§2.3牛顿Newton法及其变形.doc

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newton定理证法

newton定理证法牛顿定理证法牛顿定理证法是一种建立数学命题的证明方法，由英国数学家和物理学家艾萨克·牛顿发明。

该定理证法基于两个原理：1. 连续性原理：如果一个函数值在某区间内连续，则它在该区间内可取任一值。

2. 极限原理：如果一个函数值趋向于某个极限，且该函数在该点处连续，则该函数值等于该极限。

证明步骤1. 建立辅助函数：定义一个辅助函数，该函数与要证明的命题相关。

2. 证明辅助函数是连续的：通过求导或其他方法，证明辅助函数在相关区间内连续。

3. 证明辅助函数趋向于某个极限：证明辅助函数在相关区间内趋向于某个极限，并确定该极限。

4. 根据连续性原理，确定辅助函数值：根据辅助函数的连续性，可以断定辅助函数在相关区间内可以取任何值，包括极限值。

5. 根据极限原理，确定原命题：由于辅助函数的极限等于原命题，且辅助函数在相关区间内连续，因此根据极限原理，原命题也成立。

举例证明：对于任意正实数 x，存在实数 y，使得 y > 0 且 xy > 1。

辅助函数：定义辅助函数 f(x) = xy。

连续性：辅助函数 f(x) 是 x 和 y 的乘积，x 和 y 在正实数域内连续，因此 f(x) 在正实数域内连续。

极限：当 x 趋向于无穷大时，f(x) 趋向于无穷大。

因此，lim[x->∞] f(x) = ∞。

辅助函数值的确定：根据辅助函数的连续性，可以断定 f(x)可以取任何正值，包括无穷大。

原命题的确定：由于 f(x) 的极限等于无穷大，且 f(x) 在正实数域内连续，因此根据极限原理，存在 y > 0，使得 f(x) = xy > 1。

结论牛顿定理证法是一种有效的证明方法，用于建立连续函数的性质。

通过定义辅助函数并证明其连续性和极限，我们可以推出原命题的成立性。

牛顿(Newton)法

]上有根α 设 f ( x ) = 0 在[a,b]上有根α, 且 f ( x ) 在[a,b]上满足 ] 连续，且分别不变号；（1） f ' ( x ), f " ( x ) 连续，且分别不变号；
（2）取初值 x 0 ∈ [ a , b ] ,使 f ( x 0 ) f " ( x 0 ) > 0
f " (ξ n ) (α − xn )2 , 故 α = xn+1 − 2 f ' ( xn ) xn+1 − α f "(ξn ) f "(α ) > 0(二阶收敛 )若 f " (α ) ≠ 0 → 2 = 2 f '( xn ) 2 f '(α ) = 0(大于二阶收敛 )若 f " (α ) = 0 xn − α
所以，此时Newton迭代法至少是二阶收敛的。所以，此时Newton迭代法至少是二阶收敛的。 Newton迭代法至少是二阶收敛的
牛顿下山法下山法——牛顿法的局部微调牛顿法的局部微调二. 牛顿下山法牛顿法的
原理：减小，原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 x k + 1 ，使得 f ( xk+1 ) < f ( xk ) 。 xk xk+1
]有单根α ] 设 f ( x ) = 0 在[a,b]有单根α，且 f ( x ) 在[a,b]上有直到二阶的连续导数。直到二阶的连续导数。
Newton迭则求 f ( x ) = 0的单根 α 的 Newton 迭代法如果收敛 , 其收敛至少是二阶的。
证明: 由定理2.3.1的证明有：证明: 由定理2

牛顿(newton)插值法

牛顿(newton)插值法牛顿插值法是一种数值分析中的插值方法，它用于找到一个多项式函数，该函数会经过给定的一系列数据点。

该方法最初由英国数学家艾萨克·牛顿（Isaac Newton）发明并称为插值多项式，它也被称作差分插值法。

插值是数学和工程学中的一项重要任务，它是用于在给定数据点之间构建连续函数的一种数值方法。

插值方法通常涉及过渡从观察结果派生出抽象结果的过程，从而使得预测可能的结果取得更加准确。

下面介绍牛顿插值法的基本原理。

插值基础插值基础是插值方法中的一个重要概念。

在这里，我们将对牛顿插值法中用到的插值基础进行简要介绍。

一个插值基础是指一个已知数据点的集合，通常是一个 x 坐标和对应的 y 坐标。

每个插值基础一般定义为一个数据点的函数，该函数包含了给定点的所有信息并将这些信息用于构建连续函数。

在牛顿插值法中，我们使用差分来定义插值基础。

差分是指两个相邻数据点之间 y 坐标的差值。

具体来说，若给定以下节点：x0, y0x1, y1x2, y2...xn, yn我们则通过以下的 "+" 符号所示的不断进行差分的方式来构建一个插值基础：y0y1-y0…yn-yn-1 yn-yn-1 yn-yn-2 ... yn-y0上述图表所展示的差分的值即为定义插值基础的差商（divided difference）。

牛顿插值公式基于上述插值基础和差商，我们现在可以使用牛顿插值公式来实现插值。

具体来说，牛顿插值公式可以表示为：f(x) = y0 + d1*f[x0,x1] + d2*f[x0,x1,x2] + ... + dn*f[x0,x1,...,xn]其中 f(x) 是插值函数，x0, x1, ..., xn 是给定的节点，y0, y1, ..., yn 是对应的 y 值，f[x0,x1] 是差商 f(x0,...,x1) 的值，d1, d2, ..., dn 也是差商。

请注意，插值函数的次数最高为 n - 1，这意味着插值函数与插值基础的次数相同。

牛顿法和拟牛顿法

重置否
x (1 ) = x ( n + 1 )
例4.13：用DFP方法求解 min 2 x + x − 4 x1 + 2
2 1 2 2
初始点x
(1)
2 1 0 = , H1 = 1 0 1
λ1 =
5 18
2 1
8 9 4 9
SQP方法
• 良好的性质 • 广泛应用 • 与Lagrange-Newton 法的关系
总结
简单的“拟”可以是革命性的进步!
1 v
( k )T
q (k )
∆H k =
p
(k )
⋅p
( k )T (k )
p
( k )TΒιβλιοθήκη q−Hkq q
(k )
⋅q
( k )T
Hk
( k )T
Hkq
(k )
计算步骤：
x (1 ) , ε > 0
H1 = I n , d (1) = −∇f ( x(1) ), k = 1
∇f ( x ( k ) ) < ε
p ( k ) := x ( k +1) − x ( k ) ⇓ q ( k ) := ∇f ( x ( k +1) ) − ∇f ( x ( k ) ) q
(k )
≈ ∇ f (x
2
( k +1)
)p
(k )
p ( k ) = H k + 1q ( k )
p ( k ) ≈ ∇ 2 f ( x ( k +1) ) −1 q ( k )
FletcherDavidon(1959), Fletcher-Powell(1963) DFP 方法

最优化理论方法——牛顿法

牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。

结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。

牛顿迭代法（Newton ’s method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。

牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。

牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。

牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。

如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。

鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。

2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：以负梯度方向作为极小化算法的下降方向，也称为梯度法。

设函数()f x 在k x 附近连续可微，且()0k k g f x =∇≠。

由泰勒展开式： ()()()()()Tk k k k fx f x x x f x x x ο=+-∇+- （*）可知，若记为k k x x d α-=，则满足0Tk k d g <的方向k d 是下降方向。

当α取定后，Tk k d g 的值越小，即T kk d g -的值越大，函数下降的越快。

由Cauchy-Schwartz 不等式：T k k kk d g d g ≤，故当且仅当k k d g =-时，Tk k d g 最小，从而称k g -是最速下降方向。

最速下降法的迭代格式为： 1k k k k x x g α+=-。

牛顿法原理

牛顿法原理
牛顿法是一种可以将非线性收敛到最小值的迭代法，是以传统意义上的函数最小值求解和极值求解具有重要意义的数值解法之一。

牛顿法（Newton's Method）或称牛顿迭代法，由英国数学家牛顿提出。

它是一种以逐步逼近的方式来求解极值，也就是最优求解法。

它可以帮助求解数学中连续函数极值及根的值，是近代数值分析的重要组成部分，也是当今最重要的最优方法之一。

牛顿法的基本思想是，如果一个连续函数的图像在某一点处有极值，那么该点处函数的导数为零，它即为函数的极值点。

根据这一思想，牛顿法寻找极值点，即就是不断从起点开始，计算梯度并根据梯度计算新的点，然后继续重复上面的步骤，直到收敛为止。

牛顿法的具体步骤有：
（1）确定变量的初始值，使用方程组求解；
（2）计算变量的一阶偏导数；
（3）根据一阶偏导数的函数值更新变量的值；
（4）用新值计算梯度，若精度满足要求，则可结束；若未满足要求，则重复步骤2和3。

在求解函数极值时，牛顿法优于迭代法。

牛顿法不仅使函数值逐渐收敛到极值，而且保持精度高。

其收敛速度快，收敛精度高，且稳定性好，而迭代法则收敛缓慢，而且收敛精度也不高。

总之，牛顿法是通过不断迭代计算求取函数极值的一种简便有效的求解方法，利用它求解特定类型函数的极值及其根可以弥补非线性方程其他求解方法的盲点，大大的提高了求解的效率。

牛顿定律PPT课件

效果不能互相抵消； 3. 作用力与反作用力总是属于
同一性质的力； 4. 两个物体相互作用，可以接
触也可不接触。
弹性力
永磁体悬浮在超导体上方
磁场力
四、力的概念力一个物体所受的力必为其他物体所施予
▪ 自然界的四种基本力：
引力、电磁力、强相互作用和弱相互作用
1. 万有引力两个物体之间的相互吸引力
F
各个力分别作用时所产生的加速度的叠加
ai
Fi m
3. 第二定律 F m a 为瞬时关系力与加速度同时存在、同时改变和同时消失
4. 第二定律表达式为d矢2r量关系
F
i
Fi mdt2
y
解题时常用分量式
▪ 直角坐标系中的分量形式
m ax Fx
r
Fy
ay
a
F
Fx mxamdd2tx2
O
x
Fy may mdd2t2y 力和加速度的直角坐标分解
例题2-2 m1= 3 kg，m2= 2 kg，m1与m2间的静
摩擦系数0 = 0.3，m1与水平桌面间的滑动摩擦系数 = 0.2，受与水平面的夹角为30º的拉力F 作
用。求：(1)两物体不发生相对滑动时，拉力 F 与
系统的加速度 a 的关系，并考察 a = 0 时的情形；
(2)两物体不发生相对滑动时，系统的最大加速度
Fco3sm 01m s2ign 30 25
(2) 两物体无相对运动时，m2 受 m1的静摩擦力作用，当加速度为最大时，摩擦力为最大静摩擦力，
取物体m2为研究对象，坐标系的选取与(1)相同。
根据牛顿第二定律列出m2的运动方程：
x 方向： y 方向：
Ffm2a F N 2m 2g0

牛顿-拉夫逊迭代法原理及其实现

牛顿迭代法（简写）就是一种近似求解实数域与复数域求解方程的数学方法。

那么这个方法是具体是什么原理呢？牛顿迭代如何迭代？直接看数学公式描述如何迭代不直观，先来看动图就很容易理解牛顿迭代法为什么叫迭代法以及怎样迭代的：牛顿迭代法是原理是根据一个初始点在该点做切线，切线与X轴相交得出下一个迭代点的坐标，再在处做切线，依次类推，直到求得满足精度的近似解为止。

由前面描述知道，牛顿迭代法是用来近似求解方程的，这里有两个点需要说明：•为啥要近似求解？很多方程可能无法直接求取其解•迭代法非常适合计算机编程实现，实际上计算机编程对于牛顿迭代法广为应用来看看，数学上如何描述的？其中为函数在处的一阶导数，也就是该点的切线。

来简单推一推上面公式的由来，直线函数方程为：知道一个直线的一个坐标点以及斜率则该直线的方程就很容易可以得知：那么该直线与轴的交点，就是y=0也即等式x 的解：啥时候停止迭代呢？1.计算出2.给出一个初始假定根值x0,利用上面迭代式子进行迭代3.计算绝对相对迭代近似误差4.将绝对相对近似误差与预定的相对误差容限进行比较。

如果，则迭代步骤2，否则停止算法。

另外，检查迭代次数是否已超过允许的最大迭代次数。

如果是这样，则需要终止算法并退出。

另一个终止条件是：如何编码呢？由于牛顿迭代法主要目的是解方程，当然也有可能用于某一个数学函数求极值，所以无法写出通用的代码，这里仅仅给出一个编代码的思路。

相信掌握了思路，对于各种实际应用应该能很快的写出符合实际应用的代码。

假定一函数为其波形图如下：其一阶导数为：那么对于该函数的根：从图上大致可以知道有两个根，如果直接解方程，则很难求出其根，可以编个代码试试：#include <stdio.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>/*假定待求根函数如下*/#define F(x) (2*(x)*(x)-10*cos(x)+(x)-80)/*其一阶导数为*/#define DF(x) (4*(x)+10*sin(x)+1)float newton_rooting(float x0,float precision,float min_deltax,int max_iterations) {float xn,xn1,fn,fn1,dfn;float deltax;int step = 0;xn = x0;xn1 = x0;do{xn = xn1;fn = F(xn);dfn = DF(xn);/*判0*/if( fabs(dfn) <1e-6 ){if( fabs(fn)>precision )return NAN;elsereturn fn;}xn1 = xn - fn/dfn;fn1 = F(xn1);deltax = fabs(xn1-xn);step++;if( step>max_iterations ){if( fabs(fn1)<precision )return xn;elsereturn NAN;}}while( fabs(fn1)>precision || deltax>min_deltax );return xn1;}void main(){float root_guess = 23.0f;float precision = 0.00001f;float min_deltax = 0.001f;float root;int step = 7;root = newton_rooting( root_guess,precision,min_deltax,step );printf("根为: %f,函数值为：%f\n", root,F(root));root_guess = -23;root = newton_rooting( root_guess,precision,min_deltax,step );printf("根为: %f,函数值为：%f\n", root,F(root));}结果：根为: 6.457232, 函数值为：0.000004根为: -6.894969,函数值为：-0.000008函数值已经很接近于0了，如果还需要更为精确的值，则可以选择在此基础上进一步求解，比如利用二分法逼近。

牛顿迭代法

一 .牛顿迭代法简介1.牛顿迭代法的产生背景牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x)=0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

利用牛顿迭代法来解决问题需要做好的工作：（1）确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

（2）建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

（3）对迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。

2.牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x)=0的根。

牛顿运动定律课件

势垒势阱
三、动能动能定理
1) 质点的动能定理质点的动能
末态动能初态动能合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
2）质点系的动能定理
质点系的动能
系统外对系统内各质点作用力称为外力，系统内各质点间相互作用力称为内力。因此质点系的动能定理: 对质点系作的总功等于质点系总动能的增量。
四、机械能守恒定律
地球可以看作近似度很高的惯性系(公转和自转向心加速度很小）
三力学中常见的几种力基本自然力
1 力学常见的几种力
重力弹力摩擦力流体阻力（
)
2 基本自然力
(1) 引力
（2）电磁力
弹力摩擦力流体阻力气体压力浮力都是电磁力 3 强力（质子、中子、介子间短程作用力） 4 弱力（粒子间更短程作用力）
ϕ
Fl
保守力沿某一给定的l方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿l方向的空间变化率。
势能是位置的函数，用EP ( x,y,z)表示，称为势函数
梯度算符
质点所受保守力等于质点势能梯度的负值
4.势能曲线
Ep（h）
Ep（x）
势能曲线:势能随位置变化的曲线
O
h
（a）
a. Ox （b定量的量度了惯性
惯性质量：牛顿第二定律中的质量常被称为惯性质量质量是物体平动惯性大小的量度
牛顿第三定律（Newton third law）两个物体之间对各自对方的作用力总是大小相等
的，而且指向相反的方向，作用在一条直线上。
作用力与反作用力： 1、它们总是成对出现，它们之间一一对应。 2、它们分别作用在两个物体上，绝对不是平衡力。 3、它们一定是属于同一性质的力。
为：

牛顿法

牛顿法简介牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

产生背景多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可解，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。

牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

另外该方法广泛用于计算机编程中。

详细内容1、求解方程。

并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。

利用牛顿法，可以迭代求解。

原理是利用泰勒公式，在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x = x1=x0－f(x0)/f'(x0)，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。

整个过程如下图：2、牛顿法用于最优化在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯行法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。

假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。

剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。

Newton-Raphson算法

Newton-Raphson算法简介⽜顿法⼜叫做⽜顿-拉裴森（Newton-Raphson）⽅法，是⼀维求根⽅法中最著名的⼀种。

其特点是在计算时需要同时计算函数值与其⼀阶导数值，从⼏何上解释，⽜顿法是将当前点处的切线延长，使之与横轴相交，然后把交点处值作为下⼀估值点。

图1从数学上解释，⽜顿法可以从函数的泰勒展开得到。

f(x)的泰勒展开可以表⽰为：f(x+\delta)=f(x)+f’(x)\delta+\frac{f’’(x)}{2}\delta^2+O(\delta^3)对于⾜够⼩的\delta，可以将只保留上式右端关于的⼀阶项，得到：\delta=-\frac{f(x)}{f’(x)}于是得到由到的递推公式：x_{i+1}=x_{i}+\delta=x_i-\frac{f(x_i)}{f’(x_i)}可见⽜顿法是让x沿着f(x)梯度的⽅向下降，类似于最优化⽅法中的梯度下降法。

⽜顿法也可以作为最优化算法，只不过那时需要求函数的⼆阶导数。

⽜顿法相⽐⼆分法、截弦法的优点是收敛速度可以达到⼆阶，在根附近没迭代⼀次，结果的有效数字⼏乎可以翻倍。

当然⽜顿法也可能可能失败，⽐如收敛到⼀个局部极值，其切线⽅向与横轴⽔平，从⽽⽆法计算下⼀个迭代值。

另外，⽜顿法的实现需要⽤户提供⼀个函数⽤于计算函数值f(x)与其⼀阶导数值f'(x)，因此⽐较适合函数的导数可以解析求出的情况，如果需要求数值导数，则⽜顿法的收敛速度和精度都会受影响。

我们可以将⽜顿法和⼆分法综合起来形成⼀个混合算法，⼀旦⽜顿法在运⾏过程中出现解跳出给定区间或者猜测值远离实际根导致收敛速度较慢时，就采取⼀步⼆分法。

实现⼀：利⽤预先求出的⼀阶导函数import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(FV, PMT, r, n):return PMT * (1 + r) * (((1 + r)**n - 1)) / r + FVdef df(FV, PMT, r, n):r_plus_1_power_n = (1 + r)**np1 = N * PMT * r_plus_1_power_n / rp2 = -PMT * (r + 1) * (r_plus_1_power_n - 1) / r / rp3 = PMT * (r_plus_1_power_n - 1) / rreturn p1 + p2 + p3def newtonRaphson2(FV,PMT,n,f,df,xmin,xmax,maxit,shift=0.0001,tol=1.0e-9):'''函数作⽤说明：计算组合收益率FV：⽬标⾦额PMT：每期投资⾦额n:定投期数f：函数值（根据要求的⽅程⾃定义）df：导数值（根据要求的⽅程⾃定义）xmin：根的下限xmax：根的上限maxit：最⼤迭代次数tol：计算精度'''import mathfxmin = f(FV, PMT, xmin, n)if fxmin == 0.0:return xminfxmax = f(FV, PMT, xmax, n)if fxmax == 0.0:return xmaxif fxmin * fxmax > 0.0:print('Root is not bracketed') # 在[xmin, xmax]内函数不变号（没根），或者是变了偶数次号（多个根）return 1if fxmin < 0.0: # 确定搜索⽅向使f(xl)<0xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = 0.5 * (xmin + xmax) # 根的预测值if x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 求f(x)和其⼀阶导数dxold = math.fabs(xmax - xmin) # 储存步长dx = dxoldfor ii in range(maxit):# ⽜顿法的解跳出解区间或者收敛速度太慢，则下⼀步改⽤⼆分法if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):# ⼆分法dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:# ⽜顿法dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dxif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xif math.fabs(dx) < tol: # 达到要求精度，返回找到的根print("total iterate time:%s " % ii)return xif x == 0:x += shiftfx, dfx = f(FV, PMT, x, n), df(FV, PMT, x, n) # 否则继续迭代，求f(x)和其⼀阶导数if fx < 0.0: # 使根保持在解区间内xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1### 测试⽤例：⾸先给定PMT，n，r_analytical，计算FV，然后利⽤PMT，n，FV计算r_numerical，两者应该相等##给定r_analytical计算FVR=0.1r_analytical = R / 12PMT = -4e3N = 30n = N * 12FV = -PMT * (1 + r_analytical) * (((1 + r_analytical)**n - 1)) / r_analytical##给定FV反解r_numericalr_numerical = newtonRaphson2(FV, PMT, n, f, df, -1, 1, 100, tol=1.0e-8)print('\nr_analytical=%s,\nr_numerical=%s\n' % (r_analytical, r_numerical))实现⼆：利⽤TensorFlow提供的⾃动微分计算导函数import numpy as npimport mathimport pandas as pdimport tensorflow as tfimport matplotlib.pyplot as plt##⼀个利⽤tensorflow的⾃动微分功能实现⽜顿法解⽅程的⼩程序class NewtonRaphson:def__init__(self, y, x, session):self.y = yself.x = xself.grad = tf.gradients(y, x)self.sess = sessionsess.run(tf.global_variables_initializer())def _fx(self, x_value):# 尽量避免出现f(x)不能计算的情况，⽐如函数试图计算a/0，log(0)等，如果计算结果为inf则x+0.0001再进⾏计算 temp = self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value]})[0]if np.isinf(temp):return self.sess.run(y, feed_dict={x: [x_value + 0.0001]})[0]else:return tempdef _dfx(self, x_value):return self.sess.run(self.grad, feed_dict={x: [x_value]})[0][0]def solve(self, xmin, xmax, maxiter, tol):fmin = self._fx(xmin)fmax = self._fx(xmax)if fmin == 0:return xminif fmax == 0:return xmaxif fmin * fmax > 0.0:raise ValueError('Root is not brackted!!')if fmin < 0:xl = xminxh = xmaxelse:xl = xmaxxh = xminx = (xmin + xmax) / 2fx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)dxold = math.fabs(xmax - xmin)dx = dxoldfor ii in range(maxiter):if ((x - xh) * dfx - fx) * ((x - xl) * dfx - fx) > 0.0 or (math.fabs(2 * fx) > math.fabs(dxold * dfx)):dxold = dxdx = 0.5 * (xh - xl)x = xl + dxelse:dxold = dxdx = fx / dfxtemp = xx -= dx# newtonif temp == x:print("total iterate time:%s " % ii)return xfx, dfx = self._fx(x), self._dfx(x)if fx < 0.0:xl = xelse:xh = xprint('Maximum number of iterations exceeded')return 1PV = 1e4FV = 3e6N = 20cpi = 0.018RATE = 0.15r = RATE / 12PMT = 10000x = tf.placeholder(shape=[1], dtype=tf.float32)y=r * (FV * (1 + cpi)**(N) - PV * (r + 1)**x) / ((r + 1)**x - 1 - r) - PMT sess = tf.InteractiveSession()solver=NewtonRaphson(y,x,sess)nmin = 2nmax = 300solver.solve(nmin,nmax,100,1e-9)Processing math: 0%。

牛顿法二阶矩阵为正定矩阵-概述说明以及解释

牛顿法二阶矩阵为正定矩阵-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述牛顿法是一种经典的数值优化方法，广泛应用于求解非线性方程、最优化问题等数学领域。

其基本思想是通过不断迭代逼近函数的最优解。

在牛顿法中，二阶矩阵的正定性是一个重要的条件，它影响着算法的稳定性、迭代速度以及收敛性。

二阶矩阵是指一个矩阵的维度为2×2，可以表示为：A = [a11 a12a21 a22]正定矩阵是指所有特征值均为正的矩阵。

对于二阶矩阵来说，它是正定矩阵的条件是主对角线元素a11和a22大于0，并且行列式a11*a22 - a12*a21大于0。

牛顿法中，二阶矩阵为正定矩阵的意义不容忽视。

首先，算法的稳定性得到了保证。

正定矩阵保证了牛顿法每次迭代都能够朝着极小值点的方向前进，避免了出现震荡、发散等问题。

其次，正定矩阵的存在保证了牛顿法的收敛性。

正定矩阵可以保证牛顿法的收敛速度比其他方法更快，能够更快地逼近最优解。

最后，正定矩阵的存在也影响了牛顿法的迭代速度。

正定矩阵可以提供更精确的方向信息，使得牛顿法能够更快地寻找到最优解。

综上所述，牛顿法中二阶矩阵为正定矩阵是非常重要的。

它保证了算法的稳定性、收敛性和迭代速度，为牛顿法的应用奠定了基础。

在实际问题中，我们需要对二阶矩阵的正定性进行判断，以确保牛顿法能够有效地求解问题。

对于二阶矩阵的正定性的重视，也引发了对于正定矩阵性质的深入研究和应用的重要性。

文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将以牛顿法二阶矩阵为正定矩阵为主题，从引言、正文和结论三个部分来展开。

具体结构如下：引言部分将对文章的主题进行概述，介绍牛顿法的基本原理和应用领域，并指出本文的目的。

正文部分将分为三个主要章节，分别为牛顿法简介、二阶矩阵与正定矩阵以及牛顿法中二阶矩阵为正定矩阵的意义。

其中，通过对牛顿法的原理、应用领域以及优缺点的介绍，读者可以对牛顿法有一个全面的了解。

然后，通过对二阶矩阵和正定矩阵的定义以及二阶矩阵为正定矩阵的条件进行讲解，读者可以掌握相关概念和定理。

牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法

§3.4 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

3.4.1 牛顿迭代法用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：1设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。

由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。

实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。

利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式： )(')(1k k k k x f x f x x -=+。

牛顿运动定律

牛顿运动定律
newton的运动定律是物体运动的基本原理，把物体运动表示为三种基本形式：匀速直线运动、匀加速直线运动以及圆周运动。

牛顿第一定律已经对物体运动进行了清晰的定义：“物体在没有外力作用的情况下，其运动情况保持不变”，也就是说只要物体处于实际情况不受到外界力的作用下，则其运动状态不变，无论是持续匀速运动，还是停止运动，都是符合物理规律的。

牛顿第二定律更加详细的描述了物体运动的情况：“施加在物体上的外力与其做出的运动量成正比，即受力大的物体做出的运动量也大”。

§2.3-牛顿(Newton)法及其变形

§2.3-牛顿(Newton)法及其变形2.3 牛顿（Newton ）法及其变形一、Newton 迭代方法● 牛顿迭代法计算公式的推导过程设*x 是()0f x =的根，()f x 在*x 的邻域内具有二阶连续导数，在*x 的邻域内取一点0x ，使0()0f x '≠，则()f x 在*x 的邻域内连续，将它在0x 点二阶Taylor展开得又()0f x =，则有故()0f x =的近似解000()()f x x x f x ≈-'，记0100()()f x x x f x =-' 类似，在点1x 处Taylor 展开，可得：111()()f x x x f x ≈-'，记1211()()f x x x f x =-' 依次往下做，可得一般的迭代格式：上述迭代格式称为求()0f x =的解的牛顿迭代法。

● 几何意义在点00(,())x f x 处作()f x 的切线，交x 轴于一点，求该点的横坐标。

此切线方程为当0y =时，得000()()f x x x f x =-'，正是1x 的值。

类似地，在点(,())k k x f x 作函数()f x 的切线，交 x 轴于一点，切线方程为当0y =时，得()()k k k f x x x f x =-'，正是1k x +的值。

所以，牛顿迭代法又称为切线求根法。

例6用牛顿迭代法求方程x x e -=在0.5x =附近的根。

解.将原方程化为()0x f x x e -=-=，则牛顿迭代格式为取00.5x =，迭代得与上一节例2-4相比,牛顿法的收敛速度快。

与埃特金法相当.注意：牛顿法的几何意义说明了，迭代初值0x 必须足够接近*x ，否则可能不收敛或收敛与其它的根。

牛顿迭代法的流程图二、Newton 迭代法的变形牛顿法的优点:收敛速度快。

牛顿法的缺点:每次迭代要计算一次导数值'()k f x ，当()f x 表达式复杂或无明显表达式时求解困难。

牛顿力学的应用和变形

牛顿力学的应用和变形牛顿力学是经典力学中的一个重要理论框架，由物理学家艾萨克·牛顿在17世纪末提出。

它描述了物体的运动以及力对物体产生的影响。

牛顿力学广泛应用于各个领域，包括机械工程、天体物理学、航天航空等。

本文将探讨牛顿力学的一些常见应用和其在实际中的一些变形。

首先，牛顿力学在机械工程中有着广泛的应用。

机械工程是研究物体如何通过力的作用进行运动和变形的学科。

牛顿力学提供了描述物体运动和受力的数学模型，为机械工程师提供了重要的理论基础。

例如，当我们分析一个机械系统的运动时，可以利用牛顿第二定律 F = ma 来确定物体所受的合力，并通过运动学方程描述物体的加速度和速度。

这些信息对于工程师来说是非常重要的，可以用来设计和优化机械系统。

其次，天体物理学也是牛顿力学的重要应用领域之一。

天体物理学研究天体对象的运动和相互作用，包括星球、行星、恒星、星系等的运动规律。

牛顿力学的三大定律提供了描述天体运动的基本规律。

例如，牛顿的万有引力定律描述了两个物体之间的引力作用，这对于研究行星围绕太阳的运动轨迹以及涉及到重力相互作用的其他天体现象非常重要。

利用牛顿力学可以计算天体的运动轨道、轨道周期等参数，并对天体运动的稳定性进行分析。

此外，在航天航空领域，牛顿力学发挥着重要作用。

例如，火箭的运行原理可以通过牛顿力学来解释。

火箭推进力的产生和运行过程都可用牛顿的第三定律来描述。

在航天器发射过程中，牛顿的第二定律可以用来计算所需的推力大小以及火箭所受的重力和空气阻力等影响因素。

牛顿力学的运动学和动力学方程是控制和预测火箭运动的关键。

然而，虽然牛顿力学在广泛领域中有重要应用，但也存在一定的局限性，经过长期研究和实践，人们发现在一些特殊情况下，牛顿力学的描述不再适用，需要引入更为精确和综合的理论。

例如，在微观尺度下，物体的运动和相互作用受到量子力学的影响；在高速运动和强引力场中，相对论效应变得显著，需要使用爱因斯坦的相对论。