勾股定理回顾与思考
第1章 《勾股定理》回顾与思考
•③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数 学模型解决现实世界的实际问题．
★【基础必杀题】满分：75 分 一、选择题
►答案见：D2
(★)分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，
设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
∴152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. ∴AD＝12.
BD∴＝S△AxB， C＝12则BC·ACDD＝＝ 12×1144×－12＝x8. 4. 勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
第一章 勾股定理
《勾股定理》回顾与思考
本 章知 识 架 构
直角三角形
勾股定理
勾股定理 的逆定理
验证方法 已知两边求
第ห้องสมุดไป่ตู้边
判定直角三角形 判定勾股数 判定垂直
一 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，
那么
a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.
勾股定理的应用条件
为( D )
A．600 m
B．800 m
C．1 000 m
D．1 300 m
(★)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中， 点 A，B 都是格点，则 AB 的长为( A ) A．5 B．6 C．7 D．25
(★)如图，长方体的高为 9 m，底面是边长为 6 m 的正方形，
勾股定理课后反思
勾股定理课后反思篇一：《勾股定理》教学反思时光稍纵即逝，转眼间一个新的学期又要结束了，回顾已逝的教学时光，可谓百味俱全，其间有一节课我上得最投入、最值得回忆与反思。
记得那是期末的展示汇报课，(主任说可能会有校外的教师来听课。
)我当时很有压力,晚上也难以入睡.我选的是《勾股定理》一课。
为了上好这节课，我反复研究了去洋思学习的一些记录，努力用新理念新手段来打造我的这节课。
当我满怀信心地上完这节课时，我心情愉悦，因为我教态自然得体，与学生合作默契，基本上获得了教学的成功。
1、从生活出发的教学让学生感受到学习的快乐在勾股定理这节课中，一开始引入情景：平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。
忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。
湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。
花离根二尺远，试问水深尺若干。
知识回味：复习勾股定理及它的公式变形，然后是几组简单的计算。
2、走进生活：以装修房子为主线，设计木板能否通过门框，梯子底端滑出多少，求蚂蚁爬的最短距离，这些都是勾股定理应用的典型例题。
3、名题欣赏：首尾呼应，用代数方法解决几何问题。
印度数学家婆什迦罗（1141-1225年）提出的荷花问题比我国的引葭赴岸问题晚了一千多年。
引葭赴岸问题，是我国数学经典著作《九章算术》中的一道名题。
《九章算术》约成书于公元一世纪。
该书的第九章，即勾股章，详细讨论了用勾股定理解决应用问题的方法。
这一章的第6题，就是引葭赴岸问题，题目是：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺。
引葭赴岸，适与岸齐。
问水深、葭长各几何？荷花问题的解法与引葭赴岸问题一样。
它的出现却足以证明，举世公认的古典数学名著《九章算术》传入了印度。
《九章算术》中的勾股定理应用方面的内容，涉及范围之广，解法之精巧，都是在世界上遥遥领先的,为推动世界数学的发展作出了贡献。
鼓励学生可以自己利用课余时间查阅相关资料，丰富知识。
4、在教学应用勾股定理时，老是运用公式计算，学生感觉比较厌倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，运用多媒体出示了一道智慧爷爷出的思考题：即折竹抵地问题。
新北师大版八年级数学上册《勾股定理 回顾与思考》精品课件
2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm, 求Rt△ABC中的面积.
合作探究
利用勾股定理逆定理判定△ABC的形状或求角度
1. 在△ABC中， A,B,C 的对边分别为 a , b , ，c 且
(ab)(ab)c2，则（ ）. （A）为A 直角 （B） C为直角 （C） 为B 直角． （D）不是直角三角形
的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最 短线路问题． 6.直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？
自主学习
7.举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形． 8.通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的
知识结构图．
三边的关系--勾股定理→历史、应用 直角三角形
c2=________,a2=________,b2=__________. 3.勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a,b,c满足,则△ABC为______． 4.勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数． 5.几何体上的最短路程是将立体图形的____展开，转化为______上
C、5∶12∶13
D、4∶6∶7
（二）、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，
①若a=5，b=12，则c=_____1_3_____； ②若a=15，c=25，则b=___2__0______； ③若c=61，b=60，则a=____1_1_____； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC=___2_4____。
2.已知△ABC的三边为a,b,c,有下列各组条件,判定△ABC的形状． （1）a4 1 ,b4 0 ,c9 （2）a m 2 n 2 ,b m 2 n 2 ,c 2 m n ( m n 0 )
勾股定理的回顾与思考
《勾股定理的回顾与思考》教学设计教学目标：1．理解勾股定理及其逆定理的含义，能够解决一些简单的实际问题； 2．进一步掌握与勾股定理相关的技能，会运用数形结合、分类讨论等的数学思想解决实际问题，培养数学思维能力。
教学重点：勾股定理及其逆定理的简单运用难点：应用技能和数学思维的培养 教学过程： ㈠ 课前热身1．由下列条件不能判别△ABC 为直角三角形的是( ).A ．1=a ，2=b ，3=cB ．3:2:1::=∠∠∠C B A C ．c b a 222-=D ．6:4:3::=c b a 2．在Rt △ABC 中，①若∠C=90°,a =5，b =12，则c =___________； ②若∠C=90°,a =15，c =25，则b =___________； ③若∠C=90°,a b :=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________； ④若a =5，b =12，则c =___________。
㈡ 本章知识结构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=⇔-=-=⇔-=+==+路线等勾股定理的应用：最短的多样性）角三角形的判定（方法勾股定理的逆定理：直，，，，，，，，常见的勾股数：的三种变形种基本图形”证明（等积法）：“三勾股定理.3.2171582524713125543c c bc b c b c b .1222222222222222a b a b a a a ca2x3x2xx30︒基本知识点： （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系：c b a 222=+，那么这个三角形是直角三角形． （3）勾股数：满足c b a 222=+的三个正整数，称为勾股数。
如常用的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41 （4）特殊直角三角形的三边关系㈢ 综合运用1．已知Rt △ABC 两直角边分别为4cm 、3cm,则斜边为____cm,斜边上的高为____cm.2．一艘帆船由于风向的原因，先向西南方向航行了7千米，然后向西北方向航行了24千米，这时帆船离出发地_____千米.3．左图由4个等腰直角三角形组成，其中第１个直角三角形腰长为1cm ，第4个直角三角形斜边长度为_______．那么，按照此种方式下去，第n 个直角三角形斜边长度为_______．34．（06佛山）如图，所有的四边形都是正方形， 所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是 ，则图中四个小正方形 的面积之和是_____．㈣ 拓展探索：1．如图，AD ⊥CD ， AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，若∠CAB ＝55°，求∠B 的大小．2．在△ABC 中，如果AB=13, CA=15,高AD=12,求△ABC 的周长3.如图是一个长8m,宽6m,高5m 的仓库，在其内壁的A 处有一只壁虎、C ’处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米？ABCDa4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时AD和EC 的长．㈤课堂小结1. 知识：勾股定理及其逆定理。
《勾股定理》教学反思范文(精选7篇)
《勾股定理》教学反思范文（精选7篇）《勾股定理》教学反思1义务教育课程标准实验教材八年级数学（下）《勾股定理》的第一课时，教材的重点是让学生经历勾股定理的探索和证明过程，了解勾股定理的背景知识，在学习知识的同时，感受勾股定理的丰富文化内涵，激发学生的学习兴趣，对学生进行思想品德教育。
在讲课时，由于没有认真准备，也没有让学生准备学具，所以在上课时，只是让学生利用书中的图形来进行探究。
对于勾股定理的证明，只是用了四个全等的直角三角形拼了拼，运用同一图形的不同表示法得出了结论。
一节课，将课堂重点放到了对勾股定理结论的记忆和运用上，淡化了教材对勾股定理的探索和证明过程，结果只有班内少数同学学到了探索和证明方法，教学效果不佳。
这节课讲过没多久，由于要参加优质课比赛，我又认真对这节课进行了准备。
针对教材的任务要求，我对本节课的教学过程是这样设计的：1、欣赏图片，激发兴趣通过欣赏20__年在我国北京召开的国际数学家大会的会徽图案，引出“赵爽弦图”，让学生了解我国古代辉煌的数学成就，引入课题。
接下来，让学生欣赏传说故事：相传2500年前，毕达格拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。
通过故事使学生明白：科学家的伟大成就多数都是在看似平淡无奇的现象中发现和研究出来的；生活中处处有数学，我们应该学会观察、思考，将学习与生活紧密结合起来。
这样，一方面激发学生的求知欲望，另一方面，也对学生进行了学习方法指导和解决问题能力的培养。
2、分析探究，得出猜想通过对地板图形中的等腰直角三角形到一般直角三角形中三边关系的探究，让同学们体验由特殊到一般的探究过程，学习这种研究方法。
在这一过程中，学生充分利用学具去尝试解决，力求让学生自己探索，先在小组内交流，然后在全班交流，尽量学习更多的方法。
3、拼图证明，得出定理先了解赵爽的证明思路，然后让学生利用学具自己剪拼，并利用图形进行证明。
由于难度比较大，组织学生开展小组合作学习。
勾股定理回顾与思考教学设计
第一章勾股定理近年来，随着新思政课教学的深入普及，课程思政融入教学作为新课程改革的重要组成部分，受到越来越多的重视。
以数学为例，思政课程不仅要求学生具备基本的数学知识，更要求学生能够用科学的方法研究，并运用数学知识解决实际问题。
《勾股定理》复习课，从思政课融入的角度，对如何结合数学教学模式进行思政课教学融入课程进行分析。
首先，我们从《勾股定理及其证明》这一数学知识点入手，思考如何结合思政课融入教学。
勾股定理这一数学知识点，是研究数学几何的一个重要知识，可以通过判定三角形是否为直角三角形，完成计算面积，求解角平分线等等。
要将数学知识真正融入思想政治课教学，首先要求教师在讲解此知识点时，将历史、社会等内容融入课堂教学。
其次，要结合思政课教学内容，挖掘勾股定理三角形运用的可能性，体现出其实践性。
教师可以在讲解数学知识点之外，从历史背景等知识角度，介绍勾股定理的源头与发展过程，深入讲解勾股定理出现及其应用的文化史背景。
最后，要引导学生思考勾股定理的运用，以便加强理解。
教师可以利用案例分析，帮助学生理解勾股定理的应用，探讨如何利用勾股定理解决实际问题，如计算距离、求解面积等。
此外，还可以利用实验教学等方式，引导学生探究勾股定理这一数学知识点，帮助学生更好地理解其数学原理，进而加强数学知识的掌握，操作能力的培养。
以上就是我们通过课程思政融入数学教学，对勾股定理及其证明的融入的个性化分析方案。
总之，利用思政课融入数学教学，可以有效地激发学生的学习兴趣，加强学生的数学知识掌握及操作能力的培养，增强学生的实际应用能力，从而达到丰富学生的知识量，让学生们更有礼貌、更有效率，更有价值地参与社会实践。
一、学生起点分析通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力．他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会．但对于勾股定理的综合应用，还需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，可能部分同学会有一些困难．二、教学任务分析勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，理论上占有重要的地位，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用，勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值．勾股定理也是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科的基础性与广泛的应用．本课时教学是复习课，强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力．让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受数学的美，以提高学习兴趣．为此，本节课的教学目标是：①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．三、教学过程设计本节课设计了六个环节．第一环节：情境引入；第二环节：知识结构梳理；第三环节：合作探究；第四环节：拓展提升；第五环节：交流小结；第六环节：布置作业．第一环节情境引入勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验，首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理得发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们将在《实数》一章里讲到，第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的历史，勾股定理的应用．目的：通过对勾股定理历史及地位的解读，让学生了解知识脉络及前后联系，激发学习探究热情．效果：从历史的深度提出问题，学生探究热情高涨，为下一环节奠定了良好基础．第二环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和=．c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c2．勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为,,a b c，则c=_________，b=_________，c=_________．3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若,,a b c三边满足___________，则△ABC为___________．4．勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？（教师引导，小组讨论、总结）从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角互余．直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边时斜边的一半．7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．判断一个三角形是直角三角形可以从角、边两个方面去判断．（1）从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：①在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得90A ∠=︒，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．②在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，A 30∠=︒，260B A ∠=∠=︒，390C A ∠=∠=︒，△ABC 是直角三角形．（2）从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：①△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而22222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形，但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=︒．②在△ABC 三条边的比为::5:12:13a b c =，△ABC 是直角三角形．8．通过回顾与思考中的问题的交流，由同学们自己建立本章的知识结构图． （小组内展示自己总结的知识框图，相互交流完善知识框图；每个小组选取一名代表，展示本组的知识框图．）三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用目的：复习与直角三有形有关的知识，加强知识的前后联系，把勾股定理及判定纳入直角三角形的知识体系中，把以前的零散的知识形成知识体系．通过学生相互交流，整理知识框图复习本章知识点，自觉内化到自身的知识体系中．{效果：学生有独立思考的空间，与有合作交流的舞台，动静结合，相得益彰． 第三环节：合作探究内容：探究一：利用勾股定理求边长已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．探究二：利用勾股定理求图形面积：1．求出下列各图中阴影部分的面积．(1)(2)图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）2． 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b cm c cm +==，，求Rt △ABC 的面积．_( 3 )2ABC 222222211S 2241()()41()41(1410)424.ab ab a b a b a b c ∆==⨯⎡⎤=+−+⎣⎦⎡⎤=+−⎣⎦=⨯−=解：探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度1. 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +−=，则（ ）.（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形解：222a b c −=，∴222a b c =+．故选（A ）.注意事项：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c −=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断．2．已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状．（1）41409a b c ===，，；（2））（，，0n m m n 2c n m b n m a 2222>>=+=−=．解：（1）（2）均为直角三角形．探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（n mile ），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（n mile ）．∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的．注意事项：勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理，其形式为“若222a b c +=，则90C ∠=︒．学生容易不先对三角形做出判断而直接应用勾股定理进行计算．目的：通过对四大问题的探究，培养同学们归纳知识的能力，并将各种数学基本思想方法渗透其中，如对数形结合思想的渗透，鼓励学生由代数表示联想到几何图形，由几何图形联想到有关代数表示，从而认识数学的内在联系．如对分类讨论的渗透，培养学生严谨的数学态度．效果：探究四综合运用勾股定理及其逆定理解决实际问题，这种贴近生活的实例，训练学生解决实际问题的能力，通过学生的解答和讨论，让学生自我解决疑难，既是对所学知识的巩固应用，又让学生体验成功的喜悦．第四环节：拓展提升内容： 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若S 1+S 2+S 3=10，则S 2的值是 ．（答案为103）目的：学生可以进一步了解勾股定理的悠久历史和广泛应用，了解我国古代人民的聪明才智，在我们的数学史上，好多结论的发现都是这样一个过程，都是从几个或大量的特例中发现规律，大胆猜想出结论，然后以前面的理论作为基础，证明猜想，一个伟大的成果就诞生了，掌握这种研究数学的方法，大胆创新，刻苦钻研，说不一定你就是未来的商高，第二个赵爽．效果：运用勾股定理和方程思想解决实际问题，让学生体会生活中处处皆数学，并且使新知得到了巩固，能力得到了训练，认识得到了升华．第五环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？目的：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获和感想，体会到勾股定理及其逆定理的广泛应用及它们的悠久历史．效果：学生畅所欲言自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法，并赞叹我国古代数学的成就．第六环节：布置作业1．课本《复习题》．2．思考题：一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m，坡角A30B90BC6，，m．当正方形DEFH运动到什么∠=︒∠=︒=位置，即当AE＝ m时，有222=+．DC AE BC（答案为：314．） 四、教学设计反思本节课是复习课，利用勾股定理和勾股逆定理来解决实际问题．勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形．针对我班学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，先由浅入深，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.本节课围绕激趣引入，归纳知识--综合练习，应用知识—课堂小结三部分，发展学生应用数学的意识与能力，增强了学生学好数学的愿望和信心．让学生自己绘制知识网络图，进一步体会本章所学知识之间的前后联系，并培养了学生这方面的能力．设计的题目既考察了对基本知识的掌握情况，又注重了综合课的特点，注重对所学知识的综合利用．设计的问题尽量与实际问题有联系，体现了数学来源于实际，又应用于生活实际，这一点符合新课标的要求．附：板书设计回顾与思考一 情境引入二 本章知识结构三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用。
《勾股定理》教学案例及反思
《勾股定理》教学案例及反思《《勾股定理》教学案例及反思》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！【教学目标】一、知识目标1.了解勾股定理的历史背景,体会勾股定理的探索过程.2.掌握直角三角形中的三边关系和三角之间的关系。
二、数学思考在勾股定理的探索过程中,发现合理推理能力.体会数形结合的思想.三、解决问题1.通过探究勾股定理(正方形方格中)的过程，体验数学思维的严谨性。
2.在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。
四、情感态度目标1.学生通过适当训练，养成数学说理的习惯，培养学生参与的积极性，逐步体验数学说理的重要性。
2.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。
【重点难点】重点：探索和证明勾股定理。
难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。
疑点：灵活运用勾股定理。
【设计思路】本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力。
让学生通过动手、动脑、动口自主探索，感受到“无出不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位与作用。
【教学流程安排】活动一：了解历史，探索勾股定理活动二：拼图验证并证明勾股定理活动三：例题讲解，：巩固练习，活动四：反思小结，布置作业活动内容及目的：通过多勾股定理的发现，(国外、国内)了解历史，激发学生对勾股定理的探索兴趣。
观察、分析方格图，得到指教三角形的性质——勾股定理，发展学生分析问题的能力。
通过拼图验证勾股定理，体会数学的严谨性，培养学生的数形结合思想，激发探究精神，回顾、反思、交流。
布置作业，巩固、发展提高。
【教学过程设计】【活动一】(一)问题与情景1、你听说过“勾股定理”吗?(1)勾股定理古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，西方国家称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理(2)我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。
北师大版八年级上册第一章勾股定理回顾与思考(教案)
一、教学内容
本节课我们将回顾北师大版八年级上册数学第一章“勾股定理”的内容。具体包括：
1.勾股定理的概念理解：通过复习勾股定理，使学生掌握直角三角形两个直角边的平方和等于斜边的平方这一性质。
2.勾股定理的证明：回顾教材中给出的勾股定理证明方法，包括几何拼贴法和代数推导法。
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天这节课中，我们一同探讨了勾股定理的奥秘。回顾整个教学过程，我发现有几个地方值得深思和改进。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和绳子实际测量并计算某个直角三角形的边长。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-掌握勾股定理的证明：强调几何拼贴法和代数推导法的证明过程，确保学生能够理解并复述证明步骤。
-应用勾股定理解决问题：培养学生能够将勾股定理应用于解决实际问题，如计算边长、验证直角三角形等。
-记忆特殊直角三角形的性质：学生需要熟练记忆30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形的比例关系。
-实际问题的转化：将现实问题转化为数学模型，特别是涉及到勾股定理的应用时，学生可能会难以理解如何将问题转化为直角三角形的问题。
-特殊直角三角形的记忆与运用：学生需要通过记忆和练习来熟练掌握特殊直角三角形的性质，这对于一些学生来说可能是一个挑战。
勾股定理课后反思
勾股定理课后反思勾股定理课后反思勾股定理课后反思1勾股定理整章书的内容很少，就勾股定理和勾股定理的逆定理，这节课是勾股定理的第一课时，本节课主要是和学生一起探究勾股地理的认识。
在教学的过程中感觉有几个方面需要转变的。
一、转变师生角色，让学生自主学习。
由于高效课堂中教学模式需要进行学生自主讨论交流学习，在探究勾股定理的发现时分四人一小组由同学们合作探讨作图，去发现有的直角三角形的三边具有这种关系，有的直角三角形不具有这种性质。
可仍然证明不了我们的猜想是否正确。
之后用拼图的方法再来验证一下。
让学生们拿出准备好的直角三角形和正方形，利用拼图和面积计算来证明+ =（学生分组讨论。
）学生展示拼图方法，课件辅助演示。
新课标下要求教师个人素质越来越高，教师自身要不断及时地学习学科专业知识，接受新信息，对自己及时充电、更新，而且要具有幽默艺术的语言表达能力。
既要有领导者的组织指导能力，更重要的是要有被学生欣赏佩服的魅力，只有学生配合你，信任你，喜欢你，教师才能轻松驾御课堂，做到应付自如，高效率完成教学目标。
“教师教，学生听，教师问，学生答，教室出题，学生做”的传统教学摸模式，已严重阻阻碍了现代教育的发展。
这种教育模式，不但无法培养学生的实践能力，而且会造成机械的学习知识，形成懒惰、空洞的学习态度，形成数学的呆子，就像有的大学毕业生都不知道1平方米到底有多大？因此，高效课堂上要求老师一定要改变角色，把主动权交给学生，让学生提出问题，动手操作，小组讨论，合作交流，把学生想到的，想说的想法和认识都让他们尽情地表达，然后教师再进行点评与引导，这样做会有许多意外的收获，而且能充分发挥挖掘每个学生的潜能，久而久之，学生的综合能力就会与日剧增。
二、转变教学方式，让学生探索、研究、体会学习过程。
学生学会了数学知识，却不会解决与之有关的实际问题，造成了知识学习和知识应用的脱节，感受不到数学与生活的联系，这是当今课堂教学存在的普遍问题，对于我们这儿的学生起点低、数学基础差、实践能力差，对学生的各种能力培养非常不利的。
北师版数学八年级上册第一章《勾股定理》回顾与思考教案
学法指
导
二次备课【知识回顾】
1、探索勾股定理：分割法
2、勾股定理的内容：直角三角形等于。
3、直角三角形的判别条件：如果一个三角形的三边长a，b，c满足：
那么这个三角形是直角三角形。
4、应用：在直角三角形中已知两边长求第三边长；求几何体表面上两点间的最短
距离
【例题精讲】
一、勾股定理及验证
1、如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距离地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？
2、据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理，你能说说其中的道理吗？。
勾股定理回顾与思考
勾股定理在物理学中也有实际应用， 特别是在解决与力和运动相关的问题 时。通过勾股定理，我们可以计算物 体运动过程中的速度、加速度和位移 等物理量。
勾股定理在电磁学中也有应用，例如 在计算电场强度和磁场强度时，可以 利用勾股定理来计算相关物理量。
05 勾股定理的思考与启示
勾股定理对数学教育的启示
培养逻辑思维
毕达哥拉斯证明法
总结词：数形结合
详细描述：毕达哥拉斯的证明方法是将勾股定理与整数、有理数和无理数等数学概念相结合，通过数形结合的方式证明了勾 股定理，体现了数学中数与形之间的紧密联系。
欧拉证明法
总结词：构造法
详细描述：欧拉在证明勾股定理时采用了构造法，他通过构造一个特殊的几何图形来证明勾股定理。 这个图形由多个三角形和矩形组成，通过巧妙地运用这些图形，欧拉证明了勾股定理的正确性。
勾股定理在复数域的应用
要点一
总结词
勾股定理在复数域的应用是指，在复数域中，勾股定理仍 然适用，可以用来解决一些复数域中的问题。
要点二
详细描述
勾股定理在复数域的应用是指，在复数域中，勾股定理仍然 适用。复数域中的勾股定理是指，对于任何复数$z$，有 $|z|^2 = x^2 + y^2$，其中$z=x+yi$，$x$和$y$分别是 复数$z$的实部和虚部。这个定理可以用来解决一些复数域 中的问题，例如求解复数方程、判断复数三角形的形状等。
勾股定理在数论中的应用
勾股定理在数论中也有重要的应用，例如在求解一些与整 数和完全平方数相关的问题时。通过勾股定理，我们可以 找到满足特定条件的整数解，进而解决一些数论问题。
勾股定理在证明一些数学定理时也有所应用，例如在证明 费马大定理和欧拉定理时，可以利用勾股定理来推导和证 明这些定理。
八年级数学 《勾股定理回顾与思考》
（B）ab bc ac c2 （D）b2 bc a2 ab
A
RS
D
A
D
平移
L M
Q P
B KT
C
B
C
谢谢
北师大版 数学 八年级上册 第一章
勾股定理回顾与思考
知识回顾
勾股定理勾勾股股定定理理的逆定理形数
数
形
下图是以a、b、c围成的钝角三角形，以及以这三边 为边长的正方形。请算出三个正方形的面积，从而 判断三角形的三边长是否满足 a²+b²=c².
补全法
c a
b
分割法
a2 8 b2 9 c2 29
求四边形ABCD的面积.
提示：延长BA、CD，交于点E。
E
构造两个等腰直角三角形，
利用三角形的面积之差求得面积。
解：延长BA、CD，交于点E。
D
∵∠ABC=∠ADC=90°,∠C=45°,
∴ ∠E=45°
∴EB=BC=2，ED=AD=1
A
∴S=S △EBC — S △ADE
s 1 EB • BC 1 ED • AD
∴AC2=AD2+CD2=25 ∵AC>0 ∴AC=5
s 1 AC • BC 1 CD • AD
2
2
(2) ∵AC=5， AB=13，BC=12
30 - 6
∴AB2=AC2+BC2 ∴ ∠ACB=90°
24
练习1：如图,四边形ABCD=1,BC=2,
2
2
B
C
2 - 0.5
1.5
练习2：如图：矩形花园ABCD中，AB a ，AD b
，花园中建有一条矩形道路LMPQ 及一条
勾股定理回顾与思考2
6
3
2
A
8
专题一 分类思想
1.直角三角形中，已知两边长是直角边、 斜边不知道时，应分类讨论。
2.当已知条件中没有给出图形时，应认真 读句画图，避免遗漏另一种情况。
1.已知:直角三角形的三边长分别是 3,4,X,则X2= 25 或7
2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上 的高线AD=8,求BC
20
15
A 10 F
E C5 B
20
A 10
B5 C 10 E 20
15 A
5
B C
20
A 10 F
专题五 截面中的勾股定理
1. 几何体的内部路径最值的问题，一般画 出几何体截面
2.利用两点之间线段最短，及勾股定理 求解。
小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
买最长 的吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是1.5米、1.5米、2.2米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出 小明买的竹竿至少是多少米吗？Ax来自1.5米1.5米
2.2米
2.2米
1.5米
1.5米
Cx
B
X2=1.52+1.52=4.5
AB2=2.22+X2=9.34
…… 132=b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b=
，c=
例5、如图，四边形ABCD中，AB＝3，
BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°，求四 边形ABCD的面积
D
13
A
12 3┐
B4 C
2024-2025学年度北师版八上数学-第一章-勾股定理-回顾与思考【课件】
1
2
1
2
1
2
1
2
所以 S△ ABC ＝ ab ＝ c ·CD ，即 ×30×40＝ ×50·CD ，解得 CD ＝24.返Βιβλιοθήκη 目录数学 八年级上册 BS版
【点拨】利用勾股定理求直角三角形的边长，一般都要经过“一分，二代，三化简”这三步，即一
理，得 HC2＝ AC2－ AH2＝152－92＝144.所以 HC ＝12（负值舍去）.所以 BC ＝ BH ＋ HC ＝40＋12
1
1
＝52，则 △
＝ BC ·AH ＝ ×52×9＝234；
2
2
图2
图1
②当点 H 在线段 BC 的延长线上时，如图2所示.与①同理，得 BH ＝40， CH ＝12.所以 BC ＝ BH －
1.5
cm.
（第2题图）
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数学 八年级上册 BS版
要点二
勾股定理的逆定理的应用
如图，在△ ABC 中，已知点 D 是边 BC 的中点， DE ⊥ BC 交
AB 于点 E ，且 BE2－ EA2＝ AC2.
（1）试说明：∠ A ＝90°；
（2）若 AC ＝6， BD ＝5，求 AE 的长.
解：（1）如图，连接 CE . 因为点 D 是 BC 的中点， DE ⊥ BC ，
若将以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积分别记为 Sa ， Sb ，以斜边为
边长的正方形的面积记为 Sc ，则 Sa ， Sb ， Sc 三者之间的关系是 Sa ＋ Sb ＝ Sc
.
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勾股定理回顾与思考教学设计
第一章勾股定理回顾与思考一、教学目标①让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．②在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．③在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．二、教学过程设计第一环节：知识结构梳理本章知识要点及结构：（第1—6题由学生独立思考完成，小组代表展示）1．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b和．c分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c2．勾股定理各种表达式：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为,,a b c，则c=_________，b=_________，c=_________．3．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若,,a b c三边满足___________，则△ABC为___________．4．勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．第二环节：合作探究内容：探究一：利用勾股定理求边长已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．解：（1）当两直角边为3和4时，第三边长的平方为25；（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三边长的平方为7．注意事项：因学生习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角边为3和4时，斜边长为5．但这一理解的前提是3、4为直角边．而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边，但也可能为直角边．探究二：利用勾股定理求图形面积：1．求出下列各图中阴影部分的面积．(1)(2)图（1）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：1）图（2）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：81）图（3）阴影部分的面积为＿＿＿＿；（答案：5）2． 已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b cm c cm +==，，求Rt △ABC 的面积．ABC 222222211S 2241()()41()41(1410)424.ab ab a b a b a b c ∆==⨯⎡⎤=+-+⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=⨯-=解：探究三：利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度1. 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +-=，_( 3 )2则（ ）.（A ）A ∠为直角 （B ）C ∠为直角 （C ）B ∠为直角 （D ）不是直角三角形解：222a b c -=，∴222a b c =+．故选（A ）.注意事项：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为C ∠，因而有同学就习惯性的认为C ∠就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为222a b c -=，即222a b c =+，因根据这一公式进行判断．2．已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状．（1）41409a b c ===，，；（2））（，，0n m mn 2c n m b n m a 2222>>=+=-=．解：（1）（2）均为直角三角形．探究四：勾股定理及逆定理的综合应用：B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？解：甲船航行的距离为BM=8216⨯=（n mile ），乙船航行的距离为BP=15230⨯=（n mile ）．∵22216301156,341156+==，∴222BM BP MP +=，∴△MBP 为直角三角形，∴90MBP ∠=︒，∴乙船是沿着南偏东30︒方向航行的．第三环节：拓展提升内容：我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为（答案为103）第四环节：交流小结内容：师生相互交流总结：1.本章知识要点及在学习中用到了哪些数学思想方法？2．你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？第六环节：布置作业1．课本《复习题》．四、教学设计反思。
从毕达哥拉斯定理（勾股定理）感受数学思维
从毕达哥拉斯定理（勾股定理）感受数学思维每个初中生都学过勾股定理：直角三角形中，两直边长度的平方和等于斜边长度的平方。
这个定理在西方叫做毕达哥拉斯定理。
觉得它平淡无奇吗？然而，毕达哥拉斯定理是整个数学中最重要的定理之一。
毕达哥拉斯定理的发现是数学史乃至人类思想史上最重大的事件之一，其影响极为深远。
这个定理最广为人知的例子是：三边长度之比为3：4：5的三角形构成直角三角形。
古埃及人在丈量土地的过程中很早就知道了这一点。
这是故事发展的第1阶段。
现在假设我们没在学校学过勾股定理，假设有一天我们从别人那里知道了：三边长度为3、4、5米的三角形构成直角三角形。
然后呢？是的，这很有意思：第一，3，4，5，是不大的整数，第二，它们还是挨着的三个整数。
但是，其它三个挨着的整数并不能构成直角三角形，所以这不过是一个有趣得巧合罢了。
有趣，但并没更深的含义。
用不着再花时间思考它。
但是，毕达哥拉斯听到埃及人的这一发现后，被深深地触动了。
3，4，5，是线段的长度；直角，是特定大小的角度。
它们之间也许存在着内在的、隐秘的联系，而不仅仅是一个偶然的现象。
3，4，5，这三个数，除了是紧挨着的三个数之外，还有什么关系呢？毕达哥拉斯发现，3与3相乘得到9，4与4相乘得到16，5与5相乘得到25――正好是9与16之和！这是故事发展的第2阶段。
这会不会是偶然呢？别的三个整数，如果其中两个的平方和等于第三个的平方，是不是也构成直角三角形？快去找其它的数！试过很多数以后，发现：5，12，13，也是这样的一组数，25+144=169！用它们做成一个三角形，果然得到一个直角三角形！再找！哦，8，15，17也是这样的一组数，7，24，25也是这样的一组数，而用它们做出的三角形，确实都是直角三角形。
大家可以想象到，找出这些数，需要进行很多次计算，因为没有什么公式可以用，只能一个一个地试。
（后来，有人得出了产生“勾股数”的公式，可以找出直角三角形边长的全部整数解。
邹元治勾股定理证明方法
邹元治勾股定理证明方法【知识专栏】邹元治勾股定理证明方法探析导语：勾股定理是数学中的经典定理之一，被广泛应用于几何学和物理学等领域。
在数学史上，许多学者为了寻求更加简洁和优雅的证明方法，不断尝试创新。
在本文中，我们将探讨数学家邹元治提出的勾股定理证明方法，分析其深度和广度，并分享个人的观点和理解。
一、邹元治勾股定理证明方法的起源1.1 邹元治简介邹元治（1879-1945）是中国数学家和教育家，被誉为“近代中国数学教育的奠基人”。
他在研究和推广数学教育方面作出了巨大的贡献。
1.2 邹元治勾股定理证明方法的背景勾股定理在古代中国和古希腊都有相似的发现，但过去的证明方法往往较为复杂。
邹元治致力于寻找一种更加简明和易于理解的证明方法，以便将勾股定理普及给更多的学生。
二、邹元治勾股定理证明方法的深度剖析2.1 从勾股定理的几何形式出发在传统的几何证明方法中，我们常常通过构造并证明几何图形的相似性来证明勾股定理。
邹元治在这一基础上提出了一种更加简化的方法，即利用面积关系来证明勾股定理。
2.2 邹元治的面积证明法邹元治发现，通过将直角三角形拆分为两个直角三角形，并利用面积关系进行推导，可以直观地证明勾股定理。
这种方法不仅简单易懂，而且具有一定的普适性，适用于不同类型的直角三角形。
2.3 邹元治证明方法的意义邹元治的证明方法使得勾股定理的证明过程更为直观，易于理解和掌握。
它激发了学生对几何学的兴趣，并培养了他们的逻辑思维和问题解决能力。
这种证明方法也为其他数学领域的研究提供了启示，促进了数学理论的发展。
三、邹元治勾股定理证明方法的广度解读3.1 推广到其他三角形邹元治的面积证明法不仅仅适用于直角三角形，还可以推广到其他类型的三角形。
通过将三角形拆分为多个部分，并通过面积关系进行推导，可以证明其他三角形的相似性和等式关系。
3.2 应用到其他数学领域邹元治的证明方法不仅仅局限于勾股定理的证明，它的思想和思维方式也可以应用到其他数学领域。
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AC1 =√52+22 =√29
.
综合运用
5.一长方体水池的长、宽、高分别为50cm、40cm、 30cm，池中有一满池水．小亮把长度为70cm的金属 棒放入水中，能否被完全淹没？说说你的理由．
2.已知△ABC的三条边长分别为a、b、c，且满足关系： (a+b)2 + c2 = 3ab + c(a+b),试判断△ABC的形状，并说 明理由.
b a b
a
c
勾股定理的作用
⑴已知直角三角形的两边，求第三边； ⑵已知直角三角形的一边，求另两边的关系； ⑶用于证明平方关系的问题； ⑷利用勾股定理，作出长为 n 的线段。
勾股定理逆定理
⑴如果三角形有三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角 形是直角三角形。 ⑵直角三角形的判定 设三角形ABC的三边长为a、b、c，①首先确定最长边（如 c）；②验证c2与a2+b2是否具有相等关系。 若a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形； a2+b2≠c2，则三 角形不是直角三角形。 注：a2+b2≠c2时，有两种情况； ① a2+b2﹥c2时，三角形为锐角三角形； ② a2+b2﹤c2时，三角形为钝角三角形。 ⑶勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数。
D1 A1 D C1
1 B1 C 4 2
A
B
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路 线有三种情况(如图①②③ ),由勾 股定理可求得图1中AC1爬行的路线 最短.
D D1 C1
2
D1
C1
1
A1
B1
4
①
②
A B 2
C1
1
A1
B1
2 4
③
C
A 1 A1
4
B1
A
B
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
x
x+1
折叠中的计算问题
１.折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处, 已知AB=8CM,BC=10CM,求:(1)CF；(2)EC.
A 10 D 8-x 8 10 E
8-x
B 6 F 4
x C
有一个圆柱,它的高等 于12厘米,底面半径等于3 厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱 侧面爬行的最短路程是多 少?
命题、逆命题
⒈题设与结论正好相反的两个命题叫做互逆 命题，如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做它的逆命题。 ⒉经过证明被确认正确的命题叫做定理，如 果一个定理的逆命题也是正确，那么逆命 题也是一个定理，称这两个定理互为逆定 理。
动手试一试
（1）求出图形中的ｘ x 4 8 x
2
（2）在下列几组数中，能组成直角三角形的有几组？ ①6，8，10； ②5，12，13； ③8，40，41； ④3（ａ－1），4（ａ－1），5（ａ－1）（ａ>1）
新人教版八年级教材
勾股定理的回顾与思考
本章知识结构
实际问题 (直角三角形边长计算) 勾股定理 互逆定理 实际问题 (判定直角三角形) 勾股定理的逆定理
回顾与思考
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边 长分别是a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2
A
c
b
a
a
a
B
b
a
b c b c c a b
C
c
的长为9,则这个直角三角形的斜边长为
。
。
4.如上图,直角三角形的面积为24,AC=6,则它的周长为
5.已知直角三角形ABC中, ACB 90 (1)若AC=8,AB=10,则 S ABC = 。 (2)若 S ABC =30,且BC=5,则AB=
A 。
B
C
(3)若 S ABC =24,且BC=6,则AB边上的高为 6.若有两条线段分别为3，4，第三条线段为 才能组成一个直角三角形。
。 时，
8.如图：在RtABC中，ACB 90，CD是斜边 上的高，AC 3，BC 4，则CD的长.
B
D C A
9.如图：CD AB于D，AC 9，BC 12 ， AB 15 ，你能求出 ABC的面积吗？
10.如图：在RtABC中，AD是斜边的高， 24 AB ， AC 7，求AD的长。 .
D B.
C
AБайду номын сангаас
2.如图,小明和小方分别在C处同时出发,小明以每小时40千 米的速度向南走,小方以每小时30千米的速度向西走,2小时 后,小明在A处,小方在B处,请求出AB的距离.
B C
A
A
B
三、正方体中的最值问题
例3.如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正 方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）. （A）3 （B） 5 （C）2 （D）1
B C
1
C
2
B
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需 把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题 例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所 示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
A C
B
A 64
49
C
在下面正方形方格上作格点直角三角形，三角形的 任意两个顶点不在同一条实线上，且顶点在格点上。
C A
B
面积各位多少？
3、我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，原文是： 今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐， 水深、葭长各几何？请用学过的数学知识回答这个问题。 译：有一个水池，水面是一个为10尺的正方形，在水池正中央 有一根芦苇，它高出水面一尺。如果把这根芦苇拉向水池一边 的中点，它的顶端恰好到达池边的水面。这个水池的 深度与 这根芦苇的长度分别是多少？ 1 5
（3）已知△ＡＢＣ中ＡＢ＝ＡＣ＝20，ＢＣ＝24， 求△ＡＢＣ的面积。 （4）已知△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝90°，ＡＣ＝4，Ｂ Ｃ＝3，ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ，求ＡＤ，ＢＤ长。
Ａ A
Ｄ B D C Ｃ Ｂ
5.分别以直角三角形三边为边作正方形，则 这三个正方形的面积A,B,C之间的关系（ ） 6.如图，两个正方形的面积分别为64，49， 则AC=( )
1.已知直角三角形ABC中, ACB 90 (1)若AC=12,BC=9,则AB= 。 (2)若AB=13,BC=5,则AC= 2.已知直角三角形ABC中, (1)若AC=8,AB=10,则 周长 = (2)同上题， S ABC = 。 。
B
。
A
C
3.一个直角三角形的面积54,且其中一条直角边
C 3 D 13 4 B
A
9.如图, AC⊥BC ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ，AD=4 。 求：(1)求AC长； (2)求 ADC 的面积。
3 D C 12
B 13
4
A
勾股定理的应用四:构建直角三角形
1.在一棵树的20米的B处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到 离树40米的A处,另一只爬到树顶D后直接约向A处,且测得AD为 50米,求BD的长.
B
D A C
勾股定理在特殊三角形中的应用
11.如图:一工厂的房顶为等腰 ABC ,AB=AC,AD=5 米,AB=13米,求跨度BC的长.
A
B
D
C
7.如图：AD⊥CD ， AC⊥BC ,AB=13， CD=3 ， AD=4 。 求：(1)求AC长；(2)求BC长。 8.如图, AD⊥CD ，AB=13， BC=12 ，CD=3 ， AD=4 。 求：(1)求AC长；(2)∠ACB的度数。