公开课平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用在数学中，向量是一种包含大小和方向的量，常用来表示物理量。
而平面向量则是指位于同一平面上的向量。
为了便于描述和计算，我们通常使用坐标来表示平面向量。
本文将探讨平面向量的坐标表示及其应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示，例如向量AB可以表示为(AB)，其中A和B是平面上的两个点。
而这个有序数对的坐标表示即为平面向量的坐标。
对于平面上的点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，向量AB的坐标表示为：(AB) = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)这样，我们就可以用有序数对表示平面向量，并通过坐标的差值表示向量的方向和大小。
二、平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，我们可以类比于进行普通的数学运算。
主要涉及到向量的加法、减法和数乘。
1. 向量的加法设有两个向量AB和CD，它们的坐标分别为(AB) = (x₁, y₁)和(CD) = (x₂, y₂)。
那么这两个向量的和为：(AB + CD) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)向量的加法相当于分别对向量的x轴和y轴分量进行相加。
2. 向量的减法向量的减法可以通过向量的加法和数乘来表示。
设有两个向量AB 和CD，那么它们的差为：(AB - CD) = (AB + (-CD))其中(-CD)是向量CD的相反向量，其坐标为=(-x₂, -y₂)。
将其带入上式，可得：(AB - CD) = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)向量的减法相当于向量的加法和数乘的结合运算。
3. 向量的数乘设有向量AB，那么它与一个实数k的数乘表示为：k(AB) = (kx, ky)其中kx和ky分别为向量AB的x轴和y轴分量乘以k。
三、平面向量的坐标表示应用平面向量的坐标表示在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用。
1. 向量的平移平面向量的坐标表示可以用于描述平面上的点的平移，即将一个点沿着一个向量进行移动。
平面向量坐标表示公式
平面向量坐标表示公式1. 介绍平面向量是二维空间中的有向线段，由模长和方向唯一确定。
平面向量可以使用坐标表示，这样可以方便地进行向量运算和表达。
2. 坐标表示公式平面向量的坐标表示公式如下：\(\vec{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)其中，\(x\) 和 \(y\) 分别表示平面向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
3. 向量加法平面向量的加法可以通过分别相加各个分量来实现。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix}\) 和\(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，它们的和向量为 \(\vec{w} = \begin{bmatrix} w_x \\ w_y \end{bmatrix}\)，则有：\(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{bmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{bmatrix}\)4. 向量数量乘法平面向量的数量乘法可以通过分别乘以常数来实现。
设有一个平面向量 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \end{bmatrix}\)，常数为 \(k\)，则数量乘积为 \(k\vec{v} = \begin{bmatrix} kv_x \\ kv_y \end{bmatrix}\)。
5. 向量点积平面向量的点积可以用分别相乘各个对应分量再求和的方式来计算。
设有两个平面向量 \(\vec{u} = \begin{bmatrix} u_x \\ u_y\end{bmatrix}\) 和 \(\vec{v} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y\end{bmatrix}\)，它们的点积为 \(u \cdot v = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y\)。
平面向量的坐标表示课件
CHAPTER 04
平面向量坐标表示的几何意义
向量的长度和方向
总结词
向量的长度表示向量的大小，方向表示向量的指向。
详细描述
在平面上，一个向量可以用坐标表示为起点和终点的坐标差值。向量的长度可 以通过勾股定理计算，方向可以通过起点和终点的位置确定。
向量的夹角和向量的数量积
总结词
向量的夹角表示两个向量之间的 角度，向量的数量积表示两个向 量之间的相似度。
应用
在物理和工程中，数乘运算常用于描述力的合成与分解、速度和加速度 的计算等。
CHAPTER 03
平面向量坐标表示的应用
向量模的计算
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量模是衡量向量大小的一 个重要指标，通过坐标表示 可以方便地计算向量的模。
向量模的计算公式为 $sqrt{x^2 + y^2}$，其中 $x$和$y$分别为向量在x轴和 y轴上的分量。通过坐标表示 ，我们可以直接使用这个公
总结词
详细描述
总结词
详细描述
向量的投影是向量在某个方向 上的分量，通过坐标表示可以 方便地计算向量的投影。
向量的投影公式为 $frac{xcostheta + ysintheta}{sqrt{x^2 + y^2}}$，其中$(x, y)$为向量 的坐标，$theta$为投影方向 与x轴的夹角。使用这个公式 可以计算出向量在任意方向上 的投影。
overset{longrightarrow}{F_{1}} + overset{longrightarrow}{F_{2}}$。
速度和加速度的合成与分解
速度的合成
当物体同时参与两个方向上的运动时，其合 速度可以通过平面向量的加法运算得到。例 如，向量 $overset{longrightarrow}{v_{1}}$和 $overset{longrightarrow}{v_{2}}$分别表 示两个方向上的速度，合速度 $overset{longrightarrow}{v}$可以通过向 量加法$overset{longrightarrow}{v} = overset{longrightarrow}{v_{1}} + overset{longrightarrow}{v_{2}}$得到。
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
为了表示和计算平面向量，我们常常使用坐标表示法。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法，以及如何进行向量的加法、减法和数量乘法运算。
1. 坐标表示法简介在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对表示一个点的坐标。
同样地，我们也可以用有序数对$(x,y)$来表示一个平面向量。
其中，$x$表示向量在$x$轴上的分量，$y$表示向量在$y$轴上的分量。
2. 向量的加法对于平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的和可以通过分别将它们的$x$分量相加，$y$分量相加得到：$$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_1+x_2, y_1+y_2)$$3. 向量的减法平面向量的减法可以通过将被减向量取负后与减向量相加得到。
对于向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，它们的差可以表示为：$$\mathbf{a}-\mathbf{b}=\mathbf{a}+(-\mathbf{b})=(x_1-x_2, y_1-y_2)$$4. 向量的数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量都乘以一个实数。
对于平面向量$\mathbf{a}=(x,y)$和实数$k$，其数量乘积为：$$k\mathbf{a}=(kx, ky)$$5. 向量的坐标表示在几何上的意义通过坐标表示法，我们可以将平面向量转化为有向线段。
以原点$(0,0)$为起点，平面向量$(x,y)$的终点坐标为$(x,y)$。
直观地，这个有向线段从原点指向$(x,y)$，表示向量的大小和方向。
6. 向量的线性组合由于向量的加法和数量乘法运算，我们可以进行向量的线性组合。
给定平面向量$\mathbf{a}=(x_1,y_1)$和$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$以及实数$k_1$和$k_2$，它们的线性组合可以表示为：$$k_1\mathbf{a}+k_2\mathbf{b}=(k_1x_1+k_2x_2,k_1y_1+k_2y_2)$$线性组合的几何意义是将$k_1$倍的$\mathbf{a}$和$k_2$倍的$\mathbf{b}$相加得到一个新的向量。
平面向量的坐标表示和向量方程
平面向量的坐标表示和向量方程平面向量是在平面上可平移的有向线段，用来表示平面上的大小和方向。
在解决平面向量问题时，我们常常需要使用坐标来表示向量和向量方程。
一、平面向量的坐标表示一般情况下，我们使用平面直角坐标系来表示平面向量。
在二维平面直角坐标系中，一个平面向量可以由其水平和垂直方向的分量表示。
假设有一个向量AB，它的起点为A(x1, y1)、终点为B(x2, y2)，则向量AB的表示形式为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里，x2 - x1表示水平方向的分量，y2 - y1表示垂直方向的分量。
这种表示方式也被称为坐标表示。
二、向量方程向量方程是通过向量的起点和终点表示的方程，通常用于描述平面上的直线、曲线等几何问题。
对于平面向量的方程，一般形式如下：r = a + λb其中，r是位于平面上的任意一点的位置向量，a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
解析上述向量方程，可以得到点P(x, y)的坐标表示：OP = a + λb这里，P(x, y)是位于平面上的任意一点，O是坐标系的原点。
a是向量的起点位置向量，b是平面上的一个固定向量，λ是实数。
通过这种向量方程的表示方法，我们可以方便地描述平面上的直线、曲线以及其他几何形状。
三、平面向量的基本运算1. 向量加法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的和记作a + b，其坐标表示为(x1 + x2, y1 + y2)。
2. 向量减法：对于平面上的两个向量a(x1, y1)和b(x2, y2)，它们的差记作a - b，其坐标表示为(x1 - x2, y1 - y2)。
3. 数乘运算：对于平面上的一个向量a(x, y)和一个实数k，它们的数乘记作k * a，其坐标表示为(kx, ky)。
通过以上基本运算，我们可以对平面向量进行加法、减法和数乘运算，从而解决各种与平面向量相关的问题。
四、平面向量的应用平面向量在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是在力学、动力学和几何形状的描述中。
平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
平面向量的坐标表示和应用
平面向量的坐标表示和应用平面向量是我们在平面上研究几何和物理问题时经常遇到的重要概念。
平面向量有多种表示方法，其中坐标表示是最常用和最方便的一种。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及其在实际问题中的应用。
一、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示是指使用带方向的有序数对来表示一个向量。
在二维平面中，一个向量可以表示为矩阵形式：AB = (x, y)其中，(x, y)表示向量AB在x轴和y轴上的投影长度。
x表示向量在x轴上的投影长度，y表示向量在y轴上的投影长度。
这种表示方法相对简洁明了，方便计算和应用。
在直角坐标系中，我们可以利用两点的坐标来确定一个向量的坐标表示。
考虑两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，可以得到向量AB的坐标表示：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这里的(x2 - x1)表示向量在x轴上的投影长度，(y2 - y1)表示向量在y轴上的投影长度。
二、平面向量的应用平面向量的坐标表示不仅仅是一种数学工具，也是解决实际问题的重要手段。
下面我们将介绍平面向量坐标表示的一些具体应用。
1. 位移问题平面向量的坐标表示可以用于描述位移问题。
假设一个物体在平面上从点A(x1, y1)移动到点B(x2, y2)，我们可以用向量表示物体的位移：AB = (x2 - x1, y2 - y1)这个向量就表示了物体从A点到B点的位移情况。
通过计算向量的模长和方向，我们可以得到具体的位移距离和方向角度。
2. 力的合成平面向量的坐标表示还可以用于描述力的合成问题。
假设一个物体受到两个力F1和F2的作用，我们可以用向量表示这两个力的合力：F = F1 + F2通过将两个力的向量相加，我们可以得到其合力的坐标表示。
这个合力向量可以帮助我们确定物体受力的大小和方向。
3. 速度和加速度问题平面向量的坐标表示在描述速度和加速度问题时也非常有用。
假设一个物体在平面上沿着某个路径运动，我们可以用向量表示物体的速度和加速度：速度 V = (v1, v2)加速度 A = (a1, a2)其中v1和v2表示速度在x轴和y轴上的分量，a1和a2表示加速度在x轴和y轴上的分量。
公开课平面向量的坐标表示课件
2023
PART 04
平面向量坐标表示的实例 分析
REPORTING
力的合成与分解的实例分析
力的合成
当有两个力同时作用在一个物体上时，其总作用力可以用向量表示。例如，当一个物体受到两个力$F_1$和 $F_2$的作用，其合力的向量表示为$F = F_1 + F_2$。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分力。分力的大小和方向可以通过向量的分解得到。例如，一个力$F$可以分解为 两个分力$F_1$和$F_2$，其向量表示为$F = F_1 + F_2$。
练习题 三
总结词
理解向量的数量积与坐标之间的 关系
详细描述
通过计算给定向量的数量积，理 解数量积的计算方法，掌握数量
积与坐标之间的关系。
答案
给定向量$vec{a}=(x_1, y_1)$和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，其数量积
的坐标表示为$x_1x_2 + y_1y_2$。
2023
REPORTING
力的矩的实例分析
定义
力矩是一个向量，表示力对物体转动效果的影响。在二维平面中，如果一个力$F$作用 在一个点上，其力矩向量表示为$M = F times d$，其中d是该点到转动轴的距离。
实例
假设有一个门，我们想打开它。作用在门上的推力可以看作是一个力$F$，而门轴到推 力作用点的距离可以看作是d。如果我们知道推力和门轴的距离，就可以计算出打开门
加速度的向量表示
物体的加速度可以表示为速度向量的时间导数。在二维平面中，如果物体的速度向量为 $overset{longrightarrow}{v} = x' vec{i} + y' vec{j}$，则其加速度向量为 $overset{longrightarrow}{a} = x'' vec{i} + y'' vec{j}$。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
平面向量的坐标表示和坐标变换
平面向量的坐标表示和坐标变换平面向量在数学和物理学中具有广泛的应用，它们可以通过坐标表示和进行坐标变换。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及常见的坐标变换。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，平面向量可以使用坐标表示。
对于一个平面向量，我们可以用一个有序数对(a, b) 来表示，其中a为向量在x轴上的投影，b为向量在y轴上的投影。
这种表示方法被称为分量表示法。
例如，对于平面向量a，其坐标表示为 (a₁, a₂)。
其中，a₁为向量在x轴上的投影，a₂为向量在y轴上的投影。
二、坐标表示的运算1. 向量加法两个平面向量的坐标表示相加，可以分别将其水平和垂直分量相加。
假设有向量a(a₁, a₂)和向量b(b₁, b₂)，它们的和向量c 可以表示为：c = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)2. 向量数量乘法向量的数量乘法即将向量的每个分量与一个实数相乘。
假设有一个向量a(a₁, a₂)和一个实数k，那么向量a与k的乘积可以表示为：ka = (ka₁, ka₂)三、坐标变换在平面向量的研究中，常常需要进行不同坐标系之间的转换。
这就需要进行坐标变换。
1. 坐标系的平移当坐标系发生平移时，向量的坐标表示也会发生变化。
假设有一个向量a，其在原始坐标系下的坐标表示为(a₁, a₂)，经过平移后，坐标系的原点移动到新的坐标原点P。
那么，向量a在新坐标系下的坐标表示为(a₁ + p, a₂ + q)，其中(p, q)为坐标系的平移向量。
2. 坐标系的旋转当坐标系发生旋转时，向量的坐标表示也会发生变化。
假设有一个向量a，其在原始坐标系下的坐标表示为(a₁, a₂)，经过逆时针旋转角度θ 后，向量a在新坐标系下的坐标表示为：a' = (a'₁, a'₂)其中，a'₁ = a₁cosθ - a₂sinθa'₂ = a₁sinθ + a₂cosθ3. 坐标系的缩放当坐标系发生缩放时，向量的坐标表示也会发生变化。
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中扮演着重要的角色。
平面向量的坐标表示及计算方法是我们学习平面向量的基础，下面我将结合具体的题目，详细介绍平面向量的坐标表示及计算方法。
一、坐标表示平面向量可以用一个有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标。
对于平面上的一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
例如，给定平面上两点A(2, 3)和B(5, 1)，我们可以通过这两个点得到向量AB 的坐标表示。
向量AB的x轴分量为5-2=3，y轴分量为1-3=-2，因此向量AB的坐标表示为(3, -2)。
二、向量的加减法对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的加法定义为：a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
这意味着向量的加法就是将它们的对应分量相加。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算出它们的和向量c=a+b。
根据定义，c的x轴分量为2+(-1)=1，y轴分量为3+4=7，因此向量c的坐标表示为(1, 7)。
同样地，向量的减法也可以通过对应分量相减得到。
对于向量a和b，它们的减法定义为：a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
三、向量的数量积向量的数量积也叫点积，它是两个向量的乘积的数量表示。
对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的数量积定义为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们的数量积。
根据定义，a·b=2*(-1)+3*4=8。
四、向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a，即数量积的结果与向量的顺序无关。
2. 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为任意实数。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算在数学中，平面向量是一个有方向和大小的量。
它可以用坐标表示，并且可以进行一些基本的运算，比如加法和乘法。
本文将介绍平面向量的坐标表示与运算。
1. 平面向量的坐标表示平面向量可以用有序数对表示其坐标，通常用大写字母表示向量。
假设有一个向量AB，其起点是A，终点是B。
向量AB的坐标表示为(Ax, Ay)，其中Ax表示向量在x轴上的分量，Ay表示向量在y轴上的分量。
2. 平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的和向量EF的坐标可以通过分别将Ax与Cx相加得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相加得到新向量的y轴分量来表示。
EF的坐标表示为(EF_x, EF_y)，其中EF_x = Ax + Cx，EF_y = Ay + Cy。
3. 平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
假设有向量AB，其坐标为(Ax, Ay)，实数k表示数乘因子。
那么该向量的数乘结果向量AC的坐标可以通过将Ax与k相乘得到新向量的x轴分量，将Ay与k相乘得到新向量的y轴分量来表示。
AC的坐标表示为(AC_x, AC_y)，其中AC_x = Ax * k，AC_y = Ay* k。
4. 平面向量的零向量零向量是指所有分量均为0的向量，通常用0表示。
对于任意向量AB，与其相加的零向量的坐标为(0, 0)。
即，任意向量与零向量相加，结果向量仍为原向量。
5. 平面向量的减法平面向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设有向量AB和向量CD，它们的坐标分别为(Ax, Ay)和(Cx, Cy)。
那么两个向量的差向量GH的坐标可以通过分别将Ax与Cx相减得到新向量的x轴分量，将Ay与Cy相减得到新向量的y轴分量来表示。
GH的坐标表示为(GH_x, GH_y)，其中GH_x = Ax - Cx，GH_y =Ay - Cy。
平面向量的坐标表示和标准单位向量
平面向量的坐标表示和标准单位向量平面向量是平面上具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在平面坐标系中，可以使用坐标表示平面向量。
一、平面向量的坐标表示平面坐标系通常用直角坐标系表示，以原点O为起点，建立x轴和y轴。
对于平面上的一个点P，我们可以用坐标(x, y)表示其位置。
类似地，平面向量可以使用坐标表示。
设平面向量为a，其起点为原点O，终点为点P(x, y)。
我们可以用(a₁, a₂)表示向量a的坐标表示。
其中，a₁表示向量a在x轴上的投影长度，a₂表示向量a在y轴上的投影长度。
二、标准单位向量标准单位向量是指长度为1的向量，常用i和j表示。
在平面直角坐标系中，i表示沿x轴正方向的单位向量，j表示沿y轴正方向的单位向量。
标准单位向量具有以下特点：1. i向量的坐标表示为(1, 0)，即在x轴上的投影长度为1，y轴上的投影长度为0。
2. j向量的坐标表示为(0, 1)，即在x轴上的投影长度为0，y轴上的投影长度为1。
三、平面向量的坐标表示与标准单位向量的关系对于一个平面向量a，其坐标表示为(a₁, a₂)。
我们可以用标准单位向量来表示平面向量a。
a = a₁ * i + a₂ * j在这个表达式中，a₁ * i表示在x轴上的分量，a₂ * j表示在y轴上的分量。
将两者相加即可得到平面向量a的坐标表示。
例如，对于平面向量a(3, 4)，其坐标表示为3 * i + 4 * j。
这表示向量a在x轴上的分量为3，y轴上的分量为4。
四、平面向量的加法和减法根据平面向量的坐标表示，我们可以进行向量的加法和减法运算。
设向量a的坐标表示为(a₁, a₂)，向量b的坐标表示为(b₁, b₂)。
向量a + 向量b的坐标表示为(a₁ + b₁, a₂ + b₂)。
向量a - 向量b的坐标表示为(a₁ - b₁, a₂ - b₂)。
五、平面向量的数量乘法在平面向量的坐标表示中，我们可以对向量进行数量乘法运算。
公开课平面向量的坐标表示
AB (x2 x1, y2 y1)
x
a
b
O
( x1
x2 ,
y1
y2
)
a
b
a
(x1
(x1,
x2 , y1
y1 )
y2
)
求向量 DA 的坐标
教材改编
2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
AB 2,0, AC 1,3,则BD
08高考
【知识回顾】
已知 a (x1, y1) ，b (x2, y2 ) ，你能得出a b，a b ， a 的坐标吗？
y
A(x1, y1)
OA (x1, y1)
B(x2 , y2 )
向量的正交分解: 基底e1 , e2互相垂直
探索1: 以O为起点，A为终点的向量能
否用坐标表示？如何表示？
yA a
o
x
4
3
P（3，2）
2
2j
1
j
-2
2
4
6
Oi
3i
-1
OP 3i 2 j
-2
记
OP = (3, 2)
-3
探索1:
4 向量OA的坐标表示
3
2
yj
a
1
j
-2
Oi
OA xi y j -1 向量a
课堂练习
1已知向量a (x 3, x 3y-4)与 AB相等，其中A（1，2），B（3，2），求x，y
苏教版必修四 P79 T8
2已知A (2, 1), B (4,8), 若AB 3BC 0, 求OC的坐标.
苏教版必修四教材P79 T9
思考： 1、已知向量 AB ＝（6，1），
平面向量的坐标表示与方向角
平面向量的坐标表示与方向角平面向量是平面上的有向线段，既有大小又有方向。
为了方便表示和计算，我们可以使用坐标表示和方向角来描述平面向量。
一、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以使用二维坐标来表示平面上的点。
同样地，我们可以使用两个实数来表示一个平面向量。
设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂, y₂)。
则向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，其中Δx = x₂ - x₁，Δy = y₂ - y₁。
举例说明：若A(1, 2)和B(4, 5)是平面上的两个点，可以计算得到向量AB的坐标表示为(3, 3)。
二、平面向量的方向角平面向量的方向可以用方向角来表示。
方向角是从正 x 轴逆时针旋转到向量所在直线的角度。
设平面向量为AB，与正 x 轴的夹角为θ（0 <= θ < 2π）。
则向量AB的极坐标表示为(│AB│, θ)，其中│AB│表示向量AB的长度。
计算方向角θ的方法如下：1. 若向量AB的坐标表示为(Δx, Δy)，则有tanθ = Δy/Δx。
- 当Δx > 0时，θ = arctan(Δy/Δx)。
- 当Δx = 0且Δy > 0时，θ = π/2。
- 当Δx = 0且Δy < 0时，θ = 3π/2。
- 当Δx < 0时，θ = arctan(Δy/Δx) + π。
2. 根据θ的值的范围，进行调整使其满足0 <= θ < 2π。
举例说明：若向量AB的坐标表示为(3, 3)，则有tanθ = 3/3 = 1，所以θ = π/4。
由于0 <= π/4 < 2π，θ = π/4就是向量AB的方向角。
三、使用坐标表示和方向角求解平面向量的运算使用坐标表示和方向角可以方便地进行平面向量的运算，包括加减法和数量乘法。
1. 加减法：设向量AB的坐标表示为(Δx₁, Δy₁)，向量CD的坐标表示为(Δx₂, Δy₂)。
平面向量的坐标表示
j O i x
我们把实数对（x,y）叫作向量a的坐标，记作 a =(x,y)
这是向量a的坐标表示．
例１ 在平面内以点Ｏ的正东方向为x轴正向，正北方向为y轴
正向建立直角坐标系．质点在平面内做直线运动．分别求下列
位移向量的坐标： (1)向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位; (2)向量b表示沿西偏北60 方向移动了3个长度单位; (3)向量c表示沿东偏南30 方向移动了4个长度单位;
Q
y
b
P
j
a
i P’ c R’
(2)QOQ 60，| OQ | 3,
Q’ O
3 3 所以b OQ OQ Q Q i 3j 2 2 3 3 3 所以b ( , ) 2 2
x
R
(3)ROR 30，| OR | 4, 所以c Or OR RR 2 3i 2 j 所以c (2 3,2)
Q
y
b
Q’ O j
P a
i P’ c R’
x
解：设OP a, OQ b, OR c, 并设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), R( x3 , y3 ),
R
(1)由图可知， POP 45，| OP | 2, 所以a OP OP PP 2i 2 j 所以a ( 2 , 2 )
４.1 平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中 ， 分别取与x轴，y 轴方向相同的两个 单位向量i, j作为基底，a 为坐标平面内的任意向 量。
以坐标原点 O为起点作 OP a
由平面向量基本定理可 知， 有且只有一对实数 x, y， 使得 OP xi yj
因此a xi Leabharlann yjy P(x,y) a
高中_平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示【根底知识精讲】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴正方向一样的两个单位向量i、j作为基底，对任一向量a，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数(x,y)，使得a=x i+y j,那么实数对(x,y)叫做向量a的直角坐标(简称坐标)，记作a=(x,y)，其中x和y分别称为向量a的x轴上的坐标与y轴上的坐标，而a=(x,y)称为向量的坐标表示.相等的向量其坐标一样.同样，坐标一样的向量是相等的向量.显然i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)2.平面向量的坐标运算：(1)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.如果A(x1，y1)、(x2,y2)，那么AB=(x1-x2,y1-y2)(3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标.假设a=(x,y),那么λa=(λx,λy)向量a、b(b≠0)，那么a∥b的充要条件为存在实数λ，使a=λb.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)( b≠0)那么a∥b的充要条件为：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，此入向量的坐标表示以后，可以使向量运算完全代数化，将数与形严密地结合起来，这样很多的几何问题的证明，就可以转化为学生熟悉的数量的运算.两个向量相加减，是这两个向量的对应坐标相加减，这个结论可以推广到有限个向量相加减.【重点难点解析】a 的坐标与表示该向量的有向线段的起始点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系，即两个向量不管它们的起始点坐标是否一样，只要这两个向量的坐标一样，那么它们就是相等向量. 两个向量如果是相等的，那么它们的坐标也应该是一样的. AB 的坐标是终点的坐标减去始点的对应坐标，而不是始点的坐标减去终点的坐标.λ与向量a 的积的运算时，λ应与a 的相应坐标相乘，以下的结论都是错误的.设λ∈R ，a =(x,y)λa =λ(x,y)=(λx,y) 或λa =λ(x,y)=(x,λy)例1 假设向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，那么x=例2 a =(3x+4y,-2x-y), b =(2x-3y+1,-3x+916y+3)，假设2a =3b ,试求x 与y 的值.例3 平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.解：如图，设OA =(3,-2), OB =(5,-2), OC =(-1,4), OD =(x,y) 依题意，AB =DC 或AC =DB 或AB =CD由AB =DC ，可得：OB -OA =OC -OD即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y) (2,4)=(-1-x,4-y)∴D(-3，0)同理，假设AC=DB可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,-4)假设AB=CD可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8. ∴D(1,8)∴点D的坐标为(-3，0)或(9，-4)或(1，8)例4｜a｜=10, b=(3,-4),且a∥b,求a.例5a=(3,2), b=(-2,1), c=(7,-4),用a，b表示c.例6如图，凸四边形ABCD中，E、F分别是AB与CD的中点，试证：2EF=AD+BC【难题巧解点拔】例1：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)假设AP=AB+λ·AC (λ∈R),试求λ为何值时，点P在一、三象限角平分线上?点P在第三象限内?例2如图OA=a,OB=b, OC=c,求证A、B、C三点在一条直线上的充要条件是：有不全为0的实数m,n,l，使得l a+m b+n c=0且l+m+n=0【典型热点考题】例1 假设向量a =(1,2), b =(x,1), u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ，那么x= . 解：u =(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3) 由u ∥v ,一定存在λ∈R ，使u =λv那么有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)⎩⎨⎧=-=+λλ34)2(12x x 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2134x λ ∴应填21. 例2 假设点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，那么点D 的坐标为 .例3 假设A 、B 、C 三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，那么AB +2BC ，BC -21AC 的坐标分别为 、 . 例4 a ≠0，b ≠0, a 不平行于b ,求证：a +b 不平行于a -b .。
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教学目标
1．理解平面向量的坐标含义，会求向量的坐标
2．掌握平面向量的坐标运算；
一、知识网络图
实际 背景 向量
几何表示 符号表示
向量的运算 加法、减法、数乘
数量积
坐标表示
向量 的应 用
复
习
1、平面向量基本定理的内容是什么？
2、什么是向量的正交分解？
平面向量基本定理: 如果 e1 , e2是同一平面内的两个不共 线的向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a ，有且只有一对实数 λ1 , λ2 使得a = λ1 e1+ λ2 e2
例题解析
uuur 写出以 A(x1, y1) 为起点, B(x2, y2 ) 为终点的向量 AB的坐标.
uuur uuur uuur
AB OB OA
r r rr
y
x2i y2 j (x1i y1 j)
r
r
(x2 x1)i ( y2 y1) j
A(x1, y1)
uuur
AB (x2 x1, y2 y1)
r2
yj
a
1
j
-2
uuur r rO i
OA xi y j -1 向量a
uuur
-2
OA (x, y)
-3
A（x，y）
r 2
4
6
xi
一 一 对 应 A点坐标（x ，y）
说明：
y a
A(x, y)
（1）从原点引出的向量OA 的坐标 (x, y)就是点 A的坐标． a j
（2）相等向量的坐标也相同；
r
ur
rr
已知 a (x1, y1) ，b (x2, y2)，a b
坐标如何求？
y
，ar
r b
，
r a
A(x1, y1)
B(x2 , y2 )
x
O
向量的坐标运算 a (x1, y1),b (x2 , y2 ) 则：a b (x1 x2 , y1 y2 ) a b (x1 x2 , y1 y2 )
2已知A (2, 1), B (4,8), 若AB 3BC 0, 求OC的坐标.
苏教版必修四教材P79 T9
思考： 1、已知向量 AB ＝（6，1），
BC ＝u（uur1 ,－3），CD ＝（－1,－2），
求向量 DA 的坐标
教材改编
2 在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若
uuur
O
D
C x
四边形OCDA是平行四边形？ B
已知
uuur AB
r a
求下列点的坐标
r
1 a 4,5, A 2,3,求B的坐标
r
2 a 4,5, B 2,3,求A的坐标
课堂练习
1已知向量a (x 3, x 3y-4)与 AB相等，其中A（1，2），B（3，2），求x，y
苏教版必修四 P79 T8
uuur
uuur
AB 2,0, AC 1,3,则BD
08高考
【知识回顾】
已知
r a
( x1 ,
y1 )
，br
(x2 ,
y2 )
，你能得出r a源自br ，arr b，
r a
的坐标吗？
y
A(x1, y1)
OA (x1, y1)
B(x2 , y2 )
AB (x2 x1, y2 y1)
x
a
b
1
B(x2, y2 )
O1
x
一个重要结论：
已知点A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则向量AB （x2 x1，y2 y1）
说明：一个向量的坐标等于表示此向量的终
点的坐标减去起点的坐标． (终点减起点)
y
例2 如图，已知
A(1,3), B(1, 3)，C(4,1)， A
D(3, 4)，求向量OA,OB, AO, CD的坐标。
向量的正交分解: 基底e1 , e2互相垂直
探索1: 以O为起点，A为终点的向量能
否用坐标表示？如何表示？
yA a
o
x
4
3
P（3，2）
2
r 2j
1
j
-2
r2
4
6
Oi
3i
-1
uuur r r
OP 3i 2 j
-2
uuur 记
OP = (3, 2)
-3
探索1:
uuur 4 向量OA的坐标表示
3
O
( x1
x2 ,
y1
y2
)
a b (x1 x2 , y1 y2 )
a(x1, y1)
a (x1, y1)
练习，已知a (2,1),b (3, 4), 求-2a, a b, a b,3a 4b的坐标。
解：-2a 4, 2
a b (2,1) (3, 4) （1，5） a b (2,1) (3, 4) （5， 3） 3a 4b 3(2,1) 4(3, 4) （ 6，19）
Oi
x
r
r
rr
a x1, y1 ,b x2, y2 , a b x1 x2且y1 y2
向量基底形式 向量的坐标形式
uuur r r OA xi y j uuur OA (x, y)
探索2:
在平面直角坐标系内，起点不在坐标 原点O的向量又如何处理呢?
y
o
x
探索3：
平面向量可以用坐标表示，向量的 运算可以用坐标来运算吗？