高等数学题库第04章(不定积分)
2019-20202第一学年年高等数学上册第四场不定积分的思考与练习
（1） x 5dx , （2） 2 x dx , （3） e x1dx ,
（4） (cos x sin x)dx ,
（5）
1
2 x
2
dx ,（6）
2 1 x2
dx ,（7） (ex
3
x
)dx
,（8）
(
s
1 in 2
x
1 cos2
)dx . x
解：（1） x5dx x15 C x6 C .
dx 1
1 d( x ) 2 arctan 2 x C .
2 x2 2 1 ( x )2
2 1 ( x )2
2
2
2
2
2
（12）
dx
dx
=
=
4 - x2 2 1-(x)2
1 d( x ) = arcsin x C .
1-(x)2 2
2
2
2
（13） d(5cosx 2sin x) (2cosx 5sin x)dx ,
dx
1 (2x)2
= x arctan 2x
d(x2 ) 1 4x2
= x arctan 2x 1 1 d(1 4x2 )
4 1 4x2
= x arctan 2x 1 ln(1 4x2 ) C . 4
（3） xe4xdx 1 xde4x 1 xe4x 1 e4xdx
4
4
4
2
2
（5）
x
dx
1
(1
x
2
)
1 2
d(1
x
2
)
1 x2
C .
1 x2
2
（6） xdx 1 d(x2 ) 1 arcsin x2 C .
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
(完整word版)高等数学不定积分相关题目和答案
不定积分一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 如果xe-是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰。
2. 若()2cos 2xf x dx C =+⎰，则()f x = 。
3. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 。
4.()()f x df x =⎰ 。
5. sin cos x xdx =⎰。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
A . cot 4xB . cot 4x -C . 3cos4xD . 3cot 4x2. ln x dx x =⎰（ ）。
A . 21ln 2x x C + B .21ln 2x C + C . ln x C x+ D .221ln xC x x-+ 3. 若()f x 为可导、可积函数，则（ ）。
A . ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰B . ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C .()()f x dx f x '=⎰ D . ()()df x f x =⎰4. 下列凑微分式中（ ）是正确的。
A . 2sin 2(sin )xdx d x = B .d = C . 1ln ()x dx d x = D . 21arctan ()1xdx d x=+ 5. 若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）。
A . 222(1)x C ++ B . 222(1)x C --+C . 221(1)2x C ++D . 221(1)2x C --+三、计算题（每小题8分，共48分） 1. 2194dx x -⎰2.3. dx x⎰4. arcsin xdx ⎰5. dx x xx ⎰++21arctan6. .)1(21222dx x x x ⎰++四、综合题（本大题共2小题, 总计22分）1.（10分）求⎰'''⋅-'dx x f x f x f x f x f ])()()()()([32的值。
大学数学不定积分必看习题
x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x
不定积分习题及答案
不定积分习题及答案9．求()()()()()dx x f x f x f x f x f ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'''-'32。
10．()d x x x ⎰1,,max 23。
第四章 不定积分(A 层次)1．⎰xx dx cos sin解：原式()()⎰⎰+===C tgx tgxtgx d dx tgx x ln sec 2 2．⎰--dx xx 2112解：原式()⎰⎰+---=-----=C x x x dx x x d arcsin 1211122223．()()⎰-+21x x dx解：原式()()[]⎰+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=C x x dx x x 2ln 1ln 31211131 C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-=12ln 314．⎰xdx x 7sin 5sin 解：原式()⎰⎰⎰-=--=xdx xdx dx x x 12cos 212cos 212cos 12cos 21C x x +-=12sin 2412sin 41 5．()⎰+dx x x x arctg 1解：原式()()()⎰⎰+==+=C xarctg x arctg d x arctg dx x x arctg 222126．⎰-+21xx dx解：⎰⎰⎰+-++=+=-+dt tt tt t t t t tdt t x x x dx sin cos sin cos sin cos 21cos sin cos sin 12令()()C t t t t t t t d dt +++=+++=⎰⎰cos sin ln 2121cos sin cos sin 2121 ()C x x x ++-+=21ln 21arcsin 21 7．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==⎰⎰dx x x arctgx x x arctgxd 2333113131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 6161318．()⎰dx x ln cos解：原式()()[]⎰+=dx x x x x x 1ln sin ln cos ()()⎰+=dx x x x ln sin ln cos()()()[]⎰-+=x xd x x x x ln sin ln sin ln cos ()()()⎰-+=dx x x x x x x ln cos ln sin ln cos 故()()()[]C x x x x dx x ++=⎰ln sin ln cos 21ln cos 9．⎰--+dx xx x x 3458解：原式()⎰⎰--++++=dx xx x x dx x x 32281⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 131******** ()()C x x x x x x +--+-+++=1ln 31ln 4ln 821312310．()⎰+dx x x 2831解：原式()()()⎰⎰⎰=+=+=t tdt tgt u u du u x x x d 42224284sec sec 41141141令令 ()⎰⎰+==dt t tdt 2cos 181cos 412C t t ++=2sin 16181C uu u arctgu ++⋅++=221118181 ()C x x arctgx +++=844188111．⎰xdx x 2cos解：原式⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=dx x x 22cos 1[]()⎰⎰⎰+=+=x xd x xdx x xdx 2sin 41412cos 212 ⎰-+=xdx x x x 2sin 412sin 41412C x x x x +++=2cos 812sin 4141212．⎰dx e x 3解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23=原式[]⎰⎰⎰-===t d t e e t de t dt t e t t t t 2333222[]⎰⎰--=-=dt e te e t tde e t ttttt 636322C e te e t t t t ++-=6632 ()C x x e x++-=2223332313．⎰xx x dxln ln ln解：原式()()[]()()[]C x x x d x x x d +===⎰⎰ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 14．()⎰+21x e dx解：()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+-+=+222111111t dtdt t t t t t t t e e dxx x令 ()()C t t t t t d dt t t ++++=++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰111ln 111112()C e e x C e e e xxx x x ++++-=++++=111ln 111ln15．()⎰+dx exe xx21解：原式()()⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=11112x xx e xd ee xd()()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=+++-=x x x x x x x x e d e e e x dx e e e e x 111111()C e e e xx x x++-++-=1ln ln 1()C e e xe x xx++-+=1ln 116．dx x ⎰3sin解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 23= 原式⎰⎰-=⋅=t d t dt t t cos 33sin 22⎰⎰+-=⋅+-=t td t t tdt t t t sin 6cos 32cos 3cos 322 ⎰-+-=tdt t t t t sin 6sin 6cos 32 C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3 17．⎰-dx xx 1arcsin解：令u x sin =，则u x 2sin =，udu u dx cos sin 2= 原式⎰=udu u uucos sin 2cos ()⎰⎰--=-=udu u u u d u cos cos 2cos 2C x x x C u u u ++--=++-=2arcsin 12sin 2cos 218．()⎰+dx x x 321ln解：原式()⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=-22211ln x d x()⎰+++-=dx xx x x x 2222122121ln ()()⎰+++-=2222212121ln x x dx x x ()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-=222221112121ln dx x x x x ()()[]C x x xx ++-++-=22221ln ln 2121ln ()()C x x xx ++-++-=2221ln 21ln 21ln 19．⎰+-dx xx xx sin 2cos 5sin 3cos 7解：原式()()⎰+-++=dx x x x x x x sin 2cos 5sin 5cos 2sin 2cos 5dx x x x x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-+=sin 2cos 5sin 5cos 21C x x x +++=sin 2cos 5ln 20．()⎰++dx x xx 21ln解：原式()⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x d x x 11ln⎰+++++-=dx x x x x x 1111ln ⎰+++-=dx x x x x 11ln C x xxx ++++-=ln 1ln 21．⎰xdx x 35cos sin解：原式⎰=xdx x x cos cos sin 25()x d x x sin sin 1sin 25⎰-=C x x +-=86sin 81sin 6122．⎰dx x x tgxsin cos ln解：原式()⎰⎰==tgx d tgx tgxdx xtgxtgx ln cos ln 2 ()()⎰+==C tgx tgx tgxd 2ln 21ln ln 23．dx xx ⎰-2arccos 2110解：原式()⎰-=x d x arccos 21021arccos 2 C C x x ar +-=+-=arccos 2cos 21010ln 211010ln 12124．⎰arctgxdx x 2 解：原式()⎰=331x arctgxd ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰dx x x arctgx x 2331131 dx xxx x arctgx x ⎰+-+-=23313131 ⎰⎰++-=231313131x xdxxdx arctgx x ()C x x arctgx x ++--=2231ln 61613125．⎰-+dx x xx 1122解：令t x 1=，dt tdx 21-=原式dt t t t t ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=222111111⎰⎰⎰----=-+-=dt tt tdt dt tt 2221111C t t +-+-=21arcsinC xx x+-+-=11arcsin 2 26．dx x a x ⎰+222 解：令atgt x =，tdt a dx 2sec = 原式dt t a ttg a t a ⎰=222sec sec ⎰⎰+==dt tt tt t t dt cos sin cos sin cos sin 2222dt tttdt ⎰⎰+=2sin cos sec C t tgt t +-+=sin 1sec lnC xx a a x a x a ++-++=2222lnC x a x a x ++-++=2222ln 27．()dx tgx e x 221⎰+解：原式()⎰+=dx tgx x e x 2sec 22 ⎰⎰+=tgxdx e xdx e x x 2222sec ⎰⎰+=tgxdx e dtgx e x x 222dx tgx e dx e tgx tgx e x x x ⎰⎰+⋅-=22222C t g xe x +=2 28．()()()⎰+++321x x x xdx解：原式⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-+=⎰⎰⎰3312421x dx x dx x dx()()()[]C x x x ++-+-+=1ln 3ln 32ln 421()()()C x x x ++++=34312ln2129．()⎰+xx dxsin cos 2解：令t x tg =2，则arctgt x 2=，212t dt dx +=，212sin t tx +=，2211cos t t x +-=，于是原式()⎰++=dt tt t 3122⎰⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=dt t t t 313322()⎰⎰+++=dt tt t d 131333122 ()C t t ++=3ln 313C x tg x tg +⎪⎭⎫⎝⎛+=232ln 31330．dx xxx x ex⎰-23sin cos sin cos 。
高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)
第四章 不定积分一、学习要求1、理解原函数与不定积分的概念及性质。
2、掌握不定积分的第一类换元法、第二类换元法及分部积分法。
二、练习1．在下列等式中，正确的结果是( C ). A.'()()f x dx f x =⎰ B.()()df x f x =⎰ C.()()d f x dx f x dx =⎰D.[()]()d f x dx f x =⎰ 2.若ln x 是函数()f x 的一个原函数，则()f x 的另一个原函数是（ A ）； A. ln ax B.1ln ax a C.ln x a + D.21(ln )2x 3.设()f x 的一个原函数是2x e -，则()f x ＝（ B ）；A. 2x e -B. 22x e --C. 24x e --D. 24x e -4．''()xf x dx =⎰（ C ）.A.'()xf x C +B. '()()f x f x C -+C. '()()xf x f x C -+D. '()()xf x f x C ++. 5．将化为有理函数的积分，应作变换x =（ D ）. A. 3t B. 4t C. 7t D. 12t 6.dx = 1/7 ()73d x -，2cos 2dx x = 1/2 ()tan 2d x ，219dx x =+1/3 ()arctan3d x ； 7. 已知(31)x f x e '-=，则()f x =133x e c ++.8.设()f x 是可导函数，则'()d f x x ⎰为()f x C +.9.过点(1,2)且切线斜率为34x 的曲线方程为41y x =+10.已知()cos xf x dx x C =+⎰，则()f x =sin x x- 11.求下列不定积分解: (1) 2232tan 1tan tan tan 1sin 3x dx xd x x c x ==+-⎰⎰ (2) 22arctan 11x xx x x x x dx e dx de e c e e e e -===++++⎰⎰⎰ 5342(3)tan sec tan sec sec x xdx x xd x ⋅=⋅⎰⎰222(sec 1)sec sec x xd x =-⋅⎰()642sec 2sec sec sec x x x d x =-+⎰753121sec sec sec 753x x x c =-++(4)(1(11(1)xdx dxx==--+⎰⎰322(1)3x x c=-+++2,1,t x t==-()23212122(1)13t tdt t t dt t t ct-⎛⎫==-=-+⎪+⎝⎭⎰⎰()31213x c=-++322(1)3x x c=-+++(5)2222111(1)ln(1)1212xdx d x x cx x=+=++++⎰⎰(6)3332ln ln ln ln333x x xx xdx xd x d x==⋅-⎰⎰⎰2333111ln ln3339xx x dx x x x c=⋅-=-+⎰(7)()22111ln(1) 111x xdx dx dx x dx x c x x x-=+=-+++ +++⎰⎰⎰⎰21ln(1)2x x x c=-+++(8)2arctan arctan2xx xdx xd=⎰⎰22arctan arctan22x xx d x=-⎰2221arctan221x xx dxx=-⋅+⎰2211arctan1221xx dxx⎛⎫=--⎪+⎝⎭⎰21arctan arctan222x xx x c=-++(9) ⎰212,,33tt x dx tdt-===-则原式222122()(1)339tt t dt t t dt-=⋅-=--⎰⎰33245522122()()99352745t tt t dt t c t c=--=--+=-++⎰（10）22223221222222x xdx dx dxx x x x x x++=+++++++⎰⎰⎰222211(22)(1)ln 22arctan(1)22(1)1d x x d x x x x C x x x =++++=+++++++++⎰⎰12．曲线过点2(,3)e ，且在任意点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，试求此曲线方程.解：令所求曲线为()y f x =，任意点为(,)x y ，由已知条件可得： '1()k f x x =切线＝， 则 1()ln f x dx x C x ==+⎰； 又因为曲线过点2(,3)e ，可得 23ln 1e C C =+⇒=， 所以此曲线方程为()ln 1f x x =+.13.选做题：求-.x e dx ⎰解：当0x ≥时，--1,x x x e dx e dx e C -==-+⎰⎰ 当0x <时，-2,x x x e dx e dx e C ==+⎰⎰()12,0;,0x x e C x F x e C x -⎧-+≥⎪∴=⎨+<⎪⎩ ()()()1200lim lim 0,2.x x F x F x F C C C +-→→==∴==+ ()2,0,0x x e C x F x e C x -⎧-++≥⎪=⎨+<⎪⎩ 14. 选做题(1)若x e -是()f x 的原函数，则()2ln x f x dx ⎰＝ ，若()f x 是xe -的原函数，则()lnf x dx x ⎰＝ .(2) ;（3）4sin xdx ⎰.解：(1) ()()x x f x e e --'==-，则()ln 1ln x f x e x-=-=-， ()22211ln 2x f x dx x dx xdx x c x =-⋅=-=-+⎰⎰⎰. 又()x f x e -'=，则()x x f x e dx e C --==-+⎰，()ln 111ln xf x e C C x-=-+=-+ ()112ln 11ln f x C dx dx C x C x x x x ⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭⎰⎰.(2) ((222arcsin arcsin C====+⎰((22C ==+⎰（3）()241cos 2sin 4x xdx dx -=⎰⎰()212cos 2cos 24x x dx -+=⎰1cos 412cos 213cos 422cos 24422x x x dx x dx +⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 31cos 431sin 4cos 2sin 28288432x x x dx x x c ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭⎰ 15.选做题已知()sin ,01,0,x x x f x e x ≥⎧⎨-<⎩＝求()1f x dx -⎰.解：(1) ()()()1sin 1,1sin ,011,0,1,1,x x x x x x f x f x e x e x -⎧-≥≥⎧⎪-⎨⎨-<-<⎪⎩⎩＝＝ 当1x ≥时，()()()11sin 1cos 1f x dx x dx x C -=-=--+⎰⎰ 当1x <时， ()()11211x x f x dx e dx e x C ---=-=-+⎰⎰。
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解 篇一：高等数学第四章不定积分习题 第四章不 定 积 分 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1．若在区间上 F?(x)?f(x)，则 F(x)叫做 f(x)在该区间上的一个 f(x)的 所有原函数叫做 f(x) 在该区间上的__________。
2．F(x)是 f(x)的一个原函数，则 y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为 d(arcsinx)? 1?x2 dx ,所以 arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线 y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与 x 成正比例，并且通过点 A(1,6)和 B(2,-9),则该曲线 方程为__________ 。
二．是非判断题 1． 若 f?x?的某个原函数为常数，则 f?x??0.[ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原 函数.[ ] 3． 3 ??f?x?dx???f??x?dx.[ ] ? 4． 若 f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内 f?x?必无原函数. [ ] 5.y?ln?ax?与 y?lnx 是同一函数的原函数.[ ] 三．单项选择题 1．c 为任意常数，且 F'(x)=f(x),下式成立的有 。
（A）?F'(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c; （C）?F(x)dx?F'(x)+c;(D) ?f'(x)dx=F(x)+c. 2. F(x)和 G(x)是函数 f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有 。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c;(D) F(x)?G(x)=c.3．下列各式中是 f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ;(B) y=-|cosx|;(c)y=? ?cosx,x?0,cosx?2,x?0; (D) y=? ?cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0. c1、c2 任意常数。
高等数学测试题四(不定积分)答案
高等数学测试题（四）不定积分部分一、选择题（每小题4分，共20分）1、 已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中（D ）是()f x 的原函数。
A 21x −B 21x +C 22x x −D 22x x +2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+∫，则()f x dx ∫=（C ） A sin x C + B cos x C + C cos sin x x C −++ D cos sin x x C ++3、若函数ln x x为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx ′∫=（C ） A 1ln x C x −+ B 1ln x C x ++ C 12ln x C x −+ D 12ln x C x ++ 4、已知函数()f x 在(,)−∞+∞内可导，且恒有()f x ′=0，又有(1)1f −=，则函数()f x =（A ）A -1B -1C 0D x5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x ′=（B ） A 1x B 21x− C ln x D ln x x二、填空题（每小题4分，共20分）1、 函数2x 为2ln 2x 的一个原函数。
2、 已知一阶导数 (())f x dx ′=∫，则(1)f ′3、 若()arctan xf x dx x C =+∫，则1()dx f x ∫=241124x x C ++4、 已知()f x 二阶导数()f x ′′连续，则不定积分()xf x dx ′′∫=()()xf x f x C ′−+5、 不定积分cos cos ()x xd e ∫=cos (cos 1)x e x C −+三、解答题1、（7分）计算 22(1)dx x x +∫解：原式=22111()arctan 1dx x C x x x−=−−++∫ 2、（7分）计算 1xdx e +∫ 解：原式=(1)ln(1)1xx x e dx x e C e−=−+++∫ 3、（7分）计算 321x dx x +∫ 解：原式=22211()ln(1)122x x dx x x C x −=−+++∫ 4、（7分）计算 254dx x x ++∫ 解：原式=11111()ln (1)(4)31434dx x dx C x x x x x +=−=++++++∫∫ 5、（8分）计算解：设 t = 原式=5253261166(arctan )1t t dt dt t t C C t t t +−==−+=−+++∫∫6、（7分）计算23x x e dx ∫ 解：原式=22222222111()()222x x x x x e dx x d e x e e C ==−+∫∫ 7、（8分）已知222(sin )cos tan 01f x x x x ′=+<< ，求()f x解：令 222sin ,cos 1,tan 1ux u x u x u==−=− 21()(1)()ln 1112u u f u u du u du u u C u u =−+=−−=−−−+−−∫∫ 所以 21()ln(1)2f x x x C =−−−+ 8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =∫解： 222221cos sin 1(sin sin )1sin cos 1sin (cos cos )1sin cos ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax ax Ie bxdx e d bx b e bx a e bxdx ba e bx e d bxb ba e bx e bx a e bxdxb ba a e bx e bx Ib b b===−=+=+−=+−∫∫∫∫∫ 22(sin cos )axe I b bx a bx C a b=+++。
不定积分例题及标准答案
第4章不定积分
习题4-1
1.求下列不定积分：
知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!
★(１）
思路: 被积函数5
2
x -=,由积分表中的公式（2)可解。
解:53
22
23x dx x C --==-+⎰
★（2）dx
⎰
思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。
解:1
14111
3332223()2
4dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰ ★（3)22x x dx +⎰（）
思路：根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。
解:22
32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）
★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分。
解：3153
222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰⎰ ★★（5)4223311x x dx x +++⎰
思路:观察到422223311311
x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x
++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6）2
21x dx x +⎰
思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。
《高等数学》不定积分课后习题详解
《高等数学》不定积分课后习题详解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4 – 1不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F?(x)?f(x)，则F(x)叫做f(x)在该区间上的一个f(x)的所有原函数叫做f(x)在该区间上的__________。
2．F(x)是f(x)的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为d(arcsinx)?1?x2dx,所以arcsinx是______的一个原函数。
4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与x成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________ 。
二．是非判断题1．若f?x?的某个原函数为常数，则f?x??0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．3??f?x?dx???f??x?dx. [ ]?4．若f?x?在某一区间内不连续，则在这个区间内f?x?必无原函数. [ ] ?ln?ax?与y?lnx是同一函数的原函数. [ ] 三．单项选择题1．c为任意常数，且F’(x)=f(x),下式成立的有。
（A）?F’(x)dx?f(x)+c;（B）?f(x)dx=F(x)+c;（C）?F(x)dx?F’(x)+c;(D) ?f’(x)dx=F(x) +c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)?0，则下式成立的有。
（A）F(x)=cG(x); （B）F(x)= G(x)+c;（C）F(x)+G(x)=c; (D) F(x)?G(x)=c. 3．下列各式中是f(x)?sin|x|的原函数。
(A) y??cos|x| ; (B) y=-|cosx|;(c)y=??cosx,x?0,cosx?2,x?0;(D) y=??cosx?c1,x?0,cosx?c2,x?0.c1、c2任意常数。
高等数学不定积分测试题2套附答案
高等数学第四章不定积分测试题2套(附答案)一、选择题(每小题4分，共20分)己知函数(x+为/(x)的一个原函数，则下列函数中是/5)的原函数的是［(A) siiix+C(C) — cos x + sin x + C(D) cosx+sinx+C1-hix 厂 (A) ----- + CX (C)+ cX1 + lnx - (B) ----- + Cx (D)X已知函数/(x)在(—8,+8)内可导，且恒有广。
)=0,又有/(—1) = 1,则函数/w=2、(A) x 2-l (B) x 2+ l(C) x 2 - 2x (D) x 2+ 2x已知 j e xf{x}dx = e' sinx+ C ， 贝 j f (x)dx=3、若函数星 为"X)的一个原函数，则不定积分j¥'(x)dx = (A) -1 (B)-l (C)0 (D) X5、若函数/(x)的一个原函数为Inx, 则一阶导数广(刈=(A)- X (C) In x(D) xlnx二、填空题(每小题4分，共20分) 1、 的一个原函数. 2、 己知一阶导数(J f(x)dx)f = Vl + X 2,则/'(1) = 3、 若J4(x)dx = arctanx+C,贝ijj ~^—dx=/(X)1、 (B) cosx+C 4、4、已知f （x ）二阶导数连续，则不定积分5、不定积分 Jcosxd （/8'）=三、解答题1、（7分）计算2、（7分）计算3、（7分）计算4、（7分）计算5、（8分）计算6、（7分）计算7、（8 分）己知r （sin?x ） = cos2x+tan2x 0 <x <1 , 8、（9 分）计算 / = Je"' cosbxd¥.r dxJ x 2(l + x 2)第四章测试题B卷一、选择题(25分)若J f(x)dx = x1 +C y则J A/(1-X2)dx =设j f(x)dx = 2、+ x + C,则f\x)=(D)r A Bx + C 】(C)|(——+ ———)dxJ x + 1 X2+2若在(-8,+8)上的不定积分是F(x)+ C ,则(A) F(x)=(B) F(x)=e x + C, x > 0—c ' + C + 2, x < 0(C) F(x) =e\ x>0—c ' + 2, x <(D) F(x)=1、(A) —2(1 —r)- + C (B) 2(l-x2)2+C(C) -1(l-x2)2+C(D) +C 2、(A) r+c1112 2(B) 2V hi2 + l (C)2A hi2 2 (D)2A li/2 + l3、(A) hi|l-.r| + C (B) ln(l - x) + C4、存在常数A、B、C,使得］(x + l)(x2 + 2)dx =x + l + x2 + 2)dx(B) J( Ax Bx 5、二、填空题（20分） 1> 不定积分 jd(sin J7) = 2、 3、 4、 己知 J f(x)dx = F(x) + C,则 j F(x) f(x)dx = 若 j/(hi x)dx = —x 2+C,则 J f (x)dx = J (>/x + 1)(>/?- -i)dx = _____________________ 5、 J hiv 法= 三、计算题（48分） 1、 1 r\2arccos.v (7分)求积分1/ dx. 2、（7分）求Jdxy/x+l + y/x+13、 4、（01,数二，8分）求Jdx(2x 2 +1) Vx 2 +15、 （8分）求积分j dx1 + siiix + cosx 6、（06,数二，11 分）求Jaicsine' 7—— ---- dx.四、（7分）计算j hi sinxsin 2 xdx一、选择题5、(?cos v (cos x -1) + C测试题2答案一、选择题1、C2、C3、D4、C5、C二、填空题1、sin y[x + C2、F （，）+。
4第四章不定积分答案
不定积分第一节 不定积分的概念与性质一、 填空题1.一阶导数='⎰)sin 5(xdx x （x x sin 5）2.不定积分=⎰)(arctan x d （.arctan C x +）3．)(x f 的原函数是,ln 2x 则=⎰dx x f x )('3（C x +-2 ） 4．设,cos 1)(2xx f =则⎰=dx x f )('（C x +2cos 1），⎰=dx x f dx d )(（x 2cos 1 ） ⎰=dx x f )(（C x +tan ）5．设⎰+-=,)(`c e xe dx x f x x 则⎰=dx x f )(' （C xe x +）6．过点），（10且在横坐标为x 的点处的切线斜率为3x 的曲线方程为（1414+=x y ） 7．设x x f 22sin )(cos '=，且,0)0(=f 则=)(x f （x x +-221 ） 8．设)(x f 的一个原函数为x1，则=')(x f （32x ）9．⎰=-x d xcos )1cos 1(2（C x x +--cos cos 1）二、计算题：求下列不定积分：1．⎰+-dx xx x 4312=C x x x ++-4312134534132454 2．⎰-dx x x x )11(2 =C x x ++-41474473．dx e e xx ⎰+-112 =C x e x +- 4．⎰dx xx 22cos sin 1=C x x +-cot tan 5. dx x x ⎰--3273C x x x dx x x x x +++=-++-=⎰923313)93)(3(232 6. ⎰-+dx xx x 324)1(C x x x dx x xx+-+=-+=⎰-3431333131032431333)(7. dx x x ⎰+)1(122dx x x x x ⎰+-+=)1()1(2222dx x ⎰=21dx x ⎰+-211C x x+--=arctan 18. ⎰dx x 2sin 2C x x dx x +-=-=⎰)sin (212cos 1 9．⎰xdx 2cot C x x dx x +--=-=⎰cot )1(csc 2 10. ⎰-x dx 2cos 1C x xdx dx x+-===⎰⎰cot 21csc 21sin 212211.dxx x ⎰+221⎰⎰⎰+-=+-=+-+=C x x dx x dx dx x x arctan 11111222 12. dx e xx⎰2C ee dx e xx+==⎰2ln )2()2(三、 求},1max{)(2x x f =的一个适合1)0(=F 的原函数。
大学高等数学各章节练习题
第一章 极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定 。
3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。
4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。
6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、 曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔 〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断 〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断 〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续 〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。
10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔 〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。
〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界 〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。
11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔 〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。
〔B 〕()f x 在0x =处连续。
〔C 〕0lim ()x f x →不存在。
〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔 〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔 〕〔A 〕无穷间断点。
最新-《高等数学》不定积分课后习题详解 精品
《高等数学》不定积分课后习题详解篇一：高等数学第四章不定积分习题第四章不定积分4–1不定积分的概念与性质一填空题1．若在区间上?()?()，则()叫做()在该区间上的一个()的所有原函数叫做()在该区间上的__________。
2．()是()的一个原函数，则=()的图形为?()的一条_________3．因为()?1?2,所以是______的一个原函数。
4．若曲线=?()上点(,)的切线斜率与成正比例，并且通过点(1,6)和(2,-9),则该曲线方程为__________。
二．是非判断题1．若??的某个原函数为常数，则???0[]2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数[]3．3??????????[]?4．若??在某一区间内不连续，则在这个区间内??必无原函数[]5???与?是同一函数的原函数[]三．单项选择题1．为任意常数，且'()=(),下式成立的有。
（）?'()?()+;（）?()=()+;（）?()?'()+;()?'()=()+2()和()是函数()的任意两个原函数，()?0，则下式成立的有。
（）()=();（）()=()+;（）()+()=;()()?()=3．下列各式中是()?||的原函数。
()??||;()=-||;()=??,?0,?2,?0;()=???1,?0,?2,?01、2任意常数。
4?()?(),()为可导函数，且(0)=1,又()?()?2，则()=______()?2?1()??1()?2?1()??15设?(2)?2，则()=________1()?2?;()?12?;()2?14?;()2?14?;2222226设是正数，函数()?,?()?,则______()()是?()的导数；()?()是()的导数；()()是?()的原函数；()?()是()的不定积分。
四．计算题1?2?2(是常数）3．?1)(?1)45(1??3?(1?)2??)6?32343?12?22?27?8?2?221?29?(?)10?221?2222? 3?33?212?11?22313(15(1?五．应用题1．一曲线通过点(,3),且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程2．一物体由静止开始运动,经秒后的速度是3(米秒),问(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2)物体走完360米需要多少时间22?32?)14?(?)21?2??1)162?1?1?4-2换元积分法一、填空题1?______()((?0))2?______(7?3)3?_______(2)4?______(52)5?______(1?2)62? _______(2?33)7?______()8222?2?______(1?)?1)?(______)3?29?2?(_______)1 0(11?______(5)12?______(3?5)13(???)?(______)14?2?______(1?)15．?1?12? ?211?()2??1?_________1?()216若?()?()?,则?(?)?________(?0)二．是非判断题1?1?111．???????2?[]??212．??1?2?[]3．设????，则????[]??2?4．已知?????1,0??1,,????0,?且?0??0，且????[],1????,??1,0????5．?2?13?[]36．若???????，则???????????[]三．单项选择题1??(3)?_____()11()?;()(3)?;33()3()?;()3(3)?;2?()?1?[()]2?________()|1 ?()|?;()1|1?[()]2|?;2()[()]?;()1[()]?21??3???????()211?2||??()??2||?? ()?1?2||?()||??3?2?2?3?42?333?2?()?;()()3?2(3)?1?2222?3?2?3?()3?()3?? ?????3?2?2?3?2?2?51?7?(1?7)?______7()1|7(1?7)217|?;()7|1?7|?;1616（）||?;|?;()|66261?6(1?)6||?_____()?1111||2?;()2?;()||?;()?2?;22223?17?? _____?111()2???;()2??;2211()2???;()2??2281?22的全体原函数是________()1?2?;()1?2;()1?2?()1?2?篇二：《高等数学》第五章不定积分的习题库(2019年11月)第五章不定积分一、判断题1??()???()。
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（完整word版）高等数学第四章不定积分习题,DOC.docx第四章不定积分§4–1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上F ( x) f ( x)，则 F(x)叫做f ( x)在该区间上的一个 , f ( x)的所有原函数叫做 f ( x) 在该区间上的__________。
2．F(x)是f ( x)的一个原函数，则y=F(x) 的图形为? (x) 的一条_________.3．因为1,所以 arcsinx 是______的一个原函数。
d (arcsin x)dx1x24．若曲线 y=? (x)上点(x,y)的切线斜率与x3成正比例，并且通过点A(1,6) 和B(2,-该曲线方程为 __________ 。
二．是非判断题1．若 f x的某个原函数为常数，则 f x 0.[]2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数 .[]3． f x dx f x dx .[]4．若 f x在某一区间内不连续，则在这个区间内 f x必无原函数 .[]5. y ln ax 与 y ln x 是同一函数的原函数.[]三．单项选择题1．c 为任意常数，且 F ' (x) =f(x),下式成立的有。
（A） F '(x)dx f(x)+c; （B） f ( x)dx =F(x)+c;（C） F (x)dx F ' (x) +c;(D) f '(x)dx=F(x)+c.2.F(x) 和 G(x) 是函数 f(x) 的任意两个原函数， f(x)0，则下式成立的有。
（ A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)=G(x)+c;（C ）F(x)+G(x)=c;(D) F ( x) G( x) =c.3．下列各式中是 f ( x) sin | x |的原函数。
(A) y cos | x |;(B)y=-|cosx|;(c)y=cos x, x 0, (D)y= cos x c 1 ,x0,c 1 、 c 2 任意常数。
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第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4—11。
求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法.思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1）思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解.解：532223x dx x C --==-+⎰★（2）dx⎰思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★（3）22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★（4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项,分别积分.解:3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰★★（6)221x dx x +⎰思路：注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5）(6）两题的解题思路是一致的.一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分.★（7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路：分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★（8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
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第四章 不定积分习题一一．选择题1．设)(x F 和)(x G 都是()x f 的原函数，则下式一定成立的有（ ） A.()x G x F =)( B.()C x G x F +=)( C. ()C x G x F =+)( D.()dx x G dx x F ⎰⎰=)( 2.设()x x f 22'cos sin =,则()x f =( )A.C x x +-2sin 21sinB.C x x +-221C.C x x +-42sin 21sinD.C x x +-42213.()⎰=dx x f 2'( ) A.C x f +)(21 B C x f +)(2 C. C x f +)2(2 D. C x f +)2(214.设()xe xf -=,则()⎰=dx xx f ln '( )A.C x +-1 B.C x +-ln C. C x+1D. C x +ln5.若()()x f x F ='则()⎰=x dF ( )A.()x fB.()x FC. ()C x f +D. ()C x F +6.已知一个函数的导数为x y 2'=,且1=x 时2=y .这个函数是( )A.C x y +=2B. 12+=x y C. C x y +=22 D. 122+=x y 7.()()⎰+=C x F dx x f ,且b at x +=,则()⎰=+dt b at f ( ) A. ()C x F + B. ()C t F + C. ()C b at F a++1D. ()C b at F ++ 8.()⎰=+1014x dx( )A.()Cx ++914191 B.()Cx ++9141361 C. ()C x ++-9141361D.()C x ++-11141361 二.填空题1.⎰=-dx e x x 332 .2.⎰=+dx xx 1 .3.⎰=∙dx e x x 3 .4.()()⎰++dx xx x 2211= .5.⎰=+dx xx 221 . 6.⎰=dx xx 21sin . 7.⎰=-dx x x 2312 .8.⎰=-+dx x x 3212. 三．求下列各不定积分1.⎰+dx x x 1242.⎰+）（12x x dx3. ()()⎰+-+dx x x x 1134. dx xx x ⎰+++2311 5. dx x x ⎰+）（22116. dx x x x ⎰++）（222123 7. dx x⎰2sin 28. dx x x x⎰-sin cos 2cos 9. dx xx x⎰22cos sin 2cos 10. dx xx⎰++2cos 1cos 12 11. dx x ⎰2tan12. dx e x x ⎰813. dx x ⎰-）（22习题二一．选择题1.若等式)53(xkd dx -=成立,则=k ( )A.5B.-5C.51D. 51-2.设1-≠a ,若等式()[]x f d dx x a =,则()x f =( ) A.1+a x B. 1)1(++a x a C.a x a1 D.111++a x a 3.设C 是任意常数,若)()('x f x F =,则下式成立的是( )A.()C x F dx x f +=⎰)(B. ()C x F dx x f +=⎰)('C.()()⎰+=C x f dx x F 'D.()()⎰+=C x f dx x F4.设)()('x f x F =,)(x f 是可导函数且()10=f ,()()2x x xf x F +=,则()x f =( ) A.12+-x B.12+-x C.12--x D. 12--x5.()⎰=-dx x f 14'( ) A.()C x f +41 B. ()C x f +4 C. ()C x f +-1441D. ()C x f +-144 6.若()()⎰+=C x F dx x f ,则()⎰--dx e f e x x =( )A.()C e F x + B. ()C e F x +-- C. ()C e F x +- D. ()C e F x +- 7.()⎰=dx x xf''()A.()()C x f x xf +-'B. ()()C x f x xf +-''C. ()()C x f x xf ++'D. ()()C x xf x f x +-'''28.设()()()()()(),1,1x f x f x g x f x f x F +=-=若()()[]2'x g x F =，且14=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ， 则()=x f （ ）A ．x tan B.x cot C.x arc tan D.x arc cot 二.填空题 1.⎰=dx xx cos tan .2.()⎰=-x x dx 4 .3.()⎰=--xx dx12 .4.⎰=-dx x x 21ln . 5.⎰=dx xx2sin sin ln . 6.⎰=dx x arctan .7.()⎰=dx x xf'' .三．计算1. dx xe x ⎰22. dx x x ⎰+54323. dx xx⎰3ln 4. ()dx xx ⎰+2321arctan5. dx e e x x ⎰sin6. dx x x ⎰cos sin 57. dx x x ⎰-2241 8．()dx x x ⎰-32419. ()dx x⎰+23211习题三一．选择题1.函数()x e x f -=的不定积分是( ) A.x e - B. x e -- C. C e x +- D. C e x +--2.在区间()b a ,内的任意一点x ,如果总有()()x g x f ''=成立,则下列各式中必定成立的是( )A.()()x g x f =B. ()()1+=x g x fC. ()()C x g x f +=D.()()()()''⎰⎰=dx x g dx x f3.设)(x F 是()x f 的一个原函数,则()⎰--dx e f e x x =( ) A.()C e F x +- B. ()C e F x +-- C. ()C e F x + D. ()C e F x +- 4.如果等式()⎰+-=--C e dx e x f xx11,则函数()x f =( )A.x 1-B.21x -C. x 1D. 21x5.⎰=-dx ex( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--0,0,x C e x C e x xB. ⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+--0,20,x C e x C e x xC. ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--0,0,21x C e x C e x x D.⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+-0,0,x C e x C e x x 6.若()⎰+=,33'C x dx x f 则()x f =( )A.C x +B.C x +3C.C x +3559D. C x +3556二.填空题8.⎰=+-+dx x x x 13652.9.⎰=dx x . C x x +2110.设()()x x x f ln 1ln '+=,则()=x f . 11.设()()C ex dx x f x++=⎰1',则()=x f .12.设()()⎰+=C x dx x f xcos arctansin ,则()⎰=dx x f . 13.设2sin x 为()x f 的一个原函数,则()⎰=dx x f x 2 .14.已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()x f = . 三．求积分1. dx ex x ⎰2232. dx x x ⎰4sin3. dx x x ⎰2cos4. ()dx x x ⎰+221ln5. dx x xx ⎰3sin cos 6. dx xx⎰2cos cos ln 7. dx xx⎰+22418. dx xx ⎰-92 9. dx xx ⎰-229习题四一．选择题1.下列函数中,不是x x e e 22--的原函数是( ) A.()x x e e 2221-+ B. ()221x x e e -+ C. ()221x x e e -- D. ()x x e e 222-- 2.如果()()⎰⎰=x dg x df ,则下列各式中不一定成立的是( ) A. ()()x g x f = B. ()()x g x f ''= C. ()()x dg x df = D. ()()⎰⎰=dx x g d dx x f d ''3.如果()⎰+=C x F dx x f )(,则()=⎰--dx e f e x x ( )A.()C e F x + B. ()C e F x +-- C. ()C e F x +- D. ()C e F e x x +-- 4.如果x e -是()x f 的一个原函数,则()⎰dx x xf =( )A.C x e x +--)1(B. C x e x ++-)1(C. C x e x +--)1(D. C x e x ++--)1( 5.如果()xe xf -=,则()⎰=dx xx f ln '( )A.C x +-1 B. C x+1C.C x +-lnD. C x +ln 6.如果()⎰+=C x dx x f 2,则()⎰-dx x f x 321=( ) A.()C x +-2313 B. ()C x +--2313 C.()C x +-23131D. ()C x +--231317.设()x f 是连续函数,()x F 是()x f 的原函数,则下列结论( ) A.当()x f 是奇函数时,()x F 必是偶函数 B.当()x f 是偶函数时,()x F 必是奇函数 C.当()x f 是周期函数时,()x F 必是周期函数 D.当()x f 是单调增函数时,()x F 必是单调增函数8.若()x f 的导函数是x sin ,则()x f 有一个原函数为( ) A.x sin 1+ B. x sin 1- C. x cos 1+ D. x cos 1- 二.填空题1.⎰=dx x2sin 2 .2.⎰=-dx x x 21 .3.()⎰=+x x dxln 21 .4.⎰=xdx x ln .5.()⎰=+xx dx31 .6.⎰=dx xx45cos sin . 7.⎰=xdx x cos . 8.⎰=xdx e x sin . 三.计算题1.求满足条件()()()10002===F F x x F ，，‘’‘条件的()x F2.设()x f 的一个原函数为xxsin ,求()⎰dx x xf ’3.设()x f 的导函数()x f ‘为过()()0200，，开口向下的二次抛物线,且()x f 的极小值为2, 极大值为6,试求()x f .4.设()x f 的原函数()0>x F ,且(),10=F 当0≥x 时,()()x x F x f 2sin 2=,求()x f5.一曲线过()32，e 且曲线上任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线方程.6.设()x F 是()x f 的原函数,()x G 是()x f 1的原函数,且()()()101=-=f x G x F ，,求()x f 7.已知函数()x f 的导数为2+x ,且()5=x f ,求()x f . 8.设()x f 的一个原函数为()x x ln sin 1+,求()⎰dx x xf ’9.一质点作直线运动,已知其加速度为，t t a sin 3122-=若()()3050-==s v ，,求 (1)速度v 与时间t 的关系 (2)位移s 与时间t 的关系答案 习题一一．选择题1．设)(x F 和)(x G 都是()x f 的原函数，则下式一定成立的有（ B ） A.()x G x F =)( B.()C x G x F +=)( C. ()C x G x F =+)( D.()dx x G dx x F ⎰⎰=)( 2.设()x x f 22'cos sin =,则()x f =( B )A.C x x +-2sin 21sinB.C x x +-221C.C x x +-42sin 21sinD.C x x +-42213.()⎰=dx x f 2'( D ) A.C x f +)(21 B C x f +)(2 C. C x f +)2(2 D. C x f +)2(214.设()xe xf -=,则()⎰=dx xx f ln '( C )A.C x +-1 B.C x +-ln C. C x+1D. C x +ln5.若()()x f x F ='则()⎰=x dF ( D )A.()x fB.()x FC. ()C x f +D. ()C x F +6.已知一个函数的导数为x y 2'=,且1=x 时2=y .这个函数是( B )A.C x y +=2B. 12+=x y C. C x y +=22 D. 122+=x y 7.()()⎰+=C x F dx x f ,且b at x +=,则()⎰=+dt b at f ( C ) A. ()C x F + B. ()C t F + C. ()C b at F a++1D. ()C b at F ++ 8.()⎰=+1014x dx( C )A.()C x ++914191 B.()C x ++9141361 C. ()C x ++-9141361 D.()C x ++-11141361二.填空题1.⎰=-dx e x x 332 . C e x +--33912.⎰=+dx xx 1 . C x x x ++322 3.⎰=∙dx e xx3 . C e xx ++3ln 134.()()⎰++dx xx x 2211= . C x arc x ++tan 2ln5.⎰=+dx xx 221 . C x arc x +-tan 6.⎰=dx xx 21sin . C x +1cos7.⎰=-dx x x 2312 . ()C x x +---223131928.⎰=-+dx x x 3212 . C x x ++-31ln 41四．求下列各不定积分1.⎰+dx x x 124 C x x x ++-arctan 332.⎰+）（12x x dxC x x ++1ln 23. ()()⎰+-+dx x x x 113C x x x x ++-+2253215234. dx xx x ⎰+++2311 C x x ++arctan 225. dx x x ⎰+）（2211 C x x +--arctan 16. dx x x x ⎰++）（222123 C x x +--arctan 3 7. dx x ⎰2sin 2 C x x +-sin 2128. dx xx x⎰-sin cos 2cos C x x +-cos sin9. dx xx x⎰22cos sin 2cos C x x +--tan cot10. dx xx⎰++2cos 1cos 12 C x x ++21tan 21 11. dx x ⎰2tan C x x +-tan 12. dx e x x ⎰8 ()()C e e x+8ln 18 13. dx x ⎰-）（22C x +2ln 412习题二一．选择题1.若等式)53(xkd dx -=成立,则=k ( B )A.5B.-5C.51D. 51-2.设1-≠a ,若等式()[]x f d dx x a =,则()x f =( D ) A.1+a x B. 1)1(++a x a C.a x a1 D.111++a x a 3.设C 是任意常数,若)()('x f x F =,则下式成立的是( A )A.()C x F dx x f +=⎰)(B. ()C x F dx x f +=⎰)('C.()()⎰+=C x f dx x F 'D.()()⎰+=C x f dx x F4.设)()('x f x F =,)(x f 是可导函数且()10=f ,()()2x x xf x F +=,则()x f =( C ) A.12+-x B.12+-x C.12--x D. 12--x5.()⎰=-dx x f 14'( C ) A.()C x f +41 B. ()C x f +4 C. ()C x f +-1441D. ()C x f +-1446.若()()⎰+=C x F dx x f ,则()⎰--dx e f e x x =( B )A.()C e F x + B. ()C e F x +-- C. ()C e F x +- D. ()C e F x +- 7.()⎰=dx x xf''( A )A.()()C x f x xf +-'B. ()()C x f x xf +-''C. ()()C x f x xf ++'D. ()()C x xf x f x +-'''2 8.设()()()()()(),1,1x f x f x g x f x f x F +=-=若()()[]2'x g x F =，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ， 则()=x f （ A ）A ．x tan B.x cot C.x arc tan D.x arc cot 二.填空题 1.⎰=dx xx cos tan .C x+cos 22.()⎰=-x x dx 4 . C x +-22arcsin或 C x+2arcsin 2 3.()⎰=--xx dx12 . C x +--1arctan 24.⎰=-dx x x 21ln .C x x+-ln 5.⎰=dx xx2sin sin ln . C x x x x +---cot sin ln cot 6.⎰=dx x arctan . ()C x x x +-+arctan 17.()⎰=dx x xf'' . ()()C x f x xf +-'1. dx xe x ⎰2C e x +2212. dx x x ⎰+5432 ()C x ++56422453. dx xx⎰3ln ()C x +34ln 434. ()dx x x ⎰+2321arctan ()C x +35arctan 535. dx e e x x ⎰sin C e x +-cos6. dx x x ⎰cos sin 5 ()C x +6sin 617. dx x x ⎰-2241 ()C x x x x +---2281416412arcsin 641 8．()dx x x ⎰-3241C x xx x x+-+--2212arcsin 2319. ()dx x⎰+23211C xx ++21习题三一．选择题1.函数()x e x f -=的不定积分是( D ) A.x e - B. x e -- C. C e x +- D. C e x +--2.在区间()b a ,内的任意一点x ,如果总有()()x g x f ''=成立,则下列各式中必定成立的是( C )A.()()x g x f =B. ()()1+=x g x fC. ()()C x g x f +=D.()()()()''⎰⎰=dx x g dx x f3.设)(x F 是()x f 的一个原函数,则()⎰--dx e f e x x =( B )A.()C e F x +-B. ()C e F x +--C. ()C e F x + D. ()C e F x +- 4.如果等式()⎰+-=--C e dx e x f xx11,则函数()x f =( B )A.x 1-B.21x -C. x 1D. 21x5.⎰=-dx ex( B )A.⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--0,0,x C e x C e x xB. ⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+--0,20,x C e x C e x xC. ⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--0,,21x C e x C e x xD.⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+-0,0,x C e x C e x x 6.若()⎰+=,33'C x dx x f 则()x f =( C )A.C x +B.C x +3C.C x +3559 D. C x +3556二.填空题8.⎰=+-+dx x x x 13652. ()C x x x +-++-23arctan 4136ln 212 9.⎰=dx x . C x x +2110.设()()x x x f ln 1ln '+=,则()=x f . ()C x x e x++-21211.设()()C ex dx x f x++=⎰1',则()=x f . ()C x e x e x x+++-1212.设()()⎰+=C x dx x f x cos arctan sin ,则()⎰=dx x f . C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+-2sin 412313.设2sin x 为()x f 的一个原函数,则()⎰=dx x f x 2 . C x x x ++222cos sin 14.已知()x F 是()x f 的一个原函数,且()()21xx xF x f +=,则()x f = . 21xCx +三．求积分1. dx e x x ⎰223 C e e x x x +-2222281412. dx x x ⎰4sin C x x x ++-4sin 1614cos 43. dx x x ⎰2cosC x x x x +++2cos 812sin 442 4. ()dx x x ⎰+221ln ()C x x x x x +-+-+arctan 3232921ln 3323 5. dx xx x ⎰3sin cosC x x x +--cot 21sin 212 6. dx xx⎰2cos cos ln C x x x x +-+tan cos ln tan7. dx xx ⎰+2241C x x ++-4428. dx xx ⎰-92 C x x +--3arccos 3929. dx xx ⎰-229 C x x x +-∙-）（3933arcsin 292习题四一．选择题1.下列函数中,不是x x e e 22--的原函数是( D ) A.()x x e e 2221-+ B. ()221x x e e -+ C. ()221x x e e -- D. ()x x e e 222-- 2.如果()()⎰⎰=x dg x df ,则下列各式中不一定成立的是( A ) A. ()()x g x f = B. ()()x g x f ''= C. ()()x dg x df = D. ()()⎰⎰=dx x g d dx x f d ''3.如果()⎰+=C x F dx x f )(,则()=⎰--dx e f e x x ( B )A.()C e F x + B. ()C e F x +-- C. ()C e F x +- D. ()C e F e x x +-- 4.如果x e -是()x f 的一个原函数,则()⎰dx x xf =( B )A.C x e x +--)1(B. C x e x ++-)1(C. C x e x +--)1(D. C x e x ++--)1( 5.如果()xe xf -=,则()⎰=dx xx f ln '( B )A.C x +-1 B. C x+1C.C x +-lnD. C x +ln 6.如果()⎰+=C x dx x f 2,则()⎰-dx x f x 321=( D )A.()C x +-2313 B. ()C x +--2313 C.()C x +-23131D. ()C x +--231317.设()x f 是连续函数,()x F 是()x f 的原函数,则下列结论( A ) A.当()x f 是奇函数时,()x F 必是偶函数 B.当()x f 是偶函数时,()x F 必是奇函数 C.当()x f 是周期函数时,()x F 必是周期函数 D.当()x f 是单调增函数时,()x F 必是单调增函数8.若()x f 的导函数是x sin ,则()x f 有一个原函数为( B ) A.x sin 1+ B. x sin 1- C. x cos 1+ D. x cos 1- 二.填空题1.⎰=dx x 2sin 2 . ()C x x +-sin 212.⎰=-dx x x 21 . ()C x +--2321313.()⎰=+x x dxln 21 . C x ++ln 21ln 214.⎰=xdx x ln . C x x x +-2241ln 215.()⎰=+xx dx31 . ()C x x +-66arctan 66.⎰=dx xx45cos sin .C x x x ++--3cos 31cos 2cos 7.⎰=xdx x cos . C x x x +-cos sin 8.⎰=xdx e x sin . ()C x x e x+-cos sin 21 三.计算题1.求满足条件()()()10002===F F x x F ，，‘’‘条件的()x F ()1312+=x x F 2.设()x f 的一个原函数为xxsin ,求()⎰dx x xf ’()C x x x dx x xf +-=⎰sin 2cos ’ 3.设()x f 的导函数()x f ‘为过()()0200，，开口向下的二次抛物线,且()x f 的极小值为2, 极大值为6,试求()x f . ()2323++-=x x x f4.设()x f 的原函数()0>x F ,且(),10=F 当0≥x 时,()()x x F x f 2sin 2=,求()x f()14sin 4124cos 1+--=x x x x f5.一曲线过()32，e 且曲线上任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,求该曲线方程. 1ln +=x y6.设()x F 是()x f 的原函数,()x G 是()x f 1的原函数,且()()()101=-=f x G x F ，,求()x f ()()x x e x f e x f -==或7.已知函数()x f 的导数为2+x ,且()5=x f ,求()x f . ()12212-+=x x x f 8.设()x f 的一个原函数为()x x ln sin 1+,求()⎰dx x xf’()()C x x x x x dx x xf+--∙++=⎰ln 1sin cos sin 1’9.一质点作直线运动,已知其加速度为，t t a sin 3122-=若()()3050-==s v ，,求 (1)速度v 与时间t 的关系 (2)位移s 与时间t 的关系。