五邑大学-甘俊英-信号与系统-课后习题-答案
《信号与系统》课后习题参考答案
《信号与系统》课后习题参考答案第二章 连续信号与系统的时域分析2-9、（1）解：∵系统的微分方程为：)(2)(3)(t e t r t r '=+'，∴r(t)的阶数与e(t) 的阶数相等，则h(t)应包含一个)(t δ项。
又∵系统的特征方程为：03=+α，∴特征根3-=α∴)()(2)(3t u Ae t t h t -+=δ∴)]()(3[)(2)(33t e t u e A t t h t t δδ--+-+'=')()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'=-将)(t h 和)(t h '代入微分方程（此时e(t)= )(t δ），得：)()(3)(23t A t u Ae t t δδ+-'-+3)(2)]()(2[3t t u Ae t t δδ'=+-∴A=-6则系统的冲激响应)(6)(2)(3t u et t h t --=δ。
∴⎰⎰∞--∞--==t td ue d h t g τττδτττ)](6)(2[)()(3⎰∞-=t d ττδ)(2⎰∞---t d u e τττ)(63 )()(6)(203t u d e u t t ⎰-∞--=τττ )()3(6)(203t u e t u t --=-τ)()1(2)(23t u e t u t -+=- )(23t u e t -=则系统的阶跃响应)(2)(3t u et g t -=。
2-11、解：①求)(t r zi ： ∵系统的特征方程为：0)3)(2(652=++=++αααα，∴特征根：21-=α，32-=α ∴t t zi e C eC t r 3221)(--+= (t ≥0) ②求)(t r zs ：t t e A eA t h 3221)(--+= (t ≥0)，可求得：11=A ，12-=A （求解过程略） ∴)()()(32t u e e t h t t ---=∴)(*)()(*)()]()[(*)()(*)()(3232t u e t u e t u e t u e t u e e t u e t h t e t r t t t t t t t zs --------=-==)()2121()()(21)()(3232t u e e e t u e e t u e e t t t t t t t -------+-=---= ③求)(t r ：)(t r =)(t r zi +)(t r zs ++=--)(3221t te C e C )2121(32t t t e e e ---+- t tt e C e C e 3221)21()1(21---++-+= (t ≥0) ∵)()(t u Ce t r t -=，21=C 21=C ∴ 011=-C ， ∴ 11=C0212=+C 212-=C ∴=-)0(r 21211)0(21=-=+=+C C r zi ， ='-)0(r 2123232)0(21-=+-=--='+C C r zi 2-12、解：（1）依题意，得：)(2)(*)()(t u e t h t u t r tzi -=+)()()(t t h t r zi δ=+∴)(2)]()([*)()(t u e t r t t u t r t zi zi -=-+δ)(2)()()()1(t u e t r t u t r t zi zi --=-+∴)()12()()()1(t u e t r t r t zi zi -=---，两边求导得：)()12()(2)()(t e t u e t r t r t t zi ziδ-+-=-'-- )(2)()()(t u e t t r t r t zi zi--=-'δ ∴)(11)(112)()()1(t p p t p t t r p zi δδδ+-=+-=- ∴)()(11)(t u e t p t r t zi -=+=δ （2）∵系统的起始状态保持不变，∴)()(t u e t r t zi -=∵)()()(t t h t r zi δ=+，∴)()()(t u e t t h t--=δ∴)]()([*)()()(*)()()(33t u e t t u e t u e t h t e t r t r t t t zi ----+=+=δ )()()(t u te t u e t u e tt t ----+=)()2(t u e t t --= 2-16、证：∑∑∞-∞=--∞-∞=--=-=k k t k t k t u e k t t u e t r )3()3(*)()()3(δ∑∞-∞=--=k k t k t u e e )3(3 ∵当t-3k>0即3t k <时：u(t-3k)为非零值 又∵0≤t ≤3，∴k 取负整数，则：3003311)(---∞=∞=----===∑∑e e e e e et r t k k k t k t 则t Ae t r -=)(，且311--=e A 。
信号与系统课后答案(全)
第八章习题8.1 图示一反馈系统，写出其状态方程和输出方程。
解由图写出频域中输入、输出函数间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=)(11)()3(3)(sYssEsssY把此式加以整理可得)(334)1(3)(23sEsssssY++++=故系统的转移函数为334)1(3)(23++++=sssssH根据转移函数，可以用相变量直接写出状态方程和输出方程分别为exxxxxx⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡143311'''321321[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32133xxxy8.2 写出下图所示三回路二阶系统的状态方程。
解：第一步，选取状态变量。
由于两个储能元件都是独立的，所以选电感电流为状态变量1x，电容电压为另一状态变量2x，如图所示。
第二步，分别写包含有电感电压的回路电压方程和包含有电容电流的节点电流方程。
根据第二个回路的回路方程，并代入元件参数，则有112122'ixxx+--=312'21ixx-=第三步，上两式中1i和3i不是状态变量，要把它们表为状态变量。
由第一个回路有1124xie-=，即112141xei+=由第三个回路有323ix=，即2331xi=把1i和3i分别代入第二步中两式，并经整理，最后得所求状态方程为exxx21'211+--=212322'xxx-=或记成矩阵形式8.3 图示一小信号谐振放大器的等效电路，这里的激励函数)(t e是一压控电流源，输出电压)(t y由耦合电路的电阻L R上取得。
要求写出此电路的状态方程和输出方程。
解：第一步，选状态变量。
因为电感电流和电容电压等三个变量都是独立的，所以选回路电感L中的电流1x、回路电容C上的电压2x、耦合电容c C上的电压3x为状态变量。
第二步，分别写回路方程或节点方程。
由RLC回路有211'xRxLx=+eixxCCx rc-=+++132''RL c i x C ='3第三步，消去非状态变量。
信号与系统课后习题答案
习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD （15,6）=3 Hz 。
因此，公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD （5, 15）=5 Hz 。
因此，公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数，因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。
因此，公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号，显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ，一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+； (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
信号与系统课后答案 第2章 习题解
第2章 习 题2-1 求下列齐次微分方程在给定起始状态条件下的零输入响应（1）0)(2)(3)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,3)0(==--y dt dy ； （2）0)(4)(22=+t y t y dt d ；给定：1)0(,1)0(==--y dtd y ；（3）0)(2)(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dt dy ； （4）0)()(2)(22=++t y t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy ； （5）0)()(2)(2233=++t y dt d t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(,1)0(22===---y dt d y dt d y 。
（6）0)(4)(22=+t y dt d t y dt d ；给定：2)0(,1)0(==--y dtdy 。
解：（1）微分方程的特征方程为：2320λλ++=，解得特征根：121, 2.λλ=-=- 因此该方程的齐次解为：2()t th y t Ae Be --=+.由(0)3,(0)2dy y dt--==得:3,2 2.A B A B +=--=解得:8, 5.A B ==- 所以此齐次方程的零输入响应为:2()85tty t e e--=-.（2）微分方程的特征方程为：240λ+=，解得特征根：1,22i λ=±.因此该方程的齐次解为：()cos(2)sin(2)h y t A t B t =+.由(0)1,(0)1d y y dx --==得:1A =,21B =,解得:11,2A B ==. 所以此齐次方程的零输入响应为:1()cos(2)sin(2)2y t t t =+.（3）微分方程的特征方程为：2220λλ++=，解得特征根:1,21i λ=-± 因此该方程的齐次解为：()(cos()sin())th y t e A t B t -=+.由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,A B A =-= 解得:1,3A B ==.所以齐次方程的零输入响应为:()(cos()3sin())ty t e t t -=+.（4）微分方程的特征方程为：2210λλ++=，解得二重根:1,21λ=-.因此该方程的齐次解为：()()th y t At B e -=+. 由(0)1,(0)2dy y dx--==得:1,2,B A B =-=解得:3, 1.A B == 所以该方程的零输入响应为:()(31)ty t t e -=+.（5）微分方程的特征方程为：3220λλλ++=，解得特征根: 1,21λ=-,30λ=. 因此该方程的齐次解为：()()th y t A Bt C e -=++.由22(0)1,(0)1,(0)2d d y y y dx dt---===得:1,1,22A C B C C B +=-=-=. 解得:5,3,4A B C ==-=-.所以方程的零输入响应为:()5(34)ty t t e -=-+.（6）微分方程的特征方程为：240λλ+=，解得特征根:120,4λλ==-. 因此该方程的齐次解为：4()th y t A Be -=+.由(0)1,(0)2d y y dx --==得:1,42A B B +=-=.解得:31,22A B ==-. 所以此齐次方程的零输入响应为:431()22ty t e -=-.2-2 已知系统的微分方程和激励信号，求系统的零状态响应。
信号与系统课后习题答案
1.1绘出下列函数波形草图。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13) (14)
1.2确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还Biblioteka 功率信号，或两者均不是。(1)
解 能量有限信号。信号能量为：
(2)
解 能量有限信号。信号能量为：
(3)
解 功率有限信号。周期信号在( )区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率， 的周期为1。
(4)
解 功率有限信号。 是周期序列，周期为8。
(5)
解功率有限信号。由题(3)知，在 区间上 的功率为1/2，因此 在 区间上的功率为1/4。如果考察 在 区间上的功率，其功率为1/2。
(6)
解功率有限信号。由题(4)知，在 区间上 的功率为1/2，因此 在 区间上的功率为1/4。如果考察 在 区间上的功率，其功率为1/2。
(1) (2)
(7)
解 非功率、非能量信号。考虑其功率：
上式分子分母对 求导后取极限得 。
(8)
解 能量信号。信号能量为：
1.3已知 的波形如题图1.3所示，试画出下列函数的波形。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9)
(10)
(11)
(12) (13)
(14) =
1.4已知 及 的波形如题图1.4所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。
信号与系统第3章,甘俊英
(n) u(n) u(n 1) u(n)
u(n) (n) (n 1) (n 2) L (n m) m0
n
或 u(n) (k) k
3．矩形序列 1, 0 n N 1
RN (n) 0, n 0
RN (n) 1
0 1 2 N 1
n
N表示矩形序列的长度, RN (n) 还可以表示为
是连续正弦信号 xa (t) 的角频率，称为模拟域频率。
Ts
2 f
fs
又称为归一化频率。
3.2.4 序列的周期性
对于所有 n 值，若存在一个最小正整数 N ，满足
x(n) x(n N) 则称序列 x(n)为周期序列，最小周期为 N
下面讨论正弦序列 x(n) Asin(n ) 的周期性。
x(n N) Asin[(n N) ] Asin(n N )
RN (n) u(n) u(u N )
4．实指数序列 x(n) an ， n
通常，单边实指数序列应用更广。单边实指数序列定义为
an , n 0 x(n)
或
0, n 0
x(n) anu(n)
a 1 ，序列是发散的。 a 0 序列的所有样值都为正值
a 1 ，序列是收敛的
a 0 序列正、负摆动
(n) 是一个确定的物理量，在 n 0时取值为1 ，在其它非零的
离散时间点上取值为零
(t) 不是一个物理量，只是一个数学抽象。
任何序列都可以用一些延迟的单位取样序列的加权和来表示，即
x(n) x(k) (n k) k
【例3-2-6】已知序列x(n) 如图所示，利用单位取样序列 (n) 写出
x(n
1)
(
1 2
)n
1
信号与系统课后习题答案
f 2 (−1) (t) =
δ (t − 2) − δ (t − 3)
*
t ε e(−t+1) (t + 1)dt
−∞
= [δ (t − 2) − δ (t − 3)]* (1 − e−(t+1) )ε (t + 1)
= (1 − e−(t−2+1) )ε (t − 2 + 1) − (1 − e−(t−3+1) )ε (t − 3 + 1)
) − iL (t) − uC (t) R1
R2
状态方程为：
⎪⎪⎧u&C (t) ⎨
=
f (t) R1C
−
uC (t) R1C
−
iL (t) C
⎪⎪⎩i&L
(t)
=
uC
(t)
− R2iL L
(t)
1．17 写出题图 1．8 系统的输入输出方程。
解： （b）系统框图等价为：
⎧x′′(t) = f (t) − 3x′(t) − 2 y(t)
x2(0-)＝1 时，y2(t)＝4e-t-2e-3t，t≥0 则 x1(0-)＝5，x2(0-)＝3 时，系统的零输入响应： yx(t)＝y(t)＝5y1(t)＋3y2(t)＝22e-t 十 9e-3t，t≥0
1．22 在题 1.21 的基础上，若还已知 f(t)＝ε(t)，x1(0-)＝0，x2(0-)＝0 时，有 y(t)＝2+e-t+2e-3t，t≥0 试求当 f(t)＝3ε(t)，x1(0-)＝2，x2(0-)＝5 时的系统响应 y(t)。 解： 记，f(t)＝ε(t)，x1(0-)＝0，x2(0-)＝0 时，系统响应 yf(t)＝y(t)＝2+e-t+2e-3t，t≥0 则当 f(t)＝3ε(t)，x1(0-)＝2，x2(0-)＝5 时的系统全响应 y(t)为： y(t)＝3yf(t)＋2y1(t)＋5y2(t)
信号与系统课后习题答案汇总
可编辑第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图。
(1) ||3)(t e t x -= (2) ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n (3) )(2sin )(t t t x επ= (5) )]4()([4cos )(--=-t t t e t x t εεπ (7) t t t t x 2cos )]2()([)(πδδ--= (9) )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε)5- (11) )]1()1([)(--+=t t dt d t x εε (12) )()5()(n n n x --+-=εε (13) ⎰∞--=t d t x ττδ)1()((14) )()(n n n x --=ε 1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。
(1) ||3)(t e t x -=解 能量有限信号。
信号能量为：(2) ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解 能量有限信号。
信号能量为：(3) t t x π2sin )(=解 功率有限信号。
周期信号在(∞-∞,)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，t π2sin 的周期为1。
(4) n n x 4sin )(π=解 功率有限信号。
n 4sinπ是周期序列，周期为8。
(5) )(2sin )(t t t x επ= 解 功率有限信号。
由题(3)知，在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2，因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率，其功率为1/2。
(6) )(4sin )(n n n x επ=解 功率有限信号。
由题(4)知，在),(∞-∞区间上n 4sinπ的功率为1/2，因此)(4sin n n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4。
(完整版)信号与系统课后题答案
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
信号与系统课后题答案
《信号与系统》课程习题与解答第二章习题(教材上册第二章p81-p87)2-1,2-4～2-10,2-12～2-15,2-17～2-21,2-23,2-24第二章习题解答2-1 对下图所示电路图分别列写求电压的微分方程表示。
图(a)：微分方程：11222012()2()1()()()2()()()()2()()()c cc di t i t u t e t dtdi t i t u t dtdi t u t dt du t i t i t dt ⎧+*+=⎪⎪⎪+=⎪⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩图（b ）：微分方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+++=+++⎰⎰2021'2'21'2'11)(01)(1Ri t v Ri Mi Li dt i Ct e Ri Mi Li dt i C)()(1)(2)()2()(2)()(33020022203304422t e dtd MR t v C t v dt d C R t v dt d C L R t v dt d RL t v dt d M L =+++++-⇒ 图(c)微分方程：dt i C i L t v ⎰==211'101)(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===⇒⎰dt t v L i t v L i dtdt v L i dt d)(1)(1)(10110'1122011∵ )(122111213t i dt d L C i i i i +=+=)(0(1]1[][101011022110331t e dt dR t v RL v dt d RR L C v dt d R C R C v dt d CC μ=+++++⇒图(d)微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧+-=++=⎰)()()()()(1)()(11111t e t Ri t v t v dt t i C t Ri t e μRC v dt d 1)1(1+-⇒μ)(11t e V CR = ∵)()(10t v t v μ=)()(1)1(0'0t e R v t v R Cv v =+-⇒2-4 已知系统相应的其次方程及其对应的0+状态条件，求系统的零输入响应。
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
信号与系统课后答案
信号与系统课后答案第1章1-1题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解(a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2f (t - 2 ) (b) f ( 2t )(c)f (2t )(d)f (-t +1 ) 题1-2图解以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i C t u ττd )(1)(S RS L S C1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
题1-4图解系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) +f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T ==)()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
信号与系统课后答案（ＰＤＦ）
第二章第二章 课后题答案课后题答案2-1.1.图题2-1所示电路，求响应u 2(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
解 其对应的算子电路模型如图题2.1（b ）所示，故对节点①，②可列出算子形式的KCL 方程为= +++−=−+0)(111)(1)()(1)(1312121t u p p t u p t f t u p t u p即()=+++−=−+0)(1)()()()(13122121t u p p t u t pf t u t u p联解得)()()(443)(22t f p H t f p p t u =++=故得转移算子为443)()()22++==p p t f t u p H （u 2(t)对f(t)的微分方程为()）（）（t f t u p p 34422=++即）（t f t u t u dt d t u dt d 3)(4)(4)(22222=++2-2图题2-2所示电路，求响应i(t)对激励f(t)的转移算子H(p)及微分方程。
解 其对应的算子电路模型如图2.2（b）所示。
故得）（）（t f p p p p pp t f t i 3011101022221.01)(2+++=+×++=故得转移算子为30111010)()()(2+++==p p p t f t i p Hi(t)对f(t)的微分方程为)()1010()()3011(2t f p t i p p +=++即)(10)(10)(30)(11)(22t f t f dt d t i t i dt d t i dt d +=++2-3图题2-3所示电路，已知u C (0-)=1 V, i(0-)=2 A。
求t>0时的零输入响应i(t)和u C (t)。
解 其对应的算子电路模型如图题2.3（b）所示。
故对节点N 可列写出算子形式的KCL 方程为0)(2312= ++t u p p C又有uc(t)=pi(t)，代入上式化简，即得电路的微分方程为=====++−+−+1)0()0(2)0()0(0)()23(2c cu u i i t i p p电路的特征方程为0232=++p p故得特征根（即电路的自然频率）为p 1=-1，p 2=-2。
信号与系统课后习题与解答第一章
1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？图1-1图1-2解 信号分类如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧--⎩⎨⎧--））（散（例见图数字：幅值、时间均离））（连续（例见图抽样：时间离散，幅值离散））（连续（例见图量化：幅值离散，时间））（续（例见图模拟：幅值、时间均连连续信号d 21c 21b 21a 21图1-1所示信号分别为 （a ）连续信号（模拟信号）； （b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）)sin(t e at ω-； （2）nT e -； （3）)cos(πn ；（4）为任意值）（00)sin(ωωn ；（5）221⎪⎭⎫⎝⎛。
解由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）)30t (cos )10t (cos -； （2）j10t e ；（3）2)]8t (5sin [；（4）[]为整数）（n )T nT t (u )nT t (u )1(0n n ∑∞=-----。
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
（1）对于分量cos (10t )其周期5T 1π=；对于分量cos (30t )，其周期15T 2π=。
由于5π为21T T 、的最小公倍数，所以此信号的周期5T π=。
（2）由欧拉公式)t (jsin )t (cos e t j ωωω+= 即)10t (jsin )10t (cos e j10t +=得周期5102T ππ==。
五邑大学-甘俊英-信号与系统-课后习题-答案
1-1． 绘出下列各信号的波形。
（1） [u (t ) − u (t − T ) ] sin( （3） ( 2 − e )u (t ) ；解：−t 4π t) ；T（2） [u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t4π t) T（1）[u (t ) − u (t − T ) ] sin( 4πt) T（2）[u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( 4π t)T（3） ( 2 − e )u (t ) ；−t （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t1-2． 应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。
（1） （3） （5） （7） ∫ ∫ ∞−∞∞ f (t − t 0 )δ (t )dt （2） ∫ ∞−∞∞f (t 0 − t )δ (t )dt −∞ δ ( t − t 0 )u ( t − t 0 )dt2 （4） （6） ∫ −∞∞ δ (t − t 0 )u(t − 2t 0 )dt (t + sin t )δ (t − 2 ∫ ∫ ∫ ∞−∞∞( e −t + t )δ (t + 2)dt ∫ π 6−∞ )dt −∞∞e − j ωt [δ (t ) − δ (t − t 0 )]dt (t + cos πt )δ (t − 1)dt （8） ∫ (3t 2 −1∞0−+ 1) (t )dt δ−3k t（9） −∞（10） ∫ ∑ek = −∞∞ δ (t − k )dt解： （1） f ( −t 0 )（2） f (t 0 )⎧ 1 t 0 > 0 ⎪1⎪ （3） u ( t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 < 0 ⎩⎧ 1 t 0 < 0 ⎪1⎪ （4） u ( −t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 > 0 ⎩（7） 1 − e jwt 0（5） e 2 − 2（6）π6 + 1 2（8）1 （9）0 （10）∑ e−3 kk =0∞21-3．已知 f (t ) 的波形如题图 1-12 所示，试画出下列函数的波形图。
信号与系统课后习题参考答案
题图2-10
2-11已知系统得微分方程与起始条件,试求系统得零输入响应。
⑴
⑵
⑶
2-12已知系统得差分方程与起始条件,试求系统得零输入响应。
⑴
⑵
⑶
2-13已知系统得微分方程,试求系统得单位冲激响应。
⑴
⑵
⑶
2-14已知系统得差分方程,试求系统得单位样值响应。
1-1试分别指出以下波形就是属于哪种信号？
题图1-1
1-2试写出题1-1图中信号得函数表达式。
1-3已知信号与波形如题图1-3中所示,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-3
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
⑺⑻⑼
1-4已知信号与波形如题图1-4中所示,试作出下列各信号得波形图,并加以标注。
题图1-4
⑴⑵⑶
⑷⑸⑹
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
2-2试计算下列各对信号得卷积与:。
⑴(对与两种情况)
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
2-3试计算下图中各对信号得卷积积分:,并作出结果得图形。
题图2-3
2-4试计算下图中各对信号得卷积与:,并作出结果得图形。
题图2-4
2-5已知,试求:
⑴⑵⑶
并作出她们得图形。
2-6系统如题图2-6所示,试求系统得单位冲激响应。已知其中各子系统得单位冲激响应分别为:
3-5设有一周期信号x(t),其复振幅为:
⑴x(t)就是实函数吗？⑵x(t)就是偶函数吗？⑶就是偶函数吗？
3-6设x(t)就是一基波频率为Ω得周期信号,其复振幅为,试用表示以下周期信号得复振幅。
⑴⑵
信号与系统课后习题答案汇总
1第一章习题参考解答1.1 绘出下列函数波形草图;1 ||3)(t et x -=2 ()⎪⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n3 )(2sin )(t t t x επ=4 )(4sin )(n n n x επ=5 )]4()([4cos )(--=-t t t et x tεεπ6 )]4()1([3)(---=n n n x nεε7 t t t t x 2cos)]2()([)(πδδ--=8 )]1()3([)(--+=n n n n x δδ29 )2()1(2)()(-+--=t t t t x εεε10 )5(5)]5()([)(-+--=n n n n n x εεε11 )]1()1([)(--+=t t dtdt x εε 12 )()5()(n n n x --+-=εε13 ⎰∞--=td t x ττδ)1()(14 )()(n n n x --=ε1.2 确定下列信号的能量和功率,并指出是能量信号还是功率信号,或两者均不是; 1 ||3)(t et x -=解 能量有限信号;信号能量为：()⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞∞--∞∞-+===02022||2993)(dt edt edt e dt t xE ttt ∞<=⋅-⋅+⋅⋅=∞-∞-9)21(92190202tte e2 ()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=02021)(n n n x n n解 能量有限信号;信号能量为：()∞<=+=+==∑∑∑∑∑∞=--∞=∞=--∞=∞-∞=35)41(4])21[(2)(0102122n n n nn n n n n n xE3 t t x π2sin )(=3解 功率有限信号;周期信号在∞-∞,区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率,t π2sin 的周期为1;214cos 2124cos 1)2(sin )2(sin 121212121212121212222=-=-===⎰⎰⎰⎰⎰-----tdt dt dt t dt t dt t TP T T ππππ 4 n n x 4sin)(π=解 功率有限信号;n 4sinπ是周期序列,周期为8;21218122cos1814sin 81)(143434322==-===∑∑∑∑--=-=>=<n n n N n nn n x NP ππ5 )(2sin )(t t t x επ=解 功率有限信号;由题3知,在),(∞-∞区间上t π2sin 的功率为1/2,因此)(2sin t t επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4;如果考察)(2sin t t επ在),0(∞区间上的功率,其功率为1/2;6 )(4sin)(n n n x επ=解 功率有限信号;由题4知,在),(∞-∞区间上n 4sin π的功率为1/2,因此)(4sinn n επ在),(∞-∞区间上的功率为1/4;如果考察)(4sin n n επ在),0(∞区间上的功率,其功率为1/2;7 tet x -=3)(解 非功率、非能量信号;考虑其功率：())(49lim2921lim 921lim 321lim 22222T TT T Tt T T T t T T T t T e e TeT dt e T dt e T P --=-===-∞→--∞→--∞→--∞→⎰⎰上式分子分母对T 求导后取极限得∞→P ;8 )(3)(t e t x tε-=解 能量信号;信号能量为：29299)3()(0202022=-====∞-∞-∞-∞∞-⎰⎰⎰t t t e dt e dt e dt t x E1.3 已知)(t x 的波形如题图1.3所示,试画出下列函数的波形;)(t x1t -1 0 1 2题图1.341 )2(-t x2 )2(+t x3 )2(t x4 )21(t x5 )(t x -6 )2(+-t x7 )2(--t x8 )22(+-t x9 )221(-t x)2(+t x1t -3 -2 -1 0)2(-t x1t 0 1 2 3 4)2(t x1t -1/2 0 1)2/(t x1t-2 -1 0 1 2 3 4)(t x -1t -2 -1 0 1)2(+-t x1t 0 1 2 3)2(--t x1t -4 -3 -3 -1 0)22(+-t x1t 0 1 3/2)22/(-t x1t 0 1 2 3 4 5 6 7 8510 )221(--t x11 )221()(-+t x t x12 )21()2(t x t x ⋅ 13dtt dx )(14 ⎰∞-t d x ττ)(=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<≥<≤+<≤-++=122320210121221t t t t t t t)22/(--t x1t -8 -4 -2 0)221()(-+t x t x 1t -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8)21()2(t x t x ⋅1t -1/2 0 1 dt t dx )(1t -1 0⎰∞-td x ττ)(3/21/2-1 0 1 2 t61.4 已知)(1t x 及)(2t x 的波形如题图1.4所示,试分别画出下列函数的波形,并注意它们的区别;1 )2(1t x2 )21(1t x3 )2(2t x4 )21(2t x1.5已知)(n x 的波形如题图1.5所示,试画出下列序列的波形;)(1t x 2 1t -1 0 1 )(2t x 21t0 1 2 3 4a b题图1.4)2(1t x 21t-1/2 1/2 )2(2t x210 1 2 t)21(1t x 21t -2 0 2)21(2t x 21t 0 4 8n 题图1.571)4(+n x2 )(n x -3 )3(--n x4 )3(+-n x5 )3(--n x +)3(+-n x6 0)3()3(=+-⋅--n x n x 图略7 )1()()(--=∇n x n x n x8∑-∞=nm m x )(1.6 任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和：)()()(t x t x t x o e += 或 )()()(n x n x n x o e +=其中e x 为偶分量；o x 为奇分量;偶分量和奇分量可以由下式确定：)]()([21)(t x t x t x e -+=, )]()([21)(t x t x t x o --= )]()([21)(n x n x n x e -+=, )]()([21)(n x n x n x o --=1 试证明)()(t x t x e e -=或)()(n x n x e e -=；)()(t x t x o o --=或)()(n x n x o o --=;n) nnn -6-5–4 -3–2 –1 0 1 2 3 4∑-∞=nm m x )(n82 试确定题图1.6a 和b 所示信号的偶分量和奇分量,并绘出其波形草图;1 证明 根据偶分量和奇分量的定义：)()]()([21)(t x t x t x t x e e =+-=- )()]()([21)]()([21)(t x t x t x t x t x t x o o -=---=--=-离散序列的证明类似; 2 根据定义可绘出下图1.7 设nn x 2)(=,试求)(),(),(),(22n x n x n x n x ∆∇∆∇;)(t x1t 0 1 2)(t x -1t-2 -1 0)(t x e1/2t-2 -1 0 1 2)(t x o1/2 -2 -10 1 2t)(n x en9解 11222122)1()()(--=⋅=-=--=∇n nn n n x n x n x 21212222122)1()()(----=⋅=-=-∇-∇=∇n n n n n x n x n xn n n n x n x n x 222)()1()(1=-=-+=∆+n n n n x n x n x 222)()1()(112=-=∆-+∆=∆-+1.8 判断下列信号是否为周期信号,若是周期的,试求其最小周期; 1 )64cos()(π+=t t x解 周期信号,21π=T2 )()2sin()(t t t x επ= 解 非周期信号;3 )2cos()(t et x tπ-=解 非周期信号;4 )3(4)(-=t j et x π解 周期信号,81=T ;5 )cos()5sin()(t b t a t x π+=解 若,0,0≠=b a 则)(t x 为周期信号,21=b T ；若,0,0=≠b a 则)(t x 为周期信号,π521=a T ；若,0,0≠≠b a 则)(t x 为非周期信号;6 )38cos()(+=n n x π解 周期信号,161=N ;7 )97cos()(n n x π= 解 周期信号,181=N ;8 )16()(n con n x = 解: 非周期信号;9 n j en x 152)(π=10解: 周期信号,151=N ;10 )34sin(2)3sin()6cos(3)(ππππ+-+=n n n n x 解: 周期信号,最小公共周期为241=N ;1.9 计算下列各式的值; 1⎰∞∞--dt t t t x )()(0δ解: 原式dt t t x )()(0δ⎰∞∞--==).(0t x -2⎰∞--td t x ττδτ)()(0解: 原式ττδd t x t)()(0⎰∞--=)()(0t t x ε⋅-=3⎰∞∞--dt t t t x )()(0δ解: 原式dt t t x )()(0δ⎰∞∞-=)(0t x =4⎰∞∞--dt t t t x )(')(0δ解: 原式)(')(000't x t t x t --=--==5⎰∞∞---dt t t t t )2()(00εδ 解: 原式dt t t t t )()2(000-⋅-=⎰∞∞-δε)2(0t ε=6⎰∞---td t t ττετδ)2()(00解: 原式=⎰∞---td t t t τετδ)2()(000=⎰∞---t d t t ττδε)()(00)()(00t t t --=εε=⎩⎨⎧<->0)(00000t t t t ε 7⎰∞∞-dt t )(δ解: 原式1= 8⎰-∞-0)(dt t δ解: 原式0=119⎰∞+)(dt t δ解 原式0= 10⎰+-00)(dt t δ解 原式1= 11⎰∞∞--+-dt t tt )12)(33(2δ解 令t v 3=得：原式dv v vv 31]132)3)[(3(2-+-=⎰∞∞-δ32]132)3[(31=-+=x v v 32=12⎰∞∞-+dt t x t )()1('δ解: 原式)1()('1'--=-=-=x t x t13⎰∞∞--dt et t)('δ解: 原式1][0'=-==-t t e 14⎰--3131)()32(dt t x t δ解: 令t v 2=得：原式dv v x v 21)2()3(3232⋅-=⎰-δ＝dv v x v 21)2()3(3232⋅-=⎰-δ因为0)3(3232=-⎰-dv v δ,所以: 原式＝01.10 设)(t x 或)(n x 为系统的输入信号,)(t y 或)(n y 为系统的输出信号,试判定下列各函数所描述的系统是否是：a 线性的 b 时不变的 c 因果的 d 稳定的 e 无记忆的 1 )4()(+=t x t y 解 )(a 线性的.若 );4()()(111+=→t x t y t x )4()()(222+=→t x t y t x则: )()()4()4()()()(212121t by t ay t bx t ax t y t bx t ax +=+++=→+)(b 时不变的.若 )4()()(+=→t x t y t x则: )4()(ττ-+→-t x t x)(c 非因果的.120t 时刻的响应取决于0t 以后时刻即40+t 时刻的输入. )(d 稳定的.若|M t x ≤|)(<∞ 则:∞<≤M t y |)(| )(e 有记忆的若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入,则称此系统为无记忆系统;题给系统显然不满足此条件;2 )()()(τ-+=t x t x t y 0>τ,且为常数 解 )(a 线性的.若 )()()()(1111τ-+=→t x t x t y t x ,)()()()(2222τ-+=→t x t x t y t x则: )]()([)]()([)()()(221121ττ-++-+=→+t x t x b t x t x a t y t bx t ax =)()(21t by t ay +)(b 时不变的.若 )()()()(τ-+=→t x t x t y t x则: )()()()(0000t t y t t x t t x t t x -=--+-→-τ )(c 当0>τ时为因果的.当0>τ时:系统0t 时刻的输出仅与0t 及0t 以前时刻的输入有关. 当0<τ时:系统0t 时刻的输出与0t 以后时刻的输入有关. )(d 稳定的.若|)(|t x ∞<, 则∞<|)(|t y )(e 有记忆的.系统0t 时刻的输出与0t 时刻以前的输入有关.3 )2/()(t x t y = 解:)(a 线性的. 说明略)(b 时变的若)2()()(t x t y t x =→ 则: )2()2()(τττ-≠-→-t x t x t x )(c 非因果的.)21()1(-=-x y . 即1-=t 时刻的输出与1-=t 时刻以后)21(-=t 的输入有关.)(d 稳定的. 说明略)(e 有记忆的.)21()1(x y =. 即1=t 时刻的输入与1=t 时刻以前)21(=t 的输入有关.4 )()(2t x t y = 解:)(a 非线性的.若 )()()(2111t x t y t x =→, )()()(2222t x t y t x =→则: )()()()()]()([)()(21222122121t by t ay t bx t ax t bx t ax t bx t ax +=+≠+→+)(b 时不变的.13若)()()(2t x t y t x =→ 则: )()()(2τττ-=-→-t y t x t x)(c 因果的. 说明略 )(d 稳定的. 说明略 )(e 无记忆的.0t 时刻的输出仅取决于0t 时刻的输入.5 )(2)(t x et y =解:)(a 非线性的. 说明略)(b 时不变的. 说明略 )(c 因果的. 说明略d 稳定的.若 |)(t x |∞<≤M , 则∞<≤M e t y 2|)(|e 无记忆的. 说明略6 t t x t y π2sin )()(=解: a 线性的.若 )(]2[sin )()(111t x t t y t x π=→,)(]2[sin )()(222t x t t y t x π=→ 则: )()()]()([2sin )()(212121t by t ay t bx t ax t t bx t ax +=+→+π b 时变的.若 )()(t y t x →则: )()](2[sin )()()2(sin )(ττπττπτ--=-≠-→-t x t t y t x t t x c 因果的. 说明略d 稳定的.若∞<≤M t x |)(|, 则∞<≤≤M t M t y |2sin ||)(| e 无记忆的. 说明略7 ⎩⎨⎧>=0)()()(t x t x t y解: a 非线性的.若 0)()0()(1≠→<t y t x而0<a 时: )(0)()0)((12t ay t y t ax ≠=→<,即不满足均匀性. b 时不变的.若 )()(t y t x → 则: )(0)(00)()()(00000t t y t t x t t x t t x t t x -=⎩⎨⎧<->--→-c 因果的.0t 时刻的输出仅与0t 以后时刻的输入无关. d 稳定的. 说明略 e 无记忆的. 说明略148 dtt dx t y )()(=解:a 线性的.若 dt t dx t y t x )()()(111=→,dtt dx t y t x )()()(222=→ 则: )()()]()([)()(212121t by t ay t bx t ax dtdt bx t ax +=+→+ b 时不变的.若: dtt dx t y t x )()()(=→ 则: )()()()()(τττττ-=--=-→-t y t d t dx dt t dx t xc 因果的. 说明略d 非稳定的.)()()()(t t y t u t x δ=→=e 无记忆的 说明略 9 ⎰∞-=td x t y ττ)()(解: a 线性的. 说明略 b 时不变的.若: ⎰∞-=→td x t y t x ττ)()()(则: )()()()(0000t t y dv v x d t x t t x t t t-==-→-⎰⎰-∞-∞-ττc 因果的. 说明略d 非稳定的.若∞<=|)(||)(|t u t x 1,但∞→|)(|t y e 有记忆的. 说明略10 )1()()(-⋅=n x n x n y解: a 非线性的若 )1()()()(1111-⋅=→n x n x n y n x ,)1()()()(2222-⋅=→n x n x n y n x则: )()()]1()1()][()([)()(2122121n by n ay n bx n ax n bx n ax n bx n ax +≠-+-+→+b 时不变的.若 )1()()()(-⋅=→n x n x n y n x则: )()1()()(N n y N n x N n x N n x -=--⋅-→- c 因果的.0n 时刻的输出与0n 时刻以后的输入无关. d 稳定的.若 |∞<≤M n x |)(, 则: |∞<≤2|)(M n y15e 有记忆的.0n 时刻的输出与0n 时刻以前的输入有关.11 )()(n nx n y =解: a 线性的.若 )()()(11n nx n y n x =→,)()()(222n nx n y n x =→ 则: )()()]()([)()(212121n by n ay n bx n ax n n bx n ax +=+→+ b 时不变的.若 )()()(n nx n y n x =→则: )()()()(N n y N n x N n N n x -=--→- c 因果的. 说明略d 非稳定的.即使M n x <|)(|,∞→n 时,∞→)(n y e 无记忆的. 说明略12 6)(5)(+=n x n y解: a 非线性的.若 6)(5)()(111+=→n x n y n x ,6)(5)()(222+=→n x n y n x 则: )(6)(6)]()([5)()()(212121n y n ay n bx n ax n y n bx n ax +≠++=→+ b 时不变的. 说明略 c 因果的. 说明略 d 稳定的. 说明略 e 无记忆的. 说明略13 )()(n x n y -= 解: a 线性的. 说明略 b 时变的.若 )()()(n x n y n x -=→则: )]([)()()(N n x N n y N n x N n x --=-≠--→-c 非因果的.)1()1(x y =- . 即 1-=n 时刻的输出与 1-=n 以后时刻1=n 时刻的输入有关. d 稳定的. 说明略e 有记忆的.).1()1(-=x y 即 1=n 时刻的输出与1=n 以前时刻1-=n 时刻的输入有关.1.11 已知)22(t x -的波形如题图1.11所示,试画出)(t x 的波形; 解 将)22(t x -的波形扩展可得)2(t x -,将)2(t x -的波形翻转得)2(t x +,将)2(t x +右移2个单位可得)(t x 的波形如下:)22(t x -2 1t 0 1 2 3 4题图1.11161.12 判断下列每个系统是否是可逆的,如果是可逆的,试构成其逆系统；如果不是,找出使系统具有相同输出的两个输入信号; 1 ⎰∞---=tt d x e t y τττ)()()(解 原式两边求导得：⎰⎰⎰∞---∞---∞---=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=tt tt t t tt d x et x d x e e t x e e d x e e dt d t y τττττττττ)()()()()()(')(上式同原式相加得：dtt dy t y t x )()()(+=所以系统可逆,逆系统为: dt t dy t y t x )()()(+=2 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤=≥-=1)(001)1()(n n x n n n x n y解: 系统可逆,逆系统为: ⎩⎨⎧-≤≥+=1)(0)1()(n n y n n y n x3 dtt dx t y )()(=解 系统不可逆,因为不能由)(t x 唯一地确定)(t y ;例如:11)(c t x =,)()(2122c c c t x ≠=0)()()()(2111====τd t dx dt t dx t y t y4 )()(n nx n y =解 系统不可逆,因为当0=n 时,不论)(n x 取何值,0)(0==n n y ;5 ⎰∞-=td x t y ττ)()(解 系统可逆,逆系统为dtt dy t x )()(=; )(t x21t -6 -4 -2 0176 )()21()(k x n y k n nk --∞=∑=解 系统可逆,逆系统为)1(21)()(--=y n y n x ; )()()21(21)()21()1(21)(11n x k x k x n y n y kn n k k n nk =-=------∞=--∞=∑∑ 或从z 域考虑:),()211()()()(),(*)()21()(121z Y z z X z X z z z Y n x n n y n --=∴-==ε 即逆系统为: )1(21)()(--=n n n h δδ1.13 对于例1.2中的)(t x 和)(n x ,请指出下面求解)12(-t x 和)1(+-n x 的过程错在何处 求解)12(-t x 的过程：)]21(2[)12(-=-t x t x∴先将)(t x 的波形右移21个单元得到,)21(-t x 的波形,再将)21(-t x 的波形压缩一倍得到)]21(2[-t x 即)12(-t x 的波形,如题图1.13a 所示;求解)1(+-n x 的过程：)]1([)1(--=+-n x n x∴先将)(n x 的波形右移1个单元得到)1(-n x 的波形,再将)1(-n x 的波形反转得到)]1([--n x 即)1(+-n x 的波形,如题图1.13b 所示;题图1.1318答 设)21()(-=t x t g ,则)12()212()2(-≠-=t x t x t g ,所以)12(-t x 和)21(-t x 并不构成压扩关系;类似,)1(+-n x 和)1(-n x 并不构成反转关系;。
五邑大学甘俊英信号与系统课后习题答案(供参考)
1-1．绘出下列各信号的波形。
（1） [u (t ) − u (t − T ) ] sin( （3） ( 2 − e )u (t ) ；解：−t 4π t) ；T（2） [u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t4π t) T（1）[u (t ) − u (t − T ) ] sin( 4πt) T（2）[u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( 4π t)T（3） ( 2 − e )u (t ) ；−t （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t1-2． 应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。
（1） （3） （5） （7） ∫ ∫ ∞−∞∞ f (t − t 0 )δ (t )dt （2） ∫ ∞−∞∞f (t 0 − t )δ (t )dt −∞ δ ( t − t 0 )u ( t − t 0 )dt2 （4） （6） ∫ −∞∞ δ (t − t 0 )u(t − 2t 0 )dt (t + sin t )δ (t − 2 ∫ ∫ ∫ ∞−∞∞( e −t + t )δ (t + 2)dt ∫ π 6−∞ )dt −∞∞e − j ωt [δ (t ) − δ (t − t 0 )]dt (t + cos πt )δ (t − 1)dt （8） ∫ (3t 2 −1∞0−+ 1) (t )dt δ−3k t（9） −∞（10） ∫ ∑ek = −∞∞ δ (t − k )dt解： （1） f ( −t 0 )（2） f (t 0 )⎧ 1 t 0 > 0 ⎪1⎪ （3） u ( t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 < 0 ⎩⎧ 1 t 0 < 0 ⎪1⎪ （4） u ( −t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 > 0 ⎩（7） 1 − e jwt 0（5） e 2 − 2（6）π6 + 1 2（8）1 （9）0 （10）∑ e−3 kk =0∞21-3．已知 f (t ) 的波形如题图 1-12 所示，试画出下列函数的波形图。
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1-1． 绘出下列各信号的波形。
（1） [u (t ) − u (t − T ) ] sin( （3） ( 2 − e )u (t ) ；解：−t 4π t)； T（2） [u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t4π t) T（1）[u (t ) − u (t − T ) ] sin( 4π t)T（2）[u (t ) − 2u (t − T ) + u (t − 2T )]sin( 4π t)T（3） ( 2 − e )u (t ) ；−t （4） e cos(10πt )[u (t − 1) − u (t − 2)]−t1-2． 应用冲激信号的性质，求下列表达式的值。
（1） （3） （5） （7） ∫ ∫ ∞−∞∞ f (t − t 0 )δ (t )dt （2） ∫ ∞−∞∞f (t 0 − t )δ (t )dt −∞ δ ( t − t 0 )u ( t − t 0 )dt2 （4） （6） ∫ −∞∞ δ (t − t 0 )u(t − 2t 0 )dt (t + sin t )δ (t − 2 ∫ ∫ ∫ ∞−∞∞( e −t + t )δ (t + 2)dt ∫ π 6−∞ )dt −∞∞e − j ωt [δ (t ) − δ (t − t 0 )]dt (t + cos πt )δ (t − 1)dt （8） ∫ (3t 2 −1∞0−+ 1) (t )dt δ−3k t（9） −∞（10） ∫ ∑ek = −∞∞ δ (t − k )dt解： （1） f ( −t 0 )（2） f (t 0 )⎧ 1 t 0 > 0 ⎪1⎪（3） u ( t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 < 0 ⎩⎧ 1 t 0 < 0 ⎪1⎪（4） u ( −t 0 ) = ⎨t 0 = 0 2⎪ ⎪ 0 t 0 > 0 ⎩（7） 1 − e jwt 0（5） e 2 − 2（6）π6 + 1 2（8）1 （9）0 （10）∑ e−3 kk =0∞21-3．已知 f (t ) 的波形如题图 1-12 所示，试画出下列函数的波形图。
（2） f (t / 3)u (3 − t )（1） f (3t )df (t )（3） dt（4）∫ t−∞ f (τ )d τf (t )1 013t解：（1） f (3t ) （2） f (t / 3)u (3 − t )（3） df (t ) dt（4）∫ t−∞f (τ )d τ 1-4．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？ （1） y ( t ) = x ( t )u ( t ) （4） y (t ) =（2） y (t ) = x ( 2t )（3） y (t ) = x (t )2 ∫ t−∞ x ( z )dz（5） y (t ) = x (t − 2 ) + x (2 − t ) （6） y (t ) = [cos (3t（7） y (t ) = ⎨0,t<00,x (t ) < 0⎧ （8） y (t ) = ⎨（9）x (t ) + x (t − 2), t ≥ 0x (t ) + x (t − 2 ), x (t ) ≥ 0⎩⎩ ⎧y (t ) = x t ( 3)（2）线性，时变，非因果。
（4）线性，时不变，因果。
（6）线性，时变，因果。
（8）非线性，时不变，因果。
解：（1）线性，时变，因果。
（3）非线性，时不变，因果。
（5）线性，时变，非因果。
（7）线性，时不变，因果。
（9）线性，时变，因果。
1-5．有 一 LTI 系 统 ， 当 激 励 x 1 (t ) = u(t ) 时 ， 响 应 y 1 (t ) = 6e −αt u(t ) , 试 求 当 激 励x 2 (t ) = 3tu (t ) + 2δ (t ) 时，响应 y 2 (t ) 的表示式。
（假定起始时刻系统无储能。
）解： t ⋅ u (t ) = d u (t ) ，该系统为 LTI 系统。
∫−∞dxt 6故在 t ⋅ u (t ) 激励下的响应 y 1 (t ) = ∫ 6 ⋅ e −α t u (t ) dt = − (e −α t − 1) 2 tu (t )dt ， δ (t ) = −∞αd (6e −α t u (t )) = −6α e −α t u (t ) + 6δ (t ) dx18 18 −α t在 3tu (t ) + 2δ (t ) 激励下的响应 y (t ) =− e − 12α e −α t u (t ) + 12δ (t ) 。
2 在 δ (t ) 激励下的响应 y 2 (t ) = α α7-1 已知电路如题图7-1所示，选择合适的状态变量，列写状态方程和输出方程。
()S v t (i s解：（c ）对a 点应用KCL 定理，得L R S i i t i +=1)( ①对1R LC 回路应用KVL 定理，有1d d LR C i V LV t=+ ② 对2s CR V 回路应用KVL 定理，有2)(R S C V t V V += ③对b 点应用KCL 定理，有22R V i i R L C += ④ 选择 C L V i ==21,λλ式①乘以1R ，有 L R S i R V t i R 111)(+= 则 []111)(λ-=t i R V S R 代入式②中，有 []1112d ()d S R i t L tλλλ-=+ 由式④得 2221d ()d R V R Ctλλ=- 代入式③，得 2221d ()()d S V t R C tλλλ=+-整理上两式，11112d 1()d S R R i t t L L Lλλλ=--+ 21222d 111()d S V t t C R C R Cλλλ=+- 并写成矩阵形式，系统状态方程为11112222121d 0()d 111()d 0d ()2120()10.500.5S S S S R R i t L L Lt V t C R C R C t i t V t λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统的输出方程为[][]1112()()()()1010()S R L S S S i t y t i i i t i t V t λλλ⎡⎤⎡⎤==-+=-+=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。
7-2 试写出下列微分方程所描述的系统的状态方程和输出方程。
（2）5''()4'()()6()y t y t y t x t ++=； 解：设1()y t λ=，2d()d y t tλ=，则有 12λλ=由5''()4'()()6()y t y t y t x t ++=，得146''()()'()()555y t y t y t x t =--+ 所以 212146()555x t λλλ-=-+ 故系统状态方程为1122010()146555x t λλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统输出方程为 []112()10y t λλλ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦。
7-3 已知系统的系统函数如下，分别画出其直接形式、并联形式、串联形式的信号流图并根据信号流图列写状态方程和输出方程。
（1）3255()710s H s s s s+=++； 解：（a ）直接形式233225555()7107101s s s H s s s s s s ++==++++信号流图为(X s ()Y s题图（a ）（b ）并联形式()325115555632710(2)(5)(2)(5)115111263111(12)(15)s s H s s s s s s s s s s s s s s s-++===++++++++⋅-⋅⋅=+++⋅+⋅ ()s (X s 1s题图6-5 （b ）（c ）串联形式()321555555125710(2)(5)11s s s s H s s s s s s s s s s +++===⋅⋅++++++(X s ()s题图6-5 （c ）（2）根据以上三种不同的信号流图，可分别写出其状态方程和输出方程。
（a ）对于直接形式⎪⎩⎪⎨⎧+--===)(1072333221t x λλλλλλλ写成矩阵形式，系统状态方程为11223301000010()01071x t λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统输出方程为 2155)(λλ+=t y（b ）对于并联形式⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-==)(5)(2)(33221t x t x t x λλλλλ写成矩阵形式，系统状态方程为11223300010201()0051x t λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统输出方程为112323151151()263263y t λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦（c ）对于串联形式⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=)(253322211t x λλλλλλλ写成矩阵形式，系统状态方程为11223351000210()0001x t λλλλλλ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦系统输出方程为21121520)5(55)(λλλλλ+-=-+=t y7-4 已知系统的信号流图如题图7-4所示，（1）试求其系统函数；（2）以积分器的输出为状态变量，列写对应信号流图的状态方程和输出方程。
(X s ()Y s解：（1）信号流图有3个环，各环的增益分别用123,,L L L 表示。
11L s -=，222L s =，33L s=，其中3L 与1L ，2L 两两不相交。
计算特征式()()123132322231231323()112561s L L L L L L L s s s s s s s s s s--⎛⎫⎛⎫∆=-++++=-+++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=++前向通路有两条，分别设其增益为1P ，2P 。
132P s =，1P 通路与三个环都有接触，所以1()1s ∆=； 24P s =，2P 通路与12,L L 两个环都有接触，所以233()11s L s ∆=-=-；由Mason 公式，可得系统函数为23112232232431()()4122()256()2561P s P s s s s s s H s s s s s s s s⎛⎫+- ⎪∆+∆-+⎝⎭===--∆--+++ （2）以积分器的输出为状态变量，分别得状态变量123,,λλλ，如图（a ）所示。