2017年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
【竞赛试卷】2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
2017年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合203x A xx Z x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭，，则集合A A ．1- B ．0 C ．2 D ．3【答案】 B {}21012A =--，，，，。
所以，集合A 中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A BCD -的三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直， 若三棱锥A BCD -外接球的表面积为3π，则三棱锥A BCD -的体积为（ ） A ．43 B ．23 C ．16 D ．19【答案】 C 【解答】设AB AC AD a ===，则三棱锥A BCD-外接球的半径2R a =。
由243R ππ=，得2R =。
∴ 1a =，三棱锥A BCD -的体积31166V a ==。
3．已知x 为实数，若存在实数y ，使得20x y +<，且23xy x y =-，则x 的取值范围为（ ）A ．(43)(0)--⋃+∞，，B ．(02)(4)⋃+∞，，C ．(4)(30)-∞-⋃-，，D ．(0)(24)-∞⋃，， 【答案】 C 【解答】 由23xy x y =-，得23x y x =+∵ 20x y +<，∴ 2203xx x +<+，解得4x <-或30x -<<。
∴ x 的取值范围为(4)(30)-∞-⋃-，，。
4．m 、n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对m 、n 外任意一点P ，存在过点P 且与m 、n 都相交的直线； （2）若m α⊥，n m ∥，n β∥，则αβ⊥；（3）若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥；（4）若m α∥，n α∥，m β∥，n β∥，则αβ∥。
A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B 5． 22()(2)()f x x x x mx n =+++，若对任意实数x 均有(3)(3)f x f x -+=--，则()f x 的最小值为A ．16-B ．14-C ．12-D ．10-【答案A 【解答】依题意，()f x 的图像关于直线3x =-对称。
福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联
福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知【法规类别】教育综合规定【发文字号】闽科协发[2017]30号【发布部门】福建省科学技术协会福建省教育厅【发布日期】2017.03.23【实施日期】2017.03.23【时效性】现行有效【效力级别】XP10福建省科学技术协会、福建省教育厅关于举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知（闽科协发〔2017〕30号）各设区市、平潭综合实验区科协、教育局：为进一步普及数学基础知识，培养高中学生学习数学的兴趣爱好、创新意识和创新思维，经研究，决定联合举办2017年全国高中数学联赛福建赛区竞赛。
现将有关事项通知如下：一、参赛对象2016～2017学年高一、高二在校生。
二、竞赛形式、时间和地点1.预赛：竞赛形式为笔试。
2017年5月21日（星期日）上午9：00～11：30，在各设区市设立考场同时进行。
2.复赛：竞赛形式为笔试。
2017年9月10日（星期日）上午8：00～12：10（其中8：00～9：20为联赛，9：40～12：10为联赛加试），在福州第一中学高中部（福州市闽侯上街镇福州大学城）举行。
三、报名方法学生自愿参加，其所在学校统一向各设区市组织单位报名。
报名时需提交学生一寸彩色近照2张，用于准考证制作。
四、赛事组织福建省数学学会为福建赛区承办单位，组成福建省中学生数学竞赛委员会，统筹负责福建赛区竞赛工作。
预赛考务工作由各设区市科协、教育局确定组织单位负责组织实施，复赛由省中学生数学竞赛委员会负责组织实施。
1.预赛：预赛由省中学生数学竞赛委员会命题制卷，各设区市组织单位须于2017年4月21日前向省中学生数学竞赛委员会报送预赛报名名单，以便提供试卷，福州一中、福建师大附中纳入福州市统一管理；5月14日左右，省中学生数学竞赛委员会将把试卷寄达各设区市组织单位；6月4日前各设区市应将本设区市预赛总体情况、所有预赛参赛选手的成绩花名册（加盖设区市教育局公章）以及参加复赛选手的答卷、2张一寸彩色近照、复赛报名表（含姓名、学校、年级、身份证号、指导教师及其联系方式等），上报省中学生数学竞赛委员会。
2018年福建省高中数学联赛(福建省赛区)预赛试题参考答案(新)
2bc
6c
∴ c2 10 ， c 10 。
∴ cos C a2 b2 c2 4 9 10 1 。
2ab
223 4
3．设复数 z 满足 z i 2 ，则 z z 的最大值为
。（ i 为虚数单位， z 为复
数 z 的共轭复数） 【答案】 6 【解答】设 z x yi （ x ， y Βιβλιοθήκη R ），4 y0
。
∴ r1 r2 16 ，结合 r1 r2 4 ，得 r1 10 ， r2 6 。
由此得到， F1P 2 F1F2 2 F2 P 2 。因此， PF2 F1F2 。
∴
△F1PF2
的外接圆半径
R
1 2
F1P
5。
4
8．最近网络上有一篇文章很火。源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面 竟然蕴藏了深奥的大道理。 （本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）
1的左、右焦点，点
P
在双曲线 C
上， G
、I
分别为 △F1PF2 的重心、内心，若 GI∥x 轴 ，则 △F1PF2 的外接圆半径 R
。
【答案】 5
【解答】不妨设 P(x0 ，y0 ) 在第一象限， PF1 r1 ， PF2 r2 。 依题意， r1 r2 4 ， F1F2 8 。
∴ z z 的最大值为 6 。
1
4．已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称，当 0 x 2 时，f (x) x 1，
则 f (100) f (101)
。
【答案】 2
【 解答】 由 f (x) 为奇函数，且其图像关 于直线 x 2 对称，知 f (x) f (x) ，且
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
成立，求实 成立．由于
解：设 t 2 x ，则 t [2, 4] ，于是
对所有
t a 5 t (t a ) 2 (5 t ) 2 (2t a 5)(5 a ) 0 ． ………………8 分 对给定实数 a ，设 f (t ) (2t a 5)(5 a ) ，则 f (t ) 是关于 t 的一次函数或常 值函数．注意 t [2, 4] ，因此 f (t ) < 0 等价于 f (2) (1 a )(5 a ) 0, ………………12 分 f (4) (3 a )(5 a ) 0, 解得 3 a 5 ． 所以实数 a 的取值范围是 3 a 5 ． ………………16 分 10. （ 本 题 满 分 20 分 ） 设 数 列 {an } 是 等 差 数 列 ， 数 列 {bn } 满 足 2 , n 1, 2, ． bn an1an2 an （1）证明：数列 {bn } 也是等差数列； （2） 设数列 {an } 、 并且存在正整数 s, t ， 使得 as bt {bn } 的公差均是 d 0 ， 是整数，求 a1 的最小值． 解： （1）设等差数列 {an } 的公差是 d ，则 2 2 bn1 bn ( an2an3 an 1 ) ( an1an2 an ) an2 ( an3 an1 ) ( an1 an )( an1 an ) an2 2d ( an1 an ) d
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 参考答案及评分标准
说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分， 解答题中第 9 小题 4 分为一个档次， 第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分． 1. 在等比数列 {an } 中， a2 2, a3 3 ，则
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：函数 含答案 精品
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编函数2017.031、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 .2、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x = ，则(2)f -=A ．4B ．14 C ．14- D ．4- 3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）函数331x x y =-的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．4、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知函数()221,0,0x x f x x x x ->⎧=⎨+≤⎩，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________．5、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知函数f (x )＝lg 101＋4x 2－2x，则f (2017)＋f (－2017)＝（ ）A ．0B ．2C ．20D ．4034 6、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）已知12a =，123b =，3log 2c =，则（ ）A ．b a c >> B.c b a >> C.b c a >> D.a b c >>7、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）函数8、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）函数223xx xy e -=的图象大致是A ．B ． C. D ．9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））函数()21log 41 410 4x x f x x ⎧-≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，若方程()()20af x bf x c ++=有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ ） A ．52 B ．4 C.114D ．2 10、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）下列四个图中，函数1|1|ln 10++=x x y 的图象可能是（ ）11、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）若11321sin 2,log 2,log 3a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>12、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()11f x f x +=，若()f x 在[]1,0-上是减函数，记()()()0.50.52log 2,log 4,2a f b f c f ===，则（A ）a c b >> （B ）a b c >> （C ）b c a >> （D ）b a c >> 13、（福建省霞浦第一中学2017届高三上学期期中考试）若幂函数()f x 过点（2，8），则满足不等式 f (a ﹣3)＞f (1﹣a ) 的实数a 的取值范围是 .14、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知函数f (x )＝x 3＋2x －1（x ＜0）与g (x )＝x 3－log 2 (x ＋a )＋1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．(－∞，2)B ．(0，12)C ．(12，2)D ．(2，＋∞)15、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考） 函数cos ln ||xy x -=的图象大致是（ ）16、（福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月）月考）已知函数()⎩⎨⎧<+≥+=0,0,3x b ax x x x f 满足条件：对于任意的非零实数1x ，存在唯一的非零实数2x ()21x x ≠，使得()()21x f x f =.当)()4ff b =成立时，则实数=+b a （ ）A ．3 B. 5 C.3 D. 117、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知函数)(x f 是R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，则方程6()log (3)f x x =-在),0(+∞解的个数是（ ）A.6B.5C.4D.318、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上()f x x '<，若(4)()84f m f m m --≥-．则实数m 的取值范围为( )A.[2,2]-B.[2,)+∞C.[0,)+∞D.(,2][2,)-∞-+∞19、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））已知函数()()133ln f x mx m x x=--+，若对任意的()4 5m ∈，，[]12 1 3x x ∈，，，恒有()()()12ln33ln3a m f x f x -->-成立，则实数a 的取值范围是 ．20、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知函数()()(),ln 24x a a x f x x e g x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）A ．ln 2B ．ln 21-C ．ln 2-D ．ln 21--21、（福建省师大附中2017届高三上学期期中考试）已知函数121)(--=x e x f x （其中e 为自然对数的底数），则)(x f y =的大致图象大致为（A ） （B ）（C ）（D ）参考答案1、),0[+∞2、D3、C4、1,04⎛⎤-⎥⎝⎦5、B6、C7、C8、A9、D 10、D 11、B 12、A 13、(2,)+∞ 14、A 15、D 16、A 17、C 18、B19、37 6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 20、D 21、D。
2017年全国高中联赛一试(B卷)数学试题 Word版 含答案
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a中，2a3a 1201172017a a a a ++的值为 . 2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2()f x x +是奇函数，()2x f x +是偶函数，则(1)f 的值为 .4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-，1,2,n = . （1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线222:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR的取值范围.试卷答案1.答案：89解：数列{}n a的公比为32a q a ==，故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.解：设,,z a bi a b R =+∈，由条件得(9)10(1022)a bi a b i ++=+-+，比较两边实虚部可得9101022a ab b +=⎧⎨=-+⎩，解得：1,2a b ==，故12z i =+，进而||z 3.答案：74- 解：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32f +=-，即7(1)4f =-. 4.答案：解：由正弦定理知，sin 2sin a A c C ==，又2b ac =，于是::a b c =，从而由余弦定理得：222222cos 24b c a A bc +-===-. 5.答案：解：由条件知，EF 平行于BC ，因为正四面体ABCD 的各个面是全等的正三角形，故4AE AF EF ===，7AD AB AE BE ==+=.由余弦定理得，DE ===同理有DF =作等腰DEF ∆底边EF 上的高DH ，则122E H E F ==，故DH ==于是12DEF S EF DH ∆==6.答案：514解：注意K 中共有9个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为3984C =种，当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况，（2）三点是边长为4416⨯=种情况，（3的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0,0)的有4个，直角顶点位于(1,0)±，(0,1)±的各有一个，共有8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为616830++=，进而所求概率为3058414=.7. 解：二次曲线方程可写成2221x y a a--=，显然必须0a ->，故二次曲线为双曲线，其标准2221()x a -=-，则2222()c a a a =+-=-，注意到焦距24c =，可知24a a -=，又0a <，所以a =. 8.答案：574 解：由条件知2017[]21000c ≤=，当1c =时，有1020b ≤≤，对于每个这样的正整数b ，由10201b a ≤≤知，相应的a 的个数为20210b -，从而这样的正整数组的个数为。
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式1．三角函数的积化和差公式sinα•cosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosα•sinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosα•cosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinα•sinβ=[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V球=πR3（R为球的半径）。
一、选择题（每小题5分，共60分）1．设在xOy平面上，0<y≤x2,0≤x≤1所围成图形的面积为。
则集合M={(x,y)|x≤|y|}, N={(x,y)|x≥y2|的交集M∩N所表示的图形面积为A． B． C．1 D．2．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与直线CD的距离为2，夹角为。
则四面体ABCD的体积等于A． B． C． D．3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A．90 B．100 C．110 D．1204．在ΔABC中，若(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC，则A．ΔABC是等腰三角形，但不一定是直角三角形B．ΔABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形C．ΔABC既不是等腰三角形，也不是直角三角形D．ΔABC既是等腰三角形，也是直角三角形5．已知f(x)=3x2-x+4, f(g(x))=3x4+18x3+50x2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数和为A．8 B．9 C．10 D．116．设0<x<1, a,b为正常数。
则的最小值是A．4ab B．(a+b)2 C．(a-b)2 D．2(a2+b2)7．设a,b>0，且a2008+b2008=a2006+b2006。
则a2+b2的最大值是A．1 B．2 C．2006 D．20088．如图1所示，设P为ΔABC所在平面内一点，并且AP=AB+AC。
福建省各地2017届高三数学最新考试试题分类汇编圆锥曲线理
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编圆锥曲线2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）抛物线2x y -=上的点到直线0834=-+y x 距离的最小值是（A ）34（B ）57 （C ）58 （D ）32、（福州市2017届高三3月质量检测）已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，126F F =，P 是E 右支上的一点，1PF 与y 轴交于点A ，2PAF △的内切圆在边2AF 上的切点为Q ．若AQ =E 的离心率是（A ）（B（C （D 3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查）已知双曲线E 2222:1(0,0)x y a b a b-=>> 点为的左焦点，点F 为E 上位于第一象限内的点，P 关于原点的对称点为Q ，且满足3PF FQ =，若OP b =，则E 的离心率为A B ．2 D 4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，过双曲线的左焦点且垂直于x 轴的直线与该双曲线相交于A 、B 两点，若∠AEB=90°，则该双曲线的离心率e 是（ ） A ．215+ B ．2 C ．215+或2 D ．不存在5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）如图，已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为2，以双曲线C 的实轴为直径的圆记为圆O ，过点2F 作圆O 的切线，切点为P ，则以12,F F 为焦点，过点P 的椭圆T 的离心率为（ ）A ．2 B ．4D -6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足| PF 2 |＝| F 1F 2 |，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为 （ ）A ．54B ． 43C ．53D ．27、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作圆222a y x =+的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且||||2CF BC =，则双曲线的渐近线方程为 A ．x y 3±=B ．x y 22±=C ．x y )13(+±=D ．x y )13(-±=8、（福州八中2017届高三第六次质量检查）设抛物线y 2＝－12x 上一点P 到y 轴的距离是1，则点P 到该抛物线焦点的距离是_________9、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））设双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，右支上一动点P ，过点P 向此双曲线的渐近线做垂线，垂足分别为点A 与点B ，若 A B ，始终在第一、四象限内，点O 为坐标原点，则此双曲线C 离心率e 的取值范围（ ）A ．1e <≤．13e <≤ C.1e <．12e <≤10、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））现将一条直线l 经过点()1 1A -，，且与22:40C x x y ++=相交所得弦长EF 为l 的方程是 ．11、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）设F 1、F 2分别为双曲线12222=-by a x 的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) （A ）34 （B ）35 （C ）2 （D ）2512、（厦门第一中学2017届高三上学期期中考试）已知12F F 、分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线C 右支上一点P 满足123PF PF =且212PF PF a =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．C ．2 D13、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于_______．二、解答题 1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．(Ⅰ)求双曲线的离心率；(Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．2、（福州市2017届高三3月质量检测）已知曲线C 上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于,A B 两点，交圆()22:11F x y +-=于,M N 两点(,A M 两点相邻).(ⅰ)若BF BA λ=，当1223λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求k 的取值范围；(ⅱ)过,A B 两点分别作曲线C 的切线12,l l ，两切线交于点P ，求A M P △与BNP △面积之积的最小值．3、（莆田市2017届高三3月教学质量检查） 已知曲线222:1(,1)x E y a b a a +=>≠上两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x ≠.（1）若点,A B 均在直线21y x =+上，且线段AB 中点的横坐标为13-，求a 的值； （2）记1212(,),(,)x xm y n y a a==，若m n ⊥为坐标原点，试探求OAB ∆的面积是否为定值？ 若是，求出定值；若不是，请说明理由.4、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考）已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设直线1，()x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．5、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直于x 轴的直线1l ，直线2l 垂直1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ． （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积的最小值．6、（漳州市第二片区2017届高三上学期第一次联考）已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F (－1，0)，离心率e ＝12左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）. （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求| S 1－S 2 |的最大值，并求此时l 的方程.7、（福州市第八中学2017届高三第六次质量检查）已知A 、B 、C 是椭圆m ：22221x y a b+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为()0，BC 过椭圆的中心，且0AC BC =，2BC AC =．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点()0,t 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且DP DQ =，求实数t 的取值范围．8、（福州外国语学校2017届高三适应性考试（九））如图，等边ABC △的边长为点均在抛物线():20E x py p =>上. （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设点()4 4S -，，过点()4 5N ，的直线l 交轨迹E 于 A B ，两点，设直线 SA SB ，的斜率分别为12 k k ，，证明：12k k 为定值，并求此定值.9、（晋江市季延中学等四校2017届高三第二次联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21=e ，过点)23,3(. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）过A （-a ，0)且互相垂直的两条直线l 1、l 2与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q .问：直线PQ 是否经过定点？若是，求出该定点；否则，说明理由。
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：数列含答案
福建省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编数学科网列 2017.03一、选择、填空题1、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟）设}{na 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80,则131211a a a ++= （A ）120 （B ）105 （C ）90 （D ）75 2、（福建省2017年普通高中毕业班单科质量检查模拟)我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列11111,,,,,234n. ①第二步：将数列①的各项乘以2n ，得到一个新数列1234,,,,,n a a a a a .则1223341n n a aa a a a a a -++++= ．3、（漳州市八校2017届高三上学期期末联考） 等差数列{}na 中,nS 是前n 项和，且k S S S S==783,，则k 的值为( ）A.4B.11C.2D. 124、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考)等比数列{}n a 的前n 项和为nS ，若32S=，618S=,则105SS 等于( ） A ．—3 B ．5 C ．-31 D ．335、（漳州市八校2017届高三下学期2月联考）已知数列}{na 与}{nb 满足)(32*∈+=N n b an n,若}{n b 的前n 项和为)13(23-=n n S 且λλ3)3(36+-+>n b a n n 对一切*∈N n 恒成立，则实数λ的取值范围是 。
6、(福建省“永安、连城、华安、漳平一中等”四地六校2017届高三第二次（12月)月考）已知等差数列{}na 前9项和为27，()1099=8=aa ，则A ． 100B 。
99 C. 98 D. 977、（福建省八县（市）一中联考2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若1598a a a ⋅⋅=-，2586b b b π++=，则4637cos 1b b a a +-⋅的值是（ )A 。
2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛暨2017年福建省高中数学竞赛试卷及答案
2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为。
【答案】(15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。
由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。
若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。
∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f =。
【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。
又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。
3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则12320()()()()f a f a f a f a ++++=L 。
【答案】2017【解答】由22()1f x x =+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。
∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 12017220163201521a a a a a a a a =====L 。
2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(全文
可编辑修改精选全文完整版2017年全国高中数学联赛A 卷一试一、填空题1.设)(x f 是定义在R 上的函数.对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时.)9(log )(2x x f -=.则)100(-f 的值为__________.2.若实数y x ,满足1cos 22=+y x .则y x cos -的取值范围是__________.3.在平面直角坐标系xOy 中.椭圆C 的方程为1109:22=+y x .F 为C 的上焦点.A 为C 的右顶点.P 是C 上位于第一象限内的动点.则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1.则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中.AB=1.AP=2.过AB 的平面α将其体积平分.则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.6.在平面直角坐标系xOy 中.点集}{1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点.则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.7.在ABC ∆中.M 是边BC 的中点.N 是线段BM 的中点.若3π=∠A .ABC ∆的面积为3.则AN AM ⋅的最小值为__________.8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a .对任意正整数n .有n n n a a a +=++12.n n b b 21=+.则11b a +的所有可能值为__________.二、解答题9.设m k ,为实数.不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .10.设321,,x x x 是非负实数.满足1321=++x x x .求)53)(53(321321x x x x x x ++++的最小值和最大值.11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z .0)Re(2>z .且2)Re()Re(2221==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.2017年全国高中数学联赛A 卷二试一.如图.在ABC ∆中.AC AB =.I 为ABC ∆的内心.以A 为圆心.AB 为半径作圆1Γ.以I 为圆心.IB 为半径作圆2Γ.过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证明：CR BR ⊥二.设数列{}n a 定义为11=a . ,2,1,,,,1=⎩⎨⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤<r a r 的正整数r 的个数.三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一.使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同.则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设n m ,均是大于1的整数.n m ≥.n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数.且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x .均存在一个)1(n i i ≤≤.使得x m m x a i )1(2+≥.这里y 表示实数y 到与它最近的整数的距离.2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.2.3.4.5.7.8.9.10.11.2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.二.三.四.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.1.在等比数列{}n a 中.2a =.3a =则1201172017a a a a ++的值为 .2.设复数z 满足91022z z i +=+.则||z 的值为 .3.设()f x 是定义在R 上的函数.若2()f x x +是奇函数.()2xf x +是偶函数.则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中.若sin 2sin A C =.且三条边,,a b c 成等比数列.则cos A 的值为 .5.在正四面体ABCD 中.,E F 分别在棱,AB AC 上.满足3BE =.4EF =.且EF 与平面BCD 平行.则DEF ∆的面积为 .6.在平面直角坐标系xOy 中.点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-.在K 中随机取出三个点.则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .7.设a 为非零实数.在平面直角坐标系xOy 中.二次曲线2220x ay a ++=的焦距为4.则a 的值为 .8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥.则数组(,,)a b c 的个数为 .二、解答题 （本大题共3小题.共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9.设不等式|2||52|x xa -<-对所有[1,2]x ∈成立.求实数a 的取值范围.10.设数列{}n a 是等差数列.数列{}n b 满足212n n n n b a a a ++=-.1,2,n =.（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠.并且存在正整数,s t .使得s t a b +是整数.求1||a 的最小值.11.在平面直角坐标系xOy 中.曲线21:4C y x =.曲线222:(4)8C x y -+=.经过1C 上一点P 作一条倾斜角为45的直线l .与2C 交于两个不同的点,Q R .求||||PQ PR ⋅的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）一、（本题满分40分）设实数,,a b c 满足0a b c ++=.令max{,,}d a b c =.证明：2(1)(1)(1)1a b c d +++≥-二、（本题满分40分）给定正整数m .证明：存在正整数k .使得可将正整数集N +分拆为k 个互不相交的子集12,,,k A A A .每个子集i A 中均不存在4个数,,,a b c d （可以相同）.满足ab cd m -=.三、（本题满分50分）如图.点D 是锐角ABC ∆的外接圆ω上弧BC 的中点.直线DA 与圆ω过点,B C 的切线分别相交于点,P Q .BQ 与AC 的交点为X .CP 与AB 的交点为Y .BQ 与CP 的交点为T .求证：AT 平分线段XY .四、（本题满分50分）设1220,,,{1,2,,5}a a a ∈.1220,,,{1,2,,10}b b b ∈.集合{(,)120,()()0}i j i j X i j i j a a b b =≤<≤--<.求X 的元素个数的最大值.一试试卷答案1.答案：89 解：数列{}n a 的公比为33232a q a ==.故120111201166720171201118()9a a a a a a q a a q ++===++. 2.答案：5。
2017年全国高中数学联赛一试(B卷)答案
2017 年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．1. 在等比数列{a } 中，a2, a 3，则a 1a2011的值为．3n23a 7a2017答案：8．9a 3 a a a a 1 8 解：数列{a } 的公比为q 3，故．a 2 q 6 ( a 1 a 2011 ) q 6n 2 a 7a 201792. 设复数 z 满足z 9 1022 i ，则 z z 的值为．答案：．5 a , b R ．由条件得解：设z a b i,( a 9) b i 10 a ( 10b 22) i ． 比较两边实虚部可得 a + 9 = 10 a ,b = −10b + 22,解得a 1, b 2 ，故z 1 2 i ，进而 z 5 ．3. 设 f ( x ) 是定义在R 上的函数，若 f ( x ) x 2 是奇函数， f ( x ) 2x 是偶函数， 则 f (1) 的值为 ．答案： 7．4f ( 1) 1 ， 解：由条件知， f (1) 1f ( 1) ( 1) 2 f ( 1) 1, f (1) 221 ，即 f (1) 7两式相加消去 f ( 1) ，可知2 f (1) 3 ．244. 在 ABC 中，若sin A 2sin C ，且三条边a , b , c 成等比数列，则cos A 的值为 ．答案：42．解：由正弦定理知，ac sinsin C A 2 ，又b 2ac ，于是a : b : c 2 : 2 : 1，从而由余弦定理得，cos A b2c2a 2(2) 2122 22． 4 2 bc 2 2 15. 在正四面体 ABCD 中，E , F 分别在棱 AB , AC 上，满足BE = 3, EF = 4 ，且EF 与面BCD 平行，则∆DEF 的面积为．1答案：233 ．解：由条件知，EF 平行于BC ．因为正四面体 ABCD 的各个面是全等的正三角形，故AE AF EF 4, AD AB AE BE 7 ．由余弦定理得，DE AD 2 AE 2 2 AD AE cos 6049 16 28 37 ，同理有DF 37 ．作等腰 DEF 底边EF 上的高DH ，则EH12 EF 2 ，故DH DE 2 EH 2 33 ，于是S DEF12 EF DH 233 ．6. 在平面直角坐标系 xOy 中，点集K ( x , y ) | x , y 1, 0, 1 ．在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过 2 的概率为 ．答案：145．解：注意K 中共有 9 个点，故在K 中随机取出三个点的方式数为种．当取出的三点两两之间距离不超过 2 时，有如下三种情况：（1）三点在一横线或一纵线上，有 6 种情况．（2）三点是边长为1, 1, 2 的等腰直角三角形的顶点，有4 4 16 种情况．（3）三点是边长为2, 2, 2 的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于(0, 0) 的有 4 个，直角顶点位于( 1, 0), (0, 1) 的各有一个，共有8 种情况．综上可知，选出三点两两之间距离不超过 2 的情况数为 ，进而所求概率为30 5 ． 14 847. 设a 为非零实数，在平面直角坐标系 xOy 中，二次曲线 x 2 ay 2 a 2 0 的 焦距为 4，则a 的值为 ．答案：1 217．解：二次曲线方程可写成 x 2 y2 1．显然必须 a 0 ，故二次曲线为双曲 a 2ay 2x 2222 21 ．则c ( a )( a )a a ，注意到焦距( a )2 ( a )2c 4 ，可知a 2 a 4 ，又a 0，所以a 117．28. 若正整数a , b , c 满足2017 10 a 100b 1000c ，则数组( a , b , c ) 的个数为．答案：574 ．解：由条件知c20172 ．1000当c1时，有10b20．对于每个这样的正整数b，由10b a201知，2相应的a的个数为202 10b．从而这样的正整数组的个数为20b 10 2当c2时，由20 b 2017 ．进而200 2017 201 ，，知b20 a100 10故a200, 201．此时共有2组(a,b,c)．综上所述，满足条件的正整数组的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设不等式2x a5 2x对所有成立，求实数a的取值范围．解：设t2x，则t[2, 4]，于是对所有成立．由于t a 5 t ( t a ) 2 (5 t)2(2 t a 5)(5 a) 0 ．………………8 分对给定实数a，设f(t) (2t a5)(5a)，则f(t)是关于t的一次函数或常值函数．注意t[2, 4]，因此f(t) 0等价于………………12 分f (4) (3 a )(5 a) 0,解得3a5．所以实数a的取值范围是3a5．………………16 分10.（本题满分20分）设数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b a a a 2, n 1, 2,．n n 1 n 2 n（1）证明：数列{b n}也是等差数列；（2）设数列{a n}、{b n}的公差均是d0，并且存在正整数s,t，使得a s b t是整数，求a1的最小值．解：（1）设等差数列{a n}的公差是d，则b n1b n( a n2a n3 a n21)( a n1a n2a n2)a n2( a n3 a n1) ( a n1 a n)( a n1 a n)a n22 d ( a n1 a n) d(2a n2a n1a n ) d ．所以数列{b n}也是等差数列．………………5 分（2）由已知条件及（1）的结果知．因为，故．这样b a an 2 a 2 ( a d )( a 2 d ) a2n n 1 n n n n3da n 2d2a n 2 ．………………10分9若正整数s,t满足，则3a b a a 2a ( s 1) d a ( ts ts t 9 1 12a s t 22 Z ． 13 9 s t 2 2记l 2a ，则l Z ，且18a 3(3l1 3 91 整数，故，从而．又当时，有ab1 17 1 Z ．13 18 18综上所述， a 1 的最小值为181．1)d92s t 1) 1是一个非零的………………15 分………………20 分11. （本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 : y 2 4x ，曲线 C2 : ( x 4) 2 y 28 ．经过C 1 上一点P 作一条倾斜角为45 的直线l ，与C 2 交于两个不同的点Q , R ，求 PQ PR 的取值范围．解：设P (t 2 , 2t ) ，则直线l 的方程为 y x 2t t 2 ，代入曲线C 2 的方程得， ( x 4) 2 ( x 2t t 2 ) 2 8 ，化简可得 2 x 2 2(t 2 2t 4) x (t 2 2t ) 2 8 0 ．①由于l 与C 2 交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式 为正．计算得，(t 2 2t 4) 2 2((t 2 2t ) 2 8) (t 2 2t ) 2 8(t 2 2t ) 16 2(t 2 2t ) 2 164(t 2 2t ) 2 8(t 2 2t )(t 2 2t ) (t 2 2t 8)t (t 2)(t 2)(t 4) ，因此有 t ( 2, 0) (2,4) ． ②………………10 分设Q , R 的横坐标分别为x 1 , x 2 ，由①知，x x t 22t 4, x x 1((t 2 2t ) 2 8) ，121 2 2因此，结合l 的倾斜角为45 可知，PQ PR 2( x 1t 2 ) 2( x 2 t 2 ) 2 x 1 x 2 2 t 2 ( x 1 x 2 ) 2t 4(t 2 2t ) 2 8 2t 2 (t 2 2t 4) 2t 4t 4 4t 3 4t 2 8 2t 4 4t 3 8t 2 2t 4t 4 4t 2 8 (t 2 2) 2 4 ．③………………15 分由②可知，t 2 2 ( 2, 2) (2, 14) ，故( t 2 2) 2 [0,4) (4, 196) ，从而由③得，PQ PR (t 2 2) 2 4 [4, 8) (8, 200) ．………………20 分注 1：利用C 24 2 t t2的圆心到l 的距离小于C 2 的半径，列出不等式2，2 2同样可以求得②中t 的范围．注 2：更简便的计算 PQ PR 的方式是利用圆幂定理．事实上，C 2 的圆心为 M (4, 0) ，半径为r 2 2 ，故PQ PRPM 2 r 2 (t 2 4) 2 (2t ) 2 (22) 2 t 4 4t 2 8 ．4。
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学联赛福建赛区获奖名单的通知
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学联赛福建赛区获奖名单的通知
文章属性
•【制定机关】福建省教育厅,福建省科学技术协会
•【公布日期】2008.11.26
•【字号】闽教基[2008]82号
•【施行日期】2008.11.26
•【效力等级】地方规范性文件
•【时效性】现行有效
•【主题分类】教育综合规定
正文
福建省教育厅、福建省科学技术协会关于公布全国高中数学
联赛福建赛区获奖名单的通知
（闽教基〔2008〕82号）
各设区市教育局、科协：
由省教育厅、省科协委托省数学学会举办的“2008年全国高中数学联赛福建赛区”的竞赛工作已结束，共评出一等奖41名、二等奖53名、三等奖59名，现将获奖学生及指导教师名单（见附件）予以公布，请通知有关学校、获奖学生及指导教师。
二○○八年十一月二十六日附件：
2008年全国高中数学联赛福建赛区。
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2017年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案（考试时间：2017年5月21日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1．已知集合{}2log (1)1A x x =-<，{}2B x x a =-<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围为 。
【答案】 (15)-，【解答】由2log (1)1x -<，得012x <-<，13x <<，(13)A =，。
由2x a -<，得22x a -<-<，22a x a -<<+，(22)B a a =-+，。
若A B ⋂=∅，则21a +≤或23a -≥，1a ≤-或5a ≥。
∴ A B ⋂≠∅时，a 的取值范围为(15)-，。
2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且函数(1)y f x =+为偶函数，当10x -≤≤时，3()f x x =，则9()2f = 。
【答案】18【解答】由函数(1)y f x =+为偶函数，知(1)(1)f x f x -+=+。
又()f x 为奇函数，∴ (2)()()f x f x f x +=-=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=。
∴ 391111()()()()22228f f f ==--=--=。
3．已知{}n a 为等比数列，且120171a a =，若22()1f x x =+，则1232017()()()()f a f a f a f a ++++= 。
【答案】 2017【解答】由22()1f x x=+知，2222212222()()211111()x f x f x x x x x+=+=+=++++。
∵ {}n a 为等比数列，且120171a a =， ∴ 120172201632015201711a a a a a a a a =====。
∴ 12017220163201520171()()()()()()()()2f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=。
∴ []12320172()()()()f a f a f a f a ++++[][][][]12017220163201520171()()()()()()()()f a f a f a f a f a f a f a f a =++++++++22017=⨯。
∴ 1232017()()()()2017f a f a f a f a ++++=。
4．将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额，则甲班恰好分到2个名额的概率为 。
【答案】27【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级，每班至少1个名额的不同分配方案有3735C =种。
（用隔板法：将8个名额排成一排，在它们形成的7个空挡中插入3块隔板，则每种插入隔板的方式对应一种名额分配方式，反之亦然。
）其中，甲班恰好分到2个名额的分配方案有2510C =种。
（相当于将6个名额分配个3个班级，每班至少1个名额。
）所以，所求的概率为102357=。
5．三棱锥P ABC -中，ABC △是边长为PB PC ==P BC A --的大小为45︒，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 。
【答案】 25π【解答】如图，取BC 中点D ，连AD ，PD 。
由ABC △是边长为PB PC ==AD BC ⊥，PD BC ⊥，PD =∴ PDA ∠为二面角P BC A --的平面角，45PDA ∠=︒，BC PAD ⊥面，PAD ABC ⊥面面。
作1PO AD ⊥于1O ，则1PO ABC ⊥面。
∴ 111PO O D ==，12O A =，1O 为ABC △的外心，三棱锥P ABC -为正三棱锥。
设三棱锥P ABC -外接球的球心为O ，半径为R 。
则O 在直线1PO 上，且22211PO PO O A OA -+=。
∴ 222(1)2R R -+=，52R =，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为2425R ππ=。
6．已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
【答案】A【解答】如图，不妨设点P 在第一象限，D 、E 、F 分别为I ⊙与12PF F △三边相切的切点。
则由切线长定理以及双曲线定义，得121212122()()a PF PF PF FF PE EF FF EF F D F D =-=+-+=-=-()()2D D D x c c x x =+--=∴ 2D x a ==，2M I D x x x ===。
设00()P x y ，，由M 为12PF F △重心，知036M x x ==，046y =。
∴ 221(64)(460)14PF =++-=，222(64)(460)10PF =-+-=。
设12PF F △内切圆半径为r ，则1212121()162PF F S PF PF F F r r =++⨯=△。
另一方面，121201184616622PF F S F F y =⨯⨯=⨯⨯=△。
∴ 16166r =，6r =。
7．在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且sin cos (2cos )sin 22A AC C =-，3cos 5A =，4a =，则ABC △的面积为 。
【答案】 6 【解答】由sin cos(2cos )sin 22A A C C =-，知22sin cos 2(2cos )sin cos 222A A A C C =-。
∴ sin (1cos )(2cos )sin C A C A +=-，sin sin cos 2sin cos sin C C A A C A +=-。
∴ sin sin cos cos sin 2sin C C A C A A ++=，sin sin()2sin C C A A ++=。
∴ sin sin 2sin CB A +=，即2c b a +=。
又3cos 5A =，4a =。
∴ 22242cos b c bc A =+-，即22234(8)2(8)5b b b b =+---⨯，解得3b =或5b =。
∴ 35b c =⎧⎨=⎩，或53b c =⎧⎨=⎩。
∴ ABC △的面积114sin 356225S bc A ==⨯⨯⨯=。
8．若关于x 的方程230x ax b ++-=（a ，b R ∈）在区间[]12，上有实根，则22(4)a b +-的最小值为 。
【答案】 2【解答】由230x ax b ++-=知，23b x ax =--+。
∴ 22222222222(4)(1)(1)2(1)a b a x ax a x ax x a x +-=+---=+++++222222(1)(12)(1)()1x x ax a x x a x =++++=++++。
∵ []12x ∈，，∴ 222(4)12a b x +-≥+≥，当1x =，1a =-，3b =时，等号成立。
∴ 22(4)a b +-的最小值为2。
9．函数()f x =。
【答案】 11【解答】由柯西不等式知，22= 2271244(326)()11326x x x---≤++++=。
当且仅当==，即9436271244x x x ==---，8x =时等号成立。
∴ ()f x 的最大值为11。
10.A 、B 、C 为圆O 上不同的三点，且120AOB ∠=︒，点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合），若OC OA OB λμ=+（λ，R μ∈），则λμ+的取值范围为 。
【答案】 (]12，【解答】如图，连结OC 交AB 于点D 。
设OD mOC =，则由OC OA OB λμ=+，得OD m OA m OB λμ=+。
∵ A 、D 、B 三点共线， ∴ 1m m λμ+=，1mλμ+=。
不妨设圆的半径为1，作OE AB ⊥于E ，由120AOB ∠=︒，知12OE =。
∵ 12OD OE ≥=，且点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴112m ≤<。
于是，12λμ<+≤。
∴ λμ+的取值范围为(]12，。
另解：如图，以O 为原点，线段AB 的垂直平分线所在直线为y 轴建立直角坐标系。
不妨设圆O 半径为2，则由120AOB ∠=︒，知(31)A -，，(31)B ，。
设(2cos 2sin )C αα，。
则由OC OA OB λμ=+，得(2cos 2sin )(31)(31)ααλμ=-+，，，。
∴ 2sin λμα+=。
∵ 点C 在劣弧AB 内（点C 与A 、B 不重合）， ∴ 30150α︒<<︒。
∴1sin 12α<≤，(]2sin 12λμα+=∈，。
∴ λμ+的取值范围为(]12，。
二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。
要求写出解题过程）11．若数列{}n a 中的相邻两项n a 、1n a +是关于x 的方程20n x nx c -+=（n =1，2，3，…）的两个实根，且11a =。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b c -=，求数列{}n b 的通项公式及{}n b 的前n 项的和n T 。
（必要时，可以利用：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=）【解答】（1）依题意，由韦达定理，得1n n a a n ++=，1n n n c a a +=。
∴ 121()()(1)1n n n n a a a a n n ++++-+=+-=，即21n n a a +-=。
……………… 5分 ∴ 1a ，3a ，5a ，…；和2a ，4a ，6a ，…，都是公差为1的等差数列。
又11a =，2110a a =-=。
∴ 对*k N ∀∈，21k a k -=，21k a k =-。
即1222n n n a n n +⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩，为奇数，为偶数。
……………………… 10分（2）由（1）知，22121221122(1)22n n n n n n b c a a n n n n ---+-==⋅=⋅=-=-。
……………………………… 15分∴ 2222(1)(21)(1)(123)(123)62n n n n n n T n n +++=++++-++++=-(1)(1)3n n n -+=。