极限的计算、证明

极限的论证计算，其一般方法可归纳如下 1、 直接用定义()等δεε--,N 证明极限 例、试证明01

lim

=∞→n

n 证：要使ε<-01n

，只须ε

1

>n ，故

0>∀ε，11

+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=∃εN ，N n >∀，有ε<-01

n 2、 适当放大，然后用定义或定理求极限或证明极限

例、证明：0!

lim =∞→n a n

n ，0>a 证：已知0>a 是一个常数 ∃∴正整数k ，使得k a ≤

()ε<⋅≤+⋅==-n a k a n k a a k a n a n a k

k

n

n

!1!!0! ，ε

!1

k a n k +> 1!,01+⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡=∃>∀∴+εεk a N k ，当N n >时，有 ε<-0!

n a n

3、用两边夹定理在判定极限存在的同时求出极限 例、求()()

n

n n n 264212531lim ⋅⋅-⋅⋅∞

→ 解：

()()()()n n n n n 212264212753264212531⋅-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ()()()()n

n n n n n 41

125312642211253264⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅>

∴ ()()n n n 41

2642125312

>⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅-⋅⋅

两边开n 2次方： ()()121

21412642125311222→⋅=>⋅⋅-⋅⋅>n n n n

n

n n n

由两边夹：()()

1264212531lim =⋅⋅-⋅⋅∞

→n

n n n

4、 利用等价性原理把求一般极限的问题化为无穷小量的极限问

题

例、设0≠→l S n ()∞→n ，0>p 为常数，求证：p

p

n l S →()∞→n

证：00→-≤-≤l S l S n n ，得 l S n →()∞→n 记 n n l S α+=，其中 0→n α()∞→n

再记n n l S α+=()n n

l l

l βα+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=11，其中0→=l n n αβ()∞→n 则有()p n p

p

n l S β+=1。 若取定自然数p K >，则当1

n p n K

n βββ+≤+≤-111

()()()K

n p

p

n p n p

K

n p

l S l l βββ+≤=+≤-111

由两边夹得证。

5、 通过分子有理化或分子分母同时有理化将表达式变形使之易

求极限

例、求极限()

1sin lim

2+∞

→n n π 解：()

1sin lim 2+∞→n n π=()

πππn n n n -++∞

→1sin lim 2 =()()

ππn n n

n -+-∞

→1sin 1lim

2

=()01sin 1lim 2

2

=++-∞

→π

ππn n n

n

6、 换变量后利用复合函数求极限法则求极限 例、求极限()

x

x K

x 1

1lim

10

-+→，其中K 是自然数

解：令 ()111-+=K

x y

当1

+≤+≤-1111，所以00→⇒→y x 利用复合函数求极限法则可得 ()

x

x K

x 1

1lim

10

-+→()()K

y y K K Ky y

y y

K y K y 112

1

lim

1

1lim

20

=

++-+

=-+=→→ 7、 进行恒等变形化成已知极限进行计算

例、2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim

2

02

2020=⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、用等价无穷小量进行变量替换后求极限 例、求极限2

cos

1cos 1lim

0x x

x --→

解：x cos 1-～221x ，2cos 1x -～2

221⎪⎭⎫

⎝⎛⋅x ()0→x

2cos 1cos 1lim

0x x

x --→422121lim 2

2

0=⎪

⎭

⎫ ⎝⎛⋅=→x x

x 9、利用存在性定理确定极限的存在性并求极限 例、2

11n n n x x x +=

+， ,2,1=n ，01>=a x 证明：n n x ∞

→lim 存在，并求此极限。

证明：0>n x 211n n n x x x +=

+22

12=⋅≥n

n x x 022212

1≤-=-+=-+n

n n n n n n x x x x

x x x ，n

n x x ≤+1