2017年高中数学人教A版选修2-1课时达标训练二十一空间向量在立体几何中的应用习题课含解析精品

合集下载

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

3.1.5 空间向量运算的坐标表示课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．1．空间向量的直角坐标运算律设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ＋b ＝______________； (2)a －b ＝________________； (3)λa ＝____________(λ∈R )； (4)a ·b ＝________________； (5)a ∥b ⇔________________； (6)a ⊥b ⇔________________. 2．几个重要公式(1)若A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．(2)模长公式：若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a ·a ＝______________，|b |＝b ·b ＝________________.(3)夹角公式：cos 〈a ，b 〉＝________________＝________________________ (a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3))．(4)两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)．则AB u u u r＝2AB u u u r =_________.一、选择题 1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1,2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B .AB →＝(1,3,4) C..AB →＝(2,1,3) D .AB →＝(－2，－1，－3)2．已知a ＝(1,2，－y )，b ＝(x,1,2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( )A ．x ＝13，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－4C ．x ＝2，y ＝－14D ．x ＝1，y ＝－13．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.755．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( )A.65B.652C ．4D ．86．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )则|b －a |的最小值是( )A.55 B.555 C.355 D.115 二、填空题7．已知A (4,1,3)，B (2,3,1)，C (3,7，－5)，点P (x ，－1,3)在平面ABC 内，则x ＝______. 8．若(a ＋3b )⊥(7a －5b )，且(a －4b )⊥(7a －5b )，则a 与b 的夹角的余弦值为________．9.已知A （1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则AB →在AC →上的投影为______．三、解答题10．设a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .11．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝1，∠BCA ＝90°，AA 1＝2, 并取A 1B 1、A 1A 的中点分别为P 、Q .（1）求向量BQ →的长；（2）cos 〈BQ →，CB 1→〉，cos 〈BA 1→，CB 1→〉，并比较〈BQ →，CB 1→〉与〈BA 1→，CB 1→〉的大小； (3)求证：AB 1⊥C 1P .能力提升12．在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?1．空间向量在几何中的应用有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．2．关于空间直角坐标系的建立建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．3．1.5空间向量运算的坐标表示知识梳理1．(1)(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3) (2)(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3) (3)(λa 1，λa 2，λa 3) (4)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 (5)a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R ) (6)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 2．(1)(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1) 终点起点(2)a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23(3)a ·b|a ||b | a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23b 21＋b 22＋b 23 (4)()()()222212121x x y y z z ++---作业设计 1．C2．B [∵a ＋2b ＝(1＋2x,4,4－y )，2a －b ＝(2－x,3，－2y －2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，∴3(1＋2x )＝4(2－x )且3(4－y )＝4(－2y －2)，∴x ＝12，y ＝－4.]3．A [设a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝k ，易知a ∥b ，即条件具有充分性．又若b ＝0时，b ＝(0,0,0)，虽有a ∥b ，但条件a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]4．D [∵k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，∴3(k －1)＋2k －4＝0.∴k ＝75.]5．A [设向量a 、b 的夹角为θ，于是cos θ＝4－2＋23×3＝49，由此可得sin θ＝659.所以以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为S ＝2×12×3×3×659＝65.]6．C [∵|b －a |＝b －a 2＝1＋t 2＋2t －12＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥ 95＝355， ∴|b －a |的最小值是355.]7．11解析 ∵点P 在平面ABC 内，∴存在实数k 1，k 2，使AP →＝k 1AB →＋k 2AC →，即(x －4，－2,0)＝k 1(－2,2，－2)＋k 2(－1,6，－8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2k 1＋6k 2＝－2，k 1＋4k 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－4，k 2＝1. ∴x －4＝－2k 1－k 2＝8－1＝7，即x ＝11. 8．1解析由题意知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－5a·b ＋21a·b －15|b |2＝7|a |2＋16a·b －15b 2＝0，① 且(a －4b )·(7a －5b )＝7|a |2－33a·b ＋20|b |2＝0，② ①－②得49a·b ＝35|b |2.∴|a |2＝2549|b |2，∴|b||a|＝75.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝3549|b |2|a||b |＝3549·|b||a |＝1.9．－4解析 ∵AB →＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．AC →＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴cos 〈AB →，AC →〉＝()()222202005344-+++--＝－20541，AB →在AC →上的投影为|AB →|cos 〈AB →，AC →〉＝()2254+-×⎝⎛⎭⎫－20541＝－4. 10．解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)， a －3b ＝(7，－4，－16)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，则k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，则(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.11．解以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则由已知，得C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)， C 1(0,0,2)， P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，Q (1,0,1)， B 1(0,1,2)，A 1(1,0,2)． ∴BQ →＝(1，－1,1)，CB 1→＝(0,1,2)， BA 1→＝(1，－1,2)，AB 1→＝(－1,1,2)，C 1P →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0.(1)| BQ →|＝BQ BQ •u u u r u u u r ＝12＋－12＋12＝ 3. (2)∵BQ →·CB 1→＝0－1＋2＝1，|BQ →|＝3， |CB 1→|＝02＋12＋22＝5，∴cos 〈BQ →，CB 1→〉＝13×5＝1515.又BA 1→·CB 1→＝0－1＋4＝3， |BA 1→|＝1＋1＋4＝6，|CB 1→|＝5，∴cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝330＝3010.又0<1515<3010<1，∴〈BQ →，CB 1→〉，〈BA 1→，CB 1→〉∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， ∴〈BQ →，CB 1→〉>〈BA 1→，CB 1→〉．(3)证明 ∵AB 1→·C 1P →＝(－1,1,2)·⎝⎛⎭⎫12，12，0＝0， ∴AB 1→⊥C 1P →. 12．解建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0，0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)． ∴AO 1→＝(－2,0,2)， B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝－2210＝－1010，∴AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010. (2)由题意得O 1D →⊥AC →，AD →∥AC →， ∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)， ∴O 1D →＝(x ，y ，－2)，AD →＝(x －2，y,0)，AC →＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧x ＝1813，y ＝1213.∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0，∴O 1D ＝|O 1D →|＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4＝228613. 即点O 1到点D 的距离为228613.13．解如图所示，分别以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D 1(0,0,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，设M (1,1，m )，∴EF →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0， B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)．若D 1M ⊥平面EFB 1，则D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E . 即D 1M →·EF →＝0，D 1M →·B 1E →＝0，∴⎩⎨⎧－12＋12＋m －1×0＝00－12＋1－m ＝0，∴m ＝12，即存在点M 且为B 1B 的中点，使D 1M ⊥平面EFB 1.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.4

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．1．空间向量基本定理(1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________．(3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________．一、选择题1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．0B ．1C ．2D ．32.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( )A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB →3．以下四个命题中，正确的是( )A.若OP ＝12OA →＋13OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c |D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝04.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A ．(14，14，14)B ．(34，34，34) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( )A ．(12,14,10)B ．(10,12,14)C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)6.已知空间四边形OABC 中OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N为BC 的中点，则MN →等于( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －12c D.23a ＋23b －12c 二、填空题7．设{i ，j ，k }是空间向量的一个单位正交基底，则向量a ＝3i ＋2j －k ，b ＝－2i ＋4j ＋2k 的坐标分别是____________．8.已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF →＝____________.9.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝______.三、解答题10.四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO 平面OABC ，设OA →＝a ，OC →＝b ，OP →＝c ，E 、F 分别是PC 和PB 的中点，用a ，b ，c 表示BF →、BE →、AE →、EF →.11.已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且PA=AD,求MN 、DC →的坐标．能力提升12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F 1，F 2，F 3，若i 、j 、k 是空间中的三个不共面的基向量，F 1＝i ＋2j ＋3k ，F 2＝－2i ＋3j －k ，F 3＝3i －4j ＋5k ，则这三名工人的合力F ＝x i ＋y j ＋z k ，求x 、y 、z .13.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．2. OP ＝xOA →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，当且仅当x ＋y ＋z ＝1时，P 、A 、B 、C 四点共面．3．对于基底{a ，b ，c }除了应知道a ，b ，c 不共面，还应明确：(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示知识梳理1．(1)有序实数组{x ，y ，z } p ＝x i ＋y j ＋z k x i y j z k (2)不共面 p ＝x a ＋y b ＋z c(3){p |p ＝x a ＋y b ＋z c ，x ，y ，z ∈R } 基底基向量不共面2．单位正交基底 p ＝(x ，y ，z )作业设计1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]2．C [∵OC →＝12(a －b )，OC →与a 、b 共面， ∴a ，b ，OC →不能构成空间基底．]3．B [A 中若OP →＝12OA →＋12OB →，则P 、A 、B 三点共线，故A 错； B 中，假设存在实数k 1，k 2，使c ＋a ＝k 1(a ＋b )＋k 2(b ＋c )＝k 1a ＋(k 1＋k 2)b ＋k 2c ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1；k 1＋k 2＝0；k 2＝1.方程组无解，即向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面，故B 正确．C 中，a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉≤|a|·|b |，故C 错．D 中，由AB →·AC →＝0⇒△ABC 是直角三角形，但△ABC 是直角三角形，可能角B 等于90°，则有BA →·BC →＝0.故D 错．]4．A [因为OG →＝34OG 1→＝34(OA →＋AG 1→) ＝34OA →＋34×23[12(AB →＋AC →)] ＝34OA →＋14[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，而OG →＝x OA →＋y OB →＋z OC →，所以x ＝14，y ＝14，z ＝14.] 5．A [设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．]6．B [MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA → ＝－23a ＋12b ＋12c .] 7．(3,2，－1)，(－2,4,2)8．3a ＋3b －5c解析 ∵EF →＝EA →＋AB →＋BF →，又EF →＝EC →＋CD →＋DF →，∴两式相加得2EF →＝(EA →＋EC →)＋AB →＋CD →＋(BF →＋DF →)．∵E 为AC 中点，故EA →＋EC ＝0，同理BF →＋DF →＝0，∴2EF →＝AB →＋CD →＝(a －2c )＋(5a ＋6b －8c )＝6a ＋6b －10c ，∴EF →＝3a ＋3b －5c . 9.32 解析 AO →＝12A C 1→＝12(AB →＋BC →＋CC 1→)．故x ＝y ＝z ＝12，∴x ＋y ＋z ＝32. 10．解 BF →＝12BP →＝12(BO →＋OP →) ＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋12c . BE →＝BC →＋CE →＝－a ＋12CP →＝－a ＋12(CO →＋OP →) ＝－a －12b ＋12c . AE →＝AP →＋PE →＝AO →＋OP →＋12(PO →＋OC →) ＝－a ＋c ＋12(－c ＋b ) ＝－a ＋12b ＋12c . EF →＝12CB →＝12OA →＝12a .11．解∵P A ＝AD ＝AB ，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，∴可设DA →＝e 1，AB →＝e 2，AP →＝e 3.以e 1、e 2、e 3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示．∵MN →＝MA →＋AP →＋PN →＝MA →＋AP →＋12PC → ＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →) ＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3－e 1＋e 2) ＝－12e 1＋12e 3， ∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC →＝AB →＝e 2＝(0,1,0)． 12．解由题意，得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(i ＋2j ＋3k )＋(－2i ＋3j －k )＋(3i －4j ＋5k )＝2i ＋j ＋7k .又因为F ＝x i ＋y j ＋z k ，所以x ＝2，y ＝1，z ＝7.13．证明设AB →＝a ，AD →＝c ，AA 1→＝b ，则EF →＝EB 1→＋B 1F →＝12(BB 1→＋B 1D 1→) ＝12(AA 1→＋BD →) ＝12(AA 1→＋AD →－AB →)＝12(－a ＋b ＋c )， AB 1→＝AB →＋EB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b .∴EF →·AB 1→＝12(－a ＋b ＋c )·(a ＋b )＝12(b 2－a 2－a·b ＋a·b ＋c·a ＋c·b ) ＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C .又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

高中数学选修2-1课时作业2：3.2 立体几何中的向量方法(二)

第2课时空间向量与垂直关系一、基础达标1．若直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则() A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定[答案] B[解析]∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是() A．0 B．1 C．－2 D．2[答案] C[解析]λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.3．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是()A ．n 1＝(1，2，3)，n 2＝(－3，2，1)B ．n 1＝(1，2，2)，n 2＝(－2，2，1)C ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，2，1)D ．n 1＝(1，1，1)，n 2＝(－2，－2，－2) [答案] D[解析] 两个平面平行时，其法向量也平行，检验知正确选项为D.4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1[答案] A [解析] |a |＝22＋42＋x 2＝6，∴x ＝±4，又∵a ⊥b ，∴a·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，∴当x ＝4时，y ＝－3，当x ＝－4时，y ＝1，∴x ＋y ＝1或－3.5．已知平面α上的两个向量a ＝(2，3，1)，b ＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为( )A ．(1，－1，1)B ．(2，－1，1)C ．(－2，1，1)D ．(－1，1，－1)[答案] C[解析] 显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ·n ＝0，b ·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0.令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1， ∴n ＝(－2，1，1)．6．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．正确的命题序号是________．[答案]①②③[解析]两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝22，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.证明如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝22，四边形ABCD是矩形，∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，22，0)，D(0，22，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0)，F(1，2，1)．∴PC→＝(2，22，－2)，BF→＝(－1，2，1)，EF→＝(1，0，1)．∴PC→·BF→＝－2＋4－2＝0，PC→·EF→＝2＋0－2＝0.∴PC→⊥BF→，PC→⊥EF→.∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.二、能力提升8．已知A (1，0，0)、B (0，1，0)、C (0，0，1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33，33，－33) B ．(33，－33，33) C ．(－33，33，33)D ．(－33，－33，－33)[答案] D[解析] AB→＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵⎩⎨⎧AB →·n ＝0，AC→·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1，1，1)，单位法向量为±n|n |＝±(33，33，33)．9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP→是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →. 其中正确的是________(填序号)． [答案] ①②③[解析] AP →·AB →＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4) ＝－1×2＋2×(－1)＋(－1)×(－4)＝0， ∴AP ⊥AB ，即①正确．AP →·AD →＝(－1，2，－1)·(4，2，0) ＝－1×4＋2×2＋(－1)×0＝0.∴AP ⊥AD ，即②正确．又∵AB ∩AD ＝A ，∴AP ⊥平面ABCD ，即AP→是平面ABCD 的一个法向量，③正确．④不正确． 10．如图等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一个公共边AB ，二面角C －AB －D 的余弦值为33，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成角的余弦值等于________． [答案] 16[解析] 设AB ＝2，过点C 作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C －AB －D 的平面角．∵CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1，结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM →＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·(12AC →－AE →)＝12，故EM 、AN 所成角的余弦值为AN →·EM→|AN→|·|EM →|＝16.11．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点． (1)求证：P A ∥平面EDB ；(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．(1)证明如图，建立空间直角坐标系D －xyz ，设DC ＝a .连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG . 由题意，得A (a ，0，0)，P (0，0，a )， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2. ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，0，∴P A →＝(a ，0，－a )，EG→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a 2， ∴P A →＝2EG →，这表明 P A ∥EG .而EG ⊂平面EDB ，且P A ⊄平面EDB ， ∴P A ∥平面EDB .(2)解由题意，得B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)．取DC 的中点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，连接EF ，BF .∵FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，a 2，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2，0，DC →＝(0，a ，0)，∴FE→·FB →＝0，FE →·DC →＝0， ∴FE ⊥FB ，FE ⊥DC .又FB ∩DC ＝F ，∴EF ⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角．在Rt △EFB 中，|FE→|＝a 2，|FB →|＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝52a ，∴tan ∠EBF ＝|FE→||FB →|＝a 252a＝55，∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.12. 如图所示，△ABC 是一个正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：平面DEA ⊥平面ECA .证明建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，不妨设CA ＝2，则CE ＝2，BD ＝1，C (0，0，0)，A (3，1，0)，B (0，2，0)，E (0，0，2)，D (0，2，1)．所以EA →＝(3，1，－2)，CE →＝(0，0，2)，ED →＝(0，2，－1)．分别设面CEA 与面DEA 的法向量是n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 1·EA →＝0，n 1·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋y 1－2z 1＝0，2z 1＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝－3x 1，z 1＝0.⎩⎨⎧n 2·EA→＝0，n 2·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋y 2－2z 2＝0，2y 2－z 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2，z 2＝2y 2. 不妨取n 1＝(1，－3，0)，n 2＝(3，1，2)，因为n 1·n 2＝0，所以两个法向量相互垂直．所以平面DEA ⊥平面ECA . 三、探究与创新13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点． (1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．解以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．(1)A 1E →＝(－a ，a ，e －a )， BD→＝(－a ，－a ，0)， A 1E →·BD →＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0， ∴A 1E →⊥BD →，即A 1E ⊥BD .(2)设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )， ∴n 1·DB →＝0，n 1·DA 1→＝0，n 2·DB →＝0，n 2·DE →＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝0，ax 1＋az 1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋ay 2＝0，ay 2＋ez 2＝0.取x 1＝x 2＝1，得n 1＝(1，－1，－1)，n 2＝(1，－1，ae )．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得n 1⊥n 2. ∴2－a e ＝0，即e ＝a 2.∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .。

高中数学人教A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何 3.2第1课时 Word版含答案.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1λ＝24，∴λ＝2.【答案】 B2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行C ．在平面内D ．平行或在平面内【解析】 ∵AB→＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内．【答案】 D3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32【解析】对于B ，AP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12，则n ·AP →＝(3，1，2)·⎝⎛⎭⎪⎫－1，4，－12＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32在平面α内．【答案】 B4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( )A ．l ⊥αB ．l ∥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α【解析】因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ⊂α.【答案】 D5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)【解析】同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．【解析】因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x ＝－10.【答案】－107．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________．【解析】由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －328．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．【解析】 AB→＝(－2，2，－2)，AC →＝(－1，6，－8)， AP→＝(x －4，－2，0)，由题意知A ，B ，C ，P 四点共面， ∴AP→＝λAB →＋μAC →＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋6μ＝－2，－2λ－8μ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－4，μ＝1，而x －4＝－2λ－μ，∴x ＝11. 【答案】 11 三、解答题9.已知O ，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且OE→＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH→＋mEF →.求证：【导学号：18490106】图3-2-6(1)A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面； (2)AC →∥EG →； (3)OG→＝kOC →. 【解】 (1)由AC→＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →，知A ，B ，C ，D 四点共面，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG→＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD→－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB → ＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →， ∴AC→∥EG →. (3)由(2)知OG →＝EG →－EO →＝kAC →－kAO → ＝k (AC →－AO →)＝kOC →. ∴OG→＝kOC →. 10．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，DC 的中点，求证：AE →是平面A 1D 1F 的法向量．【证明】设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，D 1(0，0，1)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，A 1(1，0，1)，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1，A 1D 1→＝(－1，0，0)．∵AE →·D 1F →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12·⎝⎛⎭⎪⎫0，12，－1＝12－12＝0，又AE →·A 1D 1→＝0， ∴AE →⊥D 1F →，AE →⊥A 1D 1→. 又A 1D 1∩D 1F ＝D 1， ∴AE ⊥平面A 1D 1F ， ∴AE →是平面A 1D 1F 的法向量． [能力提升]1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )A ．(4，2，－2)B ．(2，0，4)C ．(2，－1，－5)D ．(4，－2，2)【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.【答案】 D2．已知直线l 过点P (1，0，－1)，平行于向量a ＝(2，1，1)，平面α过直线l 与点M (1，2，3)，则平面α的法向量不可能．．．是( )A ．(1，－4，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1，－12 D ．(0，－1，1)【解析】因为PM→＝(0，2，4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的法向量，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n·a ＝0，n ·PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.【答案】 D3．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________．【解析】因为AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，又因为a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y ，z ＝－43y .所以x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．【答案】 2∶3∶(－4)4.如图3-2-7，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝12AD ＝1.问：在棱PD 上是否存在一点E ，使得CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，请说明理由. 【导学号：18490107】图3-2-7【解】分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (0，2，0), 设E (0，y ，z )，则PE→＝(0，y ，z －1)， PD→＝(0，2，－1)， ∵PE→∥PD →，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD→＝(0，2，0)是平面P AB 的法向量， CE→＝(－1，y －1，z )， ∴由CE ∥平面P AB, 可得CE→⊥AD →， ∴(－1，y －1，z )·(0，2，0)＝2(y －1)＝0， ∴y ＝1，代入①式得z ＝12.∴E 是PD 的中点，即存在点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .。

高中数学人教A版选修2-1空间向量与立体几何章末综合测评-含答案解析版

人教A 版选修2-1空间向量与立体几何章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－222．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝143．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2)4．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )A.16B.56C.76 D ．－165．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →²BC →＝0C.AA 1→²B 1D 1→＝0D.AC 1→²A 1C →＝06．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ²a ＝0，且c ²b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)，B (4，－3，7)，C (0，5，1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．若向量a ＝(x ，4，5)，b ＝(1，－2，2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－119.如图1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.10510．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.1311．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD→＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D.12，1212．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.14．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12， 2，C (－1，0, 2)，则角A 的大小为________．15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，3)，B (2，1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．16.如图2，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →²SB →＝SC →²SD →；⑤SA →²SC →＝0，其中正确结论的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1，1，0)，C (0，0，1)，P (0，2，0)，则DQ →＝(1，1，0)，DC →＝(0，0，1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →²DQ →＝0，PQ →²DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA→＝(1，0，0)，AB →＝(0，0，1)，AQ →＝(0，1，0)，故有DA →²AB →＝0，DA →²AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC →＝(0，－2，1)，且DA →²PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ .18. (本题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】因为BA 1→＝BA →＋AA 1→ ＝BA →＋BB 1→，AC →＝BC →－BA →，且BA →²BC →＝BB 1→²BA → ＝BB1→²BC →＝0，所以BA 1→²AC →＝(BA →＋BB 1→)²(BC →－BA →) ＝BA →²BC →－BA →2＋BB 1→²BC →－BB 1→²BA → ＝－1.又|AC →|＝2，|BA 1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA 1→，AC →〉＝BA 1→²AC →|BA 1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19. (本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．【解】(1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC.所以平面PBC⊥平面PAC.(2)过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝ 3.又因为PA＝1，所以A(0，1，0)，B(3，0，0)，P(0，1，1)．故CB→＝(3，0，0)，CP→＝(0，1，1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则⎩⎨⎧CB →²n 1＝0，CP →²n 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0，1，－1)．因为AP→＝(0，0，1)，AB →＝(3，－1，0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧AP →²n 2＝0，AB →²n 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64.20. (本小题满分12分)如图6，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥PA ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面PAB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面PAC;(2)若直线PE 与平面PAC 所成的角的正弦值为55，求二面角A PCD 的余弦值．【解】 (1)∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥PA ， ∴PA ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示，不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0，2，0)，E (2，1，0)，C (2，4，0)，P (0，0，λ)， ∴AC →＝(2，4，0)，AP →＝(0，0，λ)，DE →＝(2，－1，0)， ∴DE →²AC →＝4－4＋0＝0，DE →²AP →＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面PAC .(2)由(1)知，平面PAC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2，1，－λ)，设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2. ∵λ>0，∴λ＝2，即P (0，0，2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC→＝(2，2，0)，DP →＝(0，－2，2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)． ∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A PC D 的平面角是锐角， ∴二面角A PC D 的余弦值为155.21. (本小题满分12分)如图7，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面PAD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E BD C 的余弦值．【解】设AB ＝a ，PA ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (a ，0，0)，P (0，0，b )，C (2a ，2a ，0)，D (0，2a ，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0，2a ，0)，AP →＝(0，0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面PAD ，所以BE ∥平面PAD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ，即BE →²PC →＝0，PC →＝(2a ，2a ，－b )，所以BE →²PC →＝2a 2－b 22＝0，则b ＝2a .①PD →＝(0，2a ，－2a )，BC →＝(a ，2a ，0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a 222a ²5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE →＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a ，0)，BC →＝(a ，2a ，0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2，1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E BD C 的余弦值为66. 22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)，BC 1→＝(－2，0，2)，FP →＝(－1，0，λ)，FE→＝(1，1，0)．(1)当λ＝1时，FP →＝(－1，0，1)，因为BC1→＝(－2，0，2)．所以BC1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧FE →²n ＝0，FP →²n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m ²n ＝(λ－2，2－λ，1)²(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．人教A 版选修2-1空间向量与立体几何章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3，2)平行的一个向量的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3，2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D.()2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3，2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【解析】 AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→ ＝AA 1→＋14AC →＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)， ∴x ＝1，y ＝14.应选D.【答案】 D3．已知A (2，－4，－1)，B (－1，5，1)，C (3，－4，1)，D (0，0，0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9，2)B ．(－5，9，－2)C ．(5，9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1，0，－2)，b ＝CB →＝(－4，9，0)， ∴a ＋b ＝(－5，9，－2)．【答案】 B5．在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若AC 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，则abc 的值等于( )A.16B.56C.76D ．－16【解析】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →－AA 1→＝aAB →＋2bAD →＋3cA 1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13.∴abc ＝－16. 【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( )A.AB →＝－C 1D 1→B.AB →²BC →＝0C.AA 1→²B 1D 1→＝0D.AC 1→²A 1C →＝0【解析】如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ²a ＝0，且c ²b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ²a ＝0，c ²b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．【答案】 B7．已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)，B (4，－3，7)，C (0，5，1)，则BC边上的中线长为( )A．2 B．3C．4 D．5【解析】设BC的中点为D，则D(2，1，4)，∴AD→＝(－1，－2，2)，∴|AD→|＝（－1）2＋（－2）2＋22＝3，即BC边上的中线长为3.【答案】 B8．若向量a＝(x，4，5)，b＝(1，－2，2)，且a与b的夹角的余弦值为26，则x＝( )A．3 B．－3C．－11 D．3或－11【解析】因为a²b＝(x，4，5)²(1，－2，2)＝x－8＋10＝x＋2，且a与b的夹角的余弦值为26，所以26＝x＋2x2＋42＋52³1＋4＋4，解得x＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为( )图1A.63B.255C.155D.105【解析】以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，1)，∴BC 1→＝(－2，0，1)，AC →＝(－2，2，0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC1→²AC →|BC 1→||AC →|＝45²8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105. 【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23B.33C.23D.13【解析】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC→＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→＝(0，1，2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2，1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ²DC →|n ||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD→＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D.12，12【解析】由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ²PB →＝0，n ²BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ，z ）²⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，（x ，y ，z ）²（－3，4，0）＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1²n |n 1||n |＝32.∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1，－2y ，9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【解析】由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】 16 －3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12， 2，C (－1，0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1，0，0)，则cos A ＝AB →²AC →|AB →||AC →|＝321³1＝32，故角A 的大小为30°. 【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2，3)，B (2，1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】设点C 的坐标为(x ，0，z )，则AC→＝(x －1，2，z －3)，AB →＝(1，3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→²SB→＝SC→²SD→；⑤SA→²SC→＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】容易推出：SA→－SB→＋SC→－SD→＝BA→＋DC→＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以SA→²SB→＝2³2cos∠ASB，SC→²SD→＝2³2cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是SA→²SB→＝SC→²SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】③④- 21 -。

高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角线面角二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线是异面直线，过空间一点分别作直线的平行线，我们把直线所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角，或异面直线的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体中，求：（1）异面直线与所成的角；（2）与所成的角．解：（1）因为，而，所以，即与所成角为．（2）如下图，连接，，因为，所以与所成的角即为与所成的角．又，所以为正三角形，所以和所成的角为，即与所成的角为．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线与平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱、面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平面部分）分别取点，，将这个二面角记作二面角．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体中，，，，分别是，，和的中点．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．解：（1）因为，均为所在棱的中点，所以．而，所以．又因为，均为所在棱的中点，所以和均为等腰直角三角形．所以，所以，，故．而，所以．（2）在平面中，过点作于点，连接．由（1）知，又，所以．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.3 Word版含答案

3.1.3空间向量的数量积运算课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．1．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角记法范围,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝________交换律a·b＝______分配律a·(b＋c)＝____________(3)两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔__________.②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地：a·a＝|a|2或|a|＝a·a.③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______④|a·b|≤|a|·|b|.一、选择题1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有()A．①②B．②③C．③④D．②④2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()A.7B.10C.13 D ．44.在棱长为1的正四面体ABCD 中，E,F 分别是BC,AD 的中点，则AE uuu r ·CF →等于( )A ．0 B.12 C ．－34 D ．－125.如图，已知P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12 D ．1446．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λ、μ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥nC ．m 不平行于n ，m 也不垂直于nD ．以上三种情况都有可能二、填空题7．已知a ，b 是空间两向量，若|a |＝3，|b |＝2，|a －b |＝7，则a 与b 的夹角为________．8．若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为π3，则|a ＋b |＝________.9．在△ABC 中，有下列命题： ①AB →－AC →＝BC →；②AB →＋BC →＋CA u uu r ＝0； ③(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 为等腰三角形；④若AC →·AB →>0，则△ABC 为锐角三角形．其中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题 10.如图，已知在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，AB ＝AC .求证：OA ⊥BC .11．在正四面体ABCD 中，棱长为a ，M 、N 分别是棱AB 、CD 上的点，且|MB |＝2|AM |，|CN |＝12|ND |，求|MN |.能力提升12.平面式O,A.B 三点不共线，设OA →＝a ，OB uuu r ＝b ，则△OAB 的面积等于( ) A.|a |2|b |2－(a ·b )2 B.|a |2|b |2＋(a ·b )2 C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 13.如图所示，已知线段AB 在平面α内，线段AC ⊥α，线段BD ⊥AB ，且AB ＝7，AC ＝BD ＝24，线段BD 与α所成的角为30°，求CD 的长．1．空间向量数量积直接根据定义计算．2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：(1)利用a ⊥b ⇔a·b ＝0证线线垂直(a ，b 为非零向量)．(2)利用a·b ＝|a|·|b |cos 〈a ，b 〉，cos θ＝a·b |a|·|b |，求两直线的夹角．(3)利用|a |2＝a·a ，求解有关线段的长度问题． 3．1.3 空间向量的数量积运算知识梳理 1．〈a ，b 〉 [0，π] 2．(2)λ(a·b ) b·a a·b ＋a·c (3)①a·b ＝0 ②|a|·|b | －|a|·|b | ③a·b |a||b | 作业设计1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a －b ，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b ·a ＝c·b ＝0时，(b·a )·c －(c·a )·b 与c 垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．] 2．A [a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉＝|a||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不能成立．]3．C [|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2 ＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a ＋3b |＝13.]4．D [AE →·CF →＝12(AB →＋AC →)·12AD AC ⎛⎫- ⎪⎝⎭u u u r u u u r＝14AB →·AD →＋14AC →·AD →－12AB →·AC →－12|AC →|2＝14cos 60°＋14cos 60°－12cos 60°－12＝－12.] 5．C [∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴|PC →|2＝(PA →＋AB →＋BC →)2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2PA →·AB →＋2PA →·BC →＋2AB →·BC →＝108＋2×6×6×12＝144，∴|PC →|＝12.]6．B [由题意m ⊥a ，m ⊥b ，则有m·a ＝0，m·b ＝0， m·n ＝m (λa ＋μb )＝λm·a ＋μm·b ＝0， ∴m ⊥n .] 7．60°解析由|a －b |＝7，得(a －b )2＝7，即|a |2－2a·b ＋|b |2＝7，∴2a·b ＝6，∴|a||b |cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.即a 与b 的夹角为60°.8.7解析 |a ＋b |＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋2×2×12＋4＝7.9．②③解析 ①错，AB →－AC →＝CB →；②正确；③正确，|AB →|＝|AC →|；④错，△ABC 不一定是锐角三角形．10．证明 ∵OB ＝OC ，AB ＝AC ，OA ＝OA ， ∴△OAC ≌△OAB .∴∠AOC ＝∠AOB . ∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →) ＝OA →·OC →－OA →·OB → ＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|·cos ∠AOB ＝0，∴OA ⊥BC . 11．解如图所示，|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝a ，把题中所用到的量都用向量AB →、AC →、AD →表示，于是MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23AB →＋(AC →－AB →)＋13(AD →－AC →)＝－13AB →＋13AD →＋23AC →. 又AD →·AB →＝AB →·AC →＝AC →·AD →＝|AD →|2cos 60°＝12|AD →|2＝12a 2，∴MN →·MN →＝112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r · 112333AB AD AC ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r＝19AB →2－29AD →·AB →－49AB →·AC →＋49AC →·AD →＋19AD →2＋49AC →2＝19a 2－19a 2＋19a 2＋49a 2＝59a 2. 故|MN →|＝MN MN •u u u u r u u u u r ＝53a ，即|MN |＝53a .12.C [如图所示，S △OAB ＝12|a ||b |·sin 〈a ，b 〉＝12|a ||b |1－cos 〈a ，b 〉2＝12|a ||b | 1－a ·b |a ||b |2＝12|a ||b | |a |2|b |2－a ·b2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－a ·b2.]13.解由AC ⊥α，可知AC ⊥AB ，过点D 作DD 1⊥α，D 1为垂足，连结BD 1，则∠DBD 1为BD 与α所成的角，即∠DBD 1＝30°， ∴∠BDD 1＝60°，∵AC ⊥α，DD 1⊥α，∴AC ∥DD 1，∴〈CA →，DB →〉＝60°，∴〈CA →，BD →〉＝120°. 又CD →＝CA →＋AB →＋BD →， ∴|CD →|2＝(CA →＋AB →＋BD →)2 ＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →∵BD ⊥AB ，AC ⊥AB ， ∴BD →·AB →＝0，AC →·AB →＝0. 故|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·BD → ＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625， ∴|CD →|＝25.。

高中数学人教A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练

高中数学人教A 版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步训练一、单选题1．若a ＝(2x ，1，3)，b ＝(1, -2y ，9)，如果a 与b 为共线向量，则A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝-12C ．x ＝16，y ＝－32 D ．x ＝－16，y ＝32 2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1 B ．15 C ．35 D ．75 3．如图,在平行六面体ABCD -1111A B C D 中,点M,P,Q 分别为棱AB ,CD,BC 中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出下列说法:①1A M ∥1D P ;②1A M ∥1B Q ;③1A M ∥ 平面11DCC D ;④1A M ∥ 平面11D PQB ,则以上正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知两平面的法向量分别为(0,1,0)m =，(0,1,1)n =，则两平面所成的二面角为（）A ．45︒B ．135︒C ．45︒或135︒D ．90︒5．如图所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．166．在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，D 是边AC 上的一点，则BD AC ⋅的取值范围是（）A ．21,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．521,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7．已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且2AD DB =，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A ．116B ．－116C ．12D ．13 8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 的中点，M （非端点,B C ）是棱BC 上的动点．过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N （非端点,D 1D ）．设二面角N AM D --的大小为α，二面角--M AN D 的大小为β，二面角A NE D --的大小为γ，则（）A ．γβα>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ．γαβ>>9．长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（）A 6B 53C ．53D ．2310．如图在四面体OABC 中，M ，N 分别在棱OA ，BC 上且满足2OM MA =，2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，用向量OA ，OB ，OC 表示向量OG 应为（）A ．111363OG OA OB OC =++ B ．111336OG OA OB OC =++ C ．111344OG OA OB OC =++ D ．111443OG OA OB OC =++ 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（）A ．30B ．230C ．275D ．47512．如图，已知四面体ABCD 为正四面体，2,AB E F =，分别是,AD BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）.A ．1B 2C 3D ．2二、填空题13．在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为__________.14．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ；③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.15．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ,若BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--的化简结果为________．16．如图，在正方体1111A BCD A B C D -中，点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，给出下列说法：PQ ①可能与平面11CDD C 平行；PQ ②与BC 所成的最大角为3π； 1CD ③与PQ 一定垂直；PQ ④与1DD 所成的最大角的正切值为5； 2PQ AB ≥⑤．其中正确的有______.(写出所有正确命题的序号)17．如图，三棱锥A BCD -中，10AC AD BC BD ====，8AB =，12CD =，点P 在侧面ACD 上，且到直线AB 的距离为21，则PB 的最大值是_______．三、解答题18．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，,E F 分别是1,CC BC 的中点.(1)若D 是1AA 的中点，求证：BD 平面AEF ；(2)若M 是线段AE 上的任意一点，求直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值.20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点P 为棱11B C 的中点，点Q 为线段1A B 上一动点.（Ⅰ）求证：当点Q 为线段1A B 的中点时，PQ ⊥平面1A BC ；（Ⅱ）设1BQ BA λ=，试问：是否存在实数λ，使得平面1A PQ 与平面1B PQ 所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 21．如图，在四棱锥S ABCD -中，290,22,6,DAB ADC ABD CB BD SD SB SD BC ︒∠=∠=∠=====⊥（1）求证：平面SBC ⊥平面SBD（2）已知点P 在线段SC 上，且CP CSλ=，若平面与平面SBD 所成的二面角大小为60︒，求λ的值 22．如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD DC ⊥，22BC AD DC ==，四边形ABEF 是正方形.将正方形ABEF 沿AB 折起到四边形11ABE F 的位置，使平面11ABE F ⊥平面ABCD ，M 为1AF 的中点，如图2. 图1图2（1）求证:AC BM ⊥；（2）求平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值.参考答案1．C∵a =（2x ，1，3）与b =（1，﹣2y ，9）共线，故有21x =12y -=39． ∴x=16，y=﹣32． 2．D 试题分析：由的坐标可得，，两向量互相垂直则，即()312220k k ⨯-+⨯-⨯=，解得75k =． 3．C连接PM ，因为M 、P 为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD ．由题意知AD 平行且等于11A D ．故PM 平行且等于11A D ．所以11PMA D 为平行四边形，故①正确．显然1A M 与1B Q 为异面直线．故②错误．由①知1A M ∥1D P ．由于1D P 即在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内．且1A M 即不在在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内．故③④正确 4．C∵两平面的法向量分别为 010011m n ==（，，），（，，），则两平面所成的二面角与m n ＜，＞相等或互补2,212m n cos m n m n ⋅===⋅⋅＜，＞故45m n =︒＜，＞.故两平面所成的二面角为45°或135°5．C以D 为坐标原点，直线1DA DC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩ 可得2a b a c=⎧⎨=⎩ 可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n ⋅+-=== 6．D因为D 是边AC 上的一点(包括端点)，∴设()1BD BA BC λλ=+- (01)λ≤≤ ∵∠ABC ＝120°，AB ＝3，BC ＝1，∴133122BA BC ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭， ∴()()1BD AC BA BC BC BA λλ⎡⎤⋅=+-⋅-⎣⎦()()22511132BA BC BA BC BC BA λλλλλ=⋅-+---⋅=-+ ∵01λ，∴215513222λ--+.∴BD AC ⋅的取值范围是215,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选D. 7．B设D (x ，y ，z )，则＝(x ＋1，y －1，z －2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x ，－y ，－1－z )， ∵＝2，∴∴∴D (，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－．8．B解：不妨设正方体棱长为4，3MC =，则2CE =，设MA DC O =，直线OE 交1D D 于N ，显然有OCE ODN ~，OCM ODA ~，OEM ONA ~，所以3,,1244CM CO OC OC DA OD OC ===+， 2222312153MO MC CO +=+=，过C 作CG OM ⊥于G ,连结EG ,根据三垂线定理，则EG OM ⊥，则CGE α∠=，在COM 中，根据等面积法有,312153CM CO OM CG CG ⋅=⋅⨯=，CG==2tan36CECGα===，OE==过C作CH OE⊥于H,连结MH,根据三垂线定理，则MH OE⊥，则CHMγ∠=，在COE中，根据等面积法有,212CE CO OE CH CH⋅=⋅⨯=，CG==tanCMCHγ===，213EM=，过C作CP ME⊥于P,连结OP,根据三垂线定理，则ME OP⊥，因为平面11//ADD A平面11BCC B，则OPCβ∠=，在CME△中，根据等面积法有,23CE CM ME CP CP⋅=⋅⨯=，CP==12tan62COCPβ===，tan tan tanβγα==>=>=βγα>>9．A则：1C E (1,1,1)=--设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩ 取n (2,2,1)=-- 则1,cos n C E =11n C En C E ⋅5333==⋅ 设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ 则53sin θ=261sin cos θθ=-=. 10．A解：∵在四面体OABC 中，,M N 分别在棱OA 、BC 上，且满足2OM MA =， 2BN NC =，点G 是线段MN 的中点，∴11122223OG OM ON OA =+=⨯+12111()23363OB BC OA OB OC ⨯+=++. 11．B如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM ，1//DQ A M 且DN DQ D =，1BM A M M =∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 2212230255C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭ 12．A补成正方体，如图.,EF α⊥∴截面为平行四边形MNKL ,可得2NK KL +=，又//,//,MN AD KL BC 且,AD BC KN KL ⊥∴⊥可得L MNK S NK KL =⋅四边形2()1,2NK KL +≤=当且仅当NK KL =时取等号，选A. 13．1-由题意，设,,PA a PB b PC c ===，建立空间的一个基底{},,a b c ，在正四面体中1(),2PE a b BC c b =+=-，所以211()()()22PE BC a b c b a c a b b c b ⋅=+⋅-=⋅-⋅+⋅- 0001(22cos6022cos6022cos6022)12=⨯-⨯+⨯-⨯=-. 14．①③④如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ，∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确；设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =+++-．由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为22，故④正确．故答案为①③④15．0如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则23DF DE =， ∴1322AB BC DE AD +--AB BF DF DA =+-+AF FD DA =++0=.16．①③④⑤解：由在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中点P 为AD 的中点，点Q 为11B C 上的动点，知：在①中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，由线面平行的判定定理可得PQ 与平面11CDD C 平行，故①正确；在②中，当Q 为11B C 的中点时，1//PQ C D ，111B C C D ⊥，11//BC B C ，可得PQ BC ⊥，故②错误；在③中，由11CD C D ⊥，111.CD B C ⊥可得1CD ⊥平面11ADC B ，即有1CD PQ ⊥，故③正确；在④中，如图，点M 为11A D 中点，PQ 与1DD 所成的角即为PQ 与PM 所成的角，当Q 与1B ，或1C 重合时，PQ 与1DD 所成的角最大，其正切值为5，故④正确；在⑤中，当Q 为11B C 的中点时，PQ 2，故⑤正确． 1757动点P 到直线AB 21∴动点P 落在以AB 21可知侧面与三棱锥侧面ACD 的交线为椭圆的一部分设其与AC 的交点为P ，此时PB 最大由题意可得，点C到AB的距离为：2210484221-==则P到AB的距离为21可知：P为AC的中点又1422cos105ABBACAC∠===在BAP∆中，由余弦定理可得2285285cos57PB BAC=+-⨯⨯∠=本题正确结果：5718．（1）PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，得AC PC⊥.又1AD CD==，在Rt ADC∆中，得2AC=，设AB中点为G，连接CG，则四边形ADCG为边长为1的正方形，所以CG AB⊥，且2BC=因为222AC BC AB+=，所以AC BC⊥，又因为BC PC C⋂=，所以AC⊥平面PBC，又AC⊂平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC.（2）以C为坐标原点，分别以射线CD､射线CP为y轴和z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-. 由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m nm n m n a ⋅===⋅+2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PAn PA n PA θ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23.19．(1)连接1DC ，1BC ，∵,D E 分别是11,AA CC 的中点，∴11AD C E AD C E =，，∴四边形1ADC E 是平行四边形，所以1AE DC ∥.因为,E F 分别是1,CC BC 的中点，所以1EF BC ，又111,AE EF E DC BC C ⋂=⋂=，所以平面AEF ∥平面1BDC ，又BD ⊂平面1BDC ，所以BD 平面AEF .(2)由题意得1,,AB AC AA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()0,2,1E ，()1,1,0F ， ∴ ()0,2,1AE =，()1,1,0AF =.设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得200y z x y +=⎧⎨+=⎩，令2z =，得1x =，1y =-，所以平面AEF 的一个法向量为()1,1,2n =-. 设(),,M x y z ，且()01AM AE λλ=≤≤，所以,,0,2,1x y z ，得0x =，2y λ=，z λ=，所以点()0,2,M λλ的坐标为，所以()12,2,2B M λλ=--.设直线1B M 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos ,n B M n B Mn B M θ⋅==⋅ 2222221222112222=∴当25λ=时，()max sin 6θ=.所以直线1B M 与平面AEF 所成角正弦的最大值为6. 20．（Ⅰ）证明：连1AB 、1AC ，∵点Q 为线段1A B 的中点，∴A 、Q 、1B 三点共线.∵点P 、Q 分别为11B C 和1A B 的中点，∴1//PQ AC ．在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥， ∴BC ⊥平面11ACC A ，∴1BC AC ⊥，又1AC AA =，∴四边形11ACC A 为正方形，∴11AC AC ⊥，∵1A C 、BC ⊂平面11ACC A ， ∴1AC ⊥平面1A BC ，而1//PQ AC ，∴PQ ⊥平面1A BC .（Ⅱ）解：以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，连接1A P 、1B Q ，设(),,Q x y z ， ∵1BQ BA λ=， ∴()(),2,2,2,2x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴()2,22,2Q λλλ-. ∵点Q 在线段1A B 上运动，∴平面1A PQ 的法向量即为平面1A PB 的法向量，设平面1A PB 的法向量为()1,,n x y z =，由11100n BP n PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令2y =得()11,2,1n =，设平面1B PQ 的法向量为()2,,n x y z =，由212100n PB n B Q ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得()010y x z λλ=⎧⎨+-=⎩，令1z =得()211,0,11,0,n λλλλλ-⎛⎫==- ⎪⎝⎭，取()21,0,n λλ=-，由题意得|(121,2,1cos ,|n n = 10==， ∴29920λλ-+=，解得13λ=或23λ=. ∴当13λ=或23λ=时，平面1A PQ 与平面1B PQ 21．（1）由题意，290,DAB ADC ABD CB BD ︒∠=∠=∠===BC BD ⊥，因为,SD BC SD BD D ⊥⋂=，可得BC ⊥平面SBD ，因为BC⊂平面SBC ，故平面SBC ⊥平面SBD .（2）由（1）可得BC ⊥平面SBD ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面SBD ，设E 为BD 的中点，连接SE ，因为SB SD ==，所以SE BD ⊥，可得SE ⊥平面ABCD ，如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(0,2,0),(2,4,0),(2,0,0),(1,1,2)A B C D S ，因为CP CSλ=，所以(2,43,2)P λλλ--，易得平面SBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =. 设(,,)n x y z = 为平面ABP 的法向量，(0,2,0),(2,43,2)AB AP λλλ==--，因为平面SBD 与平面ABP 所成的角为60°所以00n AB n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，得(2,0,2)n λλ=-， 21cos60224λ==⋅+，解得23λ=或2λ=-（不合题意），所以λ的值为23.22．（1）因为11ABE F 为正方形，所以1BE AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面11ABE F ，平面ABCD 平面11ABE F AB =， 1BE ⊂平面11ABE F ，所以1BE ⊥平面ABCD ，因为AC ⊂平面ABCD ，所以1BE AC ⊥ 设1AD =，则2AC AB ==AC AB ∴⊥，且1AB BE B =， AC ∴⊥平面11AF E B ，又BM ⊂平面11AF E B ，AC BM ∴⊥,（2）如图，以点B 为坐标原点，分别以BC ,1BE 所在直线为x,z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()1,1,0A ,()0,0,0B ,()2,0,0C ,(12E ,21,1,2M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 所以21,1,2BM ⎛= ⎝⎭,(12CE =-,121,1,2E M ⎛=- ⎝⎭，设平面1CE M 的一个法向量为(),,n x y z =，由1100n CE n E M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得220202x z x y z ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，令1x =,得2z =，0y =，所以(1,0,2n =，平面11ABE F 的法向量为()1,1,0AC =-，设平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角为θ，则16cos cos ,623AC nAC n AC n θ⋅====⨯，所以平面1CE M 与平面11ABE F 所成锐二面角的余弦值为66。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.2 Word版含答案

3.1.2 空间向量的数乘运算课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．1．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a 的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向________；当λ<0时，λa 与向量a 方向________；λa 的长度是a 的长度的________倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．分配律：______________；结合律：______________. 2．共线向量(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________． (3)方向向量：如图l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使____________，其中向量a 叫做直线l 的方向向量． 3．共面向量(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a 、b 不共线，那么向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使__________．空间内一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使______________．对空间任意一点O ，点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使________________．一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．零向量没有确定的方向D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb2．满足下列条件，能说明空间不重合的A 、B 、C 三点共线的是( )A. AB →＋BC →＝AC →B. AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D.|AB →|＝|BC →|3.如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG=2GN ，则OG u u u r =xOA →＋y OB uuu r ＋zOC →，则( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝16，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝134．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是( )A. OM u u u u r ＝2OA →－OB uuur －OC →B. OM u u u u r ＝15OA →＋13OB uuu r ＋12OC →C. MA u u u r ＋MB →＋MC →＝0D. OM u u u u r ＋OA →＋OB uuu r ＋OC →＝05.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A u u u u r ，D 1C →，A 1C 1→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 6．下列命题中是真命题的是( )A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C.若向量AB →,CD →，满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →D.若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD →二、填空题7.在空间四边形ABCD 中，连结AC 、BD,若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________．8.在正四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB uuu r ＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝______________(用a ，b ，c 表示)．9.已知P 和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP uuu r ＝2OA →＝2OA →＋OB uuu r ＋λOC →，则λ＝________. 三、解答题10．已知ABCD —A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BC C ′ B ′对角线B C ′上的34分点，设MN u u u u r ＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值．11．设A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别是异面直线l 1，l 2上的三点，而M ，N ，P ，Q 分别是线段AA 1，BA 1，BB 1，CC 1的中点．求证：M ，N ，P ，Q 四点共面．能力提升12.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B u u u u r＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 13.如图所示，已知点O 是平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1 对交线的交点，点P 是空间任意一点.试探求PA u u u r ＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→与PO →的关系．1．向量共线的充要条件及其应用(1)利用向量共线判定a ，b 所在的直线平行． (2)利用向量共线可以证明三点共线．2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．3．1.2 空间向量的数乘运算知识梳理1．(1)λa 相同相反 |λ| (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb λ(μa )＝(λμ)a 2．(1)平行重合 (2)存在实数λ，使a ＝λb(3) OP →＝OA →＋t a 3．(1)同一个平面(2)p ＝x a ＋y b AP →＝xAB →＋yAC →OP →＝OA →＋xAB →＋yAC → 作业设计1．C [A 中，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D 中，若b ＝0，a ≠0，则不存在λ.]2．C [由AB →＝BC 知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A 、B 、C 三点共线．] 3．D [∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋MG →，①OG →＝OC →＋CN →＋NG →，② OG →＝OB →＋BN →＋NG →，③ 又BN →＝－CN →，MG →＝－2NG →，∴①＋②＋③，得3OG →＝12OA →＋OB →＋OC →，即x ＝16，y ＝13，z ＝13.]4．C [∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →. ∴M 与A 、B 、C 必共面．只有选项C 符合．] 5．C [如图所示，因为D 1C →－D 1A →＝AC →，而AC →＝A 1C 1→， ∴D 1C →－D 1A →＝A 1C 1→，即D 1C →＝D 1A →＋A 1C 1→，而D 1A →与A 1C 1→不共线，所以D 1C →，D 1A →，A 1C 1→三向量共面．]6．D [A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关．C 错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有AB →>CD →这种写法．D 对．∵AB →＋CD →＝0，∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD →正确．] 7．0 解析如图，取BC 的中点F ，连结DF ，则DF →＝32DE →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.8.12a ＋14b ＋14c 解析如图，OE →＝12(OA →＋OD →)＝12OA →＋12×12(OB →＋OC →) ＝12a ＋14b ＋14c . 9．－2解析 P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件． 10．解 (1)方法一取AA ′的中点为E ，则12AA'→＝EA'→.又BC →＝A'D'→，AB →＝D'C'→，取F 为D ′C ′的一个三等分点(D ′F ＝23D ′C ′)，则D'F →＝23AB →.∴12AA'→＋BC →＋23AB → ＝EA'→＋A'D'→＋D'F →＝EF →.方法二取AB 的三等分点P 使得PB →＝23AB →，取CC ′的中点Q ，则12AA'→＋BC →＋23AB →＝12CC'→＋BC →＋23AB →＝CQ →＋BC →＋PB → ＝PB →＋BC →＋CQ →＝PQ →.(2)连结BD ，则M 为BD 的中点， MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC'→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC'→) ＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA'→) ＝12AB →＋14AD →＋34AA'→. ∴α＝12，β＝14，γ＝34.11．证明 ∵NM →＝12BA →，NP →＝12A 1B 1→，∴BA →＝2NM →，A 1B 1→＝2NP →.又∵P Q →＝PB →＋BC →＋C Q → ＝12BB 1→＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(B 1C 1→＋CB →)＋BC →＋12(CB 1→＋B 1C 1→) ＝12(BC →＋B 1C 1→)，① 又A ，B ，C 及A 1，B 1，C 1分别共线， ∴BC →＝λBA →＝2λNM →，B 1C 1→＝ωA 1B 1→＝2ωNP →.代入①式，得P Q →＝12(2λNM →＋2ωNP →)＝λNM →＋ωNP →. ∴P Q →，NM →，NP →共面．∴M ，N ，P ，Q 四点共面．12．A [B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12BD →＝c ＋12(BA →＋BC →)＝－12A 1B 1→＋12A 1D 1→＋c＝－12a ＋12b ＋c .]13．解设E 、E 1分别是平行六面体的面ABCD 与A 1B 1C 1D 1的中心，于是有P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝(P A →＋PC →)＋(PB →＋PD →)＝2PE →＋2PE →＝4PE →，同理可证：P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE 1→，又因为平行六面体对角线的交点O 是EE 1的中点，所以PE →＋PE 1＝2PO →，所以P A →＋PB →＋PC →＋PD →＋P A 1→＋PB 1→＋PC 1→＋PD 1→＝4PE →＋4PE 1→＝4(PE →＋PE 1→)＝8PO →.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测(有答案解析)(4)

一、选择题1．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 2．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（）A 2B ．1C ．2D 34．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1BC 所成角的余弦值是( )A ．32B ．12C ．14D ．05．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．105B ．1010C ．32D ．626．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A ．123S S S ==B ．21=S S 且23S S ≠C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠7．已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E 为1BB 的中点，则点C 到平面11A D E 的距离为A 5B 5C 5D ．358．在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A ．10B ．15C 10D 15 9．如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点.设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大10．如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在底面ABCD 上移动，且满足11B P D E ⊥，则线段1B P 的长度的最大值为（）A ．455B ．2C ．22D ．311．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形， Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心半径为1的球面上运动，点M 在面 ABCD 内运动，且PM 5=，则MN 长度的最小值为（）A ．352-B ．23-C ．25-+D ．332- 12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（）A ．2B ．3C ．1D ．2二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =，则点A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________.16．已知四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为________．17．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.18．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ=_________．19．已知平面α⊥平面β，且l αβ⋂=，在l 上有两点A ，B ，线段AC α⊂，线段BD β⊂，并且AC l ⊥，BD l ⊥，6AB =，24BD =，8AC =，则CD =______． 20．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11AC 和底面ABCD 的距离是________三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AB ==，E 为PD 中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P AC E --的余弦值；22．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD DC =，F ，G 分别是PB ，AD 的中点．（Ⅰ）求证：GF ⊥平面PCB ；（Ⅱ）求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小；（III ）在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．23．如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连结MN .（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求二面角B PC D --的余弦值.24．如图，在三棱台111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB =，11112A B AC ==，11AB BC ⊥.（1）求1AA 的长；（2）求二面角11B AC C --的正弦值.25．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，底面为直角梯形且90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==，CD SD =，点M 是SA 的中点.（1）求证：BD ⊥平面SCD ；（2）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60︒，求SD 与平面MBD 所成角的正弦值. 26．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 中点.（1）PB ∥平面AEC ；（2）设PA =1，ABC ∠60︒=，三棱锥E -ACD 的体积为36，求二面角D -AE -C 的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．D解析：D【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1A M与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A BC D -中棱长为2，则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)，设异面直线1A M 与DN 所成角为θ，则11cos 0A M DNA M DN θ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．3．A解析：A【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果.【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=， 11AC AB BC CC ∴=++，()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅ 114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=，∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 4．C解析：C【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,)B ，)12B ，()0,1,0C ，向量()13,1,2A B =-,()12B C =--， 11cos ,A B BC <>1111A B B C A B B C⋅=⨯=14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM与1BC的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M B C所成角的余弦值.与1【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点 ∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,5102AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A. 【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．6．D解析：D 【分析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222=⨯⨯=S ，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．考点：空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式．7．A解析：A 【解析】分析：建立空间直角坐标系，结合题意得到点的坐标，然后利用空间向量求解点面距离即可.详解：如图所示，建立空间直角坐标系，则()10,0,1A ()10,1,1D，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据此可得：()110,1,0A D =，111,0,2A E ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设平面11A D E 的法向量为()111,,m x y z =，则：1110102y x z =⎧⎪⎨-=⎪⎩，据此可得平面11A D E 的一个法向量为()1,0,2m =，而()1,1,0C ，据此有：()11,1,1AC =-，则点C 到平面11A D E 的距离为11555AC m m⋅==. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查空间向量的应用，点面距离的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．C解析：C 【分析】本题首先可以根据题意建立空间直角坐标系，然后根据2AB =以及11BC CC ==得出12,0,1AB 、()10,1,1BC =，最后根据1111cos θAB BC AB BC 即可得出结果.【详解】因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，且90ABC ∠=︒，所以可以以B 为原点、AB 为x 轴、BC 为y 轴、1BB 为z 轴构建空间直角坐标系，如图：因为2AB =，11BC CC ==，所以()2,0,0A ，()10,0,1B ，()0,0,0B ，()10,1,1C ，故12,0,1AB ，()10,1,1BC =，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111110cos θ1052AB BC AB BC ，故选：C. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，可借助空间向量来求解，能否合理的构建空间直角坐标系是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中档题.9．D解析：D 【分析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，,02AE x x =≤≤，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出,,B D E 点的坐标，求出平面BDE 的法向量m ，底面ABC 的法向量坐标为(0,0,1)n =，将cos α表示为关于x 的函数，通过讨论cos α的增减变化，即可求出结论. 【详解】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤，设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(3,1,0),(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BDm ED ⎧⊥⎨⊥⎩，即302(1)0s t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令23k =33,1t x s x ==+，所以平面BDE 的一个法向量(133,23)m x x =+，底面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =，222233cos |cos ,|115(1)3(1)12()24m n x x x α=<>==++-+-+当1(0,)2x ∈，cos α随着x 增大而增大，则α随着x 的增大而减小，当1(,2)2x ∈，cos α随着x 增大而减小，则α随着x 的增大而增大. 故选：D.【点睛】本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.10．D解析：D 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点(),,0P x y ，根据110B P D E ⋅=得出x 、y 满足的关系式，并求出y 的取值范围，利用二次函数的基本性质求得1B P 的最大值. 【详解】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,2,2B 、()10,0,2D 、()1,2,0E ，设点()(),,002,02P x y x y ≤≤≤≤，()11,2,2D E =-，()12,2,2B P x y =---，11D E B P ⊥，()112224220B P D E x y x y ∴⋅=-+-+=+-=，得22x y =-，由0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，得022202y y ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，得01y ≤≤，()()2221224548B P x y y y ∴=-+-+=-+，01y ≤≤，当1y =时，1B P 取得最大值3.故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.11．C解析：C 【分析】若要使MN 最短，点N 必须落在平面ABCD 内，且一定在DN 的连线上，此时应满足,,,D N M Q 四点共线，通过几何关系即可求解【详解】如图，当点N 落在平面ABCD 内，且,,,D N M Q 四点共线时，MN 距离应该最小，由PM 5=可得1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，半径为1的圆上，由几何关系求得5DQ =，1DN MQ ==，故552NM DN MQ =--=-故答案选：C 【点睛】本题考查由几何体上的动点问题求解两动点间距离的最小值，属于中档题12．A解析：A 【分析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长. 【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=， 12AC t ∴=. 2m ∴=故选：A . 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了 6【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-，设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =，所以A 到平面11BD A 的距离2633n BA d n⋅===. 故答案为：63．【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴，SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(0,0,2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以312,,222AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311322cos ,3911112442AE SD -+-==-++⋅++．故异面直线AE ，SD 所成角的余弦值为33． 15．【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系设因此设平面一个法向量为取因此直线与平面所成角的正弦值是解析：88585【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1(1,2,0),(1,2,0),(0,0,2)(,1,1)2B C P M -∴- 因此3(,1,1)2BM =-- ,设平面PCO 一个法向量为(,,)(0,0,2)00(,,)(,,)(1,2,0)02x y z z n x y z x y z x y ⋅==⎧⎧=∴∴⎨⎨⋅-==⎩⎩，取(2,1,0)n =因此直线BM 与平面PCO所成角的正弦值是3cos ,8517BM n --== 16．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC 的中点即为BD 的中点AC 的中点设D(xyz)则∴x ＝5y ＝13z ＝－3故D(513－3)解析：(5,13,3)- 【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为BD 的中点，AC 的中点7(,4,1)2O - ，设D (x ，y ，z )，则7251,4,12222x y z +-++==-= ∴x ＝5，y ＝13，z ＝－3，故D (5,13，－3)．17．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 18．3【解析】试题分析：由于三个向量共面所以存在实数使得即有解得考点：空间向量的正交分解及其坐标表示解析：3 【解析】试题分析：由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，即有13=2{6323m n m nm nλ-=-+=-，解得9{53m n λ===. 考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.19．26【分析】推导出=从而=（）2=由此能出CD 【详解】∵平面α⊥平面β且α∩β=l 在l 上有两点AB 线段AC ⊂α线段BD ⊂βAC ⊥lBD ⊥lAB=6BD=24AC=8∴=∴=（）2==64+36+57解析：26 【分析】推导出CD =CA AB BD ++，从而2CD =（CA AB BD ++）2=222CA AB BD ++，由此能出CD ．【详解】∵平面α⊥平面β，且α∩β=l ，在l 上有两点A ，B ，线段AC ⊂α，线段BD ⊂β， AC ⊥l ，BD ⊥l ，AB=6，BD=24，AC=8， ∴CD =CA AB BD ++， ∴2CD =（CA AB BD ++）2 =222CA AB BD ++ =64+36+576 =676， ∴CD=26．故答案为26．【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．20．【解析】分析：确定A1C1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1的高即可求得结论详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A1B1C1D1∴平面ABCD ∥平面A1B1C1D1∵A1C1⊂平面A1B解析：26 【解析】分析：确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高，即可求得结论．详解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1， ∴平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， ∵A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴A 1C 1∥平面ABCD∴A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，AC 1与底面ABCD 成60°角，∴A 1A=22tan60°=26故答案为26．点睛：本题考查线面距离，确定A 1C 1到底面ABCD 的距离为正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的高是解题的关键．如果直线和已知的平面是平行的，可以将直线和平面的距离，转化为直线上一点到平面的距离.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）63. 【分析】（1）本题首先可根据PA ⊥平面ABCD 得出PA BD ⊥，然后根据底面ABCD 为正方形得出AC BD ⊥，最后根据线面垂直的判定即可得出结果；（2）本题首先可建立空间直角坐标系，然后求出平面EAC 的法向量n 以及平面PAC 的法向量BD ，最后通过cos ,n BD n BD n BD ⋅=⋅即可得出结果. 【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为底面ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为=AP AC A ，所以BD ⊥平面PAC .（2）如图，以A 为原点，分别以AB 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A 、(2,0,0)B 、(2,2,0)C 、(0,2,0)D 、(0,0,2)P ，则(2,2,0)BD =-，(2,2,0)AC =，因为E 为PD 中点，所以(0,1,1)E ，(0,1,1)AE =，设平面EAC 的法向量为(,,)n x y z =，则00AC n AE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则(1,1,1)n =--，因为BD ⊥平面PAC ，所以BD 为平面PAC 的法向量，则cos ,33n BDn BD n BD ⋅===⋅⋅，故结合图像易知，二面角P AC E -- 【点睛】关键点点睛：本题考查线面垂直的判定以及二面角的余弦值的求法，若平面外一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直，可通过建立空间直角坐标系的方式求二面角，考查数形结合思想，是中档题.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）60°；（III ）存在，()1,0,1.【分析】（1）以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出G 、P 、A 、B 、C 、F 的坐标，根据法向量的性质求得平面PCB 的法向量n ，证得//GF n 即可；（2）由（1）知，平面PCB 的法向量为(0n =，1，1)，同（1）可求得平面PAB 的法向量m ，由cos m <，||||m n n m n >=即可得解；（3）设AM AP λ=，则(22M λ-，0，2)λ，故有,|cos 60|cos D t M →︒=><·=||·DM t DM t ，解之得λ的值即可．【详解】（Ⅰ）证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(2,2,,0),(0,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,1,1)A B C P G F(0,1,1),(2,2,2),(0,2,2)GF PB PC ∴==-=-设平面PCB 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m PB m PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即111112220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩ 令1=1z ，则110,1x y ==，(0,1,1)m ∴=∴//GF m ，故GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)解：由（Ⅰ）知，平面PCB 的法向量为(0,1,1)m =，(2,2,2),(2,0,2)PB PA =-=-设平面PAB 的法向量为222(,,)n x y z =，则2222222200,2200x y z n PB x z n PA +-=⎧⎧⋅=⎨⎨-=⋅=⎩⎩即，令21z =，则221,0,x y ==，所以平面PAB 的法向量(1,0,1)n = 11cos ,||||222m n m n m n ⋅∴<>===⋅⨯ 平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为60．（III ）假设线段AP 上存在一点M ，设AM AP λ=，[]01λ∈，，则(22,0,2)M λλ-， (22,0,2)DM λλ∴=-，设平面ADF 的法向量为333(,,)t x y z =，(2,0,0),(1,1,1)DA DF ==，由0,0DA t DF t ⋅=⋅=得到(0,1,1)t =-，DM 与平面ADF 所成角为30︒，DM ∴与t 所成角为60︒，22||cos60|cos ,|(22)42||||DM t DM t DM t λλ→︒→⋅∴=<>==-+⋅⋅解得12λ=，故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30︒，点M 的坐标为(1,0,1)．【点睛】关键点点睛：存在性问题，一般假设存在一点M ，设AM AP λ=，利用向量的坐标运算，根据线面角公式求解，如能求出符合范围的λ，即存在，否则不存在.23．（1）证明见解析；（2）3-. 【分析】（1）取AB 的中点E ，连结EM ，EN ，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理，先证明平面//MNE 平面PAD ，进而可证//MN 平面PAD ；（2）根据题中条件，以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，取AB 的中点E ，连结EM ，EN .因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC .所以//ME PA ，//EN AD .因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，所以//ME 平面PAD ，同理，//EN 平面PAD .又因为ME NE E ⋂=，ME 、NE ⊂平面MNE ，所以平面//MNE 平面PAD .因为MN ⊂平面MNE ，所以//MN 平面PAD ；（2）因为在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=︒，//AD BC ，所以BC PA ⊥，即在四棱锥P ABCD -中，BC PB ⊥，BC AB ⊥.因为//AD BC ，所以AD PB ⊥，AD AB ⊥，因为PB AB B ⋂=，PB 、AB 平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以PA AD ⊥. 又因为8AD =，3AB =，4PA =，所以5PB =.所以222AB PA PB +=，所以PA AB ⊥.以点A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0B ，()0,0,4P ，()0,8,0D ，()3,5,0C ，所以(3,0,4)PB =-，(3,5,4)PC =-，(0,4)8,PD =-.设()1111,,x n y z =为平面PBC 的一个法向量，则1100n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111113403540x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令14x =，得1(4,0,3)n =；设()2222,,n x y z =为平面PCD 的一个法向量，则2200n PD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222228403540y z x y z -=⎧⎨+-=⎩，令21y =，得2(1,1,2)n =. 所以121222126cos ,343114n n n n n n ⋅<>===+++. 因为二面角B PC D --是钝角，所以二面角B PC D --的余弦值是6 【点睛】方法点睛：立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.24．（1）222）155. 【分析】（1）连接1A B ，先证得11AC ⊥平面11ABB A ，得111AC AB ⊥，然后由已知得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥，在直角梯形11AA B B 中，可求得1AA ；（2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，然后求得二面角11B AC C --的两个面的的法向量，由法向量的余弦值得二面角的正弦值．【详解】解：（1）如图，连接1A B .1AA ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ，则111AC A A ⊥，又1111AC A B ⊥，1111AA A B A =，∴11AC ⊥平面11ABB A ，而1AB ⊂平面11ABB A ，故111AC AB ⊥.又11AB BC ⊥，1111AC BC C ，可得1AB ⊥平面11A BC ，1A B ⊂平面11A BC ，∴11AB A B ⊥，故1111111112tan tan 224AA A BA A AB A BA A AB AA AA ∠=∠⇒∠=∠⇒=⇒=（2）如图，以A 为原点，AB ，AC ，1AA 方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(12,0,2B ，()10,2,22C ()4,0,0AB =为平面1AC C 的一个法向量.设(),,n x y z =为平面11B AC 的一个法向量，则112220002220x z n AB n AC y z ⎧⎧+=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取1z =，得()2,2,1n =--，则4210cos ,545n AB -〈〉==-， ∴15sin ,5n AB 〈〉=. 故所求二面角的正弦值为155．【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的判定，考查空间向量法求二面角．求二面角的常用方法是空间向量法，即建立空间直角坐标系，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补求解．25．（1）证明见解析；（2）2114. 【分析】（1）根据已知条件证明BD CD ⊥，根据线面垂直的判定定理即可得到BD ⊥平面SCD ；（2）根据已知条件建立合适的空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值求解出SD 与平面MBD 所成角的正弦值.【详解】解：（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ，设==AB AD a ，2BC a =，依题意，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，2BD CD a ==，∴222BD CD BC +=，则BD CD ⊥.又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD 底面ABCD CD =，∴BD ⊥平面SCD（2）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，∵平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD 底面ABCD CD =，SH CD ⊥，SH ⊂平面SCD ，SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影，SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒.由（1）得，2SD a =，∴在Rt SHD 中，2SD a =，62SH a =，在ADH 中，45ADH ∠=︒，AD a =，22DH a =，由余弦定理得222222cos 45222AH a a a a a ⎛⎫=+-⋅⋅⋅︒= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒，过点D 作//DF SH ，∴DF ⊥底面ABCD ，∴DB 、DC 、DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB 为x 轴正方向，DC 为y 轴正方向，DF 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则)2,0,0B a ，()2,0C a ，260,S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，226,M a ⎫⎪⎪⎝⎭，设平面MBD 的法向量(),,n x y z =，由2022602n DB ax n DM ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得30,,1n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，又26,SD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，∴22662142sin cos ,3131422a a n SD a a θ-=<>==+⋅+， ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为2114. 【点睛】方法点睛：求解线面角的正弦值的两种方法：（1）几何法：通过线面垂直的证明，找到线面角，通过长度的比值即可计算线面角的正弦值；（2）向量法：求解出直线的方向向量和平面的法向量，根据直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值求解出结果.26．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】(1 )连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线定理可得//PB OE ，由线面平行的判定定理即可证明//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，根据23243P ABCD P ACD E ACD V V V ---===可得2a =，以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面CAE 与平面DAE 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.【详解】(1)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，则O 为BD 中点，E 为PD 的中点，所以//PB OE ，OE ⊂平面,ACE PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面AEC ；（2）设菱形ABCD 的边长为a ，2324P ABCD P ACD E ACD V V V ---===， 1233113132P ABCD ABCD V S PA a a -⨯⨯⨯=⋅==，则2a =. 取BC 中点M ，连接AM .以点A 为原点，以AM 方向为x 轴，以AD 方向为y 轴，以AP 方向为z 轴，建立如图所示坐标系.()0,2,0D ，()0,0,0A ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()3,1,0C 10,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，设平面ACE 的法向量为1(,,)n x y z =，由11,n AE n AC ⊥⊥，得10230y z x y ⎧+=⎪⎪+=⎩，令3y =1,23x z =-=-(11,3,23n =∴--，平面ADE 的一个法向量为()21,0,0n = 1212121cos<,>41312n n n n n n ⋅===++⋅，即二面角D AE C --的余弦值为14. 【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n ；再代入公式cos m nm n α⋅=±（其中,m n分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何§3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算课时目标1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．2．几类特殊向量(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________． (2)单位向量：________的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度______而方向________的向量，称为a 的相反向量，记为________．3．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝__________；CA →＝OA →－OC →＝________. 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝________(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝____________.；一、选择题1．下列命题中，假命题是( )A. 向量AB →与BA →的长度相等B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2.如图所示，平行四边形ABCD 的对角线的交点为O ，则下列等式成立的是( )A. OA →＋OB →＝AB →B. OA →＋OB →＝BA →C. AO →－OB →＝AB →D. OA →－OB →＝CD →3.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点且2OA →＋OB →＋OC →=0，则AO →等于( )A. OB →B. OC →C. OD→ D .2OD→4.已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则( )A. AB →＝AC →＋BC →B. AB →＝－AC →－BC →C. AC →与BC →同向D. 与AC →与CB →同向5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→-AB →+BC →化简后的结果是( )A. BD 1→B. 1D B u u u u rC.1B D u u u u rD. 1DB u u u u r6．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF→＋GH →＋PQ →＝0 B.EF→－GH →－PQ →＝0C.EF→＋GH →－PQ →＝0 D.EF→－GH →＋PQ →＝0二、填空题7.在平行六面体ABCD －A ’B’C ’D ’中，与向量''A B u u u u u r的模相等的向量有________个．8.若G 为△ABC 内一点，且满足AG u u u r ＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”) 9．判断下列各命题的真假：①向量AB →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为________．三、解答题10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB →＝DC →；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点，请化简：AB →＋BC →＋CD →，(2)AB →＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．能力提升12.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F.若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a －b 表示的是由b 的终点指向a 的终点的一条有向线段．第三章空间向量与立体几何 §3.1 空间向量及其运算 3．1.1 空间向量及其加减运算知识梳理1．大小方向 (2)大小模 (3)①有向线段 ②AB →2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同相等 (4)相等相反－a3．a ＋b a －b (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 作业设计1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]2．D [OA →－OB →＝BA →＝CD →.]3．C [∵D 为BC 边中点，∴OB →＋OC →＝2OD →， ∴OA →＋OD →＝0，∴AO →＝OD →.]4．D [由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．] 5．A[如图所示， ∵DD 1→＝AA 1→，DD →1－AB → ＝AA 1→－AB →＝BA 1→， BA 1→＋BC →＝BD →1， ∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.]6．A [观察平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1可知，向量EF →，GH →，PQ →平移后可以首尾相连，于是EF →＋GH →＋PQ →＝0.] 7．7解析 |D'C'→|＝|DC →|＝|C'D'→|＝|CD →|＝|BA →| ＝|AB →|＝|B'A'→|＝|A'B'→|. 8．重心解析如图，取BC 的中点O ，AC 的中点D ，连结OG 、DG .由题意知AG →＝－BG →－CG →＝GB →＋GC→＝2GO →，同理BG →＝2GD →，故G 为△ABC 的重心． 9．3解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB ，CD 在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．11．解 (1) AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. (2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →，EF →＝GD →. ∴AB →＋GD →＋EC → ＝AB →＋EF →＋BE →＝AF →.故所求向量AD →，AF →，如图所示．12．D [AF →＝AC →＋CF →＝a ＋23CD →＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b .]13．证明如图所示，平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′，设点O 是AC ′的中点，则AO →＝12AC'→＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．则AP ＝AB →＋BP →＝AB →＋12BD'→＝AB →＋12(BA →＋BC →＋B B'→)＝AB →＋12(－AB →＋AD →＋AA'→)＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．同理可证：AM →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)AN →＝12(AB →＋AD →＋AA'→)．由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．。

人教版数学高二A版选修2-1学案三空间向量与立体几何

三空间向量与立体几何[学生用书P81]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是 OP →＝λ OA →＋μ OB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝x OA →＋y OB →＋z OC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)重要结论a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；②cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2. 4．空间向量的运算与线面位置关系的判定(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )． (2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则 l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，AB ，CD 是二面角αl β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．(ⅱ)如图②③，n 1，n 2分别是二面角αl β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．1．关注零向量(1)由于零向量与任意向量平行，所以由a ∥b ，b ∥c 无法推出a ∥c . (2)0a ＝0，而0·a ＝0.2．正确理解数量积的概念和运算性质(1)a ·b ＝a ·c (a ≠0)的本质是向量b ，c 在向量a 方向上的投影相等，b 与c 不一定相等． (2)求两个向量的夹角是求数量积的关键，也是易错点，如等边三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角为120°而不是60°.(3)两个非零向量a 和b 的夹角θ是锐角(或钝角)的充要条件是a ·b >0(或<0)且a 与b 不同向(或反向)．3．弄清立体几何中的“空间角”与“向量夹角”的联系与区别(1)利用直线的方向向量求异面直线所成的角，若方向向量的夹角是锐角或直角，则可直接将该结果作为所求角，若方向向量的夹角是钝角，则应将钝角的补角作为所求的角．(2)利用直线的方向向量和平面的法向量求线面角，若两个向量的夹角是锐角，则该锐角的余角为所求的线面角，若两个向量夹角是钝角，则该钝角减去90°为所求的线面角．(3)利用平面的法向量求二面角时，若法向量的夹角与二面角的平面角同为锐角或钝角，则法向量的夹角就是所求的二面角，否则法向量的夹角的补角才是所求的二面角．主题1 空间向量的运算[学生用书P82](1)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，A 1E →＝14A 1C 1→，若AE →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则x ＝________，y ＝________．(2)如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC →＝0，其中正确结论的序号是________．【解析】 (1)由题意知AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋14A 1C 1→＝AA 1→＋14(AB →＋AD →)，从而有x ＝1，y ＝14. (2)容易推出：SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2×cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2×cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 (1)1 14(2)③④空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向量共线的充要条件与平面向量的性质是一致的．(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特别地，空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →.1.已知A (3，4，5)，B (0，2，1)，O (0，0，0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B .⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D .⎝⎛⎭⎫65，45，85解析：选A.设点C 的坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )．因为AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，所以x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.故选A.2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CDD 1C 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB →－nAA 1→，则m ，n 的值分别为 ( )A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D .12，12解析：选 A.由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n＝－12，故选A.主题2 空间向量与线面位置关系[学生用书P83]如图所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .【证明】 (1)如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系Axyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b ，则有，P (0，0，a )，A (0，0，0)，D (0，a ，0)，C (b ，a ，0)，B (b ，0，0)，因为M ，N 分别为AB ，PC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2. 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2，AP →＝(0，0，a )，AD →＝(0，a ，0)，所以MN →＝12AD →＋12AP →.又因为MN ⊄平面P AD ，所以MN ∥平面P AD .(2)由第一问可知PC →＝(b ，a ，－a )，PM →＝⎝⎛⎭⎫b 2，0，－a ， PD →＝(0，a ，－a )．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n 1·PC→＝0⇒bx 1＋ay 1－az 1＝0，n 1·PM →＝0⇒b 2x 1－az 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a b z 1，y 1＝－z 1，令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·PC →＝0⇒bx 2＋ay 2－az 2＝0，n 2·PD →＝0⇒ay 2－az 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝z 2，令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．如图，长方体ABCD-A 1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D.(1)求证：A1C⊥平面AMN；(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置．解：(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB ⊥AM ，又因为AM ⊥A 1B ，A 1B ∩CB ＝B ，所以AM ⊥平面A 1BC ，所以A 1C ⊥AM ，同理可证A 1C ⊥AN ，又AM ∩AN ＝A ，所以A 1C ⊥平面AMN . (2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0，0，0)，A 1(2，2，3)，C 1(0，0，3)，CA 1→＝(2，2，3)，由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2，2，3)，设线段AA 1上存在一点P (2，2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2，2，t －3)，因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0，解得t ＝13，所以P ⎝⎛⎭⎫2，2，13，所以线段AA 1上存在一点P ⎝⎛⎭⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN . 主题3 空间向量与空间角[学生用书P84](2017·高考北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，P A ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．【解】(1)如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点．所以M为PB的中点．(2)取AD的中点O，连接OP，OE.因为P A＝PD，所以OP⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，且OP⊂平面P AD，所以OP⊥平面ABCD.因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD.如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，2)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，BD →＝(4，－4，0)，PD →＝(2，0，－2)．设平面BDP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝0，2x －2z ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，z ＝ 2. 于是n ＝(1，1，2)．平面P AD 的法向量为p ＝(0，1，0)．所以cos 〈n ，p 〉＝n·p |n||p |＝12.由题知二面角B －PD －A 为锐角，所以它的大小为π3.(3)由题意知M ⎝⎛⎭⎫－1，2，22，C (2，4，0)，MC →＝⎝⎛⎭⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则 sin α＝|cos 〈n ，MC →〉|＝|n ·MC →||n||MC →|＝269.所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269.用向量法求空间角应注意的问题(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．已知几何体EFG-ABCD，如图所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE 均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．(1)求证：BM⊥EF；(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，所以GD⊥DA，GD⊥DC.又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD.以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)．因为点M在边DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1)．可得，MB→＝(1，1，－t)，EF→＝(－1，1，0)，所以MB→·EF→＝1×(－1)＋1×1＋(－t)×0＝0，所以BM⊥EF.(2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°.设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，因为BE→＝(0，－1，1)，BF→＝(－1，0，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0n ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1，1，1)为平面BEF 的一个法向量，所以cos 〈n ，MB →〉＝n ·MB →|n ||MB →|＝2－t 3×2＋t 2.因为直线MB 与平面BEF 所成的角为45°，所以sin 45°＝|cos 〈n ，MB →〉|，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－t 3×2＋t 2＝22，解得t ＝－4±3 2. 又0≤t ≤1，所以t ＝32－4. 所以存在点M (0，0，32－4)．所以当点M 位于DG 上，且DM ＝32－4时，使得直线MB 与平面BEF 所成的角为45°.[学生用书P151(单独成册)][A 基础达标]1．已知a ＝(－3，2，5)，b ＝(1，5，－1)，则a ·(a ＋3b )＝( ) A ．(0，34，10) B ．(－3，19，7) C ．44D.23解析：选C.a ＋3b ＝(－3，2，5)＋3(1，5，－1)＝(0，17，2)，则a ·(a ＋3b )＝(－3，2，5)·(0，17，2)＝0＋34＋10＝44.2．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( ) A.AD 1→ B.AC 1→ C.AD →D.AB →解析：选A.AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.3.如图所示，在几何体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD中点，则AE的长为()A. 2B. 3C．2 D. 5解析：选B.AE→＝AB→＋BC→＋CE→，因为|AB→|＝|BC→|＝1＝|CE→|，且AB→·BC→＝AB→·CE→＝BC→·CE→＝0.又因为AE→2＝(AB→＋BC→＋CE→)2，所以AE→2＝3，所以AE的长为 3.故选B.4.如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，P A⊥平面ABCD，P A＝AB，则PB与AC所成的角是()A．90°B．60°C．45° D.30°解析：选B.将题中图补成正方体ABCD-PQRS，如图，连接SC，AS，则PB∥SC，所以∠ACS(或其补角)是PB与AC所成的角．因为△ACS为正三角形，所以∠ACS＝60°，所以PB与AC所成的角是60°，故选B.5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2，D为AA1上一点．若二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为()A.2B. 3 C．2 D.2 2解析：选A.如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0，0，0)，B 1(0，2，2)．设AD ＝a ，则点D 的坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)．设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为(0，1，0)，记为n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2.故选A. 6．已知平行六面体OABC -O ′A ′B ′C ′，OA →＝a ，OC →＝c ，OO ′→＝b ，D 是四边形OABC 的对角线的交点，则O ′D →＝________．解析：O ′D →＝OD →－OO ′→＝12(OA →＋OC →)－OO ′→＝12a ＋12c －b .答案：12a ＋12c －b7．已知平面α的一个法向量为n ＝(1，－1，0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为________．解析：y 轴的一个方向向量s ＝(0，1，0)，cos 〈n ，s 〉＝n ·s |n |·|s |＝－22，即y 轴与平面α所成角的正弦值是22，故其所成的角的大小是π4. 答案：π48．直角三角形ABC 的两条直角边BC ＝3，AC ＝4，PC ⊥平面ABC ，PC ＝95，则点P到斜边AB 的距离是________．解析：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4，0，0)，B (0，3，0)，P (0，0，95)，所以AB →＝(－4，3，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－4，0，95.所以AP →在AB →上的投影为|AP →·AB →||AB →|＝165，所以点P 到斜边AB 的距离d ＝|AP →|2－⎝⎛⎭⎫1652＝16＋8125－25625＝3.答案：39.如图，已知点P 在正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求异面直线DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解：如图，以D 为坐标原点，DA 为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1，0，0)，CC ′→＝(0，0，1)．连接BD ，B ′D ′，在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于点H . 设DH →＝(m ，m ，1)(m >0)，由〈DH →，DA →〉＝60°及DH →·DA →＝|DH →||DA →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1，解得m ＝22，所以DH →＝⎝⎛⎭⎫22，22，1.(1)因为cos 〈DH →，CC ′→〉＝11×2＝22，所以〈DH →，CC ′→〉＝45°，即异面直线DP 与CC ′所成的角为45°. (2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0，1，0)．因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，即DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.10．(2018·武汉高二检测)在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ACD 与△ACB 是边长为2的等边三角形，BE ＝2，BE 和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC的中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC.又平面ACD⊥平面ABC，所以DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，因为BE和平面ABC所成的角为60°，所以∠EBF＝60°，因为BE＝2，所以EF＝DO＝3，所以四边形DEFO是平行四边形，所以DE∥OF.因为DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0，3，0)，C(－1，0，0)，E(0，3－1，3)，所以BC→＝(－1，－3，0)，→＝(0，－1，3)，BE平面ABC的一个法向量为n1＝(0，0，1)，设平面BCE的法向量为n2＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x －3y ＝0－y ＋3z ＝0，取z ＝1，所以n 2＝(－3，3，1)．所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1313，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E -BC -A 的余弦值为1313. [B 能力提升]11.(2018·河南洛阳模拟)如图，已知三棱锥A -BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD ＝BD ＝2，CD ＝23，E ，F 分别是AC ，BC 的中点，P 为线段BC 上一点，且CP ＝2PB .(1)求证：AP ⊥DE ；(2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．解：(1)证明：作PG ∥BD 交CD 于G .连接AG . 所以CG GD ＝CPPB ＝2，所以GD ＝13CD ＝233.因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥DC ，因为在△ADG 中，tan ∠GAD ＝33，所以∠DAG ＝30°，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝4＋12＝16，所以AC ＝4，又E 为AC 的中点，所以DE ＝AE ＝2，又AD ＝2，所以∠ADE ＝60°，所以AG ⊥DE .因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥BD ，又因为BD ⊥CD ，AD ∩CD ＝D ，所以BD ⊥平面ADC ，所以PG ⊥平面ADC ，所以PG ⊥DE .又因为AG ∩PG ＝G ，所以DE ⊥平面AGP ，又AP ⊂平面AGP ，所以AP ⊥DE .(2)以D 为坐标原点，DB 、DC 、DA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0，0，0)，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，23，0)，E (0，3，1)，F (1，3，0)，所以DF →＝(1，3，0)，DE →＝(0，3，1)，AC →＝(0，23，－2)．设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧DF →·n ＝0，DE →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝0，3y ＋z ＝0，令x ＝3，则n ＝(3，－3，3)．设直线AC 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈AC →，n 〉|＝|AC →·n ||AC →|·|n |＝|－6－6|421＝217，所以AC 与平面DEF 所成角的正弦值为217. 12．(2017·高考山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵的中点．(1)设P 是CE ︵上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP ，又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP ，又∠EBC ＝120°，因此∠CBP ＝30°.(2)法一：取EC ︵的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为∠EBC ＝120°，所以四边形BEHC 为菱形，所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32＋22＝13.取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ，则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，所以∠EMC 为所求二面角的平面角．又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3.在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12，所以EC ＝23，因此△EMC 为等边三角形，故所求的角为60°. 法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →＝(2，0，3)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0.取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12.因此所求的角为60°.13．(选做题)如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A -MC -B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz .则A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，所以AP →＝(0，3，4)，BC →＝(－8，0，0)，由此可得AP →·BC →＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)假设存在满足题意的点M ，设PM →＝λP A →，0≤λ<1，则PM →＝λ(0，－3，－4)，所以BM →＝BP →＋PM →＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)＝(－4，－2－3λ，4－4λ)， AC →＝(－4，5，0)．设平面BMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧BM →·n 1＝0BC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－（2＋3λ）y 1＋（4－4λ）z 1＝0－8x 1＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ. 由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3y 2＋4z 2＝0－4x 2＋5y 2＝0，即⎩⎨⎧x 2＝54y 2z 2＝－34y2，可取n 2＝(5，4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3×2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25，故AM ＝35|AP →|＝35×32＋42＝3.综上所述，线段AP 上存在点M 符合题意，此时AM ＝3.。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业第三章空间向量与立体几何 3.1.1 Word版含答案

第三章空间向量与立体几何
§空间向量及其运算
空间向量及其加减运算
课时目标
．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
．几类特殊向量
()零向量：的向量叫做零向量，记为．
()单位向量：的向量称为单位向量．
()相等向量：方向且模的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
()相反向量：与向量长度而方向的向量，称为的相反向量，记为．
．空间向量的加减法与运算律
空间向量
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
的加减法
＝＋＝；＝－＝.
加法运
算律 ()交换律：＋＝ ()结合律：(＋)＋＝.；
一、选择题
．下列命题中，假命题是()
. 向量与的长度相等
．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
．只有零向量的模等于
．共线的单位向量都相等
.如图所示，平行四边形的对角线的交点为，则下列等式成立的是
()
. ＋＝＋＝
－＝－＝
.已知是△所在平面内一点，为边中点且＋＋，则等于() OD →OD →
.已知向量，，满足＝＋，则()
. ＝＋＝－－
与同向 .与与同向
.在正方体—中，向量表达式化简后的结果是()
.1D B .1B D .1DB
．平行六面体—中，，，，，，分别是，，，，，的中点，则() .EF →
＋＋＝.EF →－－＝ .EF →＋－＝ .EF →
－＋＝二、填空题。

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章空间向量与立体几何章末总结 Word版含答案

章末总结知识点一空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础．【例1】沿着正四面体O －ABC 的三条棱OA 、OB →、OC →的方向有大小等于1、2和3的三个力f 1，f 2，f 3.试求此三个力的合力f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值．知识点二证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决．例2如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．(1)用向量法证明平面A1BD∥平面B1CD1；(2)用向量法证明MN⊥面A1BD.例3如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°.例4正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.知识点三空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或证出)所求空间角的平面角，费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量．即可求解，体现了向量法极大的优越性．例5如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M为B1C1上一点且B1M＝2，点N在线段A1D上，A1D⊥AN.(1)cos〈1A D，AM→〉；(2)求直线AD与平面ANM所成角的余弦值；(3)求平面ANM与平面ABCD所成角的余弦值．知识点四空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法向量求解，或者利用等积求高的方法求解．例6如图，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，P A＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求二面角P—CD—B的大小；(2)求证：平面MND⊥平面PCD；(3)求点P到平面MND的距离．章末总结重点解读例1 解如图所示，用a ，b ，c 分别代表棱OA →、OB →、OC →上的三个单位向量，则f 1＝a ，f 2＝2b ，f 3＝3c ，则f ＝f 1＋f 2＋f 3＝a ＋2b ＋3c ，∴|f |2＝(a ＋2b ＋3c )(a ＋2b ＋3c )＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2＋4a·b ＋6a·c ＋12b·c＝14＋4cos 60°＋6cos 60°＋12 cos 60°＝14＋2＋3＋6＝25，∴|f |＝5，即所求合力的大小为5.且cos 〈f ，a 〉＝f·a |f |·|a |＝|a |2＋2a·b ＋3a·c 5＝1＋1＋325＝710，同理可得：cos 〈f ，b 〉＝45，cos 〈f ，c 〉＝910. 例2 证明 (1)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BD →＝AD →－AB →，B 1D 1→＝A 1D 1→－A 1B 1→，又∵AD →＝A 1D 1→，AB →＝A 1B 1→，∴BD →＝B 1D 1→.∴BD ∥B 1D 1.同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2) MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝12AB →＋AD →＋12(CB →＋CC 1→) ＝12AB →＋AD →＋12(－AD →＋AA 1→) ＝12AB →＋12AD →＋12AA 1→. 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝12(a ＋b ＋c )．又BD →＝AD →－AB →＝b －a ，∴MN →·BD →＝12(a ＋b ＋c )(b －a )＝12(b 2－a 2＋c·b －c·a )．又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c·b ＝0，c·a ＝0.又|b |＝|a |，∴b 2＝a 2，∴b 2－a 2＝0.∴MN →·BD →＝0，∴MN ⊥BD .同理可证，MN ⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ，∴MN ⊥平面A 1BD .例3 解建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)．则BD →＝(－1，－1,0)，BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝＝22＋m 2·2. 依题意得22＋2m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝33. 故当m ＝33时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 例4 证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫1，1，12、D 1(0,0,1)、F ⎝⎛⎭⎫0，12，0、A (1,0,0)． ∴DA →＝(1,0,0)＝D 1A 1→，DE →＝⎝⎛⎭⎫1，1，12， D 1F →＝⎝⎛⎭⎫0，12，－1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面AED 和A 1FD 1的一个法向量．⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0x 1＋y 1＋12z 1＝0. 令y 1＝1，得m ＝(0,1，－2)．又由⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝012y 2－z 2＝0，令z 2＝1，得n ＝(0,2,1)．∵m·n ＝(0,1，－2)·(0,2,1)＝0，∴m ⊥n ，故平面AED ⊥平面A 1FD 1.例5 解 (1)建立空间直角坐标系(如图)．则A (0,0,0)，A 1(0,0,4)，D (0,8,0)，M (5,2,4)．∴AM →＝(5,2,4)，A 1D →＝(0,8，－4)．∴AM →·A 1D →＝0＋16－16＝0，∴AM →⊥A 1D →.∴cos 〈A 1D →，AM →〉＝0.(2)∵A 1D ⊥AM ，A 1D ⊥AN ，且AM ∩AN ＝A ， ∴A 1D →⊥平面ANM ，∴A 1D →＝(0,8，－4)是平面ANM 的一个法向量．又AD →＝(0,8,0)，|A 1D →|＝45，|AD →|＝8，A 1D →·AD →＝64，∴cos 〈A 1D →，AD →〉＝6445×8＝25＝255. ∴AD 与平面ANM 所成角的余弦值为55. (3)∵平面ANM 的法向量是A 1D →＝(0,8，－4)，平面ABCD 的法向量是a ＝(0,0,1)，∴cos 〈A 1D →，a 〉＝－445＝－55. ∴平面ANM 与平面ABCD 所成角的余弦值为55. 例6 (1)解 ∵P A ⊥平面ABCD ，由ABCD 是正方形知AD ⊥CD .∴CD ⊥面P AD ，∴PD ⊥CD .∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角． ∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，即二面角P —CD —B 的大小为45°. (2)如图，建立空间直角坐标系，则P (0,0,2)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，M (1,0,0)，∵N 是PC 的中点，∴N (1,1,1)，∴MN →＝(0,1,1)，ND →＝(－1,1，－1)，PD →＝(0,2，－2)．设平面MND 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)．∴m ·MN →＝0，m ·ND →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋z 1＝0，－x 1＋y 1－z 1＝0. 令z 1＝1，得x 1＝－2，y 1＝－1.∴m ＝(－2，－1,1)．同理，由n ·ND →＝0，n ·PD →＝0，即有⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋y 2－z 2＝0，2y 2－2z 2＝0. 令z 2＝1，得x 2＝0，y 2＝1，∴n ＝(0,1,1)． ∵m·n ＝－2×0＋(－1)×1＋1×1＝0，∴m ⊥n .∴平面MND ⊥平面PCD .(3)设P 到平面MND 的距离为d .由(2)知平面MND 的法向量m ＝(－2，－1,1)， ∵PD →·m ＝(0,2，－2)·(－2，－1,1)＝－4，∴|PD →·m |＝4，又|m |＝－2＋－2＋12＝6， ∴d ＝＝46＝263. 即点P 到平面MND 的距离为263.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7122．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A ．25B ．105C ．155D ．2153．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD B λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．如图，在几何体111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，111////AA BB CC ，1AA ⊥平面ABC ，若E 是棱11B C 的中点，且1112AB AA CC BB ===，则异面直线1A E 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．1313B ．21313C ．2613D ．226135．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．()0,63D ．()63,+∞6．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两互相垂直，1AB AC AA ==，M ，N 是线段1BB ，1CC 上的点，平面AMN 与平面ABC 所成（锐）二面角为6π，当1B M 最小时，AMB ∠=（）A ．512π B ．3πC ．4π D ．6π 7．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且1(02)AG λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为( )A ．23B 2C ．223λD 258．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等；③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形（） A ．1B ．2C ．3D ．49．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A ．3λB ．22C ．23λ D ．5510．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，12BC AA ==，点,E O 分别是线段1,C C BC 的中点，1113A F A A =，分别记二面角1F OB E --，1F OE B --，1F EB O --的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（）A ．γβα>>B ．αβγ>>C ．αγβ>>D ．γαβ>>11．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（） A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--12．已知a =（λ+1，0，6），b =（2λ+1，2μ﹣1，2）．若//a b ，则λ与μ的值分别为（） A ．﹣5，﹣2B ．1152--，C ．5，2D ．2152-，二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =A 到平面11BD A的距离为_______ .14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．15．在空间四边形ABCD 中，E F 、分别是AB CD 、中点，且5,EF =又6,8AD BC ==，则AD 与BC 所成角的大小为____________.16．在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中,E 为1AB 的中点,在面ABCD 中取一点F ,使1EF FC +最小,则最小值为__________.17．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）.①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形； ③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S 618．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________.19．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，面11A ADD ⊥面ABCD ，底面ABCD 为矩形，2AD =，3CD =，面11A D DA 为菱形，160A AD ∠=，O 是AD 的中点，M 为CD 的中点，问AN =_______时，面DNC ⊥面1AOM ．20．如图，直三棱柱111ABC A B C -中,12AA =，1AB BC ==， 90ABC ∠=︒，外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点.有下列判断：① 直线AC 与直线1C E 是异面直线；②1A E 一定不垂直1AC ； ③ 三棱锥1E AAO -的体积为定值； ④1AE EC +的最小值为22. 其中正确的序号序号是______.三、解答题21．如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，ABC 是边长为6的等边三角形，D ，E 分别为AA 1，BC 的中点.（1）证明：AE //平面BDC 1；（2）若123AA =DE 与平面BDC 1所成角的正弦值. 22．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 上的点．（1）当E 是PD 的中点时，求证：//PB 平面AEC ；（2）设1==PA AB ，3PC =，若直线PC 与平面AEC 所成角的正弦值为13，求PE 的长．24．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，4OA =，3OB =，4OP =，OP ⊥底面ABCD ，设点M 是PC 的中点．（1）直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值．（2）点A 到平面BDM 的距离．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，13BC =．（1）证明：BC 1⊥AC ．（2）E 是棱CC 1的中点，求直线B 1C 与平面ABE 所成角的正弦值． 26．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AD BC ，90ADC ∠=︒，PA PD ⊥，PA PD =.（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若1BC =，2AD CD ==，求二面角A PC B --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解．【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--，1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ．【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=． 2．C解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AG x y n AE x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，z = 所以，平面AGE的一个法向量为(1,2,n =-，从而cos ,22n BG n BG n BG⋅<>===⋅，故直线BG 与平面AGE =.故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意，所以103λ≤<，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.4．C解析：C 【解析】【分析】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值【详解】以C 为原点，在平面ABC 内过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝CC 1＝2BB 1＝2，则A 1（3，1，2），A （310，，），C 1（0，0，2），B 1（0，2，1），E （0，1，32）， 1A E =（3-，0，12-），1AC =（3-，﹣1，2），设异面直线A 1E 与AC 1所成角为θ，则cosθ1111226131384A E AC A E AC ⋅===⋅⋅． ∴异面直线A 1E 与AC 1所成角的余弦值为2613．故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6．B解析：B【分析】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AMB ∠的大小．【详解】以A 为原点，AC 为x 轴，AB 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设1=1AB AC AA ==，设CN b =，BM a =，则(1N ，0，)b ，(0M ，1，)a ，(0A ，0，0)，(0B ，1，0)， (0AM =，1，)a ，(1AN =，0，)b ，设平面AMN 的法向量(n x =，y ，)z ，·0·0AM n y az AN n x bz ⎧=+=⎨=+=⎩，取1z =，得(n b =-，a -，1)，平面ABC 的法向量(0m =，0，1)，平面AMN 与平面ABC 所成（锐)二面角为6π，22||1cos 6||||1m n m n a b π∴==++，解得22331a b +=， ∴当|1|B M 最小时，0b =，33BM a ==， 1tan 333AB AMB BM ∴∠===， 3AMB π∴∠=．故选B ．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7．D解析：D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点G 到平面1D EF 的距离 .【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴、1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()12,,2,0,0,2,2,0,1,2,2,1G D E F λ，()()()12,0,1,0,2,0,0,,1ED EF EG λ=-==，设平面1D EF 的法向量(),,n x y z =，则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，取1x =，得()1,0,2n =， ∴点G 到平面1D EF 的距离为25EG nd n ⋅===，故选D. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求点到平面的距离，是中档题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.8．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 9．D解析：D【分析】由几何体为正方体，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面D 1EF 的法向量n ，结合向量的点到平面距离公式求得点M 到平面D 1EF 的距离，结合N 为EM 中点即可求解【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||225||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55 故选：D ．【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题 10．D 解析：D【分析】过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值得答案．【详解】解：因为1AB AC ==，12BC AA ==222AB AC BC +=，即AB AC ⊥ 过点C 作//Cy AB ，以C 为原点，CA 为x 轴，Cy 为y 轴，1CC 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1F ，022)，1(2O ，12，0)，(0E ，02，1(1B ，12)， 111(,2)22OB =，112(,22OE =--， 1122(,22OF =-，12EB =，2)EF =，设平面1OB E 的法向量(),,m x y z =，则111·2022112·0222m OB x y z m OE x y z ⎧=++=⎪⎪⎨⎪=--+=⎪⎩，取1x =，得()1,1,0m →=-，同理可求平面1OB F 的法向量(52,2,3)n =--，平面OEF 的法向量272(,,3)22p =-，平面1EFB 的法向量2(,2,3)2q =--． ∴461cos 61||||m n m n α==，434cos 34||||m p m p β==，46cos 46||||m q m q γ==． γαβ∴>>．故选：D ．【点睛】本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．11．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上；对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．12．D解析：D【分析】利用共线向量的性质直接求解．【详解】(1a λ=+，0，6)，(21b λ=+，21μ-，2)，//a b ，∴6(21)2(1)λλ+=+，且021μ=-，解得25λ=-，12μ=． λ∴与μ的值分别为21,52-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了空间中共线向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题13．【分析】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求解到平面的距离【详解】以为原点为轴为轴为轴建立空间直角坐标系则所以设平面的法向量为则取得所以到平面的距离故答案为：【点睛】本题主要考查了【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，即可求解A 到平面11BD A 的距离【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2)A A B D , 所以11(0,1,2),(1,1,2),(0,1,0)BA BD BA =-=--=-，设平面11BD A 的法向量为(,,)n x y z =，则112020n BA y z n BD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取1z =，得(0,2,1)n =，所以A 到平面11BD A 的距离2633n BAd n ⋅===. 故答案为：63．【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在立体几何中的应用，合理利用空间向量运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为 30【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM AN30cos BM,AN 56BM AN ⋅∴===⨯⋅ ∴异面直线BM 与AN 30 故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几解析：90【分析】将,AD BC 平移到一起，利用勾股定理求得线线角为90.【详解】解：取BD 中点G ，连接EG FG 、，ABD 中，,E G 分别为,AB BD 的中点，//EG AD ∴且132EG AD ==，同理可得//,FG BC 且142FG BC ==， EG ∴与FG 所成的直角或锐角就是异面直线AD 与BC 所成角， EFG △中，3,4,5EG GF EF ===，222EG FG EF ∴+=，得90,EGF ∠=︒即异面直线AD 与BC 所成角等于90，故答案为：90.【点睛】方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.16．【解析】如图将正方体关于面对称则就是所求的最小值解析：142. 【解析】如图，将正方体1111ABCD A BC D -关于面ABCD 对称，则1EC 就是所求的最小值，2221131141242EC EN NC ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭． 17．①②④【解析】①项时为而时线段上同理存在一点与平行此时为四边形且是梯形故命题①为真；②项是等腰梯形故命题②为真；③项当时如图所示∵点是的中点∴∴∴与的交点满足故命题③为假④项如图所示为五边形故命题④解析：①②④【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ，而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行，此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；②项，1AP D Q =，1AD PQ ，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项当34CQ =时，如图所示，0AP DC ⋂=， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==，∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =，故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；⑤项，如图所示，S 为菱形，面积为221526222222⎛⎫⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．18．3【详解】∵且平面与平面的法向量分别为∴解得：解析：3 【详解】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=-⋅-=--+=，解得：3z =．19．【分析】证明出平面然后以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系设点利用空间向量法结合面面可求得的值即可得出结论【详解】因为四边形为菱形则为的中点由余弦定理可得平面平面平面平面平面所以平面以点解析：43【分析】证明出1AO ⊥平面ABCD ，然后以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()1,,0N t ，利用空间向量法结合面DNC ⊥面1AOM 可求得t 的值，即可得出结论. 【详解】因为四边形11A D DA 为菱形，2AD =，则12AA =，O 为AD 的中点，160A AD ∠=，1AO ∴=，由余弦定理可得22211112cos 3AO AA AO AA AO A AD =+-⋅∠=，22211AO AO AA ∴+=， 1AO AD ∴⊥，平面11A ADD ⊥平面ABCD ，平面11A ADD 平面ABCD AD =，1AO ⊂平面11A ADD ，所以，1AO ⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，OA 、1OA 所在直线分别为x 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0O、(13A 、31,,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()1,0,0D -、(13C -,设点()1,,0N t ，设平面DNC 的法向量为()111,,m x y z =，()2,,0DN t =，(13DC =-，由11111120330m DN x ty m DC x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取13x t =，则123y =-16z t =+，可得()3,23,6m t t =-+，设平面1AOM 的法向量为()222,,n x y z =，(13OA =，31,,02OM ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由12223032n OA z n OM x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取23x =，则22y =，20z =，可得()3,2,0n =，因为平面DNC ⊥平面1AOM ，则()3322333430m n t t ⋅=⨯+⨯-=-=，解得43t =. 因此，当43AN =时，平面DNC ⊥平面1AOM . 故答案为：43. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用面面垂直求线段长度，解题的关键在于建立合适的空间直角坐标系，将面面垂直的问题转化为法向量垂直来求解.20．①③④【分析】由题意画出图形由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x 列出AE+EC1关于x 的函数式结合其几何意义求出最小值判断④【详解解析：①③④ 【分析】由题意画出图形，由异面直线的概念判断①；利用线面垂直的判定与性质判断②；找出球心，由棱锥底面积与高为定值判断③；设BE ＝x ，列出AE +EC 1关于x 的函数式，结合其几何意义求出最小值判断④．【详解】如图，∵直线AC 经过平面BCC 1B 1内的点C ，而直线C 1E 在平面BCC 1B 1内不过C ， ∴直线AC 与直线C 1E 是异面直线，故①正确；当E 与B 重合时，AB 1⊥A 1B ，而C 1B 1⊥A 1B ， ∴A 1B ⊥平面AB 1C 1，则A 1E 垂直AC 1，故②错误；由题意知，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球的球心为O 是AC 1 与A 1C 的交点，则△AA 1O 的面积为定值，由BB 1∥平面AA 1C 1C ，∴E 到平面AA 1O 的距离为定值，∴三棱锥E ﹣AA 1O 的体积为定值，故③正确；设BE ＝x ，则B 1E ＝2﹣x ，∴AE +EC 12211(2)x x =++-由其几何意义，即平面内动点（x ，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值知，其最小值为④正确．故答案为①③④ 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题三、解答题21．（1）证明见解析；（2）20. 【分析】（1）以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明//AE 平面1BDC ．（2）求出平面1BDC 的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出DE 与平面1BDC 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：以A 为原点，过A 在平面ABC 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0A ，0，0)，B 3，0)，(0C ，6，0)，E ，92，0)，设12AA t =，(0D ，0，)t ，1(0C ，6，2)t ， 33(2AE =，92，0)，(33DB =3，)t -，1(0DC =，6，)t ，设平面1BDC 的法向量(n x =，y ，)z ，则1333060n DB x y tz n DC y tz ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，则(3n =-，1，6)t -，0AE n ⋅=，AE ⊂/平面1BDC， //AE ∴平面1BDC ．（2）1CC =，(0D，0，33(2DE =，92，，由（1）知，平面1BDC 的法向量(3n =-，1，，即(3n =-，1，-，设DE 与平面1BDC 所成角为θ，则DE 与平面1BDC 所成角的正弦值为：||6sin ||||430DE n DE n θ⋅===⋅．【点睛】方法点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．（1）证明见解析；（2）23. 【分析】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，由平面几何证得四边形CMEF 为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；（2）由已知以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，运用二面角的向量求解方法可求得平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）取线段AD 的中点M ，连结CM ，EM ，则//AM BC=，∴四边形ABCM 为平行四边形，//AB MC∴=，四边形ABEF 为矩形 //AB EF ∴=，//MC EF∴=， ∴四边形CMEF 为平行四边形，//CF EM∴=，又CF ⊂/平面ADE ，M E ⊂平面ADE ， //CF ∴平面ADE ；（2）点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ．EA ∴⊥平面ABCD ，如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -，则(2,2,0)C ，(0,4,0)D ，(2,0,4)F ，(0,4,0)AD ∴=，(2,2,0)CD =-，(0,2,4)CF =-设(,,)n x y z =是平面CDF 的一个法向量，则00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩即020x y y z -=⎧⎨-=⎩，令2y =，解得21x z =⎧⎨=⎩，(2,2,1)n ∴=，又AD 是平面AEFB 的一个法向量，2cos ,3||||n AD n AD n AD ⋅∴〈〉==⋅，∴平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值为23．【点睛】方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围()0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值. 23．（1）证明见解析；（2）22PE =. 【分析】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，由//OE PB 即可证明；（2）建立空间坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）连接BD ，使AC 交BD 于点O ，连接EO ，因为O ，E 分别为BD ，PD 的中点，所以//OE PB又OE ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，由1PA =，3PC =，得2AC =，因为底面ABCD 为菱形且1AB =，所以222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以底面ABCD 为正方形，从而,,AB AD AP 两两互相垂直，分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，(0,0,1)P ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，不妨设(0,1,1)PE PD λλ==-，所以(0,0,1)(0,,)(0,,1)AE AP PE λλλλ=+=+-=-，(1,1,0)AC =，(1,1,1)PC =-，设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，由()100n AEy z x y n AC λλ⎧⊥⎧+-=⎪⇒⎨⎨+=⊥⎩⎪⎩，令1x =，则1y =-，1z λλ=-，所以1,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，设直线PC 与平面AEC 所成角为α，则21sin |cos ,|||||3111PC nPC n PC n λλαλλ⋅-=〈〉==⋅⎛⎫++ ⎪-⎝⎭．由1sin 3α=，解方程得12λ=，故22PE =．【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后求直线与法向量的夹角，取绝对值可得线面角的正弦值． 24．（1）225；（2）22．【分析】（1）根据题意可知OA ，OB ，OP 两两垂直，建立空间直角坐标系，根据题所给的长度可算出面BDM 的法向量和PB 的坐标，再根据线面夹角的向量法，代入公式可得最后答案.（2）根据（1）可知AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标，根据公式n nAM ⋅，即可求出点A 到平面BDM 的距离. 【详解】（1）∵四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又OP ⊥面ABCD ，OA ∴，OB ，OP 两两垂直，∴以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，根据题可知4OA =，3OB =，4OP =，且M 为PC 中点，(4,0,0)A ∴，(0,3,0)B ，(0,3,0)D -，(0,0,4)P ，(4,0,0)C -，(2,0,2)M -， (0,3,4)PB ∴=-，(2,3,2)BM =--，(0,6,0)BD =-，设面BDM 的法向量为(),,n x y z =，00n BM n BD ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，232060x y z y --+=⎧∴⎨-=⎩，0y ∴=，令1x =，则1z =，()1,0,1n ∴=， 422cos 5||||25n PB n PB n PB ⋅∴〈⋅〉===⋅⋅，∴直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值为25；（2）由（1）可知(6,0,2)AM =-，面BDM 的一个法向量为(1,0,1)n =，∴点A 到平面BDM 的距离4|||cos |||2n AM d AM n AM n ⋅=⋅〈⋅〉=== ∴点A 到平面BDM 的距离为【点睛】方法点睛：（1）求直线PB 与平面BDM 所成角的正弦值用向量法：建立空间直角坐标系、求出PB 和平面BDM 的法向量n 的坐标、根据公式cos ||||n PBn PB n PB ⋅〈⋅〉=⋅求解；（2）求点A 到平面BDM 的距离用向量法：建立空间直角坐标系、在平面BDM 上找一点如M 点、求出AM 的坐标和面BDM 的一个法向量n 坐标、根据公式|||cos |AM n AM ⋅〈⋅〉求解.25．（1）证明见解析；（2）14. 【分析】（1）根据题意及线面垂直的判定定理，可证明AB ⊥平面BCC 1B 1，即AB ⊥BC 1，根据勾股定理，可证明BC ⊥BC 1，即可证明BC 1⊥平面ABC ，根线面垂直的性质定理，即可得证；（2）如图建系，求得所需点的坐标，进而求得,BA BE ，1BC 向量坐标，即可求得平面ABE 的法向量m 的坐标，根据线面角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为ABC 是直角三角形，所以AB ⊥BC ．因为侧面11ABB A 是矩形，所以AB ⊥BB 1．因为BC ∩BB 1＝B ，所以AB ⊥平面BCC 1B 1，又因为1BC ⊂平面BCC 1B 1，所以AB ⊥BC 1．因为BC ＝1，BB 1＝CC 1＝2，1BC 所以22211BC BC CC +=，所以BC ⊥BC 1．因为BC ∩AB ＝B ，所以BC 1⊥平面ABC ．因为AC ⊂平面ABC ．所以BC 1⊥AC ．（2）由（1）知，BC ，BA ，BC 1两两垂直，故以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BC 1为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则B （0，0，0），C （1，0，0），A （0，1，0），1302E ⎛ ⎝⎭，，(1103B -，． (01302,1,0),BA BE =⎛ ⎝⎭=，，1BC =（2，0，3- 设面ABE 的法向量为()111m x y z =，，，由00m BA m BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得11101302y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，，，令z 1＝1，得()301m =-，，．设直线B 1C 与平面ABE 所成角的大小为θ，则11sin m B C m B Cθ⋅=⋅3332127==⨯ 所以直线B 1C 与平面ABE 321．【点睛】解题是关键是熟练掌握线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，在用向量法求线面角时，法向量与直线的方向向量所成角的余弦值，即为线面角的正弦值，考查推理证明，计算求值的能力，属中档题. 26．（1）证明见解析；（2）155. 【分析】（1）由面面垂直的性质得CD ⊥平面PAD ，从而得CD PA ⊥，再由PA PD ⊥即可得出PA ⊥平面PCD ，即得证；（2）取AD 中点O ，连接OP ，OB ，以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .因为PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥.因为PA PD ⊥，CDPD D =，CD ，PD ⊂平面PCD ，所以PA ⊥平面PCD .因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD .（2）解：取AD 中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PD =，所以.PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，因为PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PO OA ⊥，PO OB ⊥.因为CD AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =，所以//BC OD ，BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形，所以//OB CD ，所以OB AD ⊥.以OA ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,0O ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()1,2,0C -，()0,0,1P ，所以()2,2,0AC =-，()1,0,1AP =-，()1,0,0BC =-，()0,2,1BP =-设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，则00AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则()1,1,1n =. 设平面BPC 的法向量为(),,m a b c =，则00BC m BP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020a b c =⎧⎨-+=⎩，令1b =，则()0,1,2m =. 所以15cos ,5||||m n m n m n ⋅〈〉==⋅.易判断二面角A PC B --为锐角，所以二面角A PC B --的余弦值为5. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形（） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ；（2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ，而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°．故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =，故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452．【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心．（2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

2017-2018学年高中数学选修2-1- 课时达标训练二十一

课时达标训练(二十一)空间向量的数量积1．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB与AC的夹角为________．2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.3．若AB＝(－4,6，－1)，AC＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a⊥AB，a⊥AC，则a＝________________________________________________________________________.4．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.5．如图，120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．6．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．(1)若(k a＋b)∥(a－3b)，求k的值；(2)若(k a＋b)⊥(a－3b)，求k的值．7．已知A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求△ABC的面积．8．在长方体OABC－O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，E是BC的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．答案1．解析：AB ＝(0,3,3)，AC ＝(－1,1,0)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝332×2＝12，∴〈AB ，AC 〉＝60°. 答案：60°2．解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：61 3．解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎨⎧ a·AB ＝0，a ·AC ＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)，q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.答案：－15．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴AC ·AB ＝0，BD ·AB ＝0.又∵二面角为120°，∴〈CA ，BD 〉＝60°，∴CD 2＝|CD |2＝(CA ＋AB ＋BD )2＝CA 2＋AB 2＋BD 2＋2(CA ·AB ＋CA ·BD ＋AB ·BD )＝164，∴|CD |＝241. 答案：2416．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.7．解：∵AB ＝(1,1,1)，AC ＝(2,1,3)，∴|AB |＝3，|AC |＝14，AB ·AC ＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC|AB ||AC | ＝63×14＝427，∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77，∴S △ABC ＝12|AB ||AC |sin ∠BAC＝12×3×14×77＝62.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系．(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)，∴1AO ＝(－2,0,2)，1B E ＝(－1,0，－2)，∴cos 〈1AO ，1B E 〉＝－2210＝－1010.故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010.(2)由题意得1O D ⊥AC ，AD ∥AC ，∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)，∴1O D ＝(x ，y ，－2)，AD ＝(x －2，y,0)，AC ＝(－2,3,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213，∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0.O 1D ＝|1O D |＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝ 1 144132＝228613.。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

课时达标训练（二十一）1．如图所示的多面体中，正方形BB 1C 1C 所在平面垂直平面ABC ，△ABC 是斜边AB ＝2的等腰直角三角形，B 1A 1∥BA ，B 1A 1＝12BA .(1)求证：C 1A 1⊥平面ABB 1A 1；(2)求直线BC 1与平面AA 1C 1所成的角的正弦值．2．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，AB ＝2BC ＝4，BF ＝CF ＝AE ＝DE ，EF ＝2，EF ∥AB ，AF ⊥CF ，G 为FC 的中点．(1)证明：AF ∥平面BDG ；(2)求平面ABF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值．3．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝12AB ，点E 是棱AB 上一点，且AEEB＝λ.(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)是否存在λ，使得二面角D 1EC D 的平面角为π4？并说明理由．4．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2AD ＝4，点E ，F ，G 分别是AB ，CD ，BC 的中点，沿EF 将四边形ADFE 折起，使得平面ADFE ⊥BCFE ，形成如图所示的多面体ABCDFE .(1)求证：BD ⊥EG ；(2)求平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值．5．在边长为3的正△ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，且满足AE ＝CF ＝CP ＝1(如图1)．将△AEF 沿EF 折起到△A 1EF 的位置，连接A 1B ，A 1P (如图2)，使平面A 1EF ⊥平面BPE .(1)求证：A 1E ⊥平面BEP ；(2)求直线A 1E 与平面A 1BP 所成角的大小．6．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，A 1A ＝4，AB ＝AC ＝2.F 为棱AA 1上的动点，D 是BC 1上的点且BD ＝DC 1.(1)若DF ∥平面ABC ，求AFF A 1的值；(2)当AF F A 1的值为多少时，直线A 1C 1与平面BFC 1所成角的正弦值为338？答案1. 解：易知CA ，CB ，CC 1两两垂直，且CA ＝CB ＝CC 1＝1，故以C 为原点，以CA 为x 轴建立空间直角坐标系如图所示，则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C 1(0，0，1)，A 1⎝⎛⎭⎫12，12，1，∴C 1A 1⊥AA 1，C 1A 1⊥AB . 又∵AA 1∩AB ＝A ，∴C 1A 1⊥平面ABB 1A 1.(2)设平面AA 1C 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，12x ＋12y ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，1)．又＝(0，－1，1)，设直线BC 1与平面AA 1C 1所成的角为θ，2. 解：(1)证明：连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ， ∵点G 为FC 的中点，∴OG ∥AF .∵AF ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴AF ∥平面BDG .(2)取AD 的中点M ，BC 的中点Q ，连接MQ ，则MQ ∥AB ∥EF ， ∴M ，Q ，F ，E 共面．作FP ⊥MQ 于P ，EN ⊥MQ 于N ，则EN ∥FP 且EN ＝FP . 连接EM ，FQ ，∵AE ＝DE ＝BF ＝CF ，AD ＝BC ， ∴△ADE ≌△BCF ，∴EM ＝FQ ， ∴Rt △ENM ≌Rt △FPQ ， ∴MN ＝PQ ＝1.∵BF ＝CF ，Q 为BC 中点， ∴BC ⊥FQ .又BC ⊥MQ ，FQ ∩MQ ＝Q ， ∴BC ⊥平面MQFE ， ∴PF ⊥BC ， ∴PF ⊥平面ABCD .以P 为原点，PM 所在直线为x 轴，PF 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A (3，1，0)，B (－1，1，0)，C (－1，－1，0)，设F (0，0，h )(h >0)，则＝(－3，－1，h )，＝(1，1，h )．∵AF ⊥CF ， ∴·＝0，解得h ＝2. 则＝(－3，－1，2)，＝(1，－1，2)，设平面ABF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，令z 1＝1，得x 1＝0，y 1＝2， ∴n 1＝(0，2，1)．同理得平面 BCF 的一个法向量为n 2＝(－2，0，1)． ∴|cos 〈n 1，n 2〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝15×5＝15，∴平面ABF 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为15.3. 解：(1)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，则D (0，0，0)，A (1，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，2，1)，C 1(0，2，1)，D 1(0，0，1)．因为AEEB ＝λ，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，0，于是＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1，＝(－1，0，－1)，所以·＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ，－1·(－1，0，－1)＝－1＋0＋1＝0，故D 1E ⊥A 1D .(2)因为DD 1⊥平面ABCD ，所以平面DEC 的一个法向量为n ＝(0，0，1)，设平面D 1EC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，又＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2λ1＋λ－2，0，＝(0，－2，1)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ·21＋λ＝0，－2y ＋z ＝0，取y ＝1，则n 1＝⎝⎛⎭⎫21＋λ，1，2.因为二面角D 1EC D 的平面角为π4，所以22＝|n·n 1||n|·|n 1|，即22＝21＋4＋⎝⎛⎭⎫21＋λ2，解得λ＝233－1.故存在λ＝233－1，使得二面角D 1EC D 的平面角为π4.4. 解：(1)∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴AD ∥EF ，EF ∥BC ，EF ＝3.∵∠ABC ＝90°，∴EF ⊥AE ，EF ⊥BE ， ∴EF ⊥平面AEB .∵平面ADFE ⊥平面BCFE ，∴AE ⊥EB ，∴EB ，EF ，EA 两两垂直．以点E 为坐标原点，EB ，EF ，EA 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，E (0，0，0)，A (0，0，2)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，F (0，3，0)，D (0，2，2)，G (2，2，0)，∴＝(2，2，0)，＝(－2，2，2)．∴·＝－2×2＋2×2＝0，∴BD ⊥EG . (2)由已知，得＝(2，0，0)是平面DEF 的一个法向量．设平面DEG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，设平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的大小为θ，则 ∴平面DEG 与平面DEF 所成锐二面角的余弦值为33.5. 解：(1)在图1中，取BE 的中点D ，连接DF . ∵AE ＝CF ＝1，∴AF ＝AD ＝2，而∠A ＝60°，∴△ADF 是正三角形，又AE ＝DE ＝1，∴EF ⊥AD . 在图2中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ， ∴∠A 1EB 为二面角A 1EF B 的平面角．由题设条件知，此二面角为直二面角，即A 1E ⊥BE ， ∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP .(2)分别以EB ，EF ，EA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则E (0，0，0)，A 1(0，0，1)，B (2，0，0)，F (0，3，0)，P (1，3，0)，则＝(0，0，－1)，＝(2，0，－1)，＝(－1，3，0)．设平面A 1BP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥平面A 1BP 知，n ⊥，n ⊥，即⎩⎨⎧2x －z ＝0，－x ＋3y ＝0，令x ＝3，得y ＝1，z ＝23，则n ＝(3，1，23)，∴直线A 1E 与平面A 1BP 所成的角为30°.6. 解：(1)如图，以A 为原点，BC 边上的高所在直线为x 轴，平行于BC 的直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A -xyz ，∵A 1A ＝4，∴A 1(0，0，4)，∵∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝2，∴B (3，－1，0)，C (3，1，0)，C 1(3，1，4)， ∵D 是BC 1上的点且BD ＝DC 1，∴D (3，0，2)．∵DF ∥平面ABC ，平面ABC 的一个法向量为(0，0，1)，∴4λ－2＝0，即λ＝12，∴AFF A 1的值为1.设平面BFC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧y ＋2z ＝0，－3x ＋y ＋4mz ＝0，令z ＝3，则n ＝(4m －2，－23，3)． ∵＝(3，1，0)，直线A 1C 1与平面BFC 1所成角的正弦值为338，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪43m －432（4m －2）2＋15＝338，解得m ＝14，∴AF F A 1的值为13.。

2017年高中数学人教A版选修2-1课时达标训练二十一空间向量在立体几何中的应用习题课 含解析 精品

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.5 Word版含答案

高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第三章 空间向量与立体几何 3.1.4