配完全平方
配完全平方公式及应用
3 ，则 x 2 2 xy 2 y 2 的值是______________
1 成为一个两数和的完全平方式，则（ 4
B. m 2 C. m 1 ） D. m 1 ） D．±12
1 2
9．要使 4 x mx A. m 2
10．如果 4 x2 mxy 9 y 2 是一个完全平方式，则 m 的值是（ A．6 B．±6 C．12
例 3. 若 a 2008, b 2009 , c 2010 , 求a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值.
例 4.(1) 已知 a 5b 4ab 4b 4 0 ，求 a+b.
2 2
(2) 已知 :13x 2 6 xy y 2 4 x 1 0, 求 x y x10的值.
【能力提升训练】
1． (
) 2 m 2 8m 16
． 4n
2 2．关于 x 的多项式 x 8 x k 是完全平方式，则 k =
3．若 (2 x M ) 2 4 x 2 12 x N ，则 M= 4.下列各式可以写成完全平方式的有（ ① x 2 xy y 2 A．1 个
2 2
2 2 ________， 有了 a 2ab 或 a 2ab 则第三项一定是______） ． 在某些较为复杂的题目中，
还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．
【典型例题探究】
例 1. 如果(a +b )(a +b -6)+9=0，求 a +b
2 2 2 2 2 2
例 2．已知： x y z 2 ，求代数式 x3 4 y 2 4 z 2 4 xyz 的值.
2
把代数式通凑配等手段,得到完全平方式,再运用完全平方
把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．运用配方法解题的关键是恰当的“凑配”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式．1、配方法在确定二次根式中字母的取值范围的应用在求二次根式中的字母的取值范围时，经常可以借助配方法，通过平方项是非负数的性质而求解。
例1、求二次根式322+-a a 中字母a 的取值范围分析：根据二次根式的定义，必须被开方数大于等于零，再观察被开方数可以发现可以利用配方法求得。
解：2)1(2)12(32222+-=++-=+-a a a a a因为无论a 取何值，都有0)1(2≥-a 。
所以a 的取值范围是全体实数。
点评：经过配方，观察被开方数，然后利用被开方数必须大于等于零求得所需要的解。
2、配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用在证明代数式的值为正数或负数，配方法也是一种重要的方法。
例2、不管x 取什么实数，322-+-x x 的值一定是个负数，请说明理由。
分析：本题主要考查利用配方法说明代数式的值恒小于0，说明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式。
解：2)1(31)12(3)2(322222---=-++--=---=-+-x x x x x x x ∵0)1(2≤--x∴02)1(2<---x因此，无论x 取什么实数，322-+-x x 的值是个负数。
点评：证明一个二次三项式恒小于0的方法是通过配方将二次三项式化成“2a -+负数”的形式来证明。
3、配方法在求最大值、最小值中的应用在代数式求最值中，利用配方法求最值是一种重要的方法。
可以使我们很跨求出所要求的最值。
例3、若x 为任意实数，求742++x x 的最小值。
分析：求742++x x 的最小值，可以先将它化成3)2(2++x ，根据0)2(2≥+x ，求得它的最小值为3。
完全平方公式8种变形
完全平方公式8种变形完全平方公式是数学中一个重要的公式，它可以帮助我们求解一元二次方程的解，进而解决一些实际问题。
在学习完全平方公式时，我们不仅要熟记其基本形式，还需要了解其一些变形，以便更灵活地应用于解题过程中。
下面将介绍完全平方公式的8种变形，希望对大家的学习有所帮助。
1. 标准形式变形：完全平方公式的标准形式是：(a+b)²=a²+2ab+b²。
我们可以将其变形为：a²= (a+b)²-2ab-b²，这种变形可以帮助我们从平方项和常数项中提取出待求解的项。
2. 差平方变形：我们可以将完全平方公式改写为：(a-b)²=a²-2ab+b²。
这种变形用于需要处理差平方的情况，可以减少计算过程中的错误。
3. 完全平方差变形：如果我们遇到一个二次方程的形式是a²-b²=0，可以利用完全平方公式的变形来求解。
变形后的形式为(a+b)(a-b)=0，我们可以得到a+b=0或a-b=0，从而求得方程的解。
4. 半平方变形：在一些问题中，我们可能会遇到一个二次方程的形式是a√x+b=0。
我们可以将其改写为：(√x)²=-(b/a)，通过对等式两边开方并得到x的值，从而解决问题。
5. 配方法变形：配方法是解决一元二次方程的一种常用方法，我们可以将完全平方公式进行配方法的变形。
变形后的形式是(a+b)²-c²=(a+b+c)(a+b-c)，通过将多项式相加相减从而得到解。
6. 两边取平方根变形：当我们遇到一个二次方程的形式为a²=c²时，可以将完全平方公式应用于此。
变形后的形式是：a=±√c²，通过对两边同时取平方根，我们可以得到a的值。
7. 合并同类项变形：在解决一些复杂的方程时，我们可能会遇到一些多项式的平方和。
我们可以将其中的一些同类项合并，从而简化计算过程。
完全平方公式的配方应用
完全平方公式的配方应用完全平方公式是一个常用的配方，可以用来进行简化和加速代数表达式的计算。
该公式指出：(a+b)² = a² + 2ab + b²该公式可以应用于以下情况：1. 因式分解如果一个代数表达式可以表示为 (a+b)²的形式，那么我们可以使用完全平方公式将其展开，并将其移到一个更简单的形式。
例如，考虑将以下代数表达式因式分解：x² + 8x + 16这个表达式可以表示为 (x+4)²，应用完全平方公式：(x+4)² = x² + 2(4)x + 4² = x² + 8x + 16因此，我们可以将 x² + 8x + 16 因式分解为 (x+4)²。
2. 完成平方如果有一个简单的代数表达式，我们可以使用完全平方公式将其转化为更简单的形式，这个过程被称为“完成平方”。
例如，考虑将以下代数表达式完成为平方：x² + 6x + 5这个表达式可以表示为 (x+3)² - 4，应用完全平方公式：(x+3)² - 4 = x² + 2(3)x + 3² - 4 = x² + 6x + 5因此，我们可以将 x² + 6x + 5 完成为平方形式 (x+3)² - 4。
3. 解一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0 ，其中a、b、c为常数，x为未知数。
我们可以使用完全平方公式来解一元二次方程。
例如，考虑解方程 x² - 4x - 5 = 0，我们可以将其变形为 (x-2)² - 9 = 0，应用完全平方公式：(x-2)² - 9 = 0(x-2)² = 9x-2 = ±√9x = 2±3因此，方程的根为 x = 2+3 或 x = 2-3，即 x = 5 或 x = -1。
配完全平方公式及应用例题巩固练习
配完全平方公式及应用【知识要点梳理】1.配完全平方公式：即利用公式________________及_______________把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.2.配方的作用：① 降次：将一个复杂的等量关系转化为几个简单的等量关系.如：一个复杂的多项式可以配成形如）为常数，且0,0,(0)()(22>>=+++n m n m d c n b a m ，则可以得出a+b=0,c+d=0. ② 求最小值：若一个式子配成形如）为常数，且0,0,,()()(22>>++++n m k n m k d c n b a m ，则最小值为k .3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如:有22a b +了则第三项一定是_____或________，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是______）．在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意． 【典型例题探究】例1. 如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2例2．已知：2x y z =+=，求代数式322444x y z xyz +++的值.例3. 若ac bc ab c b a c b a ---++===222,2010,2009,2008求的值.例4.(1) 已知0444522=+--+b ab b a ，求a+b.(2) ()132210:136410,.x xy y x x y x -+-+=+⋅已知求的值例5. 当a,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值.【基础达标演练】1. ( )2=14y 2-y+1 2. ( )2=9a 2-________+16b 2 3. x 2+10x+___________=(x+__________)2 4. x 2+21x -__________=(x-______)2 5. 如果a 2+ma+9是一个完全平方式，那么m=_________.6．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m= .7．如果(a+b)(a+b-2)+1=0，则a+b=_________8．已知32=-yx ，则222221y xy x +-的值是______________ 9．要使2144x mx ++成为一个两数和的完全平方式，则（ ）A.2m =-B.2m =C.1m =D.1m =-10．如果2249x mxy y ++是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．6B ．±6C ．12D ．±1211．如果22()8y a y y b +=-+，那么a,b 的值分别为（ ）A ．a=4，b=16B ．a=－4，b=－16C ．a=4，b=－16D ．a=－4，b=1612. 若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 满足等式2222)()(3c b a c b a ++=++.试说明该三角形是等边三角形.【能力提升训练】1．168)(22++=m m2．关于x 的多项式k x x +-82是完全平方式，则k = ．3．若N x x M x +-=-124)2(22，则M= ，N= ．4.下列各式可以写成完全平方式的有（ ）①22y xy x ++ ②2241b ab a +- ③2244n mn m ++ ④291a a +- A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy ．6．若3-=-y x ，求xy y x -+222的值．【走近中考前沿】1.（宁波中考）已知ac bc ab c b a c b b a ++=++=-=-求,1,532222.（河南中考）已知,21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a 求bc ac ab c b a ---++222【数学竞赛花园】* 1.已知4x 2+x 4+M （M 是单项式）是一个完全平方式，则M 可以有哪几种结果?* 2.若0))((4)(2=----z y y x x z ，求x+z 与y 的关系.* 3. 已知a,b,c 满足a 2+2b=7,b 2-2c=-1,c 2-6a=-17,求a+b+c 的值.* 4．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求cb d a -的值.。
七年级数学知识点精讲精练——完全平方公式变形应用与配方法
完全平方公式变形与配方法【知识点】1．完全平方式完全平方式的定义：a2±2ab+b2=（a±b）2口诀：“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号看前方”．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”2．配方法配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2应用：利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．【典型例题】（2017春•秦淮区秦外期中）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3是x2﹣2x+4的一种形式的配方，（x﹣2）2+2x是x2﹣2x+4的另一种形式的配方…请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+1的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2﹣4x+6y+13=0，求2x﹣y的值；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考点】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，掌握完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2是解题的关键．【解答】解：（1）x 2﹣4x +1的两种配方分别为：x 2﹣4x +1=（x ﹣2）2﹣3，x 2﹣4x +1=（x ﹣1）2﹣2x ；（2）由x 2+y 2﹣4x +6y +13=0得：x 2﹣4x +4+y 2+6y +9=0，∴（x ﹣2）2+（y +3）2=0解得：x =2，y =﹣3∴2x ﹣y =4+3=7；（3）a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣3b ﹣2c +4=（a 2﹣ab +14b 2）+（34b 2﹣3b +3）+（c 2﹣2c +1） =（a 2﹣ab +14b 2）+34（b 2﹣4b +4）+（c 2﹣2c +1） =（a ﹣12b ）2+34（b ﹣2）2+（c ﹣1）2=0，从而有a ﹣12b =0，b ﹣2=0，c ﹣1=0， 即a =1，b =2，c =1，故a +b +c =4．【练习】1．若m 2+2mn +2n 2﹣6n +9=0，则m n 2的值为 ．2．若|m ﹣1|+n 2+6n +9=0，那么m = ，n = ．3. （2016春•玄武区校级期中）阅读材料：若m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn +2n 2﹣6n +9=0，∴（m 2﹣2mn +n 2）+（n 2﹣6n +9）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣3）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣3）2=0，∴n =3，m =3．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2﹣2xy +2y 2+8y +16=0，求xy 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足a 2+b 2﹣12a ﹣16b +100=0，求△ABC 的最大边c 可能是哪几个值？4.（2016春•南外期中）先阅读后解题：若m 2+2m +n 2﹣6n +10=0，求m 和n 的值．解：等式可变形为：m 2+2m +1+n 2﹣6n +9=0即 （m +1）2+（n ﹣3）2=0因为（m +1）2≥0，（n ﹣3）2≥0，所以 m +1=0，n ﹣3=0即 m =﹣1，n =3．像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决下列问题：（1）已知x 2+y 2+x ﹣6y +374=0，求x y 的值；（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2a 2+b 2﹣4a ﹣6b +11=0，则△ABC 的周长是 ；（3）a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是 ．5.阅读材料：把形如ax 2+bx +c 的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a 2±2ab +b 2=（a ±b ）2．例如：x 2﹣2x +4=x 2﹣2x +1+3=（x ﹣1）2+ ；x 2﹣2x +4=x 2﹣4x +4+2x =（x ﹣2）2+ ；x 2﹣2x +4=14x 2﹣2x +4+34x 2=（12x ﹣2）2+ 是x 2﹣2x +4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，将二次三项式x 2﹣4x +9配成完全平方式（直接写出两种形式）；（2）将a 2+3ab +b 2配方（写两种形式即可，需写配方过程）；（3）已知a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0，求a ﹣b +c 的值．【练习解析】1.解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0 ∴（m+n）2+（n﹣3）2=0，∴m+n=0且n﹣3=0，∴m=﹣3，n=3，∴mn2=−332=﹣13．故答案为﹣13．2. 解：∵|m﹣1|+n2+6n+9=0，∴|m﹣1|+（n+3）2=0，∵|m﹣1|≥0，（n+3）2≥0∴|m﹣1|=0，（n+3）2=0解得m=1，n=﹣3故应填：1，﹣3．3. 解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）=0，∴（x﹣y）2+（y+4）2=0，∴（x﹣y）2=0，（y+4）2=0，∴x=﹣4，y=﹣4，∴xy=﹣4×（﹣4）=16；（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100=0，∴（a2﹣12a+36）+（b2﹣16b+64）=0，∴（a﹣6）2+（b﹣8）2=0，∴（a﹣6）2=0，（b﹣8）2=0，∴a=6，b=8，∵△ABC的最大边是c，∴8＜c＜14，∵c是正整数，∴c可能是9，10，11，12，13．4. 解：（1）等式可变形为：x 2+x +14+y 2﹣6y +9=0， 即（x +12）2+（y ﹣3）2=0 ∵（x +12）2≥0，（y ﹣3）2≥0，∴x +12=0，y ﹣3=0， 即x =﹣12，y =3．x y =（﹣12）3=﹣18；（2）等式可变形为（√2a ）2﹣4a +（√2）2+b 2﹣6b +9=0， 即（√2a ﹣√2）2+（b ﹣3）2=0， ∵（√2a ﹣√2）2≥0，（b ﹣3）2≥0， ∴√2a ﹣√2=0，b ﹣3=0， 即a =1，b =3，由三角形三边的关系，得 2＜c ＜4，又∵a 、b 、c 都是正整数， ∴c =3，△ABC 的周长是3+3+1=7；（3）原式=a 2﹣4a +4+b 2﹣10b +25+1 =（a ﹣2）2+（b ﹣5）2+1 ∵（a ﹣2）2≥0，（b ﹣5）2≥0， ∴a 2+b 2+4a ﹣10b +30的最小值是1， 故答案为：7，1．5. 解：（1）（x ﹣2）2+5，（x ﹣3）2+2x ；（2）a 2+3ab +b 2=a 2+3ab +（32b ）2﹣（32b ）2+b 2=（a +32b ）2﹣54b 2； a 2+3ab +b 2=a 2+2ab +b 2+ab =（a +b ）2+ab ；（3）∵a 2+b 2+c 2﹣2ab +2c +1=0， ∴（a 2+b 2﹣2ab ）+（c 2+2c +1）=0 即（a ﹣b ）2+（c +1）2=0， ∴a ﹣b =0且c =﹣1， ∴a ﹣b +c =﹣1．。
初三数学方程式配平方法与练习
初三数学方程式配平方法与练习1. 方程式配平方法在初三数学中，方程式配平是一种常见的方法，用于解决含有未知数的方程式。
方程式配平的目的是使方程两边的值相等，从而找到未知数的解。
以下是一些常见的方程式配平方法：1.1 加减法配平加减法配平是最常用的方程式配平方法之一。
它的原理是在方程的两边同时加减相同的数，以使方程两边的值相等。
例如，对于方程式2x + 3 = 7，我们可以通过减去3来配平方程，得到2x = 4。
然后，再除以2，就可以求得x的值。
1.2 乘除法配平乘除法配平是另一种常用的方程式配平方法。
它的原理是在方程的两边同时乘除相同的数，以使方程两边的值相等。
例如，对于方程式4x = 16，我们可以通过除以4来配平方程，得到x = 4。
这样，我们就找到了x的值。
1.3 完全平方配平完全平方配平是一种特殊的方程式配平方法，适用于含有平方项的方程。
它的原理是利用完全平方公式，将方程式转化为平方的形式，从而求解未知数。
例如，对于方程式x^2 + 6x + 9 = 25，我们可以将右边的25转化为完全平方，得到(x + 3)^2 = 25。
然后，我们可以通过开方来求解x的值。
2. 练题以下是一些练题，帮助你熟练掌握方程式配平的方法：2.1 加减法配平1. 2x + 5 = 112. 3y - 7 = 102.2 乘除法配平1. 4a = 162. 6b/2 = 92.3 完全平方配平1. x^2 + 10x + 25 = 492. y^2 - 8y + 16 = 4请自行尝试解答上述练题，并用方程式配平的方法求解未知数。
完成后，可以通过检查答案来验证你的解答是否正确。
希望这份文档对于你学习初三数学方程式配平方法有所帮助！。
完全平方数与配方法
完全平方数与配方法配方法（也称为“分解因式法”）是指将一个数按照一定的规则分解成两个因数的乘积。
在配方法中，完全平方数扮演着重要的角色。
下面就来详细讨论完全平方数与配方法之间的关系。
首先，我们来看一下完全平方数的性质。
对于一个完全平方数x^2，它可以表示成(x-a)(x+a)的形式，其中a是一个小于等于x的正整数。
这个性质可以通过展开(x-a)(x+a)来验证：(x-a)(x+a)=x^2-a^2可以看到，这个展开式的结果是一个完全平方数。
因此，可以得出结论：任意一个完全平方数都可以表示成两个因数的乘积。
接下来，我们来看一下配方法。
对于一个一般的整数y，我们要将其分解成两个因数的乘积，可以采用以下的配方法步骤：1.找到y的一个约数d。
2.将y除以d，得到商q。
3.如果q=d，说明找到了完全平方数，即y是一个完全平方数。
4.如果q不等于d，继续进行第1、2、3步骤，直到找到完全平方数或者无解。
举个例子来说明配方法的过程。
假设我们要将24分解成两个因数的乘积。
按照配方法的步骤：1.找到24的一个约数，例如22.将24除以2，得到商123.商12不等于除数2，继续进行下一步。
4.找到商12的一个约数，例如35.将12除以3，得到商46.商4不等于除数3，继续进行下一步。
7.找到商4的一个约数，例如28.将4除以2，得到商29.商2等于除数2，说明找到了完全平方数，即24是一个完全平方数。
在配方法中，找到完全平方数其实就是找到了原数的两个因数。
对于24来说，我们可以将其分解成4和6的乘积：24=4×6通过配方法，我们可以将一个数分解成两个因数的乘积，其中一个因数就是一个完全平方数。
这个方法在因式分解、求积因数、求约数等数学问题中有广泛的应用。
特别是在解决二次方程、求解立方根等问题时，配方法是一个非常有用的工具。
总结起来，完全平方数与配方法是数学中非常重要的概念和工具。
通过配方法，我们可以将一个数分解成两个因数的乘积，其中一个因数就是一个完全平方数。
配完全平方公式练习题
配完全平方公式练习题一、选择题1. 完全平方公式是什么？A. (a+b)² = a² + 2ab + b²B. (a+b)² = a² - 2ab + b²C. (a-b)² = a² - 2ab + b²D. (a-b)² = a² + 2ab - b²2. 以下哪个表达式是完全平方公式的展开形式？A. x² - 6x + 9B. x² + 6x + 9C. x² - 6x - 9D. x² + 6x - 93. 根据完全平方公式，下列哪个选项是正确的？A. (3x+2)² = 9x² + 12x + 4B. (3x-2)² = 9x² - 12x + 4C. (3x+2)² = 9x² + 12x - 4D. (3x-2)² = 9x² - 12x - 4二、填空题4. 将下列表达式用完全平方公式展开：(x+5)² = _______。
5. 将下列表达式用完全平方公式展开：(2y-3)² = _______。
三、解答题6. 计算下列表达式的值：(a) (3x-1)²(b) (4y+1)²7. 利用完全平方公式，将下列表达式简化：(a) x² - 10x + 25(b) 4z² - 12z + 9四、应用题8. 在一个直角三角形中，斜边的长度为13，一条直角边的长度为5，求另一条直角边的长度。
（提示：使用完全平方公式）9. 某工厂生产的产品数量与时间的关系可以表示为：P(t) = 2t² - 12t + 20，其中t表示时间（单位：月），P(t)表示产品数量。
如果工厂希望产品数量达到或超过36件，求时间t的最小值。
配成完全平方的技巧
配成完全平方的技巧介绍完全平方是指一个数能够被另一个整数平方得到的情况。
配成完全平方的技巧是一种数学方法，通过对数字进行适当的配对，使得它们的和能够成为完全平方数。
在这篇文章中，我们将深入探讨配成完全平方的技巧。
配对奇数和偶数首先，我们可以将奇数和偶数进行配对，因为一个奇数加上一个偶数等于一个奇数。
考虑到完全平方数是奇数或偶数的性质，我们可以利用这种配对来构造完全平方数。
奇数配对示例1.首先，选择一个奇数，例如5。
2.找到离它最近的一个完全平方数，例如4。
3.计算两个数的和， 5 + 4 = 9，得到的结果是一个完全平方数。
偶数配对示例1.首先，选择一个偶数，例如6。
2.找到离它最近的一个完全平方数，例如4。
3.计算两个数的和， 6 + 4 = 10，得到的结果不是一个完全平方数。
4.如果配对的和不是完全平方数，我们可以尝试选择不同的完全平方数，直到找到与偶数配对后的和为完全平方数的情况。
配对质数和平方数在配成完全平方的技巧中，我们还可以考虑配对质数和平方数。
质数是只能被1和自身整除的数，平方数是某个数的平方。
质数配对示例1.首先，选择一个质数，例如7。
2.找到离它最近的一个完全平方数，例如4。
3.计算两个数的和， 7 + 4 = 11，得到的结果不是一个完全平方数。
4.如果配对的和不是完全平方数，我们可以尝试选择不同的完全平方数，直到找到与质数配对后的和为完全平方数的情况。
平方数配对示例1.首先，选择一个平方数，例如9。
2.找到离它最近的一个质数，例如7。
3.计算两个数的和， 9 + 7 = 16，得到的结果是一个完全平方数。
配对多个数字除了配对两个数字外，我们还可以考虑配对多个数字。
通过选择适当的组合，我们可以使它们的和成为完全平方数。
多个数字配对示例1.首先，选择一些数字，例如3、4和5。
2.找到离它们最近的一个完全平方数，例如4。
3.计算这几个数的和， 3 + 4 + 5 + 4 = 16，得到的结果是一个完全平方数。
完全平方公式与配方法(学生版)
完全平方公式与配方法1．先阅读下面的内容，再解决问题．例题：若2222690m n mn n ++-+=，求m 和n 的值．解：2222690m n mn n ++-+=，2222690m mn n n n ∴+++-+=．22()(3)0m n n ++-=，0m n ∴+=且30n -=．3m ∴=-，3n =．问题（1）已知22610210x xy y y ++++=，求x y -的值；（2）求代数式22241x x y y ++--的最小值；（3）比较代数式221x -与45x -的大小．2．阅读材料：把形如2ax bx c ++的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±．例如：2(1)3x -+、2(2)2x x -+、2213(2)24x x -+是224x x -+的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项--见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出242x x -+三种不同形式的配方；（2）将22a ab b ++配方（至少两种形式）；（3）已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值．3．当a ，b 取任意有理数时，代数式（1）222(1)(21)a a ++-；（2）2712a a -+；（3）22(43)(4)a b -+-；（4）2|324|31213a b a a --+-+中，其值恒为正的有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．14．已知2(1)16x m x --+是一个完全平方式，则m 的值等于 ．5．用配方法说明：不论m 取何值，代数式2817m m ++的值总大于零，并求出m 为何值时，代数式2817m m ++有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？6．当x ，y 为何值时，多项式224628x y x y +-++有最小值，求出这个最小值．7．如果2236(1)25x m xy y +++是一个完全平方式，求m 的值．8．已知ABC ∆的三边a ，b ，c 满足22222()0a b c a b c ++-+=，请判断ABC ∆的形状，并说明理由．9．阅读材料：数学课上，老师在求代数式245x x -+的最小值时，利用公式2222()a ab b a b ±+=±，对式子作如下变形：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+ 因为2(2)0x -，所以2(2)11x -+．当2x =时，2(2)11x -+=，因此2(2)1x -+有最小值1，即245x x -+的最小值为1． 通过阅读，解决下列问题：（1）代数式2106x x +-的最小值为 ；（2）当x 取何值时，代数式268x x -++的值有最大值或最小值，并求出最大值或最小值；（3）试比较代数式242x x -与2269x x +-的大小，并说明理由．。
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法假设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
我们的目标是将这个一次方程转化为一个完全平方，即转化为 (px + q)^2 = 0 的形式。
我们令p=√a，q=b/2√a。
根据这个设定，我们可以推导出：(px + q)^2 = 0p^2x^2 + 2pqx + q^2 = 0根据二次方程的性质，我们可以得到：p^2=a2pq = bq^2=c由此，我们可以得到一个结论：(px + q)^2 = 0等价于 ax^2 + bx + c = 0这就是完全平方公式的推导过程。
接下来，我们将介绍一些使用完全平方公式的配方法。
配方法实际上就是将一次方程转化为完全平方，从而更方便地求解方程的根。
设有一个一次方程 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知系数。
1. 首先，将方程中常数项移到等号的另一侧，得到 ax^2 + bx = -c。
2.其次，将方程两边同时除以a，得到x^2+(b/a)x=-c/a。
3.然后，将方程中的第二项一半的系数取出来，即将(b/a)/2提取出来，得到x^2+(b/a)x+[(b/a)/2]^2=-c/a+[(b/a)/2]^24.最后，将方程右侧进行化简，得到x^2+(b/a)x+(b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2由此可得方程转化为完全平方的形式为(x+b/2a)^2=-c/a+b^2/4a^2通过完全平方公式，我们可以求解这个完全平方方程的解。
首先，我们将方程右侧的常数进行化简，然后对方程两边同时求平方根，即可得到方程的两个解。
配方法是一种很有用的工具，它可以将复杂的一次方程转化为完全平方的形式，从而简化计算过程。
通过熟练掌握完全平方公式的推导和配方法的应用，我们可以更轻松地求解二次方程的根。
总结起来，完全平方公式是一个将一次方程转化为完全平方的方法。
通过完全平方公式，我们可以将一次方程转化为 (px + q)^2 = 0 的形式，从而更方便地求解方程的根。
配完全平方公式
配完全平方及应用姓名： 日期：【知识要点】1.配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.2.配方的作用一般有：①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k .②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出．3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ）．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．【课前热身】1．填空：x 2+( )+41=( )2； 4x 2+12xy+( ) =( )2； 21x 2-6xy+( ) =( )2； 2x 2+( )+18y 2 =( )2； 2．如果(x+y)2—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________ 3．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________4．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于5．如果4x 2—axy+9y 2是一个完全平方式，则a 的值是 【典型例题】例1．（1）已知0122=--a a ，求841a a +的值． （2）已知()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++．例2．当a ,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值？并求出这个最小值。
例3．求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。
完全平方公式的配方法
完全平方公式的配方法完全平方公式是初中数学知识中的重要概念之一，它是求解一元二次方程的一种常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
我们来看一下一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0（其中a、b、c为常数，a ≠ 0）。
为了方便起见，我们先假设a = 1，即方程为x^2 + bx + c = 0。
接下来，我们要将这个一元二次方程转化为完全平方形式。
为了实现这一目标，我们需要找到一个常数k，使得方程的左边可以写成一个完全平方的形式。
我们可以通过配方法来完成这个过程。
首先，我们将方程的左边的二次项和一次项的系数之和的一半平方，并加上一个恰当的常数。
即：(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2 = 0这样，我们就将原方程转化为了一个完全平方形式的方程。
其中，(x + b/2)就是我们要求解方程的一个解。
接下来，我们可以通过求解这个完全平方形式的方程来得到方程的解。
具体而言，我们可以将方程化简为：(x + b/2)^2 = (b/2)^2 - c然后，我们可以对方程两边开根号，得到：x + b/2 = ±√((b/2)^2 - c)我们将方程两边减去b/2，即可得到方程的解：x = -b/2 ±√((b/2)^2 - c)至此，我们通过配方法，成功地将一元二次方程转化为完全平方形式，并求解出了方程的解。
需要注意的是，在实际应用中，我们可能会遇到一些特殊情况。
例如，当方程的一次项系数b为0时，我们直接可以将方程化简为x^2 + c = 0，然后求解即可。
又如，当方程的常数项c为0时，我们可以将方程因式分解为x(x + b) = 0，然后求解即可。
完全平方公式的配方法是一种求解一元二次方程的常用方法。
通过配方法，我们可以将一元二次方程转化为完全平方形式，从而更容易求解。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程，提高解题的效率。
一元二次方程配完全平方
一元二次方程配完全平方一元二次方程是数学中的一个重要概念，通过配方可以将其转化为完全平方形式，从而简化求解过程。
本文将从一元二次方程的基本概念开始，介绍如何应用配方将其转化为完全平方形式，并探讨完全平方形式的意义和应用。
一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为已知系数，x为未知数。
求解一元二次方程的过程中，配方是一种常用的方法。
配方的基本思想是通过添加适当的常数项，将方程转化为一个完全平方形式，从而使得方程的求解变得更加简单。
配方的具体步骤如下：1. 将一元二次方程写成完全平方的形式。
首先，将方程中的二次项和一次项的系数进行平方，然后将得到的平方项加到方程两边。
例如，对于方程x^2+4x+3=0，我们可以将4x平方得到16x^2，然后将16x^2加到方程两边，得到x^2+4x+16x^2+3=16x^2。
此时，方程的左侧就变成了一个完全平方形式，即(x+2)^2。
2. 化简方程。
将方程进行化简，消去方程中的冗余项。
对于上述方程，化简后的形式为(x+2)^2-16=0。
3. 求解方程。
将化简后的方程进行求解，找到满足方程的解。
对于上述方程，我们可以将方程转化为(x+2)^2=16，然后开平方得到x+2=±4，最后解得x=-2±4。
通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，可以简化方程的求解过程。
而完全平方形式的意义在于，它可以帮助我们更好地理解方程的性质和特点。
完全平方形式的方程通常具有以下特点：1. 方程的解为实数。
由于完全平方形式的方程是一个平方的形式，因此方程的解必然为实数，而不会出现复数解。
2. 方程的解具有对称性。
由于完全平方形式的方程中含有平方项，平方具有对称性，因此方程的解也具有对称性。
例如，对于上述方程(x+2)^2=16，解为x=-2±4，可以看出解在x轴上关于x=-2对称。
3. 方程的解的个数。
完全平方形式的方程通常有两个解，即使方程的系数不同。
配成完全平方的技巧
配成完全平方的技巧在数学中，完全平方是指一个数可以表示为另一个整数的平方的形式，例如4、9、16等。
而有些数并不是完全平方，但是我们可以通过一些技巧将它们配成完全平方。
下面就来介绍一些配成完全平方的技巧。
1.加减法配方这是最基本的一种方法，即将一个数拆分成两个数的和或差的形式，然后再将其配成完全平方。
例如，对于数12，我们可以将其拆分成9+3，然后再将9配成3的平方，即12=3²+3。
2.乘法配方这种方法适用于两个数的乘积可以表示为一个完全平方的情况。
例如，对于数24，我们可以将其拆分成4×6，然后再将4和6配成2²和2²+2×2，即24=2²×(2²+2×2)。
3.公式配方有些数可以通过一些公式来配成完全平方。
例如，对于数10，我们可以使用差平方公式，即10=3²-1²，因此10可以表示为(3-1)²+2²。
4.负数配方有些数可以通过引入负数来配成完全平方。
例如，对于数15，我们可以将其拆分成16-1，然后再将1配成(-1)²，即15=4²-1²。
5.连续奇数配方对于一些连续的奇数，它们的和可以表示为一个完全平方。
例如，对于数9，我们可以将其拆分成1+3+5，然后再将它们配成(1+2)²-2²，即9=(1+2)²-2²。
配成完全平方的技巧有很多种，我们可以根据具体情况选择不同的方法。
这些技巧不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以在实际应用中发挥重要作用。
完全平方公式的配方口诀
完全平方公式的配方口诀
学习完全平方公式的口诀，可以让我们更轻松地求解各种完全平方式问题。
首先，要记住完全平方公式的配方口诀：“收支相抵，两边相等；左边加开，右边也开；左边后去，右边也去；左边中括，右边也括。
”
其次，要了解完全平方公式的使用方法。
首先，在收支相抵和两边相等这两个步骤中，要将原本的式子改写成收支相抵和两边相等的形式；接下来，在“左边加开，右边也开”步骤中，要在左右两边各加上常数的平方。
接着，在“左边后去，右边也去”步骤中，要对左右两边各进行两次求和运算，将两个等式变成一个；最后，在“左边中括，右边也括”步骤中，将左右两边各加上一个根号，即可求出答案。
最后，在使用完全平方公式时，一定要加强复习，牢记口诀，仔细检查，以免出现计算错误。
只有牢记口诀，才能知道完全平方公式的用法，正确地运用它来解决完全平方式问题。
总之，学习完全平方公式的口诀，能够有效地帮助我们解决完全平方式问题，这时一个非常重要的步骤。
只有学会了口诀，充分掌握了使用方法，满足各种完全平方式问题，才能提高自己的数学能力，赢得学业上的胜利。
完全平方配方练习题
完全平方配方练习题在数学中，完全平方配方是一种求解一元二次方程（quadratic equation）的方法。
一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0其中a、b、c分别为已知系数，x为未知数。
而完全平方配方的基本思想是将方程转化为一个平方的形式，并进一步求解。
下面我们通过一些实例来演示完全平方配方的具体步骤。
例题一：求解方程 x^2 - 6x + 9 = 0解答：1. 首先观察方程中的各项系数，发现x^2和9均为平方数，而-6x 在形式上也可视作x与某个数的乘积。
2. 由此可得到以下等式：(x - 3)^2 = 03. 利用平方根的性质，我们得到x - 3 = 0。
解得x = 3，即为方程的解。
例题二：求解方程 4x^2 - 12x + 9 = 0解答：1. 同样观察方程中的各项系数，注意到9为平方数，而4x^2和-12x 可以调整为一个平方与某个数的乘积。
2. 通过观察数值和计算，我们可以得到以下等式：(2x - 3)^2 = 03. 由平方根的性质，我们得到2x - 3 = 0。
解得x = 3/2，即为方程的解。
通过以上两个例题可以看出，完全平方配方是一种简洁且有效的求解二次方程的方法。
这种方法在数学中有广泛的应用，并且在解决实际问题时也能发挥重要作用。
需要注意的是，虽然完全平方配方是一种有力的工具，但并非所有的二次方程都能通过此方法求解。
当方程无实数解或解为复数时，完全平方配方就不再适用。
总结起来，完全平方配方是一种通过将一元二次方程转化为平方形式来求解方程的方法。
通过观察方程中的系数和项，我们可以找到一些特殊的形式，从而简化求解过程。
这种方法在数学中有着重要的应用，并且为我们解决一些实际问题提供了有力的工具。
然而，需要注意的是完全平方配方并不适用于所有的二次方程，有些方程需要使用其他方法进行求解。
以上是关于完全平方配方练习题的解析，通过这些例题的练习，相信大家对完全平方配方的概念和运用会更加熟悉和了解。
高中数学解题基本方——配方法
高中数学解题基本方——配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。
Ⅰ、基础再现1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1 B. k<14或k>1 C. k∈R D. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 54] B. [54,+∞) C. (－12,54] D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
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配完全平方及其应用
知识要点
配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.完全平方式一定是可以写成222222a b ab a b ab +++-或这种形式,其中a 、b 可以是较为复杂的整式．有些多项式不是完全平方式，但是可以配成一个完全平方式再加上一个常数的形式，有些多项式则可以配成多个完全平方式的常数倍再相加的形式．
配方的作用一般有：①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k .
②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出．
配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22a b +了则第三项一定是2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ）．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．
【典型例题】
例1． 如果()36522+-+x m x 是一个完全平方公式，求m 的值.
例2．如果(a 2+b 2)(a 2+b 2—6)+9=0，求a 2+b 2
例3．当a ,b 为何值时，多项式224618a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值。
例4 若0))((4)(2=----z y y x x z ，求x+z 与y 的关系.
例5．已知：2x y z =+=，求代数式322444x y z xyz +++的值。
例6．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求
c
d b a -的值.
例7．若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？
例8．若正整数c b a ,,满足c b ab c b a 8972222++<+++，则c b a ,,分别等于多少？
【经典练习】
1．如果(x+y)2—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________
2．如果(a+b)(a+b —2)+1=0，a+b=_________
3．填空：x 2+( )x+4
1=( )2；( )(—2x+3y)=9y 2—4x 2 4．已知32=-y x ，则22222
1y xy x +-的值是______________ 5．如果4x 2—Mxy+9y 2是一个完全平方式，则M 的值是（ ）
A 、72
B 、36
C 、—12
D 、±12
6.已知4x 2+x 4+M 是一个完全平方式，则M 可以有哪几种结果____________________
7．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。
8．(1)已知224250a b a b ++-+=求a b a b
+- (2)如果x 2+y 2—4x —6y+13=0，求xy
9. 求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。
10．若n 222108++为完全平方数,求n 的值.
11．若222214()(23)a b c a b c ++=++，且1a =，试求b 与c 的值。
12．已知12+=x x ，比较5x 与45+x 的大小
13．若△ABC 的三边长分别为a ．b ．c ，且a ．b ．c 满足等式2222)()(3c b a c b a ++=++，试
说明该三角形是等边三角形．
14.整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值.
15.1.345⨯0.345⨯2.69-1.345⨯0.3452-1.3453
16.已知a,b,c 满足a 2+2b=7,b 2-2c=-1,c 2-6c=-17,求a+b+c 的值.。