26.整式的除法(提高)知识讲解

整式的除法（提高）
【学习目标】
1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．
2. 会进行单项式除以单项式的计算．
3. 会进行多项式除以单项式的计算．
【要点梳理】
【高清课堂399108 整式的除法 知识要点】
要点一、同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）
要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.
（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.
（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.
（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.
要点二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01a =（a ≠0）
要点诠释：底数a 不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.
要点三、单项式除以单项式法则
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出
现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.
（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组
合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.
要点四、多项式除以单项式法则
多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++
要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实
质是将它分解成多个单项式除以单项式.
（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变
化.
【典型例题】
类型一、同底数幂的除法
【高清课堂399108 整式的除法 例1】
1、计算下列各题：
（1）5()()x y x y -÷- （2）125
(52)(25)a b b a -÷-
（3）6462(310)(310)⨯÷⨯ （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷- 【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽可能地去变偶次幂的底数，如1212(52)(25)a b b a -=-．（2）注意指数为1的多项式．如x y -的指数为1，而不是0．
【答案与解析】
解：（1）5514()()()
()x y x y x y x y --÷-=-=-． （2）1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-
（3）64626426212(310)(310)(310)
(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯． （4）3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-．
【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．
【高清课堂 整式的除法 例2】
2、已知32m =，34n =，求129
m n +-的值． 【答案与解析】
解： 12122222222
122224444
9(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m n n n n n n n ++++-======． 当32m
=，34n =时，原式224239464⨯==． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ，3n 的式子，再代入求值．本
题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：
【高清课堂 整式的除法 例3】
【变式】已知2552m m ⨯=⨯，求m 的值．
【答案】
解：由2552m m ⨯=⨯得1152m m --=，即11521m m --÷=，1512m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，
∵ 底数52
不等于0和1，
∴ 10
5522m -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即10m -=，1m =． 类型二、单项式除以单项式
3、先化简，再求值．
455232334745525774183682
x y z xy z x y z x y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷---÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中1x =-，2y =-，3z =．
【答案与解析】
解：原式4152513233141745535774182682
x y z x y z x y z y z ---++⎛⎫⎛⎫=-⨯÷---⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 33432345745557712622x y z x y z x y z y z ⎛⎫=-
÷-+÷ ⎪⎝⎭ 3332434547556125
x y z x y z -----=⨯+ 042421122x yz x yz yz x yz =+=+． 当1x =-，2y =-，3z =时，
424211(2)3(1)(2)33182122
yz x yz +=⨯-⨯+-⨯-⨯=--=-． 【总结升华】这道单项式的混合运算比较繁琐，在运算中一定要抓住两个要点，即同底数幂相乘，同底数幂相除，还要注意系数和符号的运算千万不要弄错．
类型三、多项式除以单项式
4、计算：
（1）23233
421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡
⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷；
（3）5433
[2()3()()][2()]a b a b a b a b +-++--÷+．
【思路点拨】（1）（2）将被除式先化简后再进行除法计算．（3）中()a b +看作一个整体，然后再按多项式除以单项式的法则计算．
【答案与解析】
解：（1）原式223239421922792x y
x x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭ 52
510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-．
（2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷5463x y =
-． （3）原式5433[2()3()()][2()]a b a b a b a b =+-+-+÷+
5343332()2()3()2()()2()a b a b a b a b a b a b =+÷+-+÷+-+÷+
231()()22
a b a b =+-+-． 【总结升华】（1）混合运算时要注意运算顺序，注意其中括号所起的作用．（2）在解题时应注意整体思想的应用，如第（3）题．
举一反三：
【变式】先化简，再求值．
（1）22224[(2)()()5]2x y x y x y y y +-+--÷，其中2x =-，14y =
； （2）已知210x y -=，求222[()()2()]4x y x y y x y y +--+-÷的值．
【答案】
解：（1）原式224244
[44()5]2x xy y x y y y =++---÷ 224244(445)2x xy y x y y y =++-+-÷ 2422xy y xy =÷=．
当2x =-，14y =
时，原式12(2)14=⨯-⨯=-． （2）原式22222(222)4x y x xy y xy y y =+-+-+-÷
2(42)4xy y y =-÷
12
x y =-． 由已知210x y -=，得152x y -=，即152
x y -=．
5、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求
这个多项式．
【答案与解析】
解：所求的多项式为
2322
a a a a a a a a a a
+-+++=+-++-++
(43)(21)282864328
32
=++．
a a
295
【总结升华】本题的关键是明确“除式、被除式、商式和余式”的关系：被除式＝除式×商式＋余式，应牢记这一关系式．。