分数3.3解一元一次方程（二）——去括号与去分母3.4实际问题与一元一次方程数学活动小结复习题3第四章几何图形初步（第5-5页）4.1 几何图形（立体图形与平面图形/点、线、面、体）阅读与思考几何学的起源4.2 直线、射线、线段阅读与思考长度的测量4.3 角（角/角的比较和运算/余角和补角）4.4 课题学习：设计制作长方体形状的包装纸盒数学活动小结复习题4七年级下册（共六章）第五章相交线与平行线（第6-7页）5.1 相交线（相交线/垂线/(同位角/内错角/同旁内角)）观察与猜想看图时的错觉5.2 平行线及其判定（平行线/平行线的判定）5.3 平行线的性质（平行线的性质/命题、定理、证明）信息技术应用探索两条直线的位置关系5.4 平移数学活动小结复习题5第六章实数（第7-8页）6.1 平方根6.2 立方根6.3 实数阅读与思考为什么说2不是有理数数学活动小结复习题6第七章平面直角坐标系（第8-8页）7.1 平面直角坐标系（有序数对/平面直角坐标系）阅读与思考用经纬度表示地理位置7.2 坐标方法的简单应用数学活动小结复习题7第八章二元一次方程组（第9-9页）8.1 二元一次方程组8.2 消元——解二元一次方程组8.3 实际问题与二元一次方程组※8.4 三元一次方程组的解法阅读与思考一次方程组的古今表示及解法数学活动小结复习题8第九章不等式与不等式组（第9-10页）9.1 不等式（不等式及其解集/不等式的性质）阅读与思考用求差法比较大小9.2 一元一次不等式9.3 一元一次不等式组数学活动小结复习题9第十章数据的收集、整理与描述（第10-11页）10.1 统计调查实验与探究瓶子中有多少粒豆子10.2 直方图信息技术应用利用计算机画统计图10.3 课题学习：从数据谈节水数学活动小结复习题10八年级上册（共五章）第十一章三角形（第11-12页）11.1 与三角形相关的线段（三角形的边/三角形的高、中线与角平分线/三角形的稳定性）信息技术应用画图找规律11.2 与三角形相关的角（三角形的内角/三角形的外角）阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（多边形/多边形的内角和）数学活动小结复习题11第十二章全等三角形（第12-13页）12.1 全等三角形12.2 三角形全等的判定信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质数学活动小结复习题12第十三章轴对称（第2019页）13.1 轴对称（轴对称/线段的垂直平分线的性质）13.2 作轴对称图形信息技术应用用轴对称实行图案设计13.3 等腰三角形（等腰三角形/等边三角形）实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4课题学习最短路径问题数学活动小结复习题13第十四章整式的乘法与因式分解（第14-15页）14.1整式的乘法（同底数幂的乘法/ 幂的乘方 / 积的乘方 / 整式的乘法）14.2 乘法公式(平方差公式/完全平方公式)阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（提公因式法/公式法）阅读与思考2()+++型式子的因式分解x p q x pq数学活动小结复习题14第十五章分式（第16-17页）15.1 分式（从分数到分式/ 分式的基本性质）15.2 分式的运算（分式的乘除 /分式的加减 /整数指数幂）阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程数学活动小结复习题15八年级下册（共五章）第十六章二次根式（第17-17页）16.1 二次根式16.2 二次根式的乘除16.3 二次根式的加减阅读与思考海伦—秦九韶公式数学活动小结复习题16第十七章勾股定理（第18-18页）17.1 勾股定理阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理阅读与思考费马大定理数学活动小结复习题17第十八章四边形（第18-20页）18.1 平行四边形（平行四边形的性质 /平行四边形的判定）18.2 特殊的平行四边形（矩形/菱形/ 正方形）实验与探究丰富多彩的正方形观察与猜想平面直角坐标系中的特殊四边形数学活动小结复习题18第十九章一次函数（第20-20页）19.1 变量与函数（变量与函数/函数的图象）阅读与思考科学家如何测算岩石的年龄19.2 一次函数（正比例函数/ 一次函数/一次函数与方程、不等式）信息技术应用用计算机画函数图象19.3 课题学习选择方案数学活动小结复习题19第二十章数据的分析（第21-21页）20.1 数据的集中趋势（平均数/中位数和众数）20.2 数据的波动水准阅读与思考数据波动水准的几种度量20.3课题学习体质健康测试中的数据分析数学活动小结复习题20九年级上册（共五章）第二十一章一元二次方程（第21-23页）21.1 一元二次方程21.2 降次--解一元二次方程（配方法/ 公式法/ 因式分解法/一元二次方程的根与系数的关系）阅读与思考黄金分割数21.3 实际问题与一元二次方程数学活动小结复习题21第二十二章二次函数（第23-25页）22.1 二次函数的图像和性质（二次函数/二次函数2y ax =的图象和性质/二次函2()y a x h k =-+ 的图象和性质/二次函数2y ax bx c =++的图象和性质）22.2 二次函数与一元二次方程信息技术应用 探索二次函数的性质22.3实际问题与二次函数阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系数学活动小结复习题22第二十三章 旋转 （第25-26页）23.1 图形的旋转23.2 中心对称（中心对称/ 中心对称图形）信息技术应用 探索旋转的性质23.3 课题学习 图案设计阅读与思考 旋转对称数学活动小结复习题23第二十四章 圆 （第27-30页）24.1 圆（圆/ 垂直于弦的直径/弧、弦、圆心角/ 圆周角） 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（点和圆的位置关系/直线和圆的位置关系）实验与探究 圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆阅读与思考 圆周率π24.4 弧长和扇形的面积实验与探究 设计跑道数学活动小结复习题24第二十五章 概率初步 （第30-30页）25.1 随机事件与概率（随机事件/概率）25.2 用列举法求概率阅读与思考 概率与中奖25.3 用频率估计概率25.4 课题学习 键盘上字母的排列顺序实验与探究 π的估计数学活动小结复习题25九年级下册（共四章）第二十六章反比例函数（第30-31页）26.1 反比例函数（反比例函数/反比例函数的图象和性质）信息技术应用探索反比例函数的性质26.2实际问题与反比例函数阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结复习题26第二十七章相似（第31-32页）27.1 图形的相似27.2 相似三角形（相似三角形的判定/ 相似三角形的性质/相似三角形应用举例）观察与猜想奇妙的分形图形27.3 位似信息技术应用探索位似的性质数学活动小结复习题27第二十八章锐角三角函数（第32-33页）28.1 锐角三角函数阅读与思考一张古老的三角函数表28.2 解直角三角形及其应用阅读与思考山坡的高度数学活动小结复习题28第二十九章投影与视图（第34-34页）29.1 投影29.2 三视图阅读与思考视图的产生与应用29.3 课题学习制作立体模型数学活动小结复习题29全套六册课本共29章内容代数十四章，几何十二章，统计概率三章课时合计：代数：165；几何：155；统计概率34：合计354新人教版数学初中阶段三年六册课本共二十九章内容七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、几何图形初步四个章节的内容.第一章 有理数知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类： ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论；5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10. 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11. 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时： (-a)n =-a n 或 (a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时： (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减.本章内容要求学生准确理解有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。
数学人教版七年级下册第五章小结
第五章小结
一、教学目标：
1.正确说出平方根、算术平方根、立方根的定义及举例。
2.总结实数的分类。
3.正确进行实数和开方运算、乘方运算的计算。
二、学情分析：
在开始学习的时候，学生们对于平方根、算术平方根、立方根的定义和计算容易混淆，导致在后面进行实数的运算和化简时候，学生们出现错误。
经过一段时间的练习和习题讲解。
学生们对于开方运算更加熟练。
正确率也逐步提高。
在小结复习的时候就更加简单高效了。
三、重点难点：
1.正确进行实数和开方运算、乘方运算的计算。
四、教学活动：
【导入】知识梳理把握重点
教师提问：平方根的概念是什么？算术平方根的概念是什么？这两个概念的区别与联系是什么？同学们回答相关问题。
教师继续提问：立方根的概念是什么？什么是开平方、开立方运算？乘方运算与开方运算有什么关系？同学们回答相关问题。
教师提问：平方根、算术平方根、立方根的区别和联系是什么。
同学们和教师一起总结。
【活动】知识梳理把握重点
教师提问：无理数和有理数的区别是什么？学生回答。
教师提问：有理数和无理数的分类。
学生回答。
【练习】典型分析强调方法
教师在大屏幕上放一些练习题，从最简单的求平方根、算术平方根、立方根。
到后面化简计算。
学生们计算，然后订正答案。
【活动】归纳总结布置作业
教师请学生总结这节课我们主要复习了哪些知识。
学生们总结。
教室布置课下作业。
七年级-人教版(2024新版)-数学-上册-[教学设计]初中数学-七年级上册-第五章--5
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5.3实际问题与一元一次方程（第4课时）教学目标1．体验建立方程模型解决问题的一般过程．2．体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能力．教学重点通过分类讨论，将数学问题转化为方程问题．教学难点由实际问题抽象出数学模型的探究过程．教学过程新课导入今天，我们来探究如何用一元一次方程解决与实际生活联系更为紧密的问题——方案选择问题．解决这类问题的关键仍然是在实际问题中分析数量关系，先找出相等关系，再设未知数列方程求解．新知探究一、探究学习【问题】购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元/(kW·h)，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低．平均每年匹数能效等级售价/元耗电量/(kW·h)1.51级 3 0006401.53级 2 600800你了解上面表格中这些数字的含义吗？怎样理解综合费用？【师生活动】教师提问，学生思考、回答．教师对回答的方向适当给予提示，然后教师列举出一两个具体的使用时间，让学生通过简单计算回答相应的费用．【设计意图】通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工；通过计算几个较容易的电费，检验学生是否理解表格信息的含义，并渗透“电费多少与使用时间相关”．【问题】根据对表格的理解，你觉得应该怎么求综合费用？【师生活动】教师引导学生写出综合费用和电费的求法．【答案】综合费用＝空调的售价＋电费；电费＝平均每年耗电量×使用的时间×电价．【设计意图】引导学生写出综合费用的求法，为后面进行比较做好铺垫．【问题】你觉得选择哪款空调的综合费用较低呢？【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生的回答情况，教师适当加以引导．若学生回答1级能效空调或者3级能效空调综合费用较低，可以和班级其他学生一起举例加以质疑；若学生的回答中出现分类讨论的趋势，则教师加以肯定并引导学生作进一步的探究．【设计意图】学生有生活基础，所以具备了一定的认识，在给出探究问题后让学生充分发言，表达自己对问题的直观认识，同时学生之间进行交流，为问题的进一步探究做准备．【问题】通过大家的讨论，你对两款空调的综合费用有什么新的认识？【师生活动】教师提出问题，学生思考回答．根据学生回答，教师适当加以归纳引导：若学生还没有明确的分类，则引导学生思考“你可以确定哪一个时间区间内两款空调的综合费用的比较结果”，从而引导学生进行分类；若学生已经对问题进行了分类，则追问“为什么这样分类？”以及“在每一个时间区间内你是怎么分析的”，从而引导学生更合理地解决问题．【设计意图】学生参考了其他同学的观点后再次对问题进行认识，其认识过程与结论已经逐步接近正确而合理的方向，教师在此基础上加以引导和启发，帮助学生确定分类讨论的研究方式．【问题】应该怎么列式表示综合费用．【师生活动】教师提出问题，学生思考并列出式子，教师巡视．【设计意图】引导学生独立思考，同时考察学生列代数式表示未知量的能力．【问题】t取什么值时，两款空调的综合费用相等？【师生活动】教师提出问题，学生思考并小组讨论，教师选小组汇报讨论结果．学生能对“t＝5”这种情况作出准确判断，对于“t＜5”“t＞5”的情况，教师辅助学生加以分析．【问题】当t＜5，t＞5时，两款空调的综合费用是怎样的呢？【师生活动】学生组内交流，派出学生代表回答．【答案】把表示3级能效空调的综合费用的式子2 600＋400t变形为1级能效空调的综合费用与另外一个式子的和，即(3 000＋320t)＋(80t－400)，也就是3 000＋320t＋80(t－5)．当t＜5时，80(t－5)是负数，这表明3级能效空调的综合费用较低；当t＞5时，80(t－5)是正数，这表明1级能效空调的综合费用较低．【设计意图】学生通过分类讨论得到方程模型，并利用方程求出关键数据，这可使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生对模型的应用意识和应用能力．【问题】综合以上的分析，可以发现：___________________，选择3级能效空调；___________________，选择1级能效空调．【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．【答案】当t＜5时当t＞5时【设计意图】在得出方程模型的结论之后，引导学生利用结论解释实际问题，从而完成解题过程．【归纳】方案选择问题的求解方法．方案选择在日常生活中有着广泛的应用，解决方案选择问题时，我们可分别计算每种方案应付的费用，然后进行比较．二、典例精讲【例】在甲复印店用A4纸复印文件，复印页数不超过20页时每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费降为0.09元．在乙复印店用A4纸复印文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．如何根据复印的页数选择复印的地点，使总价格比较便宜？（复印的页数不为0）【问题】你能通过分析题目，合理地列出表格吗？【师生活动】教师引导学生列表，将题目中的信息以表格的形式整理出来．【答案】设复印x页，整理数据如下．【设计意图】通过列表，提升学生列表整理信息的能力．【问题】如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？【师生活动】根据表格，学生对此问题进行分析，教师巡视进行指导．【答案】解：设复印页数为x页（x是正整数）．（1）当x＜20时，0.12x＞0.1x恒成立，乙复印店价格便宜；（2）当x＝20时，2.4＞2，乙复印店价格便宜；（3）当x＞20时，依题意，得2.4＋0.09(x－20)＝0.1x．解得x＝60．代入数值进行验证，可知当x＞60时，甲复印店价格便宜，当x＜60时，乙复印店价格便宜．综上所述，当x＜60时，乙复印店价格便宜；当x＝60时，甲复印店和乙复印店价格相同；当x＞60时，甲复印店价格便宜．【设计意图】通过解答此题，使学生进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析与解决问题的能力．【活动1】生活中的阶梯计价问题居民生活用水通常按户计费．下表是某城市居民生活用水的收费标准(户内人口不超过4人)，称这样的收费方式为阶梯计价．【问题】（1）设某户居民的年用水量为t m3(t是正整数)，请你列表说明，当t在不同范围内取值时，如何计费．（2）已知某户居民一年的水费为930元，这户居民的年用水量是多少立方米？（3）查阅资料，了解自己所在地区的城市居民生活用水收费标准．据此你能提出一些数学问题并加以解决吗？（4）查阅资料，了解生活中还有哪些阶梯计价问题(如电费、停车场收费、出租车收费等)，根据相应的收费标准，自己提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程．【答案】解：（1）当t(t是正整数)在不同范围内取值时，计费情况如下表所示．（2）设这户居民的年用水量为x m3．因为这户居民一年的水费为930元，所以180＜x＜240．列得方程810＋6(x－180)＝930，解得x＝200．所以这户居民的年用水量是200m3．【活动2】木杆挂重物问题用一根质地均匀的木杆和一些等重的小物体，做下列实验：（1）在木杆中间处拴绳，将木杆吊起并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；（2）在木杆两端各悬挂一重物，看看左右是否保持平衡；（3）在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；（4）在木杆左端两小物体下再加挂一重物，然后把这三个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；（5）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录．【问题】根据记录你能发现什么规律？【答案】随着支点左边小物体数目的增多，支点到木杆左边挂重物处距离越来越近；左边小物体数目×支点到木杆左边挂重物处距离＝右边小物体数目×支点到木杆右边挂重物处距离．【问题】如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为l cm，支点在木杆中点处，支点到木杆左边挂重物处的距离为x cm，把n，l作为已知数，列出关于x 的一元一次方程．【答案】解：根据规律，可列得方程nx＝2l ． 【设计意图】通过解答此题，使学生进一步熟悉解决问题的方法与过程，从而提高分析与解决问题的能力．课堂小结板书设计一、方案选择问题的分类讨论二、列代数式表示不同方案三、列方程寻找不同方案中的转折点课后任务完成教材第139页练习第2题．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学反思。
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第五章 小结教学目标1.经历对本章所学知识回顾与思考的过程,将本章内容条理化,系统化, 梳理本章的知识结构.2.通过对知识的疏理,进一步加深对所学概念的理解,进一步熟悉和掌握几何语言,能用语言说明几何图形.3.使学生认识平面内两条直线的位置关系,在研究平行线时,能通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质,理解平移的性质,能利用平移设计图案. 重点、难点重点:复习正面内两条直线的相交和平行的位置关系,以及相交平行的综合应用. 难点:垂直、平行的性质和判定的综合应用. 教学过程一、复习提问本章相交线、平行线中学习了哪些主要问题?教师根据学生的回答,逐步形成本章的知识结构图,使所学知识系统化. 二、回顾与思考按知识网展开复习.平移判定性质同位角,内错角,同旁内角点到直线的距离垂线及其性质对顶角相等邻补角,对顶角平行公理两三条条 直直线线被所第截两线条相直交平行相交平线 面的 内位两置条关直系1.对顶角、邻补角。
(1)教师提出问题,由幻灯片出示.①两条直线相交、构成哪两种特殊位置关系的角？指出图(1) 中具有这两种位置的角.ODCAODCB Acba4321(1) (2) (3) ②如图(2)中,若∠AOD=90°,那么直线AB,CD 的位置关系如何? ③如图(3)中,∠1与∠2,∠2与∠3,∠3与∠4是怎么位置关系的角?(2)学生回答.(3)教师强调:对顶角、邻补角是由两条相交面而成的具有特殊位置关系的角，要抓住对顶角的特征，有公共顶角，角的两边互为反向延长线；邻补角的特征：有公共顶有一条公共边，另一边互为反向延长线。
(4)对顶角有什么性质?(对顶角相等)如果两个对顶角互补或邻补角相等, 你得到什么结论?让学生明确,对顶角总是相等,邻补角一定互补, 但加上其他条件如对顶角或邻补角相等后,那么问题中每个角的度数就随之确定,为90°角, 这时两条直线互相垂直. 2.垂线及其性质.(1)复习时教师应强调垂线的定义即可以作垂线的制定方法用,也可以作垂线性质用. 作判定用时写成:如图(2),因为∠AOD=90°,所以AB ⊥CD, 这是一个角的“数”到两直线垂直的“形”的判断。
作为性质用时写成：如图(2)，因为AB ⊥CD,所以∠AOD=90°。
这是由“形”到“数”的说理。
(2)如图(4),直线AB 、CD 、EF 相交于点O,CD ⊥EF,∠1=35°,求∠2的度数.FE21D CBAlDCBA(4) (5) (6) 鼓励学生用不同方法求解. (3)垂线性质1和性质2.让学生叙述垂线的性质,懂得分清这两个命题的题设和结论,垂线性质一说得过一点已知直线的垂线存在并且唯一的. 学生思考:①请回忆一下后体育课测跳远成绩时,教师是怎样测量的?如图(5),AB ⊥L,BC ⊥L,B 为重足,那么A 、B 、C 三点在同一②条直线上吗?为什么? ③点到直线的距离、两条平行线的距离.初中阶级学习了三种距离,即是距离,就要懂得的共同点:距离都是线段的长度,又要懂得区别:两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是某条直线上的一点到另一点平行线的距离.学生练习:①如图(6),四边形ABCD,AD ∥BC,AB ∥CD,过A 作AE ⊥BC,过A 作AF ⊥CD,垂足分别是E 、F,量出点A 到BC 的距离和AB 、CD 平行线间的距离. ②请归纳一下与垂直有关的知识中,有哪些重要结论?如垂线的性质1、2,又如两种直线都垂直于第三条直线,这两条直线平行, 一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直…… 3.同位角、内错角、同旁内角.只要求学生从图形中找出同位角,内错角,同旁内角.练习:如图(7),找出∠1、∠2、∠3中哪两个是同位角、内错角、同旁内角.cba321(7) 4.平行线判定与性质(1)怎样判别两条直线是否平行. (2)平行线有什么特征?(3)对比平行线的性质和直线平行的条件,它们有什么异同?(4)为什么研究平面内两直线的位置关系总是与角联系起来?围绕这些问题展开讨论,交流.教师使学生进一步明确: 平行线的判定也是由“数”即角与角的关系到“形”的判断，而性质则是“形”到“数”的说理，在研究两条直线的垂直或平行时共同点是把研究它们的位置关系转化为研究角或角之间的关系。
学生练习:①填空:如图(8),当_______时,a ∥c,理由是________;当______时, b ∥c,理由是_________;当a ∥b,b ∥c 时,______∥______,理由是_________.cb da4321DCBAB 'DCBA(8) (9) (10)②如图(9),AB ∥CD,∠A=∠C,试判断AD 与BC 的位置关系?为什么? 教师根据学生情况酌情给予引导. 5.关于平移,让学生思考:(1)图形平移时,连接对应点有什么关系? (2)如何确定图形平移的方向和平移的距离? (3)你能用平移设计一些图案吗?练习:如图(10),平移四边形ABCD,使点B 移动到点B′,画出平移后的四边形A′B′C′D′. 三、作业1.课本P39.1～8.2.补充作业: 一、判断题.1.如果两个角是邻补角,那么一个角是锐角,另一个角是钝角.( )2.平面内,一条直线不可能与两条相交直线都平行.( )3.两条直线被第三条直线所截,内错角的对顶角一定相等.( )4.互为补角的两个角的平行线互相垂直.( )5.两条直线都与同一条直线相交,这两条直线必相交.( )6.如果乙船在甲船的北偏西35°的方向线上, 那么从甲船看乙船的方向角是南偏东规定35°.( ) 二、填空题1.a 、b 、c 是直线,且a ∥b,b ⊥c,则a 与c 的位置关系是________.2.如图(11),MN ⊥AB,垂足为M 点,MN 交CD 于N,过M 点作MG ⊥CD,垂足为G,EF 过点N 点,且EF ∥AB,交MG 于H 点,其中线段GM 的长度是________到________的距离, 线段MN 的长度是________到________的距离,又是_______的距离,点N 到直线MG 的距离是___.G H NMF EDC BA FEODCBA(11) (12)3.如图(12),AD ∥BC,EF ∥BC,BD 平分∠ABC,图中与∠ADO 相等的角有_______ 个,分别是___________.4.因为AB ∥CD,EF ∥AB,根据_________,所以_____________.5.命题“等角的补角相等”的题设__________,结论是__________.6.如图(13),给出下列论断:①AD ∥BC:②AB ∥CD;③∠A=∠C.以上其中两个作为题设,另一个作为结论,用“如果……，那么……”形式，写出一个你认为正确的命题是___________.DC BAFEO DCBAclNMb a21(13) (14) (15) 7.如图(14),直线AB 、CD 、EF 相交于同一点O,而且∠BOC=23∠AOC,∠DOF=13∠AOD,那么∠FOC=______度.8.如图(15),直线a 、b 被C 所截,a ⊥L 于M,b ⊥L 于N,∠1=66°,则∠2=________. 三、选择题.1.下列语句错误的是( )A.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离B.两条直线平行,同旁内角互补C.若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角,则这两个角为邻补角D.平移变换中,各组对应点连成两线段平行且相等2.如图(16),如果AB ∥CD,那么图中相等的内错角是( )A.∠1与∠5,∠2与∠6;B.∠3与∠7,∠4与∠8;C.∠5与∠1,∠4与∠8;D.∠2与∠6,∠7与∠387654321DCBA(16)3.下列语句:①三条直线只有两个交点,则其中两条直线互相平行; ②如果两条平行线被第三条截,同旁内角相等,那么这两条平行线都与第三条直线垂直; ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行,其中( )A.①、②是正确的命题B.②、③是正确命题C.①、③是正确命题D.以上结论皆错4.下列与垂直相交的洗法:①平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行; ②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直,那么它与另一条也垂直;③平行内, 一条直线不可能与两条相交直线都垂直,其中说法错误个数有( ) A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 四、解答题1.如图(17),是一条河,C 河边AB 外一点:(1)过点C 要修一条与河平行的绿化带,请作出正确的示意图.(2)现欲用水管从河边AB,将水引到C 处,请在图上测量并计算出水管至少要多少?(本图比例尺为1:2000)BA2.如图(18),ABA ⊥BD,CD ⊥MN,垂足分别是B 、D 点,∠FDC=∠EBA. (1)判断CD 与AB 的位置关系;(2)BE 与DE 平行吗?为什么?NMFE DCBA3.如图(19),∠1+∠2=180°,∠DAE=∠BCF,DA 平分∠BDF.(1)AE 与FC 会平行吗?说明理由.(2)AD 与BC 的位置关系如何?为什么?(3)BC 平分∠DBE 吗?为什么.F E21DCBA4.在方格纸上,利用平移画出长方形ABCD 的立体图,其中点D′是D 的对应点.(要求在立体图中,看不到的线条用虚线表示)答案 一、1.× 2.∨ 3.× 4,.× 5.× 6.∨ 二、1. 互相垂直2.点M,直线CD 点M,直线EF 平行线AB 、EF 间 线段GN 的长度3.4个 ∠EOB 、 ∠DOF 、∠ABD 、∠CBD4.两条直线都与第三条直线平行,这两条直线也互相平行 CD ∥EF5.两个角是相等两角的补角 这两个角相等6.如果一个四边形的两组对边平行,那么它的对角相等;或若一个四边形的一组对边平行,一组对角相等,那么它的另一组对边也互相平行7.1568.114°三、1.C 2.D 3.A 4.D 四、1. 略 2.(1)CD ∥AB因为CD⊥MN,AB⊥MN,所以CDN=∠ABM=90°所以CD∥AB(2)平行因为∠CDN=∠ABN=90°,∠FDC=EBA所以∠FDN=∠EBN所以FD∥EB3.(1)平行因为∠1+∠2=180°,∠2+∠CDB=180°(邻补角定义)所以∠1=∠CDB所以AE∥FC( 同位角相等两直线平行)(2)平行,因为AE∥CF,所以∠C=∠CBE(两直线平行, 内错角相等)又∠A=∠C 所以∠A=∠CBE所以AF∥BC(两直线平行,内错角相等)(3) 平分因为DA平分∠BDF,所以∠FDA=∠ADB因为AE∥CF,AD∥BC所以∠FDA=∠A=∠CBE,∠ADB=∠CBD所以∠EBC=∠CBD4.略评价与反思全章复习的目的是使学生进一步系统掌握基础知识，基本技能和基本方法，进一步提高综合运用数学知识的灵活地分析和解决问题的能力，因此，在选择教学内容时注意了下面两个方面：第一，既加强基础，又提高能力和发展智力；第二，既全面复习，又突出重点。