相似三角形,倍角三角形
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ；知识点二、相似三角形的判定判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．符号语言：拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AEBD CE=吗？请说明理由。
（用两种方法说明）例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BDBEAD AF =例题精讲AEDBCABCD吗？说说你的理由.例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
2分之3倍根号3 随练： 一、选择题1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）CADCBEF G F E DCBA。
知识必备08 相似三角形(公式、定理、结论图表)-2023年中考数学知识梳理+思维导图
知识必备08相似三角形（公式、定理、结论图表）考点一、比例线段1.比例线段的相关概念如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.2、比例的性质（1）基本性质：①a：b=c：d ad=bc②a：b=b：c.（2）更比性质（交换比例的内项或外项）（交换内项）（交换外项）（同时交换内项和外项）（3）反比性质（交换比的前项、后项）：（4）合比性质：（5）等比性质：3、黄金分割把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB.典例1：（2022•镇江）《九章算术》中记载，战国时期的铜衡杆，其形式既不同于天平衡杆，也异于称杆．衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔，一面刻有贯通上、下的十等分线．用该衡杆称物，可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上，这样，用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体．图为铜衡杆的使用示意图，此时被称物重量是砝码重量的 1.2 倍．【分析】根据比例的性质解决此题．【解答】解：由题意得，5m被称物＝6m砝码．∴m被称物：m砝码＝6：5＝1.2．故答案为：1.2．【点评】本题主要考查比例，熟练掌握比例的性质是解决本题的关键．典例2：（2022•衡阳）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为2m的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（结果精确到0.01m．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）（ ）A．0.73m B．1.24m C．1.37m D．1.42m【分析】设下部高为x m，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案．【解答】解：设下部的高度为xm，则上部高度是（2﹣x）m，∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，∴＝，解得x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），经检验，x＝﹣1是原方程的解，∴x＝﹣1≈1.24，故选：B．【点评】本题考查黄金分割及分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程解决问题．考点二、相似图形1.相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形. 也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.3.相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等. 相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.5.相似三角形的性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. (2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比. (3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【要点诠释】结合两个图形相似，得出对应角相等，对应边的比相等，这样可以由题中已知条件求得其它角的度数和线段的长.对于复杂的图形，采用将部分需要的图形(或基本图形)“抽”出来的办法处理.6.相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； (3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似； (4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个三角形相似.典例3：（2022•襄阳）如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，则△ABC的周长为 5 ．【分析】如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．证明AB ＝3AD，设AD＝CD＝a，证明ET＝CT，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，求出a+b，可得结论．【解答】解：如图，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AC于点N，过点D作DT∥AE交BC于点T．∵AE平分∠BAC，FM⊥AB，FN⊥AC，∴FM＝FN，∴＝＝＝3，∴AB＝3AD，设AD＝DC＝a，则AB＝3a，∵AD＝DC，DT∥AE，∴ET＝CT，∴＝＝3，设ET＝CT＝b，则BE＝3b，∵AB+BE＝3，∴3a+3b＝3，∴a+b＝，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝5a+5b＝5，故答案为：5．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．典例4：（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值为，故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．典例5：（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE 的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．【分析】根据等腰三角形的性质可得∠C＝∠CEB＝∠AED，由AD⊥BE可得∠D＝∠ABC＝90°，即可得△ADE∽△ABC．【解答】证明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．典例6:（2022•湘潭）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）连接AD，若AD＝3，∠C＝30°，求⊙O的半径．【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定可以证明结论成立；（2）根据直角三角形的性质和圆周角定理，可以得到AB的长，从而可以得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵∠C＝∠B，∠AEC＝∠DEB，∴△AEC∽△DEB；（2）解：∵∠C＝∠B，∠C＝30°，∴∠B＝30°，∵AB是⊙O的直径，AD＝3，∴∠ADB＝90°，∴AB＝6，∴⊙O的半径为3．【点评】本题考查相似三角形的判定、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．典例7：（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．【分析】解法一：先证明△AOD∽△EFG，列比例式可得AO的长，再证明△BOC∽△AOD，可得OB 的长，最后由线段的差可得结论．解法二：过点C作CM⊥OD于C，证明△EGF∽△MDC可得结论．【解答】解：解法一：∵AD∥EG，∴∠ADO＝∠EGF，∵∠AOD＝∠EFG＝90°，∴△AOD∽△EFG，∴＝，即＝，∴AO＝15，同理得△BOC∽△AOD，∴＝，即＝，∴BO＝12，∴AB＝AO﹣BO＝15﹣12＝3（米）；解法二：如图，过点C作CM⊥OD于C，交AD于M，∵△EGF∽△MDC，∴＝，即＝，∴CM＝3，即AB＝CM＝3（米），答：旗杆的高AB是3米．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键掌握相似三角形的判定，属于中考常考题型．典例8：（2022•资阳）如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM＝4，点E为BC边上的动点（不与B、C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF．（1）求证：△ABM∽△EBF；（2）当点E为BC的中点时，求DE的长；（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？【分析】（1）利用两个角对应相等的三角形全等即可证明△ABM∽△EBF；（2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE＝AM＝4，AN＝ME，再由勾股定理求出BM＝3，从而得到ME＝AN＝2，进而得到DN＝8，再由勾股定理，即可求解；（3）延长FE交DC的延长线于点G．根据，可得，再证得△ABM∽△ECG，可得，从而得到，再根据三角形的面积公式，得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，AM是BC边上的高，∴∠AMB＝∠EFB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABM∽△EBF；（2）解：过点E作EN⊥AD于点N，如图：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，又∵AM是BC边上的高，∴AM⊥AD，∴∠AME＝∠MAN＝∠ANE＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴NE＝AM＝4，AN＝ME，在Rt△ABM中，，又∵E为BC的中点，∴，∴ME＝AN＝2，∴DN＝8，在Rt△DNE中，；（3）解：延长FE交DC的延长线于点G，如图：∵sin B＝＝，∴，∴EF＝x，∵AB∥CD，∴∠B＝∠ECG，∠EGC＝∠BFE＝90°，又∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△ABM∽△ECG，∴，∴，∴GC＝（10﹣x），∴DG＝DC+GC＝5+（10﹣x），∴y＝EF•DG＝×x•[5+（10﹣x）]＝﹣x2+x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，y有最大值为，答：y＝﹣x2+x，当x＝时，y有最大值为．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质是解题的关键．考点三、位似图形1.位似图形的定义： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.2.位似图形的分类： (1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外. (2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.3.位似图形的性质 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.【要点诠释】位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.4.作位似图形的步骤 第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 第二步：作位似中心与各关键点连线； 第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 第四步：顺次连接截取点.【要点诠释】 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.典例9：（2022•河池）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B2的坐标．【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）把A、B、C的坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作，点B2的坐标为（﹣4，﹣6）；【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了轴对称变换．。
三角形的相似与全等
三角形的相似与全等相似与全等是几何学中三角形重要的概念之一。
通过研究三角形的相似与全等性质，可以帮助我们解决各种问题，例如测量未知长度、计算面积、进行几何证明等等。
本文将介绍相似与全等的定义、性质和应用，并通过几个例子来说明它们在实际问题中的用途。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF有以下对应关系：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ∼三角形DEF。
相似三角形具有一些重要性质：1. 边比例关系：对应边的长度之比相等。
即，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么我们可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的边比例关系。
2. 高比例关系：对应高的长度之比也相等。
即，如果h₁/h₂ =h₃/h₄ = h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别是三角形ABC和DEF的高，那么我们也可以记作∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的高比例关系。
3. 面积比例关系：对应面积之比等于边比例关系的平方。
即，如果S₁/S₂ = AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²，其中S₁和S₂分别是三角形ABC和DEF的面积，那么我们可以推断∆ABC ∼ ∆DEF，并且称这个比例关系为三角形的面积比例关系。
二、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
换句话说，如果两个三角形的对应边长和对应角度都相等，那么它们就是全等的。
具体来说，如果三角形ABC与三角形DEF满足以下对应关系：AB = DE，BC = EF，AC = DF，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么我们可以写作三角形ABC ≌三角形DEF。
初中数学相似三角形口诀归纳,文末附解题思路,童鞋学起来
初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来初中数学相似三角形口诀归纳，文末附解题思路，童鞋学起来许多平时记不住、记不牢、不好记、很抽象的知识，通过朗朗上口的口诀来学习，就能变得轻松有趣，还能收到事半功倍的效果，这种寓教于乐的学习方式，对于需要大量掌握学科知识的孩子来说，是一条难得的捷径。
今天老师分享的是初中数学相似三角形的口诀。
可能有的同学对何为相似三角形还有所不解，我们先来看看相似三角形的定义:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
下面我们正式进入口诀学习时刻，注意文末还附有解题思路哦~~~相似三角形终极策略口诀:第一首【原始】遇等积，化比例，同侧三点找相似;四共线，无等边，射影平行用等比;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边。
彼相似，我角等，两边成比边代换。
第二首【整理】遇等积，化比例，横找竖找定相似;不相似，不用急:等线等比来代替;有射影，或平行，等比传递我看行;四共线，有等边，必有一条可转换;两共线，上下比，过端平行条件边;彼相似，我条件，创造边角再相似。
相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比一、相似三角形的概念平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
(这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。
这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
二判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。
)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结本文介绍了图形的相似知识点，包括相似图形、相似多边形的性质和比例线段等内容。
其中，比例线段的基本性质包括内外项积相等、交换内外项等，还介绍了合比性质和等比性质。
另外，文章还介绍了黄金分割和相似三角形的性质，包括相似比、对应角和对应边成比例等。
最后，文章提到了三角形相似的判定定理。
在应用等比性质时，需要注意分母是否为零。
1.如果一条直线平行于三角形的一边并与其它两边相交，那么所构成的三角形与原三角形相似。
2.如果两个三角形的对应角度相等，那么它们相似。
3.如果两个三角形的夹角相等且对应边成比例，那么它们相似。
4.如果两个三角形的三条边成比例，那么它们相似。
5.直角三角形相似判定定理：1.如果两个直角三角形的斜边与一条直角边成比例，那么它们相似。
2.如果直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
3.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA6.中位线：1.三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，共有三条。
2.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
3.重心是三角形三条中线的交点，到一个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
4.梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
5.梯形的中位线平行于两底边，且等于两底和的一半。
6.梯形的面积等于中位线与高的乘积，也等于上底加下底的一半乘以高。
7.位似：1.如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2.位似图形的对应边平行或共线，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。
8.图形的变换与坐标：1.轴对称：图形关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标变为相反数。
2.中心对称：图形关于原点对称，横纵坐标均变为相反数。
相似三角形判断条件
相似三角形判断条件相似三角形是指两个三角形，他们彼此的所有内角和外角都相等。
相似三角形的几何原理是三角形具有相似性的基本原理，它指的是两个三角形所有内角和外角都相等。
在几何原理中，最重要的一点是如何证明两个三角形是相似的。
下面我们就来详细看看相似三角形的判断条件。
首先，相似三角形的判断条件是：（1）两个三角形的外角是相等的。
（2）两个三角形的内角是相等的。
（3）两个三角形的边长比相等。
假设三角形ABC，DEF两者的所有角和边长都是已知的，那么在证明他们是否为相似三角形的时候，可以用到几何定理，如半周长定理：两个三角形的半周长比等于它们的定点外角的正弦值的乘积；三角形外角公式：所有三角形的外角之和是180°；三角形内角公式：任何三角形的内角之和是180°；三角形边长比公式：任意一条边的长度比等于两两比的其他两边的比值的乘积；以及内部三角形内外角公式：内部三角形的外角是内角的两倍。
由以上几何定理可以推出，相似三角形存在条件即：（1）两个三角形的外角都相等。
（2）两个三角形的内角都相等。
（3）两个三角形的边长比都相等。
另外，如果有一个相似三角形，它的定点坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），可以用三个定点距离来证明它的相似性，即用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方；用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比。
总之，判断两个三角形是否为相似三角形的原则是：它们的所有外角和内角都相等，它们的边比都相等，或者可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
综上所述，相似三角形的判断条件就包括了三角形的外角、内角和边比都相等，以及可以用三个定点距离的比值等于三角形的边比的平方，用定点外角的正弦值的比值等于三角形的边比来证明它们的相似性。
相似三角形是几何原理中的基本概念，在几何中有很多应用。
例如，它可以用于解决以下问题：（1）最小外接圆半径：给定三角形ABC，找出最小外接圆半径；（2）最大内接圆半径：给定三角形ABC，求出最大内接圆半径；（3）多边形面积计算：给定由三角形ABC的共同点组成的多边形，计算多边形的面积；（4）共轭多边形：给定三角形ABC，求出其共轭多边形；（5）三角形的中心：给定三角形ABC，找出它的中心点；（6）三角形的重心：给定三角形ABC，找出它的重心；以及（7）三角形的切线：给定三角形ABC，求出三条切线。
初三《相似三角形》知识点总结
相似三角形知识点总结知识点1、三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。
如△ABC 与△A /B /C /相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / 。
相似三角形的比叫相似比相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是三角形相似的判定方法。
注意：（1）相似比是有顺序的。
（2）对应性，两个三角形相似时，通常把对应顶点写在对应位置，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
（3）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，若△ABC ∽△A /B /C /，相似比为k ，则△A /B /C /与△ABC 的相似比是1k知识点2、相似三角形与全等三角形的关系（1）两个全等的三角形是相似比为1的相似三角形。
（2）两个等边三角形一定相似，两个等腰三角形不一定相似。
（3）二者的区别在于全等要对应边相等，而相似要求对应边成比例。
知识点3、平行线分线段成比例定理1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c d ad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知l1∥l2∥l3,A D l1B E l2C F l3可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EB C由DE ∥BC 可得：AC AEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.知识点4：相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等 ②相似三角形的对应边成比例③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 ④相似三角形周长的比等于相似比⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方知识点5：相似三角形的判定：①两角对应相等，两个三角形相似②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
三角形的相似性及其性质
三角形的相似性及其性质三角形是几何学中重要的图形，它们由三条边和三个角组成。
在研究三角形时，了解三角形的相似性及其性质对于解决各种几何问题非常有帮助。
本文将详细探讨三角形的相似性及其性质。
一、相似三角形的定义及判定相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
当两个三角形的对应角度相等时，它们是相似的。
判定两个三角形是否相似有以下几种方法：1. AAA相似判定法：当两个三角形的对应角度分别相等时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三个内角分别等于另一个三角形的三个内角，那么这两个三角形就是相似的。
2. AA相似判定法：当两个三角形的一个角相等，且两个角所对的边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果一个三角形的一个内角等于另一个三角形的一个内角，并且这两个角所对的边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
3. SSS相似判定法：当两个三角形的对应边成比例时，它们是相似的。
例如，如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
二、相似三角形的性质在相似三角形中，存在一些重要的性质，这些性质对于解决各种几何问题有很大的帮助。
下面介绍几个常见的相似三角形性质：1. 相似三角形的对应边成比例：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应边的长度成比例。
即对应边的比值相等。
例如，如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边成比例，那么第三条边也与第三条边成比例。
2. 相似三角形的对应角相等：如果两个三角形是相似的，那么它们的对应角度相等。
即对应角相等。
例如，如果一个三角形的一个内角与另一个三角形的一个内角相等，那么这两个角所对的边的比值也相等。
3. 相似三角形的周长和面积之比：如果两个三角形是相似的，那么它们的周长和面积之比等于对应边长度的比值的平方。
例如，如果一个三角形的周长和面积分别是另一个三角形的周长和面积的2倍，那么这两个三角形就是相似的。
三、应用实例三角形的相似性及其性质在实际问题中有广泛的应用。
八年级数学相似三角形
一、相似三角形的定义
对应角相等 、 对应边成比例 ＿ 的两个三角形，叫 三、相似三角形的性质
相似三角形的判定：
相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两
边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形判定定理１:两角对应相等,两三角形相似。 相似三角形判定定理２:两边对应成比例且夹角相等,两三角
C E
A
D
B
F
合作交流
若AB=6 cm,AC=5cm,BC=8cm,AP=2cm,点Q从A出发， 沿折线ACB以1cm/s的速度移动，问经过几秒钟，PQ 截△ABC所得的新三角形与原三角形相似（点P在AB上 A A 固定不动）．
P Q
B P Q C
B
A P
C
A P
B
Q
C
B
Q
C
挑战自我
把30角的顶点放在BC边上运动（不与B、C重合），使一边 经过点A，另一边与AC相交于点F。 （1）BAD与CDF 相似吗？若相似，请证明；若不相似， 请说明理由。 （3）当ADF是等腰三角形时，求AF的长。
之比、对应中线之比、对应高之比都等于相似比.
相似三角形性质定理２:相似三角形周长之比等于相似比. 相似三角形性质定理３: 相似三角形面积之比等于相似比
的平方.
相似三角形判定与性质的应用
1.判一判:
（1）两个等腰三角形一定相似吗 不一定 （2）两个等边三角形一定相似吗 一定
引申：增加什 么条件能使两 个等腰三角形 相似
（3）两个直角三角形一定相似吗
不一定
引申：增加什么 条件能使两个直 角三角形相似
2.找一找:
(1) 如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, DE⊥AB,则图中有没有 三角形相似? (2) 若分别延长DE、BC交于点F,这时图中还有哪些三角形相 似? (3)若联结DC、AF，这时图中又有哪些三角形也相似？ B D C A
相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
相似三角形的判定方法
（一）相似三角形1、定义:对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．①当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个（或几个）三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件，缺一不可；②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例．2、相似三角形对应边的比叫做相似比．①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当它们全等时,才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线,截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言:∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE；(双A型）②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例"，还要想到“见平行，想相似”．(二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可简单说成:两角对应相等,两三角形相似.例1、已知：如图,∠1=∠2=∠3，求证:△ABC∽△ADE．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF 。
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结
相似三角形的性质及判定知识点总结+经典题型总结(总16页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除板块 考试要求 A 级要求B 级要求C 级要求相似三角形了解相似三角形掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型会运用相似三角形相关的知识解决有关问题一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等知识点睛 中考要求 相似三角形的性质及判定如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法 欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)
相似三角形基本知识点+经典例题(完美打印版)相似三角形基本知识点+经典例题一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长成比例。
以下是相似三角形的基本知识点和性质：1. 相似三角形的定义：如果两个三角形对应角相等，且对应边成比例，则它们是相似三角形。
2. 相似三角形的性质：a. 对应角相等：两个相似三角形的对应角是相等的。
b. 对应边成比例：两个相似三角形的对应边的比值相等。
3. 相似三角形的判定条件：a. AA判定：如果两个三角形的两对对应角相等，则它们是相似三角形。
b. AAA判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们是相似三角形。
二、相似三角形的比例关系相似三角形的对应边长之间存在一定的比例关系。
如果两个三角形是相似的，则对应边的比值相等。
以∆ABC∼∆DEF为例，A与D为对应顶角，AB与DE、BC与EF、AC与DF分别为对应边长。
则有以下比例关系：AB/DE = BC/EF = AC/DF三、相似三角形的应用相似三角形在几何学中有广泛的应用，下面通过一些经典例题来进一步了解相似三角形的应用。
例题一：已知∆ABC与∆DBC是相似三角形，AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm, DB = 2cm，求DC的长度。
解析：根据相似三角形的性质，可以得到以下比例关系：AB/DB = AC/DC3/2 = 5/DCDC = 10/5 = 2cm因此，DC的长度为2cm。
例题二：在平行四边形ABCD中，∠B的度数是∠D的度数的2倍。
若AB= 10cm，BC = 15cm，求AD的长度。
解析：由于ABCD是平行四边形，所以∠B = ∠D。
根据题目条件可得：∠B = 2∠D∠B + ∠D = 180°（平行四边形的内角和为180°）将∠B代入上式得：2∠D + ∠D = 180°3∠D = 180°∠D = 60°由相似三角形的性质可得AB/AD = BC/CD，代入已知值可得：10/AD = 15/CD将CD表示为AD的式子，并代入已知条件可得：10/AD = 15/(2AD)10AD = 30AD = 3cm因此，AD的长度为3cm。
相似三角形的边长比例推导
相似三角形的边长比例推导相似三角形是指两个或多个三角形的对应角度相等，对应边长成比例的三角形。
在几何学中，相似三角形是研究比例和比例性质的基础，有助于解决各种与三角形相关的问题。
本文将推导相似三角形的边长比例，并探讨其应用。
1. 相似三角形的定义在平面几何中，如果两个三角形具有相等的角度，并且对应边长成比例，则这两个三角形是相似的。
设有两个相似三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则有：BC/EF = AC/DF = AB/DE2. 倍角及辅助角的利用在推导相似三角形的边长比例过程中，经常会用到倍角和辅助角。
（1）倍角的利用：当两个三角形的某一角相等时，可以通过添加一个辅助角或利用倍角的关系将待求的边长比例转化为已知的边长比例。
例如，在一个等腰三角形ABC中，若∠ABC = ∠ACB = x°，我们可以添加一个辅助角∠BCD，使得∠BCD = 2∠ACB = 2x°。
然后通过相似三角形的边长比例可得到BD/BC = AC/BD = AC/BC，并进一步得到BD² = AC × BC，推导出BD的具体数值。
（2）辅助角的利用：辅助角可以用来将不知的边长比例转化为已知的边长比例，进而解决问题。
例如，在一个三角形ABC中，若∠B = 90°，∠C = 30°，则∠A = 180° - 90° - 30° = 60°。
我们可以添加一个辅助角∠ACD，使得∠ACD= 90°，那么三角形ADC是一个等腰三角形。
通过相似三角形的边长比例可得到AC/CD = AD/AC = AD/CD，并利用三角形ADC的性质得到AD = AC/2，CD = AC√3/2。
通过辅助角的引入以及相似三角形的性质，我们成功地推导出了边长的比例关系。
3. 实例分析接下来，我们通过一个具体的实例来演示相似三角形边长比例的推导过程。
两个三角形相似的定理
两个三角形相似的定理两个三角形相似的定理，这可是个有趣的话题！想象一下，两个三角形，一个大得像巨无霸，另一个小得像一块小饼干。
虽然它们的大小差得远，但你会发现，它们的形状居然是完全一样的。
就像在说，虽然身材不同，但心灵相通，真是让人感到神奇呀。
这就是相似的奥秘了。
相似三角形可不是随便就能找到的哦。
它们需要遵循一些定理，才能被称为“相似”。
这就好比朋友之间的默契，虽然外表不同，但内心的感受是一样的。
我们来聊聊相似三角形的基本特征。
三个角的大小得一样，这一点非常重要。
就像兄弟姐妹之间，有些长得像父母，有些则更像爷爷奶奶，但大家的性格却常常有共同之处。
相似三角形也一样，尽管边的长度可能不一样，但角度却是绝对的相同。
这就意味着，只要你把一个三角形放大或缩小，它的角度不会变。
真是太神奇了吧！如果把这个定理放到生活中，简直就是一条铁律，形状虽然可以变化，但本质却永远不变。
还有呢，相似三角形的边长比也是一个重要的概念。
你看，就像两个人的身高差不多，一个是篮球运动员，另一个是普通人。
他们虽然身高不一样，但如果用尺子量量，他们的比例依然可以保持一致。
相似三角形也是这样，边的长度之间有一定的比例关系。
比如说，如果一个三角形的边长是另一个的两倍，那它们的相似比就是2:1。
这样一来，大小虽然有差别，但相似的特征依然存在。
是不是感觉特别有趣？咱们来看看这些定理是如何应用在实际生活中的吧。
想象一下，建筑师在设计大楼的时候，就会用到相似三角形的概念。
他们需要确保每个楼层的形状都是一致的，这样才能让大楼看起来美观又稳固。
就像做菜时，配料的比例关系，稍微偏差一点，菜的味道就可能大打折扣。
同样的道理，相似三角形的比例关系确保了整个结构的稳固性，真是太棒了！再比如，地图上的比例尺，恰恰就是利用了相似三角形的概念。
地图上标示的距离和实际的距离之间，有一个明确的比例关系。
想象一下，如果你要从家里去一个新地方，看了地图后发现，虽然距离不远，但还是得花时间去走。
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第五部分 倍角三角形
一、倍角三角形 如果一个三角形中的一个内角等于另一个内角的2倍，我们就称这样的三角形为倍角三角形．
二、性质定理 在倍角三角形中，二倍角所对边的平方等于一倍角所对边乘以该边与第三边的和．
三、性质证明
已知：如图1，在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c ，且A ∠=2B ∠．求证：)(2c b b a +=．
方法1：以二倍角的外角为顶角作等腰三角形（基本方法）
总结：利用二倍角为外角构造等腰三角形也是常见的作辅助线的技巧． CD 为比例中项．本题还可以延长CA 至D ，使AD=AB ，连结BD ．
方法2：作二倍角的平分线（基本方法）
总结：常规思路，平分二倍角构造相似三角形，利用相似比建立方程组，再用方程消元求解．处理“两倍角”的基本方法：（1）作角平分线得等角；（2）向外构造等腰三角形．
方法3：以三角形第三内角对边上的高为对称轴，将图形对折作一全等三角形．（课外阅读）
总结：利用轴对称构造全等三角形，再利用勾股定理推导即可．
方法4：以第三内角顶点为圆心，以一倍角对边长为半径作圆．（课外阅读）
四、中考链接：
例 （天津）在△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别用a 、b 、c 表示．
（1）如图①，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，且A ∠=60°，求证：)(2
c b b a +=；
（2）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角△ABC ，如图②，其中A ∠=2B ∠，关系式)(2c b b a +=是否仍然成立？并证明你的结论．
图① 图②
（3）是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角两倍的△ABC ．证明你的结论．
（4）若A ∠=3B ∠，你能求出三边a 、b 、c 之间的关系吗？
五、性质定理的应用
1、如图，在△ABC 中，A ∠=2B ∠，求证：AC BC 2<．
2、如图，在△ABC 中，C ∠=2B ∠，AD 是高，求证：AC=BD-CD ．
3、如图，在△ABC 中，B ∠=2A ∠,AB=2BC ，试判断△ABC 的形状．
4、如图，在△ABC 中，C ∠=2B ∠，AD 是角平分线，求证：AB=AC+CD ．。