(浙江专版)2018年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版

[活学活用] 1．已知圆柱的表面积为定值 S，当圆柱的容积 V 最大时，圆
柱的高 h 的值为________． 解析：设圆柱的底面半径为 r， 则 S 圆柱底＝2πr2， S 圆柱侧＝2πrh， ∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝2r(S－2πr2)＝rS－22πr3，
1．利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 y＝f(x)； (2)求函数的导数 f′(x)，解方程 f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大 (小)者为最大(小)值； (4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际 情况并下结论． 2．几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几 何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表 示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
(c 为常数，且 0<c<6)．
(2)由(1)知，当 x>c 时，日盈利额为 0. 当 0<x≤c 时，∵y＝329x6－－2xx2， ∴y′＝32·9－4x66－－xx＋2 9x－2x2＝3x－6－3xx－2 9， 令 y′＝0，得 x＝3 或 x＝9(舍去)， ∴①当 0<c<3 时，y′>0，∴y 在区间(0，c]上单调递增， ∴y 最大值＝f(c)＝329c6－－2cc2.
②当 3≤c<6 时，在(0,3)上，y′>0，在(3，c)上，y′<0， ∴y 在(0,3)上单调递增，在(3，c)上单调递减． ∴y 最大值＝f(3)＝92. 综上，若 0<c<3，则当日产量为 c 万件时，日盈利额最大； 若 3≤c<6，则当日产量为 3 万件时，日盈利额最大．(2)由(来自)知，f′(x)＝－25x62m＋
1 2
mx

1 2
＝
m 2x2(x
3 2
－512)．令
3
f′(x)＝0，得x 2 ＝512，所以x＝64.
当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；
当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函
解：(1)当 x>c 时，p＝23，y＝1－23·x·3－23·x·32＝0； 当 0<x≤c 时，p＝6－1 x，
∴y＝1－6－1 x·x·3－6－1 x·x·32＝329x6－－2xx2. ∴日盈利额 y(万元)与日产量 x(万件)的函数关系为
y＝329x6－－2xx2，0<x≤c， 0，x>c，
(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
[解] (1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m， 即 n＝mx －1. 所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋ x)x ＝256mx －1＋mx (2＋ x)x ＝25x6m＋m x＋2m－256.
数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝mx －1＝66440－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的 对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际做答．
[活学活用] 某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边可以用原有 的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，则 堆料场的长、宽应分别是多少？ 解：设场地宽为 x m，则长为12x8 m， 因此新墙总长度为 y＝2x＋12x8(x＞0)， y′＝2－1x228，令 y′＝0，∵x>0，∴x＝8. 因为当 0＜x＜8 时，y′＜0；当 x＞8 时，y′＞0， 所以当 x＝8 时，y 取最小值，此时宽为 8 m，长为 16 m. 即当堆料场的长为 16 m，宽为 8 m 时，可使砌墙所用材料最省.
利润最大问题
[典例] 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的 销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2.其中 3＜x＜6，a 为常数．已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克．
(1)求 a 的值； (2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值， 使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快 慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可 以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
[活学活用] 工厂生产某种产品，次品率 p 与日产量 x(万件)间的关系为
V(x)＝(a－2x)2x,0<x<a2. 即 V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<a2. 实际问题归结为求 V(x)在区间0，a2上的最大值点． 为此，先求 V(x)的极值点．在开区间0，a2内， V′(x)＝12x2－8ax＋a2.
令 V′(x)＝0，得 12x2－8ax＋a2＝0. 解得 x1＝16a，x2＝12a(舍去)． x1＝16a 在区间0，a2内，x1 可能是极值点．且 当 0<x<x1 时，V′(x)>0； 当 x1<x<a2时，V′(x)<0. 因此 x1 是极大值点，且在区间0，a2内，x1 是唯一的极值 点，所以 x＝16a 是 V(x)的最大值点． 即当截下的小正方形边长为16a 时，容积最大．
于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3,4)
4
(4,6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
单调递增↗ 极大值42 单调递减↘
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，
也是最大值点．
所以当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获 得的利润最大．
生活中的优化问题举例
几何中的最值问题 [典例] 有一块边长为 a 的正方形铁板，现从铁板的四个角 各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为 使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
[解] 设截下的小正方形边长为 x，容器容积为 V(x)，则做 成的长方体形无盖容器底面边长为 a－2x，高为 x，
V′(r)＝S－26πr2， 令 V′(r)＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，因为 V′(r)只有一个极值 点，故当 h＝2r 时圆柱的容积量大．
又 r＝ 6Sπ，∴h＝2 6Sπ＝ 36ππS.
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 36ππS.
答案：
6πS 3π
2．将一段长为 100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一 段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小？ 解：设弯成圆的一段长为 x(0＜x＜100)，另一段长为 100－x， 记正方形与圆的面积之和为 S，则 S＝π2xπ2＋1004－x2(0＜x ＜100)，则 S′＝2xπ－18(100－x)． 令 S′＝0，则 x＝1π0＋0π4.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点，问题 中面积之和最小值显然存在，故当 x＝1π0＋0π4 cm 时， 面积之和最小． 故当截得弯成圆的一段长为1π0＋0π4 cm 时，两种图形 面积之和最小.
用料、费用最少问题
[典例] 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一 个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2＋ x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥 墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11， 所以a2＋10＝11，a＝2. (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝x－2 3＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)x－2 3＋10x－62＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3＜x＜6. 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)．
p＝6－1 x，0<x≤c， 23，x>c，
(c 为常数，且 0<c<6)．已知每生产
1 件合格产品盈利 3 元，每出现 1 件次品亏损 1.5 元．
(1)将日盈利额 y(万元)表示为日产量 x(万件)的函数；
(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率
次品数 ＝产品总数×100%)