极限的计算、证明
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
用定义证明函数极限方法总结
用定义证明函数极限方法总结函数极限的定义是：对于函数 $f(x)$，如果存在实数 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，总存在实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$，则称函数$f(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to a}f(x)=L$。
函数极限的证明方法有以下几种：1. ε-δ极限法：根据函数极限的定义，选择合适的 $L$，对于任意给定的正实数 $\varepsilon$，找到与之对应的正实数 $\delta$，使得当 $0<，x-a，<\delta$ 时，有 $，f(x)-L，<\varepsilon$。
通过构造一个适当的 $\delta$-$\varepsilon$ 语句，利用数学推理的方法来证明函数极限。
这种方法主要适用于一些简单的函数，如多项式函数、三角函数等。
证明过程中需要灵活运用基本不等式、三角不等式、极限的性质等。
2. 夹逼定理：夹逼定理是计算极限的常用方法。
当一个函数$g(x)$ 在 $x=a$ 处极限为 $L$，另一个函数 $h(x)$ 在 $x=a$ 处极限也为 $L$，且对于 $x$ 的取值范围，有 $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$，则 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的极限也为 $L$。
通过构造一对函数，使得它们分别从两个方向逼近待求的极限，再利用夹逼定理来证明函数的极限。
3.无穷小定理：无穷小定理是计算极限的一种重要方法。
当$x$趋于一些确定的数值时，如果函数$f(x)$具有性质：无论$x$多么接近这个确定的数值，$f(x)$与它的极限差不多可以忽略不计，就称$f(x)$为无穷小。
使用无穷小定理可以将函数的极限转化为无穷小的极限计算。
常用的无穷小定理有：常数乘以无穷小还是无穷小、无穷小的加减还是无穷小、无穷小的有界函数与无穷小相乘还是无穷小。
极限的四则运算证明
极限的四则运算证明极限是微积分中的重要概念之一，也是数学中的基础概念之一。
而四则运算是我们日常生活中最常见的运算方式。
本文将通过对极限的四则运算进行证明，来展示这两个概念的结合。
我们来证明极限的加法法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们要证明f(x) + g(x)的极限等于f(a) + g(a)。
首先根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在一个δ1 > 0，当0 < |x - a| < δ1时，有|f(x) - f(a)| < ε/2成立；同样地，存在一个δ2 > 0，当0 < |x - a| < δ2时，有|g(x) - g(a)| < ε/2成立。
我们令δ = min(δ1, δ2)，则当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - f(a) + g(x) - g(a)| ≤ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε/2 + ε/2 = ε，即证明了f(x) + g(x)的极限等于f(a) + g(a)。
接下来，我们来证明极限的减法法则。
设有两个函数f(x)和g(x)，当x趋向于某个数a时，我们要证明f(x) - g(x)的极限等于f(a) - g(a)。
同样地，根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在一个δ1 > 0，当0 < |x - a| < δ1时，有|f(x) - f(a)| < ε/2成立；同样地，存在一个δ2 > 0，当0 < |x - a| < δ2时，有|g(x) - g(a)| < ε/2成立。
我们令δ = min(δ1, δ2)，则当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - f(a) - g(x) + g(a)| ≤ |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| < ε/2 + ε/2= ε，即证明了f(x) -g(x)的极限等于f(a) - g(a)。
高等数学常用极限求法[1]1
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一、求函数极限的方法1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明:1223lim 22=-+-→x x x x 证: 由244122322-+-=--+-x x x x x x()2222-=--=x x x0>∀ε取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有ε<--+-12232x x x由函数极限δε-定义有:1223lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质若 A x f x x =→)(lim 0B x g x x =→)(lim 0(I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0(II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ⋅=⋅=⋅→→→)(lim )(lim )()(lim 0(III)若 B ≠0 则：BAx g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 000（IV ）cA x f c x f c x x x x =⋅=⋅→→)(lim )(lim 0（c 为常数）上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,,例：求 453lim 22+++→x x x x解: 453lim 22+++→x x x x =254252322=++⋅+3、约去零因式（此法适用于型时0,0x x →）例: 求121672016lim 23232+++----→x x x x x x x解:原式=()())12102(65)2062(103lim2232232+++++--+---→x x x x xx x x x xx =)65)(2()103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x=)65()103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2lim -→x 735-=+-x x4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )2144(lim 22xx x ---→解: 原式=)2()2()2(4lim2x x x x -⋅++-→=)2)(2()2(lim2x x x x -+-→=4121lim2=+→x x5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： （I ）0)(lim 0=→x f x x(II) M x g ≤)( (M 为正整数) 则：0)()(lim 0=→x f x g x x例: 求 xx x 1sinlim 0⋅→ 解: 由 0lim 0=→x x 而 11sin≤x故 原式 =01sinlim 0=⋅→xx x6、利用无穷小量与无穷大量的关系。
(完整版)数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设limAn=A,limBn=B,则有法则1:lim(An+Bn)=A+B法则2:lim(An-Bn)=A-B法则3:lim(An·Bn)=AB法则4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n→+∞的符号就先省略了,反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义:如果数列{Xn}和常数A有以下关系:对于∀ε＞0(不论它多么小),总存在正数N,使得对于满足n＞N的一切Xn,不等式|Xn-A|＜ε都成立,则称常数A是数列{Xn}的极限,记作limXn=A.根据这个定义,首先容易证明:引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-B|＜ε.②设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时①②两式全都成立.此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)|≤|An-A|+|Bn-B|＜ε+ε=2ε.由于ε是任意正数,所以2ε也是任意正数.即:对任意正数2ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|(An+Bn)-(A+B)|＜2ε.由极限定义可知,lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理2:若limAn=A,则lim(C·An)=C·A.(C是常数)证明:∵limAn=A,∴对任意正数ε,存在正整数N,使n＞N时恒有|An-A|＜ε.①(极限定义)①式两端同乘|C|,得:|C·An-CA|＜Cε.由于ε是任意正数,所以Cε也是任意正数.即:对任意正数Cε,存在正整数N,使n＞N时恒有|C·An-CA|＜Cε.由极限定义可知,lim(C·An)=C·A.(若C=0的话更好证)法则2的证明:lim(An-Bn)=limAn+lim(-Bn)(法则1)=limAn+(-1)limBn(引理2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An·Bn)=0.证明:∵limAn=0,∴对任意正数ε,存在正整数N₁,使n＞N₁时恒有|An-0|＜ε.③(极限定义)同理对同一正数ε,存在正整数N₂,使n＞N₂时恒有|Bn-0|＜ε.④设N=max{N₁,N₂},由上可知当n＞N时③④两式全都成立.此时有|An·Bn|=|An-0|·|Bn-0|＜ε·ε=ε².由于ε是任意正数,所以ε²也是任意正数.即:对任意正数ε²,存在正整数N,使n＞N时恒有|An·Bn-0|＜ε².由极限定义可知,lim(An·Bn)=0.法则3的证明:令an=An-A,bn=Bn-B.则liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)(法则1)=A-A(引理2)=0.同理limbn=0.∴lim(An·Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an·bn+B·an+A·bn+AB)=lim(an·bn)+lim(B·an)+lim(A·bn)+limAB(法则1)=0+B·liman+A·limbn+limAB(引理3、引理2)=B×0+A×0+AB(引理1)=AB.引理4:如果limXn=L≠0,则存在正整数N和正实数ε,使得对任何正整数n>N,有|Xn|≥ε.证明：取ε=|L|/2>0,则存在正整数N,使得对任何正整数n>N,有|Xn-L|<ε.于是有|Xn|≥|L|-|Xn-L|≥|L|-ε=ε引理5:若limAn存在,则存在一个正数M,使得对所有正整数n,有|An|≤M.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N有|An-A|≤1,于是有|An|≤|A|+1,我们取M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1)即可法则4的证明:由引理4,当B≠0时(这是必要条件),∃正整数N1和正实数ε0,使得对∀正整数n>N1,有|Bn|≥ε0.由引理5,又∃正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An|≤M,|Bn|≤K.现在对∀ε>0, ∃正整数N2和N3,使得:当n>N2,有|An-A|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；当n>N3,有|Bn-B|<ε0*|B|*ε/(M+K+1)；现在,当n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|An*B-Bn*A|/|B*Bn|=|An(B-Bn)+Bn(An-A)|/|B*Bn|≤(|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A-An|)/(|B|*ε0)≤ε(M+K)/((M+K+1)<ε法则5的证明:lim(An的k次方)=limAn·lim(An的k-1次方)(法则3)....(往复k-1次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
数学分析3.4两个重要的极限
第三章函数极限4 两个重要的极限一、证明：limx→0sin xx=1.证：∵sinx<x<tanx(0<x<π2)，∴1<xsin x<1cos x(0<x<π2)，∴cosx<sin xx<1(0<x<π2)，又cos-x=cosx，sin−x−x =sin xx，∴对0<|x|<π2，有cosx<sin xx<1.由limx→0cosx=1，根据极限的迫敛性，limx→0sin xx=1.例1：求limx→πsin x π−x.解：令t=π-x，则sinx=sin(π-t)=sint，且当x→π时，t→0，∴limx→πsin xπ−x=limt→0sin tt=1.例2：求limx→01−cos xx2.解：limx→01−cos xx2=limx2→012sin x2x22=12，二、证明limx→∞1+1xx=e.证：设f(x)=1+1n+1n, g(x)=1+1nn+1, n≤x<n+1, n=1,2,…,则f(x)递增且有上界，g(x)递减且有下界，∴limx→+∞f x与limx→+∞g x都存在，取{x n}={n}，由归结原则得lim x→+∞f x=limn→+∞1+1n+1n=e，limx→+∞g x=limn→+∞1+1nn+1=e，又1+1n+1<1+1x≤1+1n，则1+1n+1n<1+1xx<1+1nn+1，根据迫敛性定理得limx→+∞1+1xx= e.设x=-y，则1+1x x=1−1y−y=1+1y−1y，且当x→-∞，y→+∞，从而有lim x→−∞1+1xx=limy→+∞1+1y−1y−1·1+1y−1=e.∴limx→∞1+1xx=e.注：e的另一种形式：lima→01+a1a=e.证：令a=1x ，则当a→0时，1x→∞，∴lima→01+a1a=lim1x→∞1+1xx=e.例3：求limx→01+2x1x.解：limx→01+2x1x=lim12x→∞1+2x12x2=e2.例4：求limx→01−x1x.解：limx→01−x1x=lim−1x→∞1[1+(−x)]−1x=1e.例5：求limn→∞1+1n−1n2n.解：1+1n −1n2n<1+1nn→e(n→∞)，又当n>1时有1+1n −1n2n=1+n−1n2n2n−1−nn−1≥1+n−1n2n2n−1−2→e(n→∞，即n−1n2→0).由迫敛性定理得：limn→∞1+1n−1n2n=e.习题1、求下列极限： (1)lim x →0sin 2x x；(2)limx →0sin x 3 (sin x)2；(3)lim x →π2cos xx −π2；(4)limx →0tan x x；(5)limx →0tan x −sin xx 3；(6)limx →0arctan xx；(7)lim x →+∞x sin 1x；(8)limx →asin 2 x −sin 2 ax −a；(9)limx → x +1−1(10)limx →0 1−cos x 21−cos x.解：(1)limx →0sin 2x x=lim2x →02sin 2x 2x=2；(2)lim x →0sin x 3(sin x)2=limx →0 x 3sin x 3x 3(sin x )2=limx 3→0sin x 3x3·lim x 2→0xsin x 2·lim x →0x =0； (3)lim x →π2cos x x −π2=lim x −π2→0−sin x −π2x −π2= -1；(4)limx →0tan x x=limx →0sin x x·limx →01cos x=1；(5)lim x →0tan x −sin xx 3=limx →0sinx 1cos x −1x 3=limx →0sin x·1−cos xcos x x 3=limx →02sinx 2cos x 2·2 sin x 2 2cos xx3=limx →04 sinx 2 3·cos x2cos x x3=limx →0sin x 2 3·cos x2cos x 2 x 23=lim x2→0sinx 2x 23·lim x 2→0cosx 22lim x →0cos x =12；(6)令arctan x=y ，则x=tany ，且x →0时，y →0， ∴limx →0arctan xx=limy →0ytan y =limy →0cos ysin y y=1；(7)lim x →+∞x sin 1x =lim 1x→0sin1x1x =1；(8)lim x →asin 2 x −sin 2 ax −a =limx →a sin x −sin a (sin x+sin a)x −a=limx →a2cosx +a 2 sin x −a2x −a·2sin a=limx −a2→0sinx −a2x −a 2·cos a ·2sin a= sin2a ；(9)limx →x +1−1lim x →0( x+1+1)sin 4xx=8lim4x →0sin 4x 4x=8；(10)lim x →0 1−cos x 21−cos x=limx →0 2sin x 222 sin x 22= 2limx →0sinx 22 x 22 sinx 2x 22= 2.2、求下列极限：(1)limx→∞1−2x−x；(2)limx→01+ax1x(a为给定实数)；(3)limx→01+tan x cot x；(4)limx→01+x1−x1x；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1；(6)limx→+∞1+αxβx(α,β为给定实数)解：(1)limx→∞1−2x−x=lim−x2→∞1+1−x2−x22=e2；(2)limx→01+ax1x=lima x→01+ax1axa=e a；(3)limx→01+tan x cot x=limtan x→01+tan x1tan x=e；(4)limx→01+x1−x1x=limx→01+x1x1−x1x=limx→01+x1xlim−x→0[1+−x]1−x−1=e2；(5)limx→+∞3x+23x−12x−1=limx→+∞1+33x−16x−33=lim33x−1→0+1+33x−123x−1−13=lim33x−1→0+1+33x−123x−13lim33x−1→0+1+33x−113=e2；(6)limx→+∞1+αxβx=limx→+∞1+αxαβxα=limαx→0+1+αxxααβ=eαβ.3、证明：limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.证：∵cos xcos x2cos x22…cos x2n=2n+1cos xcos x2cos x22…cos x2nsin x2n2n+1sin x2n=sin 2x2n+1sin x2n=sin 2x2xsin x2nx2n=x2nsin x2n·sin 2x2x；∴当x≠0时，limn→∞ cos xcos x2cos x22…cos x2n=limx2n→0x2nsin x2n·sin 2x2x=sin 2x2x；lim x→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=lim2x→0sin 2x2x=1.当x=0时，cos xcos x2cos x22…cos x2n=1，∴limx→0limn→∞cos xcos x2cos x22…cos x2n=1.4、利用归结原则计算下列极限：(1)limn→∞n sinπn；(2)limn→∞1+1n+1n2n.解：(1)∵limx→∞x sinπx=limx→∞sinπxπx·x=limπx→0sinπxπx·limx→∞x=0根据归结原则，limn→∞n sinπn=0.(2)∵当x>0时，1+1x +1x2x>1+1xx→e(x→+∞)，又1+1x +1x2x=1+x+1x2x2x+1+xx+1<1+x+1x2x2x+1→e(x→+∞，即x+1x2→0)，∴limx→+∞1+1x+1x2x=e根据归结原则，limn→∞1+1n+1n2n=e.。
用极限定义证明极限的几种方法
用极限定义证明极限的几种方法在数学中，极限是一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点的邻近区域内的行为。
极限的定义是严格的，而且它的证明方法多种多样。
在本文中，我们将探讨用极限定义证明极限的几种方法。
一、直接代入法直接代入法是最简单的证明极限的方法之一。
它适用于那些可以直接计算出函数值的情形。
如果我们知道函数在某一点的极限值，那么我们只需要将该点的值代入函数，然后证明该值等于极限值即可。
例如，我们要证明函数f(x)=x^2在x=2处的极限为4，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道f(2)=4。
2.接下来，我们选择一个足够小的正数ε，例如ε=0.1。
3.然后，我们找到一个足够小的正数δ，例如δ=0.1。
4.对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们有|f(x)-4|=|x^2-4|=|x-2||x+2|<δ|x+2|。
5.由于|x-2|<δ=0.1，所以1.9<x<2.1，所以|x+2|<4.1。
6.所以|f(x)-4|<0.1×4.1=0.41<ε=0.1。
7.所以，对于所有满足0<|x-2|<δ的x，我们都有|f(x)-4|<ε，这就证明了f(x)在x=2处的极限为4。
二、利用极限的四则运算法则如果我们要证明的函数是由其他函数通过四则运算得到的，那么我们可以利用极限的四则运算法则来证明该函数的极限。
这些法则包括：1.和差的极限等于极限的和差：lim(f(x)±g(x))=lim f(x)±lim g(x)。
2.乘积的极限等于极限的乘积：lim(f(x)g(x))=lim f(x)×lim g(x)。
3.商的极限等于极限的商：lim(f(x)/g(x))=lim f(x)/lim g(x)，其中limg(x)≠0。
例如，我们要证明函数f(x)=(2x-1)/(3x+2)在x=1处的极限为1/5，我们可以按照以下步骤进行：1.首先，我们知道函数f(x)是由两个函数g(x)=2x-1和h(x)=3x+2通过除法得到的。
(完整版)极限四则运算
§1.5 极限的运算法则极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面来叙述有关无穷小的运算定理。
定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小；2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小；2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
二 极限的四则运算法则利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。
定理2 如果()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →= 则()()()(),()(),0()f x f xg x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且（1） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±⎡⎤⎣⎦（2） ()()()()0lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==⎡⎤⎣⎦（3） ()()()()000lim lim(0).lim x xx x x x f x f x A B g x g x B→→→==≠ 证 1因为()0lim x x f x A →=， ()0lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>∃>∀δε，当100δ<-<x x 时，有2)(ε<-A x f ，对此ε，02>∃δ，当200δ<-<x x 时，有2)(ε<-B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有εεε=+<-+-≤-+-=+-+22)()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0。
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法极限是微积分中的一个重要概念，用来描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
在数学中，有多种方法可以用来证明极限的存在或计算极限的值。
本文将介绍几种常用的证明极限的方法。
一、数列极限的证明方法数列极限是极限的一种特殊情况，通常用来描述数列在无穷项处的趋势。
对于数列${a_n}$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正整数$N$，使得当$n>N$时，有$|a_n-a|<\varepsilon$成立，则称数列${a_n}$的极限为$a$，记作$\lim\limits_{n\to\infty} a_n=a$。
数列极限的证明方法主要有夹逼准则、单调有界准则等。
夹逼准则是证明数列极限存在的常用方法。
其思想是通过夹逼数列，找到一个已知的收敛数列，使得待证数列夹在这两个数列之间。
然后利用已知数列的极限，推导出待证数列的极限。
例如，要证明数列${\frac{1}{n}}$收敛于0，可以利用夹逼准则。
首先，我们知道对于任意正整数$n$，都有$0<\frac{1}{n}<\frac{1}{1}=1$。
又因为$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{1}=0$，所以根据夹逼准则，数列${\frac{1}{n}}$的极限存在且为0。
二、函数极限的证明方法函数极限是极限的一般情况，用来描述函数在某一点处的趋势。
对于函数$f(x)$，如果存在一个实数$a$，使得对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，有$|f(x)-a|<\varepsilon$成立，则称函数$f(x)$在点$a$处具有极限$a$，记作$\lim\limits_{x\to a} f(x)=a$。
函数极限的证明方法主要有$\varepsilon-\delta$准则、夹逼准则等。
如何证明极限的运算法则
如何证明极限的运算法则极限的运算法则是一组重要的数学公式，可以用来计算极限的和、差、积、商等。
这些公式在微积分和其他数学领域中都非常常见，因此了解如何证明它们的正确性是非常重要的。
首先，我们考虑极限的加法法则。
假设有两个函数f(x)和g(x)，它们都在x=a处有极限L和M。
那么，根据极限的定义，我们可以得到：lim(x→a) f(x) = Llim(x→a) g(x) = M现在，让我们考虑函数f(x)+g(x)在x=a处的极限。
根据极限的定义，我们可以写出：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M这个结果表明，当x趋近于a时，函数f(x)和g(x)的和也会趋近于它们的极限和L和M的和。
因此，我们可以得出极限的加法法则：lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)这个公式说明了极限的和可以通过分别计算每个函数的极限并相加来计算。
接下来，我们考虑极限的乘法法则。
假设有两个函数f(x)和g(x)，并且它们在x=a处都有极限L和M。
那么，我们可以写出：lim(x→a) f(x) = Llim(x→a) g(x) = M现在，让我们考虑函数f(x)×g(x)在x=a处的极限。
根据极限的定义，我们可以写出：lim(x→a) [f(x) × g(x)] = L × M这个结果表明，函数f(x)和g(x)的乘积的极限等于它们的极限L和M的乘积。
因此，我们可以得出极限的乘法法则：lim(x→a) [f(x) × g(x)] = lim(x→a) f(x) × lim(x→a) g(x)这个公式说明了极限的乘积可以通过分别计算每个函数的极限并相乘来计算。
最后，我们考虑极限的减法和除法法则。
这些法则可以通过将减法和除法运算转化为加法和乘法运算来证明。
例如，我们可以将函数f(x)和g(x)的差表示为：f(x) - g(x) = f(x) + (-g(x))然后，我们可以将减法转化为加法，并使用极限的加法法则来计算极限的差。
证明极限的几种方法.
证 明 极 限 的 几 种 方 法丹东十中 于君伟极限证明的方法有许多种，包括：极限定义、极限的性质、迫敛定理、单调有界准则、两个重要极限、洛必塔法则、泰勒公式、无穷小量、定积分定义、不动点原理、导数定义、积分中值定理、区间套定理、逆推关系及斯锋兹定理等。
既然证明极限有如此多的方法，那么，我们是否对每个方法都理解得透彻呢？本文针对这一 点，列举了四种极限证明的方法：1.利用极限定义；2.利用夹逼定理；3.利用洛必塔法则；4.利用定积分定义。
一、利用极限的定义：下面是数列与函数极限定义的对照表记号 任给 当自变量变到 有关系式 结论n n x Lim ∞→= a ε>0 n > N ε<-a x n 当n ∞→时，{x n }的极限为a)(0x f Lim x x →= A ε>0 0<0x x -<δ A x f -)(<ε 当x 0x →时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x ∞→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x ∞→时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x +∞→= A ε>0 x >N A x f -)(<ε 当x +∞→时，f(x)以A 为极限)(x f Lim x -∞→= A ε>0 x <-N A x f -)(<ε 当x -∞→时，f(x)以A 为极限根据极限定义，我们可以知道无论是“N -ε”定义,还是“δε-”定义，对于ε都有任意性，它强调n a 或f(x)超过极限A 的程度，但N 与δ则强调的是存在性，只需找到即可，也就是能够找到某N （ε）[或δ（ε）]，当n>N(ε)[或<0)(0εδ<-x x ]时，满足a x n -<ε[或A x f -)(<ε]即可。
那么，我们通常可以把证明某个极限问题归结为三类：〈1〉直接法；〈2〉解析法；〈3〉定量法。
函数极限的四则运算法则证明过程
函数极限的四则运算法则证明过程函数极限的四则运算法则是指在计算函数极限时，如果两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商的极限也存在，并且满足一定的运算规则。
下面我们来逐步证明四则运算法则的正确性。
1. 和的极限法则证明：设函数序列{f_n(x)}和{g_n(x)}分别收敛于函数f(x)和g(x)，即lim{n→∞}f_n(x) = f(x)和lim{n→∞}g_n(x) = g(x)。
我们要证明lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) +g(x)。
根据极限的定义，对于任意ε > 0，存在N1和N2，当n>N1时有|f_n(x) - f(x)| < ε/2，当n>N2时有|g_n(x) - g(x)| < ε/2。
取N = max{N1, N2}，则当n>N时有|f_n(x) + g_n(x) - (f(x) + g(x))| = |(f_n(x) -f(x)) + (g_n(x) - g(x))| ≤ |f_n(x) - f(x)| + |g_n(x) - g(x)| < ε/2 + ε/2 = ε。
因此，lim{n→∞}(f_n(x) + g_n(x)) = f(x) + g(x)。
2. 差的极限法则证明：类似地，我们可以证明lim{n→∞}(f_n(x) - g_n(x)) = f(x) - g(x)。
3. 积的极限法则证明：要证明lim{n→∞}(f_n(x) * g_n(x)) = f(x) * g(x)，我们可以利用极限的乘法法则进行证明。
具体证明步骤略。
4. 商的极限法则证明：对于lim{n→∞}(f_n(x) / g_n(x)) = f(x) / g(x)，我们需要额外假设g(x) ≠ 0，以避免出现除以零的情况。
具体证明步骤略。
综上所述，通过以上证明过程，我们可以得出函数极限的四则运算法则的正确性。
在实际计算函数极限时，可以根据这些法则简化计算过程，提高计算的效率。
数列极限四则运算法则的证明
数列极限四则运算法则的证明设 limAn=A,limBn=B, 则有法则 1:lim(A n+B n)=A+B法则 2:lim(An-Bn)=A-B法则 3:lim(An • Bn)=AB法则 4:lim(An/Bn)=A/B.法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数)(n T + g的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.)首先必须知道极限的定义：如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？£>0(不论它多么小)，总存在正数 N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| <e都成立，则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A.根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身)法则1的证明：•••limAn=A,二对任意正数£ ,存在正整数N?,使n > N?寸恒有|An-A| <£ .(极限定义)同理对同一正数& ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-B| <£ .②设N=max｛N ?,N?｝,由上可知当n > N时①②两式全都成立.此时 |(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn- B)| < |AA|+|Bn-B| <£ + £ =2 £.由于&是任意正数，所以2 &也是任意正数.即:对任意正数2 £ ,存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 £.由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B.为了证明法则2,先证明1个引理.引理 2:若 limAn=A,贝U lim(C • An)=C(C・是常数)证明:vlimAn=A, 二对任意正数e ,存在正整数N,使n > N时恒有|An-A| Ve .(极限定义)①式两端同乘|C|,得：|C • -CA| v C e.由于e是任意正数，所以C e也是任意正数.即:对任意正数 C e ,存在正整数N,使n > N时恒有|C -C A n V C e.由极限定义可知，lim(C ・AAn=O0的话更好证)法则2的证明：lim(A n-B n)=limAn+lim(-Bn)( 法则 1)=limAn+(-1)limBn ( 引理 2)=A-B.为了证明法则3,再证明1个引理.引理 3:若 limAn=O,limBn=0, 贝U lim(An • Bn)=0.证明:vlimAn=0, 二对任意正数e ,存在正整数N ?,使n > N ?时恒有|An-0| Ve .(极限定义) 同理对同一正数 e ,存在正整数N?,使n > N?时恒有|Bn-0| Ve .④设N=max{N ?,N?},由上可知当n > N时③④两式全都成立.此时有 |An • =Bnn- 0| • \Bn<£•=££ 2.由于&是任意正数，所以£ 2也是任意正数即:对任意正数£ 2,存在正整数，使n> N时恒有|An -0|B< & 2.由极限定义可知，lim(A n • Bn )=0.法则3的证明：令an=An-A,bn=Bn-B.则 liman=lim(An-A)=limAn+lim(-A)( 法则 1)=A-A (引理 2) =0.同理 limbn=0./• lim(A n • Bn)=lim[(an+A)(bn+B)]=lim(an • bn+B • an+A • bn+AB)=lim(a n • bn )+lim(B • an )+lim(A • b法则mAB=0+B • liman+A • limbn+limAB引理 3、引理 2)=B x 0+A x 0+AB (引理 1) =AB.引理4:如果limXn=L 工0,则存在正整麵和正实数£ ,使得对任何正整数n>N,有|Xn| >£.证明：取£ =|L|/2>0, 则存在正整数使得对任何正整数n>N,有|Xn- L|< £ .于是有|Xn- > |L| |Xn- L| > -L£ = £引理5:若limAn存M,使得对所有正整数n,有|An| wM.证明：设limAn=A,则存在一个正整数N,使得对n>N 有|An- A| w 1,于是有|An| w |A|+1, 我们取 M=max(|A1|,...,|AN|,|A|+1) 即可法则4的证明：由引理4,当B M0时（这是必要条件）,？正整数 N1和正实数£ 0,使得对正整数n>N1,有|Bn| 0.由引理5,又？正数M,K,使得使得对所有正整数n,有|An| < M,|Bn| < K.现在对？£ >0?正整数N2和N3,使得：当 n>N2,有|An- A|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);当 n>N3,有 |Bn- B|< £ 0*|B|* £ /(M+K+1);现在，当 n>max(N1,N2,N3)时,有|An/Bn-A/B|=|A n*B-B n*A|/|B*B n|=|A n( B-B n)+B n(An-A)|/|B*B n|w (|An|*|B-Bn|+|Bn|*|A- An|)/(|B|* £ 0)(M+K)/((M+K+1)< £法则5的证明：lim(An 的k次方)=limAn • lim(A的 k-1 次方)(法则 3)....(往复 k-1 次)=(limAn)的k次方=A的k次方.。
证明极限的几种方法
证明极限的几种方法一、数列极限法数列极限法是证明极限的常用方法之一。
对于数列 {an}，如果存在实数 a，使得当 n 趋向于无穷大时，数列 {an} 的每一项与 a 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（an - a）= 0，那么我们称数列 {an} 的极限为 a。
例如，考虑数列 {1/n}，当 n 趋向于无穷大时，数列的每一项与 0 的差的绝对值趋近于零，即lim(n→∞)（1/n - 0）= 0。
因此，数列 {1/n} 的极限为 0。
二、函数极限法函数极限法是证明极限的另一种常用方法。
对于函数 f(x)，如果存在实数 a，使得当 x 趋向于某一点 x0 时，函数 f(x) 的取值趋近于 a，即lim(x→x0) f(x) = a，那么我们称函数 f(x) 在 x0 处的极限为 a。
例如，考虑函数 f(x) = 1/x，当 x 趋向于无穷大时，函数的取值趋近于 0，即lim(x→∞) 1/x = 0。
因此，函数 f(x) 在x = ∞ 处的极限为 0。
三、夹逼定理夹逼定理是一种常用的证明极限的方法，适用于一些比较复杂的函数。
夹逼定理的核心思想是找到两个函数 g(x) 和 h(x)，使得对于给定的 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且当 x 趋向于某一点 x0 时，g(x) 和 h(x) 的极限相等，即lim(x→x0) g(x) = lim(x→x0) h(x) = a。
例如，考虑函数 f(x) = x^2sin(1/x)，我们想证明当 x 趋向于 0 时，f(x) 的极限为 0。
为了使用夹逼定理，我们可以找到两个函数g(x) = -x^2 和 h(x) = x^2，使得对于任意 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
当 x 趋向于 0 时，g(x) 和 h(x) 的极限都为 0。
因此，根据夹逼定理，我们可以得出lim(x→0) f(x) = 0。
四、极限的代数运算法则极限的代数运算法则是一组用于计算极限的规则。
极限四则运算的证明
极限四则运算的证明极限四则运算的证明是基于极限的定义和四则运算的性质来证明的。
对于任意给定的两个数列a_n和b_n，我们可以定义它们的和、差、积和商：1.和：(a_n + b_n) = lim(n→∞)(a_n + b_n)2.差：(a_n - b_n) = lim(n→∞)(a_n - b_n)3.积：(a_n * b_n) = lim(n→∞)(a_n * b_n)4.商：(a_n / b_n) = lim(n→∞)(a_n / b_n)这里用到的是极限的定义，即当n趋近于无穷大时，a_n和b_n 的极限存在且唯一。
同时，我们还需要用到四则运算的性质，即加、减、乘、除四种运算都是有交换律、结合律和分配律的。
对于任意的a、b、c、d四个数，我们可以将它们分别表示为两个数列a_n和b_n的极限：a = lim(n→∞)a_nb = lim(n→∞)b_nc = lim(n→∞)c_nd = lim(n→∞)d_n那么，根据四则运算的性质，我们有：1.a + b = lim(n→∞)(a_n + b_n) = lim(n→∞)a_n + lim(n →∞)b_n = a + b2.a - b = lim(n→∞)(a_n - b_n) = lim(n→∞)a_n - lim(n →∞)b_n = a - b3.ab = lim(n→∞)(a_n * b_n) = lim(n→∞)a_n * lim(n→∞)b_n = ab4.a/b = lim(n→∞)(a_n / b_n) = lim(n→∞)a_n / lim(n→∞)b_n = a/b (假设b不等于0)这个证明过程比较简单，但是它为后续的极限运算提供了重要的基础。
同时，这个证明也揭示了极限和四则运算之间密切的关系，为我们深入理解数学的基本原理提供了帮助。
函数极限计算函数的极限和证明极限存在性
函数极限计算函数的极限和证明极限存在性函数的极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某个点附近的行为趋势。
在本文中，我们将介绍如何计算函数的极限以及如何证明函数的极限存在性。
请注意，全文将以适合的格式进行书写，无需再重复提及标题。
一、函数极限的定义函数f(x)在点x=a的极限为L，表示为lim(x→a) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在着一个对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，总有|f(x)-L|<ε成立。
二、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有多种，下面我们将介绍一些常用的方法。
1. 代入法：当函数在某个点或在某个点的一个极限为给定的数值时，可以直接代入该值计算极限。
例如，计算lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)时，可以将x=2代入函数中得到结果为4。
2. 四则运算法则：根据四则运算法则，可以将函数进行恰当的化简，然后逐项计算极限，最后求得函数的极限。
例如，计算lim(x→1) (x^3-1)/(1-x^2)时，可将函数化简为lim(x→1) (x-1)/(1+x)(1-x)，然后依次计算极限得到结果为1。
3. 复合函数法：若函数表达式为两个函数的复合形式，可以分别计算内层函数和外层函数的极限，然后求得复合函数的极限。
例如，计算lim(x→0) sin(2x)/x时，可首先计算lim(x→0)sin(2x)/2x得到结果为2，再计算lim(x→0) 2得到结果为2，最终得到lim(x→0) sin(2x)/x=2。
三、极限存在性的证明方法要证明函数的极限存在，我们可以使用数学分析中的一些常用方法。
下面我们将介绍两种常用的证明方法。
1. ε-δ定义证明法：根据函数极限的定义，我们可以使用ε和δ的取值关系，来证明函数的极限存在性。
例如，要证明函数lim(x→1) x^2 = 1，对于任意给定的ε>0，我们可以选择δ=√ε，这样当0<|x-1|<√ε时，有|x^2-1|=|x-1||x+1|<√ε(|x+1|+1)<2√ε<ε成立，因此函数的极限存在。
关于极限的经典题型
关于极限的经典题型
1. 计算极限：例如计算 lim(x->0) (sinx/x)， lim(x->∞) (1/x)，
lim(x->∞) (e^x / x^k)等等。
2. 证明极限存在：例如证明 lim(x->0) (sinx/x) 存在。
3. 求极限和：例如求 lim(x->∞) (1/x + 2/x^2 + 3/x^3 + ... +
n/x^n)。
4. 证明极限不存在：例如证明 lim(x->∞) (sinx) 不存在。
5. 利用夹逼定理求极限：例如利用夹逼定理证明 lim(x->0)
(x^2sin(1/x)) = 0。
6. 利用泰勒级数求极限：例如利用泰勒级数展开sinx 和cosx，然后计算 lim(x->0) (sinx / x)。
7. 利用洛必达法则求极限：例如计算 lim(x->0) (sinx / x)，可
以利用洛必达法则将该极限转化为对两个函数导数的极限计算。
8. 利用极限的性质求极限：例如利用极限的性质证明 lim(x-
>∞) (x^n / e^x) = 0，其中 n为大于0的常数。
9. 利用换元法求极限：例如计算 lim(x->0) ((1-cosx) / x^2)，可
以进行换元 u = x^2，然后计算 lim(u->0) ((1-cos(sqrt(u))) / u)。
10. 利用特殊极限求极限：例如计算 lim(x->∞) ((x+1)^2 / x) - x - 1，可以进行因式分解并利用特殊极限 lim(x->∞) (1/x) = 0 来
计算。
极限值公式
极限值公式
极限值公式是一种广泛应用于数学中的重要工具，通过求解极限值可以将复杂的问题化繁为简，可以大大简化计算过程。
以下是极限值公式：
limit(f(x)，x->a) = L 的意义是：对于任意ε>0，存在一个正数δ>0，当
0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个公式可以用以下的方式来理解：
当x越来越接近a时，f(x)也越来越接近L。
所以，当我们有一个正数ε的时候，我们可以找出一个正数δ，使得当x的距离a小于δ的时候，f(x)的距离L也小于ε。
因此，当x在0和a之间时，只要x距离a的距离足够小，f(x)的距离L就足够小。
此外，极限值公式也可以用于解决一些实际问题，例如计算某个曲线的斜率，或者计算某个函数的导数。
极限运算法则证明
极限运算法则证明极限运算法则是微积分中的重要概念，它能够帮助我们求解各种复杂的极限问题。
在本文中，我将通过几个具体的例子，来展示极限运算法则的应用和证明。
我们来看一下极限的定义。
对于一个函数f(x)，当x趋近于某个值a 时，如果存在一个常数L，使得对于任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，那么我们就说函数f(x)在x趋近于a的过程中有极限L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
我们来看一下极限的唯一性。
如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。
假设lim┬(x→a)〖f(x)=L_1〗，lim┬(x→a)〖f(x)=L_2〗，其中L_1≠L_2。
那么我们可以选择ε=|L_1-L_2|/2，根据极限的定义，存在δ_1>0和δ_2>0，使得当0<|x-a|<δ_1时，有|f(x)-L_1|<ε，当0<|x-a|<δ_2时，有|f(x)-L_2|<ε。
取δ=min{δ_1, δ_2}，那么当0<|x-a|<δ时，既有|f(x)-L_1|<ε，又有|f(x)-L_2|<ε。
而根据三角不等式，我们可以得到|L_1-L_2|≤|f(x)-L_1|+|f(x)-L_2|<2ε=|L_1-L_2|，这是一个矛盾，因此我们得出结论，如果一个函数在某个点存在极限，那么这个极限是唯一的。
接下来，我们来看一下极限的四则运算法则。
假设lim┬(x→a)〖f(x)=L_1〗，lim┬(x→a)〖g(x)=L_2〗，那么根据四则运算法则，我们有以下结论：1. 两个函数的和的极限等于两个函数极限的和，即lim┬(x→a)〖(f(x)+g(x))=L_1+L_2〗。
2. 两个函数的差的极限等于两个函数极限的差，即lim┬(x→a)〖(f(x)-g(x))=L_1-L_2〗。
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极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01
lim
=∞→n
n 证：要使ε<-01n
，只须ε
1
>n ，故
0>∀ε，11
+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01
n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限
例、证明：0!
lim =∞→n a n
n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤
()ε<⋅≤+⋅==-n a k a n k a a k a n a n a k
k
n
n
!1!!0! ，ε
!1
k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!
n a n
3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()
n
n n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞
→ 解：
()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()n
n n n n n 41
125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>
∴ ()()n n n 41
2642125312
>⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅
两边开n 2次方： ()()121
21412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n n
n
n n n
由两边夹：()()
1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞
→n
n n n
4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问
题
例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p
p
n l S →()∞→n
证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n
再记n n l S α+=()n n
l l
l βα+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p
p
n l S β+=1。
若取定自然数p K >，则当1<n β时 ()()()K
n p n K
n βββ+≤+≤-111
()()()K
n p
p
n p n p
K
n p
l S l l βββ+≤=+≤-111
由两边夹得证。
5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易
求极限
例、求极限()
1sin lim
2+∞
→n n π 解：()
1sin lim 2+∞→n n π=()
πππn n n n -++∞
→1sin lim 2 =()()
ππn n n
n -+-∞
→1sin 1lim
2
=()01sin 1lim 2
2
=++-∞
→π
ππn n n
n
6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→，其中K 是自然数
解：令 ()111-+=K
x y
当1<x 时，有 ()x x x K
+≤+≤-1111，所以00→⇒→y x 利用复合函数求极限法则可得 ()
x
x K
x 1
1lim
10
-+→()()K
y y K K Ky y
y y
K y K y 112
1
lim
1
1lim
20
=
++-+
=-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算
例、2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim
2
02
2020=⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2
cos
1cos 1lim
0x x
x --→
解：x cos 1-～221x ，2cos 1x -～2
221⎪⎭⎫
⎝⎛⋅x ()0→x
2cos 1cos 1lim
0x x
x --→422121lim 2
2
0=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅=→x x
x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2
11n n n x x x +=
+， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞
→lim 存在，并求此极限。
证明：0>n x 211n n n x x x +=
+22
12=⋅≥n
n x x 022212
1≤-=-+=-+n
n n n n n n x x x x
x x x ，n
n x x ≤+1
且 2≥n x ，∴n n x ∞
→lim 存在
令 =l n n x ∞
→lim ，有 2
1l l l +=，22=l ，2=l
10、利用海涅定理解决极限问题
例、试证明函数()x
x f 1sin =当0→x 时极限不存在 证：取02
21→+
=
π
πn x n ，021
→=
π
n y n ()∞→n 而 ()1=n x f ，()0=n y f ，得证 11、把求极限问题化为导数问题计算 例、求极限()
x x K
x 1
1lim
10-+→，其中K 是自然数
解：()x
x K
x 1
1lim
10
-+→1'1
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=x x K K 1= 12、利用洛必达法则求极限
例、()π
π
--→x x tgx 202
lim 解：令=A ()π
π
--→x x tgx 202
lim ln ln =A ()ππ--→x x tgx 202
lim ()π
π
--→=x x tgx 20
2
ln lim ()tgx x x ln 2lim 02
ππ-=-→()
1
2
2ln lim --→-=ππ
x tgx
x ()tgx
x x x 2
20
2
22sec lim
--→--=ππ
()21cos sin 221lim 2
02-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-→x x x x ππ02sin 24lim 2
02=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--→x x x πππ 所以()1lim 0202
===--→e A tgx x x π
π
13、把求极限的表达式化为积分和的形式，用定积分进行计算
例、设n
n n S n 21
2111+
++++=
，求n n S ∞→lim 解：n n n S n 21
2111+++++= n
i n n i +⋅=∑=1111，n n S ∞→lim 2ln 1110=+=⎰dx x
14、利用第一积分中值定理处理定积分的极限问题
例、求⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 解：由第一积分中值定理
⎰
⎰+=
+1
1
011
1dx x dx x x n n
n ξ1
1
11+⋅+=
n n ξ，()10≤≤n ξ 所以⎰+∞→1
01lim
dx x
x n
n 0= 15、利用收敛级数的必要条件求极限
例、求!
lim n x n
n ∞→ 解：已知指数函数的幂级数展开式∑∞
==0!
n n
x
n x e 对于一切R x ∈收敛
而收敛级数的一般项趋于0，故得!
lim n x n
n ∞→0= 16、用带有皮亚诺余项的泰勒展开式求函数或序列的极限
例、⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-∞
→x x x x 11ln lim 2
解：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 11ln 2
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅--=22
2101211x x x x x 2
2112
1x x o ⎪⎭⎫
⎝⎛-=
原式2
1
=
17、利用柯西收敛准则处理极限问题
例、用Cauchy 收敛准则证明111
13521
n x n =++++-无极限. 证: 取010,05
N ε=>∀>,任取,n N p n >=,有
211
11
.2123
414144
n p n n n n n x x x x n n n n n ε+-=-=
+++
≥>=>++-- 故由Cauchy 收敛准则知,{}n x 为发散数列.
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