2015年上海市青浦区高考一模数学试卷【解析版】

2015年上海市青浦区高考数学一模试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．2．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＝42，则a4＝．3．（4分）展开式中有理项的个数是．4．（4分）直线l：x tan+y+1＝0的倾斜角α＝．5．（4分）已知函数y＝2cos x与y＝2sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．6．（4分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．7．（4分）函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），如果函数y＝f（x）的图象过点（2，﹣2），那么函数y＝f﹣1（﹣2x）+1的图象一定过点．8．（4分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是．9．（4分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是．10．（4分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有种．11．（4分）已知，则无穷数列{a n}前n项和的极限为．12．（4分）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为．13．（4分）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数，则称函数f M（x）为f（x）的“孪生函数”，若给定函数f（x）＝2﹣x2，M＝1，则f M（2）＝．14．（4分）当x和y取遍所有实数时，f（x，y）＝（x+5﹣|cos y|）2+（x﹣|sin y|）2≥m恒成立，则m的最大值为．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．135°16．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β17．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（5分）设函数f（x）＝n﹣1，x∈[n，n+1），n∈N，函数g（x）＝log2x，则方程f（x）＝g（x）实数根的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．20．（14分）如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？21．（14分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．22．（16分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1，b2＝﹣a3，b3＝a4，数列{b n}的前n项和为S n，记点Q n（b n，S n），n∈N*．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）证明：点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，求B﹣A的最小值．23．（18分）已知函数．（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n＝0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2015年上海市青浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）若复数z＝（i为虚数单位），则|z|＝．【解答】解：∵复数z＝＝＝＝﹣1+2i．∴|z|＝．故答案为：．2．（4分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S7＝42，则a4＝6．【解答】解：S7＝＝42，∴a1+a7＝12∴2a4＝a1+a7＝12，a4＝6故答案为6．3．（4分）展开式中有理项的个数是5．【解答】解：展开式的通项公式T r+1＝，当且仅当r＝0，2，4，6，8时为有理项．故答案为：5．4．（4分）直线l：x tan+y+1＝0的倾斜角α＝．【解答】解：根据题意，设直线的倾斜角为θ，有0≤θ＜π，直线可化为y＝﹣tan•x，由倾斜角与斜率的关系，可得tanθ＝﹣tan，又有0≤θ＜π，则θ＝，故答案为：．5．（4分）已知函数y＝2cos x与y＝2sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．【解答】解：由题意得2cos＝2sin（2×+φ）＝2sin（++φ）＝2cos （+φ），∴＝2kπ±（+φ），k∈Z，∵0≤φ＜π，∴可解得φ＝，故答案为：．6．（4分）平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故答案为：．7．（4分）函数y＝f（x）的反函数为y＝f﹣1（x），如果函数y＝f（x）的图象过点（2，﹣2），那么函数y＝f﹣1（﹣2x）+1的图象一定过点（1，3）．【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象过点（2，﹣2），∴函数y＝f（x）的反函数过（﹣2，2），即2＝f﹣1（﹣2），∴g（1）＝f﹣1（﹣2）+1＝3，∴函数y＝f﹣1（﹣2x）+1过点（1，3）．故答案为：（1，3）．8．（4分）已知函数f（x）对任意的x∈R满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，f（x）＝x2﹣ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（2，+∞）．【解答】解：∵f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，∵f（0）＝1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f（x）有2个零点，即，∴，解得a＞2，即实数a的取值范围（2，+∞），故答案为：（2，+∞）9．（4分）抛物线y2＝8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是．【解答】解：当|AB|≤2p时，AB平行于y轴，AB的中点到y轴的距离取得最小值，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB平行于y轴，|y1|＝|y2|＝3，且有：y12＝8x1，y22＝8x2，所求的距离为S＝＝＝＝故答案为．10．（4分）若甲乙两人从6门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有2门相同的选法有180种．【解答】解：先出6门中选2门，再从剩下的4门再选2门分给甲乙，故甲乙所选的课程中恰有2门相同，故有C62×A42＝180种情况，11．（4分）已知，则无穷数列{a n}前n项和的极限为．【解答】解：n＝1时，a1＝0，n＝2时，a2＝；n＝3时，a3＝0，n＝4时，a4＝；n＝5时，a5＝0，…，可得n为奇数时，a n＝0；n为偶数时，．利用无穷等比数列数列前n项和的极限为：（q为等比数列{a n}的公比，0＜|q|＜1，或q＝﹣1）．∴无穷数列{}前n项和的极限＝＝＝．故答案为：．12．（4分）已知正实数x，y满足xy+2x+y＝4，则x+y的最小值为．【解答】解：∵正实数x，y满足xy+2x+y＝4，∴（0＜x＜2）．∴x+y＝x+＝＝（x+1）+﹣3﹣3＝﹣3，当且仅当x＝时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：．13．（4分）设函数y＝f（x）在R上有定义，对于任意给定正数M，定义函数，则称函数f M（x）为f（x）的“孪生函数”，若给定函数f（x）＝2﹣x2，M＝1，则f M（2）＝﹣2．【解答】解：∵函数，f（x）＝2﹣x2，∴f（2）＝2﹣4＝﹣2，M＝1时，f M（2）＝f（2）＝﹣2．14．（4分）当x和y取遍所有实数时，f（x，y）＝（x+5﹣|cos y|）2+（x﹣|sin y|）2≥m恒成立，则m的最大值为8．【解答】解：f（x，y）＝（x+5﹣|cos y|）2+（x﹣|sin y|）2，所表达的就是点（x+5，x）到点（|cos y|，|sin y|）的距离的平方而（x+5，x）是直线y＝x﹣5上的点根据参数方程，令a＝x+5，b＝x，消去x，得到b＝a﹣5同样地，令|cos y|＝a，|sin y|＝b消去y，有a2+b2＝1 且a，b＞0，即点（|cos y|，|sin y|）是第一象限圆a2+b2＝1上的点，分别再令a＝x，b＝y，即直线y＝x﹣5与第一象限圆x2+y2＝1且x，y≥0之间的最小值，根据圆上点（1，0）到直线的距离公式，得到d＝＝2，∴m≤8．故m的最大值为8，故答案为：8二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知，且，则向量与向量的夹角是（）A．30°B．45°C．90°D．135°【解答】解：，所以1﹣1××cos＜＞＝0，解得cos＜＞＝，即＜＞＝45°，故选：B．16．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（）A．若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则b∥αB．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥βC．若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a⊊αD．若a∥α，α⊥β，则a⊥β【解答】解：若a⊥b，a⊥α，b⊄α，则由直线与平面平行的判定定理得b∥α，故A正确；若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；若a⊥β，α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质得a∥α或a⊊α，故C正确；若a∥α，α⊥β，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：D．17．（5分）设a，b为负实数，则“a＜b”是a＜b﹣”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵a，b为正实数，a＜b∴∴∴反之亦成立∴前者是后者的充要条件，故选：C．18．（5分）设函数f（x）＝n﹣1，x∈[n，n+1），n∈N，函数g（x）＝log2x，则方程f（x）＝g（x）实数根的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意，详细画出f（x）和g（x）在同一坐标系中函数图象，①当n＝0时，f（x）＝﹣1，x∈[0，1），则log2x＝﹣1⇒x＝∈[0，1）②当n＝1时，f（x）＝0，x∈[1，2），则log2x＝0⇒x＝1∈[1，2）③当n＝2时，f（x）＝1，x∈[2，3），则log2x＝1⇒x＝2∈[2，3）④当n＝3时，f（x）＝2，x∈[3，4），则log2x＝2⇒x＝4∉[3，4）⑤当n＝4时，f（x）＝3，x∈[4，5），则log2x＝3⇒x＝8∉[4，5）由此下区x的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，即有3个根．故选：C．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点．（1）若C1M＝1，求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值；（2）若C1M＝2，求证BM⊥平面A1B1M．【解答】（1）解：∵C1D1∥B1A1，∴∠B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥B1M，∵AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M为棱CC1上一点，C1M＝1，∴B1M＝＝＝，∴tan∠B1A1M＝＝，∴异面直线A1M和C1D1所成角的正切值为．（2）证明：C1M＝2时，B1M＝BM＝＝2，∴＝，∴B1M⊥BM．∵＝4+4+4＝12，，∴＝，∴A1M⊥BM，又A1M∩B1M＝M，∴BM⊥平面A1B1M．20．（14分）如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y＝A sin（ωt+φ）+b，φ∈[﹣π，π]，已知某摩天轮的半径为50米，点O距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y（米）关于t（分钟）的解析式；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？【解答】解：（1）由题意，A＝50，b＝60，T＝3；故ω＝，故y＝50sin（t+φ）+60；则由50sinφ+60＝10及φ∈[﹣π，π]得，φ＝﹣；故y50sin（t﹣）+60；（2）在第一个3分钟内求即可，令50sin（t﹣）+60＞85；则sin（t﹣）＞；故＜t﹣＜，解得，1＜t＜2；故在摩天轮转动的一圈内，有1分钟时间点P距离地面超过85米．21．（14分）如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形，其中上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点．（1）试求双曲线的标准方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在“8”字形曲线上求点P，使得∠F1PF2是直角．【解答】解：（1）上半个圆所在圆方程是x2+y2﹣4y﹣4＝0，则圆心为（0，2），半径为2．则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2．双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a ＝2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y＝2，解得，x＝．即有交点为（，2）．设双曲线的方程为＝1（a＞0，b＞0），则＝1，且a＝2，解得，b＝2．则双曲线的方程为＝1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，则设P（x，y），则有x2+y2＝8，由解得，x2＝6，y2＝2．由解得，y＝±1，不满足题意，舍去．故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为（），（﹣），（﹣，﹣），（，﹣）．22．（16分）已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a1＝，数列{b n}是等比数列，且b1＝a1，b2＝﹣a3，b3＝a4，数列{b n}的前n项和为S n，记点Q n（b n，S n），n∈N*．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）证明：点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l上，并求出直线l方程；（3）若A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，求B﹣A的最小值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则由题意可得，解得或，∵数列{a n}是公差不为0的等差数列，∴q＝﹣，∴数列{b n}的通项公式b n＝﹣3×；（2）∵Q n（b n，S n），∴x＝b n＝﹣3×，y＝S n＝＝1﹣（﹣）n，；∴消去（﹣）n可得y＝x+1，∴点Q1、Q2、Q3、…、Q n、…在同一直线l：y＝x+1上；（3）由（2）可知S n＝1﹣（﹣）n，令t＝S n﹣，∵S n＞0，∴t随着S n的增大而增大，当n为奇数时，S n＝1+（）n在奇数集上单调递减，S n∈（1，]，t∈（0，]，当n为偶数时，S n＝1﹣（）n在偶数集上单调递增，S n∈[，1），t∈[，0），∴t min＝﹣，t max＝，∵A≤S n﹣≤B对n∈N*恒成立，∴[﹣，]⊆[A，B]，∴B﹣A的最小值为﹣（﹣）＝．23．（18分）已知函数．（1）指出的基本性质（结论不要求证明）并作出函数f（x）的图象；（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n＝0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【解答】解：（1）显然f（x）定义域为{x|x≠0}，f（x）为偶函数，当x＜﹣1时，f（x）＝﹣，递增，当﹣1≤x＜0时，f（x）＝﹣2x，递减，当0＜x≤1时，f（x）＝2x，递增，当x＞1时，f（x）＝，递减．f（x）的值域为（0，2]．f（x）的图象如图所示：（2）关于x的不等式kf2（x）﹣2kf（x）+6（k﹣7）＞0恒成立，即为k[f2（x）﹣2f（x）+6]＞42，即k＞恒成立，则当f（x）＝1时，（f（x）﹣1）2+5取得最小值5，即有k＞；（3）由于f（x）＞0，则关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n＝0等价于f2（x）+mf（x）+n＝0，由于关于x的方程f2（x）+mf（x）+n＝0有6个不同解，则令f（x）＝t，则关于t的方程t2+mt+n＝0必有两解，由图象可得，t1＝2，0＜t2＜2，则t1+t2＝﹣m，t1t2＝n，即有﹣4＜m＜﹣2，0＜n＜4．则有n的取值范围为（0，4）．。