高中空间立体几何多面体与球的切接问题28页PPT
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多面体与球的接切问题ppt课件
P
H
C
•OB D
M
由RtΔ中的射影定理得： P 2 A PP HM ,即 1 23 2 R， R 3
3
2
V 球 3 4R 33 4（ 2 3） 32 3
法二 由AH>PH知：球心O在正三棱锥的高PH的延长线上。在RtΔAHO,有：
(6)2 (R 3)2R 2 , R 3
.
结 论 ： 1.边 长 为 a的 正 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r 3a
3 2 .斜 边 为 c 的 直 角 三 角 形 的 外 接 圆 半 径 r c
2
3 .长 为 a ， 宽 为 b 的 矩 形 的 外 接 圆 半 径 ra 2 b 2 2
.
§正方体与球
正方体的内切球,外接球,棱切球
.
题目： 正三棱锥P---ABC的侧棱长为1，底面边长为 2 ，它
的四个顶点在同一个球面上，则球的体积为 （ A ）
A . 3 B . 3 C .上的射影为H，则H为正ΔABC的中心. A
AH 2 3 2 6
32
3
PH P2A A2 H 1633 9 93
延长PH交球面于M，则PM为球的一直径，∴∠PAM=90°
那么它一定是 正方体
.
例：
.
例：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
l a2a2(2a)2 6a
.
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2a , OBR , ABa 2
P
R
高中数学立体几何专题·球的切接问题
一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上?解决接切问题的关键是画出正确的截面把空间接切转化为平面接切问题球与正方体的切接问题正方体的内切球直径正方体的外接球直径与正方体所有棱相切的球直径探究一
球的“接”与“切”：
• 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一 个几何体的各面相切 • 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个 几何体的表面上 • 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空 间“接切”转化为平面“接切”问题
3、 甲球内切于正方体的各面， 乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.1: 2: 3 C. 1: 4: 9
3 3
D. 1: 8: 27
球与正四面体的切与接
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但 不重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
练习 1、求棱长为a的正四面体的外接球、 棱切球、内切球的体积之比。
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球 的半径． [解] 设正四面体A—BCD的高为AO1，外接 球球心为O，半径为R，如图所示．
解法2：求正四面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
A B O A B
O
D C C
D
典型：正四面体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBCD的棱长 为a，求其内切球半径r与外 接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱 锥，方法是否有变化？
球的“接”与“切”：
• 两个几何体相（内）切:一个几何体的各个面与另一 个几何体的各面相切 • 两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都在另一个 几何体的表面上 • 解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空 间“接切”转化为平面“接切”问题
3、 甲球内切于正方体的各面， 乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表 面面积之比为( ) A. 1:2:3 B.1: 2: 3 C. 1: 4: 9
3 3
D. 1: 8: 27
球与正四面体的切与接
探究二： 若正四面体的棱长为a，则
⑴正四面体的内切球直径＝ ⑵正四面体的外接球直径＝ ⑶与正四面体所有棱相切的球直＝
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但 不重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
练习 1、求棱长为a的正四面体的外接球、 棱切球、内切球的体积之比。
求棱长为a的正四面体外接球、内切球及棱切球 的半径． [解] 设正四面体A—BCD的高为AO1，外接 球球心为O，半径为R，如图所示．
解法2：求正四面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
A B O A B
O
D C C
D
典型：正四面体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱBCD的棱长 为a，求其内切球半径r与外 接球半径R. 思考：若正四面体变成正三棱 锥，方法是否有变化？
高中数学 空间几何体外接球问题课件(共27张PPT)
三、正棱锥
O O'
四、直棱柱
25
课堂小结：
三、正棱锥
O O'
四、直棱柱
O'' O O'
26
27
针对训练一： 1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，
则其外接球的表面积为________.
2.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面
ABC，AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2，则球O的表面积__.
3.在三棱锥 A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3， AC=BD=4，则三锥A-BCD 外接球的体积为_____.
（6）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1，所有顶点都在球 O 的表面上，直三棱柱的高为 h，底面△ABC 外接圆的半 径为x，如何求这个球的半径？
14
合作探究二：
（5）已知正三棱锥 P-ABC，点 P，A，B，C 都在球 O 的表面上，顶点 P 到面 ABC 的距离为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？4Biblioteka B.16πC.9π
D. 27
4
2. 正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则该三 棱柱3的外接球半径为__________.
17
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
18
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
二、可补成长方体
19
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
（2）已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表 面上，PA⊥面 ABC，AB⊥BC，如何求这个球的半径？
（3）已知正四面体A-BCD，所有棱长都相等，点 A， B，C ，D都在球O 的表面上，如何求这个球的半径？
O O'
四、直棱柱
25
课堂小结：
三、正棱锥
O O'
四、直棱柱
O'' O O'
26
27
针对训练一： 1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3，
则其外接球的表面积为________.
2.已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面
ABC，AB⊥BC,SA=AB=1,BC= 2，则球O的表面积__.
3.在三棱锥 A-BCD，AB=CD=2，AD=BC=3， AC=BD=4，则三锥A-BCD 外接球的体积为_____.
（6）已知直三棱柱 ABC-A1B1C1，所有顶点都在球 O 的表面上，直三棱柱的高为 h，底面△ABC 外接圆的半 径为x，如何求这个球的半径？
14
合作探究二：
（5）已知正三棱锥 P-ABC，点 P，A，B，C 都在球 O 的表面上，顶点 P 到面 ABC 的距离为 h，底面△ABC 外接圆的半径为x，如何求这个球的半径？4Biblioteka B.16πC.9π
D. 27
4
2. 正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AB=2，则该三 棱柱3的外接球半径为__________.
17
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
18
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
二、可补成长方体
19
课堂小结：
一、长方体外接球直径为 其体对角线
（2）已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点都在球 O 的表 面上，PA⊥面 ABC，AB⊥BC，如何求这个球的半径？
（3）已知正四面体A-BCD，所有棱长都相等，点 A， B，C ，D都在球O 的表面上，如何求这个球的半径？
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
球与多面体的切接关系
设过对角线O1O7的对角面与球O1、O7分别交于M、N，如图。则所求为：
d MN O1O7 O1M O7 N 3 1
3.一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是----4.长方体一个顶点上三条棱的长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上， 那么，这个球的表面积是 ( )
S 4 R 2 3
解2：联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则四面体ACB1D1的 棱长都为 2 ，它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正 方体对角线长的一半，即有r＝
3 2
，故所求球面积为． S＝3π D1 B1
要理解和掌握“正方体与正四面体“的这 种图形上的关系，对于快速解题有很大帮 巩固练习 助。 棱长为 2 2 的正四面体的所有顶点都在同一个球 面上，则此球的体积为 ( C )
长方体的（体）对角线等于球直径
度量关系
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
思考：一般的长方体有 内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。
例如，装乒乓球的盒 子
如果一个长方体有内 切球，那么它一定是
正方体
例题3
如图，半球内有一内接正方体，正方体的一个面在半球底面 圆内。则这个半球的面积与正方体表面积的比为 （ B ）
3.如图, 设A、B、C、D为球O上四点，若AB、AC、AD两两互相垂直，且
AB AC 6, AD 2
，
则球0的表面积为
.
D O C A B
提示： 4R2 AB2 AC2 AD2 16 R 2
小结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 1.正四面体常补成正方体 2.三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体 3.三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体 4.侧棱垂直地面的棱锥可补成直棱柱
球的内切和外接问题课件ppt课件
ppt课件
10
2、构造长方体 已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
O
B C
D 图 5
ppt课件
11
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
2
2
在RtAOO1中，由勾股定理得，R2
2 3
R
3 3
，解得R
6, 4
V球
4 R3 3
4 3
6 4
3
6 . 8
ppt课件
14
六、寻求轴截面圆半径法
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，
ppt课件
1
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
ppt课件
2
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
A.125
12
B.125
9
C.125
6
D.125
3
D
AO
多面体与球的切接问题概要共30页文档
60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
多面体与球的切接问题概要
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐— —洛克
公开课课件：多面体的外接球问题
多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
立体几何中的与球有关的内切外接问题分解课件
公式
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
设多边形的边数为$n$，则球的半径$r = frac{a}{2sinfrac{180^circ}{n}}$，其中$a$为多边形的外接圆半径。
球与圆柱体的内切总结词Fra bibliotek详细描述
当一个球完全内切于一个圆柱体时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，且圆柱的轴线通过球心。
设圆柱体的底面圆心为$O_1$，顶面 圆心为$O_2$，球心为$O$。由于球 内切于圆柱体，所以$OO_1 = OO_2 = r$，其中$r$为球的半径。同时， 圆柱体的底面圆周和顶面圆周都与球 面相切，所以底面圆心到球心的距离 等于底面圆的半径，顶面圆心到球心 的距离等于顶面圆的半径。
公式
设圆柱体的底面半径为$R_1$，顶面 半径为$R_2$，高为$h$，则球的半 径$r = frac{R_1 + R_2 + h}{2}$。
球与圆锥体的内切
总结词
当一个球完全内切于一个圆锥体时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，且圆锥的轴 线通过球心。
详细描述
设圆锥体的底面圆心为$O_1$，球心为$O$。由于球内切于圆锥体，所以$OO_1 = r$， 其中$r$为球的半径。同时，圆锥体的底面圆周和侧面都与球面相切，所以底面圆心到球 心的距离等于底面圆的半径。
04
球的内切外接问题应用
球在几何题中的应用
球与多面体的内切和外接
在几何题目中，经常涉及到球与多面体的内切和外接问题，需要利用球心到多面 体的顶点的距离等于半径的原理来解决。
球的切线和割线定理
切线和割线定理是球在几何题中的重要应用，通过这些定理可以推导出球与其他 几何形状的位置关系。
球在物理题中的应用
02
球的内切问题
球与多边形的内切
多面体与球的接切
据题意：正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方
体对角线的长，故正方体的棱长
a＝
2r ＝ 3
123＝4
3
cm.
∴V 正方体＝a3＝(4 3)3＝192 3 cm3.
4.若一个底面边长为 26，侧棱长为 6的正六棱柱(底面是 正六边形，各侧面均为矩形)的所有顶点都在一个球面上，则 此球的体积为________．
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
例1：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
l a2 a2 (2a)2 6 a
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2 a , OB R , AB a 2BA OB
2 2
a
2
a2
R2
, 2R2 3a2
A
O
S半球 2 R2 3a2
S正方体 6a2
6a2 2
例 2：(2010 年高考课标全国卷)设三棱柱 的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为( )
正方体为球的内接正方体球的直径即为正方体对角线的长故正方体的棱长a2r规律归纳处理有关球切接的相关问题时要注意球心的位置与几何体的关系一般情况下由于球的对称性球心总是在几何体的特殊位置比如中心对角线中点等
一.球的概念
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
体对角线的长，故正方体的棱长
a＝
2r ＝ 3
123＝4
3
cm.
∴V 正方体＝a3＝(4 3)3＝192 3 cm3.
4.若一个底面边长为 26，侧棱长为 6的正六棱柱(底面是 正六边形，各侧面均为矩形)的所有顶点都在一个球面上，则 此球的体积为________．
没有。一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的5个面相切。 如果一个长方体有内切球，
那么它一定是 正方体
例1：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球
l a2 a2 (2a)2 6 a
分析2
设球心为O，则O亦为底面正方形的中心。
如图，连结OA、OB，则得RtΔOAB.
设正方体棱长为a，易知：
OA 2 a , OB R , AB a 2BA OB
2 2
a
2
a2
R2
, 2R2 3a2
A
O
S半球 2 R2 3a2
S正方体 6a2
6a2 2
例 2：(2010 年高考课标全国卷)设三棱柱 的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为( )
正方体为球的内接正方体球的直径即为正方体对角线的长故正方体的棱长a2r规律归纳处理有关球切接的相关问题时要注意球心的位置与几何体的关系一般情况下由于球的对称性球心总是在几何体的特殊位置比如中心对角线中点等
一.球的概念
1．球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.