2021届湖南省怀化市高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案

开始 360sin 2n S n =是否结束2n n = 3.1?S ≥6n =输出n 2021届湖南省怀化市高三第一次模拟考试数学（文）试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2．考生作答时，选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。

3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

4．本试题卷共4页，如有缺页，考生须声明，否则后果自负。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填涂在答题卡上。

1.已知复数311Z i i=++（i 为虚数单位），则复数Z 的模为 A ．2B ．410 C ．210D ．1-2.下列命题正确的是 A ．“2-<x ”是“0232>++x x ”的必要不充分条件.B ．对于命题R x p ∈∃0:，使得01020<-+x x ，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x +-≥. C ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为若2320x x -+=，则2x ≠. D ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题. 3.已知全集R U =，集合1|22x A x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}3|log 1B x x =<，则()U A C B 为 A.(1,)-+∞ B.[3,)+∞ C.(1,0)(3,)-+∞ D.(1,0][3,)-+∞4.已知函数x x x f cos sin )(-=，把函数()f x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移3π，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一条对称轴方程为 A ．6x π=B ．4x π=C ．3x π=D ．116x π=5.某几何体的三视图如图，它的侧视图与正视 图相同，则它的体积为A ．3242π+B ．3284π+ C ．3282π+ D ．3244π+6. 等腰直角三角形ABC 中， 90=∠C ，2==BC AC ，点P 是ABC ∆斜边上任意一点，则线段CP 的长度不大于3的概率是A ．22B ．42C ．21D ．467.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得 到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（参考数据：sin150.2588=，sin7.50.1305=）A ．16 B.20 C.24 D.488.已知圆C ：()()22122x y -+-=与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直 线3y x b =+分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b 的值为 A.101±- B.101+ C.101-- D.101±9.正项等比数列{}n a 中，存在两项m a 、n a12a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值 是 A ．23 B ．2 C ．37 D ．49 10.设函数⎩⎨⎧>≤++=0,ln 0,)(2x x x c bx x x f ,若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的根的个数为A.1B.2C.3D.411.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左焦点()(),00F c c ->作圆：2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，O 为坐标原点，若()12OE OF OP =+，则双曲线的离心率为3C.2D.212.已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式|13|log 2|)13|(log 22--<-x x f 的解集为A.(,1)-∞B.(1,0)(0,3)-C.(,0)(0,1)-∞ D.(,0)-∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.13.设向量),4(m a =，)2,1(-=b ，且b a ⊥，则=-|2|———.14.若x ，y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩错误!未找到引用源。

，则22y x Z +=的最小值为 .15.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，2sin b C B =,ABC ∆的面积为83，则2a 的最小值为______.16.定义一：对于一个函数()()f x x D ∈，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数()f x 对于任意给定的正数ε，都存在一个实数0x ，使得函数()f x 在0[,)x +∞内有一个宽度为ε的通道，则称()f x 在正无穷处有永恒通道.下列函数①()ln f x x =；②sin ()x f x x=；③()f x =2()f x x =；⑤()xf x e -=. 其中在正无穷处有永恒通道的函数序号是 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

其中第17题～第21题为必考题，17.（本题满分12分）自2017年2月底，90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章，怀化市某学校高三年级为了提高学生自主招生考试的通过率，对A 、B 、C 、D 四所国内知名大学2016年自主招生考试的语文和学校 A B C D语文（x 分） 118 120 114 112 数学 （y 分）116123114119（Ⅰ）依据上表中的数据用最小二乘法求数学控分yˆ关于语文控分x 的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=及当某高校自主招生考试语文控分为110分时，预测该校的数学控分.（Ⅱ）依据调查表，怀化市的这所学校从A 、B 、C 、D 四所大学任选两所，求选出的这两所学校的语文和数学控分都低于120分的概率.（附：线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=中，121()()ˆ()ˆˆni i i n i i x x y y b x x ay b x ==⎧--⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⨯⎪⎩∑∑ ）18.（本题满分12分）设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2(1)n n S b =-，且211a b =-，531a b =-． （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 19.（本题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱柱1111D C B A ABCD -中， 60=∠ABC ，21==AC AA ，2211==D A B A ，点E 在D A 1上. （Ⅰ）求证：⊥1AA 平面ABCD ；（Ⅱ）当EDEA 1为何值时，//1B A 平面EAC ，并求出此时直线B A 1与平面EAC 之间的距离.20.（本小题满分12分）已知抛物线G 的顶点在原点，焦点在y 轴正半轴上，抛物线上的点(,4)P m 到其焦点F 的距离等于5. （Ⅰ）求抛物线G 的方程；（Ⅱ）如图过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线交于A B 、两点，与圆22(1)(4)4M x y -+-=：交于C D 、两点，若||||AC BD =，求三角形OAB的面积.21.（本小题满分12分）已知函数x ax x x f +-=221ln )(，R a ∈. （Ⅰ）当0=a 时，求函数）x f (在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）令)1()()(--=ax x f x g ，求函数)(x g 的极值；（Ⅲ）若2-=a ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f ，证明：21521-≥+x x .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）和定点)33,0(A ，且1F ，2F 分别为圆锥曲线C 的左右焦点.（Ⅰ）求过点2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的参数方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，直线l 与曲线C 相交于N M ,两点，求||MN .23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|2|||2(0)ax ax a a -+-≥>． （Ⅰ）当1a =时，求此不等式的解集；（Ⅱ）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．2021届湖南省怀化市高三第一次模拟考试数学（文）试题参考答案13. 14.15； 15.3； 16.②③⑤. 17解：（Ⅰ）由已知1164112114120118=+++=x ，1184119114123116=+++=y()()2116416448204)116112()116114()116120(116118)118119)(116112()118114)(116114()118123)(116120()118116(116118ˆ2222=+++-++-=-+-+-+---+--+--+--=b∴6011621118ˆ=⨯-=a…………………………………..4分∴6021ˆ+=x y∴当110=x 时，1156011021ˆ=+⨯=y∴当语文控分为110分时，该校的数学控分为115……………………6分（Ⅱ）从A ，B ，C ，D 四所大学任选两所共有基本事件6个：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD.其中满足两所大学的语文控分和数学控分都小于120分的有AC ，AD ，CD 共3个. ………10分 所以所求的概率2163==P …………………………12分 18解：（Ⅰ）∵2(1)n n S b =-，① ∴当2n ≥时，112(1)n n S b --=-，②由①-②得：12()n n n b b b -=-（2n ≥），即12n n b b -=（2n ≥）， 又1n =时，112(1)S b =-，得12b =，∴2nn b =（*n N ∈）．设数列{}n a 的公差为d ，则52252a a d -==-， 所以23n a n =-（*n N ∈）………………………6分（Ⅱ）由（1）知(23)2nn c n =-⋅，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则23121232(23)2nn T n =-⨯+⨯+⨯++-⨯…，23412121232(25)2(23)2n n n T n n +=-⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯…，两式作差得23112222222(23)2n n n T n +-=-⨯+⨯+⨯++⨯--⨯…118(12)2(23)212n n n ++-=----⨯-110(25)2n n +=---⨯，∴1(25)210n n T n +=-⋅+（*n N ∈）…………………………12分19证明：（Ⅰ）∵底面ABCD 是菱形， 60=∠ABC ，∴2===AC AD AB ，在B AA 1∆中，由21221B A AB AA =+知AB AA ⊥1. 同理，AD AA ⊥1.又∵A AD AB = ，∴⊥1AA 平面ABCD …………………………5分 （Ⅱ）解：当11=EDEA 时，//1B A 平面EAC ……………………..…6分证明如下：连结BD 交AC 于O ，当11=EDEA 时，即点E 为D A 1的中点时，连接OE ， 则B A OE 1//， ∴//1B A 平面EAC …………………7分 直线B A 1与平面EAC 之间的距离等于点1A 到平面EAC 的距离.∵点E 为D A 1的中点，可转化为D 到平面EAC 的距离，ACD E EAC D V V --=， 设AD 的中点为F ，连接EF ，则1//AA EF ，∴⊥EF 平面ACD ，且1=EF ， 可求得3=∆ACD S ， ∴333131=⨯⨯=-ACD E V . 又2=AE ，2=AC ，2=CE ，27=∆AEC S ， ∴3331=⋅∆d S AEC （d 表示点D 到平面EAC 的距离）， ∴7212=d ， ∴直线B A 1与平面EAC 之间的距离为7212………12分 20解：（Ⅰ）由题知，点(,4)P m 到抛物线的准线距离为5，所以准线方程为10y +=，12p=， 抛物线G 的方程为24x y =……………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率存在，设其斜率为k ，由于l 过焦点(0,1)F ，所以直线l 的方程为1y kx =+………………………5分取CD 的中点N ，连接MN ，则MN CD ⊥，由于||||AC BD =，所以N 点也是线段AB 的中点，设11(,)A x y 、22(,)B x y 、00(,)N x y ，则1202x x x +=，1202y y y += 由241x yy kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以124x x k +=， 02x k ∴=，2021y k =+，即2(2,21)N k k +……………9分1MNk k=-，即2(21)4121k k k +-=--， 整理得3210k k --=，即2(1)(221)0k k k -++=，1k ∴=1212||2(1)(1)28AB y y x x =++=++++=原点到直线AB 的距离为22d ==………………11分 ∴22||21=⨯=∆d AB S OAB ………………12分21解：（Ⅰ）当0=a 时，x x x f +=ln )(，则1)1(=f ，所以切点为)1,1(，又11('+=xx f ），所以切线斜率21('==）f k ， ∴切线方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x ……………….3分 （Ⅱ）1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x a ax x ax x f x g ， ∴xx a ax a ax x x g 1)1()1(1)('2+-+-=-+-=，当0≤a 时，∵0>x ，∴0)('>x g .∴)(x g 在),0(+∞上是递增函数，函数)(x g 无极值点，当0>a 时，xx a x a x x a ax x g )1)(1(1)1()('2+--=+-+-=，令0)('=x g 得a x 1=. ∴当)1,0(a x ∈时，0)('>x g ；当),1(+∞∈ax 时，0)('<x g . 因此)(x g 在)1,0(a 上是增函数，在),1(+∞a上是减函数. ∴a x 1=时，)(x g 有极大值a aa a a a a a g ln 2111)1(121ln )1(2-=+⋅-+⨯-=. 综上，当0≤a 时，函数)(x g 无极值；当0>a 时，函数)(x g 有极大值a aln 21-………………………7分 （Ⅲ）证明：当2-=a 时，x x x x f ++=2ln )(，0>x .由0)()(2121=++x x x f x f ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x ， 从而)ln()()(212121221x x x x x x x x -=+++ 令21x x t =，则由t t t ln )(-=ϕ得：tt t t 111)('-=-=ϕ， 可知，)(t ϕ在区间)1,0(上单调递减，在区间),1(+∞上单调递增. ∴1)1()(=≥ϕϕt ，∴1)()(21221≥+++x x x x ， ∵01>x ，02>x ，∴21521-≥+x x 成立 ……………………………12分 22解：（Ⅰ）由已知将曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）化为普通方程为1222=+y x∴易知)0,1(1-F ，)0,1(2F ， ∵)33,0(A∴33`)1(00331=---=AF k∵1AF l ⊥ ∴ 3-=l k ∴l 的倾斜角为 120又∵过点)0,1(2F ∴l 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=120sin 120cos 1t y t x )(为参数t 即l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 23211)(为参数t …………………………5分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立并整理得04472=--t t . 设N M ,两点所对应的参数分别为1t ，2t ，则由韦达定理有7421=+t t ，7421-=t t ∴728)74(4)74(4)(||||22122121=-⨯-=-+=-=t t t t t t MN…………..10分 23解：（Ⅰ）当1a =时， 不等式为|2||1|2x x -+-≥.由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x 到1，2的距离之和大于 于2.∴52x ≥或12x ≤ ∴不等式的解集为51|22x x x ⎧⎫≥≤⎨⎬⎩⎭或 …………………5分注 也可用零点分段法求解．（Ⅱ）解：∵|2||||2|ax ax a a -+-≥-，∴原不等式的解集为R 等价于|2|2a -≥， ∴4a ≥或0a ≤，又0a >，∴4a ≥ ……………… ………......10分。