上海春季高考数学试卷word版附答案
2023年上海市普通高等学校春季招生考试试卷(数学)
12023年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意:1.答卷前,考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试卷,满分150分.考试时间120分钟.48分）本大题共有12题,只要求直接4分,否则一律得零分.1．已知集合{1A x x =<-或}23x ≤<,{}24B x x =-≤<,则A B = .2．计算:131lim 32n n n n +→∞+=+ .3．函数()f x =地定义域是 .4．方程2cos 14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在区间(0,)π内地解是 .5．已知数列{}n a 是公差不为零地等差数列,11a =. 若125a a a 、、成等比数列,则n a = .6．化简:cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.7．已知P 是双曲线22219x y a -=右支上地一点,双曲线地一条渐近线方程为30x y -=. 设 12F F 、分别为双曲线地左、右焦点. 若23PF =,则1PF = .8．已知一个凸多面体共有9个面,所有棱长均为1,其平面展开图如右图所示,则该凸多面体地体积V = .9．已知无穷数列{}n a前n项和113n nS a=-,则数列{}n a地各项和为 . 10．古代"五行"学说认为:"物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金."将五种不同属性地物质任意排成一列,设事件A表示"排列中属性相克地两种物质不相邻",则事件A出现地概率是（结果用数值表示）.11．已知12,,,na a a；12,,,nb b b（n是正整数）,令112nL b b b=+++, 223L b b=+,nb++,n nL b=. 某人用右图分析得到恒等式:1122n na b a b a b+++=112233a L c L c L+++k kc L+n nc L++,则kc=(2)k n≤≤.12．已知(1,2),(3,4)A B,直线1l:20,:0x l y==和3:l x+3y10-=. 设iP是il(1,2,3)i=上与A、B两点距离平方和最小地点,则△123PP P地面积是 .二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确地,必须把正确结论地代号写在题后地圆括号内,选对得 4分,否则一律得零分. 13．已知向量(2,3),(3,)a bλ=-=,若//a b,则λ等于 [答] ( )（A）23. （B）2-. （C）92-. （D）23-.14．已知椭圆221102x ym m+=--,长轴在y轴上. 若焦距为4,则m等于 [答]（）（A）4. （B）5. （C）7. （D）8.15．已知函数()()f xg x、定义在R上,()()()h x f x g x=⋅,则"()()f xg x、均为奇函数"是"()h x为偶函数"地 [答] ( )（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.23（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.16．已知C z ∈,且22i 1,i z --=为虚数单位,则22i z +-地最小值是 [答] ( )（A ）2. （B ）3. （C ）4. （D ）5.三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要地步骤.12分) 已知cos ,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求2cos sin 2sin θθθ-地值. [解]412分)在平面直角坐标系xOy 中,A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴地交点,C 为AB 地中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ,求焦点F 到直线AB 地距离.[解]514分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.已知函数)2()log 21x f x =+.（1）求证:函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增；（2）记1()-f x 为函数()f x 地反函数.若关于x 地方程1()()fx m f x -=+在[1,2]上有解,求m 地取值范围.[证明]（1）[解]（2）614分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如下图所示）.凳面为三角形地尼龙布,凳脚为三根细钢管.考虑到钢管地受力和人地舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为30cm ,②三根细钢管相交处地节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 地正三角形,三只凳脚与地面所成地角均为45 ,确定节点O 分细钢管上下两段地比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120 地等腰三角形,腰长为24cm ,节点O 分细钢管上下两段之比为2:3.确定三根细钢管地长度（精确到0.1cm ）.[解]（1） （2）716分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在直角坐标平面xOy 上地一列点()()11221,,2,,,A a A a (,),n n A n a ,简记为{}n A . 若由1n n n b A A j +=⋅ 构成地数列{}n b 满足1,1,2,n n b b n +>= ,其中j 为方向与y 轴正方向相同地单位向量,则称{}n A 为T 点列.（1）判断()123111,1,2,,3,,,23A A A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1,,n A n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,是否为T 点列,并说明理由；（2）若{}n A 为T 点列,且点2A 在点1A 地右上方. 任取其中连续三点1k k A A +、、2k A +,判断△12k k k A A A ++地形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）,并予以证明；（3）若{}n A 为T 点列,正整数1m n p q ≤<<<满足m q n p +=+,求证: >n q m p A A j A A j ⋅⋅ .[解]（1）（2）[证明]（3）8918分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,6分,第3小题满分8分.已知z 是实系数方程220x bx c ++=地虚根,记它在直角坐标平面上地对应点为(Re ,Im )z P z z .（1）若(,)b c 在直线20x y +=上,求证:z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上；（2）给定圆C :222()x m y r -+=（R m r ∈、,0r >）,则存在唯一地线段s 满足:①若z P 在圆C 上,则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则z P 在圆C 上. 写出线段s 地表达式,并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系地研究,填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 地对应线段）.[证明]（1）[解]（2）（3）表一、地取值或表达式线段s与线段1s地关系m rs所在直线平行于1s所在直线s所在直线平分线段s1线段s与线段1s长度相等2023年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷参考解析及评分标准说明1.本解答列出试卷地一种或几种解法,如果考生地解法与所列解法不同,可参照解答中评分标1011准地精神进行评分.2. 评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生地解答中出现错误而中断对该题地评阅. 当考生地解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后地解答未改变这一题地内容和难度时,可视影响程度决定后面部分地给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重地概念性错误,就不给分.3. 第17题至第22题中右端所注地分数,表示考生正确做到这一步应得地该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.解析及评分标准一．（第1至12题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.1. {}4x x <. 2.13. 3. [2,1)(1,3]- . 4. 712x π=. 5. 21n a n =-. 6. cos α. 7. 5.8. 1 9. 1-. 10.112. 11. 1k k a a --. 12. 32.二．（第13至16题）每一题正确地给4分,否则一律得零分.题 号13141516 代 号CDAB三．（第17至22题）17. [解] 原式2cos 2sin cos sin θθθθ=-…… 2分21cos sin sin cos cos θθθθθ-==. …… 5分又cos,2πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,sin θ∴==, …… 9分 2cos sin 2sin θθθ∴-=. …… 12分1218. [解] 由已知可得 (2,0),(0,2),(1,1)A B C , …… 3分解得抛物线方程为 2y x =. …… 6分 于是焦点 1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭. …… 9分 ∴ 点F 到直线AB. …… 12分19. [证明]（1）任取12x x <,则()()11221222221()()log 21log 21log 21x x x x f x f x +-=+-+=+,1212,02121x x x x <∴<+<+ ,11222212101,log 02121x x xx ++∴<<<++, 12()()f x f x ∴<,即函数()f x 在(,)-∞+∞内单调递增. …… 6分[解]（2）()12()log 21(0)x f x x -=-> , …… 9分[解法一] 1()()m fx f x -∴=- =()()22log 21log 21xx--+ 22212log log 12121x x x -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, …… 11分 当12x ≤≤时,222123,152133215x x ≤≤∴≤-≤++, m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分[解法二] 解方程()()22log 21log 21xxm -=++,得221log 12m m x ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭, …… 11分1322112,1log 212m m x ⎛⎫+≤≤∴≤≤ ⎪-⎝⎭, 解得 2213log log 35m ⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.m ∴地取值范围是2213log ,log 35⎡⎤⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …… 14分20. [解]（1）设△ABC 地重心为H ,连结OH . 由题意可得,BH =.设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+. …… 3分节点O 与凳面三角形ABC 重心地连线与地面垂直,且凳面与地面平行.∴ OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成地角,亦即45OBH ∠= .30,1BH OH λλ=∴=+ , 解得,0.63λ=≈. …… 6分即节点O 分细钢管上下两段地比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠=∴==,AC = 设△ABC 地重心为H ,则8,BH AH ==分由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3,可知12OH =. 设过点A B C 、、地细钢管分别为AA BB CC '''、、, 则560.82AA CC OA ''====≈,/14536.12BB OB '===≈, ∴对应于A B C 、、三点地三根细钢管长度分别为60.8cm , 36.1cm 和60.8cm .…… 14分21. [解]（1） 1n a n=, 1111(1)n b n n n n -∴=-=++,显然有1n n b b +>, ∴ {}n A 是T 点列. …… 3分（2）在△12k k k A A A ++中,()()1112211,,1,k k k k k k k k A A a a A A a a ++++++=--=-, ()()1122111k k k k k k k k A A A A a a a a ++++++⋅=-+--. …… 5分点2A 在点1A 地右上方,1210b a a ∴=->, {}n A 为T 点列,10n b b ∴≥>,()()21110k k k k k k a a a a b b ++++∴--=-<,则1120k k k k A A A A +++⋅<.∴ 12k k k A A A ++∠为钝角,∴ △12k k k A A A ++为钝角三角形. …… 8分（3）[证明] 1,m n p q m q n p ≤<<<+=+ ,0q p n m ∴-=->. ① 1121q p q q q q p pa a a a a a a a ---+-=-+-++- 12()q q p pb b b q p b --=+++≥- . ②同理n m a a -=121()n n m n b b b n m b ---+++≤- . ③ …… 12分 由于{}n A 为T 点列,于是1p n b b ->, ④由①、②、③、④可推得q p n m a a a a ->-, …… 15分 ∴->-q n p m a a a a ,即 >⋅⋅n q m p A A j A A j . …… 16分22. [证明]（1）由题意可得 20b c +=,解方程2220x bx b +-=,得z b =-±, …… 2分∴点(),z P b -或(),z P b -,将点z P 代入圆1C 地方程,等号成立,15∴ z P 在圆1C :22(1)1x y -+=上. …… 4分（2）[解法一] 当0∆<,即2b c <时,解得z b =-, ∴点(),z P b -或(),z P b -,由题意可得222()b m c b r --+-=,整理后得 222c mb r m =-+-, …… 6分 ()240b c ∆=-< ,222()b m c b r ++-=, (,)b m r m r ∴∈---+.∴ 线段s 为: 222c mb r m =-+-,[,]b m r m r ∈---+.若(,)b c 是线段s 上一点（非端点）,则实系数方程为222220,(,)x bx mb r m b m r m r +-+-=∈---+.此时0∆<,且点(),z P b -、(),z P b --在圆C 上.…… 10分[解法二] 设i =+z x y 是原方程地虚根,则2(i)2(i)0++++=x y b x y c ,解得22,2,x b y x bx c =-⎧⎨=++⎩①②由题意可得,222()x m y r -+=. ③解①、②、③ 得 222c mb r m =-+-. …… 6分 以下同解法一.[解]（3）表一线段s 与线段1s 地关系、m r 地取值或表达式得分s 所在直线平行于1s 所在直线1m =,1r ≠12分s 所在直线平分线段1s22(1)1r m --=,1m ≠15分线段s 与线段1s 长度相等()22145m r+=18分。
上海市春季高考数学试题
2003年上海市普通高校春季高考数学试卷 (2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边。
若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________. 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。
若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列。
2023年上海市春季高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年上海市春季高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共4小题，共18分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数是偶函数的是( )A. y=sinxB. y=cosxC. y=x3D. y=2x2.根据下图判断，下列选项错误的是( )A. 从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B. 从2018年开始后，进出口总额逐年增大C. 从2018年开始后，进口总额逐年增大D. 从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小3.如图，P是正方体ABCD−A1B1C1D1边A1C1上的动点，下列哪条边与边BP始终异面( )A. DD 1B. ACC. AD 1D. B 1C4.已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k >2022，都有|S k |>|S k+1|，则下列说法正确的是( )A. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B. a 1，a 3，a 5，…，a 2n−1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D. a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共12小题，共54分。
年春季高考上海卷数学试题及解答
a ab 2a b 上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分 048 分）1. 计算： lim 3n - 2= .n →∞ 4n + 32. 方程log 3 (2x - 1) = 1的解 x = .3. 函数 f (x ) = 3x + 5, x ∈[ 0, 1]的反函数 f -1 (x ) = .4. 不等式1 - 2x> 0 的解集是.x + 15. 已知圆C : (x + 5) 2 + y 2 = r 2(r > 0) 和直线l : 3x + y + 5 = 0 . 若圆C 与直线l 没有公共 点，则 r 的取值范围是.6. 已知函数 f (x ) 是定义在 ( - ∞, + ∞ ) 上的偶函数. 当 x ∈ ( - ∞, 0 ) 时， f (x ) = x - x 4 ， 则当x ∈ ( 0, + ∞ ) 时， f (x ) = .7. 电视台连续播放 6 个广告，其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）. 8. 正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为 3，则其体积为 .9. 在△ ABC 中，已知 BC = 8,AC = 5 ，三角形面积为 12，则cos 2C = .10. 若向量 、b 的夹角为150， = 3, = 4 ，则 + = .11. 已知直线l 过点 P ( 2, 1) ，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为.12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为： 若有限数列a 1 , a 2 , , a n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤ ≤ a n ，则（结论用数学式子表示）.二．选择题（本大题满分 016 分）13. 抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为( ) （A ） ( 0, 1) . （B ） (1, 0 ) . （C ） ( 0, 2 ) . （D ） ( 2, 0 ) . 14. 若 a 、b 、c ∈ R , a > b ，则下列不等式成立的是( )（A ） 1 < 1 . （B ） a 2 > b 2 . （C ） a > b.（D ） a | c |> b | c |.a b x 2 y 2c 2 + 1 c 2 + 115. 若 k ∈ R ，则“ k > 3”是“方程 k - 3 - k + 3= 1表示双曲线”的( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.⎧⎪1⎪⎫ ⎧ 1 ⎫ 16. 若集合 A = ⎨ y y = x 3,-1≤ x ≤ 1⎬ , B = ⎨ y y = 2 - , 0 < x ≤ 1⎬ ，则 A ∩B 等于()⎪⎩ ⎪⎭⎩ x ⎭ （A ） ( - ∞, 1].（B ） [ - 1, 1 ].（C ） ∅ . （D ）{1}.三．解答题（本大题满分 086 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. (本题满分 12 分)在长方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 中，已知 DA = DC = 4, DD 1 = 3 ，求异面直线 A 1 B 与B 1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18. (本题满分 12 分) 已知复数 w 满足 w - 4 = (3 - 2w ) i( i 为虚数单位）， z = 5+ | w - 2 |，求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.w19. (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小题满分 6 分.已知函数 f (x ) = ⎛ + π⎫ - 2 cos x ,x ∈ ⎡π,π⎤ .2 sin x ⎪⎝6 ⎭ ⎢⎣ 2 ⎥⎦（1）若sin x = 4，求函数 f (x ) 的值；（2）求函数 f (x ) 的值域.520. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的 x 2 + y 2= 轨迹方程为 1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 y 轴为对称轴、100 25⎛ M 0, 64 ⎫ ⎪ 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 D ( 8, 0 ) . 观测点 A ( 4, 0 )、B ( 6, 0 ) 同时跟踪航天器.⎝7 ⎭ （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 x 轴上方时，观测点 A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分.设函数 f (x ) = x 2 - 4x - 5 .（1）在区间[ 2, 6 ]上画出函数f (x) 的图像；20 21 30 30 31 40（2）设集合 A = {x f (x ) ≥ 5 }, B = (- ∞, - 2 ] [ 0, 4 ] [ 6, + ∞ ) . 试判断集合 A 和 B 之间的关系， 并给出证明；（3）当 k > 2 时，求证：在区间[ - 1, 5 ] 上， y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方.22. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分. 第 3 小题满分 6 分.已知数列 a 1 , a 2 , , a 30 ，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列； a 10 , a 11 , , a 20 是公差为 d 的等差数列； a , a , , a 是公差为 d 2 的等差数列（ d ≠ 0 ）. （1）若 a 20 = 40 ，求 d ；（2）试写出 a 30 关于 d 的关系式，并求 a 30 的取值范围；（3）续写已知数列，使得 a , a , , a 是公差为 d 3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？参考答案及评分标准一．（第 1 至 12 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.⎪1. 3 .2. 2.3.41(x - 5), 3x ∈[5, 8 ]. 4. ⎛ - 1, 1 ⎫ ⎝2 ⎭ 5. (0, 10 ) . 6. - x - x 4 . 7. 48.8.16 . 39.7. 10. 2. 11. 4. 2512. a 1 + a 2 + + a m ≤ a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) 和 m na m +1 + a m +2 + + a n ≥a 1 + a 2 + + a n(1 ≤ m < n ) n - m n二．（第 13 至 16 题）每一题正确的给 4 分，否则一律得零分.题 号 13141516代 号BCAB三．（第 17 至 22 题）17. [解法一] 连接 A 1 D ，A 1 D //B 1C , ∴ ∠BA 1D 为异面直线 A 1 B 与 B 1C 所成的角.……4 分连接 BD ，在△ A 1 DB 中， A 1 B = A 1 D = 5,BD = 4 ，……6 分则cos ∠BA 1 D = A 1 B 2 + A 1 D 2- BD 2 2 ⋅ A B ⋅ A D = 25 + 25 - 32 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 9 .……10 分2511∴ 异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 125[解法二] 以 D 为坐标原点，分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系.……2 分则 A 1 (4, 0, 3)、B (4, 4, 0)、B 1 (4, 4, 3)、C (0, 4, 0) ，得 A 1 B = (0, 4, - 3), B 1C = (-4, 0, - 3) .……6 分设 A 1 B 与 B 1C 的夹角为θ，则cos θ=A 1B ⋅ B 1C A 1 B ⋅ B 1C = 9 ， ……10 分252 .⎩ ⎩b2 2 ∴ A B 与 B C 的夹角大小为 arccos 9，1 1 25即异面直线 A B 与 B C 所成角的大小为arccos 9.……12 分1 12518. [解法一]w (1 + 2 i) = 4 + 3i, ∴ 4 + 3i w == 2 - i ， ……4 分1 + 2i∴ z =52 - i+ | -i |= 3 + i . ……8 分若实系数一元二次方程有虚根 z = 3 + i ，则必有共轭虚根 z = 3 - i .z + z = 6, z ⋅ z = 10 ，∴ 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 - 6x + 10 = 0.……12 分[解法二] 设 w = a + b i (a 、b ∈ R)a +b i - 4 = 3i - 2a i + 2b ，⎧a - 4 = 2b , 得 ∴ ⎧ a = 2,⎨b = 3 - 2a , ⎨ = -1, ∴ w = 2 - i ，……4 分以下解法同[解法一].19. [解]（1） sin x = 4 ,x ∈ ⎡π,π⎤, ∴ cos x = - 3 ，……2 分51⎢⎣ 2 ⎥⎦5⎫ f (x ) = 2x + cos x ⎪ - 2 cos x……4 分⎪⎝ ⎭= 3 sin x - cos x =4 3 + 3. ……8 分 5 5（2） f (x ) = ⎛ - π⎫ ，……10 分2 sin x ⎝π ≤ x ≤ π，⎪6 ⎭∴ π ≤ x - π ≤ 5π，1≤ ⎛ - π⎫≤ 1，23 6 6⎪ 2 ⎝6 ⎭ ∴ 函数 f (x ) 的值域为[1, 2 ] .……14 分20. [ 解 ] （ 1 ） 设 曲 线 方 程 为y = ax 2 + 64 7，由 题 意 可 知 ， 0 = a ⋅ 64 +64 .7∴ a = - 1.……4 分7∴ 曲线方程为 y = - 1 x 2 + 64.……6 分sin x7 7（2）设变轨点为C ( x , y ) ，根据题意可知⎧ x 2 ⎪ ⎨100 + y 2 25= 1, (1) 得 4 y 2 - 7 y - 36 = 0 ， ⎪ y = - 1 x 2 + 64 , (2) ⎩⎪7 7 y = 4或 y = - 9（不合题意，舍去）.4∴ y = 4 . 得 x = 6 或 x = -6 （ 不 合 题 意 ， 舍 去 ） . ( 6, 4 ) ， ……11 分| AC |= 2 5, | BC |= 4 .答 ： 当 观 测 点 A 、B 测 得 AC 、BC 距 离 分 别 为 2 5 、 4 时 ， 应 向 航 天 器 发 出 变 轨 指令.……14 分21. [解]（1）……4 分（2）方程 f (x ) = 5 的解分别是2 -14, 0, 4和 2 + 14 ，由于 f (x ) 在( - ∞,- 1] 和[ 2, 5 ]上单调递减，在[ - 1, 2 ]和[ 5, + ∞ ) 上单调递增，因此A = (- ∞, 2 - ] [ 0, 4 ] [2 +14, + ∞ ).……8 分 由于 2 + < 6, 2 - > -2, ∴ B ⊂ A .……10 分（3）[解法一] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5.g (x ) = k (x + 3) - (-x 2 + 4x + 5)= x 2 + (k - 4)x + (3k - 5)= ⎛ x - 4 - k ⎫ 2 ⎪ - k 2 - 20k + 36 ， ……12 分⎝2 ⎭ 4k > 2, ∴4 - k< 1. 又- 1 ≤ x ≤ 5 ， 2 ① 当- 1 ≤ 4 - k < 1 ，即 2 < k ≤ 6 时，取 x = 4 - k，2 2……9 分 ∴ C 点 的 坐 标 为14 14 14⎩ 40 30 10n 10n +1 10 (n +1) 10(n +1)⎨ = -k 2 - 20k + 36= -1 [( -)2- ]g (x ) mink 10 4464 .16 ≤ (k - 10) 2 < 64, ∴ (k - 10) 2 - 64 < 0 ，则 g (x ) m in > 0 .……14 分② 当 4 - k< -1，即 k > 6 时，取 x = -1，2g (x )min＝ 2k > 0.由 ①、②可知，当 k > 2 时， g (x ) > 0 ， x ∈[ - 1, 5 ] .因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上方. ……16 分[解法二] 当 x ∈[ - 1, 5 ] 时， f (x ) = -x 2 + 4x + 5 .⎧ y = k (x + 3),由⎨ y = -x 2+ 4x + 5,得 x 2 + (k - 4)x + (3k - 5) = 0 ，令 ∆ = (k - 4) 2 - 4(3k - 5) = 0 ，解得 k = 2 或 k = 18 ， ……12 分在区间[ - 1, 5 ] 上，当 k = 2 时， y = 2(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像只交于一点(1, 8 ) ； 当 k = 18时， y = 18(x + 3) 的图像与函数 f (x ) 的图像没有交点. ……14 分如图可知，由于直线 y = k (x + 3) 过点 ( - 3, 0 ) ，当 k > 2 时，直线 y = k (x + 3) 是由直线 y = 2(x + 3) 绕 点( - 3, 0 ) 逆时针方向旋转得到. 因此，在区间[ - 1, 5 ] 上， y = k (x + 3) 的图像位于函数 f (x ) 图像的上 方.……16 分22. [解]（1） a 10 = 10. a 20 = 10 + 10d = 40, ∴ d = 3. …… 4 分 （2） a 30 = a 20 + 10d 2 = 10(1 + d + d 2) (d ≠ 0) ，…… 8 分⎡ ⎛ 1 ⎫ 2 3 ⎤a 30 = 10⎢ d + 2 ⎪ + ⎥ ，4 ⎢⎣ ⎝ 当 d ∈ ( - ∞, ⎭0 ) ( 0, ⎥⎦+ ∞ ) 时， a 30 ∈[ 7.5,+ ∞ ).…… 12 分（3）所给数列可推广为无穷数列{a n }，其中 a 1 , a 2 , , a 10 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当 n ≥ 1 时，数列 a , a , , a 是公差为d n 的等差数列. …… 14 分研究的问题可以是：试写出 a 10 ( n +1) 关于 d 的关系式，并求 a 10 ( n +1) 的取值范围.…… 16 分研究的结论可以是：由 a = a + 10d 3=10(1 + d + d 2 + d 3 )，依次类推可得 a = 10(1 + d + + d n )= ⎧⎪10 ⨯ 1 - d n +11 - d , d ≠ 1, ⎪⎩10(n + 1),d = 1. 当 d > 0 时， a 10(n +1) 的取值范围为(10, + ∞ ) 等.…… 18 分。
2023年上海市春季高考数学真题试卷含详解
2023年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．（4分）已知集合A ＝{1，2}，B ＝{1，a }，且A ＝B ，则a ＝2．（4分）已知向量＝（3，4），＝（1，2），则﹣2＝3．（4分）若不等式|x ﹣1|≤2，则实数x 的取值范围为．．．．4．（4分）已知圆C 的一般方程为x 2+2x +y 2＝0，则圆C 的半径为5．（4分）已知事件A 发生的概率为P （A ）＝0.5，则它的对立事件发生的概率P （）＝．．6．（4分）已知正实数a 、b 满足a +4b ＝1，则ab 的最大值为7．（5分）某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为186cm ，最小值为154cm ，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为8．（5分）设（1﹣2x ）4＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 0+a 4＝9．（5分）已知函数f （x ）＝2x +1，且g （x ）＝﹣．．，则方程g （x ）＝2的解为．10．（5分）已知有4名男生6名女生，现从10人中任选3人，则恰有1名男生2名女生的概率为．，满足|z 1﹣1|＝1，则|z 1﹣z 2|的取值范围为，都是单位向量，且|＝1，满足|•⊥|≤|，•⊥|≤|，•与．的夹•11．（5分）设z 1，z 2∈C 且z 1＝i •12．（5分）已知空间向量，角为60°，若P 为空间任意一点，且|的最大值为．|，则二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．13．（4分）下列函数是偶函数的是（）A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝x 3）D ．y ＝2x14．（4分）根据下图判断，下列选项错误的是（A ．从2018年开始后，图表中最后一年增长率最大B ．从2018年开始后，进出口总额逐年增大C ．从2018年开始后，进口总额逐年增大D ．从2018年开始后，图表中2020年的增长率最小15．（5分）如图，P 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边A 1C 1上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．DD 1B ．ACC ．AD 1D ．B 1C16．（5分）已知数列{a n }的各项均为实数，S n 为其前n 项和，若对任意k ＞2022，都有|S k |＞|S k +1|，则下列说法正确的是（）A ．a 1，a 3，a 5，…，a 2n ﹣1为等差数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等比数列B ．a 1，a 3，a 5，…，a 2n﹣1为等比数列，a 2，a 4，a 6，…，a 2n 为等差数列C ．a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等差数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等比数列D ．a 1，a 2，a 3，…，a 2022为等比数列，a 2022，a 2023，…，a n 为等差数列三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PB ＝AB ＝3，AC ＝4，M 为BC 中点，过点M 分别作平行于平面PAB 的直线交AC 、PC 于点E ，F ．（1）求直线PM 与平面ABC 所成角的大小；（2）证明：ME ∥平面PAB ，并求直线ME 到平面PAB 的距离．18．（14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 对应边为a ，b ，c ，其中b ＝2．（1）若A +C ＝120°，且a ＝2c ，求边长c ；（2）若A ﹣C ＝15°，a ＝c sin A ，求△ABC 的面积S△ABC ．，其中F 0为19．（14分）为了节能环保，节约材料，定义建筑物的“体形系数”为S ＝建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），V 0为建筑物的体积（单位：立方米）．（1）若有一个圆柱体建筑的底面半径为R ，高度为H ，求该建筑体的S （用R ，H 表示）；（2）现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A 为底面面积，L 为建筑底面周长．已知f 为正比例系数，L 2与A 成正比，定义：f ＝，建筑面积即为每一层的底面面积，总建+，n 为层筑面积即为每层建筑面积之和，值为T ．已知该建筑体推导得出S ＝数，层高为3米，其中f ＝18，T ＝10000，试求当取第几层时，该建筑体S 最小？20．（18分）已知椭圆Γ：+＝1（m ＞0，m ≠）．（1）若m ＝2，求椭圆Γ的离心率；（2）设A 1、A 2为椭圆Γ的左右顶点，若椭圆Γ上一点E 的纵坐标为1，且﹣2，求m 的值；•＝（3）存在过椭圆Γ上一点P 、且斜率为仅有一个公共点，求m 的取值范围．的直线l ，使得直线l 与双曲线﹣＝121．（18分）设函数f （x ）＝ax 3﹣（a +1）x 2+x ，g （x ）＝kx +m ，其中a ≥0，k 、m ∈R ，若对任意x ∈[0，1]均有f （x ）≤g （x ），则称函数y ＝g （x ）是函数y ＝f （x ）的“控制函数”，且对所有的函数y ＝g （x ）取最小值定义为（x ）．（1）若a ＝2，g （x ）＝x ，试问y ＝g （x ）是否为y ＝f （x ）的“控制函数”；（2）若a ＝0，使得直线y ＝h （x ）是曲线y ＝f （x ）在x ＝处的切线，求证：函数y ＝h （x ）是为函数y ＝f （x ）的“控制函数”，并求（）的值；（3）若曲线y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，求证：当且仅当c ＝x 0或c ＝1时，（c ）＝f （c ）．2023年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．【解答】解：集合A ＝{1，2}，B ＝{1，a }，且A ＝B ，则a ＝2．故答案为：2．2．【解答】解：因为向量＝（3，4），＝（1，2），所以﹣2＝（3﹣2×1，4﹣2×2）＝（1，0）．故答案为：（1，0）．3．【解答】解：因为|x ﹣1|≤2，所以﹣2≤x ﹣1≤2，所以﹣1≤x ≤3，故答案为：[﹣1，3]．4．【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x +y 2＝0，可得圆C 的标准方程为（x +1）2+y 2＝1，故圆C 的圆心为（0，﹣1），半径为1，故答案为：1．5．【解答】解：由题意知P （A ）+P （）＝1，所以P （）＝1﹣P （A ）＝0.5，故答案为：0.5．6．【解答】解：正实数a 、b 满足a +4b ＝1，则ab ＝且仅当a ＝，故答案为：．时等号成立．，当7．【解答】解：极差为186﹣154＝32，组距为5，且第一组下限为153.5，＝6.4，故组数为7组，故答案为：7．8．【解答】解：根据题意及二项式定理可得：a 0+a 4＝故答案为：17．9．【解答】解：当x ≥0时，g （x ）＝2⇔log 2（x +1）＝2，解得x ＝3；当x ＜0时，g （x ）＝f （﹣x ）＝2x +1＝2，解得x ＝0（舍）；所以g （x ）＝2的解为：x ＝3．故答案为：x ＝3．10．【解答】解：从10人中任选3人的事件个数为恰有1名男生2名女生的事件个数为则恰有1名男生2名女生的概率为故答案为：0.5．11．【解答】解：设z 1﹣1＝cos θ+i sin θ，则z 1＝1+cos θ+i sin θ，因为z 1＝i •所以|z 1﹣z 2|＝＝显然当当＝＝时，原式取最小值0，，，，所以z 2＝sin θ+i （cos θ+1），，，，＝17．＝﹣1时，原式取最大值2]．故|z 1﹣z 2|的取值范围为[0，故答案为：[0，12．【解答】解：由题知再设代入已知的不等式得所以]．，，且x ，y ，z ＞0，x 2+y 2+z 2＝1，，可得，解得，，，，z ≥y ，故＝y．．故答案为：二、选择题（本大题共有4题，满分18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，第13题至第14题选对得4分，第15题至第16题选对得5分，否则一律得零分．13．【解答】解：对于A，由正弦函数的性质可知，y＝sin x为奇函数；对于B，由正弦函数的性质可知，y＝cos x为偶函数；对于C，由幂函数的性质可知，y＝x3为奇函数；对于D，由指数函数的性质可知，y＝2x为非奇非偶函数．故选：B．14．【解答】解：显然2021年相对于2020年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增长率最大，A对；统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故B对；2020年相对于2019的进口总额是减少的，故C错；显然进出口总额2021年的增长率最大，而2020年相对于2019年的增量比2019年相对于2018年的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故2020年的增长率最小，D对．故选：C．15．【解答】解：对于A，当P是A1C1的中点时，BP与DD1是相交直线；对于B，根据异面直线的定义知，BP与AC是异面直线；对于C，当点P与C1重合时，BP与AD1是平行直线；对于D，当点P与C1重合时，BP与B1C是相交直线．故选：B．16．【解答】解：由对任意正整数k＞2022，都有|Sk |＞|Sk+1|，可以知道a2022，a2033，a2024，，a n不可能为等差数列，因为若d＝0，a n＝0，则|S k|＝|S k+1|，矛盾；若d＝0，a n＜0，当n→+∞，S n→﹣∞，k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＝0，a n＞0，当n→+∞，S n→+∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＞0，当n→+∞，a n→+∞，S n→+∞必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；若d＜0，当n→+∞，a n→﹣∞，S n→﹣∞，必有k使得|S k+1|＞|S k|，矛盾；所以选项B 中的a 2，a 4，a 6，⋯，a 2n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项D 中的a 2022，a 2023，a 2024，⋯，a n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；选项A 中的a 1，a 3，a 5，⋯，a 2n ﹣1为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确；事实上，只需取故选：C ．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．【解答】解：（1）连接AM ，PM ，∵PA ⊥平面ABC ，∴∠PMA 为直线PM 与平面ABC 所成的角，在△PAM 中，∵AB ⊥AC ，∴BC ＝∵M 为BC 中点，∴AM ＝BC ＝，＝5，即可．∴tan ∠PMA ＝，即直线PM 与平面ABC 所成角为arctan ；（2）由ME ∥平面PAB ，MF ∥平面PAB ，ME ∩MF ＝M ，∴平面MEF ∥平面PAB ，∵ME ⊂平面MEF ，∴ME ∥平面PAB ，∵PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥AC ，∵AB ⊥AC ，PA ∩AB ＝A ，PA ，AB ⊂平面PAB ，∴AC ⊥平面PAB ，∴AE 为直线ME 到平面PAB 的距离，∵ME ∥平面PAB ，ME ⊂平面ABC ，平面ABC ∩平面PAB ＝AB ，∴ME ∥AB ，∵M 为BC 中点，∴E 为AC 中点，∴AE ＝2，∴直线ME 到平面PAB 的距离为2．18．【解答】解：（1）因为A +C ＝120°，且a ＝2c ，由正弦定理可得sin A ＝2sin C ＝2sin （120°﹣A ）＝所以cos A ＝0，由A 为三角形内角可得A ＝90°，C ＝30°，B ＝60°，因为b ＝2，所以c ＝；c sin A ，cos A +sin A ，（2）若A ﹣C ＝15°，a ＝由正弦定理得sin A ＝sin C sin A ，由A 为三角形内角可得sin A ＞0，所以sin C ＝，由题意可得C 为锐角，所以C ＝45°，A ＝60°，B ＝75°，由正弦定理可得，所以a ＝＝3，＝3﹣＝；．＝，所以△ABC 的面积S△ABC ＝ab sin C ＝19．【解答】解：（1）S ＝＝（2）由题意，建筑体3n 米，底面面积A ＝，∴体积V 0＝3n •A ＝3T ，由f ＝＝18，∴底面周长L ＝，∴F 0＝L •3n +A ＝•3n +，，n ∈N *，∴“体形系数”S ＝＝+＝+计算可得n ＝6时，S 最小．20．【解答】解：（1）若m ＝2，则a 2＝4，b 2＝3，∴a ＝2，c ＝（2）由已知得A 1（m ，0），A 2（m ，0），设E （p ，1），∴+＝1，即p 2＝m 2，＝1，∴e ＝＝；∴＝（m ﹣p ，﹣1），＝（﹣m ﹣p ，﹣1），∴•＝（m ﹣p ，﹣1）•（﹣m ﹣p ，﹣1）＝p 2﹣m 2+1＝﹣2，∵p 2＝m 2，代入求得m ＝3；（3）设直线y ＝x +t ，联立椭圆可得+＝1，整理得（3+3m 2）x 2+2由△≥0，∴t 2≤3m 2+3，联立双曲线可得由Δ＝0，t 2＝5m 2﹣15，∴5m 2﹣15≤3m 2+3，∴﹣3≤m ≤3，又5m 2﹣15≥0，∴m ≥综上所述：m ∈（tm 2x +（t 2﹣3）m 2＝0，﹣＝1，整理得（3﹣m 2）x 2+2tx +（t 2﹣5m 2）＝0，，∵m ≠，，3]．21．【解答】解：（1）f （x ）＝2x 3﹣3x 2+x ，设h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝2x 3﹣3x 2，h ′（x ）＝6x 2﹣6x ＝6x （x ﹣1），当x ∈[0，1]时，易知h ′（x ）＝6x （x ﹣1）≤0，即h （x ）单调减，∴h （x ）max ＝h （0）＝0，即f （x ）﹣g （x ）≤0⇒f （x ）≤g （x ），∴g （x ）是f （x ）的“控制函数“；（2）∴∴f （x ）≤h （x ），即y ＝h （x ）为函数y ＝f （x ）的“控制函数“，又，且，∴；，，证明：（3）f （x ）＝ax 3﹣（a +1）x 2+x ，f ′（x ）＝3ax 2﹣2（a +1）x +1，y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线为t （x ），t （x ）＝f ′（x 0）（x ﹣x 0）+f （x 0），t （x 0）＝f （x 0），t （1）＝0⇒f （1）＝0，，，，恒成立，函数t （x ）必是函数y ＝f （x ）的“控制函数“，是函数y＝f （x ）的“控制函数“，此时“控制函数“g （x ）必与y ＝f （x ）相切于x 点，t （x ）与y ＝f （x ）在且过点（1，0），在之间的点不可能使得y ＝f （x ）在或c ＝1，所以曲线y ＝f （x ）在x ＝x 0（x 0∈（0，1））处的切线过点（1，0），且c ∈[x 0，1]，当且仅当c ＝x 0或c ＝1时，．切线下方，所以处相切，。
2019年上海市春季高考数学试卷 word版 含参考答案及解析
2019年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则AB = ．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．不等式|1|5x +<的解集为 ．4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为 ．5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 ． 7．在61()x x+的展开式中，常数项等于 ．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = ．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示） 10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 ．11．在椭圆22142x y+=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 ．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%) 2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99 2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14 2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96 2015 40974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}，则A B = {3，5} ．【思路分析】利用交集定义直接求解．【解析】：集合{1A =，2，3，4，5}，{3B =，5，6}， {3AB ∴=，5}．故答案为：{3，5}．【归纳与总结】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【思路分析】对2223141n n n n -+-+的分子、分母同除以2n ，再求极限即可．【解析】：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2． 【归纳与总结】考查数列极限的定义，以及数列极限的求法，以及∞∞极限的求法．3．不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【思路分析】根据|()|(0)()f x a a a f x a <>⇔-<<可解得． 【解析】：由|1|5x +<得515x -<+<，即64x -<< 故答案为：{6-，4)．【归纳与总结】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 4．函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()(0)f x x x -=> ．【思路分析】由2(0)y x x =>解得(0)x y y =>，再交换x 与y 的位置即得反函数． 【解析】：由2(0)y x x =>解得x y =，1()(0)f x x x -∴=>故答案为1f - ()(0)x x x =>【归纳与总结】本题考查了反函数，属基础题． 5．设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为【思路分析】把已知等式变形求得z 再由||||z z =，结合复数模的计算公式求解． 【解析】：由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+， 22||||2222z z ∴==+=2【归纳与总结】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 6．已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩，当方程有无穷多解时，a 的值为 2- ． 【思路分析】本题可根据方程有无穷多解对①式变形再与②式比较即可得到a 的值． 【解析】：由题意，可知： 方程有无穷多解，∴可对①2⨯，得：442x y +=-．再与②式比较，可得：2a =-． 故答案为：2-．【归纳与总结】本题主要考查根据线性方程组的解的个数来得出参数的值．本题属基础题．7．在61()x x +的展开式中，常数项等于 15 ．【思路分析】利用二项展开式的通项公式求出第1r +项，令x 的指数为0得常数项． 【解析】：61()x x+展开式的通项为36216r rr T C x-+=令3902r -=得2r =， 故展开式的常数项为第3项：2615C =． 故答案为：15．【归纳与总结】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．在ABC ∆中，3AC =，3sin 2sin A B =，且1cos 4C =，则AB = 10 ．【思路分析】利用正弦定理可得2BC =，利用余弦定理即可得出结论． 【解析】：3sin 2sin A B =，∴由正弦定理可得：32BC AC =，∴由3AC =，可得：2BC =，1cos4C =，∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯， ∴解得：10AB =．故答案为：10．【归纳与总结】本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．9．首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【思路分析】根据分步计数原理即可求出．【解析】：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有33424A =种， 故答案为：24．【归纳与总结】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．10．如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为 3 ．【思路分析】由已知可得P ，Q坐标，进而可得||||AQ CP +=得答案．【解析】：由题意得：P点坐标为，)a ，Q点坐标为(a ，11||||23AQ CP a+=，当且仅当a =【归纳与总结】本题考查的知识点是基本不等式，二次函数和幂函数，难度不大，属于基础题．11．在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ，则1F P 与2F Q 的夹角范围为 1[arccos 3π-，]π ．【思路分析】设(,)P x y ，则Q 点(,)x y -，结合121F P F P ，22142x y +=可得：2[1y ∈，2]，进而可得1F P 与2F Q 的夹角θ满足：1212cos F P F QF P F Qθ=的范围，最后得到答案．【解析】：设(,)P x y ，则Q 点(,)x y-，椭圆22142x y +=的焦点坐标为(，0)，，0)，121F P F P ，2221x y ∴-+， 结合22142x y +=可得：2[1y ∈，2]故1F P 与2F Q 的夹角θ满足：222122212238cos 3[122(F P F Qy y y F P F Q x θ-====-+∈-++，1]3-故1[arccos 3θπ∈-，]π 故答案为：1[arccos 3π-，]π【归纳与总结】本题考查的知识点是椭圆的性质，平面向量在几何中的应用，函数的值域，难度中档．12．已知集合[A t =，1][4t t ++，9]t +，0A ∉，存在正数λ，使得对任意a A ∈，都有A aλ∈，则t 的值是 1或3- ． 【思路分析】0t >时，当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，(9)t t λ=+；当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，(1)(4)t t λ=++，从而(9)(1)(4)t t t t +=++，解得1t =；当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t a λ，即(1)t t λ=+，当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，(4)(9)t t λ=++，从而(1)(4)(9)t t t t +=++，解得3t =-．当90t +<时，无解．【解析】：当0t >时，当[a t ∈，1]t +时，则[4t aλ∈+，9]t +，当[4a t ∈+，9]t +时，则[t aλ∈，1]t +，即当a t =时，9t aλ+；当9a t =+时，t aλ，即(9)t t λ=+； 当1a t =+时，4t aλ+，当4a t =+时，1t aλ+，即(1)(4)t t λ=++，(9)(1)(4)t t t t ∴+=++，解得1t =．当104t t +<<+时，当[a t ∈，1]t +时，则[t aλ∈，1]t +．当[4a t ∈+，9]t +，则[4t aλ∈+，9]t +，即当a t =时，1t aλ+，当1a t =+时，t aλ，即(1)t t λ=+，即当4a t =+时，9t aλ+，当9a t =+时，4t aλ+，即(4)(9)t t λ=++，(1)(4)(9)t t t t ∴+=++，解得3t =-．当90t +<时，同理可得无解．综上，t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．【归纳与总结】本题考查实数值的求法，考查元素与集合的关系、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．下列函数中，值域为[0，)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x = C ．tan y x = D ．cos y x =【思路分析】此题考查求函数的定义域与值域，对应求出值域即可确定正确答案为B 【解析】：A ，2x y =的值域为(0,)+∞，故A 错B ，y x =的定义域为[0，)+∞，值域也是[0，)+∞，故B 正确．C ，tan y x =的值域为(,)-∞+∞，故C 错D ，cos y x =的值域为[1-，1]+，故D 错．故选：B ．【归纳与总结】本题目属于基础题型，准确求出每一个函数的值域，即可确定正确答案，考查学生的基础解题能力．14．已知a 、b R ∈，则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【思路分析】根据平方和绝对值的关系，结合不等式的性质进行转化，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：22a b >等价，22||||a b >，得“||||a b >”，∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．15．已知平面α、β、γ两两垂直，直线a 、b 、c 满足：a α⊆，b β⊆，c γ⊆，则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( )A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【思路分析】利用面面垂直的性质．画图判定 【解析】：如图1，可得a 、b 、c 可能两两垂直； 如图2，可得a 、b 、c 可能两两相交； 如图3，可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．【归纳与总结】本题考查面面垂直的性质，属于基础题．16．以1(a ，0)，2(a ，0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y 轴正半轴分别交于1(y ，0)，2(y ，0)，且满足120lny lny +=，则点1211(,)a a 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【思路分析】根据点点的距离公式可得21112y a =-，22212y a =-，根据对数的运算性质即可得到121y y =，可得12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，即可求出点的轨迹． 【解析】：因为221111|1|r a a y =-=+，则21112y a =-，同理可得22212y a =-， 又因为120lny lny +=，所以121y y =，则12(12)(12)1a a --=，即12122a a a a =+，则12112a a +=，设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线，故选：A ． 【归纳与总结】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======． （1）若PB 的中点为M ，BC 的中点为N ，求AC 与MN 的夹角； （2）求P ABC -的体积．【思路分析】（1）由已知可得//MN PC ，则PCA ∠为AC 与MN 所成角，利用余弦定理求解得答案；（2）求出三棱锥的高，代入棱锥体积公式求解．【解析】：（1）M ，N 分别为PB ，BC 的中点，//MN PC ∴， 则PCA ∠为AC 与MN 所成角，在PAC ∆中，由2PA PC ==，3AC =，可得22233cos 24223PC AC PA PCA PC AC +-∠===⨯⨯，AC ∴与MN 的夹角为3arccos4； （2）过P 作底面垂线，垂直为O ，则O 为底面三角形的中心，连接AO 并延长，交BC 于N ，则32AN =，213AO AN ==．22213PO ∴=-=．∴1133333224P ABC V -=⨯⨯⨯⨯=．【归纳与总结】本题考查异面直线所成角的求法，考查三棱锥体积的求法，是中档题． 18．（14分）已知数列{}n a ，13a =，前n 项和为n S ． （1）若{}n a 为等差数列，且415a =，求n S ；（2）若{}n a 为等比数列，且lim 12n n S →∞<，求公比q 的取值范围．【思路分析】（1）求出公差即可求n S ；（2）由lim n n S →∞存在得11q -<<且0q ≠，由lim 12n n S →∞<得34q <，取交集可得公比q 的取值范围．【解析】：（1）4133315a a d d =+=+=，4d ∴=，2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q-=-，lim n n S →∞存在，11q ∴-<<，∴lim n n S →∞存在，11q ∴-<<且0q ≠，∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--， ∴3121q <-，34q ∴<，10q ∴-<<或304q <<， ∴公比q 的取值范围为(1-，0)(0⋃，3)4．【归纳与总结】本题考查了等差数列和等比数列的前n 项和及等差数列的通项公式，考查了极限的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年，第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【思路分析】（1）根据表格数据得出结论；（2）根据函数性质得出单调性，解不等式求出t 的范围，从而得出答案．【解析】：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多． （2）6.44200.1136t y e -=是减函数，且 6.44200.11360t y e -=>，6.44200.1136357876.6053()1tf t e -∴=+在N 上单调递增， 令 6.44200.1136357876.60531200001te ->+，解得50.68t >， ∴当51t 时，我国卫生总费用超过12万亿，∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．【归纳与总结】本题考查了函数单调性判断与应用，计算较复杂．20．（16分）已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时，求()d P ；（2）证明：存在常数a ，使得2()||d P PF a =+；（3）1P ，2P ，3P 为抛物线准线上三点，且1223||||PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【思路分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得PF 的斜率和方程，解得Q 的坐标，由两点的距离公式可得所求值；（2）求得(1,0)P -，可得2a =，设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，代入抛物线方程，求得Q 的纵坐标，计算2()||d P PF -，化简整理即可得证；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，计算1322[()()]4()d P d p d P +-，结合条件，化简整理，配方和不等式的性质，即可得到大小关系．【解析】：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ，8(1,)3P --，84323PF k ==，PF 的方程为4(1)3y x =-，代入抛物线的方程，解得14Q x =，抛物线的准线方程为1x =-，可得10||3PF ==， 15||144QF =+=，||8()||3PF d P QF ==； （2）证明：当(1,0)P -时，2()||2222a d P PF =-=⨯-=， 设(1,)P P y -，0P y >，:1PF x my =+，则2P my =-，联立1x my =+和24y x =，可得2440y my --=，2Q y m =+22()||22(22P P Q y d P PF y m m --==+ 2122m m +-=-=，则存在常数a ，使得2()||d PPF a =+；（3）设11(1,)P y -，22(1,)P y -，33(1,)P y -，则1321322[()()]4()||||2||dP d p d PPF P F P F+-=+-==， 由221313[()16]28y y y y -++=-，2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->，则132()()2()d P d P d P +>．【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程及性质，考查新定义的理解和运用，考查两点的距离公式和联立直线方程和抛物线方程，以及作差法，考查化简运算能力，属于中档题．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==，求集合S ； （2）若12a π=，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式写出n a ，进而求出n b，再根据周期性求解； （2）由集合S 的元素个数，分析数列{}n b 的周期，进而可求得答案； （3）分别令1T =，2，3，4，5，6，7进行验证，判断T 的可能取值． 【解析】：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==， 集合3{2S =-，0，3}2． （2）12a π=，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时，集合S 恰好有两个元素，此时d π=，②1a 终边落在OA 上，要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，如图OB ，OC ，此时23d π=，综上，23d π=或者d π=．（3）①当3T =时，3n n b b +=，集合1{S b =，2b ，3}b ，符合题意．②当4T =时，4n n b b +=，sin(4)sin n n a d a +=，42n n a d a k π+=+，或者42n n a d k a π+=-，等差数列{}n a 的公差(0d ∈，]π，故42n n a d a k π+=+，2k d π=，又1k ∴=，2 当1k =时满足条件，此时{S =-，1，1}-．③当5T =时，5n n b b +=，sin(5)sin n n a d a +=，52n n a d a k π+=+，或者52n n a d k a π+=-，因为(0d ∈，]π，故1k =，2． 当1k =时，{sin 10S π=，1，sin}10π-满足题意．④当6T =时，6n n b b +=，sin(6)sin n n a d a +=，所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3． 当1k =时，33{}S =，满足题意． ⑤当7T =时，7n n b b +=，sin(7)sin sin n n n a d a a +==，所以72n n a d a k π+=+，或者72n n a d k a π+=-，(0d ∈，]π，故1k =，2，3当1k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，227d m n ππ==-，7m n -=，7m >，不符合条件． 当2k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=，247d m n ππ==-，m n -不是整数，不符合条件． 当3k =时，因为17~b b 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有2m n a a π-=或者4π，267d m n ππ==-，或者467d m n ππ==-，此时，m n -均不是整数，不符合题意．综上，3T =，4，5，6．【归纳与总结】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．————————————————————————————————————《高中数学教研微信系列群》简介：目前有6个群，共2000多优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨高中数学教学研究、高中数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————。
春季高考高职单招数学模拟试题 (2) Word版含答案
春季高考高职单招数学模拟试题 (2)Word版含答案春季高考高职单招数学模拟试题一、选择题1.已知集合 $M=\{0,1,2\}$，$B=\{1,4\}$，那么集合$A\cup B$ 等于（）A) $\{1\}$B) $\{4\}$C) $\{2,3\}$D) $\{1,2,3,4\}$2.在等比数列 $\{a_n\}$ 中，已知 $a_1=2$，$a_2=4$，那么 $a_5$ 等于A) 6B) 8C) 10D) 163.已知向量 $\vec{a}=(3,1)$，$\vec{b}=(-2,5)$，那么$2\vec{a}+\vec{b}$ 等于（）A) $(-1,11)$B) $(4,7)$C) $(1,6)$D) $(5,-4)$4.函数 $y=\log_2(x+1)$ 的定义域是（）A) $(0,+\infty)$B) $(-1,+\infty)$C) $(1,+\infty)$D) $[-1,+\infty)$5.如果直线 $3x-y=$ 与直线 $mx+y-1=$ 平行，那么$m$ 的值为（）A) $-3$B) $-\dfrac{11}{33}$C) $\dfrac{11}{33}$D) $3$6.函数 $y=\sin(\omega x)$ 的图象可以看做是把函数$y=\sin(x)$ 的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的 $\dfrac{1}{2}$ 倍而得到，那么 $\omega$ 的值为（）A) 4B) 2C) 3D) $\dfrac{3}{2}$7.在函数 $y=x$，$y=2$，$y=\log_2(x)$，$y=\dfrac{3x}{x+3}$ 中，奇函数的是（）A) $y=x$B) $y=2$C) $y=\log_2(x)$D) $y=\dfrac{3x}{x+3}$8.$\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)$ 的值为（）A) $-\dfrac{1}{2}$B) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$C) $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$D) $\dfrac{1}{2}$9.不等式 $x^2-3x+2<0$ 的解集是（）A) $x>2$B) $x>1$C) $1<x<2$D) $x2$10.实数 $\log_4 5+2\log_5 2$ 的值为（）A) 2B) 5C) 10D) 2011.某城市有大型、中型与小型超市共 1500 个，它们的个数之比为 1:5:9.为调查超市每日的零售额情况，需通过分层抽样抽取 30 个超市进行调查，那么抽取的小型超市个数为（）A) 5B) 9C) 18D) 2112.已知平面 $\alpha\parallel\beta$，直线 $m\in\alpha$，那么直线 $m$ 与平面 $\beta$ 的关系是（）A。
2022年上海市春季高考数学试卷
2022届上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B =3.不等式10x x-<的解集为4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=7.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为8.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为9.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为10.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为11.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是12.已知()f x 为奇函数，当[0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x -=B .12y x -=C .13y x =D .12y x=14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc >D .ac bd>15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .1216.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（2）当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m ²）20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.21.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.参考答案一.填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知2i z =+，则z =【答案】2iz =-2.已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B = 【答案】A B = (1,2)3.不等式10x x-<的解集为【答案】(0,1)4.已知tan 3α=，则tan()4πα+=【答案】2-5.已知方程组2168x my mx y +=⎧⎨+=⎩有无穷解，则m 的值为【答案】4m =6.已知函数3()f x x =的反函数为1()y fx -=，则1(27)f -=【答案】37.在3121()x x +的展开式中，含41x 项的系数为【答案】668.在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为【答案】39.已知有1、2、3、4四个数字组成无重复数字，则比2134大的四位数的个数为【答案】1710.在△ABC 中，2C π∠=，2AC BC ==，M 为AC 的中点，P 在AB 上，则MP CP ⋅ 的最小值为【答案】7811.已知双曲线2221x y a-=(0)a >，双曲线上右支上有任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，满足12120x x y y ->恒成立，则a 的取值范围是【答案】1a ≥12.已知()f x 为奇函数，当(0,1]x ∈时，()ln f x x =，且()f x 关于直线1x =对称，设()1f x x =+的正数解依次为1x 、2x 、3x 、⋅⋅⋅、n x 、⋅⋅⋅，则1lim()n n n x x +→∞-=【答案】2二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.下列幂函数中，定义域为R 的是（）A .1y x-=B .12y x -=C .13y x =D .12y x =【答案】C14.已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A .a d b c+>+B .a c b d +>+C .ad bc>D .ac bd >【答案】B15.如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（）次A .0B .2C .4D .12【答案】B16.已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A .若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B .若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C .若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D .若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D 三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图，在圆柱1OO 中，底面半径为1，1AA 为圆柱母线.（1）若14AA =，M 为1AA 中点，求直线1MO 与底面的夹角大小；（2）若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.【答案】（1）arctan 2；（2）侧面积24rh ππ=，体积22r h ππ=18.已知数列{}n a ，21a =，{}n a 的前n 项和为n S .（1）若{}n a 为等比数列，23S =，求lim n n S →∞；（2）若{}n a 为等差数列，公差为d ，对任意*n ∈N ，均满足2n S n ≥，求d 的取值范围.【答案】（1）4；（2）[0,1]d ∈19.如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.（1）若∠ADE 20︒=，求EF 的长；（长度精确到0.1m ）（2）当AE 多长时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（面积精确到0.01m ²）【答案】（1）23.3EF ≈m ；（2）最大面积为450255.14≈m ²20.在椭圆222:1x y aΓ+=中，直线:l x a =上有两点C 、D (C 点在第一象限)，左顶点为A ，下顶点为B ，右焦点为F .（1）若∠AFB 6π=，求椭圆Γ的标准方程；（2）若点C 的纵坐标为2，点D 的纵坐标为1，则BC 与AD 的交点是否在椭圆上？请说明理由；（3）已知直线BC 与椭圆Γ相交于点P ，直线AD 与椭圆Γ相交于点Q ，若P 与Q 关于原点对称，求||CD 的最小值.【答案】（1）2214x y +=；（2）交点为34(,55a ，在椭圆上；（3）621.已知函数()f x ，甲变化：()()f x f x t --；乙变化：|()()|f x t f x +-，0t >.（1）若1t =，()2x f x =，()f x 经甲变化得到()g x ，求方程()2g x =的解；（2）若2()f x x =，()f x 经乙变化得到()h x ，求不等式()()h x f x ≤的解集；（3）若()f x 在(,0)-∞上单调递增，将()f x 先进行甲变化得到()u x ，再将()u x 进行乙变化得到1()h x ；将()f x 先进行乙变化得到()v x ，再将()v x 进行甲变化得到2()h x ，若对任意0t >，总存在12()()h x h x =成立，求证：()f x 在R 上单调递增.【答案】（1）2x =；（2）(,(1][(1,)t t -∞++∞ ；（3）证明略。
年上海市春季高考数学试卷(1)(1)
上海市春季高考数学试卷一.填空题（本大题满分48分）1．（4分）计算：lim n→∞3n−24n+3= ．2．（4分）方程log 3（2x ﹣1）=1的解x= ．3．（4分）函数f （x ）=3x +5，x ∈[0，1]的反函数f ﹣1（x ）= ．4．（4分）不等式1−2x x+1＞0的解集是 ．5．（4分）已知圆C ：（x +5）2+y 2=r 2（r ＞0）和直线l ：3x +y +5=0．若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 ．6．（4分）已知函数f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）=x ﹣x 4，则当x ∈（0，+∞）时，f （x ）= ．7．（4分）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）．8．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 ．9．（4分）在△ABC 中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C= ． 10．（4分）若向量a →、b →的夹角为150°，|a →|=√3，|b →|=4，则|2a →+b →|= ． 11．（4分）已知直线l 过点P （2，1）且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 ．12．（4分）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ，则 （结论用数学式子表示）．二．选择题（本大题满分16分）13．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，2）D．（2，0）14．（4分）若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．1a ＜1bB．a2＞b2C．ac2+1＞bc2+1D．a|c|＞b|c|15．（4分）若k∈R，则“k＞3”是“方程x2k−3﹣y2k+3=1表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（4分）A={y|y=x 13，−1≤x≤1}，B={y|y=2−1x，0＜x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，1]C．∅D．{1}三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求异面直线A1B与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（12分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位），z=5w+|w﹣2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．19．（14分）已知函数f(x)=2sin(x+π6)−2cosx，x∈[π2，π]．（1）若sinx=45，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域．20．（14分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x2100+y225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M(0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？21．（16分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；（3）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．22．（18分）已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．（1）若a20=40，求d；（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？2006年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题满分48分）1．（4分）计算：limn→∞3n−24n+3=34．【分析】分子分母同时除以n，原式简化为limn→∞3−2n4+3n，由此可知limn→∞3n−24n+3的值．【解答】解：limn→∞3n−24n+3=limn→∞3−2n4+3n=34．2．（4分）方程log3（2x﹣1）=1的解x=2．【分析】将题目中条件：“方程log3（2x﹣1）=1”化为指数式来解即可．【解答】解：∵log3（2x﹣1）=1，∴2x﹣1=31．∴解得x=2．经检验x=2是原方程的根，即原方程的解为x=2．答案：2．3．（4分）函数f（x）=3x+5，x∈[0，1]的反函数f﹣1（x）=13(x−5)，x∈[5，8]．【分析】从条件中函数式f（x）=3x+5中反解出x，再将x，y互换即得其反函数，再根据反函数的定义域为原函数的值域进行求解． 【解答】解：∵y=3x +5，x ∈[0，1]∴x=y−53，y ∈[5，8]∴函数f （x ）=3x +5的反函数f ﹣1（x ）=13(x −5)，定义域为原函数的值域则反函数f ﹣1（x ）=13(x −5) 的定义域为[5，8]．故答案为：13(x −5)，x ∈[5，8]．4．（4分）不等式1−2x x+1＞0的解集是 {x |﹣1＜x ＜12，x ∈R } ．【分析】不等式1−2x x+1＞0说明：1﹣2x 和 x +1是同号的，可等价于（1﹣2x ）（x +1）＞0，然后解二次不等式即可． 【解答】解：不等式1−2x x+1＞0等价于（1﹣2x ）（x +1）＞0，不等式对应方程（1﹣2x ）（x +1）=0的两个根是x=﹣1 和 x=12．由于方程对应的不等式是开口向下的抛物线，所以1−2x x+1＞0的解集为{x |﹣1＜x＜12} 故答案为：{x |﹣1＜x ＜12，x ∈R }5．（4分）已知圆C ：（x +5）2+y 2=r 2（r ＞0）和直线l ：3x +y +5=0．若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是 (0，√10) ．【分析】先求圆心坐标，再求圆心到直线的距离大于半径，可求半径的取值范围．【解答】解：圆C：（x+5）2+y2=r2（r＞0）的圆心（﹣5，0）=√10圆心到直线3x+y+5=0的距离√10圆C与直线l没有公共点：0＜r＜√10故答案为：(0，√10)6．（4分）已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数．当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，则当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣x4﹣x．【分析】先设x∈（0，+∞）得﹣x∈（﹣∞，0），代入已知的解析式求出f（﹣x），再由偶函数的关系式f（x）=f（﹣x）求出．【解答】解：设x∈（0，+∞），则﹣x∈（﹣∞，0），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣x4，∴f（﹣x）=﹣x﹣x4，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=﹣x﹣x4，故答案为：﹣x4﹣x．7．（4分）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有48种不同的播放方式（结果用数值表示）．【分析】确定首尾公益广告，中间商业广告，由分布计数原理，可得结论．【解答】解：由题意，首尾公益广告，有A22=2种不同播放方法，中间商业广告，有A44=24种不同播放方法由分布计数原理，可得共有48种不同播放方法 故答案为：488．（4分）正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 163．【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合侧棱长求出正四棱锥的高，然后直接利用体积公式求体积． 【解答】解：如图，正四棱锥P ﹣ABCD 中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO ，连结AO ，则AO=12AC =2√2．在直角三角形POA 中，PO =√PA 2−AO 2=√32−(2√2)2=1．所以V P−ABCD =13⋅S ABCD ⋅PO =13×16×1=163．故答案为163．9．（4分）在△ABC 中，已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，则cos2C=725．【分析】先通过BC=8，AC=5，三角形面积为12求出sinC 的值，再通过余弦函数的二倍角公式求出答案．【解答】解：∵已知BC=8，AC=5，三角形面积为12，∴12•BC•ACsinC=12 ∴sinC=35∴cos2C=1﹣2sin 2C=1﹣2×925=725故答案为：72510．（4分）若向量a →、b →的夹角为150°，|a →|=√3，|b →|=4，则|2a →+b →|= 2 ． 【分析】本题考查的知识点是向量的模及平面向量数量积运算，由向量a →、b →的夹角为150°，|a →|=√3，|b →|=4，我们易得a →2、b →2、a →⋅b →的值，故要求|2a →+b →|我们，可以利用平方法解决． 【解答】解：|2a →+b →|=√(2a →+b →)2=√4a →2+b →2+4a →⋅b →=√12+16+4×√3×4×cos150° =2． 故答案为：211．（4分）已知直线l 过点P （2，1）且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 4 ．【分析】设AB 方程为x a+y b=1，点P （2，1）代入后应用基本不等式求出ab的最小值，即得三角形OAB 面积面积的最小值．【解答】解：设A （a ，0）、B （0，b ），a ＞0，b ＞0，AB 方程为 x a+y b=1，点P （2，1）代入得2a +1b =1≥2√2ab ，∴ab ≥8 （当且仅当a=4，b=2时，等号成立），故三角形OAB面积S=12 ab ≥4，故答案为 4．12．（4分）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 1+a 2+⋯+a m m≤a 1+a 2+⋯+a nn（1≤m ＜n ）和a m+1+a m+2+⋯+a nn−m≥a 1+a 2+⋯+a nn（1≤m ＜n ） （结论用数学式子表示）．【分析】根据平均数的等于可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以做出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉，则这组数据的平均数减小．反之则增大．【解答】解：根据平均数的等于可以知道，一组数据若是按照从小到大的顺序排列起来，可以做出这组数据的平均数，如果把这组数据中的一部分较小的数据去掉，则这组数据的平均数减小，若把这写数据中的较大的一些数据去掉，则这组数据的平均数增大，故答案为：a 1+a 2+⋯+a m m ≤a 1+a 2+⋯+a n n （1≤m ＜n ）和a m+1+a m+2+⋯+a nn−m≥a 1+a 2+⋯+a n n（1≤＜n ）二．选择题（本大题满分16分）13．（4分）抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，2）D ．（2，0）【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y 2=4x 的焦点在x 轴上，且p=2∴p 2=1 ∴抛物线y 2=4x 的焦点坐标为（1，0）故选B ．14．（4分）若a 、b 、c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．1a ＜1bB ．a 2＞b 2C ．a c 2+1＞b c 2+1D ．a |c |＞b |c | 【分析】本选择题利用取特殊值法解决，即取符合条件的特殊的a ，b 的值，可一一验证A ，B ，D 不成立，而由不等式的基本性质知C 成立，从而解决问题．【解答】解：对于A ，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于B ，取a=1，b=﹣1，即知不成立，故错；对于D ，取c=0，即知不成立，故错；对于C ，由于c 2+1＞0，由不等式基本性质即知成立，故对；15．（4分）若k ∈R ，则“k ＞3”是“方程x 2k−3﹣y 2k+3=1表示双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据双曲线定义可知，要使方程表示双曲线k ﹣3和k +3同号，进而求得k 的范围即可判断是什么条件．【解答】解：依题意：“方程x 2k−3﹣y 2k+3=1表示双曲线” 可知（k ﹣3）（k +3）＞0，求得k ＞3或k ＜﹣3，则“k ＞3”是“方程x 2k−3﹣y 2k+3=1表示双曲线”的充分不必要条件． 故选A ．16．（4分）A ={y|y =x 13，−1≤x ≤1}，B ={y|y =2−1x ，0＜x ≤1}，则A∩B=（ ）A ．（﹣∞，1]B ．[﹣1，1]C ．∅D ．{1} 【分析】根据函数的单调性，分析可得两个函数的值域，即集合A 、B ，进而由交集的意义，可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得，y=x 13，在[﹣1，1]上是单调增函数，故有﹣1≤y ≤1，即A={y |﹣1≤y ≤1}，y=2﹣1x在（0，1]上是增函数，故有﹣∞＜y ≤1，即B={y |y ≤1}， 由交集的意义，可得A ∩B={x |﹣1≤x ≤1}，三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DA=DC=4，DD1=3，求异面直线A1B与B1C所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【分析】连接A1D，将B1C平移到A1D，根据异面直线所成角的定义可知∠BA1D 为异面直线A1B与B1C所成的角，在△A1DB中利用余弦定理求出此角的余弦值．【解答】解：连接A1D，∵A1D∥B1C，∴∠BA1D为异面直线A1B与B1C所成的角．连接BD，在△A1DB中，A1B=A1D=5，BD=4√2，则cos∠BA1D=A1B2+A1D2−BD22⋅A1B⋅A1D=25+25−322⋅5⋅5=925．∴异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为9 25即异面直线A1B与B1C所成角的大小为arccos 9 2518．（12分）已知复数w满足w﹣4=（3﹣2w）i（i为虚数单位），z=5w+|w﹣2|，求一个以z为根的实系数一元二次方程．【分析】解法一：由复数w 满足w ﹣4=（3﹣2w ）i （i 为虚数单位），利用复数的运算法则可得w=2﹣i ；再利用复数的运算法则可得z=3+i ，再利用实数系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出；解法二：设w=a +b ，（a ，b ∈Z ），∴a +bi ﹣4=3i ﹣2ai +2b ，根据复数相等即可得出w=2﹣i ，以下同解法一．【解答】解：[解法一]∵复数w 满足w ﹣4=（3﹣2w ）i ，∴w （1+2i ）=4+3i ， ∴w （1+2i ）（1﹣2i ）=（4+3i ）（1﹣2i ），∴5w=10﹣5i ，∴w=2﹣i ．∴z=52−i +|2−i −2|=5(2+i)(2−i)(2+i)+1=2+i +1=3+i ． 若实系数一元二次方程有虚根z=3+i ，则必有共轭虚根z =3−i ．∵z +z =6，z ⋅z =10，∴所求的一个一元二次方程可以是x 2﹣6x +10=0．[解法二]设w=a +b ，（a ，b ∈Z ），∴a +bi ﹣4=3i ﹣2ai +2b ，得{a −4=2b b =3−2a解得{a =2b =−1，∴w=2﹣i ， 以下解法同[解法一]．19．（14分）已知函数f(x)=2sin(x +π6)−2cosx ，x ∈[π2，π]．（1）若sinx =45，求函数f （x ）的值； （2）求函数f （x ）的值域．【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系求得cosx 的值，代入到函数解析式，利用两角和公式展开后求得答案．（2）利用两角和公式对函数解析式化简整理，然后利用x 的范围和正弦函数的单调性求得函数的值域．【解答】解：（1）∵sinx =45，x ∈[π2，π]∴cosx=﹣√1−1625=﹣35∴f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx ﹣2cosx=√3sinx ﹣cosx=45×√3+35=4√3+35（2）f(x)=2sin(x +π6)−2cosx =√3sinx +cosx ﹣2cosx=√3sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣π6） ∵x ∈[π2，π]∴π3≤x ﹣π6≤5π6∴12≤sin （x ﹣π6）≤1 ∴f （x ）的最大值为2，最小值为1，值域为[1，2]20．（14分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为x 2100+y 225=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、M(0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D （8，0）．观测点A （4，0）、B （6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【分析】（1）由题意变轨之后轨迹为开口向下的抛物线，所以利用待定系数法可以先设出方程，再利用条件建立未知数的方程进而求解；（2）由题意及图形可知变轨点C实质为两圆锥曲线的交点，故联立两方程即可求解．【解答】解：（1）设曲线方程为y=ax2+64 7，由题意可知，0=a⋅64+64 7．∴a=−1 7．∴曲线方程为y=−17x2+647．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知{x2100+y225=1(1)y=−17x2+647(2)得4y2﹣7y﹣36=0，y=4或y=−94（不合题意，舍去）．∴y=4．得x=6或x=﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），|AC|=2√5，|BC|=4．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为2√5、4时，应向航天器发出变轨指令．21．（16分）设函数f（x）=|x2﹣4x﹣5|．（1）在区间[﹣2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）设集合A={x|f（x）≥5}，B=（﹣∞，﹣2]∪[0，4]∪[6，+∞）．试判断集合A和B之间的关系（要写出判断过程）；（3）当k＞2时，求证：在区间[﹣1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．【分析】（1）当x2﹣4x﹣5＞0时，f（x）=x2﹣4x﹣5；当x2﹣4x﹣5＜0时，f（x）=x2﹣4x﹣5，进而画出图象．（2）先求出f（x）≥5的解集，再判断集合A和B的关系．（3）设函数g（x）=kx+3k﹣f（x），只要证明g（x）＞0恒成立即可．【解答】解：（1）设﹣2≤x≤6，当x2﹣4x﹣5≥0时，即6≥x≥5或﹣1≥x≥﹣2时，f（x）=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9当x2﹣4x﹣5＜0时，即﹣1＜x＜5时，f（x）=﹣（x2﹣4x﹣5）=﹣（x﹣2）2+9故作图如下：（2）方程f（x）=5的解分别是2−√14，0，4和2+√14，由于f（x）在（﹣∞，﹣1]和[2，5]上单调递减，在[﹣1，2]和[5，+∞）上单调递增，∴A=(−∞，2−√14]∪[0，4]∪[2+√14，+∞)．由于2+√14＜6，2﹣√14＞﹣2∴B⊂A．（3）当x∈[﹣1，5]时，f（x）=﹣x2+4x+5．g（x）=k（x+3）﹣（﹣x2+4x+5）=x2+（k﹣4）x+（3k﹣5）=(x−4−k2)2−k2−20k+364，∵k＞2，∴4−k2＜1．又﹣1≤x≤5，①当−1≤4−k2＜1，即2＜k≤6时，取x=4−k2，g（x）min=−k2−20k+364=−14[(k−10)2−64]．∵16≤（k﹣10）2＜64，∴（k﹣10）2﹣64＜0，则g（x）min＞0．②当4−k2＜−1，即k＞6时，取x=﹣1，g（x）min=2k＞0．由①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[﹣1，5]．因此，在区间[﹣1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．22．（18分）已知数列a1，a2，…a30，其中a1，a2，…a10，是首项为1，公差为1的等差数列；列a10，a11，…a20，是公差为d的等差数列；a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列（d≠0）．（1）若a20=40，求d；（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；（3）续写已知数列，使得a30，a31，…a40，是公差为d3的等差数列，…，依此类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？【分析】（1）根据原等差数列的首项和公差求出a10，根据a20的值，由a10，a11， (20)是公差为d的等差数列，利用等差数列的性质列出关于d的方程，求出方程的解即可得到d的值；（2）由a20，a21，…a30，是公差为d2的等差数列，利用等差数列的性质表示出a30是关于d的二次函数，根据d不等于0，利用二次函数即可求出a30的取值范围；（3）根据题意归纳出：当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d n的等差数列，可以续写已知数列，并利用类似（2）中的方法归纳出a10（n+1）的取值范围．【解答】解：（1）a10=1+9=10．a20=10+10d=40，∴d=3．（2）a30=a20+10d2=10（1+d+d2）（d≠0），a30=10[(d+12)2+34]，当d∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，a30∈[7.5，+∞）（3）所给数列可推广为无穷数列{a n]，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a10n，a10n+1，…，a10（n+1）是公差为d n的等差数列．研究的问题可以是：试写出a10（n+1）关于d的关系式，并求a10（n+1）的取值范围．研究的结论可以是：由a40=a30+10d3=10（1+d+d2+d3），依此类推可得a10（n+1）=10（1+d+…+d n）={10×1−dn+11−d，d≠110(n+1)，d=1．当d＞0时，a10（n+1）的取值范围为（10，+∞）等．。
上海市2023年春考数学试卷
上海市2023年春考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、若集合A={x|x<2},B={x|x>3}，则A∪B的全部元素是（）A. x<2B. x<2且x>3C. x>2D. x>2且x<32、若匀速直线运动P经Ts秒钟会到达点Q，则Q到P的距离为（）A. TsB. 2TsC. Ts²D. 2Ts²3、已知随机变量X服从泊松分布，其概率分布函数为P(X=k)=(a^k*e^-a)/k!,若a=2,则P(X=2)=(___)A. 1/2B. 0.9334C. 0.1353D. 0.26674、某几何体的三视图为ABCD，其侧视图ABC和斜视图ADC，那么此几何体是（）A. 正四棱柱B. 正四棱锥C. 平行四边形D. 等腰梯形5、一棵二叉树的前序序列为ABDFEC，中序序列为FBEDCA，则它的后序序列是（）A. BFDEACB. BEDFCAC. FDEBCAD. DFEBCA二、填空题（每小题2分，共20分）6、若向量a=(3,4)、b=(3,-2)，则2a-3b=( , )7、若点P(3,2)在直线2x-3y+2=0上，则此直线的斜率为8、空间向量φ(4,5,6)，在γ(2,3,4)的延长线上，将φ向γ平移4个单位，则该向量是9、若tanα＝2,cotα＝-1/2，则α的余弦值是10、对于任意实数x，若|2x-3|<1，则|x-2|<三、解答题（共50分）11、求直线l：2x-3y+7=0和圆C：(x-2)²+(y-1)²=9的位置关系解：设直线l的一般式方程为Ax+By+C=0，则A=2，B=-3，C=7。
由直线l：2x-3y+7=0的参数方程为：x=2t+2，y=-3t+1，将直线l 的参数方程代入圆C：(x-2)²+(y-1)²=9 中得：(2t+4)²+(t-2)²=9 化简有：t²-4t-7=0，解得：t=-7或t=1.所以直线l上经过圆C的两点分别为A(-5,4)，B(3,0).由x²+y²-4x-2y+9=0求出圆C的圆心坐标为（2，1），将该圆心坐标代入直线l的一般式，有：2*2-3*1+7=0 成立，说明：圆C与直线l相切，故结论：直线l与圆C相切。
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2017年上海市春季高考数学试卷
2017.1
一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1. 设集合{1,2,3}A =，集合{3,4}B =，则A
B = ；
2. 不等式|1|3x -<的解集为 ；
3. 若复数z 满足2136z i -=+（i 是虚数单位），则z = ；
4. 若1cos 3α=，则sin()2
πα-= ； 5. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a = ； 6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a += ；
7. 若P 、Q 是圆222440x y x y +-++=上的动点，则||PQ 的最大值为 ；
8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =，则123lim n n n
a a a a a →∞+++⋅⋅⋅+= ； 9. 若2()n
x x
+的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为 ； 10. 设椭圆2
212
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是 等腰三角形的点P 的个数是 ；
11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a -+-+ 56||3a a -=的不同排列的个数为 ；
12. 设a 、b R ∈，若函数()a f x x b x =+
+在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取 值范围为 ；
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是（ ）
A. [0,)+∞
B. [1,)+∞
C. (,0]-∞
D. (,1]-∞
14. 设a R ∈，“0a >”是“10a
>”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）
A. 三角形
B. 长方形
C. 对角线不相等的菱形
D. 六边形
16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，
则131A A A P ⋅的取值范围为（ ）
A. [0,8+
B. [-+
C. [8--
D. [8--+
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =；
（1）求四棱锥
1A ABCD -的体积；
（2）求异面直线1A C 与1DD 所成角的大小；
18. 设a R ∈，函数2()21
x x a f x +=+； （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；
（2）若2()2a f x +<
对任意x R ∈成立，求a 的取值范围；
19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知
AB AC ⊥，60AB AC AD ===（单位：米）
，要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于 点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D ；
（1）若60BAD ︒∠=，求圆1M 、2M 的半径（结果精确到0.1米）
（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、 2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）
20. 已知双曲线2
2
2:1y x b
Γ-=(0)b >，直线:l y kx m =+(0)km ≠，l 与Γ交于P 、 Q 两点，P '为P 关于y 轴的对称点，直线P Q '与y 轴交于点(0,)N n ； （1）若点(2,0)是Γ的一个焦点，求Γ的渐近线方程；
（2）若1b =，点P 的坐标为(1,0)-，且32NP P Q ''=
，求k 的值； （3）若2m =，求n 关于b 的表达式.
21. 已知函数2
1()log 1x f x x
+=-； （1）解方程()1f x =； （2）设(1,1)x ∈-，(1,)a ∈+∞，证明：
1(1,1)ax a x -∈--，且11()()()ax f f x f a x a
--=--； （3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ∈-，1131(1)3n n n n x x x ++-=--，*n N ∈，求1x 的取值范围，使 得3n x x ≥对任意*n N ∈成立.
参考答案
一. 填空题
1. {1,2,3,4}
2. (2,4)-
3. 23i -
4. 13-
5. 6
6. 10
7. 2 8.
32 9. 160 10. 6 11. 48 12. (0,3-
二. 选择题
13. D 14. C 15. A 16. B
三. 解答题
17.（1）4；（2）arctan 3
； 18.（1）1a =-；（2）[0,2]；
19.（1）1M 半径34.6，2M 半径16.1；（2）1M 半径30，2M 半径20，造价42.0千元；
20.（1）y =；（2）12k =±
；（3）略； 21.（1）13x =
；（2）略；（3）略；。