9回归分析与经验公式拟合
如何用EXCEL做数据线性拟合和回归分析
如何用EXCEL做数据线性拟合和回归分析使用Excel进行数据线性拟合和回归分析的过程如下：一、数据准备：1. 打开Excel，并将数据输入到一个工作簿中的其中一列或行中。
2.确保数据已经按照自变量（X）和因变量（Y）的顺序排列。
二、线性拟合：1. 在Excel中选择一个空白单元格，键入“=LINEST(Y数据范围，X数据范围，TRUE，TRUE)”。
-Y数据范围是因变量的数据范围。
-X数据范围是自变量的数据范围。
-最后两个参数设置为TRUE表示计算截距和斜率。
2. 按下“Ctrl +Shift + Enter”键以在该单元格中输入数组公式。
3. Excel将返回一列值，其中包括线性回归方程的系数和其他有关回归模型的统计信息。
-第一个值为截距项。
-第二个值为斜率项。
三、回归分析：1. 在Excel中选择一个空白单元格，键入“=LINEST(Y数据范围，X数据范围，TRUE，TRUE)”。
2. 按下“Ctrl + Shift + Enter”键以在该单元格中输入数组公式。
3. Excel将返回一列值，其中包括线性回归方程的系数和其他有关回归模型的统计信息。
-第一个值为截距项。
-第二个值为斜率项。
-第三个值为相关系数（R^2）。
-第四个值为标准误差。
四、数据可视化：1.选中自变量（X）和因变量（Y）的数据范围。
2.点击“插入”选项卡中的“散点图”图表类型。
3.选择一个散点图类型并插入到工作表中。
4.可以添加趋势线和方程式以可视化线性拟合结果。
-右键单击散点图上的一个数据点，选择“添加趋势线”。
-在弹出的对话框中选择线性趋势线类型。
-勾选“显示方程式”和“显示R^2值”选项以显示线性回归方程和相关系数。
五、解读结果：1.截距项表示在自变量为0时，因变量的预测值。
2.斜率项表示因变量随着自变量变化而变化的速率。
3.相关系数（R^2）表示自变量对因变量的解释力，范围从0到1，越接近1表示拟合的越好。
4.标准误差表示拟合线与实际数据之间的平均误差。
第九讲 回归分析的基本思想及其初步应用
个性化教学辅导教案学科: 任课教师：授课时间：年月日(星期) 姓名年级性别课题第九讲回归分析的基本思想及其初步应用知识框架1. 通过对实际问题的分析，了解回归分析的必要性与回归分析的一般步骤。
2. 能作出散点图，能求其回归直线方程。
3. 会用所学的知识对简单的实际问题进行回归分析。
难点重点重点：难点：课前检查作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□作业完成建议：教学过程如下：要点一、变量间的相关关系1. 变量与变量间的两种关系：（1）函数关系：这是一种确定性的关系，即一个变量能被另一个变量按照某种对应法则唯一确定．例如圆的面积．S与半径r之间的关系S=πr2为函数关系．（2）相关关系：这是一种非确定性关系．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性，这两个变量之间的关系叫做相关关系。
例如人的身高不能确定体重，但一般来说“身高者，体重也重”，我们说身高与体重这两个变量具有相关关系．2. 相关关系的分类：（1）在两个变量中，一个变量是可控制变量，另一个变量是随机变量，如施肥量与水稻产量；（2）两个变量均为随机变量，如某学生的语文成绩与化学成绩．3. 散点图：将两个变量的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图．它直观地描述了两个变量之间有没有相关关系．这是我们判断的一种依据．4. 回归分析：与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系，对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析。
例题讲解类型一、利用散点图判断两个变量的线性相关性例1．在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如下表所示．x／秒 5 10 15 20 30 40 50 60y／微米 6 10 11 13 16 17 19 23（1）画出散点图．（2）根据散点图，你能得出什么结论？课堂练习【1】给出x 与y 的数据如下：x 2 4 5 6 8 y3040605070画出散点图，并由图判断x 、y 之间是否具有线性相关关系。
回归分析
,
,
y1 0 1 x11 2 x12 p x1 p 1 y x x x 2 0 1 21 2 22 p 2p 2 y n 0 1 x n1 2 x n 2 p x np n
（1）建立非线性回归模型1/y=a+b/x； （2）预测钢包使用x0=17次后增大的容积y0； （3）计算回归模型参数的95%的置信区间。
初始值要先计算，先选择已知数据中的两点（ 2,6.42）和（16,10.76）代入设定方程，得到方程组
2 6.42 6.42(2a b) 2 2a b 16 10.76(16a b) 16 10.76 16a b
ˆ 2.7991 y x 23.5493
解释：职工工资总额每增加1亿元，社会商品零售总额将增加 2.80亿。
2、一元多项式回归模型
(1) 多项式回归的基本命令 在一元回归模型中，如果变量y与x的关系是n次多项式，即
y an x an1x
n
n1
... a1x a0
试求：① 给出y与t的回归模型； ② 在同一坐标系内做出原始数据与拟合结果的散点图 ③ 预测t=16时残留的细菌数；
ex006
三、多元线性回归模型 (略)
多元线性回归模型及其表示
对于总体
( X 1 , X 2 ,, X p ;Y ) 的n组观测值
( xi1 , xi 2 ,, xip ; yi )(i 1,2,, n; n p)
例为了分析X射线的杀菌作用，用200千伏的X射线来照射细 菌，每次照射6分钟用平板计数法估计尚存活的细菌数，照 射次数记为t，照射后的细菌数y如表3.3所示。
回归分析方法
回归分析方法
回归分析是统计学中一种重要的数据分析方法，它用于研究自
变量和因变量之间的关系。
回归分析方法可以帮助我们预测和解释
变量之间的关系，从而更好地理解数据的特征和趋势。
在本文中，
我们将介绍回归分析的基本概念、常见的回归模型以及如何进行回
归分析。
首先，回归分析的基本概念包括自变量和因变量。
自变量是研
究者可以控制或观察到的变量，而因变量是研究者希望预测或解释
的变量。
回归分析旨在通过自变量的变化来预测或解释因变量的变化，从而揭示它们之间的关系。
常见的回归模型包括线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
线性回归是最简单的回归模型之一，它假设自变量和因变量之间的
关系是线性的。
多元线性回归则允许多个自变量对因变量产生影响，逻辑回归则用于因变量是二元变量的情况，例如成功与失败、生存
与死亡等。
进行回归分析时，我们需要收集数据、建立模型、进行拟合和
检验模型的拟合优度。
在收集数据时，我们需要确保数据的质量和
完整性，避免因为数据缺失或异常值而影响分析结果。
建立模型时，我们需要选择合适的自变量和因变量，并根据实际情况选择合适的
回归模型。
进行拟合和检验模型的拟合优度时，我们需要根据实际
情况选择合适的统计指标和方法，例如残差分析、R方值等。
总之，回归分析方法是一种重要的数据分析方法，它可以帮助
我们预测和解释变量之间的关系。
通过本文的介绍，相信读者对回
归分析有了更深入的了解，希望能够在实际工作中灵活运用回归分
析方法，为决策提供更可靠的依据。
数据分析中的相关系数与回归分析
数据分析中的相关系数与回归分析数据分析是一门重要的学科，它通过收集、整理和分析数据来揭示数据背后的信息和规律。
在数据分析的过程中，相关系数和回归分析是两个常用的分析方法。
本文将介绍相关系数和回归分析的概念、计算方法以及应用场景。
一、相关系数相关系数用于衡量两个变量之间的相关性强度。
在数据分析中，我们经常会遇到多个变量之间的相互影响关系。
相关系数可以帮助我们了解这些变量之间的联系程度，从而更好地进行数据分析和决策。
计算相关系数的常用方法是皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）。
该系数的取值范围在-1到1之间，取值接近1表示两个变量呈正相关关系，取值接近-1表示两个变量呈负相关关系，取值接近0表示两个变量之间没有线性相关关系。
相关系数的计算可以使用公式：其中，n表示样本容量，X和Y分别表示两个变量的观测值，X的均值为μX，Y的均值为μY。
通过计算协方差和标准差，可以得到两个变量之间的相关系数。
相关系数在许多领域有着广泛的应用。
例如，在金融领域，相关系数可以用于衡量不同投资品之间的相关性，从而帮助投资者构建更加稳健和多样化的投资组合。
在医学研究中，相关系数可以用于分析药物疗效和副作用之间的关系。
在市场调研中，相关系数可以用于评估产品销售和广告投放之间的关联性。
二、回归分析回归分析是一种通过建立数学模型来预测和解释变量之间关系的方法。
它可以帮助我们了解一个或多个自变量对因变量的影响程度，并进行预测和推断。
回归分析的常用方法包括线性回归、多项式回归、逻辑回归等。
在这些方法中，线性回归是最常用的一种。
线性回归通过建立一个线性方程来描述自变量和因变量之间的关系。
例如，当只有一个自变量和一个因变量时，线性回归可以表示为：其中，Y表示因变量，X表示自变量，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
回归分析的目标是通过拟合找到最佳的回归系数，使得拟合值尽可能接近实际观测值。
回归分析和曲线拟合
4
一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值
5
二、一元线性回归方程的确定
数学上判定直线合理的原则： 如果直线与全部观测数据yi (i 1, 2,..., N )的离差平方和， 比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该 直线就是代表x与y之间关系较为合理的一条直线，这条 直线就是x和y之间的回归直线。
* 2 i 1 i 1 N N
*
Q反映了全部观测值yi (i 1,2,..., N )对直线的偏离程度，显 然，离差平方和Q越小，愈能较好地表示x, y之间的关系。 用最小二乘法原理，通过选择合适的系数a，b，使Q最小
9
N Q 2 ( yi a bxi ) 0 a i 1 N Q 2 ( yi a bxi ) xi 0 b i 1 联合求解得： N 1 N ( xi x)( yi y ) xi yi xi yi N i 1 i 1 i 1 b= i 1 N N _ 1 N 2 2 2 ( x x ) x ( x ) i i i N i=1 i 1 i 1 _ _ N N
间的一组观测数据为观测点处的观测之为这组观测数据求得的变量间的回归方程在回归问题中观测数据总的波动情况用各观测值与总平均y之间的平方和即总变动平方和表示yy第一项是观测值与回归直线的离差平方和反映了误差的大小第二项反映了总变动中由于的线性关系而引起变化的一部分称为回归平方和第三项为零yyyy都有一个自由度和它们对应l自由度称为总自由度记做观测值个数11005001可用检验考察回归直线的显著性
y1
回归分析与经验公式拟合解析
。对于一个给定xi 的 值yi ， 的期望值
为 E( yi ) a bxi
2、对所有的 xi 值，i 的方差 2 都相同
3、误差项i 是一个服从正态分布的随机变量，且
相互独立。即i ~ N (0, 2 )
▪独立性意味着对于一个特定的
与其它 x j 值所对应 j的不相关
xi
值，它所对应的
❖如人的身高( y)与体重( )之x 间的关系
9-6 主菜单 结束
误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
什么是回归分析？
一种处理变量间相关关系的数理统计方法。
他主要解决以下几个问题
❖1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学 关系式 ❖2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量 的影响显著，哪些不显著 ❖3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的 值，预测或控制另一个变量的值，并要知道这种预 测或控制可达到的精密度。
▪方程的图示是一条直线，因此也称为直线回归方程
▪ a是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x 0 时的期望
值
▪ b是直线的斜率，表示当 x 每变动一个单位时，y
的平均变动值
9-15 主菜单 结束
误差理论与数据处理第九章 回归统计与数据拟合
经验的回归方程
1、总体回归参数 a 和 b 是未知的，必须利用样 本数据去估计他们 2、用样本统计量 aˆ 和 bˆ 代替回归方程中的未知 参数 a 和 b ，这时就得到了经验的回归方程
▪反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 的影y 响 ▪是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
❖ a 和 b 称为模型的参数
9-13 主菜单 结束
回归分析
科海拾贝—回归分析在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。
变量之间的关系一般来说可分为确定性的与非确定性的两种。
确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表达的。
另一种非确定性的关系即所谓相关关系。
例如，人的身高与体重之间存在着关系，一般来说，人高一些，体重要重一些，但同样高度的人的体重往往不相同。
人的血压与年龄之间也存在着关系，但同年龄的人的血压往往不相同。
气象中温度与湿度之间的关系也是这样。
这是因为涉及的变量（如体重、血压、湿度）是随机变量。
上面说的变量关系是非确定性的。
回归分析是研究相关关系的一种数学方法。
使用这种方法可以用一个变量取得的值去估计另一个变量所取的值，或者使用一个变量去解释另外一个变量变化的原因。
这两个量，我们分别称为自变量和因变量。
回归分析是数学建模的有力工具，那么我们要建立回归分析的数学模型，需要以下几个步骤：1、收集一组包含因变量和自变量的数据；2、选定因变量与自变量之间的模型，利用数据，按照最小二乘准则计算模型中的系数；3、利用统计分析方法对不同的模型进行比较，找出与数据拟合地最好的模型；4、判断得到的模型是否适合于这组数据，诊断有无不适合回归模型的异常数据；5、利用模型对因变量做出预测或解释。
注：在第二步中，选定因变量与自变量的模型时，一般是凭经验选取模型，所以此模型又称为经验公式。
回归分析主要包括一元线性回归，多元线性回归以及非线性回归，这里主要是介绍一元线性回归的MA TLAB实现。
实验目的：1、了解回归分析的基本原理，掌握MATLAB的实现方法；2、联系实际用回归分析方法解决实际问题。
一、一元线性回归模型例：用切削机床加工时，为实时地调整机床需测定刀具的磨损程度，先每隔一小时测量刀具的厚度得到以下的数据:试建立刀具厚度关于切削时间的回归模型，对模型和回归系数进行检验，预测15小时后刀具的厚度。
分析：首先对原始数据进行观察，确定回归模型，然后通过计算最终确定模型和模型参数，并对模型和回归系数进行检验。
统计学回归分析公式整理
统计学回归分析公式整理回归分析是一种常用的统计学方法，用于探究变量之间的关系和预测未来的结果。
在回归分析中，我们通常会使用一些公式来计算相关的统计量和参数估计。
本文将对统计学回归分析常用的公式进行整理和介绍。
一、简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的线性关系。
其回归方程可以表示为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y代表因变量，X代表自变量，β0和β1分别是回归方程的截距和斜率，ε表示随机误差。
常用的统计学公式如下：1.1 残差的计算公式残差是观测值与回归直线之间的差异，可以通过以下公式计算：残差 = Y - (β0 + β1X)1.2 回归系数的估计公式回归系数可以通过最小二乘法估计得到，具体的公式如下：β1 = Σ((Xi - X均值)(Yi - Y均值)) / Σ((Xi - X均值)^2)β0 = Y均值 - β1 * X均值其中，Σ表示求和运算，Xi和Yi分别表示第i个观测值的自变量和因变量，X均值和Y均值表示自变量和因变量的平均数。
1.3 相关系数的计算公式相关系数用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向，可以通过以下公式计算：相关系数= Σ((Xi - X均值)(Yi - Y均值)) / (n * σX * σY)其中，n表示样本量，σX和σY分别表示自变量和因变量的标准差。
二、多元线性回归多元线性回归是扩展了简单线性回归的一种方法，可以用于研究多个自变量和一个因变量之间的关系。
2.1 多元线性回归模型多元线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y代表因变量，X1 ~ Xk代表自变量，β0 ~ βk分别是回归方程的截距和各个自变量的系数，ε表示随机误差。
2.2 多元回归系数的估计公式多元回归系数可以通过最小二乘法估计得到，具体的公式如下：β = (X'X)^(-1)X'Y其中，β表示回归系数向量，X表示自变量的设计矩阵，Y表示因变量的观测向量，^(-1)表示矩阵的逆运算。
回归分析建模方法
得
⎛1 x11 ⎜ 记 X =⎜ ⎜1 x n1 ⎝
⎛ β0 ⎞ x1m ⎞ ⎛ y1 ⎞ ⎛ ε1 ⎞ ⎜ ⎟ β1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ε = ⎜ ⎟， β= Y = ⎜ ⎟， ⎟， ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ xnm ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ yn ⎠ ⎝εn ⎠ ⎝ βm ⎠
⎧ ⎪Y = X β + ε ⎨ 2 ~ (0, ε N σ In ) ⎪ ⎩
p=0.0247，取α=0.05时回归模型可用，但取α=0.01则
模型不能用；R2=0.6527较小
b0 , b1 的置信区间包含了零点。下面将试图用 x1,x2 的二
次函数改进它。
1.8 多项式回归
如果从数据的散点图上发现 y 与 x 呈较明显 的二次(或高次)函数关系，或者用线性模型的效果 不太好，就可以选用多项式回归.
= 22.5243 24.1689 28.3186 delta = 5.6275 5.1195 5.1725 y 26.0582 27.9896 28.3186 27.0450 19.6904 22.5243 26.0582 27.9896 27.0450 24.1689 19.6904 5.1195 5.1195 5.1725 5.1195 5.6275 5.6275 5.1195 5.1195 5.1195 5.1195 5.6275
得到 b =66.5176 0.4139 -0.2698 bint = - 32.5060 165.5411 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785 stats =0.6527 6.5786 0.0247
得到 b =66.5176 0.4139 -0.2698 bint = - 32.5060 165.5411 -0.2018 1.0296 -0.4611 -0.0785 stats =0.6527 6.5786 0.0247 可以看出结果不是太好：
拟合优度公式解析拟合度量残差等
拟合优度公式解析拟合度量残差等拟合优度是用于衡量数据拟合程度的一种方法，它可以帮助我们评估拟合模型与实际数据之间的接近度。
在数据分析和统计学中，拟合优度是一个关键的指标，有助于我们确定模型的有效性和可信度。
拟合优度通常用R²（R方）来表示，它的取值范围在0到1之间。
R²越接近1，说明拟合的模型与实际数据越吻合；反之，R²越接近0，说明拟合的模型与实际数据越不相符。
具体地，R²等于1意味着拟合的模型完全解释了实际数据的变异，而R²等于0则表明拟合模型不能解释实际数据的任何变异。
拟合优度公式如下：R² = 1 - （SSR / SST）其中，SSR代表残差平方和，即模型预测值与实际观测值的差异的平方和；SST代表总平方和，即实际观测值与观测值均值的差异的平方和。
拟合优度公式中的分子SSR衡量的是模型解释的变异量，而分母SST衡量的是总变异量。
因此，拟合优度R²实际上是模型解释的变异占总变异的比例。
在实际应用中，拟合优度可以用来评估不同的模型，判断哪个模型更好地拟合了数据。
在回归分析中，拟合优度经常被用来判断回归模型的有效性。
当R²值接近1时，说明回归模型能够很好地解释目标变量的变异；而当R²值接近0时，需要重新评估模型的选择及参数的设定。
拟合度量残差是用于评估拟合优度的一种方法。
残差是指观测值与模型预测值之间的差异，它表示了模型无法解释的部分，或者说是模型的误差。
拟合度量残差可以通过计算残差的平方和来衡量拟合的精度。
拟合度量残差公式如下：残差 = 观测值 - 模型预测值拟合度量残差的值越小，说明模型预测值与观测值之间差异越小，拟合效果越好。
通过分析残差，我们可以检验模型是否存在过拟合或欠拟合的问题。
如果残差呈现随机分布且无序，说明模型对数据的解释是合理的；而如果残差呈现特定的模式或趋势，可能意味着模型存在欠拟合或过拟合的问题。
拟合情况所需样本量的计算标准公式
拟合情况所需样本量的计算标准公式一、概述1.背景介绍拟合是指通过一定的数学模型来描述某种现象或者预测某种变量的取值。
在实际应用中，我们经常需要对数据进行拟合分析，以便更好地理解数据规律、预测未来发展趋势等。
而拟合的结果往往受到样本量的影响，样本量的大小直接关系到拟合结果的可信度和准确性。
如何确定拟合情况所需的样本量成为了一个重要的问题。
2.研究目的本文旨在探讨拟合情况所需样本量的计算标准公式，帮助读者更好地确定在进行拟合分析时需要收集的样本数量，以及在样本量有限的情况下如何进行可靠的拟合分析。
二、拟合情况所需样本量的计算标准公式1.常用的计算方法在实际应用中，一般有以下几种方法来确定拟合情况所需的样本量：（1）基于经验的估计：根据经验和常识来确定所需样本量，这种方法简单直观，但可靠性较低；（2）基于样本量与误差之间的关系：通过样本量与误差之间的数学模型来确定所需的样本量，这种方法相对准确，但需要对误差源进行深入分析；（3）基于统计推断的方法：通过统计推断的方法来确定所需的样本量，这种方法较为科学，但需要对统计学理论和方法有一定的了解。
2.计算标准公式在统计学中，有一些常用的计算拟合情况所需样本量的标准公式，其中比较常见的有以下几种：（1）均值估计标准公式：当我们需要对一个总体的均值进行估计时，可以使用以下标准公式来计算所需的样本量：\[n = \frac{{t^2×s^2}}{{E^2}}\]其中，\(n\)表示所需的样本量，\(t\)是显著性水平对应的 t 分布的分位数，\(s\)是总体标准差的估计值，\(E\)是估计误差。
（2）比例估计标准公式：当我们需要对一个总体的比例进行估计时，可以使用以下标准公式来计算所需的样本量：\[n = \frac{{p×(1-p)×t^2}}{{E^2}}\]其中，\(n\)表示所需的样本量，\(p\)是总体比例的估计值，\(t\)是显著性水平对应的 t 分布的分位数，\(E\)是估计误差。
拟合度公式
拟合度公式拟合度公式是数学统计学中一种重要的工具，用于衡量某一数据集与一个理论模型之间的拟合程度。
在统计学中，拟合度常用于评估回归模型对观测数据的拟合情况，可以帮助分析人员验证模型的有效性和准确性。
本文将对拟合度公式进行详细介绍，从理论基础到实际应用，希望能对读者有所帮助。
首先，我们来了解拟合度公式的基本概念。
拟合度指的是统计模型和实际观测数据之间的吻合程度，也就是模型对数据的解释力。
在回归分析中，常用的拟合度公式有R方（Coefficient of Determination）和调整R方（Adjusted R-squared）。
R方是最常见的拟合度公式之一，它的取值范围在0到1之间。
当R方为0时，说明模型对数据的解释力为零，即模型无法解释观测数据的变异性；当R方为1时，说明模型完全解释了观测数据的变异性，即模型与数据完全拟合。
通常情况下，R方越接近1，模型对数据的解释能力就越强。
然而，R方存在一个问题，就是它会随着自变量的增加而增加，而不管这些自变量是否真正对因变量有影响。
因此，为了解决这个问题，调整R方被提出来。
调整R方对模型中包含的自变量个数进行了校正，可以更准确地评估模型的拟合度。
与R方类似，调整R方也是介于0到1之间的数值，越接近1，模型拟合越好。
接下来我们来看一些拟合度公式的具体计算方法。
以R方为例，其计算公式为：R^2 = 1 - SSR/SST其中，SSR是回归平方和，表示模型拟合的好坏，SST是总平方和，表示总的观测数据对平均值的偏离程度。
计算R方时，我们通过比较模型拟合后的回归平方和和总平方和的比值，来判断模型对数据的拟合程度。
此外，还有一些其他的拟合度公式，如均方根误差（Root MeanSquare Error，RMSE）、平均绝对百分比误差（Mean Absolute Percentage Error，MAPE）等。
这些公式都是用来衡量模型预测结果与实际观测数据之间的偏差程度，可以进一步评估模型的准确性和有效性。
用Excel创建经验公式并进行预测
用Excel创建经验公式并进行预测用公式表示事物与事物之间的数量关系，有两种情况：一种是确定关系，例如圆面积S和半径r具有如下关系，S=πr2，知道了圆半径，圆面积立即可以算出。
这样的公式可以通过几何关系进行推导。
另一种称为非确定关系，例如居民收入与商品零售额的关系，气温与冷饮销售量的关系，吸烟量与肺癌发病率的关系……等等，虽然我们知道它们有一定的关系，但无法直接用数学进行推导。
如果要用公式表示它们之间的关系，只有用回归分析方法，用回归分析建立的公式称做经验公式。
用传统的回归分析建立经验公式是很麻烦的，计算过程也极易出错，用Excel的专用工具和专用函数建立经验公式，就使这一繁锁的工作变得轻而易举。
具体应用，我们将通过下面的两个例题(四种方法)来说明。
这几种方法各有优点，但方法一最直观，方法四最简单。
例题一某企业根据记录，企业的产量和生产费用如表1，现在需要分析产量(X)与生产费用(Y)间的关系，并建立经验公式。
根据此公式，如果1999年的产量定为9千吨，预计生产费用是多少?方法一用图形功能建立经验公式。
优点：能清晰地观察XY的几何图形，并直接获得经验公式，这对XY的关系毫不了解的情况特别有利。
用图形功能建立经验公式，不仅可以处理简单的直线公式，还可以处理对数、指数、多项式、幂级数等非线性公式，既直观又简便。
具体操作如下：1.在Excel的一个工作表中将以上数据录入Excel图1。
2.选取该数据区域，点击菜单“插入”／“图表”／“在原工作表中嵌入”，鼠标变成一个小柱状图。
用鼠标在表上适当的空白位置画个框，即出现“图表指南”，一步一步往下进行，选取“XY散点图”，完成XY图形。
3.双击“XY图形”，使图形进入编辑状态。
用右键点击XY图形上的XY曲线，出现对话框，选“加上趋势线…”，出现“趋势线”对话框。
4.“趋势线”对话框中的曲线“类型”，有“线性”、“对数”、“多项式”、“升幂”、“指数”、“移动平均”等6种可供选择。
回归分析研究
回归分析研究报告一、基本概念回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，我们根据一个样本计算出的那些系数，只是它们的一个（点）估计，应该对它们作区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，那么系数的估计值是没有多大意义的。
另外也可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。
简单地说，回归分析就是对拟合问题作的统计分析。
具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题：（i）建立因变量y与自变量x , x , , xm 1 2 L 之间的回归模型（经验公式）；（ii）对回归模型的可信度进行检验；（iii）判断每个自变量x (i 1,2, ,m) i = L 对y 的影响是否显著；（iv）诊断回归模型是否适合这组数据；（v）利用回归模型对y 进行预报或控制。
二、回归分析预测法的步骤1．根据预测目标，确定自变量和因变量明确预测的具体目标，也就确定了因变量。
如预测具体目标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。
通过市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响因素。
2．建立回归预测模型依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
3．进行相关分析回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。
9实验结果的处理和经验公式
xi − x
-6 -5 -4 -3 -2 0 2 4 6 8
( xi − x )( yi − y )
103.2 71.0 44.8 24.6 8.4 0 11.6 43.2 94.8 174.4
36 25 16 9 4 0 4 16 36 64
295.84 201.64 125.44 67.24 17.64 0.64 33.64 116.64 249.64 475.24
1 (∑ x )(∑ y ) n
各测量值 (x, y ) 对其算术平均值之差 (x − x ), ( y − y ) 称为测量值的离差， 而 lxx ，xy 则称为离差积之和，显然 l xx 的脚标 xx 表示了 x 离差的自乘差积。
在式（9-8）至式（9-10）及在以后的计算中，为简化算式，用 ∑ 表示对 i 从1到n求和，并省去了变量 xi , yi 的脚标 i 。
0.05 0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602
0.01 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735
α
n-2 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0.05 0.576 0.553 0.532 0.514 0.497 0.482 0.468 0.456 0.444
l yy = ∑ ( y − y ) = ∑ y 2 −
2
1 (∑ y )2 n
用矩阵法求取回归参数时，其计算式比较简洁，由式（9-5）可写出误差方 程组的矩阵形式：
V = Y − XB
式中，V为残差矩阵；Y为测量值矩阵；X为结构矩阵；B为待求的回归参数矩 阵。并有
大物实验课程论文：经验公式的建立与应用
经验公式的建立与应用陈家昀（中国石油大学（华东）地球科学与技术学院，山东青岛 2666555）摘要：本文通过对经验公式建立的一般方法的介绍，并结合作图法、“以直代曲”的传统经验公式建立方法和计算机曲线拟合技术的现代经验公式建立方法作为例证进行分析。
最后论述了经验公式在物理理论和实际生产生活中的具体应用，表明了经验公式在实际工作中的巨大作用。
关键词：经验公式；作图法；以直代曲；曲线拟合0 引言物理过程中所涉及的物理量相互之间往往按照确定的规律变化。
例如，加在电阻元件上的电压U和通过的电流I；半导体PN结上的正向电压U和正向扩散电流I；流体的温度T 与粘滞系数η等。
当其中一个量变化时，另一个量也发生变化。
要研究这些物理量的变化规律，首先应该测绘出物理量之间的关系曲线；要进一步揭示变化规律，还需找出经验公式，也就是要找出所得关系曲线的解析表达式。
经验公式是通过观测数据绘制出的曲线的走向并凭该曲线走向“对应”相应的数学模型。
1经验公式建立的基础即经验数据应具有代表性、可靠性、一致性和相互独立性。
21 经验公式的建立1.1 经验公式建立的基本步骤通过实验方法探索物理规律，寻找两个相关物理量之间的函数关系式即建立经验公式，其基本方法如下3：①测量两个相关物理量之间变化关系的实验数据。
②用直角坐标做出物理量之间的关系曲线，并根据曲线形状选择合适的函数形式①，建立数学模型。
或直接利用计算机工具如Excel软件进行曲线拟合。
③利用数据处理的有关知识，求解函数关系式中的常数，确定经验公式。
一般采用最小二乘法通过计算机进行曲线拟合，也可以通过曲线改直，用作图法、最小二乘法、逐差法等数据处理方法进行计算。
④用实验数据验证经验公式。
除了上述一般方法，近些年一些学者还研究了求经验公式的最优化模型方法4等其他求解经验公式的方法，此处就不再赘述。
①常见曲线的形状与对应的函数形式可参阅《高等数学（2-2）》附录，中国石油大学出版社。
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9-4
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、变量间的关系
1、函数关系(确定性关系 、函数关系 确定性关系 确定性关系) (1) 是一一对应的确定关系 1 一起变化， (2) 设有两个变量 x 和 y ，变量 y 随变量 x 一起变化，并完 全依赖于 x ，当变量 x 某个数值时， y 依确定的关系取 某个数值时， 相应的值， 的函数， 相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f(x) ，其中 x 称为自变量， 称为自变量，称 y 为因变量 自变量 作匀速运动的物体， 如以速度 v 作匀速运动的物体，走过的距离 之间， 时间 t 之间，有如下的函数关系
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
第9章
回归分析与经验公式拟合
9-1
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
教学目标
回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法, 回归分析是处理变量之间相关关系的一种数理统计方法, 也是广泛用于获得数学表达式的较好方法。本章介绍测量中 也是广泛用于获得数学表达式的较好方法。 获得数学表达式的较好方法 常用的一元与多元线性回归以及一元非线性回归的基本方法。 常用的一元与多元线性回归以及一元非线性回归的基本方法。 一元与多元线性回归以及一元非线性回归的基本方法
9-11
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
第二节 一元线性回归分析
9-12
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、一元线性回归方程
一元线性回归模型——概念 一元线性回归模型 线性回归模型 概念 1、当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变量 y 与 、当只涉及一个自变量时称为一元回归， 一个自变量时称为一元回归 之间为线性关系 线性关系时称为一元线性回归 自变量 x 之间为线性关系时称为一元线性回归 2、对于具有线性关系的两个变量，可以用一个线性方程 、对于具有线性关系的两个变量， 来表示它们之间的关系 3、描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 ε 的方程称 、 回归模型。 为回归模型。
9-8
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
二、什么是回归分析？ 什么是回归分析？
主要解决以下几个问题： 主要解决以下几个问题： 1、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式 、从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式— 数学关系式 回归方程或经验公式； 回归方程或经验公式； 2、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影 、对这些关系式的可信程度进行各种统计检验， 可信程度进行各种统计检验 响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响 显著，哪些不显著； 显著，哪些不显著； 3、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值，预测 、利用所求的关系式，根据一个或几个变量的值， 或控制另一个变量的值， 或控制另一个变量的值，并要知道这种预测或控制可 达到的精密度。 达到= y ˆ ˆ 2 ˆ x ⋅ a + x ⋅ b = xy
9-19
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
ˆ ˆ a 和 b 的计算公式
解线性方程组， 解线性方程组，得： ˆ n( xy − x ⋅ y ) lxy = b = 2 n( x − x ⋅ x ) lxx a = y − bx ˆ
s = vt
的关系
当对事物内部的规律性了解得更加深刻时， 当对事物内部的规律性了解得更加深刻时，经过排除 某些主要的影响因数后，相关关系又能转化为确定性 某些主要的影响因数后，相关关系又能转化为确定性 的函数关系。 的函数关系。 例如，许多定理也是通过大量的数据分析和处理， 例如，许多定理也是通过大量的数据分析和处理，才 得到变量间的确定关系的
a 和 b 称为模型的参数 称为模型的参数——总体回归参数 总体回归参数
9-14
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、一元线性回归方程
一元线性回归模型——基本假定 基本假定 一元线性回归模型 1、误差项 ε 是一个期望值为０的随机变量，即 E (ε ) = 0 、 是一个期望值为０的随机变量， 对于一个给定的 xi 值， yi 的期望值为 E ( yi ) = a + bxi 2、对所有的 xi 值，ε i 的方差 σ 2 都相同 、 3、误差项 ε i 是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。 、 是一个服从正态分布的随机变量， 相互独立。 即 ε i ~ N (0, σ 2 ) 独立性意味着对于一个特定的 xi 值，它所对应的 ε i 与其它 x j 值所对应 ε j 的不相关 对于一个特定的 xi 值，它所对应的 yi 值与其它 x j 值所对应 y j的不相关
i = 1, 2,⋯ , n
实际测量值
回归方程上的点
矩阵形式： 矩阵形式： y - Aβ = v
y1 y y = 2 其中： 其中： ⋮ yn
ˆ ∂y1 ∂a ˆ ˆ ∂y2 ˆ A = ∂a ⋮ ∂y ˆn ˆ ∂a ˆ ∂y1 ˆ ∂b 1 x 1 ˆ ∂y2 1 x2 ˆ ∂b = ⋮ ⋮ ⋮ 1 xn ˆ ∂yn ˆ ∂b
9-13
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、一元线性回归方程
一元线性回归模型——方程 方程 一元线性回归模型 由实验获得两个变量 x 和 y 的一组样本数据 ( x1 , y1 ) ， ， ( x2 , y2 ) ，…， xn , yn ) ，构造如下一元线性回归模型 (
yi = a + bxi + ε i
ˆ ˆ a 和 b 的计算公式
对于一元线性回归方程： ˆ ˆ ˆ 对于一元线性回归方程： y = a + bx (9-2)
ˆ ˆ 确定一个回归值：ˆ 每一个 xi 确定一个回归值：yi = a + bxi ˆ ˆ ˆ 残差方程： 残差方程： v = y − y = y − a − bx
i i i i i
n AT A = n ∑ xi i =1 xi ∑ i =1 n 2 ∑ xi i =1
n
ˆ ˆ a 和 b 的计算公式
n yi ∑ i =1 AT y = n ∑ xi yi i =1
n ˆ n 化简正规方程组： 化简正规方程组： na + ∑ xi b = ∑ yi ˆ i =1 i =1 n n n x a + x 2 b = x y ˆ ∑ii ∑ i ˆ ∑ i i =1 i =1 i =1
3、一元线性回归的经验的回归方程 y = a + bx 、 ˆ ˆ ˆ
ˆ a 是回归直线在 y 轴上的截距
ˆ 是直线的斜率， 每变动一个单位时， y b 是直线的斜率，它表示当 x 每变动一个单位时， 的平均变动值
ˆ y 是 y 的估计值
9-17
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
9-16
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、一元线性回归方程
经验的回归方程 1、总体回归参数 a 和 b是未知的，必须利用样本数据去估计 、 是未知的，
ˆ ˆ 2、用样本统计量 a 和 b 代替回归方程中的未知参数 a 和 b ， 、 这时就得到了经验的 经验的回归方程 这时就得到了经验的回归方程
9-7
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
二、什么是回归分析？ 什么是回归分析？
是一种处理变量间相关关系的数理统计方法。 是一种处理变量间相关关系的数理统计方法。 变量间相关关系的数理统计方法 是应用数学的方法，对大量的观察数据进行处理， 是应用数学的方法，对大量的观察数据进行处理，从 得出比较符合事物内部规律的数学表达式。 比较符合事物内部规律的数学表达式 而得出比较符合事物内部规律的数学表达式。 对于确定的函数关系： 对于确定的函数关系： 使待求的函数关系曲线与测量数据点的某种残余误差 使待求的函数关系曲线与测量数据点的某种残余误差 函数关系曲线 之和最小 对于已知的相关关系： 对于已知的相关关系： 使待求的相关关系曲线与测量数据点的某种残余误差 使待求的相关关系曲线与测量数据点的某种残余误差 相关关系曲线 之和最小
s与
s = vt
9-5
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
一、变量间的关系
2、相关关系 (随机性关系 、 随机性关系) 随机性关系 (1) 变量间关系不能用函数关系精确表达 变量间关系不能用函数关系精确表达 (2)一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定 一个变量的取值不能由另一个变量惟一确定 (3)当变量 x 取某个数值时，变量 y 的值可能有几个 当变量 取某个数值时， 如人的身高( 与体重 之间的关系 与体重( 如人的身高 y )与体重 x )之间的关系 身高与体重之间并不存在确定的函数关系； 身高与体重之间并不存在确定的函数关系； 但经过统计分析后可知体重按一定概率落在一个范围内。 但经过统计分析后可知体重按一定概率落在一个范围内。
9-2
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
教学重点和难点
回归分析的基本概念 一元线性回归分析 多元线性回归分析 非线性回归分析
9-3
误差分析与测量不确定度评定
第九章
回归分析与经验公式拟合
第一节 回归分析的基本概念
变量间的关系可分为函数关系和相关关系。 变量间的关系可分为函数关系和相关关系。本节介绍这 函数关系 两种关系，并对回归分析的一些基本概念作一个简要的介 两种关系， 绍。