2012高考冲刺作业作业18探索性问题(南雅中学石向阳)

合集下载

2012高考冲刺作业作业7(南雅中学石向阳)

故作出h(x)的草图如图所示，讨论如下：
①当时，h(x)最小值h(a)＝ka∴k＝(1＋a)2≥
②当时h(x)最小值h(a)＝h(－)＝＝ka∴
③当时h(x)最小值h(a)＝a(1＋a)2＝kak＝(1＋a)2≥，时取等号.
综上讨论可知k的最小值为，此时[a，0]＝[，0].
6．证(1)∵∴an＋1－an＝(an－1)2≥0
A．B．C．D．
3．已知点A()，过点A的直线l：x＝my＋n(n＞0)，若可行域的外接圆的直径为20，则实数n的值是____________.
4．已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③mα；④α⊥β；⑤α∥β.(1)当满足条件___________.时，m∥β；(2)当满足条件时，m⊥β(填
6.定义数列{an}如下：a1＝2，an＋1＝an2－an＋1，n∈N*.证明：(1)对于n∈N*恒有an＋1＞an成立；
(2)当n∈N*时，，知，知x1的取值范围为．
２.A 3．4．(1)③⑤(2)②⑤
5．解：(1)证明：fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx，
注：亦可用数学归纳法证明.
(2)∵h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x( 1＋x)2∴h'(x)＝(1＋x)2＋x·2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)
令h'(x)＝0,得x＝－1或x＝－，
∴当x∈(―2，―1)，h'(x)＞0；当x∈(―1，―)时，h'(x)＜0；
当x∈(－,＋∞)时，h'(x)＞0.
所选条件的序号).
5.定义函数fn( x )＝(1＋x)n―1, x＞―2，n∈N*(1)求证：fn( x )≥nx；(2)是否存在区间[ a，0 ](a＜0)，使函数h( x )＝f3( x )－f2( x )在区间[a，0]上的值域为[ka，0]?若存在，求出最小实数k的值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由.

2012高考冲刺作业作业9数列(南雅中学石向阳)

1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ____2．已知n S 是等差数列{}()n a n N *∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题：⑴0d <；⑵110S >；⑶120S <；⑷ 数列{}n S 中的最大项为11S ，其中正确命题的序号是_______________.3．已知数列{}2log n x 是公差为1 的等差数列，数列{}n x 的前100项的和等于100，则数列{}n x 的前200项的和等于____________________.4. 已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项和，某同学经计算得224S =，338S =，465S =，后来该同学发现其中一个数算错了，则算错的那个数是__________，该数列的公比是________.5. 已知数列{}n a 满足1a =1,223a =且11112(2)n n nn a a a +-+=≥, 则 15a 等于(A)18(B)17 (C)13 (D)8156．数列{a n }中，212,a t a t==（t>0且t≠1）．x =是函数311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点．（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记12(1)n nb a =-，当t =2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；（3）当t =2时，是否存在指数函数g （x ），使得对于任意的正整数n 有∑=+<++kk k k a a k g 1131)1)(1()(成立？若存在，求出满足条件的一个g （x ）；若不存在，请说明理由．数列1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ____分析与解答: 因为数列{}n a 是等差数列, 0a ∴=, 2n S n ∴=，2343,5,7a a a ∴===，设三角形最大角为θ，由余弦定理，得1cos 2θ=-，23πθ∴=。

2012高考冲刺作业作业13函数(南雅中学石向阳)

函数A ．[1，2] B ．[0，2] C ．（0，]3 D ．1[，]3 2.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a ===则A ．c b a <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<3. 函数⎩⎨⎧≥<-+-=0,0,33)(x a x a x x f x（10≠>a a 且）是),(+∞-∞上的减函数，则a 的取值范围是 4.已知曲线S :y =3x －x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线的条数为 3 . ５．已知函数e dx cx bx ax x f ++++=234)(（其中a 、b 、c 、d 、R x ∈）为偶函数，它的图象过点)1,0(-A ，且在1=x 处的切线方程为022=-+y x 。

（1）求a 、b 、c 、d 、e 的值，并写出函数)(x f 的表达式；（2）若对任意R x ∈，不等式)1()(2+≤x t x f 总成立，求实数t 的取值范围。

6．某服装厂品牌服装的年固定成本100万元，每生产1万件需另投入27万元，设服装厂一年内共生产该品牌服装x 万件并全部销售完，每万件的销售收入为R （x ）万元.且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<-=)10(3100001080)100(31108)(22x x xx x x R（I ）写出年利润y （万元）关于年产量x （万件）的函数关系式；（II ）年产量为多少万件时，服装厂在这一品牌的生产中所获年利润最大？（注：年利润二年销售收入－年总成本）A．[1，2] B．[0，2] C．（0，]3 D．1[，]3[提示或答案]：首先由401530xx-≥⎧⎨-≥⎩,得45x≤≤；令(01)t t=≤≤，则)y t=，再令c o s(0)2tπθθ=≤≤,那么c o s s i n2s i n()6yπθθθ=+=+, 3662πππθ≤+≤,所以[]1,2y∈。

构建不定方程模型解决计数问题(长沙市南雅中学石向阳)

正整数解( x，y，z) 的个数．
解析首先由定理 2 知，方程 x + y + z = 2010 的
正整数解的个数为
C2 2009
= 2009 × 1004．
把 x + y + z = 2010 满足 x ≤ y ≤ z 的正整数解分
为三类：
( 1 ) x，y，z 均相等的正整数解的个数显然为 1；
学校的名额数相同”的分配方法有 31 种．
综上知，满足条件的分配方法共有253 － 31 = 222
种．ห้องสมุดไป่ตู้
3． 3 染色问题
例 6 用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的一
种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个
面上，一个面不能用两色，也无一个面不着色的，问共
有几种着色法？
解析设红色涂了 x1 个面，橙色涂了 x2 个面，… 紫色涂了 x7 个面，则 x1 + x2 + … + x7 = 4，正四面体着色方法与方程的非负整数解建立了一一对应的关系．由定理 1 知该不定方程有 C47 +4 －1 = 210 组非负整数解，所以正四面体共有 210 种着色方法．
方程 x1
+ x2
+ x3
+ x4
=
4
的非负整数解的个数
C4 4 +4 －1
= C37 即为 4 个人进站的分组方法数；由于每个入口处
每次只能进一个人，按第 1，2，3，4 个入口顺序同时通
过入口排成一列，就每一分组方法将四个人全排列有 A44 种方法，所以共有不同进站方法 C37 ·A44 = 840 种． 3． 6 开关灯问题

2012高考冲刺作业作业5(南雅中学石向阳)

１．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足=31 (21+OB 21+2),则点P 一定为三角形ABC 的（） A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB 边的中点２．已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x xy 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（）A ．31或3 B ．31 C ．52或2 D ．52 ３．已知4433221022)1(x a x a x a x a a x x ++++=+-，则=++321a a a ，1a = .４．运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：(1)若两点等分单位圆时，有相应关系为：0)cos(cos ,0)sin(sin =α+π+α=α+π+α（2）四点等分单位圆时，有相应关系为： 0)23cos()sin()2cos(cos ,0)23sin()sin()2sin(sin =π+α+π+α+π+α+α=π+α+π+α+π+α+α 由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为： . ５．已知各项为正数的数列}{n a 满足022121=--++n n a n a a a a (n ∈N *)，且23+a 是42,•a a •的等差中项.(I)求数列}{n a 的通项公式n a ；(II)若n nn n n b b b •S •a ab +++== 2121,log ，求使5021>∙++n n n S 成立的正整数n 的最小值.６．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．１．B 取AB 边的中点M ，则2=+，由 =31 (21 +21+2)可得323+=，∴32=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.２．B 如图所示，A y x z在+=2点和B 点分别取得最小值和最大值. 由),(•a a •A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min max ==. 由题意得.31•a =３．0 -2 本题令x =1，则143210=++++a a a a a ，令x =0则a 0=1. 故04321=+++a a a a ，a 1的值为C 12.21)1(•-=⨯-∙４． 0)34cos()32cos(cos ;0)34sin()32sin(sin =π+α+π+α+α=π+α+π+α+α ５．（1）∵022121=--++n n n n a a a a ，∴0)2)((11=-+++n n n n a a a a ，∵数列}{n a 的各项均为正数，∴01>++n n a a ，∴021=-+n n a a ，即n n a a 21=+(n ∈N *)，所以数列}{n a 是以2为公比的等比数列.∵423,2•a •a a 是+的等差中项，∴42342+=+a a a ，∴4882111+=+a a a ，∴a 1=2，∴数列}{n a 的通项公式n n a 2=.（2）由（1）及n n na ab 21log =，得n n n b 2∙-=，∵n n b b b S +++= 21，∴n nn S 22423222432∙--∙-∙-∙--= ， ①∴1543222)1(24232222+∙-∙---∙-∙-∙--=n n nn n S ②①-②得，115432221)21(22222222++∙---=∙-++++++=n n n nnn n S22)1(1-∙-=+n n .要使5021>∙++n nn S 成立，只需50221>-+n 成立，即.5,5221••n •n ≥≥+∴使5021>∙++n nn S 成立的正整数n 的最小值为5.６．（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)F c-，，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即222221a b y a b-+=．解得2b y a =，从而得到2b Ac a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．直线1AF 的方程为2()2b y x c ac =+，整理得2220b x acy b c -+=．由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF，即23c =，将222c a b =-代入上式并化简得222a b =，即a =．证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，．过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故211BO F A OF F A=．由椭圆定义得122AF AF a +=，又113BO OF =，所以2212132F AF A F A a F A==-，解得22aF A =，而22b F A a =，得22b a a =，即a =．（Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．当00y ≠时，由12OD QQ ⊥知，直线12QQ 的斜率为0x y -，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，2000x m y y =+．点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组22222y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．将①式代入②式，得2222()2x kx m b ++=，整理得2222(12)4220k x kmx m b +++-=，于是122412kmx x k +=-+，21222212m b x x k-=+．由①式得2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++2222222222242121212m b km m b k k km m k k k ---=++=+++··．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得22222322012m b b k k--=+， 22232(1)m b k =+．将200000x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得2220023x y b +=．当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组022222x x x y b =⎧⎨+=⎩，．所以120x x x ==，12y =，．由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即2220202b x x --=，解得22023x b =．这时，点D 的坐标仍满足2220023x y b +=．综上，点D 的轨迹方程为 22223x y b +=．解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD QQ ⊥，垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为220000x x y y x y +=+．记2200m x y =+（显然0m ≠），点11122()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组0022222x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ①． ②由①式得00y y m x x =-． ③由②式得22222200022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得222220002()2y x m x x y b +-=．整理得2222220000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，于是222122200222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥由②式得22222200022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222000()22m y y x y x b -+=，整理得2222220000(2)220x y y my y m b x +-+-=，于是22212220022m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得2222220022220000222022m b y m b x x y x y --+=++， 22220032()0m b x y -+=．将2200m x y =+代入上式，得2220023x y b +=．所以，点D 的轨迹方程为22223x y b +=．。

长沙市南雅中学2012年下学期期末考试试卷

长沙市南雅中学2012年下学期期末考试试卷初一年级生物命题人：胡荣华审题人：尹渐平考生注意：本试卷共四道大题，35小题，满分100分，时量60分钟一．选择题（共25题，每题2分）1. 下列物体中属于生物的是（）①生石花②珊瑚虫③机器人④钟乳石⑤冬眠的熊⑥三叶虫化石⑦乙肝病毒A．②③④⑥ B．①②③④C．①②⑤⑦ D．②⑤⑥⑦2. 在神农架生长着一种野菊花，它能散发出阵阵芳香，被植物学家称为“神农香菊”，但这种菊花移到其他地方，就会失去香味，这一现象说明（） A．生物能影响环境B．生物能适应环境C．环境能影响生物D．环境能适应生物3. 具有涵养水源、保持水土功能、动植物种类繁多,有“地球之肺”之称的应是 ( )A．海洋生态系统B．草原生态系统C．农田生态系统D．森林生态系统4. 下列关于生物圈的说法正确的是（）A．生物圈是指整个地球B．生物圈是指地球上的所有生物C．生物圈是指岩石圈、水圈和大气圈D．生物圈是指地球上的全部生物和它们生活所需要的环境5. 为了保护南极的生态环境，科学工作者不仅要把塑料等难以降解的垃圾带离南极，还要把粪便等生活垃圾带走，这是因为当地的自然环境中 ( ) A．生产者过多B．缺少生产者 C．没有消费者D．缺少分解者6.下列有关显微镜知识的叙述中，错误的是( )A．对光后，通过目镜可以看到白亮的圆形视野B．小芳发现目镜上的污点后，用干净的纱布将镜片擦拭干净再继续使用C．小明用显微镜观察血涂片时，发现视野中有一个污点，他转动物镜，污点移动，他判断污点在物镜上D．两台显微镜，1号显微镜目镜10×,物镜40×，2号显微镜镜目镜15×，物镜10×，要使视野中观察到的细胞数量最多，应选用2号显微镜7. 正确地盖盖玻片是成功制作临时装片的关键。

下图所示制作临时装片时盖盖玻片的操作，正确的是（）A B C D8. 菠菜叶肉细胞和人体的肌肉细胞中都有的结构是（）①细胞膜②细胞壁③细胞质④叶绿体⑤细胞核⑥线粒体A．①③⑤⑥B．①③④⑤⑥C．①②③④⑤ D．①②③⑤⑥9. 猕猴桃营养丰富，吃起来酸甜可口。

2012年联赛模拟考试试题二十七(南雅中学石向阳)

高中数学联赛模拟试题二十七（第一试）时量：80分钟满分：120分姓名一、填空题（本大题共8小题，每小题8分共64分，将答案填在题中的横线上）1．若函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠是奇函数，则实数对(,)a b =2．从集合{1,2,3,,10}S =中任取4个元素,,,a b c d （允许重复）使得ab cd +为奇数，则这样的有序数组(,,,)a b c d 的组数为3．双曲线的左、右两焦点分别为12,F F ，一条过2F 的直线与双曲线的右支交于,A B 两点，若1F AB ∆是正三角形，则该双曲线的离心率是4．若正四棱锥的表面积和体积的大小在数值上相等，则该四棱锥体积的最小值是5．已知函数()f x 对任意实数,x y 均有()()0,f xy f x y --=且(3)3f -=，则(2010)f =6．若21n +和201(n n +是正整数）是同一个正整数的方幂，则n 的所有可能值是7．函数1()|sin sin 2|2f x x x =+的值域是 .8．一个人练习打靶，开始时他距靶100米，此时进行第一次射击，若此次射击不中，则后退50米进行第二次射击，这样一直进行下去，每次射击前都后退50米，已知他第一次的命中率为14，且命中率跟距离的平方成反比，则他命中的概率为 .二、解答题（16+20+20= 56分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）9．设a 为实数，解方程cos()sin 2.4x x a π-=+10．点F是中心在坐标原点O的椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点，点,A B是椭圆上不同于长轴端点的两点，且直线AB过点F，连接AO并延长交椭圆于点C，求ABC∆的面积的最大值.11．已知数列{}n a 满足12112,2(32)(1)0(2)n n n a a na n a n a n +-==-+++=≥，求2007.a加试试题（第二试）时量：150分钟满分：180分姓名解答题（40+40+50+50=180分，每题须给出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）一．如图圆1O 和圆2O 相交于,A B 两点，P 是直线AB 上一点，过P 点向两圆作切线，分别切圆1O 和圆2O 于点C 和D ，两圆公切线分别切圆1O 和圆2O 于点E 和F ，EF 与 PB 交于点Q ，求证：直线,,AB CE DF 共点.D A BC E F Q P 1O ⋅ 2O ⋅二．给定1(2)n n +≥个正实数012,,,,.n x x x x 求证：1222222222010120101.2()3()(1)()n n x x x x x x x x n x x x x ++<+++++++三．已知偶数4n ≥，现发行一种数字彩票，在一张彩票填上前2n 个正整数中的n 个数，开奖时，从21,2,3,,n 中划去n 个数，若彩票上的n 个数均在剩余的2n n -个数中，则该彩票中奖，问至少需要购买多少张彩票，才能通过适当地填写彩票以保证至少有一张中奖？证明你的结论.四．求满足方程2222(2)()()y x y xy x y x y x y +---=+-的所有整数解(,).x y模拟试题二十七1．(22．375034．2885．36．47． 8．129．当2a <-或98a >时，无解；当20a -≤<或98a =，24x k ππ=+±当908a ≤<时，24x k ππ=+± 10．bc ≤时，max ;S ab b c =>时，2max2b c S a = 11．20072005120062a =+第二试一．用梅涅劳斯定理证CE ，DF 与AB 的交点重合二．用Cauchy 不等式放缩三．至少需购买3n +张四．(0,0),(24,12),(27,9).。

2012高考冲刺作业作业4(南雅中学石向阳)

1．设,a b是不共线的两向量，其夹角是θ，若函数()()()()f x xa b a xb x R =+⋅-∈ 在()0,+∞上有最大值，则A 、a b < ，且θ是钝角B 、a b < ，且θ是锐角C 、a b > ，且θ是钝角D 、a b >，且θ是锐角２．从双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于P 点，若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则MO MT -与b a -的大小关系为A 、MO MT b a->-B 、MO MT b a-=-C 、MO MT b a -<-D 、不确定３．若双曲线2214x y m -=的渐近线方程为2y x =±，则其焦点为_________. ４．设函数()()0,11xx a f x a a a =>≠+且，【m 】表示不超过实数m 的最大整数，则函数【()12f x -】+【()12f x --】的值域是_________.５．已知函数()()()sin 0,0f x A x B A ωϕω=++>>的一系列对应值如下表：（1）根据表格提供的数据求函数()f x 的一个解析式；（2）根据（1）的结果，若函数()()0y f kx k =>周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f kx m =恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围；６．由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数()1y f x -=能确定数列{}n b ，()1n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”。

（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b ()1log 122a a >- 对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列{}n c 的反数列为{}n d ，{}n c 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ；求数列{}n t 前n 项和n S１．解：∵()()()22f x xa b a xb a bx a b x a b =+⋅-=-⋅+-+⋅在()0,+∞上有最大值∴抛物线()f x 图象开口向下，且对称轴在y 轴的右边 ∴2200a b a b ⎧⋅>⎪⎨-<⎪⎩ 故选D ；２解：如图：连结',PF OT ∵'2FP F P a -= ∴222FM OM a -=，即FM OM a -=又∵FM MT b =+ ∴MT b OM a +-= 即MO MT b a -=- 故选B ；３．解：∵2214x y m -=为双曲线 ∴0m >，此双曲线实轴为x 轴∴由渐近线方程为y x =得=3m = ∴此双曲线中2224,3,7a b c ===，其焦点为()４．解：∵()1111x x x a f x a a ==-++ ∴()111x x xa f x a a ---==++ ∴【()12f x -】+【()12f x --】=【1121x a -+】+【1112xa -+】，即【m 】+【m -】 ∴当m 为整数时，值为0；当m 为小数时，值为1-；故所求值域为{}1,0- ５．解：（1）设()f x 的最小正周期为T ，得11266T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭…………………….. 2分由2T πω=得1ω= 又31B A B A +=⎧⎨-=-⎩，解得21A B =⎧⎨=⎩ …………………….. 3分令562ππωϕ⋅+=，即562ππϕ+=，解得3πϕ=-∴()2sin 13f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭…………………….. 5分（2）∵函数()2sin 13y f kx kx π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的周期为23π又0k >∴3k = …………………….. 6分令33t x π=-，∵0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ …………………….. 8分如图sin t s =在2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解的充要条件是s ⎫∈⎪⎪⎣⎭∴方程()f kx m =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恰好有两个不同的解的充要条件是)1,3m ∈，即实数的取值范围是)1,3 …………………….. 12分６．由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数()1y f x -=能确定数列{}n b ，()1n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”。

2012高考冲刺作业作业6(南雅中学石向阳)

1、已知函数f(x)=1+-x ，设n a =nn x x f 2)(-，若1-≤x 1＜0＜x 2＜x 3，则A 、a 2＜a 3＜a 4B 、a 1＜a 2＜a 3C 、a 1＜a 3＜a 2D 、a 3＜a 2＜a 12、函数y=1-x x 的图象为双曲线，则该双曲线的焦距为A 、42 B 、22 C 、4 D 、83、若不等式1-log a )10(xa -＜0有解，则实数a 的范围是 .4、三个好朋友同时考进同一所高中，该校高一有10个班，则至少有2人分在同一班的概率为 .5．在平面直角坐标系中，已知A 1（-3，0），A 2（3，0），P （x,y ），M （92-x ，0），若实数λ使向量P A 1，λOM ，P A 2满足λ2·（OM ）2=P A 1·P A 2。

（1）求点P 的轨迹方程，并判断P 点的轨迹是怎样的曲线；（2）当λ=33时，过点A 1且斜率为1的直线与此时（1）中的曲线相交的另一点为B ，能否在直线x=-9上找一点C ，使ΔA 1BC 为正三角形（请说明理由）。

6．已知f(x)=ln(1+x 2)+ax(a ≤0)。

（1）讨论f(x)的单调性。

（2）证明：（1+421）（1+431） (1)41n）＜e （n ∈N*，n ≥2,其中无理数e=2.71828…）1、画出函数f(x)=-1+x 的图象，则a n =nn x x f 2)(-表示曲线上动点（x n 、f(x n )）与定点（0，2）所在直线的斜率，显然a 2＜a 3＜0＜a 1 故选A 2、D 由于y=1-x x =11-x +1，所以，双曲线y=1-x x 与双曲线y=x1的形状与大小完全相同，而等轴双曲线y=x1的一条对称轴y=x 和它的交点为（2，2），（-2，-2），于是实半轴长为22，由对称性知虚半轴长为22，从而焦距为8。

3、当a ＞1时，不等式化为10-a x ＞a,要使不等式有解，必须10-a ＞0 ∴1＜a ＜10当0＜a ＜1时，不等式化为0＜10-a x ＜a ⇒10-a ＜a x ＜10不等式恒有解故满足条件a 的范围是（0，1）∪（1，10） 4、P=1-101010310⨯⨯A =257５、解：（1）由已知可得，P A 1=（x+3,y ）,P A 2=(x-3,y),OM =(92-x ,0),∵λ2（OM ）2=P A 1·P A 2，∴λ2（x 2-9）=x 2-9+y 2, 即P 点的轨迹方程（1-λ2）x 2+y 2=9（1-λ2）当1-λ2＞0，且λ≠0，即λ∈（-1，0）时，有92x+)1(922λ-y=1，∵1-λ2＞0，∴)1(922λ-y＞0，∴x 2≤9。

2012年联赛模拟考试试题二十六(南雅中学石向阳)

高中数学联赛模拟试题二十六（第一试）时量：80分钟满分：120分姓名一、填空题（本大题共8小题，每小题8分共64分，将答案填在题中的横线上）1．由6所大学轮流举办连续8届CMO ，每所大学至少承办一届，但每所大学在任何连续三年中至多办一届（CMO 每年举办一届），则可能产生的承办方案有种.2．已知函数()f x =，若对任何实数,()x f x 均有意义，则θ的取值范围是3．如右图，在棱长为1的正四面体ABCD 中，,M N 分别为,AD BC 的中点，则过MN 的平面与此四面体所截得的最小面积是4．若函数2()(0,0),f x ax bx c a c =++>≤且,,a b c 满足条件021a b cm m m++=++ （m R +∈）那么方程()0f x =在区间(,1)1mm +内的解的个数是5．在等式()()()1491++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是6．已知关于x 的实系数方程2220x x -+=和2210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是7．已知,,A B C 是长轴长为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O 如图，且0,||2||AC BC BC AC ==，则椭圆的方程为 .8．已知{1,2,3,104}A =，S 是A 的一个子集，若x S ∈，且同时满足1x S -∉和1x S +∉，则称x 为S 的一个“孤立点”，则A 的无孤立点的所有5元子集的个数是 .ABDCMNABCO二、解答题（16+20+20= 56分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）9．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的函数，且是偶函数，在区间[]2,3上，2()2(3)4f x x =--+，矩形A B C D 的两个顶点,A B 在x 轴上，,C D 在函数()(02)y f x x =≤≤的图像上，求矩形ABCD 的面积的最大值.10．已知正实数000,,a b c 成等差数列，对n N *∈数列{},{},{}n n n a b c 满足11111111143242n n n n n n n n nn n n a a b c b a b c c a b c---------=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 若方程22005200520050a x b x c ++=有两个相等的实根，求a c 的值11．有一个猜想：已知抛物线L ：22y px =，若过一点00(,)p x y 作一直线m 交L 于,B C 两点，则对于这一条直线m 都可以在L 上找到相同的一点A ，使得ABC ∆是A ∠为直角的直角三角形.你认为这个猜想是必定成立，还是有条件成立？如果是必定成立，请加以证明；如果是有条件成立，请指出成立的条件.加试试题（第二试）时量：150分钟满分：180分姓名解答题（40+40+50+50=180分，每题须给出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）一．已知锐角ABC ∆是一个定三角形，两个动点,D E 分别在边,AB AC 上，又DF BC ⊥,,EG BC F G ⊥是垂足，设,,BE CD O FE GD P ==证明：直线OP 恒过某一个定点.二．求所有正整数12,,,n a a a ，使得0111299100n na a a a a a -=+++，其中， 20111,(1)(1),1,2,,.k k k k a a a a a k n +-=-≥-=n n 道；（2）每道题目恰由4人解出；（3）对任三．在一次数学竟赛中：（1）竟赛题为(4)意两道题，恰有1人解出这两题，若参赛人数大于或等于4,n求n的最小值，使得总存在1人解出了全部竟赛题.四．(1) 对于每一个整数1,2,3k =，求一个整数n ，使2n k -的正因数的个数为10； (2) 证明：对于所有整数n 有24n -的正因数的个数不是10.模拟试题二十六 1．46800 2．3(2,2][2,2)()44k k k k k Z πππππππ+++∈ 3．144．1 5．36 6．3(1,1){}2-- 7．223144x y += 8．100009．910．7±11．有条件成立，成立的条件是2200240.y px p -+=第二试一．作高AQ ，利用梅涅劳斯定理及其逆定理证明,,O P Q 三点共线即可二．12342,5,56,78400.a a a a ==== 三．min 14.n =四．(1) 1,7;2,235;3,4936k n k n k n ====== (2) 反证法。

【步步高】2012年高考数学二轮复习解答题题型练习6 解析几何中的探索性问题

题型六解析几何中的探索性问题(推荐时间：30分钟)1．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为A ，△AF 1F 2为正三角形，且以AF 2为直径的圆与直线y ＝3x ＋2相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P (m,0)，使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由．2．(2010·福建)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2，3)，且点F (2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．答案1．解 (1)∵△AF 1F 2是正三角形，∴a ＝2c .由已知F 2(c,0)，A (0，b )，∴以AF 2为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，12b ，半径r ＝12a . 又该圆与直线3x －y ＋2＝0相切，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －b 2＋22＝a 2. 由a ＝2c ，得b ＝3c ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32c －32c ＋22＝a 2. 得a ＝2，∴c ＝1，b ＝ 3.椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由(1)知F 2(1,0)，l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x －1，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)， ∴PM →＋PN →＝(x 1－m ，y 1)＋(x 2－m ，y 2)＝(x 1＋x 2－2m ，y 1＋y 2)．由菱形对角线垂直，则(PM →＋PN →)·MN →＝0，∴(x 1＋x 2－2m )(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0，得k (y 1＋y 2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，得k 2(x 1＋x 2－2)＋x 1＋x 2－2m ＝0，k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 23＋4k 2－2＋8k 23＋4k 2－2m ＝0. 由已知条件k ≠0，且k ∈R ，∴m ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4. ∵3k 2>0，∴0<m <14. 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2．解方法一 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝AF ＋AF ′＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得|t |94＋1＝4，解得t ＝±213.由于±213∉[－43，43]，所以符合题意的直线l 不存在．方法二 (1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，且有⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2＋9b2＝1，a 2－b 2＝4.解得b 2＝12，b 2＝－3(舍去)．从而a 2＝16. 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)同方法一．。

含参数绝对值不等式恒成立问题的辨析与求解(长沙市南雅中学石向阳)

解题研究ＪＩＥＴＩＹＡＮＪＩＵ摘要：对含参数绝对值不等式 a - f（x）＞g（x）在x∈ M 内恒成立问题，学生往往由于对转化前后不等式的逻辑关系认识不清，错误转化为 a ＞f（x） + g（x）在x∈ M 内恒成立或 a ＜f（x） - g（x）在 x∈ M 内恒成立，且不知道错在哪里．从两个问题探究出发，分析了错解的原因在于没有考虑“或”命题恒成立逻辑上的第三种情况．在分析比较两个问题、探究三种经典解法的基础上，归纳总结出解决这一类问题的通法．关键词：恒成立；“ 或”命题；数形结合；命题的否定一、问题探究时，已知不等式对x∈［0， 1］恒成立，故 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（0， 1）∪（1，+∞）.错解原因分析：错解问题到底出在哪里呢？下面就这个问题的逻辑关系进行简单阐述.“或” 命题的恒成立问题：坌 x∈M，p（x）∨ q （x）圳对任意的 x∈ M， p（x）和 q（x）至少一个成立 .从逻辑上讲有以下三种情况：（1）对任意的 x∈ M， p（x）成立；（2）对任意的 x∈ M， q（x）成立；（3）p（x）在 x∈M1恒成立，但在 x∈M 不恒成立， q（x）在x∈ M2恒成立，但在 x∈M 不恒成立，且（M1∪ M）2勐M.按此解释，问题 1 的错解，错在把“坌 x∈M，p（x）∨q（x）”圳“坌 x∈ M，p（x）；或坌 x∈ M，q（x）”，而把第三问题1：已知不等式 a - x2 + x > x2 - x 在 x∈2 2［0，1］上恒成立，求 a 的取值范围 .错解：原不等式转化为 a - x2 + x > x2 - x 或 a -2 2x2 + x < - x2 - x ，2 2即a ＞x2或 a ＜x.因为原不等式在 x∈［0， 1］上恒成立，所以 a ＞（x2）max = 1 或 a ＜（x）min = 0.故 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（1，+∞）.正解 1：因为 x∈［0， 1］，2所以 x - x≤ 0.种情况漏掉了.正解 2 （解集法）：原不等式圳a＞x2或a＜x在x∈［0， 1］上恒成立圳原不等式的解集勐［0，1］.当 a < 0 时，原不等式的解集为［a， +∞）勐［0，1］；当 a > 1 时，原不等式的解集为｛x-姨a< x < 姨a ，或 a < x < +∞｝勐［0，1］；当a∈（0，1），原不等式的解集为（- 姨 a ，+∞）勐［0， 1］；当a = 0 时， 0 不在解集中；当a = 1 时， 1 不在解集中 .所以 a≠ 0 且 a≠ 1.故 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（0， 1）∪（1， +∞）.当 x2 - x < 0 时，已知不等式恒成立 . 正解 3 （数形结合）：在 x∈［0， 1］的条件下，当2a > 1 时， a > x2恒成立；当 a < 0 时， a < x 恒成立；当2 2当 x - x = 0 时， a≠x + x ，即 a≠ 0，且 a≠ 1a∈（0，1）时，如图 1 所示 .2 2收稿日期： 2016—01—21作者简介：石向阳（1972—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.6220 16 年第 4 期y 1y = a y = xy = x 2Ox 1 x 2 1 x图 1当 x ∈［0， x 2］时， a > x 2；当 x ∈（x 1，1］时， a < x 成立 .又因为［0， x ）2∪（x 1， 1］=［0，1］，所以原命题成立 .故 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（0，1）∪（1，+∞）.正解 4 （考虑反面）：原命题的否定如下：埚 x ∈［0， 1］使得 a - x 2 + x ≤ x 2- x 成立圳 a - x 2 + x ≤ x 2 - 2 2 x 在［0， 1］有解圳 x ≤ a ≤ x 2 在 2 2 x ∈［0， 1］有解 .而由 x ≤ x 2，得 x ≤ 0 或 x ≥ 1.因为 x ∈［0， 1］，所以 x = 0 或 x = 1. 代入得 a = 0 或 a = 1.所以当 a ≠ 0，且 a ≠ 1 时，原命题结论成立 .故原命题中 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（0， 1）∪（1，+∞）.问题 2 ：已知函数 f （x ）是偶函数，且在［0， +∞）1f （ax + 1）＞f （x - 2）在 x ∈≠，1≠上 2恒成立，求实数 a 的取值范围．分析：由偶函数及增函数的性质，原不等式可等1ax + 1 ＞ x - 2 在 x ∈≠， 1 ≠上恒成立圳 21ax + 1 ＞2 - x 在 x ∈≠2， 1 ≠上恒成立 .错解：经分析，原命题圳 a < 1 - 3或 a > 1- 1x x1， 1≠1 ，1≠在 x ∈ 上恒成立圳在 x ∈上， a < 1 -3 恒成立或 a > 1 - 1 恒成立圳在 x ∈≠1，1≠上， a <xx 2≠1- 3≠min或 a >≠1- 1≠max圳 a ＜-5 或 a ＞1.xx故 a 的取值范围为（- ∞， -5）∪（1， +∞）.解题研究ＪＩＥＴＩＹＡＮＪＩＵ正解 1 （解集法）：原不等式可等价转化为a < 1 -3 或 a> 1 - 1 在 x ∈ 1，1上恒成立圳1 < 1 - a 或 x x≠2 x 3 ≠1 < a + 1 在 x ∈1，1 上恒成立令 1 = t 圳 t < x≠ ≠≠≠2 x1 - a或 t ＜a + 1 在 t ∈［1，2］上恒成立圳关于 t 的不等3式 t < 1 - a或 t ＜a + 1 的解集完全包含［1，2］. 3t t <1 - a1≠在数轴上画出解集或 t ＜a +所表示的区域，可以得到：若1 - a< a + 1，即 a > -1时，由数3 2轴易知只需 a + 1 ＞2 即可，此时可得 a ＞1.若 1 - a ≥ a + 1，即 a ≤ - 1时，由数轴易知只3 2需 1 - a > 2 即可，此时可得 a ＜-5.3综上可得 a ＜-5 或 a ＞1.故 a 的取值范围为（- ∞， -5）∪（1， +∞）.错解原因分析：为什么问题 2 的正解和错解均得到同一个答案呢？这其中有偶然因素，这个偶然因素就在于问题 2 中，从逻辑上讲有三种情况的第三种情况根本就不存在 . 以上两个例子表明，在解决含“ 或 ”命题恒成立问题的时候，一定要冷静思考，谨防非等价转化 .正解 2 （数形结合）：令 f （x ）= ax+1 ，（gx ）= 2 - x ，定义域均为 ≠1，1 ≠.2可画出函数 y = g （x ）的图象，而函数 y = f （x ）的图象过点（0， 1）且在函数 y = g （x ）的图象的上方，由图 2 可知，满足 -1 < - 1 < 0 或 0 < -1<1时aa5 满足题意．故 a 的取值范围为（- ∞， -5）∪（1， +∞）.y21 f （x ）g （x ）f （x ）-1O 1 1 12x5 2 -1图 220 16 年第 4 期63解题研究ＪＩＥＴＩＹＡＮＪＩＵ正解 3 （考虑反面）：原命题的否定如下：埚 x ∈1， 1∈≤ 2 - x 成立圳使得 ax + 1埚 ax+1 ≤ 2- x 在∈1，1圳上有解圳1-3 ≤ a ≤ 1-12xx1 ，1圳1- 3≤ 1- 1 在 1 ，1 上是成立的圳在x 2有解x x11 圳1- 3 min 1 - 1 max在 ≤ a ≤ ≤ a ≤ 1.，上，圳-5 故原命题中 a 的取值范围为（- ∞， -5）∪（1，+∞）.从上面两个问题的分析可知，解集法易理解，但并不是所有的不等式都可以容易、清晰地写出解集，在能写出解集的情况下是个好方法；数形结合的方法简洁，需要具有一定的数形结合转化能力，但有些函数图形并不容易作出来；考虑原问题反面的方法既易于理解，又便于操作，而且能够较好地避免错误，可以作为解决这一类问题的通法 .二、方法总结不等式 a - f （x ）＞g （x ）在 x ∈ M 内恒成立圳 a ＞（fx ） + g （x ）或 a ＜f （x ） - g （x ）在 x ∈M 内恒成立圳不等式的解集｛x a ＞f （x ） + g （x ）或 a ＜f （x ）- g （x ）｝勐 M.利用 “ 正难则反 ” 的思想，转化为求其否定即“ a - f （x ） ≤ g （x ）在 x ∈ M 内有解 ” 的参数 a的取值集合，其补集即为所求 .a - f （x ） ≤ g （x ）在 x ∈M 内有解圳 f （x ）- g （x ）≤ a ≤ f （x ） + g （x ）在 x ∈M 内有解圳在 x ∈C 上，［f （x ） - g （x ）］min ≤ a ≤［f （x ）+ g （x ）］max （其中集合 C 为不等式g （x ）≥ 0 在 x ∈M 内的解集）．这就是解决含参数绝对值不等式恒成立问题的通法．三、应用举例例 1 已知不等式 a - x ＞x 2 - x ，对 x ∈［0， 2］恒成立，求 a 的取值范围．解：原命题的否定为埚x ∈［0， 2］，使得 a - x≤x 2 - x 成立圳2x - x 2 ≤ a ≤ x 2 在［0，2］内有解 .在［0， 2］内解不等式 2x - x 2 ≤ x 2，其解集为 C =［1，2］∪｛0｝.原命题的否定圳当 x ∈ C ，（2x - 2x ）min ≤ a ≤2 max 圳 0 ≤ a ≤ 4.（x ）故原命题中 a 的取值范围为（- ∞， 0）∪（4， +∞）.例 2 （文题目改编）若对任意 x ∈ 1 ， 4 ，［1 ］ ≥圳6 3不等式 a - ln x+ ln3> 0 均成立，求实数 a 的2 + 3x取值范围．解：原命题的否定为埚 x ∈∈1， 4 圳，使得 6 3a - ln x + ln3 ≤ 0 成立圳ln x + ln3 ≤ a ≤ 2 + 3x 2 + 3xln x - ln 3 1 4 圳上有解 .在 x ∈ ∈， 32 + 3x 61 4 圳 3 在∈ln x + ln≤ ln x -6 ，3 内解不等式2 + 3xln 3，即 ln 3≤ 0，得解集14 圳． C = ∈，3 2 + 3x 2 + 3x 3 3 = ln x + ln （2 + 3x ）- ln 3，设 h （x ）= ln x - ln 2 + 3xg （x ）= ln x + ln 3 = ln x - ln （2 + 3x ） + ln 3． 2 + 3x1 4 圳内， h ′（x ） = 1 + 3= 在 C = ∈， 33x 2 + 3x 2 + 6x > 0， g （′x ）= 1- 3 = 2 > 0，x （2 + 3x ） x 2 + 3x x （2 + 3x ）1 4 圳上单调递增．所以 g （x ），h （x ）在 C = ∈， 331 ， 4min 33h （x ）max 圳g1 ≤ a ≤ h4 圳ln1≤ a ≤ ln 8．x 3 xx 3 x33- ∞，ln 1 ∪ ln 8 ∞故原命题中 a 的取值范围为 x 3 3x x x 例 3 已知不等式 x 2 ≥ 2 - x- t 对 x ∈（- ∞， 0］恒成立，求实数 t 的取值范围 .解：原命题的否定为 x - t ＜2 - x 2 在 x ∈（- ∞，0］上有解圳x 2 + x- 2 ＜t ＜- x 2+ x + 2 在 x ∈（- ∞， 0］上有解 .在（- ∞， 0］内解不等式 x 2 + x - 2 ＜- x 2 + x + 2 得解集 C =（- 姨 2 ，0］.292y = x + x - 2 在 C 内的最小值是 - 4 ， y = - x + x + 2在 C 内没有最大值，但是可以无限接近于2，所以 t 的取值范围是x- 94 ，2x .故原命题中 a 的取值范围是 x -∞， - 94 圳∪［2， +∞）.参考文献：［1］周长东 . 由错误引发的再思考［J］.中学生数学（高中）， 2014（1）：3-4. 6420 16 年第 4 期。

2012年高考训练题(07)探索性问题答案

2012年高考训练题（27）探索性问题2011．12. 111．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0｝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件，则b 的取值范围是（）A.－2≤b ＜0B.0＜b ≤2C.－3＜b ＜－1D.－1≤b ＜21．D 提示：由题意得：A ：-1<x<1,B:b-a<x<a+b ．由”a=1”是“≠⋂B A ￠”的充分条件．则A ：-1<x<1与B: b-1<x<1+b 交集不为空．所以-2<b<2，检验知:21<≤-b 能使≠⋂B A ￠．故选D ．2．（06年安徽）若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 A.430x y --= B.450x y +-= C.430x y -+= D.430x y ++= 2． A 提示：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A ．3．等比数列的前三项1a ，2a ，3a 的和为定值m （m ＞0），公比q ＜0，令t=1a 2a 3a ，则t 的取值范围为（）A.[)0,3m -B.[)+∞-,3mC.（0，m 3）D.(3,m ∞-)3．A 提示：m ＝1a ＋2a ＋3a ＝0)1(212111>++=++q q a q a q a a ，∵1＋q+q 2>0，故a 1>0，∴t=1a 2a 3a =331q a <0．选A4．已知函数f(x)=|x 2－2a x+b|(x ∈R)，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；③若a 2-b 2≤0,则f(x)在区间[)+∞,0是增函数；④f(x)的最大值是｜a 2-b |．其中正确命题是（） A.①② B.②③ C.①③ D.③4．D 提示：当a ≠0时，f(x)不可能是偶函数，①错；｜a 2-b |既不是最大值也不是最小值，④错；若f(x)=|x2-2|有f(0)=f(2)，但不关于直线x=1对称，②错；故只能是③对．选 D5．给出下列三个命题：① 若1a b ≥>-，则11a b ab≥++；② 若正整数m 和n 满足m n ≤，则2n ≤；③ 设()11,P x y 是圆221:9O x y +=上的任意一点，圆2O 以(),Q a b 为圆心，且半径为1．当()()22111a x b y -+-=时，圆1O 与2O 圆相切．其中假命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3 5．B 提示：① 用“分部分式”判断，具体：111111111111a b ababab≥⇔-≥-⇔≤++++++，又1110a b a b ≥>-⇔+≥+>知本命题为真命题．② 用基本不等式：222xy x y ≤+（,x y R +∈），取x =，x =知本命题为真．③ 圆1O 上存在两个点A 、B 满足正弦1AB =，所以P 、2O 可能都在圆1O 上，当2O 在圆1O 上时，圆1O 圆2O 相交．故本命题假命题．本题答案选B6 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( )①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β． A. ①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④ 6 B 提示： ①l ⊥α且α∥β⇒l ⊥β,m ⊂β⇒l ⊥m ②α⊥β且l ⊥α⇒l ∥β,但不能推出l ∥m ③l ∥m ,l ⊥α⇒m ⊥α,由m ⊂β⇒α⊥β ④l ⊥m ,不能推出α∥βx+y+答案 B7．（2004年北京）已知三个不等式：0,0,0>->->bdacadbcab（其中a，b，c，d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37．D提示：若0,0,0>-=->->abadbcbdacadbcab则，∴0,0>-⇒>->bdacadbcab；若0,0,0>->->abadbcbdacab则，,0,0,0,0,0,0>⇒>->->∴>->->->-⇒>->>-∴abbdacadbcababadbcbdacadbcadbcbdacabadbc即则若即故三个命题均为真命题，选D．8．（06年广东）在约束条件24xyy x sy x≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s≤≤时，目标函数32z x y=+的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C. [6,8]D. [7,8]8．D提示：画出可行域如图所示,当34s≤<时, 目标函数32z x y=+在点(4,24)B s s--处取得最大值, 即max3(4)2(24)4[7,8)z s s s=-+-=+∈;当45s≤≤时, 目标函数32z x y=+在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z=⨯+⨯=,故[7,8]z∈,从而选D;9．观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=43,sin215°+cos245°+sin15°²cos45°=43，写9．sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43提示由50°–20°=(45°–15°)=30°，可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°10．已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c10．a =–3c –23b解析如图–a 与b ，c 的夹角为60°,且|a |=|–a |=3 由平行四边形关系可得–a =3c +23b,∴a =–3c –23b11．抛物线12sin 22+-=θx x y （θ为常数）的顶点在椭圆1422=+y x 上，这样的抛物线有＿＿＿＿＿条．11．4 提示：顶点（2cos,2sin2θθ）在椭圆上，∴12cos42sin42=+θθ，21,02cos±=θ．∴23,212sin±±=θ，答案：4条．12．设x 、y 、z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是＿＿＿＿＿．（只需写出一个条件即可）12．x 为直线，y 、z 为平面提示：由线面垂直及平行的知识可知，当x 为直线，y 、z 为平面，由x ⊥平面z ，且平面y ⊥平面z ，则直线x ∥平面y ；当x 、y 为直线，z 为平面，由直线x ⊥平面z ，且直线 y ⊥平面z ，则直线x ∥直线y ；当x 、y 为平面，z 为直线，由直线z ⊥平面x ，且直线 z ⊥平面y ，则平面x ∥平面y ；综上，符合条件的有：①x 为直线，y 、z 为平面；②x 、y 为直线，z 为平面； ③x 、y 为平面，z 为直线，任填一种情况都行．13．如图，三条直线a 、b 、c 两两平行，直线a 、b 间的距离为p ，直线b 、c 间的距离为2p ，A 、B 为直线a 上两定点，且｜AB ｜=2p ，MN 是在直线b 上滑动的长度为2p 的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN 的外心C 的轨迹E ；（2）当△AMN 的外心C 在E 上什么位置时，d +｜BC ｜最小，最小值是多少？（其中d 是外心C 到直线c 的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C 点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C 所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b 为x 轴，以过A 点且与b 直线垂直的直线为y 轴建立直角坐标系.设△AMN 的外心为C (x ,y )，则有A (0,p )、M （x –p ,0)，N (x +p ,0)，由题意，有｜CA ｜=｜CM ｜ ∴2222)()(y p x x p y x ++-=-+,化简，得x 2=2py它是以原点为顶点，y 轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C 恰为轨迹E 的准线.由抛物线的定义知d =｜CF ｜，其中F （0,2p ）是抛物线的焦点.∴d +｜BC ｜=｜CF ｜+｜BC ｜由两点间直线段最短知，线段BF 与轨迹E 的交点即为所求的点直线BF 的方程为p x y 2141+=联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=pyx p x y 221412得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.16179)171(41p y p x . 即C 点坐标为(p p 16179,4171++).此时d +｜BC ｜的最小值为｜BF ｜=p 217.14．已知函数1)(2++=axc bx x f (a ,c ∈R ,a ＞0,b 是自然数）是奇函数，f (x )有最大值21，且f (1)＞52.（1）求函数f (x )的解析式；（2）是否存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，并且使得P 、Q 两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a 与b 间的等量关系与不等关系联立求b ；忽视b 为自然数而导致求不出b 的具体值；P 、Q 两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f (x )是奇函数 ∴f (–x )=–f (x )，即1122++-=++-ax c bx axc bx∴–bx +c =–bx –c ∴c =0∴f (x )=12+ax bx由a ＞0，b 是自然数得当x ≤0时，f (x )≤0，当x ＞0时，f (x )＞0∴f (x )的最大值在x ＞0时取得. ∴x ＞0时，22111)(ba bxx b a x f ≤+=当且仅当bxx ba 1=即ax 1=时，f (x )有最大值21212=ba ∴2ba =1,∴a =b2①又f (1)＞52，∴1+a b ＞52,∴5b ＞2a +2 ②把①代入②得2b 2–5b +2＜0解得21＜b ＜2又b ∈N ,∴b =1,a =1,∴f (x )=12+x x（2）设存在直线l 与y =f (x )的图象交于P 、Q 两点，且P 、Q 关于点（1，0）对称， P (x 0,y 0)则Q （2–x 0,–y 0)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+--=+02002001)2(21y x x y x x ,消去y 0，得x 02–2x 0–1=0解之，得x 0=1±2,∴P 点坐标为(42,21+)或(42,21--)进而相应Q 点坐标为Q （42,21--）或Q (42,21+).过P 、Q 的直线l 的方程：x –4y –1=0即为所求.15．（05湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用xn 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N*，且x1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn 成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（1）求xn+1与xn 的关系式；（2）猜测：当且仅当x1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（3）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn ＞0，n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．15．解（1）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn ，被捕捞量为bxn ，死亡量为.(**)*),1(.(*)*,,1212N n cx b a x x N n cx bx ax x x cx n n n n n n n n n ∈-+-=∈--=-++即因此（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn 恒等于x1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cb a x cx b a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x1>0，所以a>b ．猜测：当且仅当a>b ，且c ba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变．（3）若b 的值使得xn>0，n ∈N*由xn+1=xn(3－b －xn), n ∈N*, 知0<xn<3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x1<3－b ．即0<b<3－x1．而x1∈(0, 2)，所以]1,0( b 由此猜测b 的最大允许值是1．下证当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn ∈(0, 2), n ∈N*①当n=1时，结论显然成立．②假设当n=k 时结论成立，即xk ∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0．又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk －1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立．由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有xn ∈(0,2)．综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n ∈N*，则捕捞强度b 的最大允许值是1．注：探索题无大小，能做多少是多少！。

2012高考冲刺数学作业

１．已知倾斜角为0≠α的直线l 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，P 为右准线上任意一点，则∠APB 为（）A ．钝角B ．直角C ．锐角D ．都有可能２.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下, 从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为( ) A.165 B.325 C.61 D.以上都不对３．已知ξ服从正态分布ξ～),(2σμN ，记)()(x P x F <=ξ，则对任意的σμ,，给出下面四个结论： ① )1(1)1(F P -=≥ξ；② )1(1)1(F F -=-；③ 21)(=μF ；④ 函数F (x )为增函数．则上述所有正确结论的序号是___________．４．点A 、B 在半径为R 的球面上，A 、B 两点的球面距离为2πR ，则过A 、B 两点且面积的取值范围为___ __________ ．５．双曲线12222=-by a x 的离心率为e ，过右焦点)0,(c F 的直线l 交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，记21λλ==，．（1）证明21λλ+为定值；（2）若直线l 斜率为5，且以MN 为直径的圆恰与y 轴相切，求双曲线的离心率e ．６．过抛物线:C 24x y =的焦点作直线l 交抛物线C 于),(11y x A 、),(22y x B 两点，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线1l 和2l ．（1）证明：4121-=x x ；（2）设切线1l 和2l 交于P ，当直线l 转动时，证明：AOBAPB∠∠tan tan 是定值；（3）设切线1l 和2l 交x 轴于M 、N ,当直线l 转动时,求四边形ABNM 面积的最小值．x１．C 如图所示，设M 为AB 的中点，过M 作MM 1垂直于准线于M 1，分别过A 、B 作AA 1、BB 1垂直准线于A 1、B 1，则.221212211•AB AB e BF AF e e BFeAF BB AA •>∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+ 所以，准线相离于以AB 为直径的圆，故∠APB 为锐角.通过构造圆的直径，判断点P 和圆的位置关系来解题时，如果点在圆外，则为锐角，在圆上为直角，在圆内为钝角.２. A. 珠子从出口1出来有C 05种方法,从出口2出来有C 15种方法,依次从出口i(1≤i ≤6)有 C 15-i 种方法,故取胜的概率为16555453525150525=+++++C C C C C C C . ３．（ ① ③ ④ ）４．（ ],21[22R R ππ ）５．解（1）：设),0(),,(),,(02211y P y x N y x M ，由NF PN MF PM 21λλ==，得：2022221011111,11,1λλλλλλ+=+=+=+=y y c x y y c x ；，代入12222=-by a x 得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=-222202222212202221)1()1(λλλλb y a c b y a c ，相减得：2221222122)1()1()(λλλλ+-+=-a c ，化简得：22212b a =+λλ．（2）由双曲线的定义得：e cax MF =-21||．得：a ex c a a c ex c a x e MF -=⋅-=-=12121)(||，∴a x x e NF MF MN 2)(||||||21-+=+=，由以MN 为直径的圆恰与y 轴相切得：22||21x x r MN +==．得：21212)(x x a x x e +=-+，得：1221-=+e a x x ．由⎪⎩⎪⎨⎧-==-)(512222c x y b y a x 得：0510)5(22222222=--+-b a c a cx a x a b 得：1251022221-=-=+e a ba c a x x ，即：116522-=-e c a ac ，得11652-=-e e e ，得：06562=--e e ，解得：23=e 或32-=e ，又直线l 与双曲线右支交于两点，∴4512222=-=>e ab k 满足． ∴离心率23=e ．６．解：（1）设直线l 的方程为1+=kx y ，联列24x y =得：0142=--kx x ，所以4121-=x x ．（2）214,4x k x k BO AO ==,由到角公式得：3)(416144tan 211212x x x x x x APB -=+-=∠，同理：15)(864188tan 211212x x x x x x AOB -=+-=∠，所以52tan tan =∠∠AOB APB 为定值．（3）由（2）得)0,2(),0,2(21xN x M ，过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为11,B A ．由于4121-=x x 不妨设0,021<>x x ，N BB M AA A ABB ABNM S S S S 1111--=]4)21(214)21(21[2))(44(222211212221x x x x x x x x ⋅-+⋅--+= =122221323122x x x x x x +--，由于4121-=x x ，所以 )(21]3))[(()(21212122121213231x x x x x x x x x x x x S ABNM -++--=-+-==)(21]43))[((2122121x x x x x x -+---，设21x x t -=，则t t S ABNM 413-=，且1)(2)(2121=-≥-+=x x x x t ，而0413)(2/>-=t t S ，得321>t 或321-<t ，所以)(t S 在),321(+∞递增，从而在),1[∞+递增，所以43)1(max ==S S ．x。

一道高考旧题推陈出新的精彩结论

一道高考旧题推陈出新的精彩结论石向阳【摘要】一道高考旧题,经过探索,从抛物线推广到一般常态二次曲线,得出一系列结论.结论证明的关键是平移坐标系,构造齐二次方程,再利用韦达定理与和角的正切公式,经过整理、对照得到动直线恒过定点或斜率恒为定值的结论.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】4页(P42-45)【关键词】平移;齐二次方程;动直线过定点;充要条件【作者】石向阳【作者单位】南雅中学湖南长沙 410129【正文语种】中文【中图分类】O123.1题目如图1所示，已知动圆过定点且与直线相切，其中p>0.1)求动圆圆心的轨迹C的方程.2)设A,B是轨迹C上异于原点O的2个不同的点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β.当α,β变化且α+β为定值θ(其中0<θ<π)时，证明:直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．1)解如图1，设M为动圆圆心记为点F，过点M作直线的垂线，垂足为N.由题意知|MF|=|MN|,即动点M到定点F与定直线的距离相等，根据抛物线的定义得动圆圆心M的轨迹C为抛物线为其焦点为其准线，即轨迹C的方程为y2=2px(其中p>0).2)证明设直线AB的方程为y=kx+b，将代入y2=2px得整理得因为x≠0，所以该方程的2个根恰好是由韦达定理得①当时，由α+β=θ，得因此此时，直线AB的方程可表示为即于是直线AB恒过定点②当即时，即亦即因此,直线AB的方程可表示为y=kx+2pk，即从而直线AB恒过定点(-2p,0).综上所述，当时，直线AB恒过定点当时，直线AB恒过定点(-2p,0)．评注这道题目很有味道，笔者给出的方法也很特别：构造关于y和x的齐二次方程，进而得到关于的一元二次方程，其2个根恰好是利用韦达定理和角的正切公式，经过整理、对照，发现直线AB恒过定点．做完该题目之后，笔者作了进一步的探索．首先把定点O改成抛物线C：y2=2px(其中p>0)上一般的定点P(x0,y0)，在上述解法的基础上增加一步平移：x′=x-x0，y′=y-y0，问题得到解决；然后，笔者把抛物线改成椭圆、双曲线，也分别得到了相应的结论；最后，笔者把结论推广到了一般常态二次曲线Ф:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0，得出一系列非常漂亮、实用的结论．上述思维过程从特殊到一般，为了叙述的方便、简洁，笔者按照一般到特殊的思路整理如下，不当之处,请批评指正．定理1 常态二次曲线Ф:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上有一定点P(x0,y0)和异于点P的2个动点Q,R.设PQ的倾斜角为α，PR的倾斜角为β,则的充要条件是动直线QR过定点的充要条件是(其中Ф1=2Ax0+By0+D，Ф2=Bx0+2Cy0+E)．证明设点Q的坐标为(xQ,yQ)，点R的坐标为(xR,yR)，作平移：x′=x-x0，y′=y-y0，代入Ф(x，y)=0得设QR的方程为lx′+my′=1，代入式(1)得到关于y′和x′的齐二次方程(A+Φ1l)=0.因为是方程(2)的2个根，由韦达定理知从而又tan(α+β)=λ，于是即l(Φ2-λΦ1)+m(Φ1+λΦ2)=λ(A-C)-B.①当即λ(A-C)-B≠0时，式(3)可化为于是直线QR:lx′+my′=1在坐标系x′O′y′中过定点即动直线QR过定点②当即λ(A-C)-B=0时，式(3)可化为即亦即推论1 当定理1中的常态二次曲线Ф为椭圆时，tan(α+β)=λ(其中λ≠0)为定值的充要条件是动直线QR过定点当定理1中的常态二次曲线Ф为双曲线时，tan(α+β)=λ(其中λ≠0)为定值的充要条件是动直线QR过定点当定理中的常态二次曲线Ф为抛物线y2=2px时，tan(α+β)=λ(其中λ≠0)为定值的充要条件是动直线QR过定点推论2 tan(α+β)=λ=B=0⟺⟺kQR=-kP(其中kP表示以点P为切点的常态二次曲线Ф的切线斜率，对常态二次曲线Ф求导可得下同)．特别地，当定理1中的常态二次曲线Ф为椭圆时，kPQ+kPR=0的充要条件是当定理1中的常态二次曲线Ф为双曲线时，kPQ+kPR=0的充要条件是当定理1中的常态二次曲线Ф为抛物线y2=2px时，kPQ+kPR=0的充要条件是推论3 当定理1中的常态二次曲线Ф的方程中C≠A时⟺tanα·tanβ=1⟺动直线QR恒过定点当定理1中的常态二次曲线Ф的方程中C=A时⟺tanα·tanβ=1⟺即动直线QR定向)．上述性质，不仅形式优美，而且能帮助我们迅速破解某些试题，限于篇辐,仅举3例．例1 如图2所示，过抛物线y2=2px(其中p>0)上一定点P(x0,y0)(其中y0>0)，作2条直线分别交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)．1)略；2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明：直线AB的斜率是非零常数．2)证明由题意kPA+kPB=0，根据推论2，得其中kP表示以点P为切点抛物线y2=2px的切线斜率，因此直线AB的斜率是非零常数又由两点斜率公式可得从而故例2 已知椭圆C过点个焦点分别为(-1，0)，(1，0)．1)求椭圆C的方程；2)E,F是椭圆C上的2个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．1)易得过程略)．2)证明由题设可知kAE+kAF=0，根据推论2知kAE+kAF=0的充要条件是其中kA表示以点A为切点椭圆C的切线斜率，即直线EF的斜率为定值例3 如图3所示,斜率为的直线l与椭圆交于点A,B，且在直线l的左上方．证明：△PAB的内切圆的圆心在一条直线上．证明其中kP表示以点P为切点椭圆C的切线斜率)，由推论2知kPA+kPB=0，于是∠APB的平分线所在直线方程为这说明△PAB的内切圆的圆心在直线上．。

湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷(数学)

湖南省长沙市南雅中学2012届高三入学考试模拟试卷（数学）（试卷满分：150分考试试卷:120分钟)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sin()4f x x π=-图像的对称轴．．．方程可以是A ．2x π= B ．4x π= C ．2x π=- D ．4x π=-2．设实数R a ∈且i i a ⋅-)((其中i 是虚数单位）为正实数，则a 的值为A ．-1B ．0C ．0或—1D ．13．已知向量a 、b 满足6,8,a b ==且,a b a b +=-则a b+=A ．10B ．20C ．21D ．30图4．已知120201,cos 15sin 15M xdx N -==-⎰，由如右程序框输出的=SA 。

0 B. 12 C 。

1 D 。

325．给定下列四个命题：①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中,为真命题的是A 。

①和②B 。

②和③C 。

③和④D 。

②和④6．若不等式11x a x+>+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是A 。

[—1,1］ B. (1,1)- C. (—2，2）D 。

［-2，2］7．如图，已知双曲线2213y x -=，, A C分别是虚轴的上、下顶点,B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则BDF ∠的余弦值是A ．77B ．577C ．714D ．57148．定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =， ()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=(()x π∈π2，)的“新驻点”分别为α，β,γ，那么α，β，γ的大小关系是：A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<二、填空题:本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分．(一）必做题（9～13题）9．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝,全集U=A B ，则集合)(B A CU=.10．61()x x-的展开式中的常数项是：。

双变量中任意与存在混搭不等式问题的辨析与求解(长沙市南雅中学石向阳)

又
(
)
g(x) = a2 + 25 ex
4
在 [0, 4] 上是增函数, 所以它在 [0, 4] 上的值域是
[
(
)]
a2 + 25 , a2 + 25 e4 ,
4
4
由于
(
)
g(x)min − f (x)max =
a2 + 25 4
− (a + 6)
( 1 )2
= a−
0,
2
所以
g(x)min > f (x)max.
解法 1 由命题 1 知“对任意 x1 ∈ (0, 2), 存在 x2 ∈ [1, 2],
使 f (x1) g(x2)”⇔ [f (x)]min [g(x)]min.
f ′(x)
=
1 x
−
1 4
−
3 4x2
=
−
(x
−
1)(x 4x2
−
3)
(x
>
0).
当 x ∈ (0, 1), f ′(x) < 0; 当 x ∈ (1, +∞),
(1) 求 a 与 b 的关系式 (用 a 表示 b), 并求 f (x) 的单调区
间;
(
)
(2) 设 a > 0, g(x) =
a2 + 25 4
ex 若存在 x1, x2 ∈
[0, 4] 使得 |f (x1) − g(x2)| < 1 成立, 求 a 的取值范围.
解 (1)
f ′(x) = −[x2 + (a − 2)x + b − a]e3−x
32
中学数学研究

2012高考冲刺作业作业2(南雅中学石向阳)

１．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，向量(,)(1,1)a m n b ==-，，若ABC ∆中AB 与a 同向，CB 与b 反向，则ABC ∠是钝角的概率是A ．512B ．712C ．12D ．13２．设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则3231x y x +++取值范围是 A ．[ 1，5 ] B ．[ 2，6 ] C ．[ 1，10 ] D ．[ 3，11 ]3．用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1——160编号。

按编号顺序平均分成20组（1—8号，9—16号，……153—160号），若第16组应抽出的号码为126，则第一组中用抽签方法确定的号码是________。

４．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是______________．（写出所有正确的结论的编号）①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．５．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点),2(1++n n S a 在直线54-=x y 上，其中*N n ∈.令n n n a a b 21-=+，且11=a ，（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）若n n x b x b x b x b x f ++++= 33221)(，求)1(f '的表达式，并比较)1(f '与n n 482-的大小.６．已知32()2f x x bx cx =+++.（1）若()f x 在1x =时有极值1-，求b 、c 的值；（2）若函数25y x x =+-的图象与函数2k y x-=的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围；（3）记函数()f x '(1-≤x ≤1)的最大值为M ，求证:M ≥32.１．A ．由()()f x f x -=知，函数()f x 是奇函数，排除C ，D. 由()()3f x f x π+=-选B. ２． D3． 6，４．①③④⑤５．解：（1）∵5)2(41-+=+n n a S ，∴341+=+n n a S .∴341+=-n n a S （2≥n ）.∴1144-+-=n n n a a a （2≥n ）.∴)2(2211-+-=-n n n n a a a a （2≥n ）.∴222111=--=-+-n n n n n n a a a a b b （2≥n ）. ∴数列{}n b 为等比数列，其公比为2=q ，首项1212a a b -=，………………（2分）而34121+=+a a a ，且11=a ，∴62=a .∴4261=-=b .∴11224+-=⨯=n n n b . ………………（5分）（2）∵n n x b x b x b x b x f ++++= 33221)(，∴ 1232132)(-++++='n n x nb x b x b x b x f .∴)1(f 'n nb b b b ++++= 32132.∴)1(f '1432223222+⋅++⋅+⋅+=n n ， ①∴2)1(f '2543223222+⋅++⋅+⋅+=n n . ② ①-②得 -)1(f '2143222222++⋅-++++=n n n ，2221)21(4+⋅---=n n n 22)21(4+⋅---=n n n ， ………………（7分） ∴)1(f '22)1(4+⋅-+=n n .∴-')1(f （n n 482-）=)12(42)1(42---⋅-n n n n =[])12(2)1(4+--n n n .当1=n 时，)1('f =n n 482-；当2=n 时，)1('f -（n n 482-）=4（4-5）=-40<，)1('f <n n 482-；当3≥n 时，0)1(4>-n ，且n n n n n n n n C C C C +++=+=-110)11(2 1222+>+>n n ， ∴3≥n 时，总有122+>n n .∴3≥n 时，总有)1('f >n n 482-６．（1）()'2326f x x x c =++，由题知()'10320f b c =⇒++=， ()'11121f b c =-⇒+++=-1,5b c ∴==- 32()52f x x x x =+-+，()'2325f x x x =+- ()f x 在5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，()f x 在()1,+∞为增函数1,5b c ∴==-符合题意.（2）即方程：225k x x x-+-=恰有三个不同的解：()32520x x x k x +-+=≠ 即当0x ≠时，()f x 的图象与直线y k =恰有三个不同的交点，由（1）知()f x 在5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭为增函数， ()f x 在5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，()f x 在()1,+∞为增函数，又5229327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()11f =-，()02f = 229127k ∴-<<且2k ≠ …………（7分）（3）()22'232333b b f x x bx c x c ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭ ①当13b -≥即3b ≥时，M 为()'1f 与()'1f -中较大的一个 2M ()32323232b c b c b c b c +++-+++--+≥≥412b =≥326,3,2M M M ∴满足≥≥≥ ②当13b -≤即33b -≤≤时，M 为()()'''1,1,3b f f f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭中较大的一个 ()()''''41133b b M f f f f ⎛⎫⎛⎫+-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥＝2323223b b c b c c +++-++- 22323223b b c b c c +++-+-+≥2263b =+6≥ 32M ∴≥ 综合①②可知32M ≥ ………（12分）。

探寻两类数列不等式放缩目标的三大策略

探寻两类数列不等式放缩目标的三大策略
石向阳
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2016(000)010
【摘要】放缩法的关键是放缩的思路和放缩的目标.分项比较法、待定系数法、定积分法三大策略,在把放缩的思路和目标的来龙去脉交待清楚的基础上,可以作为独立的解决问题的方法使用.
【总页数】4页(P39-42)
【作者】石向阳
【作者单位】湖南省长沙市雅礼教育集团南雅中学
【正文语种】中文
【相关文献】
1.证明数列不等式的几种常见放缩目标
2.浅析用放缩法证明数列不等式的策略
3.数列不等式放缩法—–由一个自招题谈数列放缩的解题策略
4.探索两类数列不等式放缩目标的三型三略
5.放缩法证明数列不等式的策略探究
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

PN=2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈(0,3))的关系的是２.如图，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD.M 为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC.则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（O 为正方形ABCD 的中心） ( )３．设函数)(,2s i n )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是。

４.一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如右图），现在小船在P 点以南的40 m 处，汽车在桥上Q 点以西30 m 处（其中PQ 垂直于水面），则小船与汽车间的最短距离为 . （不考虑汽车与小船本身的大小）５．已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点. （i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.６．如图，已知圆A 、圆B 的方程分别是()(),412,42522222=+-=++y x y x 动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≤=21a a x ．（1）求圆P 的轨迹方程，并证明：当21=a 时，点P 到点B 的距离与到定直线l 距离的比为定值；（2）延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求PQ 的最小值；（3）如果存在某一位置，使得PQ 的中点R 在l 上的射影C ，满足,QC PC ⊥求a 的取值范围．PN=2CM ，下面的四个图象中能表示三棱锥N —AMC 的体积V 与x （x ∈(0,3))的关系的是（）２.如图，△ADP 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD.M 为平面ABCD 内的一动点，且满足MP=MC.则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（O 为正方形ABCD 的中心） ( )１. A 如图所示，V N —AMC =31NO ·S △AMC =31（8-2x)·21AC ·CM sin 30° =31(8-2x)·21·3x · 21=-21x 2+2x,x ∈(0,3), 故图象为(0,3)上的一段抛物线.应选 A .２. A 显然，当点M 位于点D 和AB 的中点时，满足MP=MC ，故 B 、 C 错.在空间中，到两点P 、C 的距离相等的点的轨迹是PC 的中垂面，又点M 在平面ABCD 内，故点M 的轨迹是两个平面的交线，即是直线，故选 A .【点评】空间立体几何与平面解析几何相结合,这是近年高考经常出现的创新题型,解答时需要较强的空间想象能力和综合应用知识的技能.３．设函数)(,2s i n )(t x f x x f +=若是偶函数，则t 的一个可能值是。

分析与解答：∵是偶又)().22sin()(2sin )(t x f t x t x t x f ++=+=+函数 ∴ )22sin()22sin()()(t x t x t x f t x f +-=++-=+即。

由此可得)(2)22(222222Z k k t x t x k t x t x ∈++--=+++-=+πππ或∴)(412Z k k t ∈+=π４.一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如右图），现在小船在P 点以南的40 m 处，汽车在桥上Q 点以西30 m 处（其中PQ 垂直于水面），则小船与汽车间的最短距离为 . （不考虑汽车与小船本身的大小）４． 30 设经过时间t 汽车在A 点，船在B 点（如右图），则AQ=30-20t, BP=40-10t,PQ=20.由已知条件知 AQ ⊥BP,PQ ⊥AQ,PQ ⊥PB. 设小船所在平面为α,AQ 、QP 确定的平面为β. 记α∩β=l.由AQ ∥α，AQ β得AQ ∥l. 又AQ ⊥PQ ，故PQ ⊥l.又PQ ⊥PB,l ∩PB=P,故PQ ⊥α. 作AC ∥PQ ，则AC ⊥α. 连结CB ，则AC ⊥CB. 由AQ ⊥BP ，CP ∥AQ 得CP ⊥BP.∴AB 2=AC 2+BC 2=PQ 2+PB 2+PC 2=202+（40-10t)2+(30-20t)2=100［5(t-2)2+9］. 当t=2时AB 最短，最短距离为30 m . ６．已知动圆过定点P （1，0），且与定直线1:-=x l 相切，点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A ，B 两点. （i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由；（ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.讲解本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.（1）由曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，知曲线M 的方程为x y 42=.（2）（i ）由题意得，直线AB 的方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=,4),1(3),1(32x y x y x y 由消y 得 .3,31,03103212===+-x x x x 解出于是, A 点和B 点的坐标分别为A )332,31(，B （3，32-），.3162||21=++=x x AB 假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++222222)316()32()131()316()32()13(y y ① ② 332x y 42=由①－②得,)332()34()32(42222-+=++y y .9314-=y 解得因为9314-=y 不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.故知直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形.（ii ）设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由.32,1),1(3=⎩⎨⎧-=--=y x x y 得即当点C 的坐标是（－1，32）时，三点A ，B ，C 共线，故32≠y . 2222334928)332()311(||y y y AC +-=-+--=，22223428)32()13(||y y y BC ++=+++=， 9256)316(||22==AB .(i) 当222||||||AB AC BC +>，即9256334928342822++->++y y y y ，即CAB y ∠>,392时为钝角.(ii) 当222||||||AB BC AC +>，即9256342833492822+++>+-y y y y ，即CBA y ∠-<时3310为钝角.(iii)当222||||||BC AC AB +>，即2234283349289256y y y y++++->，即0)32(,03433422<+<++y y y . 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.故当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是)32(9323310≠>-<y y y 或. ７．如图，已知圆A 、圆B 的方程分别是()(),412,42522222=+-=++y x y x 动圆P 与圆A 、圆B 均外切，直线l 的方程为：⎪⎭⎫⎝⎛≤=21a a x ．（1）求圆P 的轨迹方程，并证明：当21=a 时，点P 到点B 的距离与到定直线l 距离的比为定值；（2）延长PB 与点P 的轨迹交于另一点Q ，求PQ 的最小值；（3）如果存在某一位置，使得PQ 的中点R 在l 上的射影C ，满足,QC PC ⊥求a 的取值范围．讲解（1）设动圆P 的半径为r ，则｜PA ｜＝ｒ＋25，｜PB| = r + 21， ∴ |PA| －｜PB| = 2．∴ 点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，其方程为 1322=-y x （x ≥1）．若21=a , 则l 的方程21=x 为双曲线的右准线, ∴点P 到点B 的距离与到l 的距离之比为双曲线的离心率e = 2.(2)若直线PQ 的斜率存在，设斜率为k ，则直线PQ 的方程为y = k ( x －2 )代入双曲线方程, 得()034432222=--+-k x k xk由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=>--=+>∆0334034022212221k k x x k k x x ，解得2k ＞３． ∴ ｜PQ ｜＝632463)1(6||1222212>-+=-+=-+k k k x x k ．当直线的斜率存在时，221==x x ，得3,321-==y y ，｜PQ|＝６． ∴ ｜PQ|的最小值为６．（3）当PQ ⊥QC 时，P 、C 、Q 构成Rt △. ∴ R 到直线l 的距离｜RC|＝a x PQ R -=2|| ① 又 ∵ 点P 、Q 都在双曲线1322=-y x 上，∴ 221||21||=-=-Q P x QB x PB ．∴21||||=-++Q P x x QB PB ，即 24||-=R x PQ ．∴ 42||+=PQ x R ②将②代入①得a PQ PQ -+=42||2||，｜PQ ｜＝２－４a ≥6．故有ａ≤－１． “如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.。