抛物线定义及其应用学同步练习
抛物线的练习题
抛物线的练习题抛物线的练习题在数学学科中，抛物线是一个经常出现的图形，它具有许多有趣的性质和应用。
通过解决抛物线的练习题，我们不仅可以加深对抛物线的理解，还可以提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。
下面，我们来看一些关于抛物线的练习题。
练习题一：求顶点坐标已知抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求抛物线的顶点坐标。
解答：顶点是抛物线的最高点或最低点，它的 x 坐标可以通过公式 x = -b/2a求得。
将 x = -b/2a 代入抛物线的方程，即可求得顶点的 y 坐标。
练习题二：求焦点坐标已知抛物线的焦点坐标为 F(x1, y1)，顶点坐标为 V(xv, yv)，且焦距为 p。
求抛物线的方程。
解答：根据抛物线的定义可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线的距离。
利用这个性质，我们可以得到焦点坐标与顶点坐标之间的关系。
根据焦点到顶点的距离等于焦距 p，可以得到以下关系式：√((x1 - xv)^2 + (y1 - yv)^2) = p将抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c 代入上述关系式，再利用顶点坐标的求解方法，可以得到抛物线的方程。
练习题三：求抛物线与直线的交点已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，直线的方程为 y = mx + n。
求抛物线与直线的交点坐标。
解答：将直线的方程代入抛物线的方程，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的 x 坐标。
将求得的 x 坐标代入直线的方程，即可求得交点的 y 坐标。
练习题四：求两条抛物线的交点已知两条抛物线的方程分别为 y1 = a1x^2 + b1x + c1 和 y2 = a2x^2 + b2x + c2，其中a1 ≠ 0，a2 ≠ 0。
求两条抛物线的交点坐标。
解答：将两条抛物线的方程相减，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的x 坐标。
2019-2020学年湘教版数学选修2-1新素养同步练习：2.3.1 抛物线的定义与标准方程 应用
姓名，年级：时间：［A 基础达标]1．准线方程为x＝1的抛物线的标准方程是( ）A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝4x解析：选B.由准线方程为x＝1知,抛物线的标准方程是y2＝－4x。
应选B。
2．抛物线y＝mx2的准线方程是y＝1，则实数m的值为（）A.错误!B．－错误!C．4 D．－4解析：选B。
由y＝mx2,得x2＝错误!y,－错误!＝1，m＝－错误!.3．已知P（8,a）在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为( ) A．2 B．4C．8 D．16解析：选B.准线方程为x＝－p，所以8＋p＝10，p＝2.所以焦点到准线的距离为2p＝4.4．已知抛物线C:y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|＝错误!x0，则x0＝（）A．1 B．2C．4 D．8解析:选A。
由题意知抛物线的准线方程为x＝－错误!.因为｜AF|＝错误!x0，所以根据抛物线的定义可得x0＋错误!＝｜AF|＝错误!x0,解得x0＝1.5．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l:2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是( ）A.错误!B.错误!C．2 D.错误!－1解析：选D.由题意知，抛物线的焦点为F（1，0）．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为｜PF｜－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋｜PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为错误!＝错误!，所以d＋|PF｜－1的最小值为5－1.6．抛物线y2＝2px(p〉0)过点M（2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：y2＝2px过点M(2，2），于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋错误!＝错误!。
答案：错误!7．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若｜AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为________．解析:由抛物线的方程可知F（1，0），由|AB|＝4错误!且AB⊥x轴得y错误!＝（2错误!）2＝12，所以x A＝错误!＝3，所以所求距离为3－1＝2.答案：28．若双曲线错误!－错误!＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．解析：把双曲线x23－错误!＝1化为标准形式错误!－错误!＝1，故c2＝3＋错误!,c＝错误!＝错误!，左焦点错误!，由题意知,抛物线的准线方程为x＝－错误!，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－错误!，所以－错误!＝－错误!，解得，p＝4或p＝－4（舍去)．故p＝4.答案：49．指出方程为x＝ay2(a≠0）抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程．解:因为原抛物线方程为y2＝1ax，所以2p＝错误!.当a＞0时,错误!＝错误!，抛物线顶点坐标为（0,0），开口向右,焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－错误!；当a＜0时，错误!＝－错误!,抛物线顶点坐标为(0，0），开口向左，焦点坐标为错误!，准线方程为x＝－1 4a.综上，当a≠0时,抛物线x＝ay2的顶点坐标为（0，0）,焦点坐标为（14a，0)，准线方程为x＝－错误!.10。
抛物线专题(附答案)
抛物线专题考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。
高中数学《抛物线及其标准方程》同步练习1 新人教A版选修1-1
解析几何同步练习（抛物线及其标准方程1A ）知识要点： ① 定义：d PF =||（d 为动点P 到准线距离）；② 标准方程：()022>=p px y 。
一、选择题1、已知抛物线的焦点坐标是（2，0），则抛物线的标准方程是[ ]A.y 2=4xB.y 2=8xC.y 2=-8xD.y 2=-4x2、已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是[ ]A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x3、经过点P （4，-2）的抛物线标准方程为[ ]A.y 2=x 或x 2=-8yB.y 2=x 或y 2=8xC.y 2=-8xD.x 2=-8y4、抛物线y=a 1x 2（a ≠0）的焦点坐标是 [ ] A.(0,4a )或（0，-4a ） B.（0，4a ）C.（0，a 41）或（0，-a 41） D.（0，a 41）二、填空题1、若点M 到点()0,1F 的距离比它到直线0=x 的距离大1，则点M 的轨迹方程为 .2、抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为 .3、顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线1243=-y x 上的抛物线方程是 .4、抛物线()022>=p px y 上任一点 与其焦点连线的中点的轨迹方程为 。
三、解答题1、 已知点()3,2-A 到抛物线()022>=p px y 焦点F 的距离为5，求抛物线方程。
2、 已知点()3,-m A 在抛物线()022>=p px y 上，它到抛物线焦点F 的距离为5，若0>m 求抛物线方程。
3、动点N 到定点A （4，0）的距离等于点N 到直线4x-3y-16=0的距离，求点N 的轨迹方程.参考答案一、选择题：BCAB二、填空题： 1、x y 42=或()00≤=x y ； 2、4； 3、x y 162=或y x 122-=；4、2241p px y -=。
抛物线的性质及综合应用的练习题及答案
抛物线的性质及综合应用1、已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆422=+y x 相交的公共弦长为32，求这条抛物线的方程。
2、已知B A 、是抛物线()022>=p px y 上的两点，O 为坐标原点，若AOB OB OA ∆=,的垂心恰为抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是 。
3、给定x y 22=，设()()P a a A ,00,>是抛物线上一点且d PA =，试求d 的最小值。
4、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，求正三角形的边长。
5、直角三角线的直角顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线()022>=p px y 上，且一直角边的方程是x y 2=，斜边长是35，求此抛物线方程。
6、已知过抛物线x y 42=的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程。
7、已知抛物线()022>=p px y 的一条过焦点F 的弦AB 被焦点F 分成长度为n m ,两部分。
求证：nm 11+为定值。
8、抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为︒135的直线，被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程。
9、设抛物线()022>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A 、两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴，求证：C O A 、、三点共线。
10、若抛物线2x y =上存在关于直线()3-=x m y对称的两点，求实数m 的取值范围。
11、已知抛物线2xy =，过点()1,2Q 作一条直线交抛物线于B A 、两点，试求弦AB 的中点方程。
12、如图，过抛物线x y =2上一点()2,4A 作倾斜角互补的 两条直线AC AB 、交抛物线于C B 、两点， 求证：BC 的斜率为定值。
13、已知抛物线py x 22=的焦点为F ，点()()()333222111,,,y x P y x P y x P 、、在抛物线上，且3122y y y +=，则有( ) ;;232221321FP FP FP B FP FP FP A =+=+、、 ;;22231231FP FP FP D FP FP FP C ==+、、14、与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为 。
选修一《抛物线》同步练习及答案
《3.3抛物线》同步练习一、单选题1．准线方程为的抛物线的标准方程是( ) A ．B ．C ．D ．2．抛物线的焦点坐标为（ ） A ． B ． C ．D ．3．抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．55．已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4D ．57．已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ）1y =22x y =22y x =24x y =-24y x =-22y x =1(0,)21(0,)81(,0)2(1,0)24x y =y 1(0,)2-(0,1)-(0,2)-(0,4)-24x y =A A 2:2(0)C y px p =>F l l ()2,3,M -C ()1,2N MN MF +C 22(0)x py p =>l M 22(1)(2)16x y -+-=p =683424y x =()220x py p =>2p 2346122:6C x y =F l C ,A B AB ||||AF BF +=A ．8B ．11C ．13D ．1610．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8二、多选题11．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是 B ．抛物线的准线是 C ．的最小值是D ．线段AB 的最小值是613．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A ． B ．为中点C ．D ．三、填空题14．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______.15．抛物线的准线方程是，则＝________.16．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______.17．抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.C 212y x =F A C F FA C BD A F B AF =()220y px p =>M 106p1291822(0)x py p =>(,2)E t 22x y =1y =-sin QMN ∠12C ()220y px p =>F F l C A B AD 4AF =2p =F AD 2BD BF =2BF =22y x =-P x P 2y ax =2y =a 22y px =()4,A m m =24y x =F F 24y x =A B 2AF FB =A四、解答题18．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点.求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.19．抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ． （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．20．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为.（1）求的值；（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.21．过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为时，. （1）求抛物线C 的方程；（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.22．已知直线与抛物线（）相交于A ，B 两点，且是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？23．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作212y x =221y x m-=()2:20C y px p =>()5,M m 6,p m ()2,1P l C ,A B P AB l 2:2(0)C x py p =>124PE PD =DE y b b 4x =2:2C y px =0p >OAB (2,1)-C ()220y px p =>F l P C P PE垂直于，交于，是边长为8的正三角形. （1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.答案解析一、单选题1．准线方程为的抛物线的标准方程是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在y 轴负半轴上，且，得， 故其标准方程为. 故选：C2．抛物线的焦点坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】整理抛物线方程得， 焦点在轴，，焦点坐标为，故选B.3．抛物线的准线与轴的交点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】Bl l E PEF C ()1,0M m C A B 3MA MB =m 1y =22x y =22y x =24x y =-24y x =-1y =12p=2p =24x y =-22y x =1(0,)21(0,)81(,0)2(1,0)212x y =∴y 14P =∴10,8⎛⎫⎪⎝⎭24x y =y 1(0,)2-(0,1)-(0,2)-(0,4)-准线方程为：，与轴的交点为，故选B.4．已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D 【解析】抛物线焦点在轴上，开口向上，所以焦点坐标为，准线方程为，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5. 5．已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，所以抛物线焦点坐标为，故答案选6．已知抛物线的焦点为,准线为,且过点在抛物线上,若点,则的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由题可得,.由抛物线的定义可知,,所以=.故选B ．7．已知抛物线：的准线与圆：相切，则（ ） A ．B ．C ．D ．y (0,1)-24x y =A A 24x y =y (0,1)1y =-415+=2:2(0)C y px p =>F l l ()2,3,M -C ()1,2N MN MF +:2l x =-2M MF x =+MN MF +2123M MN x ++≥+=C 22(0)x py p =>l M 22(1)(2)16x y -+-=p =6834【解析】因为抛物线的准线为， 又准线与圆相切， 所以，则. 故选D8．已知抛物线与的焦点间的距离为，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】抛物线的焦点坐标为，抛物线的焦点坐标为，，，解得故选：A.9．已知抛物线的焦点为直线与抛物线交于两点，若中点的纵坐标为5，则（ ） A ．8 B ．11 C ．13 D ．16【答案】C 【解析】抛物线中p ＝3， 设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由抛物线定义可得：|AF|+|BF|＝y 1+ y 2+p ＝y 1+ y 2+3， 又线段AB 中点M 的横坐标为5， ∴＝10， ∴|AF|+|BF|＝13；2:2C x py =2p y =-l ()()22:1216M x y -+-=242p+=4p =24y x =()220x py p =>2p 461224y x =()1,0()220x py p =>0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2=0p >p =2:6C x y =F l C ,A B AB ||||AF BF +=2:6C x y =122y y +=12y y +10．已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，，三点共线，则（ ） A ．16 B ．10 C ．12 D ．8【答案】C 【解析】因为，，三点共线，所以为圆的直径，． 由抛物线定义知，所以．因为到准线的距离为6， 所以． 故选：．二、多选题11．已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和，则的值可取（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】BD 【解析】设，所以有，由点到其准线及对称轴的距离分别为和，所以C 212y x =F A C F FA C BD A F B AF =A F B AB F AD BD ⊥1||||||2AD AF AB ==30ABD ∠=︒F ||||2612AF BF ==⨯=C ()220y px p =>M 106p1291800(,)M x y 2002y px =M 106有，，所以有或. 故选：BD12．已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆交x 轴于M ，N 两点，设线段AB 的中点为Q ．若抛物线C 上存在一点到焦点F 的距离等于3．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的方程是 B ．抛物线的准线是 C ．的最小值是 D ．线段AB 的最小值是6【答案】BC 【解析】抛物线的焦点为，得抛物线的准线方程为，点到焦点的距离等于3，可得，解得， 则抛物线的方程为，准线为，故A 错误，B 正确； 由题知直线的斜率存在，，设，，直线的方程为，由，消去得， 所以，，所以，所以AB 的中点Q 的坐标为， ，故线段AB 的最小值是4，即D 错误；所以圆Q 的半径为，在等腰中，， 0102p x +=06y =20020021*********y px p x p p p y ⎧=⎪⎪+=⇒-+=⇒=⎨⎪=⎪⎩18p =22(0)x py p =>(,2)E t 22x y =1y =-sin QMN ∠12()2:20C x py p =>02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2py =-()2E t ，F 232p+=2p =C 24x y =1y =-l ()0F ，1()11,A x y ()22,B x y l 1y kx =+21 4y kx x y=+⎧⎨=⎩y 2440x kx --=124x x k +=124x x =-()21212242y y k x x k +=++=+()2221k k +，221242244AB y y p k k =++=++=+222r k =+QMN 22221111sin 11222222Qy k QMN r k k +∠===-≥-=++当且仅当时取等号， 所以的最小值为，即C 正确， 故选：BC.13．已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（ ） A ． B ．为中点C ．D ．【答案】ABC 【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.，，故，，代入抛物线得到； ，故，故为中点；，故；，，故； 故选：.0k =sin QMN ∠12C ()220y px p =>F F lC A B AD 4AF =2p =F AD 2BD BF =2BF =AC ⊥C AM x ⊥M BE ⊥E tan AFM ∠=3AFM π∠=4AF =2MF =AM =2,2p A ⎛+ ⎝2p =2NF FM ==AMF DNF ∆≅∆F AD 6BDE π∠=22DB BE BF ==2BD BF =4BD BF DF AF +===43BF =ABC三、填空题14．设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是______. 【答案】【解析】抛物线方程的标准形式为：，准线方程为， 由抛物线的定义得：点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离， 因为点到轴的距离是4，所以，故填：. 15．抛物线的准线方程是，则＝________. 【答案】 【解析】抛物线的标准方程为, 则a ＜0且2＝－， 得a ＝－. 16．如果抛物线上一点到准线的距离是6，那么______. 【答案】 【解析】22y x =-P x P 33822y x =-18y =P P 18y =d P x 133488d =+=3382y ax =2y =a 18-2y ax =21x y a=14a1822y px =()4,A m m=±抛物线的准线方程为， 由题意得，解得. ∵点在抛物线上，∴，∴故答案为：.17．抛物线的焦点坐标为_____，过的直线交抛物线于、两点，若，则点坐标为_____.【答案】【解析】抛物线的焦点的坐标为； 设点，，设直线的方程为，，，由得，， 联立，消去得，， 所以，解得，， 因此，点的坐标为.故答案为：；.四、解答题 18．已知抛物线，双曲线，它们有一个共同的焦点. 求：（1）m 的值及双曲线的离心率；（2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程.【答案】（1），；（2）准线方程为，渐近线方程为【解析】22y px =2p x =-462p +=4p =()4,A m 22y px =2244m =⨯⨯m =±±24y x =F F 24y x =A B 2AF FB =A ()1,0(2,±24y x =F ()1,0()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+()111,AF x y =--()221,FB x y =-2AF FB =122y y -=122y y ∴=-214x my y x=+⎧⎨=⎩x 2440y my --=124y y ∴=-121242y y y y =-⎧⎨=-⎩1y =±21124y x ∴==A (2,±()1,0(2,±212y x =221y x m -=8m =3e =3x =-y =±（1）抛物线的焦点为，由双曲线，可得，解得， 双曲线的，，则； （2）抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为.19．抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），焦点为F ．（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程；（2）P 是抛物线上一动点，M 是PF 的中点，求M 的轨迹方程．【答案】（1）抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）；（2）M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．【解析】（1）抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，且过点（4，4），设抛物线解析式为y 2=2px ，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2∴抛物线标准方程为：y 2=4x ，焦点坐标为F （1，0）（2）设M （x ，y ），P （x 0，y 0），F （1，0），M 是PF 的中点，则x 0+1=2x ，0+y 0="2y" ∴x 0=2x ﹣1，y 0=2y∵P 是抛物线上一动点，∴y 02=4x 0∴（2y ）2=4（2x ﹣1），化简得，y 2=2x ﹣1．∴M 的轨迹方程为 y 2=2x ﹣1．20．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为. （1）求的值；（2）过点作直线交抛物线于两点，且点是线段的中点，求直线方程.【答案】（1），（2）.【解析】212y x =(3,0)221(0)y x m m -=>19m +=8m =1a =3c =3c e a ==212y x =3x =-2218y x -=y =±()2:20C y px p =>()5,M m 6,p m ()2,1P l C ,A B P AB l 2p =m =±230x y --=（1）由抛物线焦半径公式知：，解得：， ，，解得：（2）设，，则，两式作差得：，， 为的中点，，，直线的方程为：，即.21．过点P(-4,0)的动直线l 与抛物线相交于D 、E 两点，已知当l 的斜率为时，. （1）求抛物线C 的方程；（2）设的中垂线在轴上的截距为,求的取值范围.【答案】； 【解析】由题意可知,直线l 的方程为,与抛物线方程方程联立可得, ,设,由韦达定理可得,, 因为,,所以,解得,所以抛物线C 的方程为; 562p MF =+=2p =2:4C y x ∴=25420m ∴=⨯=m =±()11,A x y ()22,B x y 21122244y x y x ⎧=⎨=⎩()()()1212124y y y y x x +-=-1212124l y y k x x y y -∴==-+()2,1P AB 122y y ∴+=2l k ∴=∴l ()122y x -=-230x y --=2:2(0)C x py p =>124PE PD =DE y b b ()124x y =()22b >()1()142y x =+2:2(0)C x py p =>()22880y p y -++=()()1122,,,D x y E x y 12128,42p y y y y ++==4PE PD =()()22114,,4,PE x y PD x y =+=+214y y =121,4,2y y p ===24x y =设,的中点为,由,消去可得, 所以判别式,解得或,由韦达定理可得,, 所以的中垂线方程为, 令则,因为或,所以即为所求.22．已知直线与抛物线（）相交于A ，B 两点，且是等腰直角三角形．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l 过定点，斜率为k ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 只有一个公共点？【答案】（1）（2）或或 【解析】（1）直线与抛物线（）相交于A ，B 两点，可设，，又是等腰直角三角形，可得，，解得， 即有抛物线的方程为；（2）直线l 过定点，斜率为k ，可设直线l 的方程为， 当直线l 平行于抛物线的对称轴x 轴，可得直线与抛物线只有一个公共点，即； 当直线l 与抛物线相切时，可得直线与抛物线只有一个公共点，由可得，， ()2():4l y k x =+DE ()00,x y ()244x y y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩y 24160x kx k --=216640k k ∆=+>4k <-0k >()20002,4242D E x x x k y k x k k +===+=+DE ()21242y k k x k k --=--0x =b =()2224221y k k k =++=+4k <-0k >2b >4x =2:2C y px =0p >OAB (2,1)-24y x =0k =1k =-12k =4x =2:2C y px =0p >A (4,B -OAB OA OB ⊥1=-2p =24y x =(2,1)-1(2)y k x -=+0k =2124y kx k y x=++⎧⎨=⎩222[2(12)4](12)0k x k k x k ++-++=0k ≠由，解得或， 综上可得或或，直线l 与抛物线C 只有一个公共点． 23．已知抛物线：的焦点为，准线为，若点在上，过点作垂直于，交于，是边长为8的正三角形.（1）求的方程；（2）过点的直线与交于，两点，若，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1） 由是边长为8的等边三角形，（2） 得，又由抛物线的定义可得．设准线与轴交于，则，从而，在中，，即． 所以抛物线的方程为；（2）设直线：，代入得， 2[2(12)4]k k ∆=+--()2224(12)16120k k k k +=--=1k =-12k =0k =1k =-12k =C ()220y px p =>F l P C P PEl l E PEF C ()1,0M m C A B 3MA MB =m 28y x =y =y =+PEF ∆||||||8PE PF EF ===PE l ⊥l x D //PE DF 60PEF EFD ∠=∠=︒Rt EDF ∆1||||cos 842DF EF EFD =∠=⨯=4p =C 28y x =m 1x ty =+28y x =2880y ty --=设，则，， 因为，所以，设，则，， 解得， 所以直线方程为， 即11(,)A x y 22()B x y ，128y y t +=128y y =-3MA MB =123y y =123y y =-112y t =24y t =-()1248t t ⨯-=-6t =±16x y =±+y =y =+。
抛物线【九大题型】(举一反三)(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。
抛物线同步练习1
§2・4抛物线2.4.1抛物线的标准方程课时目标1•掌握抛物线的定义、四种不同标准形式的抛物线方程、准线、焦点坐标及对应的几何图形2会利用定义求抛物线方程.1 .抛物线的定义平面内到一个定点 F和一条定直线l(F不在I上)距离____________ 的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的_________ ，直线I叫做抛物线的_________ .2.抛物线的标准方程(1)方程y2= ^2px , x2=i2py(p>0)叫做抛物线的____________ 方程.⑵抛物线y2= 2px(p>0)的焦点坐标是_____________ ，准线方程是___________ ，开口方向⑶抛物线y2=- 2px(p>0)的焦点坐标是__________ ，准线方程是 _________ ，开口方向⑷抛物线x2= 2py(p>0)的焦点坐标是___________ ，准线方程是 __________ ，开口方向⑸抛物线x2=- 2py(p>0)的焦点坐标是____________ ，准线方程是___________ ，开口方向一、填空题1._____________________________________________________________ 抛物线 y2= ax(a^ 0)的焦点到其准线的距离是________________________________________ .2 22.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在曲线专—专=1上，则抛物线方程为________ .2 13.与抛物线y2= "x关于直线x— y = 0对称的抛物线的焦点坐标是4 ---------4.___________________________________________________________ 过点M(2,4)作与抛物线y2= 8x只有一个公共点的直线 I有_______________________________ 条.5.设抛物线y2= 2x的焦点为F，过点M( .3, 0)的直线与抛物线相交于 A , B两点，与抛物线的准线相交于点C, BF = 2,则厶BCF与厶ACF的面积之比S^BCF为.0 ACF6._______________________________________ 抛物线x2+ 12y = 0的准线方程是.7.已知抛物线y2= 2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为__________________ .&已知抛物线 x2= y+ 1上一定点A( — 1,0)和两动点P, Q,当PA丄PQ时，点Q的横坐标的取值范围是________________________________ .二、解答题9.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点 M( — 3, m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和 m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程.10•求焦点在x轴上且截直线2x — y + 1 = 0所得弦长为.15的抛物线的标准方程.能力提升11.已知抛物线y1 2 = 2px(p>0)的准线与圆(x — 3)2 + y2= 16相切，则p的值为__________12.求与圆(x — 3)2 + y2= 9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程.1 四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定•当系数为正时，开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时，开口方向为坐标轴的负方向.2 焦点在y轴上的抛物线的标准方程 x2= 2py通常又可以写成 y= ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是完全一致的，但需要注意的是，由方程y = ax2来求其焦点和准线时，必须先化成标准形式.§2・4抛物线 2. 4.1抛物线的标准方程知识梳理 1 •相等焦点准线物线的方程为y 2= 8x 或y 2=— 8x. 13. (0, 16)2 1解析 y = 4x 关于直线x — y= 0对称的解析如图所示，设过点MC 3, 0)的直线方程为y = k(x — 3)，代入y 2= 2x 并整理, 2^3k 2+ 2y-------A T/c1 *2. (1)标准p ⑵(20) x (3)( — 2, 0)x= p2向左 ⑷(0, p))pz= —2向上 p ⑸(0,- 2) py =2向下作业设计1回 2解析因为2y = ax,所以 2. y= ±Jxp=邸，即该抛物线的焦点到其准线的距离为 解析由题意知抛物线的焦点为双曲线24 2=1的顶点，即为(一2,0)或(2,0), 所以抛8x 上，这样I M 点且与x 轴平行时, I 与抛物得 k 2x 2-(2 3k 2+ 2)x+ 3k 2= 0,则 禺 + X 2 = 因为BF = 2,所以BB' = 2. 不妨设X 2 = 2 — 2 =3 4 5是方程的一个根，k 2p向右可得k 2=--- ，所以x 1= 2.3- 321 B C d &BCF2 • BC= BB ' = _2_ = 4 AC= AA ，= 1 = 5.2+ - 2 G ACF2ACd 6. y= 3 解析抛物线 x 2+ 12y= 0,即x 2=— 12y,故其准线方程是 y= 3. 7. x=— 1解析•••/ = 2px 的焦点坐标为(p ,0), •••过焦点且斜率为1的直线方程为 n n 9 9y= x — p ，即x = y + p ，将其代入y = 2px 得y 2py2 2 2 + p ，即卩 y — 2py- p = 0•设A(x i , y 1), B(X 2, y 2)，贝V y 1 + y 2= 2p,A^|y= p = 2, •••抛物线的方程为y 2 = 4x,其准线方程为x=— 1.& (— s,— 3] U [1 ,+s ) 解析由题意知，设 P(X 1, x 1— 1), Q(x 2, x 2— 1), 又 A(-1,0),PA — PQ,「PA PQ = 0, 即(一1 — X 11 — X 1) (x 2 — X 1 , x 2 — x 1)= 0 , 也就是(—1 — X 1) (X 2 — X 1) + (1 — X 2) (x 2 — X 2)= 0. '/X1 丰 X 2，且 X 1 工一1 , 1 1•I 上式化简得 X 2= — X 1 = + (1 — X 1)— 1 , 1 — X 1 1 — X 1由基本不等式可得 X 2> 1或X 2< — 3.29.解 设抛物线方程为y= — 2px (p>0), 则焦点F —p , 由题意, 得 2+ 3- l m 2= 6p,p 2= 5， p= 4, 或 m=— 2.6. 故所求的抛物线方程为 y 2=— 8x, m= 6. 抛物线的焦点坐标为(一2,0)，准线方程为x= 2. 10.解 设所求抛物线方程为 y 2= ax (a^0).① 直线方程变形为y= 2x+ 1,② 设抛物线截直线所得弦为 AB. ②代入①，整理得 4X 2+(4 — a)x+ 1= 0, p= 4, 解得m= 2.6，a — 4 2 .4 解得a= 12或a=— 4. •所求抛物线方程为y 2= 12x 或y 2= — 4x. 1 + 22—4X 1 = . 15 411. 2解析方法一由抛物线的标准方程得准线方程为x=-P.2 2•••准线与圆相切，圆的方程为(X— 3) + y = 16,•'3 + p = 4,「.p = 2.方法二作图可知，抛物线y2= 2px (p>0)的准线与圆(x — 3)2+ y2= 16相切于点(一1,0), 所以一p=— 1 , p= 2.12.解设定圆圆心 M(3,0)，半径r = 3,动圆圆心P(x, y),半径为R,则由已知得下列等式PM = R+ 3丫, APM =凶 + 3.x = R当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线 x= — 3的距离相等，•••点P轨迹为抛物线，焦点 M(3,0)，准线x=— 3,•■p = 6,抛物线方程为y2= 12x.当 x<0 时，PM = 3— x,动点P到定点M的距离等于动点 P到直线x= 3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，当x = 0时，不符合题意，舍去.2•••所求轨迹方程为 y = 12x (x>0)或y= 0 (x<0).薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。
高中数学抛物线同步练习.doc
抛物线同步练习一、 选择题（每题3分共30分）1、焦点为0, 1的抛物线的标准方程为8A > x 2 L yB > x 2 2 yC 、y 2x 2D 42、抛物线y 2x2的通径长为4、抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线程A 、 2 或 2y 4x x 4y B C 、 2 或 2 x 8 y y 8x D 5、已知抛物线y 2 6x 定点A 2,3 , F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则&F | |PA1的最小值A 、5B 、4.5C > 3.5D 、不能确定6、已知抛物线x 2 4y ,过焦点F ，倾斜角为一的直线交抛物线于A 、B 两点，求线段AB 4A 、8B 、46C 、6D 、3$ 7、过点②4）作直线于抛物线y 2 8x 有且只有一个公共点，这样的直线有A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条8、抛物线y2 8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是、（1, 2 6 ） D 、（1, ± 2 2\T ）分别为P 、Q 则梯形ABPQ 的面积为（）.y 2x 2 A 、4 B3、抛物线y 2A 、 2 B、2 C 、1 16 x 的顶点到准线的距离为 、4 C 、 8 、0.5 、16 y 2 0 ±,求抛物线的方 2 或2 x 4 y y 2 或2x 8 y y4x8x A 、 （ 2, 4） B 、 （ 2, ±4） C9、直线y 3x 与抛物线y2 4x 交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足 A 、48 B 、56 C 、 64 D 、 7210、抛物线y x2与圆x2r 2 r 0有4个不同的交点，则r 的取值范围是A> ±3 , B、 S , C 、±- ,1 D 、 2C,1 2 2 2 2二、填空题（每题4分共20分） 11、已知抛物线经过点P 4, 2 ,则其标准方程为12、一动圆M 和直线l:x 2相切，并且经过点F 2,0则圆心M 的轨迹方程是14、PP12是抛物线的通径，Q 是准线与对称轴的交点，则 PQP12 = _______________焦点的距离依次成等差数列，那么x 2 , yi , y 3三、综合题（每题10分，共50分）16、已知抛物线v? 4x 上的一点到焦点的距离为5,求这点的坐标。
(完整版)抛物线基础练习题
完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。
a 的值决定了抛物线的开口方向。
当 $a。
0$ 时，抛物线开口向上。
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。
找出对称轴的 x 坐标。
绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。
根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。
2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。
首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。
确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。
绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。
2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。
4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。
2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。
希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。
如果还有其他问题，请随时提问。
抛物线练习题
抛物线练习题抛物线是二次函数的图像，它在数学中有着重要的应用。
本文将为您提供一些抛物线的练习题，帮助您更好地理解和应用抛物线的概念。
练习题一：抛物线的标准方程已知抛物线的顶点坐标为（2，3），经过点（1，0）。
求该抛物线的标准方程。
解答：由于已知抛物线的顶点坐标为（2，3），则抛物线的标准方程可以表示为：y = a(x - 2)^2 + 3又因为抛物线经过点（1，0），将该点代入方程中可得：0 = a(1 - 2)^2 + 30 = a + 3a = -3所以，该抛物线的标准方程为：y = -3(x - 2)^2 + 3练习题二：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为（0，0），焦点为（2，0）。
求该抛物线的准线方程。
由于已知抛物线的顶点坐标为（0，0），准线方程可以表示为：y = -p又因为抛物线的焦点坐标为（2，0），代入焦准距离公式可得：p = 2所以，该抛物线的准线方程为：y = -2练习题三：抛物线的对称轴给定抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2）。
求该抛物线的对称轴方程。
解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（3，0），顶点坐标为（1，2），对称轴方程可以表示为：x = h其中，抛物线的对称轴与焦点的x坐标相等，所以对称轴方程为：x = 3练习题四：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4）。
求该抛物线的准线方程。
由于已知抛物线的焦点坐标为（0，1），顶点坐标为（1，4），首先可以求得焦准距离的值：p = 3根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：1 = 4 - |3|解得焦点的y坐标为1。
因此，该抛物线的准线方程为：y = 1练习题五：抛物线的焦点和顶点已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0）。
求该抛物线的准线方程。
解答：由于已知抛物线的焦点坐标为（2，-1），顶点坐标为（1，0），首先可以求得焦准距离的值：p = 1根据抛物线性质可知，焦点的y坐标为顶点的y坐标减去焦准距离的绝对值，所以焦点的y坐标为：-1 = 0 - |1|解得焦点的y坐标为-1。
《抛物线及其标准方程》同步练习4.doc
解析几何同步练习（抛物线及其标准方程2B）为动点户到准线距离）；知识妥点：①定义：1 PF 1= d （d②^准方程:y2 = 2px（p > 0）o一、选择题1、已知抛物线xMy,过焦点F,倾斜角为牙的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB的长4为A.8B.4V2C.6D. 3^22、若抛物线y=! X’上一点P到焦点F的距离为5,则P点的坐标是479 419V79 79A. （4, ±4）B. （±4, 4）C.（三，±竖）D. （土竖，三）16 o o 163、圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆方程是A、x2+y2-x-2y- — =0B、x?+v2+x-2v+l=04C、x?+y2-x-2y+l=0D、x?+v2-x~2y+ — =044、以抛物线的焦点弦（过焦点的直•线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.不能确定二、填空题1、一直抛物线焦点在直线x-2y-4 = 0上，则抛物线方程为,2、已知抛物线y2=x,直线L过点（0, 1）且与抛物线只有一个公共点，则直线L方程是・3、直线y = kx + b{k。
0）与抛物线y = ax2（a > 0）相交于A（X], y}） x B（X2,y2），与尤轴相交于P（x0,0）,则x Q. x2之间的关系是<4、直线ax+y-4=0与抛物线y2=2px的一个公共点（1, 2）,则抛物线的焦点到此直线的距离等于 .三、解答题1、抛物线）,2 = 2px（p > 0）的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，若点B在抛物线的准线上的射影是C,求证：。
、。
三点共线。
2、A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足0A 1 0B(0为原点)，求证:(1)A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；(2)直线经过一个定点。
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案抛物线练习题及答案抛物线是数学中一个经典的曲线，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
掌握抛物线的性质和解题方法对于理解和应用这一曲线具有重要意义。
本文将介绍一些常见的抛物线练习题，并给出详细的解答。
1. 已知抛物线的顶点为(2, 3)，焦点为(2, 1)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的顶点和焦点均在x轴上，所以抛物线的方程可表示为(x-2)^2 = 4p(y-3)，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的焦点坐标可知焦距p=2-1=1。
代入方程中，得到(x-2)^2 = 4(y-3)。
2. 已知抛物线的焦点为(0, 3)，直径的两个端点分别为(4, 0)和(-4, 0)，求抛物线的方程。
解答：由于抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线的方程可表示为x^2 = 4py，其中p为抛物线的焦距。
由题目中给出的直径的两个端点可知焦距p=4/2=2。
代入方程中，得到x^2 = 8y。
3. 已知抛物线的焦点为(-1, 2)，过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 2-(-1) = 3。
由于过点(3, 4)的直线与抛物线交于两点，所以满足方程4 = a(3)^2 + b(3) + c。
另外，这两个点也是抛物线的顶点，所以满足方程c = 2 - a - b。
将以上两个方程代入抛物线的方程中，得到4 = 9a + 3b + (2 - a - b)，化简得到3a + 2b = -2。
根据这个方程可以解得a和b的值。
代入抛物线的方程中，得到抛物线的方程为y = -x^2/9 + 4x/3 + 10/9。
4. 已知抛物线的焦点为(-2, 1)，过点(0, 3)的直线与抛物线交于两点，求这两点的坐标。
解答：设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c。
由题目中给出的焦点坐标可知，焦距为p = 1-(-2) = 3。
《抛物线》同步练习3(苏教版选修1-1)
《抛物线》一、填空题1．抛物线x 2＝－4y 的通径为AB ，O 为坐标原点，则通径AB 长为________，△AOB 的面积为________．解析：画草图知AB ＝2p ＝4，S △AOB ＝12×1×4＝2. 答案：4 22．过点M (2,4)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线有________条． 解析：点M (2,4)在抛物线上，所以过点M (2,4)与抛物线相切的直线有一条，过点M 与抛物线的对称轴平行的直线有一条，因此，共有2条．答案：23．(2010年泰州模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点弦的长为163，则此弦所在直线的倾斜角为________．解析：由AB ＝2p sin 2θ，得163＝4sin 2θ，∴sin θ＝±32，∴θ＝60°或120°. 答案：60°或120°4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则1p ＋1q＝________. 解析：作为填空题可取特殊情况，即直线平行x 轴时，则p ＝q ，抛物线方程为x 2＝1ay . 由通径公式得p ＝q ＝12a .∴1p ＋1q＝4a . 答案：4a二、解答题5．(2010年宿迁调研)正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，求这个正三角形的边长．解：如图，设正三角形OAB 的顶点A 、B 在抛物线上，且坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.又因为OA ＝OB ，所以x 21＋y 21＝x 22＋y 22，即x 21－x 22＋2px 1－2px 2＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p )＝0.因为x 1>0，x 2>0,2p >0，所以x 1＋x 2＋2p ≠0.所以x 1＝x 2，即A 、B 两点关于x 轴对称．又∠AOB ＝60°，则∠AOx ＝30°.因为AB ⊥x 轴，所以y 1＝x 1tan 30°＝33x 1. 又因为x 1＝y 212p，所以y 1＝23p . 而AB ＝2y 1＝43p ，即为所求的边长．故这个正三角形的边长为43p .6．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程．解：法一：设直线上任意一点的坐标为(x ，y )，弦的两个端点为P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)．因为P 1、P 2在抛物线上，所以y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．①因为y 1＋y 2＝2，代入①，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3. 所以直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.法二：设所求的方程为y －1＝k (x －4)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0. 设弦的两端点P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k. 因为P 1P 2的中点为(4,1)，所以6k＝2，所以k ＝3. 所以所求的直线方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.。
3.3.2 抛物线的简单几何性质(同步练习)(附答案)
3.3.2 抛物线的简单几何性质（同步练习）一、选择题1.顶点在原点，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝3x C ．y 2＝6x D ．y 2＝－6x2.已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线y 2＝2px(p>0)上，若|AF|＋|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，则p 的值为( ) A ．1 B ．1或3C ．2D ．2或63.设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 4．P 为抛物线y 2＝2px(p ＞0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定5.已知A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两点，且A 与B 的纵坐标之和为4，则直线AB 的斜率为( ) A.12 B ．－12C ．－2D ．26.已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ， 若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→|＝( )A ．3B ．4C ．6D ．77.已知抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，过F 作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A ，B 两点，若|AF||BF|∈(0,1)，则|AF||BF|＝( ) A.15 B ．14 C.13 D ．128.(多选)设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离可以是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题9.已知点F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A 到其准线的距离为5，则直线AF 的斜率为________10.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，若|AF|＝2，则|BF|＝________11.抛物线x 2＝2py(p>0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________12.(2020·福州期末)设抛物线y 2＝2px 上的三个点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，y 1，B(1，y 2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，y 3到该抛物线的焦点距离分别为d 1，d 2，d 3.若d 1，d 2，d 3中的最大值为3，则p 的值为________13.(2018·全国卷Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________三、解答题14.根据下列条件分别求抛物线的标准方程．(1)抛物线的焦点是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点；(2)抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF|＝5.15.已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的弦长为36，求弦所在的直线方程．16.已知AB 是抛物线y 2＝2px(p>0)的过焦点F 的一条弦．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为M(x 0，y 0)．求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB|＝2p sin 2θ；(2)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.17.已知抛物线y 2＝2x.(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； (2)在抛物线上求一点M ，使M 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.C 解析：∵抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫32，0，∴p ＝3，且抛物线开口向右．∴抛物线的标准方程为y 2＝6x.2.B 解析：|AF|＋|BF|＝4⇒x A ＋p 2＋x B ＋p 2＝4⇒x A ＋x B ＝4－p ⇒2x 中＝4－p ，因为线段AB 的中点到直线x ＝p 2的距离为1，所以⎪⎪⎪⎪x 中－p 2＝1，所以|2－p|＝1⇒p ＝1或3. 3.D 解析：∵y 2＝4x ，∴F(1,0)．又∵曲线y ＝k x(k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P(1,2)． 将点P(1,2)的坐标代入y ＝k x(k ＞0)，得k ＝2.故选D. 4．C 解析：设PF 的中点M(x 0，y 0)，作MN ⊥y 轴于N 点，设P(x 1，y 1)，则|MN|＝x 0＝12(|OF|＋x 1)＝12⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＝12|PF|.故相切． 5.A 解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)x 1－x 2＝2，即4k AB ＝2，k AB ＝12. 6.B 解析：由已知点B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于点H ，如图，则|BH|＝23|FK|＝43，所以|BF|＝|BH|＝43.所以|AF ―→|＝3|BF ―→|＝4. 7.C 解析：因为抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，故过点F 且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33x ＋p 2，与抛物线方程联立得x 2－233px －p 2＝0，解方程得x A ＝－33p ，x B ＝3p ，所以|AF||BF|＝|x A ||x B |＝13，故选C. 8.BCD 解析：因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以p 2＝3，即p ＝6．又因为抛物线上的点到准线的距离的最小值为p 2，所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞)． 二、填空题9.答案：43解析：由抛物线定义得x A ＋1＝5，x A ＝4，又点A 位于第一象限，因此y A ＝4，从而k AF ＝4－04－1＝43. 10.答案：2解析：设点A ，B 的横坐标分别是x 1，x 2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x 1＋1＝2，x 1＝1，直线AF 的方程是x ＝1，此时弦AB 为抛物线的通径，故|BF|＝|AF|＝2.11.答案：2 3解析：由抛物线可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2，由于△ABF 为等边三角形，设AB 与y 轴交于M ，则 |FM|＝p ，不妨取B ⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋42，－p 2，|FM|＝3|MB|，即p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋42，解得p ＝2 3. 12.答案：3解析：根据抛物线的几何性质可得d 1＝p 2＋23，d 2＝p 2＋1，d 3＝p 2＋32，由题意可得p>0，因此可判断d 3最大，故d 3＝p 2＋32＝3，解得p ＝3. 13.答案：2解析：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB|＝12(|AF|＋|BF|)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 的中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴，∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.三、解答题14.解：(1)双曲线方程可化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)， 由题意设抛物线方程为y 2＝－2px(p>0)且－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线的方程为y 2＝－12x. (2)设所求焦点在x 轴上的抛物线的方程为y 2＝2px(p ≠0)，A(m ，－3)，由抛物线定义得5＝|AF|＝⎪⎪⎪⎪m ＋p 2. 又(－3)2＝2pm ，∴p ＝±1或p ＝±9，故所求抛物线方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x.15.解：∵过焦点的弦长为36，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零．故可设弦所在直线的斜率为k ，且与抛物线交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．∵抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，∴直线的方程为y ＝k(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0(k ≠0)．∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2. ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2＝2k 2＋4k 2＋2. 又|AB|＝36，∴2k 2＋4k 2＋2＝36，∴k ＝±24. ∴所求直线方程为y ＝24(x －1)或y ＝－24(x －1)．16.证明：(1)设直线AB 的方程为x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ，可得y 2－2pmy －p 2＝0， 则y 1y 2＝－p 2，y 1＋y 2＝2pm ，∴y 21＋y 22＝2p(x 1＋x 2)＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝4p 2m 2＋2p 2，∴x 1＋x 2＝2pm 2＋p. 当θ＝90°时，m ＝0，x 1＋x 2＝p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＝2p sin 2θ； 当θ≠90°时，m ＝1tan θ，x 1＋x 2＝2p tan 2θ＋p ，∴|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2p tan 2θ＋2p ＝2p sin 2θ. ∴|AB|＝2p sin 2θ. (2)由(1)知，y 1y 2＝－p 2，∴x 1x 2＝(y 1y 2)24p 2＝p 24. (3)1|AF|＋1|BF|＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 2(x 1＋x 2＋p )＝2p .17.解：(1)设抛物线上任一点P(x ，y)，则|PA|2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x －232＋2x ＝⎝⎛⎭⎫x ＋132＋13， 因为x ≥0，且在此区间上函数单调递增，所以当x ＝0时，|PA|min ＝23， 故距点A 最近的点P 的坐标为(0,0)．(2)设点M(x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点，则M 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪y 20－2y 0＋622＝|(y 0－1)2＋5|22， 当y 0＝1时，d min ＝522＝524，所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，1.。
高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
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《抛物线定义及其应用》同步强化练习
一、用定义判断动点的轨迹并求标准方程
1、设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）
2、已知动点P到定点A（0，2）的距离比它到定直线y=﹣4的距离小2个单位，则P的轨迹方程为（）
x
二、抛物线的标准方程
3、以椭圆+=1的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是（）
4、以坐标原点为顶点，焦点在坐标轴上且经过点M（1，﹣2）的抛物线的方程为（）
5、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x+y﹣2x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）
三、焦半径问题
6、已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，求线段AB的中点到y轴的距离。
7、设A ，B 为抛物线上两点，它们到抛物线焦点的距离分别为2和4，求线段AB 中点到抛物线的准线的距离为多少？
四、 最值问题
8、设P 是抛物线2
4y x 上的一个动点，F 是抛物线的焦点
（1）求点P 到点A （-1，1）的距离与点P 到直线
的距离之和的最小值； （2）若B （3，2），求
的最小值。