2012届常州高三数学调研测试试卷(六)
江苏省2012届高三高考适应性检测卷数学试题
Read xIfx>Then1y x ←+Else江苏省2012届高三数学高考适应性检测卷（南师大数科院命制2012-5）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．)1．复数ii 4321+-在复平面上对应的点位于第 ▲ 象限．2．设全集{1,3,5,7}U =，集合{1,5}M a =-，M U ⊆,{}5,7UM =，则实数a 的值为▲ ．3．过点()1,0且倾斜角是直线210x y --=的倾斜角的两倍的直线方程是 ▲ ．4．若连续投掷两枚骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标()n m 、，求点P 落在圆1622=+y x 内的概率为 ▲ ．5．若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ▲ ．6．如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点,且2155AP AB AC =+，AQ=23AB +14AC ,则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为▲ ．7．下图是根据所输入的x 值计算y 值的一个算法程序,若x 依次取数1100n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭()n N +∈ 中的前200项，则所得y 值中的最小值为 ▲ ．（第6题）8．在ABC ∆中，若,,AB AC AC b BC a⊥==,则ABC ∆的外接圆半径22a b r +将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是:在四面体S ABC -中，若SA SB SC 、、两两垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =▲ ．9．若a 是12b +与12b -的等比中项,则22ab a b+的最大值为 ▲ ．10．空间直角坐标系中,点(6,4sin ,3sin ),(0,3cos ,4cos )A B αββα-，则A 、B 两点间距离的最大值为 ▲ ．11．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：x358915x lgb a -2c a +c a 333--b a 24-13++-c b a请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ．12．如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线,l 1与l 2间的距离是1,l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 ▲ ．13．已知数列{}na 、{}nb 都是等差数列，n nT S,分别是它们的前n 项和，并且317++=n n T Snn，则1612108221752b b b b a a a a ++++++= ▲ ．14．已知函数)(x f 的值域为[][]0,4(2,2)x ∈-,函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，1[2,2]x ∀∈-，总0[2,2]x∃∈-，使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分。
江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(二)数学
2012江苏数学模拟试卷（二）说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟．一、填空题：本大题共14小题,每小题5分，共70分．1．若复数z 满足(2)z z i =-（i 是虚数单位），则z = ．2．已知全集{12345}U =，，，，，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2}B x x a a A ==∈，，则集合()UA B = ．3．在圆x 2+y 2=4所围成的区域内随机取一个点P （x ，y )，则| x ｜+｜y | ≤ 2的概率为 ．4．已知4cos 5α=-且(,)2παπ∈，则tan()4πα+= ．5．已知定义域为R 的函数121()2x x f x a+-+=+是奇函数则a = ．6．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7．在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ ．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形,若第 一个长方形的面积为0。
02，前五个与后五个长方形的 面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量 为1600，则中间一组（即第五组)的频数为 ．9．已知B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左准线与x 轴的交点，点(0,)A b ，若满足2AP AB =的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为 ．10．已知变量,a R θ∈,则22(2cos )(522sin )a a θθ-+--的最小值为 ．样本数据频率组距10第题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+7第题图11．等比数列{}na 中，120121,9a a ==,函数122012()()()()2f x x x a x a x a =---+，则曲线()y f x = 在点(0,(0))f 处的切线方程为 ．12．将一个长宽分别是,(0)a b b a <<的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab 的取值范围是 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝2x 的焦点为F ． 设M 是抛物线上的动点,则MO MF的最大值为 ．14．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，若对任意的等差数列{}na 及任意的正整数n 都有不等式22212n n S a a nλ+≥成立,则实数λ的最大值为 ．二、解答题:本大题共6小题，共90分． 15．(本小题满分14分)已知函数21()2cos ,2f x x x x R =--∈．(1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2)设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ,且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,其中//BC AD ，090BAD ∠=，3AD BC =，O 是AD 上一点．(1）若//CD PBO 平面，试确定点O 的位置；(2）求证:PAB PCD ⊥平面平面．17．（本小题满分14分）如图，一载着重危病人的火车从O 地出发，沿射线OA 行驶，其中1tan 3α=,在距离O 地a 5(a 为正数）公里北偏东β角的N 处住有一位医学专家，其中3sin 5β=,现有110指挥部紧急征调离O 地正东p公里的B 处的救护车赶往N 处载上医学专家全速追赶乘有重危病人的火车，并在C 处相遇，经测算当两车行驶的路线与OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，抢救最及时。
2012年江苏高考数学试卷含答案
2012江苏高考数学试卷注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=n i=11n ∑（x i -x ）2,其中n i i=11x n ∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高. （3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。
．．．．．．．．．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A -1 22、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Else m ←b End If Print m5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s7、已知,2)4tan(=+πx 则xx2tan tan 的值为__________ 8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ1272-10、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内15、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为a ,（1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.A16、如图，在四棱锥ABCDP 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线E F‖平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD17、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
江苏省常州中学2012届高三下学期高考模拟考试数学试题(一)
2012江苏数学模拟试卷（一）说明：1． 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上； 2． 本卷总分160分，考试时间120分钟．一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．1．若复数z 满足i z i 31)1(-=+,则复数z 在复平面上的对应点在第 象限． 2．左面伪代码的输出结果为 ．3．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 ． 4．若圆C :22()(1)1x h y -+-=在不等式10x y ++≥所表示的平面区域内，则h 的最小值为 ．5．已知奇函数()f x 是R 上的增函数，且(2)1f =，设集合{}()1P x f x t =-<，{|()1}Q x f x t =+<-,若“P x ∈"是“Q x ∈”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ．6．如图，用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒， 那么这个圆锥筒的容积是 ． 7．若320sin 20tan =+m ，则m 的值为 ．8．设,a b 为不重合的两条直线,,αβ为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若a ∥α且b ∥α,则a ∥b ； (2）若a α⊥且a β⊥，则α∥β；（第6题图）（3)若α⊥β，则一定存在平面γ,使得,γαγβ⊥⊥； （4）若α⊥β，则一定存在直线l ，使得,//l l αβ⊥． 上面命题中,所有真命题．．．的序号是 ．9．C B A ,,是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点,已知a BC AB ==，90APB ∠=,45BPC ∠=．则=⋅PC PA ．10．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线12222=-by a x 有相同的焦点F ，点A是两曲线的交点,且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为 ． 11．已知函数2()2,()2f x mx g x x x m =+=++。
若存在整数,a b ,使得()()a f x g x b ≤-≤的解集恰好是[],a b ，则a b -的值为 ．12．已知0a b c >≥>，且22112444()aac c ab a a b ++-+=-， 则a b c ++= ．13．一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”．给定以下法则来构造一个奇数数列{}n a ，对于任意正整数n ,当n 为奇数时，n a n =；当n 为偶数时,2n n a a =． 则该数列的前2n项的和为____________________．14．已知正方形ABCD 的中心在原点，四个顶点都在函数3()f x xbx=+图象上．若正方形ABCD唯一确定，则实数b的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）设函数()()2203f x xx ax =-++≤≤的最大值为m ，最小值为n ，其中0,a a R ≠∈．(1)求m n 、的值（用a 表示)；P A BC（2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,3A m n -+．求sin()6πβ+的值．16．(本小题满分14分）如图，设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰AD 、BC 的中点，DE AB ⊥于E ．现将ADE △沿DE 折起，使二面角A DE B --为45，此时点A在平面BCDE 内的射影恰为点B ．（1）证明：MN //平面ABE ；（2）证明：平面ADN ⊥平面ADE ．17． (本小题满分14分）某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R 的圆面．该圆面的内接四边形ABCD 是原棚户建筑用地，测量可知边界AB = AD = 4千米,BC = 6千米,CD = 2千米，（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD 的面积及圆面的半径R 的值；(2）因地理条件的限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造的新建筑用地APCD 的面积最大，并求最大值．ACDPOMNDM NC DC18．(本小题满分16分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，短轴两个端点为B A ,，且四边形B AF F 21是边长为2的正方形．（1)求椭圆的方程;(2)若D C ,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M 满足CD MD ⊥，连接CM，交椭圆于点P ．证明：OM OP ⋅为定值；（3)在（2)的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线MQ DP ,的交点,若存在,求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．19． (本小题满分16分）已知直线10x y --=为曲线()logaf x x b=+在点(1(1))f ,处的一条切线．（1）求a ，b 的值；（2）若函数()y f x =的图象1C 与函数()n g x mx x=+（n ＞0）的图象2C 交于11()P x y ,，22()Q x y ,两点，其中1x ＜2x ,过PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C ，2C 于点M 、N ，设C 1在点M 处的切线的斜率为1k ，C 2在点N 处的切线的斜率为2k ，求证：1k ＜2k ．20．(本小题满分16分)已知等比数列{}na 的首项12012a=,公比12q =-，数列{}n a 前n 项和记为n S ，前n 项积记为n T ．(1）证明：21n SS S ≤≤；（2）求n 为何值时,nT 取得最大值；（3）证明：若数列{}na 中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为12,,,n d d d ，则数列{}n d 为等比数列．数学Ⅱ（理科附加题)21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲如图,设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，lDC AOBPP 是⊙O 与直线l 的公共点，AC l ⊥，BD l ⊥，垂足分别为C 、D ，且PC =PD ,求证:BP 平分ABD ∠．B ．选修4—2：矩阵与变换设M ＝1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N ＝10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试求曲线y ＝sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程．C ．选修4—3：坐标系与参数方程已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是2cos ρθ=和2sin a ρθ=（a 是非零常数)．若两圆的圆心距为错误!，求a 的值．D ．选修4—4：不等式选讲已知x y z 、、均为正数，求证：111()3x y z ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断正确的概率为p ，判断错误的概率为q ，若判断正确则加1分,判断错误则减1分,现记“该明星答完n 题后总得分为nS "．（1）当21==q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望；w ．w ．w ．zxxk ．c ．o ．m(2）当32,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S Si 且的概率．23．（1）设函数)10)(1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； (2）设正数np p p p 2321,,,, 满足12321=++++np p p p ，求证：.log log log log 222323222121n p p p p p p p p nn-≥++++2012江苏数学模拟试卷（一）答案8．（2）（3）（4) 9．245a - 10．12+11．2- 12．13．21(42)3n n T =+14．设正方形ABCD 对角线AC 所在的直线方程为(0)y kxk =≠，则对角线BD 所在的直线方程为1y xk=-．由3,,y kx y ax bx =⎧⎨=+⎩解得2k b x a -=， 所以222222(1)(1)k bAOx y k x k a-=+=+=+⋅, 同理，22221111[1()]b b k k k BO k a k a--++=+-⋅=-⋅,又因为22AO BO =，所以3210k k b b k-++=． (10)分即2211()0kb k k k +--=，即211()()20k b k k k---+=． 令1k t k-= 得220tbt -+=［来源:学+科+网Z +X +X +K ]因为正方形ABCD 唯一确定，则对角线AC 与BD 唯一确定,于是1k k-值唯一确定，所以关于t 的方程220t bt -+=有且只有一个实数根,又1k t k-=∈R ． 所以280b∆=-=，即b =± (14)分 因为20k bxa-=>，0a >,所以b k <；又 10bk a-->，所以1b k <-，故0b <．因此b =-反过来b =-,t =1k k-=于是k =1k -=；或k =，1k -于是正方形ABCD 唯一确定．……………………………………………………16分15．解（1） 由题可得()()211f x x a =--++而03x ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．2分所以，()()11,33m f a n f a ==+==- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分(2） 角β终边经过点(),A a a 当0a >时,222r a a a =+， 则22sin ,cos 22a aββ====所以，26sin sin cos cos sin 666πππβββ+⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．9分当0a <时，222r a a a =+=-则22sin ,cos 2222a aββ==-==---所以，26sin sin cos cos sin 666πππβββ+⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．13分综上所述 26sin 6πβ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭或26+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分16．(1)在折起后的图中，取AE 中点F ,连结MF 、FB ．由题意，BCDE 为矩形．∵M 为AD 中点，F 为AE 中点，∴//MF DE ,且12MF DE =．又∵N 为BC 中点，//BC DE 且BC DE =，∴//MF BN 且MF BN =．∴四边形BNMF 为平行四边形． ∴//MN BF ．…………………4分 又∵MN ⊄平面ABE ，BF ⊂平面ADE , ∴MN //平面ABE ．……………6分（2） 在折起后的图中，∵AE DE ⊥，BE DE ⊥，∴DE ⊥平面ABE ,且AEB ∠即为二面角A DE B --的平面角． ∴45AEB ∠=．………………………………9分 ∵AB ⊥平面BCDE ，∴AB BE ⊥．又∵F 为AE 中点，∴在等腰Rt ABE △中，有BF AE ⊥，∵//MN BF ，∴MN AE ⊥．………………………………………11分MNMN CD∵DE ⊥平面ABE ，BF ⊂平面ABE ，∴DE BF ⊥． ∵//MN BF ，∴MN DE ⊥．∵AE DE E =，∴MN ⊥平面ADE ．………………………………13分 ∵MN ⊂平面ADN ，∴平面ADN ⊥平面ADE ．………………………14分17． 解:（1)180ABC ADC ∠+∠=︒，由余弦定理得：2222246246cos 42224cos AC ABC ADC =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯∠∴1cos 2ABC ∠=………………………………2分 ∵(0,)ABC π∠∈ ∴60ABC ∠=︒，120ADC ∠=︒S 四边形ABCD =1146sin 6024sin1208322⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=（平方千米）……5分2222cos 28AC AB BC AB BC ABC =+-∠= ∴ 27AC = 由正弦定理得：274212sin 332AC R B===（千米） 2213R =（千米）………………………………8分（2） S 四边形APCD =ADC APCS S ∆∆+,又1sin120232ADCSAD CD ∆=︒=…………9分设AP = x ,CP = y ，则13sin 6024APCS xy xy ∆=︒=…………………10分由余弦定理得：2220222cos6028ACx y xy x y xy =+-=+-=222x y xy xy xy xy +-≥-=∴ 28xy ≤，当且仅当x = y 时取“＝”………………………………12分∴S 四边形APCD =332332893≤=平方千米)∴ 作AC 的垂直平分线与圆弧ABC 的交点即为点P ,最大面积为93平方千米 ……14分 18． 解：(1）222,,2cb ac b a +===，22=∴b，∴椭圆方程为12422=+y x ．…4分（2）)0,2(),0,2(D C -，设),(),,2(110y x P yM ,则),2(),,(011y OM y x OP ==→→．直线CM ：042y y y x -=-，即00214y x yy +=，……………………………5分代入椭圆4222=+y x得042121)81(2020220=-+++y x y x y ．……………………………………………6分8)8(2,8)8(4)2(2020120201+--=∴+-=-y y x y y x ，882001+=∴y y y ． )88,8)8(2(2002020++--=∴→y y y y OP ， (8)分48324888)8(4202020202020=++=+++--=⋅∴→→y y y y y y OM OP （定值）． …………………………………………………………10分（3)设存在)0,(m Q 满足条件，则DP MQ ⊥．),2(0y m MQ --=→，)88,84(2002020++-=→y yy y DP , (13)分则由0=⋅→→DP MQ 得088)2(8420202020=+--+-y y m y y ，从而得0=m ． ∴存在)0,0(Q 满足条件．…………………………………………………………16分19．解：（1）直线10x y --=的斜率为1，且过(10),点，又1()ln f x x a'=,∴11ln log 10a ab ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,∴,e 0a b ==,; …………………5分（2）PQ 的中点为1212()ln 22x x y y f x x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭,,， …………………6分∴1212122(ln )x x x k x x x +='==+， (7)分121222212222x x x x x x n n n k mx m m x x x x +=+='⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭， ……………8分由210x x >>，∴212122x x x x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，则212n k m x x >-，则212122112()()()n x x x x k m x x x x -->--2121()n nmx mx x x =+-+21y y =-21ln ln x x =-21lnx x =，又21212112121212()()1x x x x x x k x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭-==++, ……………………………11分法一：令2(1)()ln 1t r t t t-=-+，21x t x =＞1,则22214(1)()(1)(1)t r t t t t t -'=-=++，因为t ＞1时，()r t '＞0，所以()r t 在[1)+∞,上单调递增，故()r t ＞(1)0r =，则2k ＞1k ． ……………………………16分法二：令()(1)ln 2(1)r t t t t =+--,21x t x=＞1，1()ln 1r t t t'=+-则，因为221111ln t t t t t t '-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，所以t ＞1时，1ln t t '⎛⎫+ ⎪⎝⎭＞０，故1ln t t+在[1)+∞,上单调递增，从而1ln 1t t+-＞０，即()0r t '>，于是)(t r 在[1)+∞,上单调递增，故()r t ＞(1)0r =即(1)ln t t +＞2(1)t -，ln t ＞2(1)1t t -+,则2k ＞1k ．……16分20．（1）证：12111111[1()]112[1()]1321()2n n n a S S S a S ----=+=-----≤，当n = 1时，等号成立………………2分23222121[1()]112[1()]1621()2n n n a S S S a S ----=+=+----≥,当n = 2时，等号成立 ∴S 2≤S n ≤S 1． ………………4分（2）解：1121112||||2011||||||2n n n n nnn T a a a a a Ta a a +++===∵111020112011122<<,∴当n ≤10时，|T n + 1｜ 〉 |T n ｜，当n ≥11时，|T n + 1| < ｜T n | 故|T n ｜ max= ｜T 11｜ ………………7分 又T 10 < 0，，T 11 〈 0，T 9 〉 0,T 12 > 0,∴T n 的最大值是T 9和T 12中的较大者∵1031210111291[2011()]12T a a a T ==->，∴T 12 〉 T 9 因此当n = 12时，T n 最大． ………………10分 （3）证：∵112011()2n na -=-,∴| a n |随n 增大而减小,a n 奇数项均正，偶数项均负①当k 是奇数时，设{a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为12k k ka a a ++，，，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=，1121122()22k k ka a a ++=-=， ∴122k kk a a a +++=，因此12k k ka a a ++，，成等差数列,公差112111311[()()]222k kk k k k a d a a a ++++=-=---=………………12分 ②当k 是偶数时，设｛a n }中的任意相邻三项按从小到大排列为21kk k a a a ++，，，则1111111()()222k k k k ka a a a a -++=-+-=-，1121122()22k k ka a a ++=-=-， ∴122k kk a a a +++=，因此21kk k a a a ++，，成等差数列，公差111211311[()()]222k k k k k k a d a a a +-++=-=---=………………14分 综上可知，{}na 中的任意相邻三项按从小到大排列,总可以使其成等差数列，且1132kk a d += ∵112n nd d +=，∴数列{d n ｝为等比数列． ………………16分21．B ．MN=11100022020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………………4分设(),x y 是曲线x y sin =上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为(),x y ''． 则10202x x y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以1,22,x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩即2,1,2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ (8)分代入x y sin =得:1sin 22y x ''=，即2sin 2y x ''=．即曲线xy sin =在矩阵MN 变换下的曲线方程为x y 2sin 2=．………………10分C ．解：由ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ．所以⊙O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ． 即 （x －1）2＋y 2＝1．（3分) 由 ρ＝2asinθ,得ρ2＝2aρsinθ．所以⊙O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2ay ， 即 x 2＋(y －a )2＝a 2．（6分）⊙O 1与⊙O 2的圆心之间的距离为错误!＝错误!，解得a ＝±2．(10分) 22．（1）||3S =ξ 的取值为1,3，又21==q p ；故43)21()21(2)1(213=⋅==C P ξ，41)21()21()3(33=+==ξP ．所以 ξ的分布列为：—--—-----—-—---———-—3分且ξE =1×43+3×41=23； ————--—-—————-——----5分(2)当S 8=2时,即答完8题后，回答正确的题数为5题,回答错误的题数是3题，又已知)4,3,2,1(0=≥i S i，若第一题和第二题回答正确，则其余6题可任意答对3题；若第一题和第二题回答错误，第三题回答正确，则后5题可任意答对3题．ξ13P4341此时的概率为33536587123088080()()()()33218733P CC ⨯=+⋅⋅==或． —-——---——--———---—-—10分23．解:（Ⅰ）对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f.2ln 12ln 1)1(log log 22-+--=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f当)(,0)1(log log)(,2122x f x x x f x <--='<时在区间)21,0(是减函数， 当)(,0)1(log log )(,2122x f x x x f x >--='>时在区间)1,21(是增函数．所以21)(=x x f 在时取得最小值,1)21(-=f ，（Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，由（Ⅰ)知命题成立．(ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++kkp p p p p p 满足, 则.log log log 222222121k p p p p p p kk-≥+++当1+=k n 时，若正数,1,,,11221221=+++++k k p p p p p p 满足令.,,,,222211221xp q x pq x p q p p px k k k ===+++= 则kq q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k qq q由归纳假定知121222222log log log .kk q q p q qq k +++≥-kk k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++,log )()log 22x x k x x +-≥+ ①同理,由x p p pk k k -=++++++1122212 可得1122212212log log ++++++k k k k p p p p).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥②综合①、②两式11222222121log log log+++++k k p p p p p p).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x即当1+=k n 时命题也成立．根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立．证法二：令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log )(22c x c x c x c x x x g ∈>--+=],log )1(log )1(log [)(222c cxc x c x c x c x g +--+=利用（Ⅰ）知，当.)(,)2(21取得最小值函数时即x g c x c x ==对任意都有,0,021>>x x2log 22log log 21221222121x x x x x x x x ++⋅≥+]1)()[log (21221-++=x x x x ． ①下面用数学归纳法证明结论．（i ）当n =1时，由（I ）知命题成立．（ii ）设当n =k 时命题成立，即若正数有满足,1,,,221221=+++k kp p p pp p11111122212212222121221221222222121log log log log .1,,,,1.log log log ++++++++++==++++=-≥+++--k k k k k k k k p p p p p p p p H p p p p pp k n k p p p p p p 令满足时当由①得到,1)()(],1)()[log (]1)()[log (11111121221212221221221=++++-++++-++≥++++++---k k k k k k p p p p p p p p p p p p H 因为由归纳法假设得到,)(log )()(log )(1111212221221221k p p p p p p p p k k k k -≥++++++++++--).1()(1121221+-=++++--≥+++k p p p p k H k k 即当1+=k n 时命题也成立．所以对一切正整数n 命题成立．。
江苏省常州市常州中学2012届高三最后冲刺综合练习(六,文数)
江苏省常州市常州中学2011-2012高三数学（文）最后冲刺综合练习试卷（六）一、选择题：1．已知集合}21|{<<-=x x A ，}13|{≤<-=x x B ，则A B = ． 2．设(3i)10i z +=(i 为虚数单位)，则||z = ． 3．已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则α2tan = ．4．曲线1-=x e y 上的点到直线03)1(=---y x e 的最短距离是 ． 5．锐角三角形ABC 中，边长,a b 是方程22320x x -+=的两个根， 且2sin()3A B +=，则c 边的长是 ．6．已知2||,2||≤≤y x 且Z y x ∈,，点P 的坐标为),(y x ，则P 满足4)2()2(22≤-+-y x 的概率为 ．7．一天中对一名学生的体温观察了8次，得到如下表的数据 观测序号i12 3 4 5 6 7 8 观测序号i a 36.236.536.536.636.736.93737.2在上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图(其中-a 是 这8个数据的平均数)，则输出S 的值是 ．8．已知n m ,是两条不重合的直线，βα,是两个不重合的平面．给出以下四个命题： ①若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；②若n m n m //,,βα⊥⊥，则βα//；③若βαβα⊂⊂⊥n m ,,，则n m ⊥；④若n m ,是异面直线，αββα//,,//,n n m m ⊂⊂，则βα//其中真命题的个数为 ．9．已知在平面直角坐标系中，)2,1(),1,0(),21,1(),0,0(Q N M O .若动点),(y x P 满足不等式10≤⋅≤→-→-OM OP ，10≤⋅≤→-→-ON OP ,则→-→-⋅||OQ OP 的最大值为 ．10．下列四个命题：①任意),0(+∞∈x ，使得x x )31()21(>；②存在)1,0(∈x ，使得x x 3121loglog<；③任意)31,0(∈x ，使得x x31log)21(<；④存在),0(+∞∈x ，使得3121x x >其中真命题的序号是 ．11．已知直线l 的方程为4-=x ，且直线l 与x 轴交于点M ，圆4:22=+y x O 与x 轴交于B A ,两点，则以l 为准线，中心在坐标原点，且与圆O 恰有两个公共点的椭圆方程为 ． 12．已知函数xx x x x f cos 2sin )(2++=，项数为25的等差数列}{n a 满足：)2,2(ππ-∈n a ，且公差0≠d .若0)()()(2521=++a f a f a f ，则当=k 时，0)(=k a f ．13．若060=∠B ，O 为ABC ∆的外心，点P 在ABC ∆所在的平面上，→-→-→-→-++=OCOB OA OP 且8=⋅→-→-BC BP ，则边AC 上的高h 的最大值为 ．14．已知二次函数q px x x f ++=2)(通过点)0,(),0,(βα。
数学-常州市武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试(文科)
常 州 市 武 进区 2013届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}24M x x =<，{}ln 0N x x x =>，则集合M N = ▲ ．2．已知向量(cos 35,sin 35),(cos 65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．3．设直线l是曲线3()2f x x =-+上的一条切线，则切线l 斜率最小时对应的倾斜角为 ▲ ．4．2sin 2sin cos y x x x =+的周期是 ▲ ．5．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 6．若实数x 满足2cos log2=+θx ，则28++-x x = ▲ ．7．已知向量,a b满足||||a b ==cos ,65a b <>=.若k a b + 与3a b -垂直，则k = ▲ ．8．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ 2cm ．9．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ．10．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,O A O B O C满足()[2'(1)]ln OA fx f x OB x OC =+-⋅，则函数()y f x =的表达式为 ▲ ．11．已知3()log (3)f x x =-，若实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=则m n +的最小值为 ▲ ．12．过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则12r r += ▲ ．2012.1113．给出以下命题：⑴ 在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；⑵ 在△ABC 中，若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 一定为锐角三角形； ⑶函数y ={}sin ,1y x x π=∈是同一个函数；⑷ 函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量(1,0)a =平移得到.则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）． 14．数列{}n a 满足1(1)n n n a a n ++-=，则{}n a 的前40项和为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ．⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.16．（本题满分14分）长方体1111ABC D A B C D -中，1AD =，AB = ，P 、Q 分别是1C D 和1A A 的中点，求证：⑴ PQ ABCD 面；⑵ 面11D PQ BB D D ⊥面.ABCDQPA 1B 1C 1D 1已知()(]=-∈，其中e是自然常数，.ln,0,f x ax x x e∈a R⑴当1a=时，求()f x的单调区间和极值；⑵若()3f x≥恒成立，求a的取值范围.18．（本题满分16分）已知曲线C：2222(-1)120+---+=.x y ax a y a⑴证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；⑵当1a≠时，若曲线C与直线21=-相切，求a的值；y x⑶对所有的a R∈且1a≠，是否存在直线l与曲线C总相切？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由.各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若12231111n n k a a a a a a ++++< 恒成立，求k 的取值范围；⑶ 对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .20．（本题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当3x =-时，()f x取得极小值9.⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值；⑶ 设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-），求()g x 的最大值()F t ．武进区2012～2013学年度第一学期期中调研测试高三文科数学试题讲评建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}24M x x =<，{}ln 0N x x x =>，则集合M N = ▲ ． 答案：()1,2.2．已知向量(cos 35,sin 35),(cos 65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．答案：30︒.【解析】法一、公式cos cos 30a ba bθ⋅==︒⋅；法二、由任意角的三角函数定义即得.3．设点P是曲线3()2f x x =-+上的任意一点，则曲线在P 点处斜率最小时的切线的倾斜角为 ▲ ． 答案：120︒.4．2sin 2sin cos y x x x =+的周期是 ▲ ．答案： π.5．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 【解析】法一、23410771071616432a a a a a a q =⇔=⇔=⇒=⨯= ；法二、41061010410162320a a a a a a ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪>⎩.6．若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x = ▲ ．答案：10.【解析】[][]2log 1,32,8x x ∈∴∈.7．已知向量,a b满足||||a b ==cos ,65a b <>=若k a b + 与3a b -垂直，则k = ▲ ． 答案：19.8．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为4cm 的球面上.如果正四棱柱的底面边长为2cm ，那么该棱柱的表面积为 ▲ cm 2． 答案：8.【解析】设高为h ，则2222224h ++=，h ∴=，222428S ∴=⨯+⨯⨯=.9．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ． 解析：法一（线性表示）、由11759a d a d +≤⎧⎨+≥⎩，得()()1011192511a a d a d a d =+=-+++≥；法二、线性规划（略）； 法三（数形结合）、由(),n n a 共线，易得()2,7A ，()6,9B ，()10,11C 三点共线.由27a ≤，69a ≥，则点A 垂直向下移动同时点B 垂直向上移动，要保持A 、B 、C 三点共线，则C 点须从点()10,11垂直向上移动，由数形结合易得1011a ≥.10．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,O A O B O C满足()[2'(1)]l n O A f x f x O B x O C =+-⋅ ，则函数()y f x =的表达式为 ▲ ．答案：()2ln 13x f x x =-+.【解析】A B C 、、三点共线，()2'(1)ln 1f x f x x ∴+-=， 即()2'(1)ln 1f x f x x =-++，1'()2'(1)f x f x∴=-，'(1)12'(1)f f ∴=-，1'(1)3f ∴=，即得.11．已知3()l o g (3)f x x =-，若实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=则m n +的最小值为4+.【解析】由已知条件可得(3)(1)3(3,1)m n m n --=>>，有如下几种常见思路：思路1（消元）：由(3)(1)3m n --=得331m n =+-，则=+n m 331n n ++-，下面既可以用函数方法（求导），也可以用不等式方法求解；思路2:令s n m =+，则n s m -=，代入(3)(1)3m n --=后用判别式法，求出最值后要注意检验；思路3：注意(3)(1)1m n --=与待求式之间的关系，我们有：(3)(1)444m n m n +=-+-+≥=.12．过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的两个圆的半径分别为21,r r ，则12r r += ▲ ． 答案：14.【解析】过点C (2，5)且与x 轴，y 轴都相切的圆的方程为()()222x r y r r -+-=， 则()()22225r r r ∴-+-=，即214290r r -+=（※），12,r r ∴是方程（※）的两根，1214r r ∴+=.13．给出以下命题：（1）在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；（2）在△ABC 中，若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 一定为锐角三角形；（3）函数y ={}sin ,1y x x π=∈是同一个函数；（4）函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量(1,0)a =平移得到.则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）． 答案：（2）、（3）. 【解析】（1）充要条件；（2）在△ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅； （3）函数0y =={},1x ∈，函数{}sin 0,1y x x π==∈；（4）函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量1(,0)2a = 平移得到.14．数列{}n a 满足1(1)n n n a a n ++-=，则{}n a 的前40项和为 ▲ ． 答案：420.【解析】由题意得：4243414244143(1)42(2)41(3)n n n n nn a a n a a n a a n ------=-⎧⎪+=-⎨⎪-=-⎩ ，()()312(2)-+⨯得：434241482n n n na a a a n ---+++=-，设左式为n b ，则401210420S b b b =+++= .二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）115．（本题满分14分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f .()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ．（1）求函数()f x 的解析式； （2）若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.解：（1）∵8π=x 是函数()y f x =的图象的对称轴，∴1)82sin(±=+⨯ϕπ，∴Z k k ∈+=+,24ππϕπ，∵－0<<ϕπ，∴43πϕ-=，故3()sin(2) 4f x x π=-（2）因为3(),(0,)25f ααπ=∈，所以33sin()45πα-=，34cos()45πα-=故333333sin sin[()]sin()coscos()sin444444ππππππαααα=-+=-⋅+-⋅＝43)25510-=而553()sin[2()]sin(2)cos 28842f ππππαααα+=+-=+= ＝222412sin 11025α-=-=.所以，524()825f πα+=.16．（本题满分14分）长方体1111ABC D A B C D -中，1AD =，AB = ，P 、Q 分别是1C D 和1A A 的中点，求证：（1）PQ ABCD 面；（2）面11D PQ BB D D ⊥面.证明：⑴ 取C D 中点M ，连接A M .P 、Q 分别是1C D 和1A A 的中点，112P M D D ∴ ，112P M D D =，PM AQ ∴ ，PM AQ =，∴四边形AM PQ 是平行四边形，PQ AM ∴ ，又AM ABCD PQ ABCD⊂⎧⎨⊄⎩ 面面，PQ ABCD ∴ 面.⑵ 1AD =，AB =，2D M =，2AD AB DM ∴=⋅，AD M BAD ∴∆∆～，D AM ABD ∴∠=∠，AM BD ∴⊥，PQ AM ，PQ BD ∴⊥，又 长方体1111ABC D A B C D -，1B B ABC D ∴⊥面，AM ABCD ⊂ 面，1B B AM ∴⊥， AM PQ ，1PQ B B ∴⊥，又111111BD B B B BD BB D D B B BB D D=⎧⎪⊂⎨⎪⊂⎩ 面面，11PQ BB D D ∴⊥面，PQ DPQ ⊂ 面∴面11D PQ BB D D ⊥面.17．（本题满分14分）已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ (1)当1a =时，求()f x 的单调性和极值；(2)若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解：(1) ()'11ln ()1x f x x xf x xx-=-=-=…………………………2分∴当01x <<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减； 当1x e <<时，()'0fx >，此时()f x 为单调递增.∴当()f x 的极小值为()11f =，()f x 无极大值………………………………4分 （2）法一：∵()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，又若()3f x >恒成立， ∴ln 3ax x -≥在(]0,x e ∈上恒成立， 即3ln x a x x ≥+在(]0,x e ∈上恒成立，令3ln ()xg x x x =+，(]0,x e ∈，∴'22231ln 2ln ()xx g x xxx-+=-+=-令'()0g x =，则21x e=，当210x e<<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递增，当21x ee<<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递减，∴222m ax 21()()32g x g e e ee==-=，∴2a e ≥法二：由条件：ln 30ax x --≥在(]0,x e ∈上恒成立 令()ln 3g x ax x =--，(]0,x e ∈'11()ax g x a xx-=-=11a e≤时，'()0g x ≤恒成立，∴()g x 在(]0,e 上递减，∴min ()()4g x g e ae ==- 由条件知40ae -≥∴4a e≥与1a e <矛盾. 12a e >时，令'()0g x =，∴1x a=当10x a<<时，()'0f x <，此时()f x 为单调递增，当1x e a<<时，()'0f x >，此时()f x 为单调递减，m ax 1()()ln 2g x g a a==-∴ln 20,a -≥即2a e ≥ 18．（本题满分16分）已知曲线C ：2222(-1)120x y ax a y a +---+=.（1）证明：不论a 取何实数，曲线C 必过定点；（2）当1a ≠时，若曲线C 与直线21y x =-相切，求a 的值.；（3）对所有的a R ∈且1a ≠，是否存在直线l 与曲线C 总相切？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由.解：(1)证明:曲线C 的方程可变形为()()22212220x y y x y a ++-+--+=，由222102220x y y x y ⎧++-=⎨--+=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，点()1,0满足C 的方程，故曲线C 过定点()1,0.(2)原方程配方得()()()222121x a y a a -+-+=-;由于1a ≠，所以()2210a ->，所以C 的方程表示圆心是(),1a a -1-的圆.由题意得圆心到直线距离d =1-=，解得9a=（2）法一：由（2）知曲线C 表示圆设圆心坐标为()y x ,，则有1x a y a =⎧⎨=-⎩，消去a 得1y x =-，故圆心必在直线1y x =-上.又曲线C 过定点()1,0，所以存在直线l 与曲线C 总相切，直线l 过点()1,0且与直线1y x =-垂直；∴l 方程为(1)y x =--即1y x =-+法二：假设存在直线l 满足条件，显然l 不垂直于x 轴，设:l y kx b =+圆心到直线距离d =1=-对所有的a R ∈且1a ≠都成立即22222(1)2(21)2(1)(1)0k a k k kb b a k b +-++-+++-+=恒成立∴2222(1)02102(1)(1)0k k k kb b k b ⎧+=⎪++-+=⎨⎪+-+=⎩∴11k b =-⎧⎨=⎩∴存在直线l ：(1)y x =--即1y x =-+与曲线C 总相切.19．（本题满分16分）各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212nn a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.(1)求数列{}n a 的通项公式； （2）若12231111n n k a a a a a a ++++< 恒成立，求k 的取值范围；(3)对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .解：(1)212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，2-1-11,22n n a S n +⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，两式相减得22-111,222n n n a a a n ++⎛⎫⎛⎫=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()()-1-120n n n n a a a a +--=，数列{}n a 的各项均为正数，-12,2n n a a n ∴-=≥，{}n a ∴是公差为2的等差数列， 又21112a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭得11a =，∴21n a n =-. （2）由题意得12231m ax111n n k a a a a a a +⎛⎫>+++⎪⎝⎭ ，()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，12231111111111123352121n n a a a a a a n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭ ∴12k ≥ (3)对任意m N +∈，22212m m n <-<，则121112222m m n --+<<+，而*N n ∈，由题意可知21122m m m b --=-，于是132101112222(222)m m m m S b b b --=+++=+++-+++()2121212221222232121121233m mm m mm+++----⋅+=-=--=--，即2123213m mm S +-⋅+=.20．（本题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当3x =()f x取得极小值9-（1）求函数()f x 的解析式； （2）求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值.（3）设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-），求()g x 的最大值()F t ． 解：（1）()f x 为奇函数，0b d ∴==又由(03f '-=及(39f -=-，得1,1a c =-=3()f x x x ∴=-+当3x <-时，()0f x '<，当33x -<<时()0f x '>()f x ∴在3x =-时取得极小值，3()f x x x ∴=-+为所求（2）方程11()4033f x nx n '--++=化简得： 240x nx n -+=，因为方程仅有整数解，故n 为整数，又由2(4)x n x =-及0n >知，40x ->.又216(4)84(4)xn x x x ==-++--故4x -为16的正约数，所以41,2,4,8,16x -=，进而得到16,18,25n =（3）因为3()|3|,[1,1]g x x tx x =-∈-是偶函数，所以只要求出()g x 在[0,1]上的最大值即可.记3()3h x x tx =-， 22()333()h x x t x t '=-=-，∴（1）0t ≤时，()0h x '≥，()h x 在[0,1]上单调增且()(0)0h x h ≥=.∴()()g x h x =，故()(1)13F t h t ==-.（2）0t >时，由()0h x '=得，x =和x =.1≥即1t ≥时，()h x 在[0，1]上单调减，∴()(0)0h x h ≤=，故()()g x h x =- ()(1)31F t h t =-=-；1<即01t <<时，()h x在,↓↑1<≤114t ≤<时，|||(1)|h h >，∴()2F t h =-=（Ⅱ）当1<，即104t <<时，(1)2h >，∴()(1)13F t h t ==-综上可知，113,41()21431,1t t F t t t t ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩.。
2012年江苏省高三数学预测卷及答案
2012年江苏省高三数学预测卷及答案◎试卷使用说明1、此试卷完全按照2012年江苏高考数学考试说明命题，无超纲内容。
2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩，上下浮动15分左右。
3、若此试卷达120分以上，高考基本可以保底120分；若达85分，只要在下一个阶段继续努力高考可以达96分。
4、此试卷不含理科加试内容。
江苏省2012届高三数学综合检测卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．复数在复平面上对应的点在第象限．2．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是．3．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是．4．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为．（第4题）．5．集合若则．6．阅读如图所示的程序框，若输入的是100，则输出的变量的值是．7．向量，=．8．方程有个不同的实数根．9．设等差数列的前项和为,若≤≤，≤≤，则的取值范围是．10．过双曲线的左焦点，作圆：的切线，切点为，直线交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为．11．若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是．12．如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是．13．已知实数满足，则的最大值为．14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数,如,设,则．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有,求出相应的值,如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．1.四2.63.4.5.{2,3,4}6.50497.8.29.10.11.12.13.414.二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知.（1）求；（2）当，且时，求.解：（1）由已知可得.所以.………………2分因为在中，，所以.………………………………4分（2）因为，所以.………………………………6分因为是锐角三角形，所以，.………………8分所以.11分由正弦定理可得：，所以.…………………………………………14分说明:用余弦定理也同样给分.16．（本题满分14分）如图,是边长为的正方形，平面，，.(1)求证：平面；（2）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面，并证明你的结论.16.(1)证明：因为平面，所以.……………………2分因为是正方形，所以，因为………………4分从而平面.……………………6分（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM ＝BD时，AM∥平面BEF．…………7分取BE上的三等分点N，使3BN＝BE，连结MN，NF，则DE∥MN，且DE＝3MN，因为AF∥DE，且DE＝3AF，所以AF∥MN，且AF＝MN，故四边形AMNF是平行四边形．……………………………………10分所以AM∥FN，因为AM平面BEF，FN平面BEF，…………………………………………12分所以AM∥平面BEF．…………………………………………14分17．（本题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为2，一条准线方程为l：．⑴求椭圆的标准方程；⑵设O为坐标原点，F是椭圆的右焦点，点M是直线l上的动点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值．解：⑴∵椭圆C的短轴长为2，椭圆C的一条准线为l：，∴不妨设椭圆C的方程为．（2分）∴，（4分）即．（5分）∴椭圆C的方程为．（6分）⑵F（1，0），右准线为l：，设，则直线FN的斜率为，直线ON的斜率为，（8分）∵FN⊥OM，∴直线OM的斜率为，（9分）∴直线OM的方程为：，点M的坐标为．（11分）∴直线MN的斜率为．（12分）∵MN⊥ON，∴，∴，∴，即．（13分）∴为定值．（14分）说明:若学生用平面几何知识（圆幂定理或相似形均可）也得分，设垂足为P，准线l与x轴交于Q，则有，又，所以为定值．18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC上(M点和B点不重合)，将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上(点和B点不重合).设∠AMN＝．(1)用表示线段的长度，并写出的取值范围；(2)求线段长度的最小值．解：（1）设，则．（2分）在Rt△MB中，，（4分）∴．（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，∴．（7分）（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）,（9分）＝．（10分）令＝＝．（13分）∵，∴．（14分）当且仅当，时，有最大值，（15分）∴时，有最小值．（16分）19．（本题满分16分）已知,函数.(1)如果实数满足,函数是否具有奇偶性？如果有，求出相应的值；如果没有，说明为什么?(2)如果判断函数的单调性；(3)如果，，且，求函数的对称轴或对称中心.解：（1）如果为偶函数，则恒成立，（1分）即：（2分）由不恒成立，得（3分）如果为奇函数，则恒成立，（4分）即：（5分）由恒成立，得（6分）（2），∴当时,显然在R上为增函数；（8分）当时，，由得得得.（9分）∴当时,,为减函数;（10分）当时,,为增函数.（11分）(3)当时，如果，（13分）则∴函数有对称中心（14分）如果（15分）则∴函数有对称轴.（16分）20．（本题满分16分）已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝c，2Sn＝anan＋1＋r．（1）若r＝－6，数列{an}能否成为等差数列？若能，求满足的条件；若不能，请说明理由．（2）设，，若r＞c＞4，求证：对于一切n∈N*，不等式恒成立．解：（1）n＝1时，2a1＝a1a2＋r，∵a1＝c≠0，∴2c＝ca2＋r，．（1分）n≥2时，2Sn＝anan＋1＋r，①2Sn－1＝an－1an＋r，②①－②，得2an＝an(an＋1－an－1)．∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2．（3分）则a1，a3，a5，…，a2n－1，…成公差为2的等差数列，a2n－1＝a1＋2(n－1)．a2，a4，a6，…，a2n，…成公差为2的等差数列，a2n＝a2＋2(n－1)．要使{an}为等差数列，当且仅当a2－a1＝1．即．r＝c－c2．（4分）∵r＝－6，∴c2－c－6＝0，c＝－2或3．∵当c＝－2，，不合题意，舍去.∴当且仅当时，数列为等差数列（5分）（2）＝a1＋2(n－1)]－a2＋2(n－1)]＝a1－a2＝－2．＝a2＋2(n－1)]－（a1＋2n）＝a2－a1－2＝－()．（8分）∴（9分）．（10分）＝．（11分）∵r＞c＞4，∴＞4，∴＞2．∴0＜＜1．（13分）且＞－1．（14分）又∵r＞c＞4，∴，则0＜．．∴＜1．．∴＜1．（15分）∴对于一切n∈N*，不等式恒成立．（16分）。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．并集及其运算．考点：集合．专题：分由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：合的并集即可解解：答：故答案为点本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：义．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考分层抽样方法．点：专概率与统计．题：分根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本要从高二抽取故答案为：点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案解答：解：由题所以 故故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．循环结构．考点：算法和程序框图．专题：分利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：环 得到结果即可．解解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．评：．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．专函数的性质及应用．题：分根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞答：＞＞＞故答案为：（点本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．点：等差数列与等比数列；概率与统计．专题：分先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：典概论的计算公式即可求解解解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：）其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是故答案为：点本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：试题．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专空间位置关系与距离；立体几何．题：分过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．析：解解：过 作 于 是棱锥的高 所以答：的体积为 ．所以四棱锥 ﹣故答案为： ．点本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．评：．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．双曲线的简单性质．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得建立关于 的方程： 解之得 ．解解： ＞答：双曲线的焦点必在 轴上因此 ＞双曲线的离心率为可得所以 解之得故答案为：点本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解：﹣（）（） ﹣ ﹣故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．解答：解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）（） （﹣） ﹣ （） ；又﹣又 （﹣ ） （ ）由 解得 ﹣ ；﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．解答：解：设﹣（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．故答案为：．点本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．点：直线与圆．专题：分由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：与直线 ﹣ 有公共点即可．解解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为则 即 ﹣．的最大值是．故答案为：．点本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考一元二次不等式的应用．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）答：（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）即为 ＜ 解集为（ ）则 ﹣ 的两个根为﹣解得故答案为：点本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣则的取值范围是 ．导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．考点：导数的综合应用；不等式的解法及应用．专题：分由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由析：可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解解： ﹣ ＞答：＞﹣ ﹣．从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．又＜从而 设函数 （ ） （ ＞ ）（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．（ ） （ ） ．等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．从而的取值范围是 双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．（ ）求证： ；（ ）若 求 的值．解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考点：专三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．题：分（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．解解：（ ）答：即由正弦定理 得：又 ＜ ＜ ＞ ＞在等式两边同时除以 可得 ；（ ） ＜ ＜则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣﹣将 代入得： ﹣整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）解得： 或 ﹣又 ＞又 为三角形的内角则 ．点此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：（ ）平面 平面 ；（ ）直线 平面 ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到平面 从而平面 平面 ；（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ．解答：解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面平面又 、 是平面 内的相交直线平面平面平面 平面 ；（ ） 中 为 的中点平面 平面又 、 是平面 内的相交直线平面又 平面平面 平面直线 平面 ．点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．函数模型的选择与应用．考点：函数的性质及应用．专题：分（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：．由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立即关于 的方程 ﹣ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于故只需 ﹣ （ ） 得 ．此时 ＞ ．当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点．（ ）求 和 的值；（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．考函数在某点取得极值的条件；函数的零点．点：导数的综合应用．专题：分（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．解解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．答：和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣﹣ ．（ ﹣ ） （ ） 解得当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞﹣ 是 （ ）的极值点．当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．（ ）的极值点是﹣ ．（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．此时 （ ） 在（ ）无实根．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断（ ） 在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．现考虑函数 （ ）的零点：（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点．点评： 本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．（ ）若 ﹣ 求直线 的斜率；（ ）求证： 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解． （ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣ 用待定系数法求解；（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得 由此可求得 是定值．解答：（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得 ﹣ ．由点（ ）在椭圆上 得椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得 （﹣ ） （ ）又 直线 与直线 平行 设 与 的方程分别为 ﹣ ．设 （ ） （ ） ＞ ＞由可得（ ）﹣ ﹣ ．（舍）﹣同理（ ）由 得 ﹣解得 ．注意到 ＞ ． 直线 的斜率为．（ ）证明： 直线 与直线 平行即．由点 在椭圆上知 ．同理．由 得．是定值．点本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 评：属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：求证：数列是等差数列；（ ）设且 是等比数列 求 和 的值．（ ）设数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：从（ ）由题意可得而可得 可证（ ）由基本不等式可得 由是等比数列利用反证法可证明 进而可求解答：解：（ ）由题意可知从而数列 是以 为公差的等差数列（ ） ＞ ＞从而（ ）设等比数列 的公比为 由 ＞ 可知 ＞下证若 ＞ 则 故当时与（ ）矛盾＜ ＜ 则 故当时 与（ ）矛盾综上可得 所以数列 是公比的等比数列若 则于是 ＜ ＜又由可得至少有两项相同 矛盾 从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题 选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ 江苏） ． 选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 是圆 的直径 为圆上位于 异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接 ．求证： ．． 选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵 的逆矩阵 求矩阵 的特征值．． 选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．． 选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数 满足： ＜ ﹣ ＜ 求证： ＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法 选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：．要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵 的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵 的特征值．．根据圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：．证明：连接 ．是圆 的直径 （直径所对的圆周角是直角）．（垂直的定义）．又 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．（等腰三角形等边对等角的性质）．又 为圆上位于 异侧的两点（同弧所对圆周角相等）．（等量代换）．、解： 矩阵 的逆矩阵（ ） ﹣ ﹣﹣、解： 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点在 （ ﹣） ﹣中令 得 ． 圆 的圆心坐标为（ ）． 圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为 ．、证明： （ ）﹣（ ﹣ ） ﹣ ＜ ﹣ ＜＜点本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与评：参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ 江苏）设 为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ；当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ．（ ）求概率 （ ）；（ ）求 的分布列 并求其数学期望 （ ）．考离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．点：概率与统计．专题：分（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．析：（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶答：点恰有 条棱共有 对相交棱（ ） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（ ） （ ） ﹣ （ ）﹣ （ ） ．随机变量 的分布列是：其数学期望 （ ） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键． ．（ 分）（ 江苏）设集合 ．记 （ ）为同时满足下列条件的集合 的个数：； 若 则 ； 若 则 ．（ ）求 （ ）；（ ）求 （ ）的解析式（用 表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得符合条件的集合 为：故可求 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为 可知 若 则 为偶数；若 则 为奇数 可求解答：解（ ）当 时符合条件的集合 为：故 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为于是 其中 为奇数由条件可知 若 则 为偶数 若 则 为奇数于是 是否属于 由 是否属于 确定 设是中所有的奇数的集合因此 （ ）等于的子集个数 当 为偶数时（或奇数时）中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012江苏高考数学试卷(含答案)
绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则AB = ▲ ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +为 ▲ ．4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 5．函数()f x =的定义域为 ▲ ．6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于的概率是 ▲ ．★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号（第4题）7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率m 的值为 ▲ ．9．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ． 10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则3a b +的值为 ▲ ．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是▲ ．13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．14．已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指．．．．定区域．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =．DABC1 1D 1A1B（第7题）（第9题）（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5C =求A 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．17．（本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．18．（本小题满分16分）若函数()y f x =在x =x 0取得极大值或者极小值则x =x 0是()y f x =的极值点 已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；1A1C（第16题）FDCABE1B（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．19．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -=1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．20．（本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1nn nb b n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．（第19题）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．．若多做，则按作答的前两题评分． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．★此卷上交考点保存★ 姓名 准考证号（第21-A 题）B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若nP x A ∈，则2nP x A ∉．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．。
(完整版)2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题.每小题5分.共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1.2.4}.B={2.4.6}.则A∪B={1.2.4.6} ．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意.A.B两个集合的元素已经给出.故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1.2.4}.B={2.4.6}.∴A∪B={1.2.4.6}故答案为{1.2.4.6}点评：本题考查并集运算.属于集合中的简单计算题.解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.则应从高二年级抽取15 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比.做出高二所占的比例.用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例.得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4.∴高二在总体中所占的比例是=.∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本.∴要从高二抽取.故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法.本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例.这就是在抽样过程中被抽到的概率.本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a.b∈R.a+bi=（i为虚数单位）.则a+b的值为8 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意.可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i.再由进行计算即可得到a+bi=5+3i.再由复数相等的充分条件即可得到a.b的值.从而得到所求的答案解答：解：由题.a.b∈R.a+bi=所以a=5.b=3.故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算.解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭.复数的四则运算是复数考查的重要内容.要熟练掌握.复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁.解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图.则输出的k的值是 5 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值.判断是否循环.达到满足题目的条件.结束循环.得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0.不满足判断框．则k=2.22﹣10+4=﹣2＞0.不满足判断框的条件.则k=3.32﹣15+4=﹣2＞0.不成立.则k=4.42﹣20+4=0＞0.不成立.则k=5.52﹣25+4=4＞0.成立.所以结束循环.输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用.考查计算能力.注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0.] ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0.真数要大于0.得到不等式组.根据对数的单调性解出不等式的解集.得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0.且x＞0∴.x＞0∴.x＞0.∴.x＞0.∴0.故答案为：（0.]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题.在解题时一般遇到.开偶次方时.被开方数要不小于0.；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0.这种题目的运算量不大.是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数.它们能构成一个以1为首项.﹣3为公比的等比数列.若从这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为.然后找出小于8的项的个数.代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1.﹣3.（﹣3）2.（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1.﹣3.（﹣3）3.（﹣3）5.（﹣3）7.（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数.则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用.属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中.AB=AD=3cm.AA1=2cm.则四棱锥A ﹣BB1D1D的体积为 6 cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O.求出AO.然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O.AO是棱锥的高.所以AO==.所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法.考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.若双曲线的离心率为.则m的值为 2 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0.所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0.可得c2=m2+m+4.最后根据双曲线的离心率为.可得c2=5a2.建立关于m的方程：m2+m+4=5m.解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0.b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为.∴.可得c2=5a2.所以m2+m+4=5m.解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程.在已知离心率的情况下求参数的值.着重考查了双曲线的概念与性质.属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图.在矩形ABCD中.AB=.BC=2.点E为BC的中点.点F在边CD 上.若=.则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形.把已知向量用矩形的边所在的向量来表示.做出要用的向量的模长.表示出要求得向量的数量积.注意应用垂直的向量数量积等于0.得到结果．解答：解：∵.====||=.∴||=1.||=﹣1.∴=（）（）==﹣=﹣2++2=.故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式.本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数.在区间[﹣1.1]上.f （x）=其中a.b∈R．若=.则a+3b的值为﹣10 ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数.由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0.解关于a.b的方程组可得到a.b的值.从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数.f（x）=.∴f（）=f（﹣）=1﹣ a.f（）=；又=.∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1）.∴2a+b=0.②由①②解得a=2.b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性.考查分段函数的解析式的求法.着重考查方程组思想.得到a.b的方程组并求得a.b的值是关键.属于中档题．（2012•江苏）设α为锐角.若cos（α+）=.则sin（2α+）的值为．11．（5分）考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+.根据cosβ求出sinβ.进而求出sin2β和cos2β.最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+.∴sinβ=.s in2β=2sinβcosβ=.cos2β=2cos2β﹣1=.∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下.求2α+的正弦值.着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式.考查了三角函数中的恒等变换应用.属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.若直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1.由题意可知.只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0.整理得：（x﹣4）2+y2=1.即圆C是以（4.0）为圆心.1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点.使得以该点为圆心.1为半径的圆与圆C有公共点.∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4.0）到直线y=kx﹣2的距离为d.则d=≤2.即3k2﹣4k≤0.∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系.将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键.考查学生灵活解决问题的能力.属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.若关于x 的不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.则实数c的值为9 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系.然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m.m+6.最后利用根与系数的关系建立等式.解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a.b∈R）的值域为[0.+∞）.∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根.即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m.m+6）.即为x2+ax+＜c解集为（m.m+6）.则x2+ax+﹣c=0的两个根为m.m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用.以及根与系数的关系.同时考查了分析求解的能力和计算能力.属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a.b.c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a.clnb≥a+clnc.则的取值范围是[e.7] ．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2.而5×﹣3≤≤4×﹣1.于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.利用其导数可求得f （x）的极小值.也就是的最小值.于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞.∵5c﹣3a≤4c﹣a.∴≤2．从而≤2×4﹣1=7.特别当=7时.第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc.∴0＜a≤cln.从而≥.设函数f（x）=（x＞1）.∵f′（x）=.当0＜x＜e时.f′（x）＜0.当x＞e时.f′（x）＞0.当x=e时.f′（x）=0.∴当x=e时.f（x）取到极小值.也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e.=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3.不等式成立.从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e.7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用.得到≥.通过构造函数求的最小值是关键.也是难点.考查分析与转化、构造函数解决问题的能力.属于难题．二、解答题：本大题共6小题.共计90分．请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中.已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=.求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边.然后两边同时除以c 化简后.再利用正弦定理变形.根据cosAcosB≠0.利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角.及cosC的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值.进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值.由tanC的值.及三角形的内角和定理.利用诱导公式求出tan（A+B）的值.利用两角和与差的正切函数公式化简后.将tanB=3tanA代入.得到关于tanA的方程.求出方程的解得到tanA的值.再由A为三角形的内角.利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•.∴cb cosA=3cacosB.即bcosA=3acosB.由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB.又0＜A+B＜π.∴cosA＞0.cosB＞0.在等式两边同时除以cosAcosB.可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=.0＜C＜π.sinC==.∴tanC=2.则tan[π﹣（A+B）]=2.即tan（A+B）=﹣2.∴=﹣2.将tanB=3tanA代入得：=﹣2.整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0.即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0.解得：tanA=1或tanA=﹣.又cosA＞0.∴tanA=1.又A为三角形的内角.则A=．点评：此题属于解三角形的题型.涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则.正弦定理.同角三角函数间的基本关系.诱导公式.两角和与差的正切函数公式.以及特殊角的三角函数值.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中.A1B1=A1C1.D.E分别是棱1上的点（点D 不同于点C）.且AD⊥DE.F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.得到CC1⊥平面ABC.从而AD⊥CC1.结合已知1条件AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线.得到AD⊥平面BCC1B1.从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中.A1F⊥B1C1.再用类似（1）的方法.证出A1F⊥平面BCC1B1.结合AD⊥平面BCC1B1.得到A1F∥AD.最后根据线面平行的判定定理.得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣AB1C1是直三棱柱.1∴CC1⊥平面ABC.∵AD⊂平面ABC.∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE.DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1.∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中.A1B1=A1C1.F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1.∵CC1⊥平面A1B1C1.A1F⊂平面A1B1C1.∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1.∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE.AD⊂平面ADE.∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体.考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点.属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图.建立平面直角坐标系xOy.x轴在地平面上.y轴垂直于地平面.单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上.其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）.其飞行高度为3.2千米.试问它的横坐标a 不超过多少时.炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标.求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值.由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在 y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中.令y=0.得 kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0.k＞0．∴.当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0.∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0.使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立.即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0.两根之积大于0.故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时.k=＞0．∴当a不超过6千米时.炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用.考查基本不等式的运用.考查学生分析解决问题的能力.属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值.则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a.b是实数.1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2.求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c.其中c∈[﹣2.2].求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数.根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x.求出g′（x）.令g′（x）=0.求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由 f（x）=x3+ax2+bx.得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点.∴f′（1）=3﹣2a+b=0.f′（﹣1）=3+2a+b=0.解得a=0.b=﹣3．（2）由（1）得.f（x）=x3﹣3x.∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0.解得x1=x2=1.x3=﹣2．∵当x＜﹣2时.g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时.g′（x）＞0.∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时.g′（x）＞0.∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t.则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况.d∈[﹣2.2]当|d|=2时.由（2 ）可知.f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2.注意到f（x）是奇函数.∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时.∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0.f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0.∴一2.﹣1.1.2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知.f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2.+∞）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数.从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2.+∞）无实根．②当x∈（1.2）时.f′（x）＞0.于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0.f（2）﹣d＞0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（1.2 ）内有唯一实根．同理.在（一2.一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1.1）时.f′（x）＜0.于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0.f（1）﹣d＜0.y=f（x）﹣d的图象不间断.∴f（x）=d在（一1.1 ）内有唯一实根．因此.当|d|=2 时.f（x）=d 有两个不同的根 x1.x2.满足|x1|=1.|x2|=2；当|d|＜2时.f （x）=d 有三个不同的根x3.x4.x5.满足|x i|＜2.i=3.4.5．现考虑函数y=h（x）的零点：（ i ）当|c|=2时.f（t）=c有两个根t1.t2.满足|t1|=1.|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根.f（x）=t2有两个不同的根.故y=h（x）有5 个零点．（ i i ）当|c|＜2时.f（t）=c有三个不同的根t3.t4.t5.满足|t i|＜2.i=3.4.5．而f（x）=t i有三个不同的根.故y=h（x）有9个零点．综上所述.当|c|=2时.函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时.函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用.考查函数的极值.考查函数的单调性.考查函数的零点.考查分类讨论的数学思想.综合性强.难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图.在平面直角坐标系xOy中.椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c.0）.F2（c.0）．已知（1.e）和（e.）都在椭圆上.其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A.B是椭圆上位于x轴上方的两点.且直线AF1与直线BF2平行.AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=.求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1.e）和（e.）.都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my.与椭圆方程联立.求出|AF1|、|BF2|.根据已知条件AF1﹣BF2=.用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行.点B在椭圆上知.可得..由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2.e=.由点（1.e）在椭圆上.得.∴b=1.c2=a2﹣1．由点（e.）在椭圆上.得∴.∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1.0）.F2（1.0）.又∵直线AF1与直线BF2平行.∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my.x﹣1=my．设A（x1.y1）.B（x2.y2）.y1＞0.y2＞0.∴由.可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴.（舍）.∴|AF1|=×|0﹣y1|=①同理|BF2|=②（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|=.∴.解得m2=2．∵注意到m＞0.∴m=．∴直线AF1的斜率为．（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行.∴.即．由点B在椭圆上知..∴．同理．∴PF1+PF2==由①②得...∴PF1+PF2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程.考查直线与椭圆的位置关系.考查学生的计算能力.属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=.n ∈N *.（1）设b n+1=1+.n ∈N*.求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•.n ∈N*.且{a n }是等比数列.求a 1和b 1的值．考点： 数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质． 专题： 等差数列与等比数列． 分析：（1）由题意可得.a n+1===.从而可得.可证（2）由基本不等式可得..由{a n }是等比数列利用反证法可证明q==1.进而可求a 1.b 1解答：解：（1）由题意可知.a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n ＞0.b n ＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q.由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1.则.故当时.与（*）矛盾0＜q＜1.则.故当时.与（*）矛盾综上可得q=1.a n=a1.所以.∵∴数列{b n}是公比的等比数列若.则.于是b1＜b2＜b3又由可得∴b1.b2.b3至少有两项相同.矛盾∴.从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用.解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答.22、23必做题）（共3小题.满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图.AB是圆O的直径.D.E为圆上位于AB异侧的两点.连接BD并延长至点C.使BD=DC.连接AC.AE.DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵.求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中.已知圆C经过点P（.）.圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x.y满足：|x+y|＜.|2x﹣y|＜.求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C.就得找一个中间量代换.一方面考虑到∠B.∠E是同弧所对圆周角.相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵.根据定义可求出矩阵A.从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（.）.求出圆的半径.从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接 AD．∵AB是圆O的直径.∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC.∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D.E 为圆上位于AB异侧的两点.∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵.∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1.λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点.∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0.得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1.0）．∵圆C 经过点P（.）.∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|.|x+y|＜.|2x﹣y|＜.∴3|y|＜.∴点评：本题是选作题.综合考查选修知识.考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明.综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条.当两条棱相交时.ξ=0；当两条棱平行时.ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时.ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列.并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数.即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对.即可求出相应的概率.从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交.则交点必为正方体8个顶点中的一个.过任意1个顶点恰有3条棱.∴共有8对相交棱.∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行.则它们的距离为1或.其中距离为的共有6对.∴P（ξ=）=.P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算.考查离散型随机变量的分布列与期望.求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1.2.….n}.n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A.则2x∉A；③若x∈ A.则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}.故4可求f（4）（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数；若m∉A.则x∈A⇔k为奇数.可求解答：解（1）当n=4时.P={1.2.3.4}.符合条件的集合A为：{2}.{1.4}.{2.3}.{1.3.4}4故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n.将x除以2.若商仍为偶数.再除以2….经过k次后.商必为奇数.此时记商为m.于是x=m•2k.其中m为奇数.k∈N*由条件可知.若m∈A.则x∈A.⇔k为偶数若m∉ A.则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定.设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数.当n为偶数时（或奇数时）.P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用.解题的关键是准确应用题目中的定义。
常州2012届高三二模考试数学试题(含答案)
常州2012届高三二模考试语文试题数学I （正题）一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在相应位置上。
1.设集合(]1,1-=A ，()2,0=B ，则A ∪B ＝ .2.若复数z 满足)1(2i i z +=-（i 为虚数单位），则=z .3.已知双曲线)0(1322>=-m ymx的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 .4.已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2s .5.如图，边长为2的正方形内有一个半径为1的半圆.向正方形内任投一点（假设该点落在正方形内的每一点都是等可能的），则该点落在半圆内的概率为 .6.已知4张卡片（大小，形状都相同）上分别写有1，2，3，4，从中任取2张，则这2张卡片中最小号码是2的概率为 .7.等比数列{}n a 中，若33=a ，246=a ，则8a 的值为 . 8.已知钝角α满足53cos -=α，则)42tan(πα+的值为 .9.已知函数⎩⎨⎧>≤+=-,2,3,2),1()(x x x f x f x则)2(log 3f 的值为 .10.已知点P 在ABC ∆所在平面内，若AB PC PB PA 3432=++，则PAB ∆与PBC ∆的面积的比值为 .11.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若βα//，β⊂m ，α⊂n ，则n m //； （2）若βα//，β⊥m ，α//n ，则n m ⊥； （3）若βα⊥，α⊥m ，β//n ，则n m //； （4）若βα⊥，α⊥m ，β⊥n ，则n m ⊥. 上面命题中，所有真命题的序号为 .12.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在曲线)0(1>=x xy 上，点P 在x 轴上的射影为M .若点P 在直线0=-y x 的下方，当MPOM OP-2取得最小值时，点P 的坐标为 . 13.已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F .设线段AB的中点为M ，若022≥+∙BF MF MA ，则该椭圆离心率的取值范围为 .14.设实数6≤n ，若不等式08)2(2≥--+n x xm 对任意[]2,4-∈x 都成立，则nm n m 344-的最小值为 .二．解答题：本大题共六小题，共计90分。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ ❿江苏）已知集合✌❝❝则 ✌✉❝．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意 ✌两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解： ✌❝❝✌✉❝故答案为 ❝点评：本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定义．（ 分）（ ❿江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 要从高二抽取故答案为： 点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ ❿江苏）设♋♌ ♋♌♓（♓为虚数单位） 则♋♌的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 ♓再由进行计算即可得到♋♌♓♓再由复数相等的充分条件即可得到♋♌的值 从而得到所求的答案解答：解：由题 ♋♌ ♋♌♓所以♋♌故♋♌故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ ❿江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循环 得到结果即可．解答：解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点评：本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断． ．（ 分）（ ❿江苏）函数♐（⌧） 的定义域为（ ．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解答：解：函数♐（⌧） 要满足 ﹣ ♏且⌧＞⌧＞⌧＞ ⌧＞ 故答案为：（ 点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ ❿江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） ⑤（﹣ ） 其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） 共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是 故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础试题．（ 分）（ ❿江苏）如图 在长方体✌﹣✌ 中✌✌♍❍✌✌ ♍❍则四棱锥✌﹣ 的体积为 ♍❍ ．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过✌作✌于 求出✌然后求出几何体的体积即可．解答：解：过✌作✌于 ✌是棱锥的高 所以✌所以四棱锥✌﹣ 的体积为✞ ．故答案为： ．点评：本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力． ．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 若双曲线的离心率为 则❍的值为 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得⍓ 的分母❍ ＞ 所以双曲线的焦点必在⌧轴上．因此♋ ❍＞ 可得♍ ❍ ❍最后根据双曲线的离心率为 可得♍ ♋ 建立关于❍的方程：❍ ❍❍解之得❍．解答：解： ❍ ＞双曲线的焦点必在⌧轴上因此♋ ❍＞ ♌ ❍ ♍ ❍❍ ❍ ❍双曲线的离心率为可得♍ ♋所以❍ ❍❍解之得❍故答案为：点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在矩形✌中 ✌ 点☜为 的中点 点☞在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解： ﹣ （）（） ﹣ ﹣ 故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ ❿江苏）设♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 在区间☯﹣ 上 ♐（⌧） 其中♋♌ ．若 则♋♌的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 由♐（⌧）的表达式可得♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；再由♐（﹣ ） ♐（ ）得 ♋♌解关于♋♌的方程组可得到♋♌的值 从而得到答案．解答：解： ♐（⌧）是定义在 上且周期为 的函数 ♐（⌧） ♐（） ♐（﹣） ﹣♋♐（） ；又﹣♋♊又♐（﹣ ） ♐（ ）♋♌♋由♊♋解得♋♌﹣ ；♋♌﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到♋♌的方程组并求得♋♌的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）设↑为锐角 若♍☐♦（↑） 则♦♓⏹（ ↑）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设↓↑ 根据♍☐♦↓求出♦♓⏹↓进而求出♦♓⏹↓和♍☐♦↓最后用两角和的正弦公式得到♦♓⏹（ ↑）的值．解答：解：设↓↑♦♓⏹↓ ♦♓⏹↓♦♓⏹↓♍☐♦↓ ♍☐♦↓♍☐♦ ↓﹣♦♓⏹（ ↑） ♦♓⏹（ ↑﹣） ♦♓⏹（ ↓﹣） ♦♓⏹↓♍☐♦﹣♍☐♦↓♦♓⏹ ．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角↑的余弦值的情况下 求 ↑的正弦值 着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）在平面直角坐标系⌧⍓中 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣⌧若直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆 的方程为（⌧﹣ ） ⍓ 由题意可知 只需（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．解答：解： 圆 的方程为⌧ ⍓ ﹣ ⌧整理得：（⌧﹣ ） ⍓ 即圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线⍓⌧﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线⍓⌧﹣ 的距离为♎则♎♎即 ﹣ ♎♎♎．的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为❽（⌧﹣ ） ⍓ 与直线⍓⌧﹣ 有公共点❾是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ） 若关于⌧的不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍） 则实数♍的值为 ．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出♋与♌的关系 然后根据不等式的解集可得♐（⌧） ♍的两个根为❍❍最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解答：解： 函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌（♋♌ ）的值域为☯ ）♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌只有一个根 即 ♋ ﹣ ♌则♌不等式♐（⌧）＜♍的解集为（❍❍）即为⌧ ♋⌧＜♍解集为（❍❍）则⌧ ♋⌧﹣♍的两个根为❍❍❍﹣❍ 解得♍故答案为：点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知正数♋♌♍满足： ♍﹣ ♋♎♌♎♍﹣♋♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍则的取值范围是☯♏．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得♎♎而 ﹣ ♎♎﹣ 于是可得♎；由♍ ●⏹ ♌♏♋♍ ●⏹ ♍可得 ＜♋♎♍●⏹ 从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ） 利用其导数可求得♐（⌧）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解答：解： ♍﹣♋♏♌＞＞♍﹣ ♋♎♍﹣♋♎．从而 ♎﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当♋：♌：♍： ： ．又♍●⏹♌♏♋♍●⏹♍＜♋♎♍●⏹从而♏ 设函数♐（⌧） （⌧＞ ）♐（⌧） 当 ＜⌧＜♏时 ♐（⌧）＜ 当⌧＞♏时 ♐（⌧）＞ 当⌧♏时 ♐（⌧） 当⌧♏时 ♐（⌧）取到极小值 也是最小值．♐（⌧）❍♓⏹ ♐（♏） ♏．等号当且仅当 ♏ ♏成立．代入第一个不等式知： ♎ ♏♎不等式成立 从而♏可以取得．等号成立当且仅当♋：♌：♍：♏： ．从而的取值范围是☯♏双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到♏ 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ ❿江苏）在 ✌中 已知．（ ）求证：♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）若♍☐♦ 求✌的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时除以♍化简后 再利用正弦定理变形 根据♍☐♦✌♍☐♦♊利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ）由 为三角形的内角 及♍☐♦的值 利用同角三角函数间的基本关系求出♦♓⏹的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出♦♋⏹的值 由♦♋⏹的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出♦♋⏹（✌）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入 得到关于♦♋⏹✌的方程 求出方程的解得到♦♋⏹✌的值 再由✌为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出✌的度数．解答：解：（ ） ❿ ❿♍♌♍☐♦✌♍♋♍☐♦即♌♍☐♦✌♋♍☐♦由正弦定理 得：♦♓⏹♍☐♦✌♦♓⏹✌♍☐♦又 ＜✌＜⇨♍☐♦✌＞ ♍☐♦＞ 在等式两边同时除以♍☐♦✌♍☐♦可得♦♋⏹♦♋⏹✌；（ ） ♍☐♦ ＜ ＜⇨♦♓⏹♦♋⏹则♦♋⏹☯⇨﹣（✌） 即♦♋⏹（✌） ﹣ ﹣ 将♦♋⏹♦♋⏹✌代入得： ﹣ 整理得： ♦♋⏹ ✌﹣ ♦♋⏹✌﹣ 即（♦♋⏹✌﹣ ）（ ♦♋⏹✌） 解得：♦♋⏹✌或♦♋⏹✌﹣又♍☐♦✌＞ ♦♋⏹✌又✌为三角形的内角则✌．点评：此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在直三棱柱✌﹣✌ 中 ✌ ✌ ☜分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且✌☜☞为 的中点．求证：（ ）平面✌☜平面 ；（ ）直线✌ ☞平面✌☜．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（ ）根据三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 得到 平面✌从而✌ 结合已知条件✌☜☜、 是平面 内的相交直线 得到✌平面 从而平面✌☜平面 ；（ ）先证出等腰三角形 ✌ 中 ✌ ☞ 再用类似（ ）的方法 证出✌ ☞平面 结合✌平面 得到✌ ☞✌最后根据线面平行的判定定理 得到直线✌ ☞平面✌☜．解答：解：（ ） 三棱柱✌﹣✌ 是直三棱柱 平面✌✌②平面✌✌又 ✌☜☜、 是平面 内的相交直线✌平面 ✌②平面✌☜平面✌☜平面 ；（ ） ✌ 中 ✌ ✌ ☞为 的中点✌ ☞ 平面✌ ✌ ☞②平面✌✌ ☞又 、 是平面 内的相交直线✌ ☞平面 又 ✌平面 ✌ ☞✌✌ ☞④平面✌☜✌②平面✌☜直线✌ ☞平面✌☜．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）如图 建立平面直角坐标系⌧⍓⌧轴在地平面上 ⍓轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标♋不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（ ）求炮的最大射程即求 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）与⌧轴的横坐标 求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（ ）在 ⍓⌧﹣（ ）⌧ （ ＞ ）中 令⍓得 ⌧﹣（ ）⌧ ．由实际意义和题设条件知⌧＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ♋＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ♋﹣（ ）♋ 成立即关于 的方程♋ ﹣ ♋♋ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于 故只需 ♋ ﹣ ♋ （♋ ）♏得♋♎．此时 ＞ ．当♋不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）若函数⍓♐（⌧）在⌧⌧ 处取得极大值或极小值 则称⌧ 为函数⍓♐（⌧）的极值点．已知♋♌是实数 和﹣ 是函数♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧的两个极值点．（ ）求♋和♌的值；（ ）设函数♑（⌧）的导函数♑（⌧） ♐（⌧） 求♑（⌧）的极值点；（ ）设♒（⌧） ♐（♐（⌧））﹣♍其中♍ ☯﹣ 求函数⍓♒（⌧）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（ ）由（ ）得♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧求出♑（⌧） 令♑（⌧） 求解讨论即可．（ ）先分 ♎和 ♎＜ 讨论关于的方程♐（⌧） ♎的情况；再考虑函数⍓♒（⌧）的零点．解答：解：（ ）由 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧ ♌⌧得 ♐（⌧） ⌧ ♋⌧♌． 和﹣ 是函数♐（⌧）的两个极值点♐（ ） ﹣ ♋♌♐（﹣ ） ♋♌解得♋♌﹣ ．（ ）由（ ）得 ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧♑（⌧） ♐（⌧） ⌧ ﹣ ⌧（⌧﹣ ） （⌧） 解得⌧ ⌧ ⌧ ﹣ ．当⌧＜﹣ 时 ♑（⌧）＜ ；当﹣ ＜⌧＜ 时 ♑（⌧）＞ ﹣ 是♑（⌧）的极值点．当﹣ ＜⌧＜ 或⌧＞ 时 ♑（⌧）＞ 不是♑（⌧） 的极值点．♑（⌧）的极值点是﹣ ．（ ）令♐（⌧） ♦则♒（⌧） ♐（♦）﹣♍．先讨论关于⌧的方程♐（⌧） ♎根的情况 ♎ ☯﹣ 当 ♎时 由（ ）可知 ♐（⌧） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到♐（⌧）是奇函数♐（⌧） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ♎＜ 时 ♐（﹣ ）﹣♎♐（ ）﹣♎﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎♐（﹣ ）﹣♎﹣ ﹣♎＜ 一 ﹣ 都不是♐（⌧） ♎ 的根．由（ ）知 ♐（⌧） （⌧）（⌧﹣ ）．♊当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数 从而♐（⌧）＞♐（ ） ．此时♐（⌧） ♎在（ ）无实根．♋当⌧ （ ）时 ♐（⌧）＞ 于是♐（⌧）是单调增函数．又 ♐（ ）﹣♎＜ ♐（ ）﹣♎＞ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．♌当⌧ （﹣ ）时 ♐（⌧）＜ 于是♐（⌧）是单调减函数．又 ♐（﹣ ）﹣♎＞ ♐（ ）﹣♎＜ ⍓♐（⌧）﹣♎的图象不间断♐（⌧） ♎在（一 ）内有唯一实根．因此 当 ♎ 时 ♐（⌧） ♎ 有两个不同的根 ⌧ ⌧ 满足 ⌧ ⌧ ；当 ♎＜ 时 ♐（⌧） ♎ 有三个不同的根⌧ ⌧ ⌧ 满足 ⌧♓ ＜ ♓．现考虑函数⍓♒（⌧）的零点：（ ♓ ）当 ♍时 ♐（♦） ♍有两个根♦ ♦ 满足 ♦ ♦ ．而♐（⌧） ♦ 有三个不同的根 ♐（⌧） ♦ 有两个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．（ ♓ ♓ ）当 ♍＜ 时 ♐（♦） ♍有三个不同的根♦ ♦ ♦ 满足 ♦♓ ＜ ♓．而♐（⌧） ♦♓有三个不同的根 故⍓♒（⌧）有 个零点．综上所述 当 ♍时 函数⍓♒（⌧）有 个零点；当 ♍＜ 时 函数⍓♒（⌧）有 个零点．点评：本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ ❿江苏）如图 在平面直角坐标系⌧⍓中 椭圆（♋＞♌＞ ）的左、右焦点分别为☞ （﹣♍） ☞ （♍）．已知（ ♏）和（♏）都在椭圆上 其中♏为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设✌是椭圆上位于⌧轴上方的两点 且直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 ✌☞ 与 ☞ 交于点 ．（♓）若✌☞ ﹣ ☞ 求直线✌☞ 的斜率；（♓♓）求证： ☞ ☞ 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ♏）和（♏） 都在椭圆上列式求解．（ ）（♓）设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣ ❍⍓与椭圆方程联立求出 ✌☞ 、 ☞ 根据已知条件✌☞ ﹣ ☞ 用待定系数法求解；（♓♓）利用直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 点 在椭圆上知 可得由此可求得 ☞ ☞ 是定值．解答：（ ）解：由题设知♋ ♌ ♍ ♏ 由点（ ♏）在椭圆上 得♌♍ ♋ ﹣ ．由点（♏）在椭圆上 得♋ 椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得☞ （﹣ ） ☞ （ ）又 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 设✌☞ 与 ☞ 的方程分别为⌧❍⍓⌧﹣❍⍓．设✌（⌧ ⍓ ） （⌧ ⍓ ） ⍓ ＞ ⍓ ＞ 由 可得（❍ ）﹣ ❍⍓ ﹣ ．（舍）✌☞ ﹣⍓ ♊同理 ☞ ♋（♓）由♊♋得 ✌☞ ﹣ ☞ 解得❍ ． 注意到❍＞ ❍．直线✌☞ 的斜率为．（♓♓）证明： 直线✌☞ 与直线 ☞ 平行 即．由点 在椭圆上知 ． 同理．☞ ☞由♊♋得☞ ☞ ． ☞ ☞ 是定值．点评：本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 属于中档题．．（ 分）（ ❿江苏）已知各项均为正数的两个数列 ♋⏹❝和 ♌⏹❝满足：♋⏹ ⏹ ☠✉（ ）设♌⏹ ⏹ ☠✉求证：数列是等差数列；（ ）设♌⏹ ❿ ⏹ ☠✉且 ♋⏹❝是等比数列 求♋ 和♌ 的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（ ）由题意可得 ♋⏹ 从而可得可证（ ）由基本不等式可得 由 ♋⏹❝是等比数列利用反证法可证明❑ 进而可求♋ ♌解答：解：（ ）由题意可知 ♋⏹从而数列 ❝是以 为公差的等差数列（ ） ♋⏹＞ ♌⏹＞从而（✉）设等比数列 ♋⏹❝的公比为❑由♋⏹＞ 可知❑＞下证❑若❑＞ 则 故当时 与（✉）矛盾＜❑＜ 则 故当时 与（✉）矛盾综上可得❑♋⏹ ♋所以数列 ♌⏹❝是公比的等比数列若 则 于是♌ ＜♌ ＜♌又由可得♌ ♌ ♌ 至少有两项相同 矛盾从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题☎选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ ❿江苏）✌．☯选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 ✌是圆 的直径 ☜为圆上位于✌异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接✌✌☜☜．求证： ☜ ．．☯选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵✌的逆矩阵 求矩阵✌的特征值．．☯选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．．☯选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数⌧⍓满足： ⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜ 求证： ⍓＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法☎选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：✌．要证 ☜ 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 ☜是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵✌的逆矩阵 根据定义可求出矩阵✌从而求出矩阵✌的特征值．．根据圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：✌．证明：连接 ✌．✌是圆 的直径 ✌（直径所对的圆周角是直角）． ✌（垂直的定义）．又 ✌是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．✌✌（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）． （等腰三角形等边对等角的性质）．又 ☜ 为圆上位于✌异侧的两点 ☜（同弧所对圆周角相等）．☜ （等量代换）．、解： 矩阵✌的逆矩阵 ✌♐（↖） ↖ ﹣ ↖﹣ ↖ ﹣ ↖ 、解： 圆心为直线⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣与极轴的交点在⇧♦♓⏹（→﹣） ﹣中令→得⇧． 圆 的圆心坐标为（ ）．圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为⇧♍☐♦→．、证明： ⍓⍓（⌧⍓）﹣（ ⌧﹣⍓） ♎⌧⍓⌧﹣⍓⌧⍓＜ ⌧﹣⍓＜⍓＜点评：本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ ❿江苏）设↘为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ↘；当两条棱平行时 ↘的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时↘．（ ）求概率 （↘）；（ ）求↘的分布列 并求其数学期望☜（↘）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶点恰有 条棱共有 对相交棱（↘） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（↘） （↘） ﹣ （↘）﹣ （↘） ．随机变量↘的分布列是：↘其数学期望☜（↘） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键．．（ 分）（ ❿江苏）设集合 ⏹ ⑤⏹❝⏹ ☠✉．记♐（⏹）为同时满足下列条件的集合✌的个数：♊✌⑥⏹；♋若⌧ ✌则 ⌧⇧✌；♌若⌧ ✌则 ⌧⇧✌．（ ）求♐（ ）；（ ）求♐（⏹）的解析式（用⏹表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故可求♐（ ）（ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数；若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数 可求解答：解（ ）当⏹时 ❝符合条件的集合✌为：❝❝❝❝故♐（ ） （ ）任取偶数⌧ ☐⏹ 将⌧除以 若商仍为偶数 再除以 ⑤经过 次后 商必为奇数 此时记商为❍于是⌧❍❿ 其中❍为奇数 ☠✉由条件可知 若❍ ✌则⌧ ✌为偶数若❍⇧✌则⌧ ✌为奇数于是⌧是否属于✌由❍是否属于✌确定 设✈⏹是 ⏹中所有的奇数的集合因此♐（⏹）等于✈⏹的子集个数 当⏹为偶数时（或奇数时） ⏹中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷
江苏省常州市教育学会学业水平监测2012届高三数学试卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B ) = P(A) +P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么P(A2B) =P(A)2P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k knn P P C k P )1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式S 锥体侧=cl21其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长球的体积公式V 球=34πR3其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（文科学生做）已知α为第四象限角，则π+α为（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角（理科学生做）设复数z 1=1+i ，z 2= -3+i ，则z=12z z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．一个多面体的各个面都是五边形，且每个顶点出发有三条棱，这个多面体是（）A ．六面体B ．八面体C ．十面体D ．十二面体3．对于一组数据i x (i=1，2，3，,，n)，如果将它们改变为i x -c(i=1，2，3，,，n)，其中c0，则下面结论中正确的是（）A ．平均数与方差均不变B ．平均数不变，而方差变了C ．平均数变了，而方差保持不变D ．平均数与方差均发生了变化4．设1(1,)2OM，(0,1)ON ，则满足条件0≤OP OM ≤1，0≤OP ON ≤1的动点P的变动范围（图中阴影部分，含边界）是（）A21O y x1B2 1 O yx1D-21 O yx1C21 Oyx 15．函数2yx的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这两个定点间的距离为（）A ．8 B ．42C ．4 D ．226．某农场，可以种植水果、蔬菜、稻米、甘蔗等农作物，且产品全部供应距农场d km的中心城市，其产销资料如下表所示：当距离d 达到nkm 以上时，四种农作物中以种植稻米的经济效益最高（注经济效益＝市场售价－生产成本－运输成本）．则n 的值为（）A ．50B ．70C ．250D ．3207．若数列{}n a 是等差数列，首项a 1＜0，a 4+a 2005＜0，a 10042a 1005＜0，则使前n 项和S n＜0成立的最大自然数n 可以是（）A ．2005 B ．2006 C ．2007D ．20088．如图，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱1AA 、1BB 、1CC 的长度分别为10m 、15m 、30m ，则立柱1DD 的长度是（）A ．30mB ．25mC ．20mD ．15m9．（文科学生做）已知8()a xx展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（）A ．1或83B ．1或82C ．82D ．83（理科学生做）设12)310(n （n ∈N ）的整数部分和小数部分分别为I n 和F n ，则F n (F n +I n )的值为（）A ．1B ．2C ．4D ．与n 有关的数10．椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径忽略不计）从点A 沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A 时，小球经过的路程是（）水果蔬菜稻米甘蔗市场价格（元/ kg ）8 3 2 1 生产成本（元/ kg ）3 2 1 0.4 运输价格（元/ kg2km ）0.06 0.02 0.01 0.01 单位面积相对产量（kg ）10154030作物项目ABCDA 1B 1C 1D 1A ．4aB ．2(a-c)C ．2(a+c)D ．4a 或2(a-c)或2(a+c)11．已知2432()34,(())318506948f x xx f g x xxxx ，那么整系数多项式函数)(x g 的各项系数和为（）A ．10B ．9C ．8D ．1112．平行移动抛物线x 2= -3y ，使它的顶点总在抛物线x 2=y 上，这样得到的抛物线所经过的区域是（）A ．xOy 平面B ．y ≤212xC ．y ≥-212xD ．y ≤-212x第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本；已知从女学生中抽取的人数为40人，则n= ．14．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，f ：A →A 。
1483-江苏省常州市武进区2012届高三上学期期中考试数学试卷,
2012届常州市武进区高三上学期期中考试数学卷高三数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共7 0分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1.已知集合若则▲ .2.已知平面向量且则▲ .3.函数的定义域为▲ .41.已知函数若则▲ .5.若二次函数满足且则实数的取值范围是▲ .6.满足不等式组则目标函数的最大值为▲ .7.若规定：例如：则函数的奇偶性为▲ .8.等差数列前项和为若则▲ .9.在中，若则面积的最大值为▲ .10.若的最小值为-2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为又图像过点则其解析式是▲ .11.若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象，则称为“可连数”；如：32是“可连数”，因为不产生进位现象，23不是“可连数”，因为产生进位现象，那么自然数中小于100的“可连数”的个数为▲ .12. 已知定义在上偶函数且当时有则不等式解集为▲ .13. 已知且则的最小值是▲ .14. 已知集合定义函数且点若AABC 的内切圆圆心为且则下列结论正确的有____▲ .（填上你认为正确的命题的序号）①必是等腰三角形；②必是直角三角形；③满足条件的实数有3个；④满足条件的函数有l2个.二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.在平面直角坐标系中，已知点其中(1)若求证：(2)若求的值.16.（本题满分14分）设函数(1)求的单调区间；(2)证明：对任意的都有17.（本题满分14分）我们将具有下列性质的所有函数组成集合函数对任意均满足当且仅当时等号成立。
(1)若定义在上的函数试比较与大小；(2)给定两个函数：证明：(3)试利用(2)的结论解决下列问题：若实数满足求的最大值。
18.（本题满分16分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）.现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完.(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？19.（本题满分16分）已知数列是等差数列，(1)判断数列是否是等差数列，并说明理由；(2)如果为常数），试写出数列的通项公式；(3)在(2)的条件下，若数列得前项和为，问是否存在这样的实数使当且仅当时取得最大值。
江苏省常州一中2012届高三上学期期中考试数学(理)试卷
2011—2012学年度第一学期高三数学试卷(理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 1． 已知集合{}1A =，{}19B =, ，则A B =▲ 。
2． 已知复数z 的实部为1-，模为2,则复数z的虚部是 ▲ 。
3． 命题：“0x ∃>，sin x x ≤”的否定是 ▲ 。
4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x=图象的交点横坐标为α，则tan α的值为▲ .5． 已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时,()1f x =，则不等 式2()(0)f xx f -<的解集为 ▲ .6． 已知数列{}na 与{}23na+均为等比数列，且11a=，则168a=▲ . 7． 若集合{}22011xx <()a ⊆-∞, ，则整数a 的最小值为 ▲ 。
8． 如图，iN 表示第i 个学生的学号,iG 表示第i 个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337，则打印出的第5组数据是 ▲ 。
9． “tan 0α=,且tan 0β=”是“tan()0αβ+=”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要"、“必要不充分”、“充分必要"、“既不充分也不必要”中选填一种） 10．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+,当123k =⋅⋅⋅, , , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n =++， 4323111424S n n n =++，5434111152330S n n n n =++-,6542515212S An n n Bn =+++，⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ . 11．如图，三次函数32y ax bx cx d=+++的零点为112-, , ，则该函数的单调减区间为 ▲ .12．已知函数e xy =的图象在点(e )ka ka , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为（第11题图）1k a +，其中*k ∈N ，10a=,则135a aa ++=▲ .13．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2,点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且 1MN ≤,则OM ON ⋅的取值范围是 ▲ .14．已知偶函数f ：→Z Z 满足(1)1f =，(2011)1f ≠，对任意的a b ∈Z 、,都有()f a b +≤{}max ()()f a f b , ，(注:{}max x y , 表示x y , 中较大的数)，则(2012)f 的可能值是▲ 。
2012高三,苏州、无锡、常州镇一模数学真题
江苏高三第一次模拟考试数学卷2012.31.已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A .2.已知复数i z 21-=（i 为虚数单位），则=2z .3.已知命题:p 直线a ，b 相交，命题:q 直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的 条件.4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d （单位：千米）.由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为 .5.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值=x .Read xIf 0≥x Then 13)(2--←x x x f Else)5(l o g )(2+←x x f End If Print )(x f6.已知角α（πα20<≤）的终边过点)32cos,32(sin ππP ，则=α .7.写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数=)(x f .8.已知点M 与双曲线191622=-yx的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程为 .9.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m a =，则满足5<的概率为 .10.等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11.已知a ，b 为正实数，函数x bx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在[]0,1-上的最小值为 .12.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .13.设)(n u 表示正整数n 的个位数，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 .14.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .二．解答题：本大题共6小题，共90分。
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的切线恒过定点 P，则点 P 的坐标为____________．
10. 对于函数 y＝f(x)(x∈R)，给出下列命题：
① 在同一直角坐标系中，函数 y＝f(1－x)与 y＝f(x－1)的图象关于直线 x＝0 对称；
② 若 f(1－x)＝f(x－1)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称；
所以平面 CEF⊥平面 ABC.(14 分) 17. 解：(1) n＝1 时，8a1＝a21＋4a1＋3，a1＝1 或 a1＝3.(2 分) 当 n≥2 时，8Sn－1＝a2n－1＋4an－1＋3，an＝Sn－Sn－1＝18(a2n＋4an－a2n－1－4an－1)， 从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0. 因为{an}各项均为正数，所以 an－an－1＝4.(6 分) 所以，当 a1＝1 时，an＝4n－3；当 a1＝3 时，an＝4n－1. 又因为当 a1＝1 时，a1，a2，a7 分别为 1,5,25，构成等比数列， 所以 an＝4n－3，bn＝5n－1. 当 a1＝3 时，a1，a2，a7 分别为 3,7,27，不构成等比数列，舍去．(10 分)
1. 1
2. －1＋2i 2
3. 3 3
4. 700
5. 2 3
6. π
7.
6 3
8.
3 2n
9.
3，－1 22
10. ③④
3 11. (－∞，－ 3](开区间也对)
12. 2 2
13. a≥－17
12
15. 解：(1) |a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2，(4 分)
因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2.
5. 用 3 种不同的颜色给图中的 3 个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则 3 个矩形 中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是____________．
x＋π
x＋π
6. 函数 f(x)＝cos 2 ·cos 6 的最小正周期为______________．
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)的右顶点为 A，上顶点为 B，
4 (2) 满足条件的 a 存在，a＝ 5.(12 分) 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而 an－logabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.
4 由题意，得 4－loga5＝0，所以 a＝ 5.(14 分) 18. (1) 解：圆心 C(m,0)(－1＜m＜1)，则⊙C 的半径为 r＝ 1－m2. 从而⊙C 的方程为(x－m)2＋y2＝1－m2.(2 分) 椭圆 D 的标准方程为b2x＋2 1＋yb22＝1.(4 分) (2) 证明：当 b＝1 时，椭圆 D 的方程为x2＋y2＝1.
.
k，fx≤k
若函数
f(x)＝log3|x|，则当
k＝1时，函数 3
fk(x)的单调减区间为____________．
12. 已知△ABC 中，AB 边上的高与 AB 边的长相等，则AC＋BC＋ AB2 的最大值为 BC AC BC·AC
______________．
13. 已知函数 f(x)＝2x(x∈R)，且 f(x)＝g(x)＋h(x)，其中 g(x)为奇函数，h(x)为偶函数．若
当 m＋1＝0，即 m＝－1 时，显然不成立，
m＋1＞0
从而
，(12 分)
m2－4m＋1m－1＜0
m＞－1
解得 m＞2 3或 m＜－2 3
3
3
，所以 m＞2 3.(14 分) 3
16. 证明：(1) 如图，取 BC 中点 M，连结 FM，C1M.
在△ABC 中，因为 F、M 分别为 BA、BC 的中点，
4x 4y x＋y
【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共 20 分．解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤．
22. 已知斜率为 k(k≠0)的直线 l 过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 且交此抛物线于 A、B 两
点．设线段 AB 的中点为 M. (1) 求点 M 的轨迹方程；
因为∠A1AC＝60°，所以 AO＝12AA1＝12AC， 从而 O 为 AC 的中点．(8 分)
所以 OC A1E，因而 EC A1O.(10 分) 因为侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，交线为 AC，A1O⊥AC， 所以 A1O⊥底面 ABC. 所以 EC⊥底面 ABC.(12 分)
又因为 EC 平面 EFC，
l θ－π 满足θ＝tan 4 时，招贴画最优美．
20. (本小题满分 16 分) 设 a 为实数，函数 f(x)＝x|x2－a|. (1) 当 a＝1 时，求函数 f(x)在区间[－1,1]上的最大值和最小值； (2) 求 f(x)的单调区间.
2012 届高三调研测试试卷(六) 数学附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】 在 A、B、C、D 四小题中只能选做两小题，每小题 10 分，共 20 分．若 多做，则以前两题计分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修 41：几何证明选讲 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，延长 BC 边上的高 AD 交⊙O 于点 E，H 为△ABC 的垂 心． 求证：DH＝DE.
2012 届高三调研测试试卷(六)
数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟)
2012．1
一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
1. 已知集合 A＝{－1,0,2}，B＝{2a}，若 B A，则实数 a 的值为____________．
2. 若－z ·z＋z＝15＋2i(i 为虚数单位)，则复数 z＝____________. 4
证明如下：设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由题意，得 N(x1，－y1)，x1≠x2，y1≠±y2. 从而直线 PQ 的方程为(y2－y1)x－(x2－x1)y＋x2y1－x1y2＝0.
令 y＝0，得 xM＝x1y2－x2y1. y2－y1
又直线 QN 的方程为(y2＋y1)x－(x2－x1)y－x1y2－x2y1＝0.
17. (本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项的和为 Sn，满足 8Sn＝a2n＋4an＋3(n∈N*)，且 a1， a2，a7 依次是等比数列{bn}的前三项． (1) 求数列{an}及{bn}的通项公式； (2) 是否存在常数 a＞0 且 a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．
B. 选修 42：矩阵与变换
24
求矩阵 M＝
的特征值及对应的特征向量．
1 －1
C. 选修 44：坐标系与参数方程 θ－π
在极坐标系中，O 为极点，求过圆 C：ρ＝6cos 3 的圆心 C 且与直线 OC 垂直的直线 l 的极坐标方程．
D. 选修 45：不等式选讲 已知 x、y 均为正实数，求证： 1 ＋ 1 ≥ 1 .
演算步骤．
15. (本小题满分 14 分)
已知 m、x∈R，向量 a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．
(1) 当 m＞0 时，若|a|＜|b|，求 x 的取值范围；
(2) 若 a·b＞1－m 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围．
16.(本小题满分 14 分) 如图，斜三棱柱 A1B1C1ABC 中，侧面 AA1C1C⊥底面 ABC，侧面 AA1C1C 是菱形，∠A1AC ＝60°，E、F 分别是 A1C1、AB 的中点．求证： (1) EF∥平面 BB1C1C； (2) 平面 CEF⊥平面 ABC.
于点 L，试判断O→M·O→L是否为定值？并证明你的结论．
19. (本小题满分 16 分) 如图是一幅招贴画的示意图，其中 ABCD 是边长为 2a 的正方形，周围是四个全等的弓 形．已知 O 为正方形的中心，G 为 AD 的中点，点 P 在直线 OG 上，弧 AD 是以 P 为圆心、 PA 长为半径的圆的一部分，OG 的延长线交弧 AD 于点 H.设弧 AD 的长为 l，∠APH＝θ， π，3π θ∈ 4 4 . (1) 求 l 关于θ的函数关系式； (2) 定义比值OP为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ
2 设椭圆 D 上任意一点 S(x1，y1)，则x221＋y21＝1，y21＝1－x221. 因为 SC2＝(x1－m)2＋y21＝(x1－m)2＋1－x221＝12(x1－2m)2＋1－m2(6 分) ≥1－m2＝r2， 所以 SC≥r. 从而椭圆 D 上的任意一点都不在⊙C 的内部．(8 分)
(3) 解：O→M·O→L＝b2＋1 为定值．(9 分)
m 为常数，m＜1
(2) 若－2＜k＜－1 时，点 M 到直线 l′：3x＋4y－m＝0
3 的距离总不
小于1，求 m 的取值范围． 5
23.已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋ an (n∈N*)．用数学归纳法证明：an＜an＋ 1＋an
1(n∈N*)．
2012 届高三调研测试试卷(六)(常州) 数学参考答案及评分标准
18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2＋y2＝1 与 x 轴正半轴的交点为 F，AB 为该圆的一 条弦，直线 AB 的方程为 x＝m.记以 AB 为直径的圆为⊙C.记以点 F 为右焦点，短半轴长为 b(b＞0，b 为常数)的椭圆为 D. (1) 求⊙C 和椭圆 D 的标准方程； (2) 当 b＝1 时，求证：椭圆 D 上的任意一点都不在⊙C 的内部； (3) 已知点 M 是椭圆 D 的长轴上异于顶点的任意一点，过点 M 且与 x 轴不垂直的直线 交椭圆 D 于 P、Q 两点(点 P 在 x 轴上方)，点 P 关于 x 轴的对称点为 N，设直线 QN 交 x 轴