人教a版必修4学案：1.1.2弧度制(含答案)

1.1.2 弧度制
自主学习
知识梳理 1．角的单位制
(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：把长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________． (3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：__________；这里α的正负由角α的____________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是______．
2
3.
我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r ，圆心角弧度数为α)．
对点讲练
知识点一 角度制与弧度制的换算
例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π
12
化成角度．
回顾归纳 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°
即可解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以180°
π
即可．
变式训练1 将下列角按要求转化： (1)300°＝________rad ；(2)－22°30′＝________rad ； (3)8π
5＝________度．
知识点二 利用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：
(1)－1 500°； (2)23π
6
； (3)－4.
回顾归纳 在同一问题中，单位制度要统一．角度制与弧度制不能混用． 变式训练2 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．
知识点三 弧长、扇形面积的有关问题
例3 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
回顾归纳 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．
变式训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式．
易知：度数×π
180
rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.
课时作业
一、选择题 1．与30°角终边相同的角的集合是( )
A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝k ·360°＋π6，k ∈Z B ．{α|α＝2k π＋30°，k ∈Z } C ．{α|α＝2k ·360°＋30°，k ∈Z }
D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α|α＝2k π＋π6，k ∈Z 2．集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π
2，k ∈Z }的关系是( )
A ．A ＝
B B ．A ⊆B
C ．B ⊆A
D ．以上都不对
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2
C.2sin 1
D ．2sin 1 4．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( ) A ．∅
B ．{α|－4≤α≤π}
C ．{α|0≤α≤π}
D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
5．扇形圆心角为π
3
，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．4∶3
D ．4∶9
二、填空题
6．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
7．若2π<α<4π，且α与－7π
6角的终边垂直，则α＝________.
8．若角α的终边与角π
6
的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝____________.
三、解答题
9．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示)．
10. 如右图，已知扇形OAB 的中心角为4，其面积为2 cm 2，求扇形的周长和弦AB 的长．
1.1.2 弧度制
答案
知识梳理
1．(1)1
360 (2)半径长 1 rad
(3)|α|＝l
r
终边的旋转方向 正数 负数 0
解 半径为r ，圆心角n °的扇形弧长公式为l ＝n πr
180
，
扇形面积公式为S 扇＝n πr
2360
.
∵l 2πr ＝|α|
2π，∴l ＝|α|r . ∵S 扇S 圆＝S 扇πr 2＝|α|2π
，∴S 扇＝1
2|α|r 2.
∴S 扇＝12|α|r 2＝1
2
lr .
对点讲练
例1 解 (1)∵112°30′＝112.5°＝⎝⎛⎭⎫
2252° ＝2252×π180＝5π8. (2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭
⎫180π°＝－105°.
变式训练1 (1)5π3 (2)－π
8
(3)288
例2 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300° ＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋5π
3
，是第四象限角．
(2)∵23π6＝2π＋11π6，
∴23π6与11π6
终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
变式训练2 －10π＋7π
4
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，
∴－1 485°可以表示为－10π＋7π
4
.
例3 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r .
∴S ＝12lr ＝1
2
×(40－2r )r ＝20r －r 2
＝－(r －10)2＋100.
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，
此时θ＝l r ＝40－2×10
10
rad ＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 变式训练3 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4，
∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1
2
lR ，
得1＝1
2
(4－2R )·R ，
∴R ＝1，∴l ＝2，
∴α＝l R ＝2
1
＝2，
即扇形的圆心角为2 rad. 课时作业 1．D 2.A
3．C [r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2
sin 1
.]
4．D [集合A 限制了角α终边只能落在x 轴上方或x 轴上．]
5．B [设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ，则R ＝r ＋r
sin
π6
＝r ＋2r ＝3r .
∴S 内切＝πr 2
.
S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.
∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.] 6．25
解析 216°＝216×π180＝6π
5，
l ＝30π＝α·r ＝6π
5
r ，∴r ＝25.
7.7π3或10π3
解析 －7π6＋7π2＝14π6＝7π
3
，
－7π6＋9π2＝20π6＝10π3. 8．－11π3，－5π3，π3，7π3
解析 由题意，角α与π
3
终边相同，
则π3＋2π＝7π3， π3－2π＝－5π3，π3－4π＝－11π3
. 9．解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫
α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .
(2)⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
α|2k π－34π≤α≤2k π＋3π4，k ∈Z .
(3)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .
10．解 设AB 的长为l ，半径OA ＝r ，
则S 扇形＝1
2
lr ＝2，
∴lr ＝4， ①
设扇形的中心角∠AOB 的弧度数为α，
则|α|＝l
r ＝4，
∴l ＝4r ， ② 由①、②解得r ＝1，l ＝4.
∴扇形的周长为l ＋2r ＝6 (cm)， 如图作OH ⊥AB 于H ，
则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－4
2
＝2r sin(π－2)＝2r sin 2(cm)．。