2015学大伟业--数学联赛省一冲刺班--王建伟数论讲义(1)
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 含答案 共30讲 改好278页
初中奥数辅导讲义培优计划（星空课堂）第一讲走进追问求根公式第二讲判别式——二次方程根的检测器第三讲充满活力的韦达定理第四讲明快简捷—构造方程的妙用第五讲一元二次方程的整数整数解第六讲转化—可化为一元二次方程的方程第七讲化归—解方程组的基本思想第八讲由常量数学到变量数学第九讲坐标平面上的直线第十讲抛物线第十一讲双曲线第十二讲方程与函数第十三讲怎样求最值第十四讲图表信息问题第十五讲统计的思想方法第十六讲锐角三角函数第十七讲解直角三角形第十八讲圆的基本性质第十九讲转化灵活的圆中角第二十讲直线与圆第二十一讲从三角形的内切圆谈起第二十二讲园幂定理第二十三讲圆与圆第二十四讲几何的定值与最值第二十五讲辅助圆第二十六讲开放性问题评说第二十七讲动态几何问题透视第二十八讲避免漏解的奥秘第二十九讲由正难则反切入第三十讲从创新构造入手第一讲 走进追问求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。
而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。
求根公式内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美。
降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决。
解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法。
【例题求解】【例1】满足的整数n 有 个。
思路点拨：从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程。
【例2】设、是二次方程的两个根，那么的值等于（ ）A 、一4B 、8C 、6D 、0思路点拨：求出、的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如，。
【例3】 解关于的方程。
思路点拨：因不知晓原方程的类型，故需分及两种情况讨论。
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)
初二数学竞赛辅导资料(共12讲)目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高本内容难度适中讲练结合由浅入深讲解与练习同步重在提高学生的数学分析能力与解题能力另外在本次培训中内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容其中《因式分解》为初二下册内容但是考虑到它的重要性和工具性将在本次培训进行具体解读注有标注的为选做内容本次培训具体计划如下以供参考第一讲实数一第二讲实数二第三讲平面直角坐标系函数第四讲一次函数一第五讲一次函数二第六讲全等三角形第七讲直角三角形与勾股定理第八讲株洲市初二数学竞赛模拟卷未装订在内另发第九讲竞赛中整数性质的运用第十讲不定方程与应用第十一讲因式分解的方法第十二讲因式分解的应用第十三讲考试未装订在内另发第十四讲试卷讲评第1讲实数一知识梳理一非负数正数和零统称为非负数1几种常见的非负数1实数的绝对值是非负数即a≥0在数轴上表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值用a来表示设a为实数则绝对值的性质①绝对值最小的实数是0②若a与b互为相反数则a＝ba＝ba＝b③对任意实数a则a≥a a≥－a④a·b＝ab b≠0⑤a－b≤a±b≤a＋b2实数的偶次幂是非负数如果a为任意实数则≥0n为自然数当n＝1≥03算术平方根是非负数即≥0其中a≥0算术平方根的性质 a≥0 ＝2非负数的性质1有限个非负数的和积商除数不为零是非负数2若干个非负数的和等于零则每个加数都为零3若非负数不大于零则此非负数必为零3对于形如的式子被开方数必须为非负数4推广到的化简5利用配方法来解题开平方或开立方时将被开方数配成完全平方式或完全立方例题精讲◆专题一利用非负数的性质解题例1已知实数xyz满足求x＋y＋z的平方根巩固1已知则的值为______________2若的值拓展设abc是实数若求abc的值◆专题二对于的应用例2已知xy是实数且例3已知适合关系式求的值巩固1已知b＝且的算术平方根是的立方根是试求的平方根和立方根2已知则拓展在实数范围内设＝求的个位数字◆专题三的化简及应用常用方法利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式例4化简例5若实数x满足方程那么巩固1若且则2已知实数a满足a＋＝03设1求y的最小值2求使6＜y＜7的x的取值范围拓展若求的值课后练习1如果a 0 那么2已知和是数的平方根则求的值3设abc是△ABC的三边的长则＝4已知xy是实数且则＝5若0 a 1 且则为6代数式的最小值是7已知实数满足＝则＝8已知△ABC的三边长为和满足求的取值范围9已知求的值10实数满足求的值第2讲实数二知识梳理一实数的性质1设x为有理数y为无理数则x＋yx－y都为无理数当x≠0时xy都是无理数当x＝0xy 就是有理数了2若xy都是有理数是无理数则要使＝0x＝y＝03xymn都是有理数都是无理数则要使成立须使x＝ym＝n常用方法直接法利用数轴比较平方法同次根式下比较被开方数法作差法作商法三证明一个数是有理数的方法证明这个数是一个有限小数或无限循环小数或可表示成几个有理数的和差积商的形式例题精讲◆例1比较下列两数的大小1 2 34 5 6巩固设◆例2若的小数部分为的小数部分为则的值为巩固1已知为的整数部分是9的平方根且求的值2设的整数部分为小数部分为试求的值拓展已知的整数部分为m小数部分为n的整数部分为a小数部分为b试计算的值◆例3已知是有理数且求的值巩固1已知ab是有理数且求ab的值2已知是有理数并且满足求的值◆例4设试用的代数式表示巩固已知试用的代数式表示◆例5求证是有理数◆例6a与b是两个不相等的有理数试判断实数是有理数还是无理数并说明理由拓展证明是无理数◆例5若ab满足的取值范围巩固已知求x和y的取值范围课后练习1比较大小2设ab是正有理数且满足求ab的值3设的整数部分为小数部分为试求的值4已知与的小数部分分别是ab求ab－3a＋4b＋8的值5已知ab为有理数xy分别表示的整数部分和小数部分且求a＋b的值6证明是无理数第3讲平面直角坐标系函数知识梳理1平面直角坐标系是在数轴的基础上为了实际问题的需要而建立起来的是学习函数的基础数形结合是本节最显著的特点2坐标平面内任意一点P都有唯一的一对有序实数xy和它对应反过来对于任何一对有序实数xy在平面内都有唯一的点P和它对应与点P相对应的有序实数对xy叫做点P的坐标3平面直角坐标系内的点的特征1若点Pxy在第一象限内2若点Pxy在第二象限内3若点Pxy在第三象限内 4若点Pxy在第四象限内5若点Pxy在x轴上 6若点Pxy在y轴上4对称点的坐标特征1点Pxy关于x轴对称或成轴反射的点的坐标为Px－y2点Pxy关于y轴对称或成轴反射的点的坐标为P－xy3点Pxy关于原点对称的点的坐标为P－x－y5函数的有关定义1函数的定义在一个变化过程中如果有两个变量x与y并且对于每一个x确定的值y都有唯一确定的值与其对应则x是自变量y是的函数2函数关系式用来表示函数关系的等式叫函数关系式也称函数解析式6函数自变量的取值范围自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以1使分母不为零2开平方时被开方数为非负数3为整式时其自变量的范围是全体实数另外当函数关系表示实际问题时自变量的取值必须使实际问题有意义例题精讲◆例1若点M1＋a2b－1在第二象限则点N a－11－2b 在第象限巩固1点Q3－a5－a在第二象限则＝2若点P2a＋43－a关于y的对称点在第三象限求a的取值范围为◆例2方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内求m的取值范围巩固已知点Mab在第四象限且ab是二元一次方程组的解求点M关于坐标原点的对称点的坐标◆例3在直角坐标系中已知A11在轴上确定点P使△AOP为等腰三角形则符合条件的点P共有个A1 B2 C3 D4拓展在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD它的4个顶点为A100B 010C －100D 0－10 则该正方形内及边界上共有_______个整点即横纵坐标都是整数的点◆例4求下列函数中自变量的取值范围◆例5如图在靠墙墙长为18m的地方围建一个矩形的养鸡场另三边用竹篱笆围成如果竹篱笆总长为35m求鸡场的一边长y m与另一边长x m的函数关系式并求自变量的取值范围巩固1求下列函数中自变量的取值范围①②③2周长为10cm的等腰三角形腰长y cm 与底边长x cm 之间的函数关系式是______________自变量x的取值范围为_________________．拓展若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数求c的取值范围◆例6已知函数的图像如图所示求点AB的坐标巩固若点P在函数的图象上那么点P应在平面直角坐标系中的A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限升又知单开进水管20分钟可把空水池注满若同时打开进出水管20分钟可把满水池的水放完现已知水池内有水升先打开进水管分钟再打开出水管两管同时开放直至把水池中的水放完则能确定反映这一过程中水池的水量升随时间分钟变化的函数图象是巩固如图小亮在操场上玩一段时间内沿的路径匀速散步能近似刻画小亮到出发点的距离与时间之间关系的函数图象是课后练习1汽车由北京驶往相距120千米的天津它的平均速度是30千米时•则汽车距天津的路程S千米与行驶时间t时的函数关系及自变量的取值范围是 • AS＝120－30t0≤t≤4 BS＝30t0≤t≤4CS＝120－30tt 0 DS＝30tt＝42图1是韩老师早晨出门散步时离家的距离与时间之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置则韩老师散步行走的路线可能是3函数自变量的取值范围为___________________4如图水以恒速即单位时间内注入水的体积相同注入下图的四种底面积相同的容器中下面那种方案能准确体现各容器所对应的水高度和时间的函数关系图象A．1～甲2～乙3～丁4～丙 B．1～乙2～甲3～丁4～丙C．1～乙2～甲3～丙4～丁 D．1～丁2～甲3～乙4～丙5平面直角坐标系内点An1－n一定不在A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限6若P a＋b－5 与Q 13a－b 关于原点对称则a＋b a－b 的值为6已知点P3p－153－p在第三象限如果其坐标为整数点求点M的坐标第4讲一次函数一姓名知识梳理一一次函数和正比例函数的概念若两个变量xy间的关系式可以表示成y＝kx＋bkb为常数k≠0的形式则称y是x的一次函数x为自变量特别地当b＝0时称y是x的正比例函数二一次函数的图象由于一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的图象是一条直线所以一次函数y＝kx＋b的图象也称为直线y＝kx＋b．由于两点确定一条直线因此在今后作一次函数图象时只要描出适合关系式的两点再连成直线即可一般选取两个特殊点直线与y轴的交点0b直线与x轴的交点－0但也不必一定选取这两个特殊点画正比例函数y＝kx的图象时只要描出点001k即可三一次函数y＝kx＋bkb为常数k≠0的性质1k的正负决定直线的倾斜方向①k＞0时y的值随x值的增大而增大②k＜O时y的值随x值的增大而减小．2k大小决定直线的倾斜程度即k越大直线与x轴相交的锐角度数越大直线陡k越小直线与x轴相交的锐角度数越小直线缓3b的正负决定直线与y轴交点的位置①当b＞0时直线与y轴交于正半轴上②当b＜0时直线与y轴交于负半轴上③当b＝0时直线经过原点是正比例函数．4由于kb的符号不同直线所经过的象限也不同①如图11－181所示当k＞0b＞0时直线经过第一二三象限直线不经过第四象限②如图11－182所示当k＞0b＞O时直线经过第一三四象限直线不经过第二象限③如图11－183所示当k＜Ob＞0时直线经过第一二四象限直线不经过第三象限④如图11－184所示当k＜Ob＜O时直线经过第二三四象限直线不经过第一象限．5由于k决定直线与x轴相交的锐角的大小k相同说明这两个锐角的大小相等且它们是同位角因此它们是平行的．另外从平移的角度也可以分析例如直线y ＝x＋1可以看作是正比例函数y＝x向上平移一个单位得到的．四正比例函数y＝kxk≠0的性质1正比例函数y＝kx的图象必经过原点2当k＞0时图象经过第一三象限y随x的增大而增大3当k＜0时图象经过第二四象限y随x的增大而减小．五用函数的观点看方程与不等式1方程2x＋20＝0与函数y＝2x＋20观察思考二者之间有什么联系从数上看方程2x＋20＝0的解是函数y＝2x＋20的值为0时对应自变量的值从形上看函数y＝2x＋20与x轴交点的横坐标即为方程2x＋20＝0的解关系由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b＝0kb为常数k≠0的形式．所以解一元一次方程可以转化为当一次函数值为0时求相应的自变量的值从图象上看这相当于已知直线y＝kx＋b确定它与x轴交点的横坐标值．2解关于xy的方程组从数的角度看•相当于考虑当自变量为何值时两个函数的值相等以及这个函数值是多少从形的角度看相当于确定两条直线y＝kx＋b与y＝mx＋n的交点坐标两条直线的交点坐标•就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解3解一元一次不等式可以看作是当一次函数值大于或小于0时求自变量相应的取值范围．解关于x的不等式kx＋b mx＋n可以转化为当自变量x取何值时直线y＝k－mx＋b－n上的点在x轴的上方或2求当x 取何值时直线y＝kx＋b上的点在直线y＝mx＋n上相应的点的上方．不等号为时是同样的道理例题精讲◆例1已知一次函数则这样的一次函数的图象必经过第象限巩固1一次函数的图象如图则下面结论正确的是A BC D2若直线经过点Am－1B1m其中则这条直线不经过第象限拓展已知≠并且那么一定经过A第一二象限 B第二三象限 C第三四象限 D第一四象限◆例2若直线y＝kx＋6与两坐标轴所围成的三角形面积是24求常数k的值是多少巩固过点P3作直线使它与两坐标轴围成的三角形面积为5这样的直线可以作几条拓展设直线是正整数与两坐标轴所围成的图形的面积为则◆例3如图所示直线y＝x＋2与x轴交于点A直线y＝－2x＋6与x轴交于点B且两条直线的交点为P试求出△PAB的面积巩固1如图在直角坐标系中长方形OABC的顶点B的坐标为 156 直线恰好将长方形OABC分成面积相等的两部分那么2如图所示已知直线y＝x＋3的图象与x轴y轴交于AB两点直线l经过原点与线段AB交于点C把△AOB的面积分为21的两部分求直线l的解析式．拓展若直线和直线k是正整数及x轴围成的三角形面积为则值为___________◆例4一次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则下列结论①k1＞0b＜0②k2＞0③关于x的不等式的解集是④关于xy的二元一次方程组的解为其中正确的结论有____________巩固1已知关于x的不等式kx－2 0k≠0的解集是x －3则直线y＝－kx＋2与x 轴的交点是_______．2如右图直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示则关于的不等式的解集为◆例5一个一次函数的图像与直线平行与轴轴的交点分别为AB并且过点－1－25则线段AB上包括端点AB横坐标纵坐标都是整数的点有几个巩固如图一次函数的图象经过点和则的值为◆例6如图直线的解析式为且与轴交于点D直线经过点AB直线交于点C1求直线的解析式2求△ADC的面积3在直线上存在异于点C的另一点P使得△ADP与△ADC的面积相等请直接写出点P的坐标课后练习1点A为直线上的一点点A到两坐标轴的距离相等则点A的坐标为________ 2直线经过一二四象限那么直线经过象限3一次函数是常数的图象如图所示则不等式的解集是A．B．C．D．4如图一直线L经过不同三点AabB ba C那么直线L经过A．第二四象限 B．第一三象限 C．第二三四象限 D．第一三四象限5设直线为自然数与两坐标轴围成的三角形面积为＝1232000 则1＋2＋3＋＋2000的值为A B C D6如图直线与轴轴分别交于AB两点以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC∠BAC＝90°如果在第二象限内有一点P且△ABP的面积与△ABC的面积相等求a的值第5讲一次函数二知识梳理一次函数的应用就是从给定的材料中抽象出函数关系构建一次函数模型再利用一次函数的性质求出问题的解例题精讲◆例1我市一种商品的需求量y1万件供应量y2万件与价格x元／件分别近似满足下列函数关系式y1＝x＋60y2＝2x36需求量为时即停止供应当y1 ＝ y2 1求该商品的稳定价格与稳定需求量2价格在什么范围该商品的需求量低于供应量3当需求量高于供应量时政府常通过对供应方提供价格补贴来提高供货价格以提高供应量现若要使稳定需求量增加4万件政府应对每件商品提供多少元补贴才能使供应量等于需求量巩固图11－30表示甲乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y千米随时间x分变化的图象全程根据图象回答下列问题．1当比赛开始多少分时两人第一次相遇2这次比赛全程是多少千米3当比赛开始多少分时两人第二次相遇◆例2在购买某场足球赛门票时设购买门票数为张总费用为元．现有两种购买方案方案一若单位赞助广告费10000元则该单位所购门票的价格为每张60元总费用＝广告赞助费＋门票费方案二购买门票方式如图所示．解答下列问题1方案一中与的函数关系式为方案二中当时与的函数关系式为当时与的函数关系式为2如果购买本场足球赛超过100张你将选择哪一种方案使总费用最省请说明理由3甲乙两单位分别采用方案一方案二购买本场足球赛门票共700张花去总费用计58000元求甲乙两单位各购买门票多少张．元一月用水超过10吨的用户10吨水仍按每吨元收费超过10吨的部分按每吨元收费设一户居民月用水吨应收水费元与之间的函数关系如图13所示1求的值某户居民上月用水8吨应收水费多少元2求的值并写出当时与之间的函数关系式3已知居民甲上月比居民乙多用水4吨两家共收水费46元求他们上月分别用水多少吨◆例3抗震救灾中某县粮食局为了保证库存粮食的安全决定将甲乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震功能的AB两仓库已知甲库有粮食100吨乙库有粮食80吨而A库的容量为70吨B库的容量为110吨从甲乙两库到AB两库的路程和运费如下表表中元吨·千米表示每吨粮食运送1千米所需人民币1若甲库运往A库粮食吨请写出将粮食运往AB两库的总运费元与吨的函数关系式2当甲乙两库各运往AB两库多少吨粮食时总运费最省最省的总运费是多少巩固我市某乡两村盛产柑桔村有柑桔200吨村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库已知仓库可储存240吨仓库可储存260吨从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元．1请填写下表并求出与之间的函数关系式总计吨200吨300吨总计240吨260吨500吨2试讨论两村中哪个村的运费较少3考虑到村的经济承受能力村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下请问怎样调运才能使两村运费之和最小求出这个最小值．◆例4我国铁路第六次大提速在甲乙两城市之间开通了动车组高速列车．已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城．如图所示OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s 单位在km 与运行时间t 单位h 的函数图象BC 是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s 单位km 与运行时间t 单位h 的函数图象．请根据图中信息解答下列问题1点B的横坐标05的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_________h点B的纵坐标300的意义是_______________________ 2请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s与时间t的函数图象3若普通快车的速度为100 kmh①求BC的解析式并写出自变量t的取值范围②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间．巩固某物流公司的快递车和货车每天往返于AB两地快递车比货车多往返一趟图中表示快递车距离A地的路程y 单位千米与所用时间x 单位时的函数图象．已知货车比快递车早1小时出发到达B地后用2小时装卸货物然后按原路原速返回结果比快递车最后一次返回A地晚1小时．1请在图中画出货车距离A地的路程y 千米与所用时间x 时的函数图象2求两车在途中相遇的次数直接写出答案3求两车最后一次相遇时距离A地的路程和货车从A地出发了几小时课后练习1某车站客流量大旅客往往需长时间排队等候购票．经调查统计发现每天开始售票时约有300名旅客排队等候购票同时有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票新增购票人数人与售票时间分的函数关系如图所示每个售票窗口票数人与售票时间分的函数关系如图所示．某天售票厅排队等候购票的人数人与售票时间分的函数关系如图所示已知售票的前分钟开放了两个售票窗口．1求的值2求售票到第60分钟时售票厅排队等候购票的旅客人数3该车站在学习实践科学发展观的活动中本着以人为本方便旅客的宗旨决定增设售票窗口．若要在开始售票后半小时内让所有排队购票的旅客都能购到票以便后来到站的旅客能随到随购请你帮助计算至少需同时开放几个售票窗口2如图工地上有AB两个土墩洼地E和河滨F两个土墩的土方数分别是781方1584方洼地E填上1025方河滨F可填上1390方要求挖掉两个土墩把这些土先填平洼地E余下的图填入河滨F填入F实际只有1340方如何安排运土方案才能使劳力最省提示把土方米作为运土花费劳力的单位第6讲全等三角形知识梳理1全等三角形全等三角形能够完全重合的两个三角形2全等三角形的判定方法有SASASAAASSSSHL3 全等三角形的性质1全等三角形的对应角相等对应线段边高中线角平分线相等2全等三角形的周长面积相等4全等三角形常见辅助线的作法有以下几种遇到等腰三角形可作底边上的高利用三线合一的性质解题思维模式是全等变换中的对折．遇到三角形的中线倍长中线使延长线段与原中线长相等构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的旋转．遇到角平分线可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线利用的思维模式是三角形全等变换中的对折所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．过图形上某一点作特定的平分线构造全等三角形利用的思维模式是全等变换中的平移或翻转折叠截长法与补短法具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等或是将某条线段延长是之与特定线段相等再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法适合于证明线段的和差倍分等类的题目．特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来利用三角形面积的知识解答．例题精讲◆例1已知如图△ABC中AB＝5AC＝3则中线AD的取值范围是_________巩固如图所示已知在△ABC中AD是BC边上的中线E是AD上一点且BE＝AC 延长BE交AC于F求证 AF＝EF◆例2已知等腰直角三角形ABC中AC＝BCBD平分∠ABC求证AB＝BC＋CD巩固1已知△ABC中AD平分∠BACAB＞AC求证AB－AC＝BD－DC2如图所示已知四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝60°∠BCD＝120°求证 BC＋DC＝AC◆例3如图已知在△ABC中∠B＝60°△ABC的角平分线ADCE相交于点O求证OE＝OD◆例4如图在△ABC中∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ的垂直平分线PQ相交于点P过点P分别作PN⊥AB于NPM ⊥AC于点M求证BN＝CM◆例5AD为△ABC的角平分线直线MN⊥AD于AE为MN上一点△ABC周长记为△EBC周长记为求证＞拓展正方形ABCD中E为BC上的一点F为CD上的一点BE＋DF＝EF求∠EAF 的度数课后练习1如图∠BAC＝60°∠C＝40°AP平分∠BAC交BC于PBQ平分∠ABC交AC于Q求证AB＋BP＝BQ＋AQ2如图△ABC中EF分别在ABAC上DE⊥DFD是中点试比较BE＋CF与EF的大小3如图△ABC中AD平分∠BACDG⊥BC且平分BCDE⊥AB于EDF⊥AC于F1说明BE＝CF的理由2如果AB＝AC＝求AEBE的长第7讲直角三角形与勾股定理知识梳理一直角三角形的判定1有两个角互余的三角形是直角三角形2勾股定理逆定理二直角三角形的性质1直角三角形两锐角互余．2直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半．。
第一讲数论初步学习资料
定理: ab = gcd(a,b) * lcm(a,b)
如果gcd（a,b）=1 ,a,b互质
定理的证明
使用惟一分解定理. 设
a p 1 a 1 p 2 a 2 p n a n ,b p 1 b 1 p 2 b 2 p n b n
容易验证定理成立
求出1— n的全部素数；
法一：Eratosthenes的筛子
2是素数, 删除2*2, 2*3, 2*4, …, 2*50 第一个没被删除的是3, 删除3*3, 3*4, 3*5,…,3*33 第一个没被删除的是5, 删除5*5, 5*6, … 5*20 得到素数p时, 需要删除 p*p, p*(p+1), … p*[n/p], 运算量为 [n/p]-p, 其中p不超过n1/2(想一想, 为什么) 近似公式(Legendre常数B=-1.08366)
方法二: (Euclid算法) 利用公式gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), 时间复杂度为
O(logb) 方法三: (二进制算法) 若a=b, gcd(a,b)=a, 否则
A和b均为偶数, gcd(a,b)=2*gcd(a/2,b/2) A为偶数, b为奇数, gcd(a,b)=gcd(a/2,b) 如果a和b均为奇数, gcd(a,b)=gcd(a-b,b) 不需要除法, 适合大整数
素数判定
枚举法: O(n1/2), 指数级别 改进的枚举法: O(phi(n1/2))=O(n1/2/logn), 仍然是指数级别 概率算法: Miller-Rabin测试 + Lucas-Lehmer测试
数学奥赛教练员培训班讲义(平面几何)
数学奥赛教练员培训班讲义（1）第一讲 平面几何平面几何是数学竞赛中的一个基本内容。
它以严密的逻辑结构、灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力等方面起着特殊的作用。
因此在数学竞赛中平面几何的内容占有十分突出的地位。
平面几何主要研究度量关系的证明、位置关系的证明、面积关系解题、几何量的计算、轨迹问题等。
一、与三角形有关的重要定理1.梅涅劳斯定理一直线分别截△ABC 的边BC 、CA 、AB （或其延长线）于D 、E 、F ，则1=∙∙FBAF EA CE DC BD 。
说明：（1）结论的图形应考虑直线与三角形三边交点的位置情况，因而本题图形应该有两个。
（2）结论的结构是三角形三边上的6条线段的比，首尾相连，组成一个比值为1的等式。
（3）其逆定理为：如果D 、E 、F 分别在△ABC 的边BC 、CA 、AB （或其延长线上），并且1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，那么D 、E 、F 三点在同一条直线上。
（4）梅氏定理及其逆定理不仅可以用来证明点共线问题，而且是解决许多比例线段问题的有力工具。
用梅氏定理求某个比值的关键，在于恰当地选取梅氏三角形和梅氏线。
2.塞瓦定理设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于D ，E ，F ，则1=∙∙FBAF EA CE DC BD 。
说明：（1）该定理可借助于梅氏定理来证明（也可用面积法来证明）。
如果O 点在三角形外，结论仍然是成立的。
（2）其逆定理为：分别在△ABC 三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上各取一点D 、E 、F ，若有1=∙∙FBAF EA CE DC BD ，则AD 、BE 、CF 平行或共点。
（3）塞瓦定理及其逆定理是证明三直线交于一点（线共点）问题的重要定理，应用塞瓦定理很容易证明三角形中的主要线段的共点问题。
3.三角形的五心三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。
初中数学竞赛辅导讲义
页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！初中数学竞赛辅导讲义〔初三〕第一讲 分式的运算[知识点击]1、 分局部式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进展。
2、 综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进展。
3、 分式运算：实质就是分式的通分与约分。
[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x 例2． z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。
页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ 那么⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x 〔1〕+〔2〕+〔3〕得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 假设ｋ=2那么原式= k 3 = 8 假设 ｘ+ｙ+ｚ=0，那么原式= k 3=-1 例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。
解：显然X 0≠，由x m x x 12+- =1 ，那么 x +x 1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x- ｍ2= (x +x 1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m 例4．多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。
解：页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！ 13313232+++++x ax x X ax1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21 证：左边=21〔1 - 31 + 31 - 51 + …… + 121-n - 121+n 〕 aaax ax xO x -++++1133223页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！ =21〔1- 121+n 〕 ∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21[小结归纳]1、局部分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 〔x 1 - k x +1〕 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为假设干个等式，把各字母页脚下载后可删除，如有侵权请告知删除！用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第15讲 统计的思想方法
第十五讲统计的思想方法20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求．统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学．随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律．【例题求解】【例1】现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示．(1)由观察所得，班的标准差较大；(2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获分才可以及格．A 班分数0123456789人数1357686432思路点拨对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案．注：平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的：(1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”；(2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势．【例2】已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为()A ．2a+3bB ．b a +32C ．6a+9bD ．2a+b思路点拨运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．【例3】某班同学参加环保知识竞赛．将学生的成绩(得分取整数)进行整理后分成五组，绘成频率分布直方图(如图)．图中从左到右各小组的小长方形的高的比是1：3：6：4：2，最右边—组的频数是6．结合直方图提供的信息，解答下列问题：(1)该班共有多少名同学参赛?(2)成绩落在哪组数据范围内的人数最多，是多少?(3)求成绩在60分以上(不含60分)的学生占全班参赛人数的百分率．思路点拨读图、读懂图，从图中获取频率、组距等相关信息．【例4】为估计，一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店中抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.6 3.7 2.2 1.5 2.81.7 1.2 2.1 3.2 1.0(1)通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少盒一次性筷子(每年按350个营业日计算)；(2)2001年又刘该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作了抽样调查，调查的结果是l0个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性木质筷子用量平均每年增长的百分率(2001年该县饭店数、全年营业天数均与1999年相同)；(3)在(2)的条件下，若生产一套中小学生桌椅需木材0.07米3，求该县2001年使用一次性筷子的木材可以生产多少套学生桌椅．计算中需用的有关数据为：每盒筷子100双，每双筷子的质量为5克，所用木材的密度为0.5×103千克／米3；(4)假如让你统计你所在省一年使用一次性筷子所消耗的木材量，如何利用统计知识去做，简要地用文字表述出来．思路点拨用样本的平均水平去估计总体的平均水平．注：（1）运用数学知识解决实际问题的过程是：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——建立数学模型——解决这个数学问题．（2）通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这是用统计的思想方法解决问题的基本方式．思路点拨【例5】编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A 和B 中，15号弹珠在篮子A 中，把这个弹珠从篮子A 移到篮子B 中，这时篮子A 中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，B 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41，问原来在篮子A 中有多少个弹珠?思路点拨用字母分别表示篮子A、B弹珠数及相应的平均数，运用方程、方程组等知识求解．学历训练1．某校初二年级全体320名学生在电脑培训前后各参加了一次水平相同的考试，考分都以同一标准划分成“不合格”、“合格”、“优秀”三个等级．为了了解电脑培训的效果，用抽签方式得到其中32名学生的两次考试考分等级，所绘制的统计图如图所示．试结合图示信息回答下列问题：(1)这32名学生培训前考分的中位数所在的等级是，培训后考分的中位数所在的等级是．(2)这32名学生经过培训，考分等级“不合格”的百分比由下降到．(3)估计该校整个初二年级中，培训后考分等级为“合格”与“优秀”的学生共有名．(4)你认为上述估计合理吗?理由是什么?答：，理由．2．某商店3、4月份出售同一品牌各种规格的空调销售台数如下表：根据表中数据回答：(1)商店平均每月销售空调(台)；(2)商店出售的各种规格的空调中，众数是(匹)；(3)在研究6月份进货时，商店经理决定(匹)的空调要多进；(匹)的空调要少进．3．为了了解某中学初三年级250名学生升学考试的数学成绩，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，求得5.x．下面是50名学生数学成绩的频率分布表：94样本分组频数累计频数频率60．5～70．5正3a70．5～80．5正正60．1280．5～90．5正正90．1890．5～100．5正正正正170．34100．5～110．5正正b0．2110．5～120．5正50．1合计501根据题中给出的条件回答下列问题：(1)在这次抽样分析的过程中，样本是；(2)频率分布表中的数据a=，b=；(3)估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩约为分；(4)耷这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在90．5～100．5范围内的人数约为人．4其中星期四的体温被墨迹污染，根据表中数据，可得此日的体温是() A．36．?℃B．36．8℃C．36．9℃D．37．0℃5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参加学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后填入下表：班级参加人数中位数方差平均字数甲55149191135乙55151110135某同学根据上表分析得出如下结论：①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150个为优秀)；③甲班的成绩的波动情况比乙班的成绩的波动大，上述结论正确的是()A．①②③B．①②C．①③D．②③6．今年春季，我国部分地区SARS流行，党和政府采取果断措施，防治结合，很快使病情得到控制．下图是某同学记载的5月1日至30日每天全国的SARS新增确诊病例数据图，将图中记载的数据每5天作为一组，从左至右分为第一组至第六组，下列说法：①第一组的平均数最大，第六组的平均数最小；②第二组的中位数为138；③第四组的众数为28；其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个7．某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如下表所示：（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平．问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%．问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？8．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示．（1）请填写下表:平均数方差中位数命中9环以上次数甲71．21乙5．4（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析.①从平均数和方差相结合看；②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）；③从平均数和命中9环以上次数相结合看（分析谁的成绩好些）；④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）．9．明湖区一中对初二年级女生仰卧起坐的测试成绩进行统计分析，将数据整理后，画出如下频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第六小组的频率依次是0.10、0.15、0.20、0.30、0.05，第五小组的频数是36，根据所给的图填空：(1)第五小组的频率是，请补全这个频率分布图；(2)参加这次测试的女生人数是；若次数在24(含24次)以上为达标(此标准为中考体育标准)，则该校初二年级女生的达标率为．(3)请你用统计知识，以中考体育标准对明湖区十二所中学初二女生仰卧起坐成绩的达标率作一个估计．10．我国于2000年11月1日起进行了第五次全国人口普查的登记工作，据第五次人口普查，我国每10万人中拥有各种受教育程度的人数如下：具有大学程度的为3611人；具有高中程度的为11146人；具有初中程度的为33961人；具有小学程度的为35701人．(1)根据以上数据填写下表：受教育程度每10万人中所占百分比(a％)(a精确到0.01)大学程度高中程度初中程度小学程度(2)以下各示意图中正确的是()．(将正确示意图数字代号填在括号内)11．新华高科技股份有限公司董事会决定今年用13亿资金投资发展项目，现有6个项目可供选择(每个项目或者被全部投资，或者不被投资)，各项目所需投资金额和预计年均收益如下表：项目A B C D E F 投资(亿元)526468收益(亿元)0．550．40．60．40．9l如果要求所有投资的项目的收益总额不得低于1．6亿元，那么，当选择的投资项目是时，投资的收益总额最大．12．新华社4月3日发布了一则由国家安全生产监督管理局统计的信息；2003年1月至2月全国共发生事故17万多起，各类事故发生情况具体统计如下：事故类型事故数量死亡人数(单位：人)死亡人数占各类事故总死亡人数的百分比火灾事故(不含森林草原火灾)54773610铁路路外伤亡事故19621409工矿企业伤亡事故14171639道路交通事故11581517290合计17396720948(1)请你计算出各类事故死亡人数占总死亡人数的百分比，填入上表(精确到0.01)；(2)为了更清楚地表示出问题(1)中的百分比，请你完成下面的扇形统计图；(3)请根据你所学的统计知识提出问题(不需要作解答，也不要解释，但所提的问题应是利用表中所提供数据能求解的)．13．将最小的31个自然数分成A 、B 两组，10在A 组中，如果把10从A 组移到B 组，则A 组中各数的算术平均数增加21，B 组中各数的算术平均数也增加21．问A 组中原有多少个数?14．某次数学竞赛共有15道题，下表是对于做对n (n =0，1，2…15)道题的人数的一个统计，如果又知其中做对4道题和4道以上的学生每人平均做对6道题，做对10道题和10道题以下的学生每人平均做对4道题，问这个表至少统计了多少人?n0123 (12131415)做对n道题的人数78102l…1563l参考答案。
数学奥林匹克专题讲座 第02讲 数论的方法技巧(下)
《数学奥林匹克专题讲座》第2讲数论的方法技巧（下）四、反证法 反证法即首先对命题的结论作出相反的假设，并从此假设出发，经过正确的推理，导出矛盾的结果，这就否定了作为推理出发点的假设，从而肯定了原结论是正确的。
反证法的过程可简述为以下三个步骤： 1．反设：假设所要证明的结论不成立，而其反面成立； 2．归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾； 3．结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。
运用反证法的关键在于导致矛盾。
在数论中，不少问题是通过奇偶分析或同余等方法引出矛盾的。
解：如果存在这样的三位数，那么就有 100a+10b+c=（10a+b）+（10b+c）+（10a+c）。
上式可化简为80a=b+c，而这显然是不可能的，因为a≥1，b≤9，c≤9。
这表明所找的数是不存在的。
说明：在证明不存在性的问题时，常用反证法：先假设存在，即至少有一个元素，它符合命题中所述的一切要求，然后从这个存在的元素出发，进行推理，直到产生矛盾。
例2 将某个17位数的数字的排列顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加。
试说明，得到的和中至少有一个数字是偶数。
解：假设得到的和中没有一个数字是偶数，即全是奇数。
在如下式所示的加法算式中，末一列数字的和d+a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b+c≤9。
将已知数的前两位数字a，b与末两位数字c，d去掉，所得的13位数仍具有“将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数”这一性质。
照此进行，每次去掉首末各两位数字，最后得到一位数，它与自身相加是偶数，矛盾。
故和的数字中必有偶数。
说明：显然结论对（4k+1）位数也成立。
但对其他位数的数不一定成立。
如12+21，506+605等。
例3 有一个魔术钱币机，当塞入1枚1分硬币时，退出1枚1角和1枚5分的硬币；当塞入1枚5分硬币时，退出4枚1角硬币；当塞入1枚1角硬币时，退出3枚1分硬币。
数学奥赛知识点总结
数学奥赛知识点总结数学是一门重要的学科，也是各种数学竞赛的必备知识点。
在数学奥赛中，考察的内容包括数论、代数、几何、概率统计等多个方面。
本文将针对数学奥赛的知识点进行总结，希望能够帮助竞赛学子更好地掌握相关知识。
一、数论数论是研究整数性质的一个分支学科，在数学竞赛中往往占有重要地位。
数论中的知识点包括整数分解、同余、素数、公因数与公倍数等。
1. 整数分解任何一个正整数都可以唯一地表示为一串素数的乘积。
这个唯一表示称为这个数的素因子分解式。
例如，12=2^2 * 3，24=2^3 * 3。
2. 同余对于给定的正整数m，如果a-b整除m，则称a与b关于模m同余，记作a≡b(mod m)。
例如，7≡2(mod 5)，16≡1(mod 3)。
3. 素数素数是指只能被1和自身整除的正整数。
例如，2、3、5、7、11、13等都是素数。
素数在数论中占有重要地位，因为它们是构成其他整数的基本元素。
4. 公因数与公倍数对于两个正整数a和b，公因数是同时整除a和b的正整数，而公倍数是同时被a和b整除的正整数。
确定两个正整数的最大公因数和最小公倍数是重要的知识点。
二、代数代数是数学的一个基本分支，其知识点在数学竞赛中也占有重要地位。
代数中的知识点包括多项式、方程组、不等式、函数等。
1. 多项式多项式是由幂函数经过加减运算所得到的代数式，具有重要的代数性质。
多项式的知识包括对多项式的加减乘除、多项式系数的整数性质以及多项式的因式分解等。
2. 方程组方程组是由多个方程组成的一种数学结构，方程组的解是满足所有方程的变量值。
在数学竞赛中常常考察二元一次方程组、二元二次方程组和三元一次方程组等。
3. 不等式不等式是数学中的一种比较关系，用于描述数或函数之间大小关系的符号组合。
学生需要掌握不等式的基本性质和解不等式的方法。
4. 函数函数是一种数学映射关系，描述了一个自变量和一个因变量之间的对应关系。
数学竞赛中涉及到函数的性质、反函数、复合函数、函数图像、函数的极值等多个方面的知识点。
《程伟巅峰数学》2015版新课标高考数学备战特训讲义之三
程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths 妙至毫颠的技巧演绎，酣畅淋漓的激情教学。
１
程伟巅峰数学 ChengWeiTopMaths
中国高考数学、物理创新教学与研究第一人
☆☆典例精析☆☆
【典例一】已知 a 0 ， b 0 ， a b 2 ，则 y
1 4 的最小值是（ a b
中国高考数学、物理创新教学与研究第一人
【典例十五】若直线 ax 2by 2 0 a 0, b 0 始终平分圆 x2 y2 4x 2 y 8 0 的 周长，则
1
B． 3 2 2 D． 4 2
【典例十六】等差数列an 中， a1 a5 10 ， a4 7 ，则数列 an 的公差为（
【典例十九】如果等差数列an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 „ a7 （
）
A． 14 C． 28
B． 21 D． 35
【典例二十】设等差数列an 的前 n 项和为 Sn .若 S9 72 ，则 a2 a4 a9 __________.
）
A． C．
1 2
1 2
B． D．
3 2
3 2
【典例二十二】已知数列an 是等差数列，且 a1 a4 a7 2 ，则 tan a3 a5 的值为 （ ）
A． 3 C．
3 3
B． 3 D．
3 3
【典例二十三】在等差数列an 中，已知 a3 a8 10 ，则 3a5 a7 _________.
1 a1 ，且 a4 与 a7 4
9 8
）
A． 35 C． 31
B． 33 D． 29
王谱2015冲刺班线性代数讲义
行
③分块求逆 ｎ ≥４ ２ ． 抽象型 方法： 找狗凑猪） ④用定义（ 例２ 设 Ａ 、 Ｂ是 ｎ 阶可逆矩阵， 满足 Ａ Ｂ＝ Ａ＋ Ｂ ， 则下列关系中不正确的是（ ）
－ １ － １ － （ Ａ ）｜ Ａ＋ Ｂ ｜ ＝｜ Ａ ｜ ｜ Ｂ ｜ （ Ｂ ） （ Ａ Ｂ ） ＝ Ａ Ｂ１
（ ｜ Ａ ｜ Ⅲ）
四、 初等矩阵与初等变换决胜秘笈
方法： 考查初等矩阵的定义， 性质以及与初等变换的关系． ＷＰ语录： 见到矩阵初等变换问题， 就要先利用左行右列定理构造出等量关系， 再分析 求解． 例４ 设 Ａ 、 Ｂ都是 ３阶矩阵， 将 Ａ中第一行的 ２倍加至第二行得到矩阵 Ａ ， 将 Ｂ中第 ３ １ １ １ ２ － １ ， 列乘以 － 得到 Ｂ ， 如果 Ａ Ｂ ＝ ３ ５ － ２ 则Ａ Ｂ＝ （ ） ． １ １ １ ３ ０ １ ２ ３ ２ － １ － （ Ａ ） － ７ ５ － ２ ３ － ６ ６ － ３ １ ２ － （ Ｃ ）１ １ ０ ０ １ ６
１ ２ ３ １ １ ０ （ Ｂ ） ６ ０ １ － １ ２ ３ ５ ９ １ （ Ｄ ） ２ ０ １ ６
五、 矩阵秩的计算与证明决胜秘笈
， ， …α ①Ａ或 α α １ ２ ｍ为数值型 方法： Ａ＝ （ ， ， …α 求ｒ （ Ａ ） ． α α →阶梯型， １ ２ ｍ） 求ｒ （ Ａ ） ， 用秩结论． ②Ａ为抽象矩阵， ａ ａ １ ２ ， 例５ 设 ３ 阶矩阵 Ａ的伴随矩阵 Ａ ＝ ２ ａ ４ ２ ａ 若存在 ３ 阶非零矩阵 Ｂ ， 使得 Ａ Ｂ＝ Ｏ ， ａ ６ ａ ３ ３ 则下列说法正确的是（ ） （ Ａ ） ｒ （ Ｂ ）＝ １ ， 且ａ ＝ １ （ Ｃ ） ｒ （ Ｂ ）＝ ２ ， 且ａ ＝ １ １ （ Ｂ ） ｒ （ Ｂ ）＝ １ ， 且ａ ＝－ ２ １ （ Ｄ ） ｒ （ Ｂ ）＝ ２ ， 且ａ ＝－ ２
王建伟专集
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全国通用初中数学竞赛培优辅导讲义1-10)讲
2．根椐质数定义可知
1)质数只有1和本身两个正约数，
2)质数中只有一个偶数2
如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，
如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积。
能写成几个质数的积的正整数就是合数。
8．8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________
9．从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行
调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习
１．分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数． 即32，33，34，35就是所求的一组数。
本题可推广到n个。
令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋(n+1)就是所求的合数。
练习3
1．小于100的质数共___个，它们是__________________________________
三在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；
高等数学基础提高二讲义1
高等数学基础提高二讲义1考研高等数学（中等题+理论）讲义演讲者：王成义欢迎使用新东方在线电子教材第一章函数、极限和连续性§1.1函数（a）要点一、功能概念1.定义Yf（x），x？我x为自变量，y为因变量或称为函数值f:x?y为对应关系当自变量在定义字段中取值时，所有函数值都称为值字段。
口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。
2.分段函数（考研中用得很多）,x?1?x2f(x)?例1：?,x?13x?1?x、 x？0例2:x？？x,x0-1-x2,x0例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?13，x？1.十、口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。
3．反函数例子：y？x2的反函数x？？因为它不是一个单一的值，所以它应该被视为x？Yy和x??2y，它们的图像与y?x一致。
如果你改变符号，写y？X和y？？x，那么它们的图像要变。
4.隐函数f(x,y)?0确定y与x的函数关系一些隐式函数可以转换为显式函数，例如：x？Y1，y？此外，一些隐式函数不能转化为显式函数。
前任？y221？X和y？？1.x22sin(3x2y)50二、基本初等函数的概念、性质和图象（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性）例1：考察limx(x)(x??)arctanxYarctaxn的图像-2-例2：limex？0 1x2因为lim(?x?01x2)指数函数y？前图像1x2因此limex?0?0三、复合函数与初等函数1.复合函数（i）给定f（x），G（x），求f[G（x）]（II）已知f[G（x）]，G（x），求f（x）2初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数原则上来说，分段函数不是初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数（1）y?limfn?x?N（2）是吗？林夫？t、 x？t?x2．用变上、下限积分表示的函数-3-（1）y?f(x)?（2）y?g(x)?则dydx？xaf？TDT f在哪里？T那就继续吧dydx?f?x?1.2.十、十、FTDT在哪里？1.十、2.十、可微的，f？T不断的xf1?x?1xf2?x?2简明公式（3）：变极限积分是一个函数；在它出现之后取导数。
学大伟业2017寒假(北京数学国奥精品班-李建泉讲义2)
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学大伟业 2017 寒假 北京总校 数学国奥精品班—李建泉讲义 2
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奥数讲义-数论--综合-第1讲stu
第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。
主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。
特别地，如果r=0，那么a=bq。
这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。
2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。
3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。
（1）式称为n的质因数分解或标准分解。
4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。
5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。
因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。
下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。
一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。
这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2mt，其中t为奇数。
例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。
2015年寒假高中数学联赛预习材料(数论)
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（数论部分）
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本导学用于学员在实际授课之前，了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的 详细解读。本班型导学共由 4 份书面资料构成。
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3、算术基本定理
算术基本定理：任何一个大于 1 的自然数 N，都可以唯一分解成有限个质数的乘积
N P11 P2 2 ... Pnn , 这里 Pi 质数，其诸方幂 i 是正整数。这样的分解称为 N 的标
2、整除
带余除法：对任意整数 a，b 且 b≠0，存在唯一的数对 q，r，使 a=bq+r，其中 0≢r<|b|。 这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。当 r=0 时，则称为 b 整除于 a,记为 b|a.， 称 b 为 a 的约数。
公因数：若 c|a，c|b，则称 c 是 a，b 的公因数。若 d 是 a，b 的公因数，d≣0，且 d 可被 a，b 的任意公因数整除，则称 d 是 a，b 的最大公因数。若 a，b 的最大公因数等于 1， 则称 a，b 互素。
初等数论网络课程 第一讲
《初等数论》网络课程第一讲第一部分：应考指导一、考试相关情况说明（一）课程基本情况初等数论是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。
它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、不定方程和连分数理论等。
初等数论是数论的一个最古老的分支，它已经有2000年的历史，公元前300年，欧几里得发现了素数是数论的基石，他自己证明了有无穷多个素数。
公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。
2000年来，数论的一个最重要的任务，就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式，或者称为素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。
本课程介绍初等数论中的一些基础知识。
选用的教材是闵嗣鹤、严士健编著的《初等数论》，高等教育出版社，2013年9月第22次印刷。
课程内容及基本要求：第1章整数的可除性【内容】：整除的概念，带余除法，最大公因数与辗转相除法，最小公倍数，素数与合数，素数的性质，算术基本定理，函数[x]及其应用。
【要求】：理解素数与合数的概念、素数的性质，理解算术基本定理，会用筛法求素数。
了解函数[x]的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
第2章不定方程【内容】：二元一次不定方程，二元一次不定方程解的形式，二元一次不定方程有整数解的条件，利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的解。
多元一次不定方程，多元一次不定方程有解的条件，求简单的多元一次不定方程的解。
勾股数。
【要求】：了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程解的方法。
知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。
了解勾股数。
第3章同余【内容】：同余的概念及基本性质，剩余类及完全剩余系，简化剩余系与欧拉函数。
欧拉定理、Fermat 小定理及其对循环小数的应用。
【要求】：理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
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