八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.2线段的垂直平分线习题课件(新版)沪科版

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2.4线段、角的轴对称性(第2课时线段垂直平分线的判定)(教学课件)-八年级数学上册(苏科版)

3.[2024苏州吴中区月考]在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的
正方形， A ， B 是方格纸中的两个格点(即正方形的顶点).在这张5×5的
方格纸中，找出格点 C ，使△ ABC 为等腰三角形，则满足条件的格点 C
有(
C )
A. 3个
B. 5个
C. 6个
D. 8个
分层练习-基础
4. 如图，点 D 在△ ABC 的边 BC 上，如果 DB ＝ DA ，那么点 D 在线
两个工厂到货场C的距离相等，试在下图中作出点C.
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线交直线a于点C.
如下图, 点C即为所求.
B
A
a
概念归纳
方法点拨
尺规作图时要注意虚实线，即辅助性的线用虚线，
所要画的线用实线，同时要注意保留作图痕迹.
随堂练
1.已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝EC．
＝，
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵ AE＝AF，
∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线是线段EF的
垂直平分线.
注意：不可以只证明一个点
在直线上，就说过该点的直
线是线段的垂直平分线.
概念归纳
特别提醒
证明一个点在一条线段的垂直平分线上，还可以
利用线段垂直平分线的定义进行推理，思路有两种：

(1)分别以点A、B为圆心，大于 AB的长为

半径画弧，两弧相交于点C、D；
(2)过C、D两点作直线，
直线CD就是线段AB的垂直平分线，如右图所示
概念归纳
易错警示
作线段AB的垂直平分线时，必须以大于

AB的长为半径画弧，否则所画的弧就不能相

八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时

ab2
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一个整体，先用括号括起来！
注意：结果要化为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x

y x

c x

m y x
c
(2)
m 2abc

n 2bca

d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加减. 【同分母的分式加减法的法则】同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式

1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算（1）解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4

a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式

(a

2a 2)(a

2)

(a

a2 2)(a
2)

2a (a 2) (a 2)(a 2)

2a a 2 (a 2)(a 2)

15.2.2线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数学上册

15.2.2 线段的垂直平分线逆定理的说课稿-沪科版八年级数
学上册
一. 教材分析
1.1 教材基本信息
•教材名称：沪科版八年级数学上册
•单元：15.2 几何初步
•课题：15.2.2 线段的垂直平分线逆定理
•目标能力：学生通过本节课的学习，能够正确运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题。

1.2 教材分析
本节课是沪科版八年级数学上册的第15章-几何初步的第2节，属于基础性的几何知识，是进一步加深学生对线段垂直平分线概念的理解和应用。

通过教授本节课的内容，可以帮助学生拓展几何应用的思维，提高解决问题的能力。

二. 教学目标
2.1 知识目标
•了解线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•掌握使用垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。

2.2 能力目标
•能够应用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分线相关的问题；
•培养学生分析问题、解决问题的能力。

2.3 情感目标
•培养学生对几何学习的兴趣和好奇心；
•培养学生的合作意识和团队精神。

三. 教学重难点
3.1 教学重点
•掌握线段的垂直平分线逆定理的概念和性质；
•运用线段的垂直平分线逆定理解决与线段垂直平分相关的问题。

3.2 教学难点
•培养学生分析问题、解决问题的能力；
•提升学生的逻辑思维能力。

四. 教学过程
4.1 导入新课
•教师通过问问题的方式导入新课。

例如：。

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案

沪科版八年级上册数学第15章轴对称图形和等腰三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2、下列命题中：①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线.正确命题的个数是( )A.2B.3C.4D.53、在联欢会上，有A，B，C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A.三边中垂线的交点B.三边中线的交点C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点4、若等腰三角形的底角为54°，则顶角为( )A.108°B.72°C.54°D.36°5、以下图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.等腰三角形B.平行四边形C.矩形D.等腰梯形6、如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1， S2，则S1+S2的值为（）A.16B.17C.18D.197、下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.正三角形B.正五边形C.等腰直角三角形D.矩形8、观察如图，把边长为3的两个正方形沿其对角线长剪开，可得4个直角三角形，这4个直角三角形可拼成一个新的正方形，则新正方形的边长为（）A.3B.6C.D.189、如图，在中，，边上的垂直平分线分别交、于点、，若的周长是11，则（）A.28B.18C.10D.710、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④BD=2CD．A.4B.3C.2D.111、利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案．下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )A. B. C.D.12、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.13、如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC14、如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°，将扇形OAB绕点B逆时针旋转，得到扇形BDC，若点O刚好落在弧AB上的点D处，则的值为（）A. B. C. D.15、平行四边形、矩形、菱形、正方形中是轴对称图形的有（）个．A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为________．17、若□ABCD中一内角平分线和某边相交把这条边分成1cm、2cm的两条线段，则口ABCD的周长是________18、矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3 cm和5 cm两部分，则矩形的周长为________.19、如图，中，，于点，于点，于点，，则________ .20、如图，正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，三角形AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②AG=2GC，③BE+DF=EF，④S△CEF =2S△ABE正确的有________（只填序号）．21、等腰△ABC中，当顶角A的大小确定时，它的对边BC与邻边（腰AB或AC）的比值确定，记为f（A），易得f（60°）=1．若α是等腰三角形的顶角，则f（α）的取值范围是________．22、在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距________cm．23、如图，D为等边内的一点，，，若，则的度数是________．24、如图，△ABC中∠A=30°，E是AC边上的点，先将△ABE沿着BE翻折，翻折后△ABE的AB边交AC于点D，又将△BCD沿着BD翻折，C点恰好落在BE 上，此时∠CDB＝82°，则原三角形的∠B ＝________度．25、等腰三角形的两边长为3和6，则这个等腰三角形的周长是 ________．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．27、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE.（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若AC=3cm，求DE的长.28、设等腰三角形顶角为α，一腰上的高线与底边所夹的角为β，是否存在α和β之间的必然关系？若存在，则把它找出来；若不存在，则说明理由。

线段的垂直平分线

A. 6
B. 5
C. 4
C
D. 3 A
P
D
E
A
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
C
图①
图②
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB
于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长
是 10cm .
例3 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD
的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，…
到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
P3
P1A _＝___P1B P2A __＝__ P2B
P2
P1
A
B
P3A __＝__ P3B l
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
由此你能得到什么结论？
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
A
B
M
Nl
解：(1)如图所示：
A
B
M PN
l
(2)在△AMP和△BNP中， ∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN， ∴△AMP≌△PNB(SSS)， ∴∠MAP＝∠NPB.
二线段垂直平分线的性质
探究发现
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上
的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，
2.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ A ）
A．AB垂直平分CD；

最新2019-2018秋沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.3 第1课时等腰三角形的性质定理及推论(共36张PPT

系，∠ABC、∠C呢？
x
⌒
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含
2x B
x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 ° ∴x+2x+2x=180 °,
D 2x
C
解：∵AB=AC，BD=BC=AD， ∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 __7_5_°, 3_0_°；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 _7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为 30°，30°.
5.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC 所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
B
DC
BD=DC（作图），
应用格式：
AD=AD（公共边），
∵AB=AC（已知）
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠B=∠C（等边对等角）
∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）.
证法2：证明：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ， ∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中， AB＝AC（已知）， ∠1＝∠2（已证）， AD＝AD（公共边）， ∴ △ABD ≌ △ACD（SAS）， ∴ ∠B＝∠C.
图①
图②
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG－DG＝CG－EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.

沪科版八年级上册1线段的垂直平分线课件

知
例 1 画出如图15.2－2 的图形的对称轴.
解题秘方：利用作轴对称图形中任意一组对应点所连线段的垂直平分线作对称轴.
感悟新知
方法点拨作轴对称图形的对称轴的两种方法：
一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；
二是先找到轴对称图形的一组对应点，再作连接这组对应点的线段的垂直平分线.
感悟新知
解题秘方：紧扣线段的垂直平分线的判定证明直线AD 上的点A 和点D 到线段EF 的两个端点的距离相等即可.
感悟新知
教你一招判断线段垂直平分线的两种方法：一是定义法，二是判定定理. 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单. 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
感悟新知
解：线段AD 所在的直线是线段EF 的垂直平分线. 证明如下：如图15.2-7，连接DE，DF. ∵ AD 是∠ BAC 的平分线，∴∠ EAD= ∠ FAD. 在△ AED 和△ AFD 中，
AE=AF， ∠ EAD= ∠ FAD， AD=AD， ∴△ AED ≌△ AFD.（SAS）
第15章轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
学习目标
1 本节要点
线段的垂直平分线的作法线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定
2 学习流程
逐点学练
本节小结
作业提升
感悟新知
知识点 1 线段的垂直平分线的作法
1. 作线段的垂直平分线的常用方法 (1)折纸：在半透明纸上画一条线段AA′, 折纸, 使A 与A′重合，得到的折痕l 是线段AA′的垂直平分线. (2)过中点画垂线：先用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线. (3)尺规作图：保留作图痕迹，并指出结论.

咸阳市八中八年级数学上册第15章分式15.2 分式的运算 2分式的加减第1课时分式的加减课件

项：( )
D
A．6x2·3xy＝9x3y
B．(2ab2)·(－3ab)＝－a2b3
C．(mn)2·(－m2n)＝－m3n3
D．(－3x2y)·(－3xy)＝9x3y2
4．(6分)计算 : (1)2x2y·(－4xy3z) ; 解 : 原式＝【2×(－4)](x2·x)·(y·y3)·z ＝－8x3y4z
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
第十四章整式的乘法与因式分解
(2)(6×103)×(9×106). 解 : 原式＝(6×9)×(103×106) ＝54×109 ＝5.4×1010
5．(3 分)下列各式中，计算正确的是(B ) A．(－5an＋1b)·(－2a)＝10an＋1b B．(－4a2b)·(－a2b2)·12 b3c＝2a4b6c C．(－3xy)·(－x2z)·6xy2＝3x3y3z D．(2anb3)(－16 abn－1)＝13 an＋1b3n－1
6．(3 分)如果单项式－3x4a－by2 与13 x3ya＋b 之和仍是单项式，
则这两个单项式之积为( A )
A．－x6y4 B．x6y4
C．x3y2
D．－3x3y2
7．(3分)(大连中考)一个长方形的宽是1.5×102 cm, 长是宽的6倍 , 那么这个长方形的面积用科学记数法表示是B( ) A．13. 5× 10 cm2 B．1. 35×105 cm2 C．1. 35×10 cm2 D．1. 35×103 cm2

初中数学轴对称PPT课件

某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
C A
D
∴直线CD即为所求
分析：我们只要连接点A和点B，画出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴. 而由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性 B 质，只要作出到点A、B距离相等的两点即可.
作法： 1.分别以点A、B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点； 2.作直线CD.
B′
将△ABC和 △A′B′C′沿直线
MN折叠后，点Ａ与Ａ′重
N
合，于是有：
第21页/共43页
ＡＰ＝ＰＡ′，∠ＭＰＡ＝ ∠ＭＰＡ′＝９0°
对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，
并且垂直于这条线段。
M
p
A
A′
P.
.Q
Q
C
C′
B
G
B′
N
第22页/共43页
定义：
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，就叫这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 A
的直线垂直平分线段AB．其中正确的个C数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第33页/共43页
4如图，若AC=12，BC=7，AB的垂直平分线交AB于E，交AC于D，求△BCD的周长。
解：∵ED是线段AB的垂直平分线
E
∴ BD=AD
∵ C△BCD=BD+DC+BC
B
∴ C△BCD=AD+DC+BC
= AC+BC = 12+7=19
第34页/共43页
A D C
M
1.垂直平分线的定义：
P
∵MN是AB的垂直平分线
∴ MN⊥AB ， AD＝BD ；

15.2线段的垂直平分线(共两课时)

库C，使仓库到A，B 求证:点P在BC的垂直平分
两村距离相等.你如何线上
A
确定仓库C的位置？
B
A L
C
P
B
C
五、线段垂直平分线的应用
证明：连接PA，PB，PC.
2. 已知:△ABC的边
∵点P在AB，AC的垂直平分 AB,AC的垂直平分线
线上（已知）
相交于点P.如图
∴PA=PB，PA=PC
求证:点P在BC的垂直
M
P
A
C
B
N
M
A
C
B
NQ
M
P.
A
B
C
.Q
N
定理
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质的证明
线段垂直平分线除了具已知：直线MN经过线段有“垂直、平分线段” AB的中点O，且MN⊥AB，的性质外还有如下性质： P为MN上任意一点.如图
定理线段垂直平分线求证：PA=PB
沪科版八年级数学上第15章《轴对称图形与等腰三角形》
15.2线段的垂直平分线（共两课时）
霍邱县马店镇中心校八（1）班授课教师丁求勇
一、线段垂直平分线的定义（复习）
经过线段的 ________并且 __________这条线段的直线，叫做这条线段的 _________________。
二、线段垂直平分线的性质
在国道L的同侧，有两个工厂A、 B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？
B
L
105 国道
线段的垂直平分线
实际问题

八年级数学上册第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习教案新版沪科版

第15章轴对称图形与等腰三角形【知识与技能】1.理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质.2.掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用.3.理解等腰三角形的性质并能够简单应用.4.理解等边三角形的性质并能够简单应用.【过程与方法】初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案.【情感与态度】数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.【教学重点】重点是掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质及应用.【教学难点】难点是轴对称图形以及关于某条直线成轴对称的概念,等腰三角形的性质应用.一、知识框图,整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点,展示本章知识框图,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.教学时,边回顾边建立知识框图.二、典例精讲1.关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识例1(1)下列几何图形中,①线段②角③直角三角形④半圆,其中一定是轴对称图形的有（C）A.1个B.2个C.3个D.4个(2)图中,轴对称图形的个数是（A）A.4个B.3个C.2个D.1个2.轴对称变换及用坐标表示轴对称［关于坐标轴对称］点P（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标是（-x,y）例2已知:△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.（1）把△ABC向下平移2个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2,并写出A2的坐标.【解】答案如图所示.3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点.（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点,即得到原图形的轴对称图形例3 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=8,D为AB中点,P为BC上一动点,连接AP,DP,则AP+DP的最小值是 8 .4.线段垂直平分线的性质例4如图,在△ABC中,∠A=90°,BD为∠ABC的平分线,DE⊥BC,E是BC的中点,求∠C的度数.【解】在△ABC中,BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵DE⊥BC,而E是BC的中点,∴BE=CE,∴BD=CD,∴∠DBC=∠C,∴∠ABD=∠CBD=∠C,∵∠ABD+∠CBD+∠C=90°,∴∠ABD=∠CBD=∠C=30°.5.等腰三角形的特征和识别例5 已知:如图,△ABC中,∠ACB为锐角且平分线交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,交∠ACB的外角平分线于点G.试判断△EFC的形状,并说明你的理由.【解】△EFC为等腰三角形,证明:∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE,∵EF∥BC,∴∠FEC=∠BCE,∠FEC=∠ACE(等量代换),∴△EFC为等腰三角形6.等边三角形的特征和识别例6:如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,FE⊥BC,DF⊥AC,ED⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证:△DEF为等边三角形.【解】∵△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DF⊥AC,∴∠DFA=90°,∴∠ADF=30°,∵ED⊥AB,∴∠BDE=90°,∴∠FDE=180°-∠ADF-∠EDB=60°.同理可得:∠DFE=60°,∠DEF=60°,∴△DEF为等边三角形.例7:如图,已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交AB于点E,交BC 于点F.求证:CF=2BF.【解】如图,连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF垂直平分AB,∴BF=AF,∴∠B=∠FAB=30°,∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=90°,∴CF=2AF,∴CF=2BF.【教学说明】增加例题,巩固所学知识.三、知识巩固,变式训练1.以下图形有两条对称轴的是（）A.正六边形B.长方形C.等腰三角形D.圆2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A为______.3.等腰三角形的两边长分别为3cm,7cm,则它的周长为______cm.4.如图,在△ABC中,DE是边AC的垂直平分线,若BC=8cm,AB=10cm,则△EBC的周长为______cm（学生可以合作讨论,互帮互学）5.将一张长方形纸按如图所示的方式折叠,BC,BD为折痕,则∠CBD为（）A.50°B.90°C.100°D.110°第5题图第6题图6.如图所示,是三个村庄,现要修建一个自来水厂,使得自来水厂到三个村庄的距离相等,请你作出自来水厂的位置7.如图,在直线上求作一点H,使点H到点A和点B的距离相等.8.四边形ABCD是正方形,△PAD是等边三角形,求∠BPC的度数.【参考答案】1.B 2.36° 3.17 4.18 5.B6.提示:连接AB,AC,BC,再分别作线段AB,AC,BC的垂直平分线,它们的交点即为自来水厂的位置.7.略.8.解:①若P点在正方形ABCD外部,如图（1）所示,∵△PAD为等边三角形,∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∴PA=BA,则△PAB为等腰三角形,∴∠PBA=∠APB.又∵∠BAP=∠BAD+∠PAD=150°,∴∠PBA=∠APB=15°,同理可得∠CPD=15°,∵∠BPC=∠APD-∠BPA-∠CPD,∴∠BPC=30°.②若点P在正方形ABCD内部,如图（2）所示,∵△PAD为等边三角形∴PA=PD=AD,∠APD=∠PAD=∠PDA=60°,∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=BC=CD,∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°,∴∠BAP=30°,PA=BA,∴△ABP为等腰三角形.∴∠ABP=∠APB=75°,∴∠PBC=15°.同理可得:∠PCB=15°,∴∠BPC=150°.四、师生互动,课堂小结1.关于轴对称的点,线段,图形的性质与作法.2.角平分线的性质.3.垂直平分线的性质.4.等腰三角形的性质与应用.5.等边三角形的性质与应用.1.课本第149~150页A组复习题第4、5、6、7、8、9题.2.完成练习册中相关复习课的练习.本节设计了“知识框图,整体把握——典例精讲——知识巩固变式训练——师生互动,课堂小结”四个环节,使学生理解轴对称与轴对称图形的概念,掌握轴对称的性质；掌握线段的垂直平分线、角的平分线的性质及应用；理解等腰三角形的性质并能够简单应用；理解等边三角形的性质并能够简单应用,初步体会从对称的角度欣赏设计简单的轴对称图案,数形结合的思想及方程的思想都应引起广泛的重视和应用.。

沪科版初二八年级数学上册第一学期同步课堂练习题作业第15章轴对称图形与等腰三角形(全章分课时)

第15章轴对称图形与等腰三角形 15.1 第1课时轴对称图形与轴对称一、选择题（共8小题）BCDC ．形5．观察图形…并判断照此规律从左到右第四个图形是( )向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）第5题图第6题图第7题图7．如图，两个三角形关于某条直线成轴对称，其中已知某些边的长度和某些角点的是（BCD二、填空题（共9．2011年11月2日，即20111102，正好前后对称，因而被称为“完美对称日”，请你写出本世纪的一个“完美对称日”： _________ ． 10．写出一个至少具有2条对称轴的图形名称 _________ ．11．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是 _________ （填出所有符合要求的小正方形的标号）12．在轴对称图形中，对应点的连线段被 _________ 垂直平分． 13．下列图形中，一定是轴对称图形的有 _________ ；（填序号）（1）线段（2）三角形（3）圆（4）正方形（5）梯形．14．如图是汽车牌照在水中的倒影，则该车牌照上的数字是 _________ ． 15．请同学们写出两个具有轴对称性的汉字 _________ ．16．如图，国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2又与 _________ 成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）第11题图第14题图第16题图17．如图，长方形ABCD 中，长BC=a ，宽AB=b ，（b ＜a ＜2b ），四边形ABEH 和四边形ECGF 都是正方形．当a 、b 满足的等量关系是 _________ 时，图形是一个轴对称图形．18．请利用轴对称性，在下面这组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形：三、解答题（共5小题）19．判断下列图形是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴．20．如图，五边形ABCDE 是轴对称图形，线段AF 所在直线为对称轴，找出图中所有相等的线段和相等的角．21．如图，l 是该轴对称图形的对称轴．（1）试写出图中二组对应相等的线段：；（2）试写出二组对应相等的角：；（3）线段AB 、CD 都被直线l ．22．如图是由两个等边三角形（不全等）组成的图形．请你移动其中的一个三角形，使它与另一个三角形组成轴对称图形，并且所构成的图形有尽可能多的对称轴．画出你所构成的图形，它有几条对称轴？23．有一些整数你无论从左往右看，还是从右往左看，数字都是完全一样的，例如：22，131，1991，123321，…，像这样的数，我们叫它“回文数”．回文数实际上是由左右排列对称的自然数构成的，有趣的是，当你遇到一个普通的数（两位以上），经过一定的计算，可以变成“回文数”，办法很简单：只要将这个数加上它的逆序数就可以了，若一次不成功，反复进行下去，一定能得到一个回文数，比如： ①132+231=363②7299+9927=17226，17226+62271=79497，成功了！（1）你能用上述方法，将下列各数“变”成回文数吗？ ①237 ②362（2）请写出一个四位数，并用上述方法将它变成回文数．参考答案一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．B 8．D二．填空题（共10小题）9．20011002，20100102（答案不唯一）；10．矩形；11．2，3，4，5，7 12．对称轴；13．（1）（3）（4）；14．21678．；15．甲、由、中、田、日等．；16．1，3，7；17．；18.三．解答题（共5小题）19．解：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．则（1）（3）（5）（6）（9）不是轴对称图形；（2）（4）有1条对称轴；（7）有4条对称轴；（8）有1条对称轴；（10）有2条对称轴．20．解：相等的线段：AB=AE，CB=DE，CF=DF；相等的角：∠B=∠E，∠C=∠D，∠BAF=∠EAF，∠AFD=∠AFC．21．（1）AC=BD，AE=BE，CF=DF，AO=BO；（2）∠BAC=∠ABD，∠ACD=∠BDC；（3）垂直平分．22．解：如图，小正三角形再大正三角形的内部，该图形有3条对称轴．23．解：（1）①237+732=969，②362+263=625，（2）1151+1511=2662；15.1 第2课时平面直角坐标系中的轴对称一．选择题（共8小题）．已知点 6有（）①两点关于x 轴对称 ②两点关于y 轴对称6．平面直角坐标系中的点P （2﹣m ，m ）关于x 轴的对称点在第四象限，则B C D所示，点P 与点P′是一对对应点，若点P 的坐标为（a ，b ），则点P′的坐标为（）A ．9．已知点P （6，3）关于原点的对称P 1点的坐标是 _________ ．10．在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴对称的点A′的坐标为（﹣2，7），则点A 的坐标为 _________ ．11．已知点P （3，﹣1）关于y 轴的对称点Q 的坐标是（a+b ，1﹣b ），则a b 的值为 _________ ．12．在直角坐标系中，如果点A 沿x 轴翻折后能够与点B （﹣1，2）重合，那么A 、B 两点之间的距离等于 _________ ．13．若|3a ﹣2|+|b ﹣3|=0，求P （a ，b ）关于y 轴的对轴点P′的坐标为 _________ ．14．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P （0，﹣2）处开始依次关于点A （﹣1，﹣1），B （1，2），C （2，1）作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N关于点C 的对称点处，…，如此下去．则经过第2011次跳动之后，棋子落点的坐标为 _________ ．15．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC 向右平移5个单位得△A 1B 1C 1，再把△A 1B 1C 1以x 轴为对称轴作轴对称图形△A 2B 2C 2，则点C 2的坐标是 _________ ．第14题图第15题图16．已知P 1点关于x 轴的对称点P 2（3﹣2a ，2a ﹣5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P 1点的坐标是 _________ ． 17．在平面直角坐标系中．过一点分別作x 轴与y 轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．给出以下结论：①点M （2，4）是和谐点；②不论a 为何值时，点P （2，a ）不是和谐点；③若点P （a ，3）是和谐点，则a=6；④若点F 是和谐点，则点F 关于坐标轴的对称点也是和谐点．正确结论的序号是 _________ ． 18．（1）善于思考的小迪发现：半径为a ，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB ，把圆内的所有与y 轴平行的弦都压缩到原来的倍，就得到一种新的图形﹣椭圆（如图2）．她受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为 _________ ；（2）小迪把图2的椭圆绕x 轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球．已知半径为a 的球的体积为πa 3，则此椭球的体积为 _________ ．三．解答题（共5小题） 19．（1）若点（5﹣a ，a ﹣3）在第一、三象限角平分线上，求a 的值；（2）已知两点A （﹣3，m ），B （n ，4），若AB∥x 轴，求m 的值，并确定n 的范围；（3）点P 到x 轴和y 轴的距离分别是3和4，求点P 的坐标；（4）已知点A （x ，4﹣y ）与点B （1﹣y ，2x ）关于y 轴对称，求y x 的值．20．已知M （2a+b ，3）和N （5，b ﹣6a ）关于y 轴对称，求3a ﹣b 的值．21．小明发现把一双筷子摆在一个盘子上，可构成多种不同的轴对称图形，请你按下列要求各添画一只筷子，完成其中三种图形．22．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （0，3），B （2，4），C （4，0），D （2，﹣3），E （0，﹣4）．写出D ，C ，B 关于y 轴对称点F ，G ，H 的坐标，并画出F ，G ，H 点．顺次而平滑地连接A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，A 各点．观察你画出的图形说明它具有怎样的性质，它象我们熟知的什么图形？23．在图示的方格纸中（1）作出△ABC 关于MN 对称的图形△A 1B 1C 1；（2）说明△A 2B 2C 2是由△A 1B 1C 1经过怎样的平移得到的？参考答案一、选择题（共8小题）1．A 2．B 3．C 4．B 5．C 6．B 7．C 8．C 二．填空题（共10小题）9.（－6，－3）10.（2,7）11. 2512. 413.3 (,3)214. （﹣2，0）15. （3，﹣3）16. （﹣1，1）17. ②③④18. （1）πab（2）43πab2三．解答题（共5小题）19.解：（1）∵点（5﹣a，a﹣3）在第一、三象限角平分线上，∴5﹣a=a﹣3，解得：a=4；（2）∵两点A（﹣3，m），B（n，4），AB∥x轴，∴m=4，n≠3的任意实数；（3）∵点P到x轴和y轴的距离分别是3和4，∴P点可能在一、二、三、四象限，∴点P的坐标为：（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）；（4）∵点A（x，4﹣y）与点B（1﹣y，2x）关于y轴对称，∴，解得：，∴y x=2．20. 解：∵M（2a+b，3）和N（5，b﹣6a）关于y轴对称，∴2a+b=﹣5，b﹣6a=3，解得a=﹣1，b=﹣3，∴3a﹣b=3×（﹣1）﹣（﹣3）=﹣3+3=0．21. 解：如图就是所求作的图形．22.解：由题意得，F （﹣2，﹣3），G （﹣4，0），H （﹣2，4），这个图形关于y 轴对称，是我们熟知的轴对称图形． 23. 解：（1）△A 1B 1C 1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．15.2 线段的垂直平分线1. 如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°2.如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线交斜边AB于D，图中相等的线段有（）A．1组 B．2组 C．3组 D．4组4.如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点C．三条高的交点 D．三边中线的交点5. 线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（）A．80° B．90° C．100° D．110°6. 如图，点D在△ABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（）的垂直平分线上．A．AB B．AC C．BC D．不能确定7.下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8. 已知M，N是线段AB的垂直平分线上任意两点，则∠MAN和∠MBN之间的关系是．9. 如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．10.如图，△ABC中，边AB的垂直平分线交AC于E，△ABC和△BEC的周长分别是24和14，则。

15.1 轴对称图形(课件)沪科版数学八年级上册

感悟新知
知识点 4 轴对称的性质
知4－讲
1. 轴对称的性质如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，如图15.1-5 . 特别地：成轴对称的两个图形的对应线段所在直线平行或者重合或者相交于某一点，且该点一定在对称轴上.
感悟新知
知4－讲
2. 反之成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分.
轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部
对称轴数量不同
只有一条对称轴
有一条或多条
感悟新知
续表：
知2－讲
名称
轴对称
轴对称图形
(1)定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠
联 (2)把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是
系一个轴对称图形. 把一个轴对称图形沿对称轴分成
两个图形，这两个图形关于这条轴对称
解：所作图形如下所示：
感悟新知
知识点 6 平面直角坐标系中的轴对称
知6－讲
1. 关于坐标轴对称的点的坐标规律 (1)点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)，其特
点是横坐标相同，纵坐标互为相反数； (2)点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)，其特
点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
感悟新知
例 2 如图15.1-2 的四组图形中，成轴对称的有(
知2－练
)
A. 4 组
B. 3 组
C. 2 组
D. 1 组
感悟新知
知2－练
解题秘方：根据轴对称的定义，沿着某条直线折叠，直线两旁的两个图形能完全重合，即成轴对称. 解：根据轴对称的定义，可以判断只有④中的两个图形沿着某一条直线折叠后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有1 组. 答案：D

沪科版八年级数学上第15章轴对称图形与等腰三角形章末复习与提升(习题课件)

八年级数学上册沪科版
(1)解：∠ABE＝∠ACD. AB＝AC，
理由：在△ABE 和△ACD 中，∵∠A＝∠A， AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD.(SAS) ∴∠ABE＝∠ACD.
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(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，又∵AB＝AC， ∴点 A，F 均在线段 BC 的垂直平分线上，即直线 AF 垂直平分线段 BC.
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考点 4：含 30 度角的直角三角形 15．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为 1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于 30°，则这块木板的长度至少为 ( A ) A．3 m B．2.5 m C．2.6 m D．0.75 m
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证明：连接 AP，在△CAP 与△BAP 中，
CA＝BA，
∴AP＝AP， CP＝BP，
∴△CAP≌△BAP.(SSS) ∴∠CAP＝∠BAP，又∵PE⊥AC，PD⊥AB，∴PE＝PD.
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考点 3：等腰(边)三角形的性质与判定 11．(瑞安期中)在△ABC 中，若∠A＝15°，∠B＝150°，则△ABC 是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
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14．如图，已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE，CD，交于点 F. (1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.

沪科版八年级数学上册第15章教学课件：15.1 第1课时轴对称图形与轴对称(共35张PPT)

• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
它们有什么共同的特点？
讲授新课
一轴对称和轴对称图形
轴对称图形
a
m
对称轴
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
例4 在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和
△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请
在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
E
D
C(F)
CF
D C(F)
E
CF
A (D)
BA
B(E) A
B
A(D)
B(E)
方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键
是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
全班总动员
ABCDEFGHIJKLM
N O P Q R S T U VW X Y Z 游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.
ABCDE FG HI J KLMN OPQRST U VWXYZ
做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
想一想：
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点.
下面的每对图形有什么共同特点如？图点A、A ′就是一对对称点.

溆浦县二中八年级数学上册第15章轴对称图形和等腰三角形15.3等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理

第1课时等腰三角形的性质定理及推论一．选择题（共7小题）1．（2015•德州模拟）一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A．50 B．50或40 C．50或40或30 D．50或30或202．（2015•潍坊校级一模）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A．5B．4C．3D．5或43．（2015•徐州一模）如果等腰三角形的底角为50°，那么它的顶角为（）A．50°B．60°C．70°D．80°4．（2015•武汉模拟）如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A．80°B．100°C．140°D．160°5．（2014春•兴业县期末）等边三角形的面积为8，它的高为（）A．2B．4C．2D．26．（2015春•定州市期中）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）A．4B．C．2D．37．（2014•十堰模拟）如图，在矩形ABCD内，以BC为一边作等边三角形EBC，连接AE、DE．若BC=2，ED=，则AB的长为（）A．2B．2C．+D．2+二．填空题（共7小题）8．（2015•晋江市一模）在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，则∠B=°．9．（2015•杭州模拟）如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是．10．（2015•泰州校级一模）如图，在△ABC中，AB=AC，AD∥BC，∠BAC=130°，则∠DAC 等于°．11．（2015•泰安一模）如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…如此继续下去，结果如下表，则a n= （用含n的代数式表示）．所剪次数 1 2 3 4 …n 正三角形个数 4 7 10 13 …a n12．（2015•安徽模拟）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以是（写出2个）．13．（2015•湖州模拟）如图，有一个正三角形图片高为1米，A是三角形的一个顶点，现在A与数轴的原点O重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是．14．（2015•滕州市校级模拟）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为．参考答案一．选择题（共7小题）1．C 2．A 3．D 4．C 5．C 6．B 7．C二．填空题（共7小题）8．40 9．20°10．25 11．3n+1 12．，（或介于和之间的任意两个实数）13．14．2第2课时等腰三角形的判定一、新课导入1.导入课题：我们知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边是否也相等呢？这节课我们带着这个问题研究等腰三角形的判定方法.2.学习目标：(1)会阐述、推证等腰三角形的判定定理．(2)会运用判定定理解决证明线段相等的问题.3.学习重、难点：重点：等腰三角形判定定理的灵活运用.难点：探求等腰三角形的判定定理的证明.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：探究等腰三角形的判定方法.(2)自学时间：5分钟.(3)自学方法：经历“操作——猜想——归纳——结论”过程，分清等腰三角形的判定定理的题设与结论.(4)探究提纲：①按等腰三角形的定义，有两边相等的三角形是等腰三角形.②如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么AB与AC相等吗？若相等，又该如何证明呢？a.猜想：AB=AC.b.要证明两条线段相等，按以往的经验是采用什么方法？证三角形全等.c.要采用这些方法，图中具备采用这种方法的条件吗？若不具备，应怎么办？不具备，作辅助线构造全等三角形.d.根据思路，并写出你的证明.证明：作AD⊥BC于点D，则∠ADB=∠ADC=90°.在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(AAS).∴AB=AC.e.将你上述探究的结论用文字表述出来：等角对等边.2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：(1)师助生：①明了学情：了解学生对自己的猜想是否正确，证明线段相等的思路是否合理，结论表述是否清晰、准确.②差异指导：引导学生回忆证明等量的常用方法是证明三角形全等，如何构造全等三角形进行点拨引导.(2)生助生：学生间相互交流帮助，寻求解决问题的思路.4.强化：(1)交流学习成果：由学生代表回答自己是如何找出解决问题的探究方法的.(2)总结：等腰三角形的判定方法：“等角对等边”.1.自学指导：(1)自学内容：教材第78页例2、例3.(2)自学时间：10分钟.(3)自学方法：边看边思考例2中命题证明的步骤及例3中每一步作图的依据，并动手尝试.(4)自学参考提纲：①例2中的题设和结论是用文字表述的，它是一个命题，从证明的全过程来看，证明命题的步骤有a.已知；b.求证；c.证明.②填上例2证明中每步后面的理由.两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等角对等边.③阅读例3，思考作法(2)为什么要作AB的垂直平分线？它依据了线段垂直平分线的什么性质？可以在上面截取DC=h，依据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情：例2、例3是等腰三角形判定的直接应用，例2的求证步骤学生难于把握，但学生对例3这种类型的题目，一般的学生不知道怎样找腰，并不能很好地写出完整的作法.②差异指导：引导学生学会命题证明题的步骤，引导学生思考例3中如何找到这个等腰三角形的腰(确定相等的两条边).(2)生助生：学生间相互交流帮助.4.强化：练习：教材第79页3、4题练习3：已知：△ABC，D为AC的中点，BD=12AC.求证：∠ABC=90°.证明：∵D为AC的中点，BD=12AC.∴AD=BD=DC，∴∠A=∠ABD，∠C=∠DBC.又∵∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠ABD+∠C+∠DBC=2(∠ABD+∠DBC)=2∠ABC=180.∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形.练习4：∵OA=OB，∴∠A=∠B，又∵AB∥DC，∴∠C=∠A=∠D=∠B，∴OC=OD.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：学生交谈自己的学习收获和学习中的困惑之处.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：对学生的学习态度、学习方法、成果和不足进行点评.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:利用等腰三角形的性质定理与判定定理的互逆关系来学习等腰三角形的判定是很重要、很常见的研究问题的方法，本节之前线段垂直平分线的知识的学习及以后学习平行四边形等特殊四边形的知识时会反复用到这种方法.一、基础巩固（每题10分，共50分）1.如图，∠A=36°，∠C=72°，∠DBC=36°，则图中等腰三角形有（A）个A.3B.2C.1D.02.如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD=3，则CD等于（A）A.3cmB.4cm D.2cm3.一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3∶3∶2，则这个三角形是等腰三角形.4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O的平行线交AB于M，交AC于N.若AB=5，AC=7，BC=8，则△AMN的周长为12.第4题图第5题图5.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是BE=CD.（答案不唯一）二、综合应用（20分）6.已知：CE、CF分别平分∠ACB和它的外角∠ACM，EF∥BC，EF交AC于点D，E是CE 与AB的交点.求证：DE=DF.证明：∵CF平分∠ACM，∴∠ACF=∠MCF.∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE.∵EF∥BC，∴∠F=∠MCF=∠ACF，∠FEC=∠BCE=∠ACE，∴DF=DC，DE=DC，∴DE=DF.三、拓展延伸（30分）7.（1）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E．问图中哪些三角形是等腰三角形？（2）上题中，若去掉条件AB=AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？解：(1)△ABC，△ADE，△BDF，△CEF，△BCF都是等腰三角形.(2)有△BDF和△CEF是等腰三角形.∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF.又DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF=∠ABF，∠EFC=∠BCF=∠ACF，∴DF=DB，EF=EC.∴△BDF和△CEF是等腰三角形.第十六章二次根式达标检测试卷（满分100分，答题时间120分钟）一、单项选择题（本题8个小题，每题4分，共32分）1.（2019•山东省聊城市）下列各式不成立的是（）A．﹣＝B．＝2C．＝+＝5 D．＝﹣【答案】C．【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加法法则、除法法则计算，判断即可．﹣＝3﹣＝，A选项成立，不符合题意；＝＝2，B选项成立，不符合题意；＝＝，C选项不成立，符合题意；＝＝﹣，D选项成立，不符合题意。

沪科8年级数学上册第15章4 角的平分线

“垂直于角两边的线段”而不是“垂直于角平分线的线段”.
知3－练
例 3 如图15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥ OB，EC⊥OB于点C. 若EC＝ 6，则OF的长是( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 12
知3－练
解题秘方：作垂线，紧扣角平分线的性质和含 30°角的直角三角形的性质求解.
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－练
解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结合等腰三角形的性质求角度即可.
解：∵ AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－40°)＝70°. 由作图可知BD＝BC，BF⊥CD， ∴∠DBE＝∠EBC，∠BCD＝∠BDC＝70°， ∴∠DBC＝40°，∴∠DBE＝∠EBC＝2 0°. 答案：A
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线 CD，与AB交于点D；(不要求写作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段CD即为所求.
(2)求∠ACB和∠ADC的度数. 解：∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.
知2－讲
2. 过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l与直线外一点A，如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交直线l于点M，N；
知4－练
4-1. [期末·淮南] 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角 ∠ACM的平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是 △ABC的外角∠CAN的平分线.

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