2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考(六)数学(理)试题(解析版)

2020届湖南省长沙市长郡中学高三月考（六）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{(1)(2)0}B x x x =-+>，则A B I 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B I ，进而求得A B I 的子集个数. 【详解】由()()120x x -+>得21x -<<，故{}1,0A B ⋂=-，其子集个数为224=. 故选B. 【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查集合子集的个数求法，考查一元二次不等式的解法.2．若复数z 满足232z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z =( ) A ．12i - B ．12i +C ．12i --D ．12i -+【答案】B【解析】设z a bi z a bi =+∴=-，所以22()332z z a bi a bi a bi i +=++-=+=+ ，所以33,21,2a b a b ==∴== ，所以选B 。

3．已知直线12:(2)10,:20l ax a y l x ay +++=++=，其中a R ∈，则“3a =-”是“12l l ⊥”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线12l l ⊥的充要条件是(2)0(3)00a a a a a a ++=∴+=∴= 或3a =- ．故选A ．4．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ） A ．第2天 B ．第3天C ．第4天D ．第5天【答案】B【解析】用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇. 【详解】第一天共挖112+=，前二天共挖220.5 4.5++=，故前3天挖通，故两鼠相遇在第3天. 故选：B. 【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.5．已知A 是双曲线22221x ya b-=（0a >，0b >）的左顶点，1F 、2F 分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是12FF ∆P 的重心，若1G F λA =P u u u r u u u r，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．与λ的取值有关 【答案】B【解析】试题分析：因为1G F λA =P u u u r u u u r ，所以1G //F A P u u u r u u u r ，所以113OA OG OF OP ==，即13a c =，所以3ce a ==，故选B ．【考点】1．双曲线的几何性质；2．共线向量的性质．6．26(x x x-的展开式中，6x 的系数为 （ ） A ．240 B ．241C ．-239D ．－240【答案】C【解析】266622()(1)x x x x x x x-+=+- ，所以6x 的系数为6061232166522()(1)()(1)239C x C C x x xx x+⨯-+-=- ．故选C ．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）A ．()4223++B ．()6225++C ．10D ．12【答案】B 【解析】【详解】如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥P ABCD -即为所求，且3PA PB ==，5PC PD ==，可求得表面积为()6225++.故选B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．8．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==u u u v u u u v u u u v u u u v，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=u u u v u u u v，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．92【答案】C【解析】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，判断出G 是三角形CFH 的重心，得出,CG CO 的比例，由此得出λ的值. 【详解】设H 是BC 上除E 点外的令一个三等分点，连接FH ，连接BD 交AC 于O ，则//BD FH .在三角形CFH 中，,CG FG 是两条中线的交点，故G 是三角形CFH 的重心，结合23CH CF BH DF ==可知24.5CG CO =，由于O 是AC 中点，故224.529CG AC ==⨯.所以72AG CG =u u u r u u ur ，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题.9．设02x π≤≤，且12sin cos sin cos x x x x -=-，则x 的范围是（ ） A ．0x π≤≤ B ．744x ππ≤≤C ．544x ππ≤≤D ．322x ππ≤≤【答案】C【解析】12sin cos sin cos x x x x -=-化简得sin cos sin cos x x x x -=-，从而有sin cos 0x x -≥，作图解题．【详解】解：∵12sin cos sin cos x x x x -=-， ∴sin cos sin cos x x x x -=-， 从而有sin cos 0x x -≥， 画出正弦曲线和余弦曲线得，由图可知544x ππ≤≤， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二倍角公式及三角函数的图象，属于基础题．10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ） A ．98B 3C 33D 2【答案】C【解析】分别取棱1CC 、BC 、AB 、1AA 、11A D 的中点M 、N 、G 、Q 、P ，证明平面//EMNGQP平面11A BC ，从而动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ，再求面积得解. 【详解】如图，分别取棱1CC 、BC 、AB 、1AA 、11A D 的中点M 、N 、G 、Q 、P ， 则11////PE AC GN ，1////EM A B GQ ，1////PQ BC MN ，∴平面//EMNGQP 平面11A BC ，Q 点F 在正方体内部或正方体的表面上，若//EF 平面11A BC ，∴动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ， Q 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，2PE EM MN NG GQ PQ ∴======，2PN =， E ∴到PN 的距离22226()()24d =-=， ∴动点F 的轨迹所形成的区域面积：226332222PNMES S +==⨯⨯=梯形． 故选C ．【点睛】本题考查动点F 的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．11．已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1)(1,)-∞-⋃+∞，B ．(1,+)∞C ．1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】D【解析】先判断函数的奇偶性和单调性，由此列不等式组，解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >，故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >，且()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当1x >时，令22x x y -=+，'1412ln 2ln 2022x x xx y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭，所以22x xy -=+在1x >时递增，根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增，所以函数()f x 在1x >时递增，故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞U .故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查利用导数判断函数的单调性，考查函数不等式的解法，属于中档题.12．已知只有50项的数列{}n a 满足下列三个条件：①{}1,0,11,2,,50i a i ∈-=L ;②12509a a a +++=L ；③()()()2221250101111111a a a ≤++++++≤L .对所有满足上述条件的数列{}2221250,n a a a a +++L共有k 个不同的值，则k =( )A ．10B ．11C ．6D ．7【答案】C【解析】设1250,,...,a a a 中有s 项取值0，由条件②知，取值1的项数为50992s --+，取值1-的项数为5092s --，再由条件③得509101491112s s --⎛⎫≤++≤⎪⎝⎭，解得717s ≤≤，又若s 为偶数，则1250a a a +++L 为偶数，因为12509a a a +++=L ，所以s 必为奇数，故7,9,11,13,15,17s =，它们对应6个不同的值，2221250...50a a a s +++=-共有6个不同的值，故选C.【方法点睛】本题主要考查数列求和以及数学的转化与划归思想，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，将2221250a a a +++L 的不同值的个数，转化为1250,,...,a a a 中0的个数问题是解题的关键.二、填空题13．曲线x y xe -=在点1(1,)e处的切线方程为_______【答案】1y e=【解析】先求得函数在1x =处切线的斜率，由此求得切线方程. 【详解】依题意x x y e =，所以'21x x x xe xe x y e e--==，故当1x =时，导数为0，也即在点11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为0，故切线方程为1y e=. 故答案为：1y e=. 【点睛】本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查除法的导数运算，属于基础题.14．当实数,x y 满足240{101x y x y x +-≤--≤≥时,14ax y ≤+≤恒成立,则实数a 的取值范围是 .【答案】31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：作出不等式组表示的区域如下图所示的阴影部分区域，由图可知：不等式14ax y ≤+≤在阴影部分区域恒成立，令z ax y =+可知0a ≥，因为当0a ≥，且当1,0x y ==时，00z ax y a a =+=+=<不能使得14ax y ≤+≤恒成立；由0a ≥得z ax y =+在点()1,0处取得最小值，即min z ax y a =+=，在点()2,1处取得最大值，即max 21z ax y a =+=+，所以有1214{a a ≥+≤解得312a ≤≤． 【考点】简单线性规划；15．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若1c =，ABC ∆的面积为2214a b +-，则ABC ∆面积的最大值为_____.【答案】14【解析】结合已知条件，结合余弦定理求得π4C =，然后利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形ABC 面积的最大值. 【详解】由于三角形面积2211sin 24a b S ab C +-==①，由余弦定理得221cos 2a b C ab +-=②，由①②得sin cos C C =，由于()0,πC ∈，所以π4C =.故221cos 22a b C ab +-==，221a b =+-22121a b ab =+-≥-，化简得22ab +≤.所以三角形面积1121sin 22224S ab C +=≤⨯=.故答案为14. 【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查基本不等式求最值的方法，属于中档题.16．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈u u u v u u u v u u u v，若21sin ()2A t αβ⋅+-（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是______.【答案】3315(,)1616-【解析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+-，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围.【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ：如图所示，设D 是线段AB 的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故⊥OD AB ，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈uuu r uu u r uuu r故221832AO AB AB AB AC AO AC AC AB AC αββα⎧⋅=+⋅=⎪⎨⋅=+⋅=⎪⎩u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即43cos 268cos 3A A βααβ+=⎧⎨+=⎩，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A A AA αβ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+-并化简得2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由于1cos 1A -<<，依题意2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t -+-<-<⨯时，2123cos cos 238A t A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有最小值.由233811122t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-<-<⨯解得33151616t -<<.故答案为：3315(,)1616-.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题.三、解答题17．在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令lg n a T =，1n ≥. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()122n n n b a -=-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）2n a n =+，1n ≥.（2）221n n n S n =⋅-+【解析】（1）设1t ,2t ,…,2n t +构成递增的等比数列,其中11t =,2100n t +=,由等比数列的性质可得221121210n n n t t t t t t +++⋅=⋅==⋅=L ,则()22210n n T +=,进而求解即可；（2）由（1）()11222n n n n a b n ---⋅==⋅, 利用错位相减法求解即可【详解】（1）设1t ,2t ,…,2n t +构成递增的等比数列,其中11t =,2100n t +=,122211n n n n T t t t t t t +++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ,又221121210n n n t t t t t t +++⋅=⋅==⋅=L ,得()22210n n T +=,则210n n T +=,所以2lg lg102n n n a T n +===+,1n ≥（2）由（1）,()11222n n n n a b n ---⋅==⋅,故()01221122232122n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,()12312122232122n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,上述两式相减,得0121121212122n n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅L()121221n n n -=-⋅-212n n n =--⋅,整理得221nnn S n =⋅-+ 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA AD ⊥，底面四边形ABCD 为直角梯形，,AD BC λ=//,AD BC 90,BCD ∠=o M 为线段PB 上一点．(1)若13λ=，则在线段PB 上是否存在点M ，使得//AM 平面PCD ?若存在，请确定M 点的位置；若不存在，请说明理由．(2)己知2,1PA AD ==，若异面直线PA 与CD 成90o 角，二面角B PC D --的余弦值为10，求CD 的长． 【答案】（1）存在，点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点；（2）2. 【解析】(1) 延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ．通过证明AM PE P 及13AD BC =，AD BC P 可得M 为PB 上的一个三等分点，且靠近点P ．(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，分别求得平面1PBC n u v法向量和平面PCD的法向量2n u u v，再根据二面角夹角的余弦值即可得参数t 的值，进而求得CD 的长． 【详解】解：（1）延长BA ，CD 交于点E ，连接PE ，则PE ⊂平面PCD .若AM P 平面PCD ，由平面PBE ⋂平面PCD PE =，AM ⊂平面PBE ，则AM PE P .由13AD BC=，AD BC P ，则13PM EA PB EB ==， 故点M 是线段PB 上靠近点P 的一个三等分点.（2）∵PA AD ⊥，PA CD ⊥，AD CD D ⋂=，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，则PA ⊥平面ABCD以点A 为坐标原点，以AD ，AP 所在的直线分别为y 轴、z 轴，过点A 与平面PAD 垂直的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,2P ，()0,1,0D ，(),1,0C t ，1,1,0B t λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则10,2,0BC λ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),1,2PC t -，(),0,0CD t -设平面PBC 和平面PCD 的法向量分别为()1111,,n x y z =u v ，()2222,,n x y z u u v=.由1n BC u u u r u v ⊥，1n PC ⊥u u u r u v 得1100n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u v u u u r u v 即111112020y tx y z λ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+-=⎩， 令11x =，则12tz =，故11,0,2t n ⎛⎫= ⎪⎝⎭u v .同理可求得()20,2,1n u u v=.于是1212cos n n n n u v u u v u v u u v θ⋅=，=解之得2t =±（负值舍去），故2t =.∴2CD =. 【点睛】本题考查了立体几何的证明，空间向量在夹角问题中的综合应用，法向量的求法与用法，属于中档题．19．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,离心率为2,且1MF F V. （1）求椭圆C 的方程;（2）过点(P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==u u u v u u u v u u u v,若12λλ+=-求直线l 的方程. 【答案】（1）2214x y +=（2）y x =【解析】（1）离心率为2,可得2c a =,12MF F △可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程;（2）设直线l:(x t y =,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程. 【详解】 （1）Q可得c a =又Q 12MF F △,可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ┄② 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += （2）设直线l:(x t y =，()11,A x y ，()22,B x y ，由(2214x t y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()22224240t y y t +-+-=， 根据韦达定理:12y y +=,21222404t y y t -=>+,22t >，()()422844240t t t ∆=-+->，24t <，Q 12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r，∴1122y y λλ==-，故)12121212y y y y y y λλ-+=-+==- ∴()222121212y y y y -=，即()222121212412y y y y y y +-=，∴()()()22422222224881612444t tt t t t ---=⋅+++， 即4231180t t -+=， 解得21t =（舍）或283t =， ∴ 直线l:y x =.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决.20．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若1p =-份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈ 【答案】（1）110（2）（i ）()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4.【解析】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可；（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11kp k<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,则()232355A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为110（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,()()211k P p ξ∴==-,()()2111kP k p ξ=+=--,()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦,若()()12E E ξξ=,则()11kk k k p =+--,则()11kp k-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111kp k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭,∴p 关于k 的函数关系式为()111kp f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭（k *∈N ,且2k ≥）（ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得()11k p k<-, 1p =Q,1kk ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3f x x x =-（0x >）, 则()113f x x '=-,令()0f x '=,则13x =,∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,41.33333≈, 4ln 43∴>, 又ln5 1.6094≈,51.66673≈, 5ln 53∴<,∴k 的最大值为4 【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性21．已知函数（）．（1）若，恒有成立，求实数的取值范围； （2）若函数有两个相异极值点，，求证：． 【答案】（1）22a e≥;（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可， （2）函数g （x ）=f （x ）-x 有两个极值点x 1、x 2，即导函数g′（x ）有两个不同的实数根x 1、x 2，对a 进行分类讨论，令21x t x =，构造函数φ（t ），利用函数φ（t ）的单调性证明不等式． 试题解析：（Ⅰ）由0x >，恒有()f x x ≤，即ln 12a x x -≤，ln 12x a x -≤对任意0x >成立， 记()ln 1x H x x -=，()22ln 'xH x x-=， 当()20,x e∈，()'0H x >，()H x 单调递增；当()2,x e ∈+∞，()'0H x <，()H x 单调递减，()H x 最大值为()221H e e =， ∴212a e ≥，22a e≥． （Ⅱ）函数()()g x f x x =-有两个相异的极值点1x ，2x ， 即()'ln 0g x x ax =-=有两个不同的实数根．①当0a ≤时，()'g x 单调递增，()'g x 不可能有两个不同的实根； ②当0a >时，设()ln h x x ax =-，则()1'axh x x-=， 当10x a<<时，()'0h x >，()h x 单调递增； 当1x a>时，()'0h x <，()h x 单调递减， ∴1ln 10h a a ⎛⎫=-->⎪⎝⎭，∴10a e <<， 不妨设210x x >>，∵()()12''0g x g x ==，∴22ln 0x ax -=，11ln 0x ax -=，()2121ln ln x x a x x -=-， 先证12112ln ln x x +>，即证21212112ln ln 2x x x x x x x x -+<-， 即证2222121112121ln 22x x x x x x x x x x ⎛⎫-<=- ⎪⎝⎭， 令211x t x =>，即证11ln 2t t t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，设()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 则()()221'02t t tϕ--=<，函数()t ϕ在()1,+∞单调递减，∴()()10t ϕϕ<=，∴12112ln ln x x +>，又10a e<<，∴1ae <， ∴12112ln ln ae x x +>． 22．在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=. （1）求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围.【答案】（1）1,3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）AB ∈【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标; （2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB V 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围. 【详解】（1）圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=,联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±,∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫⎪⎝⎭（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ 在AOB V 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+,又Q A 、B 都要在第一象限,∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos θ⎫∈⎪⎪⎝⎭,∴ AB ∈.【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等.23．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围； （2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【解析】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案.【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--Q ()g x m ≥恒成立第 21 页 共 21 页 ∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=， 原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b c a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥， 当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,。