高考数学二轮复习 考前回扣1 集合与常用逻辑用语讲学案 理

回扣1 集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n －1,2n－1,2n－2.(3)集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p，q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题p∧q：若p，q中至少有一个为假，则命题为假命题，p，q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈p：与命题p真假相反．4．全称命题、特称(存在性)命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称(存在性)命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称(存在性)命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．5．充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p ⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．6．在对全称命题和特称(存在性)命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．7．对于充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．8．判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．1．设集合M＝{x∈Z|－3＜x＜2}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则M∩N等于( )A．{0,1} B．{－1,0,1,2}C．{0,1,2} D．{－1,0,1}答案 D解析∵M＝{x∈Z|－3＜x＜2}＝{－2，－1,0,1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故选D.2．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{y|y＝2x－1，x≥0}，则A∩B等于( )A．∅B．[0,1)∩(3，＋∞)C．A D．B答案 C解析由题意，得集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{y|y≥0}，那么A∩B＝{x|1＜x＜3}＝A. 3．已知集合M＝{x|log2x＜3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，则M∩N等于( )A．(0,8) B．{3,5,7}C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7}答案 D解析∵M＝{x|0＜x＜8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，∴M∩N＝{1,3,5,7}，故选D.4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为( )A．5 B．6C．12 D．13答案 D解析若x＝5∈A，y＝1∈A，则x＋y＝5＋1＝6∈B，即点(5,1)∈C；同理，(5,2)∈C，(4,1)∈C，(4,2)∈C，(4,3)∈C，(3,2)∈C，(3,3)∈C，(3,4)∈C，(2,3)∈C，(2,4)∈C，(2,5)∈C，(1,4)∈C，(1,5)∈C，所以C中所含元素的个数为13，故选D.5．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，则(∁R A)∩B为( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．[－1,1]C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)答案 C解析 因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)，所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)．6．设有两个命题，命题p ：关于x 的不等式(x －3)·x 2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3}，命题q ：若函数y ＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32＜k ＜0，那么( ) A ．“p 且q ”为真命题 B ．“p 或q ”为真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．“綈q ”为假命题 答案 C解析 不等式(x －3)·x 2－4x ＋3≥0的解集为{x |x ≥3或x ＝1}，所以命题p 为假命题．若函数y ＝kx 2－kx －8的值恒小于0，则－32＜k ≤0，所以命题q 也是假命题，所以“綈p ”为真命题．7．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2＋a 1q2n －1＝a 1q2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要不充分条件．故选C.8．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由命题甲：ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R 可知，当a ＝0时，原式＝1＞0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝(2a )2－4a <0，解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.9．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真 答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．10．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N 等于( ) A ．{x |－3<x <5} B ．{x |－5<x <5} C ．{x |x <－5或x >－3} D ．{x |x <－3或x >5} 答案 C解析 在数轴上表示集合M ，N ，则M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}，故选C. 11．下列四个结论：①若x >0，则x >sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0<0”． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上单调递增，则当x >0时，x －sin x >0－0＝0，即当x >0时，x >sin x 恒成立，故①正确； 对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R ，x －ln x >0”的否定是“∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0”，故④错误． 综上，正确结论的个数为3，故选C.12．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23C.112D.512答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，当集合M ∩N 的长度取最小值时，M 与N 应分别在区间[0,1]的左右两端． 取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.13．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x 2－a ＜0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是______________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]解析 ∵集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ax －5x 2－a ＜0， 得(ax －5)(x 2－a )＜0， 当a ＝0时，显然不成立，当a ＞0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎪⎫x －5a (x －a )(x ＋a )＜0，若a ＜5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜3＜5a ，a ≥1，解得1≤a ＜53；若a ＞5a，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧5a ＜3＜a ，a ≤5，解得9＜a ≤25，当a ＜0时，不符合条件．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，53∪(9,25]． 14．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 答案 0解析 令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.15．若“m ＞a ”是“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________． 答案 －1解析 f (0)＝m ＋23，∵函数y ＝f (x )的图象不过第三象限， ∴m ＋23≥0，即m ≥－23，又“m ＞a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a ＜－23，则实数a 能取的最大整数为－1.16．下列结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”； ②“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件；③若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”； ④若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题． 其中错误结论的序号是______________． 答案 ④解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，所以④错误．。