专题38 数列中的不等问题-2019年高三数学一轮复习热点解读与精选精练专题Word版含解析

专题38 数列中的不等问题【热点聚焦与扩展】关于数列中涉及到的不等问题，通常与数列的最值有关或证明不等式成立或确定参数的范围，对于数列中的最值项问题，往往要依靠数列的单调性，而对于数列不等式的证明问题，往往可以利用“放缩法”，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解.本专题举例说常见数列不等问题的求解方法.（一）数列中的不等关系1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性：（1）函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n 的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性.由于n N *∈ ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为()0,+∞ 的函数，得到函数的单调性后再结合n N *∈得到数列的单调性（2）相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性，通常的手段就是作差（与0比较，从而转化为判断符号问题）或作商（与1比较，但要求是正项数列） 3、用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的{}{},n n a b 是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理.比如：含n 的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n 项和n S 也可看做数列{}12:,,,n n S S S S 等等. 4、对于某数列的前n 项和{}12:,,,n n S S S S ，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观点解决.也可以考虑相邻项比较.在相邻项比较的过程中可发现：1n n n a S S -=-，所以{}n S 的增减由所加项n a 的符号确定.进而把问题转化成为判断n a 的符号问题. （二）利用放缩法证明不等式1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>> ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢.④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩.从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试. （3）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）② 等比数列：所面对的问题通常为“n S <常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足()0,1q ∈ ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为11a q-的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可.（4）与数列中的项相关的不等式问题：① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即()1n n a a f n +-<或()1n na f n a +<（累乘时要求不等式两侧均为正数），然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为n a ，另一侧为求和的结果，进而完成证明 3、常见的放缩变形： （1）()()211111n n n n n <<+-，其中2,n n N ≥∈：可称21n 为“进可攻，退可守”，可依照所证不等式不等号的方向进行选择. 注：对于21n，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列，例如：()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子.此外还可以构造放缩程度更小的，如：()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2=，从而有：22=<<<2,n n N *<-≥∈ （3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ 此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系. （4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n --=<=------- ()1112,2121n n n n N *-=-≥∈--可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=-------()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 【经典例题】例1.【2018）A. 6B. 7C. 8D. 13 【答案】B.例2. 已知函数是递增的取值范围是( )B.【答案】B【解析】分析：根据题意，首先可得a n 通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调详解：根据题意，a n =f （n ）=要使{a n }是递增数列，必有：解得，4＜a＜8．故选：B．例3. 等比数列）A.D. 成立的最大自然数【答案】C【解析】分析：利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确．利用等比数列的性质及不等式的性质判断出②正确．利用等比数列的性质判断出③错误．利用等比数列的性质判断出④正确，从而得出结论．D正确.故选C.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．例4.中，，（）A. 97 B. 98 C. 99 D. 100【答案】B，解不等式得到，98.故选B．例5.【2018届福建省宁德市5月检测】记，）【答案】C【解析】分析：根据数列{a n}求解S n，利用不等式的性质求解．详解：由a12a n+1+3S n=3（n∈N*），则2a n+3S n﹣1=3．两式相减，可得2a n+1﹣2a n+3a n=0，∵a1∴a n﹣n．那么S nn．点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力．（2S n数项都大于1，单调递减，偶数项都小于1，单调递增..例6.（1（2是一个单调递增数列，求实数.【答案】或【解析】分析：（1）根据可求得数列的通项公式．（2两种情况考虑，分别求出实数是首项为（2时，，．对一切点睛：（1）根据的关系求数列的通项公式时，利用（2）由于数列是特殊的函数，因此可从函数的角度认识数列，解题时要注意数列的函数特征，学会利用函数的方法研究数列的有关性质．例7. 在等比数列{a n}中，a2＝3，a5＝81．(1)求{a n}的通项公式；(2)设()2311log n n b a =+，数列{}n b 的前n 项和S n ，求证： 2n S <．【答案】(1)a n ＝3n －1．(2)见解析.()()()21111211n b n n n n n n=<=-≥-- 所以数列{}n b 的前n 项和()2222211111111121122334111111111111223341122n S n n n n n n=+++<+++++⨯⨯⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-<检验当n=1是符合不等式（或指明各项为正越加越大）．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“裂项消去法”，此类题目是数列问题中的常见题型，解答本题确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“放缩、裂项”之后求和，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等． 例8.已知数列（1（2（3【答案】(1)见解析.(2)见解析.(3)见解析.2的等比数列．(2)由（1．(3)由（2）可知，点睛：（1零，这一点要特别注意． （2解，再看结果能否写成统一的形式，否则要写成分段函数的形式． （3）解题时注意数列中放缩的技巧．例9.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈，求证：{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：21n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，因此根据等差数列定义可证：()212122n n n n c c d a a d +++-=-=（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简()2211nnn n k T b ==-∑()()()2222221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，再利用裂项相消法求和()222111111111111212121nn n k k k kT d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑，易得结论.例10. 设数列n（1的通项公式（2n项． 【答案】（1（2【解析】分析：（1式；（21数列的单调性，求解数列的最大项．详解：（1（2点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力．【精选精练】1．【2018年浙江省高考模拟】在等差数列{}n a 中，若981a a <-，且它的前n 项和n S 有最小值，则当0n S >时， n 的最小值为（ ）A. 14B. 15C. 16D. 17 【答案】C【解析】分析：根据题设条件，利用等差数列的性质推导出811520a a a =+<， 891160a a a a +=+>，由此能求出0n S >时， n 的最小值．详解：∵数列{}n a 是等差数列，它的前n 项和n S 有最小值 ∴公差0d >，首项10a <， {}n a 为递增数列∵981a a <- ∴890a a ⋅<， 890a a +>由等差数列的性质知： 811520a a a =+<， 891160a a a a +=+>. ∵()12n n a a n S +=∴当0n S >时， n 的最小值为16． 故选C.点睛：本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题．解答本题的关键是根据80a <， 90a >，确定0n S >时， n 的最小值.2．【2018，则满足 ）A. 59B. 58C. 57D. 60 【答案】A.，所以，，所以使得所以的最小值为，故选A.点睛：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论.3( )【答案】C【解析】分析：先根据叠加法求数列通项公式，再利用对勾函数单调性确定函数最值.C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.4，记数列（）【答案】B则a n=2(n+1),对a1也成立，故a n=2(n+1)，则a n−kn=(2−k)n+2，则数列{a n−kn}为等差数列，故S n⩽S6a6−6k⩾0,a7−7k⩽0；本题选择B选项.点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.5.【2018届浙江省绍兴市5，数列【答案】 19 4【解析】分析：由题意结合等比数列的前n项和特征可得r.详解：等比数列前n项和公式具有特征：点睛：本题主要考查数列的单调性，比值法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．【2018年4月2018n，，_____________.【解析】∵+…+7．在等差数列中，项和，当且仅当取得最大值，则围为___________．【解析】分析：根据题意当且仅当n=8时S n取得最大值，得到S7<S8，S9<S8，联立得不等式方程组，求解得d的取值范围．点睛：该题考查的是有关等差数列的前结果.8.【解析】分析：进而得到时，是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．设数列{}n a是公差为d的等差数列，135246105,99a a a a a a++=++=．则na=______；数列{}n a 的前n项和n S取得最大值时，n=______．【答案】241n-+20【解析】分析：将条件转化为等差数列的基本量1,a d，解关于1,a d的方程组可求出1,a d，由等差数列的通项公式即可写出()3921412na n n=--=-.因为公差小于0，所以所有非负项的和最大，令4120na n=-≥，可求得前多少项取正值.进而可得数列{}n a的前n项和n S取得最大值时，n的取值.详解：将135246105,99a a a a a a++=++=．转化为用1,a d表示得1136105{3999a da d+=+=，即11235{333a da d+=+=.解得139{2ad==-，点睛：（1）求等差数列的通项公式，应先把条件转化成关于1,a d的方程，解方程组可求1,a d，再根据通项公式可写出na.（2）递减的等差数列，前面所有非负项的和最大；递增的等差数列，前面所有非正项的和最小.10.【2018（1（2的前【答案】(1)助于n的范围求得结果.详解：（1)设等差数列的公差为，依题意有令，解得，故取．点睛：该题考查的是有关等差数列的有关问题，一是涉及等差数列的通项公式，二是有关裂项相消法求和，在求通项公式的时候注意向首项和公差看齐，求得通项公式，二是利用其和建立相应的不等式，结合n的范围求得结果.11．【2018届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐地区5月训练】2的等比数列，，..【答案】（I）.（II100.【解析】分析：（Ⅱ），所以的最小值为100．详解：（I，100.点睛：用裂项法求和的原则及规律(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．12．如图是由正整数构成的数表，用a ij表示i行第j个数（i，j∈N＋）．此表中a il＝a ii＝i，每行中除首尾两数外，其他各数分别等于其“肩膀”上的两数之和．（1）写出数表的第六行（从左至右依次列出）．（2）设第n行的第二个数为b n（n≥2），求b n．（3T n n项和，求n的值．【答案】（1）见解析；（2（3）答案见解析.【解析】分析：(1)由题意可得第6行为：6、16、25、25、16、6 ；(2)(3)结合 (2)，则，，，点睛：本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．。