相似三角形综合练习(教师版)-郭亚琦-数学

相似三角形综合练习例1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B=60°，P为下底BC上一点(不与B、C重合)，联结AP，过P点做PE交DC于E，使得∠APE=∠B。

1)求证：△ABP∽△PCE；2)求等腰梯形的腰AB的长；3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE：EC=5：3？如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。

解：(1)(2)延长BA、CD交于一点Q(3)存在。

BP=1cm或BP=6cm∵∠APE+∠EPC=∠APC=∠B+∠BAP且∠APE=∠B∴∠EPC=∠BAP∵等腰梯形ABCD∴∠B=∠C∴△ABP∽△PCE∵∠C=∠B=60°∴△QBC为等边三角形∵AD∥BC ∴△QAD也为等边三角形∴AB=QB-QA=BC-AD∵AD=3cm,BC=7cm∴AB=4cm∵CD=AB=4cm ∴当DE:EC=5:3时，DE=2.5cm,EC=1.5cm ∵△ABP∽△PCE∴∴设BP=x cm,得，解得x=1或x=6∵∴BP为1cm或6cm.例2. 已知：如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在BC 、AC 上，BD=CE ，AD 与BE 交于点F 。

1) 求证：△BDF ∽△BEC ；2) 如果AB=12，BD=4，求S △BDF ：S △BEC解：(1)(2)作AC 边上高BH.例3. 如图，已知在△ABC 中，D 为AC 上一点且CD=2AD ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于点E ，联结AE 。

1) 写出图中所有相等的线段，并加以证明；2) 图中有无相似三角形？若有，请写出所有的相似三角形并加以证明；若没有，请说明理由；3) 求△BEC 与△BEA 的面积之比。

解：(1)(2)△ADE ∽△AEC 和△BCD ∽△ACB(3)2：1∵等边△ABC ∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC∵BC=CE ∴△ABD ≌△BCE ∴∠ADB=∠BEC ∵∠FBC=∠CBE ∴△BDF ∽△BEC∵∠BAC+∠ABD=∠BDC 且∠BAC=45°，∠BDC=60°∴∠ABD=15° ∵CE ⊥BD ∴∠CED=90°，∠ECA=30°，CD=2DE ∵CD=2AD ∴DE=AD ∴∠EAD=∠AED=30° ∴∠BAE=15°=∠ABD ∴AE=BE ∵∠CEA=120° ∴∠ECA=∠EAC=30° ∴CE=AE ∴DE=DA ；EC=EA=EB∵∠AED=∠ACE 且∠DAE=∠EAC ∴△ADE ∽△AEC ∵∠CEB=90°且BE=CE ∴∠CBD=45°=∠CAB∵∠BCD=∠ACB ∴△BCD ∽△ACB例4.如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，AC=12，AD∥BC，点E在AC边上，∠DEA=∠B，DE的延长线交BC于F。

1)找出图中的相似三角形，并证明；2)求DF的长；3)设DE=x，BF=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域。

解：(1)△ABC∽△FEC∽△DEA(2)过点A作AG∥DF，AG与BC相交于点G∴∠GAC=∠DEA ∵∠DEA=∠B ∴∠GAC=∠B ∴△GAC∽△ABC ∴AG:AB=AC:BC ∴AG:8=12:16 AG=6∵四边形AGFD是平行四边形∴DF=AG=6(3)∵DE=x ∴EF=6-x ∵BF=y ∴CF=16-y由△ABC∽△FEC，CF:EF=AC:AB(16-y):(6-x)=12:8 y=372x+(0<x<6)例5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E在BD的延长线上，BA﹒BD=BC﹒BE。

1)求证：AE=AD；2)如果点F在BD上，CF=CD，求证：BD2=BE﹒BF证明：(1)∵BA﹒BD=BC﹒BE∴BA BEBC BD=，又∵∠ABE=∠CBD∴△ABE∽△CBD，∴∠AEB=∠CDB ∵∠ADE=∠AED，∴AE=AD(2)∵CD=CF，∴∠CDF=∠CFD∴180°-∠CDF=180°-∠CFD即∠BDA=∠BFC又∵∠ABE=∠CBD，∴△BDA∽△BFC∴BA BDBC BF=，又∵BA BEBC BD=∴BE BDBD BF=∴BD2=BE﹒BF例6.如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一动点，且点P不与A和B重合，过点P作PE⊥AB交AC边(或者CB边)于E点，点E不与点C重合，可将△ABC分割成一个小三角形和一个四边形，若AB=5，AC=4，设AP的长为x，分割的四边形周长为y，求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围。

解:作CD⊥AB，垂足为D，则45AD4=，AD=3.2(1)当0＜AP=x＜3.2时，点E在AC上，易知△APE∽△ACB∴3,434x PEPE x==，又45xAE=此时，3122y x=-+(0＜x＜3.2)(2)当3.2＜AP=x＜5时，点E在BC上，易知△BPE∽△BCA∴534xPE-=，4(5)3PE x=-又535xBE-=，5(5)3BE x=-∴此时41633y x=+(3.2＜x＜5)例7.如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是射线CD上一动点，将一把三角尺的直角顶点与点P重合，一条直角边始终经过点B，另一条直角边所在直线与射线AD相交于点E。

设CP=x，DE=y.1)当点P在线段CD上时，求证：△BPC∽△PED；2)当点P在线段CD的延长线上时，求y与x的函数解析式及自变量x的取值范围；3)当DE=1时，求CP的长。

解：1)2)3) ∵正方形ABCD ∴∠C=90°∵∠BPE=90°∴∠PBC=∠EPD∵∠C=∠D=90°∴△BPC∽△PED如图，同1)的证法，可得△BPC∽△PED ∴∵CP=x, DE=y, CD=BC=4 ∴PD=x-4 ∴∴当点E在线段AD上时例8. 如图，矩形ABCD 中，AD=a ，DC=b ，在边AB 上找一点E ，使点E 与点C 、D 的连线将此矩形分割成的三个三角形相似。

问：这样的点E 是否存在？如果存在，这样的点E 有几个？说明理由；如果不存在，也请说明理由。

解：取AD 中点O ，联结OE∵矩形ABCD ∴∠B=∠C=90°，AD ∥BC∴∠DAE=∠AEB ，∠ADE=∠DEC∴若要△ADE ∽△EAB ∽△DEC ，∠AED 必为直角当a<2b ，E 点不存在；当a=2b ，E 点仅一个；当a>2b ，E 点有2个。

例9. 如图，△ABC 中，AB=AC 。

点B 1在边AB 上，且△A 1B 1C ∽△ABC ，联结AA 1.1) 求证：△A 1AC ∽△B 1BC ；2) 求证：AA 1∥BC ；3) 设AB=AC=10，BC=6，BB 1=x ，AA 1=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出其定义域；4) 在(3)的条件下，四边形ABCA 1能否成为平行四边形？如果能，求出BB 1的长；如果不能，请说明理由。

解：1)2) 3) 例10. 如图，△ABC ，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，CD ⊥AB ，垂足为D 。

任意作∠EDF=60°，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，AE=x ，BF=y. O∵△A 1B 1C ∽△ABC ∴∴ ∴△A 1AC ∽△B 1BC∵△A 1AC ∽△B 1BC ∴∠A 1AC=∠B∵AB=AC ∴∠B=∠ACB∴∠A 1AC=∠ACB ∴AA 1∥BC∵△A 1AC ∽△B 1BC ∴ ∵AB=AC=10，BC=6，BB 1=x ，AA 1=y∴ ∴1) 求y 关于x 的函数关系式，并指出它的定义域；2) 当x 为何值时，△BDF 是等腰三角形？解：1)过E 作AB 垂线，垂足为M ；作D 作AC 垂线，垂足为N.∵∠EDF=60°，∠A=60°∴∠EDF=∠A∵∠A+∠AED=∠EDB;∠EDF+∠FDB=∠EDB ∴∠AED=∠FDB ∵FM ⊥AB ，DN ⊥AC ∴∠DMF=∠END=90°∴△FMD ∽△DNE ∴∵△ABC 中，∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2 ∴∠B=30°,AB=4,BC= ∵CD ⊥AB ∴AD=1,BD=3,CD=∵FM ⊥AB ，DN ⊥AC 且AE=x ，BF=y∴FM=,BM=,AN=,DN=∴ ∴2)综上，x=231.①当BF=DF 时 ∵FM ⊥AB ∴BM=DM ∴ 解得，此时x=2 ②当BF=BD 时 得，此时。