常用积分公式
积分学四大公式
积分学四大公式积分学四大公式是数学中非常重要的一部分，它们是求解积分的基础公式，也是数学中的基础知识。
在本文中，我们将详细介绍积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
一、定积分的定义定积分是积分学中最基本的概念之一，它是对函数在一定区间内的面积进行求解。
定积分的定义如下：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则[a,b]上f(x)的定积分为：∫a^b f(x)dx其中，dx表示自变量x的微小增量，f(x)表示函数在x处的函数值。
二、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是积分学中最重要的公式之一，它将定积分与原函数联系起来，使得我们可以通过求解原函数来求解定积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式如下：∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a)其中，F(x)是f(x)的原函数。
三、换元积分法换元积分法是积分学中常用的一种方法，它通过变量代换的方式将积分式子转化为更容易求解的形式。
换元积分法的公式如下：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du其中，u=g(x)。
四、分部积分法分部积分法是积分学中常用的一种方法，它通过将积分式子分解为两个函数的乘积，然后对其中一个函数求导，对另一个函数求积分，最后将两个结果相乘得到原积分式子的解。
分部积分法的公式如下：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是两个可导函数。
以上就是积分学四大公式的概念、应用和推导过程。
这些公式是积分学中最基本的知识，掌握它们对于学习高等数学和物理学等学科都非常重要。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择不同的公式进行求解，以达到最优的效果。
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
常用积分公式
62．
x ( a 2 − x 2 )3 x2
dx ＝
+C
63．
x 2 a2 x 2 dx ＝ − a − x + arcsin + C 2 2 2 2 a a −x x2 ( a 2 − x 2 )3 dx a2 − x2 dx
2
64．
dx ＝
x a2 − x2
− arcsin
x +C a
65．
＝
1 a − a2 − x2 ln +C a x
dx x2 − a 2
dx
x x arch + C1 = ln x + x 2 − a 2 + C x a
＝−
46．
x a2 x2 − a2
( x 2 − a 2 )3 x x −a
2 2
+C
47．
dx ＝ x 2 − a 2 + C
48．
∫ ∫ ∫ ∫x ∫x
∫
x (x − a )
2 2 3
dx ＝ −
∫ ax
2
x 1 dx ＝ ln ax 2 + b + C +b 2a
x2 x b dx 24． ∫ 2 dx ＝ − ∫ 2 a a ax + b ax + b dx 1 x2 25． ∫ ＝ +C ln x ( ax 2 + b) 2b ax 2 + b
26．
∫ x (ax
2
dx
2
+ b)
＝−
80．
x−a x−a x−a dx ＝ ( x − b ) + (b − a ) arcsin +C b− x b− x b− x x−a dx ＝ 2 arcsin +C b− x ( x − a )(b − x )
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分公式是解决多种数学问题的重要工具。
积分是微积分的核心概念之一，是对函数进行求和的过程。
下面将介绍一些常见的积分公式。
一、基本积分公式1. 幂函数积分：$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n$为常数，$C$为常数项。
2. 正弦函数积分：$\int \sin x dx=-\cos x+C$。
3. 余弦函数积分：$\int \cos x dx=\sin x+C$。
4. 指数函数积分：$\int e^x dx=e^x+C$。
5. 对数函数积分：$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$。
6. 反正切函数积分：$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$。
7. 反正弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$。
8. 反余弦函数积分：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C$。
二、常用积分公式1. 分部积分法：$\int u dv=uv-\int v du$，其中$u$和$v$是可导函数。
2. 三角函数积分：- $\int \sin^2 x dx=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+C$。
- $\int \cos^2 x dx=\frac{1}{2}(x+\sin x \cos x)+C$。
- $\int \sin^3 x dx=-\frac{1}{3}\cos^3 x+C$。
- $\int \cos^3 x dx=\frac{1}{3}\sin^3 x+C$。
3. 积化和差公式：$\int \sin(a+b)x dx=-\frac{\cos(a+b)x}{a+b}+C$。
$\int \cos(a+b)x dx=\frac{\sin(a+b)x}{a+b}+C$。
4. 积化导法：$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$，其中$F$为$f$的一个原函数。
积分常用公式(最新整理)
积分常用公式一．基本不定积分公式：1． C x dx +=⎰2． ) 3．111++=⎰αααx dx x 1(-≠αC x dx x+=⎰ln 14．5．C aa dx a xx+=⎰ln )1,0(≠>a a C e dx e xx+=⎰6． 7．C x xdx +-=⎰cos sin C x xdx +=⎰sin cos 8．9．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 22Cx dx x xdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 2210． 11．C x xdx x +=⋅⎰sec tan sec Cx xdx x +-=⋅⎰csc cot csc 12．（或）C x dx x+=-⎰arcsin 11212arccos 11C x dx x+-=-⎰13．（或）C x dx x +=+⎰arctan 11212cot 11C x arc dx x +-=+⎰14．15．C x xdx +=⎰cosh sinh Cx xdx +=⎰sinh cosh 二．常用不定积分公式和积分方法：1．2．C x xdx +-=⎰cos ln tan Cx xdx +=⎰sin ln cot 3．4．C axa x a dx +=+⎰arctan 122C a x ax a ax dx ++-=-⎰ln 21225． 6．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 7．8．C axx a dx +=-⎰arcsin22Ca x x a x dx +±+=±⎰2222ln 9．C a x a x a x dx x a ++-=-⎰arcsin 222222210．Ca x x a a x xdx a x +±+±±=±⎰2222222ln 2211．第一类换元积分法（凑微分法）：Cx F x t x d x f dx x x f dx x g +=='=⎰⎰⎰)]([)(])([)]([)()]([)(ϕϕϕϕϕϕ为为为为为为为为为为为为12．第二类换元积分法（典型代换：三角代换、倒代换、根式代换）：Cx F C t F dt t f dt t t g t x dxx g +=+=='=-⎰⎰⎰)]([)()()()]([)()(1ϕϕϕϕ为注：要求代换单调且有连续的导数，且“换元须还原”)(t ϕ13．分部积分法(典型题特征：被积函数是两类不同函数的乘积，且任何一个函数不能为另一个函数凑微分)⎰⎰-=vduuv udv 14．万能置换公式（针对三角有理函数的积分。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
常见函数的积分公式
常见函数的积分公式积分是微积分的一个重要概念，它是求解函数面积、曲线长度、体积等问题的基本工具。
在求解函数的积分时，常用的函数积分公式可以帮助我们简化计算，提高效率。
本文将介绍一些常见的函数积分公式，并解释它们的意义和用途，以帮助读者更好地理解和应用。
1. 常数函数积分公式：常数函数的积分公式非常简单，即∫a dx = ax + C，其中a为常数，C为积分常数。
这个公式表示，对于常数函数来说，其积分结果是函数的系数乘以自变量，并加上一个常数C。
这个常数C表示积分后函数的不确定性，因为对一个函数来说，存在无数个原函数。
2. 幂函数积分公式：幂函数的积分公式是微积分中最基本且常用的公式。
对于幂函数f(x) = x^n，其中n不等于-1，其积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) + C。
这个公式表示，对于幂函数来说，其积分结果是函数的指数加一的倒数乘以自变量的指数加一次幂，并加上一个常数C。
这个公式可以帮助我们计算多项式函数的积分，以及求解定积分问题。
3. 正弦函数和余弦函数积分公式：正弦函数的积分公式是∫sin(x) dx = -cos(x) + C，余弦函数的积分公式是∫cos(x) dx = sin(x) + C。
这两个公式表示，对于正弦函数和余弦函数来说，其积分结果是函数的相反函数，并加上一个常数C。
这些公式可以帮助我们求解周期性函数的积分，以及解决与波动、振动相关的问题。
4. 指数函数和对数函数积分公式：指数函数的积分公式是∫e^x dx = e^x + C，对数函数的积分公式是∫1/x dx = ln|x| + C。
这两个公式表示，对于指数函数和对数函数来说，其积分结果是函数本身，并加上一个常数C。
这些公式可以帮助我们求解与增长、衰减、复利等问题相关的函数积分。
除了以上这些常见的函数积分公式外，还有其他一些特殊函数的积分公式，如三角函数的积分、反三角函数的积分、双曲函数的积分等。
常用积分公式及解析(32个)
（5）反三角函数：
arcsin xdx x arcsin x 1 x2 C
【解析】
a r c c oxsd x x a r c cxo s 2 x1 C
arcsin xdx x arcsin x x dx x arcsin x
1 d (1 x2 ) x arcsin x 1 x2 C
csc xdx
1 sin
x
dx
2 sin
1 x cos
x
dx
tan
1 x cos2
x
d
x 2
1 tan
x
d
tan
x 2
ln
tan
x 2
C
22
22
2
sin x ln 2 C ln
2sin2 x 2
C ln 1 cos x C ln csc x cot x C
1 2
x
1 4
sin
2x
C
cos2
xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
【解析】
sin 2
xdx
1 2
1
cos
2xdx
1 2
x
1 4
sin
2x
C
cos2
xdx
1 2
1
cos
2xdx
1 2
x
1 4
sin
积分公式大全
x2 a2dx ＝ x x2
a2
a2 ln( x
2
2
x 2 a2 ) C
40．
( x2 a2 )3 dx ＝ x (2 x2 5a 2) x2 a 2 3 a4 ln( x
8
8
41． x x2
a2dx ＝ 1
2
(x
23
a)
C
3
x2 a2 ) C
42． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
x2 a2 C
56． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
a4 ln x
8
x2 a2 C
57．
x2 a2 dx ＝ x2 a2
a a arccos
C
x
x
58．
x2 x2
a 2 dx ＝
x2 a 2 ln x x
x2 a2 C
（八）含有 a2 x2 (a 0) 的积分
mn
mn
＝
1 cosm 1 x sinn 1 x n 1 cosm x sin n 2 xdx
mn
mn
欢迎下载
8
—
100． sin ax cosbxdx ＝
1 cos(a b)x
1 cos(a b) x C
2( a b)
2( a b)
101． sin ax sin bxdx ＝
1 sin( a b) x
x2
2
dx ＝ x
ax b a
b dx a ax2 b
2
25．
dx x(ax 2
＝
b)
1 2b
常用147条积分公式
32．
dx (x a )
2 2 3
＝
x a
2
x2 a2
C
33．
x x a
2 2
dx ＝ x 2 a 2 C 1 x2 a2
34．
x ( x 2 a 2 )3
dx ＝
C
3
35．
x x
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x x a
49．
x2 x2 a2 x2
dx ＝
x 2 a2 x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x x a
2 2
50．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln x x 2 a 2 C
51．
dx x2 a2 dx
2
＝
1 a arccos C a x x2 a2 C a2 x
2 2
36．
(x a )
2
2 3
dx ＝
ln( x x 2 a 2 ) C
37．
dx x2 a2 dx
＝
1 x2 a2 a ln C a x
38．
2
x2 a2 ＝ C a2 x x2 a2
2 2
39．
x 2 a2 2 x a dx ＝ x a ln( x x 2 a 2 ) C 2 2
1 a dx 2 bx b ax b
ax 2 b dx a 1 27． 3 ＝ 2 ln C 2 2 x 2bx 2 x ( ax b) 2b
28．
常用积分公式
13．
∫ ∫
x 2 dx ＝ 2 (ax − 2b) ax + b + C 3a ax + b x2 2 dx ＝ (3a 2 x 2 − 4abx + 8b2 ) ax + b + C 15a 3 ax + b
1 ln b ax + b − b + C (b > 0) ax + b + b
14．
⎧ ⎪ dx ⎪ ＝⎨ 15． ∫ x ax + b ⎪ ⎪ ⎩
∫
dx x2 − a 2
dx
x x arch + C1 = ln x + x 2 − a 2 + C x a
＝−
46．
x a2 x2 − a2
( x 2 − a 2 )3
+C
47．
∫
∫
x x −a
2 2
dx ＝ x 2 − a 2 + C 1 x − a2
2
48．
x (x − a )
2 2 3
dx ＝ −
dx ＝
+C
63．
∫
∫
x2 a2 − x2
x2
dx ＝ −
x 2 a2 x a − x 2 + arcsin + C 2 2 a
x a −x
2 2
64．
(a − x )
2
2 3
dx ＝
− arcsin
x +C a
65．
∫x ∫x
2
dx a2 − x2 dx
＝
1 a − a2 − x2 ln +C a x
2
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常用积分公式表·例题和点评
⑴d k x kx c =+⎰
(k 为常数)
⑵1
1
d (1)1
x x x c μ
μμμ+≠-=++⎰ 特别，2
11
d x c x x =-+⎰
,
32
23
x x c =+
,x c = ⑶
1d ln ||x x c x =+⎰
⑷d ln x
x
a
a x c a =
+⎰,特别，e d e x x
x c =+⎰ ⑸sin d cos x x x c =-+⎰
⑹cos d sin x x x c =+⎰ ⑺
2
2
1d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰
⑻
2
2
1d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰
⑼arcsin (0)x x c a a =+>,
特别，arcsin x x c =+ ⑽
2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+⎰,特别，2
1
d arctan 1x x c x =++⎰
⑾
22
11d ln (0)2a x
x c a a x a a x +=+>--⎰
或
22
11d ln (0)2x a
x c a x a a x a -=+>-+⎰ ⑿tan d ln cos x x x c =-+⎰
⒀cot d ln sin x x x c =+⎰
⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c
x x x x
c x ⎧-+⎪=
=⎨+⎪⎩
⎰⎰
⒂ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c
x x x x c x ⎧++⎪=
=⎨⎛⎫
++ ⎪⎪
⎝⎭⎩
⎰⎰
⒃(0)
===ln
a
x x c
>
+
⒄
2
(0)
===arcsin
2
a a x
x c
a
>
⒅
2
(0)
ln
2
a a
x x c
>
+
⒆
22
22
sin cos
e sin d e
sin cos
e cos d e
ax ax
ax ax
a bx
b bx
bx x c
a b
b bx a bx
bx x c
a b
-
⎧
=+
⎪⎪+
⎨
+
⎪=+
⎪+
⎩
⎰
⎰
⒇
1
2222212
123
d
()2(1)()2(1)
n n
n n
x n
x c
a x n a a x n a-
-
-
==++
+-+-
⎰I I（递推公式）
跟我做练习
(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)
例24
⑴2)
x x
=-[套用公式⒅]
⑵[
1
(24)4
2
x x x
=-+
⎰⎰
=(请你写出答案)
⑶2)
x x
=-
ln2
x⎡
=-+
⎣
[套用公式⒃]
⑷1
2
x x
=
2
1
2
2
x
=+
=(请你写出答案)
⑸2)
x x
=-
2
32
arcsin
23
x-
=+
[套用公式⒄]
⑹[
1
(42)4
2
x x x
=--
-
⎰⎰
=(请你写出答案)
⑺
=
=2
arcsin
3
x -[套用公式⑼]
⑻
(42)4d 12
x x
--=
-
212
2
=-
=(请你写出答案)
例25求原函数4
1
d 1x x +⎰
. 解因为
所以令
从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组
解这个方程组(在草纸上做)，得21,2
21,21,2
21=-==
=D C B A .因此，
右端的第一个积分为
2
2
11d 4x x +⎛+
+
⎝
⎭⎰(套用积分
公式)
类似地，右端的第二个积分为
所以
221x =-（见下注）
【注】根据tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
++=-⋅,则
因此,
例26求
d (01)1cos x x εε<<-⎰.【关于d (01)1cos x
x εε<<+⎰
，见例17】
解令tan 2
x
t =(半角替换)，则
于是，
【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但
不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式
()()
()lim
h y x h y x y x h
→+-'=或d ()d y y x x '= 确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数，譬如
2
1e sin e d ,d ,d ,d ln x x x
x x x x x x x
-⎰
⎰⎰⎰
等
都不能表示成初等函数.因此，一般说来求初等函数的原函数要比求它们的微分
或导数困难得多.我们用上面那些方法能够求出原函数的函数，只是初等函数中的很小一部分.尽管如此，我们毕竟可以求出足够多函数的原函数，而这些正好是应用中经常遇到的函数.因此，读者能够看懂前面那些例题并能够基本完成各节后的练习就足够了.。