竞赛讲座 11三角运算及三角不等式
三角不等式使用方法
三角不等式使用方法嘿，朋友们！今天咱就来唠唠三角不等式这玩意儿的使用方法。
啥是三角不等式呀？简单说，就好像是三角形里藏着的秘密规则。
你想啊，三角形，那可是咱几何世界里常见的图形呢。
比如说，在一个三角形里，两边之和肯定得大于第三边吧，这就是三角不等式最基本的表现。
这就好比是你去买东西，你手里的钱得够支付商品的价格吧，不然咋能买得到呢？这道理不是显而易见嘛！那怎么用这个三角不等式呢？咱举个例子哈。
假如你知道了三角形的两条边的长度，那你就能通过三角不等式大概算出第三边的范围呀。
这就像是你知道了自己已经有了多少材料，就能估摸出能做出个多大的东西来。
再比如，在一些几何证明题里，当你感觉没啥头绪的时候，突然想起三角不等式，没准就能找到突破口呢！它就像一把隐藏的钥匙，能打开那扇困住你的门。
还有哦，在实际生活中也能找到三角不等式的影子呢。
你想想看，你要去一个地方，有几条不同的路可以走，那你是不是得考虑哪条路更近呀，这其实不就有点像在找那个满足三角不等式的最优路径嘛。
有时候，我就觉得这三角不等式就像个小精灵，在几何的世界里蹦蹦跳跳，给我们带来各种奇妙的发现。
哎呀，真的是越想越有意思呢！它不是那种死板的规则，而是充满了灵活性和实用性。
咱再深入想想，三角不等式还能和其他的知识结合起来呢。
比如说和三角函数结合，那可就更有趣啦。
总之啊，三角不等式可千万别小瞧了它，它的用处大着呢！学会了怎么用它，就像是掌握了一门独特的技能，能在几何的领域里游刃有余。
所以啊，大家可得好好琢磨琢磨这三角不等式的使用方法，说不定哪天就能派上大用场啦！这可不是我在瞎忽悠，你们自己去试试看就知道啦！。
高中数学竞赛专题讲座——竞赛中的三角恒等问题
高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第一张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________常用的三角恒等公式1.和角与差角公式:sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=,相关变式：①和差为积：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2sin cos 22αβαβαβ-+-=；cos cos 2coscos 22αβαβαβ+-+=；cos cos 2sin sin 22αβαβαβ+--=- ②积化和差：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=--+；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ⋅=++- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ⋅=++-；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；tan tan tan()(1tan tan ),αβαβαβ+=+- tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+③辅助角公式：sin cos )a b αααϕ+=+，其中sin ϕϕ=或者sin cos )a b αααφ+=-，其中sin φφ==注意特殊角的三角函数：11sin,cos ,sin 62623232ππππ====. 2.二倍角公式：sin 22sin cos ααα=；2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；22tan tan 21tan ααα=-.降次公式： ;22cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 万能公式：222222tan 1tan sin 22sin cos ,cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααα-===-=++22tan tan 21tan ααα=-. 3.三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-；3cos34cos 3cos ααα=-sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=；cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα++-⋅⋅++=-⋅-⋅-⋅4.三角恒等的高次问题24sin sin()sin()033ππααα++++=；222243sin sin ()sin (332ππααα++++=； 444249sin sin ()sin (338ππααα++++=2222sin sin cos cos sin()sin()αββααβαβ-=-=+⋅- 2222cos sin cos sin cos()cos()αββααβαβ-=-=+⋅-5.三角的求和问题00021212sincos()sin()sin()222cos()2sin 2sin22nnn k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===+-⋅++-++===∑∑∑ 211(1)sin()sin()sin cos()22222sin sin22n n d ndx d x d x d d +++-+⋅+=.00021212sin sin()cos()cos()222sin()2sin 2sin22n n n k k k d k k x kd x d x d x kd d d ===-+⋅++-++===∑∑∑ 21(1)cos()cos()sin sin()22222sin sin22d n n d ndx x d x d d ++--+⋅+=. 一.有关三倍角公式及其应用例1 有关三倍角公式及其应用（1）3sin 33sin 4sin ααα=-； （2）3cos34cos 3cos ααα=- （3）sin 3sin()sin sin()334ππαααα-⋅⋅+=； （4）cos3cos()cos cos()334ππαααα-⋅⋅+=.求解下列各式：sin18,sin18sin 54,sin 36sin 72︒︒︒︒︒.例2 设实数(1,2,,)i x i n = 满足111x -≤≤ ，且321133223111343434n n n n x x x x x x x x x x x ++⎧=-⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪=⎩ ，求(1,2,,)i x i n = .例3 求值：23cos cos cos 777πππ-+例4 求23tantan tan777πππ，22223tan tan tan 777πππ++，2222222233tan tan tan tan tan tan 777777ππππππ⋅+⋅+⋅ 22223cot cot cot 777πππ++的值. 练习一：1.求函数()cos 46cos317cos 230cos f x x x x x =+++的值域.2.求函数()cos34cos 28cos ,f x x x x x R =++∈的最小值.3.求证：cos33cos 1(3cot cot 3)sin 32ααααα+=-.4.证明：cos 7π为无理数.5.已知数列{}n a 满足13133,2n n n a a a a +=-=，求数列{}n a 的通项公式.二.利用三角恒等公式求解三角值的各种方法与技巧 例5.求下列三角函数的值 （1）cot104cos10︒︒-（2）证明：11sin 2cos cos 2cos 4cos 22sin n nn αααααα+= .（3）求值：(1tan1)(1tan 2)(1tan 45)︒︒︒+++= ____________.（4）证明：1sin()sin 2sin sin()sin[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=.拓展：1sinsin 22sin sin 2sin sin 2n nn αααααα+⋅+++=.拓展：2sin sin sin 3sin 5sin(21)sin n n αααααα+++-= .拓展：sin(1)sin sin 2sin 4sin 6sin 2sin n n n αεααααα++++=拓展：23(1)sin sin sin sin cot 2n n n n n nπππππ-++++= .（5）证明：1cos()sin 2cos cos()cos[(1)]sin 2n nd d d n d d αααα-+⋅+++++-=拓展：1cossin 22cos cos 2cos3cos sin2n nn ααααααα+⋅++++=高中数学竞赛专题讲座9——竞赛中的三角恒等问题（第二张） 林国夫整理 姓名__________班级_____________学号____________拓展：cos(1)sin cos 2cos 4cos 6cos 2sin n n n ααααααα+⋅++++=拓展：cos sin cos cos3cos5cos(21)sin n n n ααααααα⋅++++-= .（6）①求sin1sin 2sin 3sin88sin 89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅ 的值②sin1sin 3sin 5sin 87sin89︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅③44sin 2sin 4sin 6sin88sin 902︒︒︒︒︒⋅⋅⋅⋅= . （7）39cos cos cos 131313πππ++（8）4444357cos cos cos cos 16161616ππππ+++ （9）55557coscos cos 999πππ++ 三.三角恒等变形中的裂项相消法例6 利用三角恒等求证下列各式： （1）证明：1111cot cot 2sin 2sin 4sin 8sin 2nnx x x x x x++++=- .（2）证明：223311111tan tan tan tan cot cot 2222222222n n n n x x x x xx +++++=- .（3）化简：111sin 45sin 46sin 47sin 48sin133sin134︒︒︒︒︒︒+++（4）化简：111sin1sin 2sin 2sin 3sin89sin 90︒︒︒︒︒︒+++（5）化简：2sin 24sin 46sin 6178sin178︒︒︒︒++++（6）化简：111cos33cos33sin 3k k nk kk x xx --=+=∑_______________.（2）由于1111121cos33cos311cot 3cot 3(3cot 3cot 3)(3sin 323233k k k k k kk k k k k x x x x x x x -------+=-=-⋅四.三角恒等中的递推思想例7（利用递归思想求解）证明：对任何的正整数n ，tan 15cot 15nn︒︒+为一个正偶数.练习二：1.(2011江苏)已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+= ．2.（2011山西）2000sin 130sin 70cos80+= ．3. 求sin 20sin 40sin80cos 20cos 40cos80︒︒︒︒︒︒+的值________________ 4.设,,αβγ是公差为3π的等差数列，求tan tan tan tan tan tan S αββγγα=++的值____ 5.（2011江西）sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒= ． 6.求71cos15k k π=∏的值_______________ 7. 求111..._____sin 45sin 46sin 46sin 47sin89sin 90+++=︒︒︒︒︒︒.8.求441(1tan )k k ︒=+∏的值.9.求512cos11k k π=∑的值.10.求57coscos cos 999πππ++的值五.自主招生中的三角恒等问题1.（2017年北京大学博雅计划5）35(1cos )(1cos cos 777πππ+++的值为（ ） A.98 B. 78 C. 34D.前三个答案都不对 2.（2017年北京大学优特数学测试3）9tan102tan 204tan 40tan 80︒︒︒︒++-=________.3.（2010清华大学特色试题）求444sin 10sin 50sin 70︒︒︒++的值.4.（2015年清华大学金秋营1）已知函数31()4sin cos 2sin cos cos 42f x x x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为_________________.5.（2017年北京大学自主招生试题4）3(1cos )(1cos )55ππ++的值为___________.6.（2016年北京大学生命科学冬令营试题5）设322παπ<<，则=_______. 7.（2016年北京大学博雅计划试题7）210cos cos cos 111111πππ 的值为( ) A.116-B.132-C.164- D.前三个答案都不对 8.（2017年清华大学附加科目测试试题5）55557cos cos cos 999πππ++9.（2016年清华大学领军计划13）设24x π=，则sin sin cos 4cos3cos3cos 2x x x x x x+ sin sin cos 2cos cos x xx x x++=_______________.10.（2016年北京大学生命科学冬令营试题16）设7πα=，则222sin sin 2sin 3ααα++的值为_______________.11.（2016年北京大学博雅计划7）210coscos cos 111111πππ⋅= ______________.12.（2015年北京大学化学体验营3）求证：（1）2468101cos cos cos cos cos 11111111112πππππ++++=-. （2）32tan 4sin 1111ππ+=.13.（2014年北京大学全国优秀中学生体验营3）证明：若n 为不小于2的自然数，t R ∈且sin 02t ≠，则2111sin 2(12cos )sin 2n k k p nt pt t -==⎛⎫ ⎪+=⎪ ⎪⎝⎭∑∑.。
三角不等式公式大全
三角不等式公式大全1.三角不等式的基本形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB+AC>BCAC+BC>ABBC+AB>AC2.三角不等式的推广形式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：AB + AC + BC > 2(max{AB, AC, BC})AB+AC-BC<ABAB+BC-AC<BCAC+BC-AB<AC3.正弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边对应的角A,B,C的对边长度，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。
4.余弦定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a² = b² + c² - 2bc*cos(A)b² = c² + a² - 2ca*cos(B)c² = a² + b² - 2ab*cos(C)5.正弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：sin(A) < sin(B) + sin(C)sin(B) < sin(A) + sin(C)sin(C) < sin(A) + sin(B)6.余弦不等式：对于任意三角形ABC，有以下不等式成立：cos(A) > cos(B) - cos(C)cos(B) > cos(A) - cos(C)cos(C) > cos(A) - cos(B)7.等角公式：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角(b+c)sin(A/2) = (c+a)sin(B/2) = (a+b)sin(C/2) = 2 p其中，p为三角形的半周长。
8.密耳定理：对于任意三角形ABC，设a,b,c分别为三边长度，A,B,C分别为对应的角，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R其中，R为三角形外接圆的半径。
竞赛讲座11三角运算及三角不等式
竞赛讲座11――三角运算及三角不等关系三角运算一．三角运算的常规思考三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。
其中的难点与关键在角。
大量的三角运算技巧都与角的处理有关。
遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。
特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。
例1．βα,都是钝角，且1312sin =α，53)cos(=-αβ，求βsin例2．设βα,为锐角，且)sin(sin sin 22βαβα+=+，求证：2πβα=+。
二．三角变换与方程数学公式〔或条件等式〕本身就是一个等量关系，视公式〔或等式〕中的数学对象为值或未知值就成为一个方程。
例3．⎩⎨⎧=+=+a b βαβαcos cos sin sin 〔422≤+b a 〕，求)sin(βα+，)cos(βα+。
三．三角变换与构造法通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题例5．求54cos 52cosππ+的值。
例6．求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22例7．：0cos cos cos 2211=+++n n A A A ααα0)1cos()1cos()1cos(2211=++++++n n A A A ααα求证：对任意R ∈β，恒有0)cos()cos()cos(2211=++++++βαβαβαn n A A A 。
例8 求满足等式4sin 347cos 1215=-+-x x 的锐角x 。
四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。
例9．0>>b a ，求证：22222b a b a ab b a ab +<+<<+。
例10．在△ABC 中，P 为形内一点，PD 、PE 、PF 为P 到三边BC 、CA 、AB 的距离，求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++例11．求函数x x y 3154-+-=的值域。
求解三角不等式
求解三角不等式不等式是数学中一种常见的表达方式，用来表示两个或多个数的大小关系。
而三角不等式则是一类特殊的不等式，涉及三角函数的性质和大小关系。
三角不等式可以分为两种情况讨论：一种是涉及到正弦函数（sin）的不等式，另一种是涉及到余弦函数（cos）的不等式。
下面将详细讨论这两种情况。
一、涉及到正弦函数的不等式对于三角函数sin(x)，我们知道它的取值范围是[-1, 1]，即-1≤sin(x)≤1。
基于这一性质，我们可以得出一系列的三角不等式。
1. sin(x)≤1这是最基本的三角不等式之一。
由于sin(x)的取值范围不能超过1，所以当x为任意实数时，sin(x)≤1始终成立。
2. sin(x)≥-1与上一个不等式类似，sin(x)的取值范围不能小于-1，所以当x为任意实数时，sin(x)≥-1恒成立。
3. -1≤sin(x)≤1这是sin(x)函数的取值范围，也是最常见的三角不等式之一。
根据定义，对于任何实数x，都有-1≤sin(x)≤1。
4. sin(x)≥sin(y)当x > y时，sin(x) ≥ sin(y)。
这是由于对于角度而言，正弦函数是单调递增的。
5. sin(x)≤sin(y)当x < y时，sin(x)≤sin(y)。
同样地，因为正弦函数是单调递增的，当x < y时，sin(x) ≤ sin(y)。
二、涉及到余弦函数的不等式对于三角函数cos(x)，也有类似的不等式规则。
1. cos(x)≤1余弦函数cos(x)的取值范围不能超过1，所以对于任意实数x，cos(x)≤1。
2. cos(x)≥-1同样地，余弦函数cos(x)的取值范围不能小于-1，所以对于任意实数x，cos(x)≥-1。
3. -1≤cos(x)≤1与正弦函数类似，余弦函数cos(x)的取值范围也是-1≤cos(x)≤1。
4. cos(x)≥cos(y)当x > y时，cos(x) ≥ cos(y)。
《三角不等式》 知识清单
《三角不等式》知识清单在数学的广阔天地中，三角不等式是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论中有着关键地位，还在实际应用中发挥着巨大作用。
接下来，让我们一同深入探索三角不等式的奥秘。
一、什么是三角不等式三角不等式是指在三角形中，任意两边长度之和大于第三边的长度。
用数学语言表述就是：对于一个三角形的三条边 a、b、c，有 a ＋ b ＞c，a ＋ c ＞ b，b ＋ c ＞ a。
这看起来似乎很简单，但却是构建三角形的基本规则。
如果不满足这个条件，就无法构成一个有效的三角形。
二、三角不等式的证明证明三角不等式可以通过多种方法。
其中一种常见的方法是利用两点之间线段最短的原理。
假设存在三个点 A、B、C，如果要从点 A 到点 C，直接连接 A、C 两点的线段长度是最短的。
而如果先经过点 B 再到点 C，那么所经过的路径长度（即 AB ＋ BC）必然大于直接连接 A、C 的线段长度，即AC。
同理可证其他两边的情况。
另一种证明方法可以通过代数运算。
假设三角形的三条边分别为a、b、c，并且 c 是最大边。
根据余弦定理：c²＝ a²＋ b² 2ab cos C。
由于－1 ≤ cos C ≤ 1，所以 2ab cos C 的取值范围是－2ab, 2ab。
因此，c²＝ a²＋b² 2ab cos C ≤ a² ＋ b²＋ 2ab ＝（a ＋ b)²，即c ≤a ＋ b。
三、三角不等式的推广三角不等式不仅仅局限于三角形的三条边，还可以推广到更多的情况。
例如，在平面直角坐标系中，对于两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，它们之间的距离 d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²。
如果有三个点 A、B、C，那么｜AB| ＋｜BC| ≥ ｜AC|，这也是三角不等式的一种推广形式。
在三维空间中，对于三个点 A(x₁, y₁, z₁)、B(x₂, y₂, z₂)、C(x₃, y₃, z₃)，它们之间的距离分别为 d₁＝√（x₂ x₁)²＋（y₂ y₁)²＋（z₂ z₁)²，d₂＝√（x₃ x₂)²＋（y₃ y₂)²＋（z₃ z₂)²，d₃＝√（x₃ x₁)²＋（y₃ y₁)²＋（z₃ z₁)²，同样有 d₁＋ d₂ ≥ d₃。
高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明 如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用 例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc
x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注 换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作 代 换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。 那么可取 p n .若它 只需对 s n 进行证明。 如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1， 们 之 中 至 少 有 一 个 大 于 1 ， 则 不 妨 设 x1 x2 ...x p 是 其 中 的 最 大 值 ， 有
数学竞赛三角形的基本问题三角不等式
第九章 三角形的基本问题
二、三角不等式
定理：三角形两边之和大于第三边。
推论：三角形两边之差小于第三边。
定理：若A 、B 、C 为平面上任意三点，则必有AB ≦AC+BC,BC ≦AB+AC,CA ≦CB+AB, 当且仅当A 、B 、C 三点共线时，等号成立。
1.若一个三角形的周长为P ，问三角形的最大边长度在哪个范围。
2.五条线段的长分别是3,5,7,9,11.将其中不同的三个数组成三数组，比如（3，5，7），（5，9，
11），….,问有多少组中的三个数恰可构成一个三角形的三条边之长?
3.如图1,P 为△ABC 内一点.
求证:AB+AC >PB+PC
4.如图2,在△ABC 中,AB=2AC.问:
(1)△ABC 中,哪条边是最小边?
(2)证明: △ABC 中最小边大于周长的61且小于周长的4
1.
P C B A 图1C
B A 图2
5.如图3,O 为△ABC 内任一点.
求证:21(AB+BC+CA)<OA+OB+OC <AB+BC+CA
6.如图4,A 、B 、C 、D 是一个四边形的四个顶点，在ABCD 所在平面上求一点P ，使得PA+PB+PC+PD 最小。
7.如图5，凸四边形ABCD 中，已知AB+BD ≤AC+CD
求证：AB<AC
8.三个小精灵住在平面上的不同地点，它们的行走速度分别为每小时1千米、2千米和3千米。
试问，应当在什么位置选择一个会面地点，使得它们由住处（沿直线）到达会面地点所需要的时间之和最小？ O
C B A
图3C B A 图4D O
C B A 图5
D。
高中数学解题技巧之三角不等式
高中数学解题技巧之三角不等式三角不等式是高中数学中一个重要的概念，它在解决不等式问题时起着关键作用。
本文将介绍三角不等式的概念和性质，并通过具体题目的解析，帮助读者掌握解题技巧。
一、三角不等式的概念和性质三角不等式是指涉及三角函数和不等式的关系。
常见的三角不等式包括正弦不等式、余弦不等式和正切不等式。
这些不等式可以帮助我们确定三角函数的取值范围，从而解决不等式问题。
以正弦不等式为例，对于任意一个角度θ，有如下不等式成立：-1 ≤ sinθ ≤ 1这意味着正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。
类似地，余弦函数和正切函数也有相应的不等式。
三角不等式的性质包括：1. 三角函数的取值范围是有界的，即存在上下界；2. 不等式中的等号成立的条件可以帮助我们找到特殊解；3. 不等式可以通过代数运算和几何图形的分析来解决。
二、正弦不等式的解题技巧正弦不等式常用于解决角度范围的问题。
下面通过一个具体的例子来说明解题技巧。
例题：求解sinθ > 0的解集。
解析：首先，我们知道正弦函数在第一和第二象限为正，而在第三和第四象限为负。
因此，sinθ > 0成立的条件是θ属于第一和第二象限。
接下来，我们可以通过几何图形的分析来确定解集。
将单位圆的正弦函数图像绘制出来，我们可以看到正弦函数在[0, π]和[2π, 3π]区间内为正。
所以，解集可以表示为θ∈[0, π]∪[2π, 3π]。
这个例子展示了如何通过对三角函数的性质和图像的分析，来解决三角不等式问题。
在解题过程中，我们可以利用相关知识点，如角度的周期性和对称性，来简化计算和确定解集。
三、余弦不等式的解题技巧余弦不等式常用于解决角度的范围和区间的问题。
下面通过一个具体的例子来说明解题技巧。
例题：求解cosθ ≤ 1/2的解集。
解析：根据余弦函数的性质，我们知道余弦函数在第一和第四象限为正，而在第二和第三象限为负。
因此，cosθ ≤ 1/2成立的条件是θ属于第一和第四象限。
三角不等式定理
三角不等式定理1. 引言三角不等式定理是几何中一个重要的定理，它描述了三角形边长之间的关系。
三角不等式定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍三角不等式定理的定义、证明、应用以及相关的例题。
2. 定义三角不等式定理是指对于任意三角形ABC，其任意两边之和大于第三边的关系，即：AB + BC > AC AC + BC > AB AB + AC > BC3. 证明要证明三角不等式定理，可以使用几何证明和代数证明两种方法。
3.1 几何证明首先，假设三角形ABC的边长分别为AB、BC、AC。
我们可以通过以下步骤来证明三角不等式定理：1.作边AD，使得AD与BC平行，并延长AD至交点E；2.连接BE，AE；3.根据平行线的性质，我们可以得到△BDE与△ACD相似；4.根据相似三角形的性质，我们可以得到BD/AC = BE/AD 和 DE/AC = CD/AD；5.由于BE = BD + DE，所以BD/AC + DE/AC = (BD + DE)/AC = BE/AD =BC/AD；6.由于DE/AC = CD/AD，所以DE/AC + CD/AD = (DE + CD)/AC = DC/AD；7.根据三角形的内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°；8.由于∠BAC + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠ABC = 180°；9.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠ACB = 180°；10.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAD + ∠ACB + ∠BCD = 180°；11.由于∠BAD + ∠ACB = ∠BAE，所以∠BAE + ∠BCD = 180°；12.由于∠BAD + ∠BCD = ∠BAC，所以∠BAC + ∠BAE = 180°；13.根据三角形内角和为180°，我们知道∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；14.由于∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = ∠BAC + ∠BCD，所以∠BAC + ∠BCD =180°；15.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAC + ∠BCD + ∠ABC = 180°；16.由于∠BAC + ∠ABC = ∠BAD，所以∠BAD + ∠BCD = 180°；17.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = 180°；18.由于∠BAD + ∠BCD + ∠ACB = ∠BAD + ∠ACB，所以∠BAD + ∠ACB =180°；19.根据三角形内角和为180°，我们得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = 180°；20.综上所述，我们可以得到∠BAD + ∠ACB + ∠ABC = ∠BAC + ∠BCD +∠ABC = ∠BAC + ∠BAE + ∠ACB = 180°；21.根据角度关系，我们可以得到△ABC与△BAD相似；22.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD = BC/AD；23.根据BD/AC + DE/AC = BC/AD 和 DE/AC + CD/AD = DC/AD，我们可以得到BD/AC + CD/AD = BC/AD；24.根据AC/BD = BC/AD 和 BD/AC + CD/AD = BC/AD，我们可以得到AC/BD +CD/AD = BC/AD；25.根据两边之和大于第三边的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC > CD/AD；26.根据相似三角形的性质，我们可以得到AC/BD + BD/AC = AB/AD；27.综上所述，我们可以得到AB/AD > CD/AD，即AB + BC > AC。
三角基本不等式公式(一)
三角基本不等式公式(一)三角基本不等式公式1. 三角不等式三角不等式是指对于任意三个角度 A、B 和 C，其满足以下不等式：| sin(A) | + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2解释说明：对于任意三角形，其三个角度的正弦值的绝对值之和至少大于等于 2。
例如，考虑一个直角三角形，其中一个角度为90°，即 A = 90°。
由于正弦函数的定义域为 -1 到 1，因此sin(90°) = 1。
代入三角不等式：| sin(90°) | + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2化简得：1 + | sin(B) | + | sin(C) | ≥ 2由于正弦函数的值都在 -1 到 1 之间，因此上式始终成立。
这说明三角不等式是成立的。
2. 三角锐角不等式三角锐角不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：sin(A) ≤ A ≤ tan(A)解释说明：对于任意锐角 A，其正弦值小于等于自身、角度小于等于自身、正切值大于等于自身。
例如，考虑一个锐角A = 30°。
代入三角锐角不等式：sin(30°) ≤ 30° ≤ tan(30°)化简得：≤ 30° ≤上式是成立的，因为sin(30°) = 、tan(30°) ≈ 。
3. 三角余弦不等式三角余弦不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：cos(A) ≤ sin(A) ≤ 1解释说明：对于任意锐角 A，其余弦值小于等于正弦值，正弦值小于等于 1。
例如，考虑一个锐角A = 45°。
代入三角余弦不等式：cos(45°) ≤ sin(45°) ≤ 1化简得：≤ ≤ 1上式是成立的，因为cos(45°) ≈ 。
4. 三角正切不等式三角正切不等式是指对于任意锐角 A，其满足以下不等式：sin(A) ≤ tan(A) ≤ sec(A)解释说明：对于任意锐角 A，其正弦值小于等于正切值、正切值小于等于正割值。
高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式
高中奥林匹克数学竞赛讲座三角恒等式和三角不等式知识、方法、技能三角恒等变形，既要遵循代数式恒等变形的一般法则，又有三角所特有的规律. 三角恒等式包括绝对恒等式和条件恒等式两类。
证明三角恒等式时，首先要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的繁简程度，以决定恒等变形的方向；其次要观察已知与求证或所证恒等式等号两边三角式的角、函数名称、次数以及结构的差别与联系，抓住其主要差异，选择恰当的公式对其进行恒等变形，从而逐步消除差异，统一形式，完成证明.“和差化积”、“积化和差”、“切割化弦”、“降次”等是我们常用的变形技巧。
当然有时也可以利用万能公式“弦化切割”，将题目转化为一个关于2tanxt =的代数恒等式的证明问题. 要快捷地完成三角恒等式的证明，必须选择恰当的三角公式. 为此，同学们要熟练掌握上图为三角公式脉络图，由图可见两角和差的三角函数的公式是所有三角公式的核心和基础. 此外，三角是代数与几何联系的“桥梁”，与复数也有紧密的联系，因而许多三角问题往往可以从几何或复数角度获得巧妙的解法. 三角不等式首先是不等式，因此，要掌握证明不等式的常用方法：配方法、比较法、放缩法、基本不等式法、数学归纳法等. 其次，三角不等式又有自己的特点——含有三角式，因而三角函数的单调性、有界性以及图象特征等都是处理三角不等式的锐利武器. 三角形中有关问题也是数学竞赛和高考的常见题型. 解决这类问题，要充分利用好三角形内角和等于180°这一结论及其变形形式. 如果问题中同时涉及边和角，则应尽量利用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行转化，实现边角统一. 求三角形面积的海伦公式)](21[))()((c b a p c p b p a p p S ++=---=其中，大家往往不甚熟悉，但十分有用. 赛题精讲例1：已知.cos sin )tan(:,1||),sin(sin AA A -=+>+=βββαβαα求证【思路分析】条件涉及到角α、βα+，而结论涉及到角βα+，β.故可利用αβαβββαα-+=-+=)()(或消除条件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A ”入手. 【证法1】 ),sin(sin βαα+=A),sin()sin(βαββα+=-+∴A),cos(sin ))(cos sin(),sin(sin )cos(cos )sin(βαβββαβαββαββα+=-++=+-+A A.cos sin )tan(,0)cos(,0cos ,1||AA A -=+≠+≠-∴>βββαβαβ从而【证法2】αβαβββαβααββββsin )sin(cos sin )sin()sin(sin cos sin sin sin -++=+-=-A).tan(sin )cos(sin )sin(])sin[()sin(cos sin )sin(βαββαββαββαβαβββα+=++=-+-++=例2：证明：.cos 64cos 353215cos 77cos 7x x x ocs x x =+++ 【思路分析】等号左边涉及角7x 、5x 、3x 、x 右边仅涉及角x ，可将左边各项逐步转化为x sin 、x cos 的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次. 【证明】因为,cos 33cos cos 4,cos 3cos 43cos 33x x x x x x +=-=所以 从而有x x x x x 226cos 9cos 3cos 63cos cos 16++= =)2cos 1(29)2cos 4(cos 326cos 1x x x x +++++xx x x x x x x x x x x x cos 20cos 2cos 30cos 4cos 12cos 6cos 2cos 64,2cos 992cos 64cos 66cos 1cos 3276+++=+++++=.cos 353cos 215cos 77cos cos 20cos 153cos 153cos 65cos 65cos 7cos x x x x xx x x x x x +++=++++++=【评述】本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令77)1(cos 128,,1cos 2,sin cos zz z z i z +=+=+=αααα从而则，展开即可. 例3：求证：.112tan 312tan 18tan 18tan 3=++【思路分析】等式左边同时出现12tan 18tan 、12tan 18tan +，联想到公式βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+.【证明】 12tan 312tan 18tan 18tan 3++112tan 18tan )12tan 18tan 1)(1218tan(312tan 18tan )12tan 18(tan 3=+-+⨯=++=【评述】本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证)43tan 1()2tan 1)(1tan 1(+++222)44tan 1(=+ 等.例4：已知.20012tan 2sec :,2001tan 1tan 1=+=-+αααα求证【证明】)4tan()22sin()22cos(12cos 2sin 12tan 2sec απαπαπαααα+=++-=+=+.2001tan 1tan 1=-+=αα 例5：证 明：.3sin )60sin()60sin(sin 4θθθθ=+- 【证明】θθθ3sin 4sin 33sin -=)60sin()60sin(sin 4)sin 60cos cos 60)(sin sin 60cos cos 60(sin sin 4])sin 21()cos 23[(sin 4)sin 41cos 43(sin 4)sin 43(sin 422222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+=-+=-=-=-=【评述】这是三倍角的正弦的又一表示. 类似地，有)60cos()60cos(cos 43cos θθθθ+-=)60tan()60tan(tan 3tan θθθθ+-+= . 利用这几个公式可解下例.例6：求证：①16178cos 66cos 42cos 6cos = ②sin1°sin2°sin3°…sin89°=.106)41(45⨯【证明】①cos6°cos42°cos66°cos78°=cos6°cos54°cos66°54cos 78cos 42cos ⨯.16154cos 4)183cos(4154cos 478cos 42cos 18cos =⨯==②sin1°sin2°sin3°…sin89°=(sin1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°sin89°)sin30°sin60° =4387sin 6sin 3sin )41(29⨯60sin 30sin )87sin 33sin 27(sin )66sin 54sin 6)(sin 63sin 57sin 3(sin 3)41(30=45sin )54sin 36)(sin 63sin 27)(sin 72sin 18)(sin 18sin 9(sin 3)41(81sin 18sin 9sin 3)41(4040⋅⨯⨯=⋅⨯=36sin 18cos 223)41(54cos 72sin 223)41(54cos 18sin 36cos 18cos 223)41(54cos 72cos 36cos 18cos 223)41(18cos 36cos 54cos 72cos 223)41(72sin 54sin 36sin 18sin 223)41(434342424242⨯=⨯=⨯=⨯=⨯=⋅= 又)72cos 1)(36cos 1(41)36sin 18(cos 2 -+=165)72cos 36cos 1(41)72cos 36cos 72cos 36cos 1(41=+=--+=即 .4536sin 18cos =所以 .106)41(89sin 2sin 1sin 45⨯= 例7：证明：对任一自然数n 及任意实数m n k mx k,,,2,1,0(2=≠π为任一整数），有.2cot cot 2sin 14sin 12sin 1x x xx x n n-=+++ 【思路分析】本题左边为n 项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许多中间项.【证明】,2cot cot 2sin 2cos cos sin 2cos 22sin 2cos cos 22sin 122x x x xx x x x x x x -=-=-=同理x x x4cot 2cot 4sin 1-=……x x xnn n2cot 2cot 2sin 11-=- 【评述】①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：n n n n -=-+++ααααααααtan tan tan )1tan(3tan 2tan 2tan tan .1cot 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1.2cot 2cot 2tan 22tan 22tan 2tan 1122=+++-=++++++ααααααn n n n 例8：证明：.2sin21sin )2sin()sin()2sin()sin(sin βββαβαβαβαα++=+++++++n n n 【证明】)],2cos()2[cos(212sinsin βαβαβα--+-=)]sin()2sin()sin([sin 2sin,,)]212cos()212[cos(212sin )sin(,)]23cos()25[cos(212sin )2sin()],2cos()23[cos(212sin)sin(βαβαβααββαβαββαβαβαββαβαβαββαn n n n +++++++-+-++-=++-+-=++-+-=+各项相加得类似地.21sin )2sin()]2cos()212[cos(21ββαβαβα++=--++-=n n n所以，.2sin21sin )2sin()sin()sin(sin βββαβαβαα++=+++++n n n 【评述】①本题也可借助复数获证.②类似地，有.2sin)2cos(21sin)cos()cos(cos ββαββαβααnn n ++=+++++利用上述公式可快速证明下列各式：2sin 21cos 2sin cos 3cos 2cos cos θθθθθθθ+=++++n n n.2197cos 95cos 93cos 9cos .2175cos 73cos 9cos等=+++=++πππππππ针对性训练题1．证明：sin47°+sin61°－sin11°－sin25°=cos7°. 2．证明：.sin sin )cos(2sin )2sin(αββααβα=+-+3．已知：sin A +sin B +sin C =0，cos A +cos B +cos C =0.求证：sin2A +sin2B +sin2C =0，cos2A +cos2B +cos2C =0. 4．已知.03sin 312sin 21sin :),,0(=++∈θθθπθ求证 5．已知αβαβπβα-=<<<求且,tan 3tan ,20的最大值.6．已知α、β、γ、θθγβαπθγβαπsin sin sin sin .),2,0(==+++∈y 求且的最大值. 7．△ABC 中，C=2B 的充要条件是.22ab b c =-8．△ABC 中，已知A 2sin 、B 2sin 、C 2sin 成等差数列，求证：A cot 、B cot 、C cot 也成等差数列.9．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知c a b +=2，求B 的最大值. 10．若α、),2,0(πβ∈能否以αsin 、βsin 、)sin(βα+的值为边长构成一个三角形.11．求函数x x y 382-++=的值域.12．求函数22122++++=x x xy 的值域.。
三角函数不等式的解法
三角函数不等式的解法在解决数学问题中，三角函数不等式是一类常见且重要的问题。
它涉及到三角函数的不等式关系，需要通过一定的方法和技巧来求解。
本文将介绍一些常用的解法，帮助读者更好地理解和应用三角函数不等式。
一、基本概念回顾在探究三角函数不等式的解法之前，我们先来回顾一下基本的三角函数概念。
在一个单位圆上，以圆心为原点，任意一个点P(x,y)的坐标就可以表示为(x,y)=（cosθ，sinθ）。
其中，θ为该点P与x轴正半轴的夹角。
根据这一概念，我们可以定义出三个常用的三角函数：正弦函数sinθ= y，余弦函数cosθ= x，和正切函数tanθ= y/x。
二、三角函数的周期性了解三角函数的周期性对于解决三角函数不等式问题至关重要。
我们知道，正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即sin(θ+2πn)=sinθ，cos(θ+2πn)=cosθ，其中n为整数。
而正切函数的周期为π，即tan(θ+πn)=tanθ，其中n为整数。
这一周期性特点使得我们能够简化三角函数不等式的求解过程。
三、基本不等式在解决三角函数不等式时，我们需要首先掌握一些基本的不等式关系。
1. sinθ≤1，cosθ≤1，t anθ不存在π/2的整数倍；2. sinθ≥-1，cosθ≥-1，tanθ不存在π的整数倍。
利用这些基本的不等式关系，我们可以将三角函数不等式问题转化为寻找不等式的解集合。
四、三角函数不等式的求解方法接下来，我们将介绍一些常用的解三角函数不等式的方法。
1. 借助图形法对于一些简单的三角函数不等式，我们可以通过绘制函数图像来求解。
通过观察图像的变化趋势，确定函数的取值范围，从而求解不等式。
2. 利用周期性和对称性根据三角函数的周期性和对称性，我们可以将不等式的解集合扩展到整个定义域上。
例如，sinθ＞0，我们可以得到不等式的解集为(2nπ, (2n+1)π)，其中n为整数。
3. 利用三角函数的单调性掌握三角函数的单调性也是解决三角函数不等式的关键。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
三角形不等式
• 窍门1：在解决三角形不等式问题时，要学会观察题目中的条件，找到解决问题的关键。 • 窍门2：在解决三角形不等式问题时，要学会运用三角形不等式的性质，简化问题，提高解 题效率。 • 窍门3：在解决三角形不等式问题时，要学会运用代数方法，如代入法、因式分解法等，帮 助解决问题。
三角形不等式的实际 应用案例
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三角形不等式的习题拓展
• 拓展1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a^2 + b^2 > c^2，b^2 + c^2 > a^2，a^2 + c^2 > b^2。 • 拓展2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证sin(A + B) + sin(B + C) + sin(A + C) < 3。 • 拓展3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a^2 - b^2| < c^2，|b^2 - c^2| < a^2， |a^2 - c^2| < b^2。
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三角形不等式的习题与解答
三角形不等式的经典习题
• 三角形不等式的经典习题 • 题目1：已知三角形的三边长分别为a、b、c，求证a + b > c，b + c > a，a + c > b。 • 题目2：已知三角形的三内角分别为A、B、C，求证A + B + C < 180°，A + B > 90°，B + C > 90°，A + C > 90°。 • 题目3：已知三角形的两边长分别为a、b，求证|a - b| < c， |b - c| < a，|a - c| < b。
竞赛讲座 11三角运算及三角不等式
竞赛讲座11――三角运算及三角不等关系三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。
由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。
三角运算一．三角运算的常规思考三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。
其中的难点与关键在角。
大量的三角运算技巧都与角的处理有关。
遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。
特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。
例1．已知βα,都是钝角，且1312sin =α，53)cos(=-αβ，求βsin例2．设βα,为锐角，且)sin(sin sin 22βαβα+=+，求证：2πβα=+。
二．三角变换与方程数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。
例3．已知⎩⎨⎧=+=+a b βαβαcos cos sin sin （422≤+b a ），求)sin(βα+，)cos(βα+。
三．三角变换与构造法通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题例5．求54cos 52cosππ+的值。
例6．求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 22例7．已知：0cos cos cos 2211=+++n n A A A ααα0)1cos()1cos()1cos(2211=++++++n n A A A ααα求证：对任意R ∈β，恒有0)cos()cos()cos(2211=++++++βαβαβαn n A A A 。
例8 求满足等式4sin 347cos 1215=-+-x x 的锐角x 。
四．三角法引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。
竞赛知识集锦(三角、数列、不等式)
高中数学竞赛基本知识集锦一、三角函数 常用公式由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。
但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。
先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式2cos 12sinαα-±= 2cos 12cosαα+±= αααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan+=-=+-±= 积化和差()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin和差化积2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-万能公式ααα2tan 1tan 22sin +=ααα22tan 1tan 12cos +-= ααα2tan 1tan 22tan -=三倍角公式()()αααααα+-=-= 60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()()αααααα+-=-= 60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3二、某些特殊角的三角函数值三、三角函数求值给出一个复杂的式子，要求化简。
这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。
要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子求值：76cos 74cos 72cosπππ++ 提示：乘以72sin 2π，化简后再除下去。
初中数学知识归纳解三角函数方程与不等式的方法
初中数学知识归纳解三角函数方程与不等式的方法数学中的三角函数方程与不等式是初中数学中的一部分重要内容，掌握解三角函数方程与不等式的方法对我们理解和解决实际问题有很大的帮助。
本文将归纳总结初中数学中解三角函数方程与不等式的常见方法。
一、解三角函数方程的方法1. 平凡解法对于某些简单的三角函数方程，我们可以通过观察特点来得到平凡解。
例如，对于方程sin(x) = 0，我们知道当x为0或π或2π等整数倍时，sin(x)为0，所以这些都是方程的平凡解。
2. 角度关系法三角函数的周期性是解三角函数方程的重要性质，我们可以利用角度关系来解方程。
例如，对于方程sin(x) = sin(α)，我们知道sin(x) = sin(π-α)或sin(x) = sin(π+α)等，利用这些角度关系，我们可以求得方程的解。
3. 和差化积法当方程中出现多个三角函数时，可以利用和差化积公式化简方程。
例如，对于方程sin(x)cos(x) = 0，我们可以利用和差化积公式将其化简为sin(2x) = 0，然后再求解sin(2x) = 0的方程。
4. 代换法有时候，我们可以通过进行代换来将复杂的方程转化为简单的方程。
例如，对于方程sin(x) + cos(x) = 1，我们可以通过代换sin(x) = t或cos(x) = t将其转化为关于t的方程，然后求解t的方程，最后再将t的解代回原方程得到x的解。
二、解三角函数不等式的方法1. 图像法通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的取值范围，从而解决三角函数不等式。
例如，对于不等式sin(x) > 0，我们知道在0到π之间，sin(x)的取值大于0，所以不等式的解为x属于(0,π)。
2. 移项法对于某些简单的三角函数不等式，可以通过移项来解决。
例如，对于不等式sin(x) < 1，我们可以将其移项得到sin(x) - 1 < 0，然后再求解sin(x) - 1 < 0的方程。
三角不等式.
三角不等式竞赛热点含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。
在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。
处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。
同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。
解题示范例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.321cos31cos 21cos >n思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用xx <sin 放缩，转化为代数不等式。
证明：因为.121311110<<<<-<<n n所以.11sin0kk<<又.)1)(1(111sin11cos2222k k k k kk+-=->-=所以)11()3432)(2321()1cos31cos21(cos2nn nn n+∙-∙∙>.)32(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=nn nn nn即.321cos31cos21cos>n点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sinx x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。
例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。
证明：因为3sinsin sin sin 321321αααααα+++++ 62cos64sin22cos2sin23213212121αααααααααα-++++-+=3sin462cos3sin 464sin22sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤所以.3sin3sin sin sin 321321αααααα++≤++引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。
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江阴市石庄中学初三三班转传.
竞赛讲座11
――三角运算及三角不等关系
三角运算的基本含义是应用同角公式、诱导公式、加法定理（和、差、倍、半角公式等的统称），对三角式作各种有目的的变形（主要指恒等变形），有时表现为计算求值、有时表现为推理证明。
由于三角公式很多，并且存在着联系，因此一定要注意选择公式的目的性与简单性。
三角运算
一．三角运算的常规思考
三角运算主权涉及3个主要变形：角、函数名称、运算方式。
其中的难点与关键在角。
大量的三角运算技巧都与角的处理有关。
遇到一个三角问题，从角、函数名称、运算方式这3个主要方面去寻找下手地方与前进方向是解题的有效思考。
特别地，对于证明题，从找条件与结论的差异入手，并向着消除差异的方向前进，常能成功。
例1．已知βα,都是钝角，且1312sin =
α，5
3)cos(=-αβ，求βsin
例2．设βα,为锐角，且)sin(sin sin 2
2βαβα+=+，求证：2πβα=+。
二．三角变换与方程
数学公式（或条件等式）本身就是一个等量关系，视公式（或等式）中的数学对象为已知值或未知值就成为一个方程。
例3．已知⎩⎨
⎧=+=+a b βαβαcos cos sin sin （422≤+b a ），求)sin(βα+，)cos(βα+。
三．三角变换与构造法
通过构造对偶式、构造方程、构造函数、构造图形等途径来求解三角问题
例5．求5
4cos 52cos
ππ+的值。
例6．求值：︒︒-︒+︒80sin 40sin 50cos 10cos 2
2
例7．已知：0cos cos cos 2211=+++n n A A A ααα
0)1cos()1cos()1cos(2211=++++++n n A A A ααα
求证：对任意R ∈β，恒有0)cos()cos()cos(2211=++++++βαβαβαn n A A A 。
例8 求满足等式4sin 347cos 1215=-+-x x 的锐角x 。
四．三角法
引进三角函数，进行三角变形去解决其他代数、几何问题。
例9．已知0>>b a ，求证：2
222
2b a b a ab b a ab +<+<<+。
例10．在△ABC 中，P 为形内一点，PD 、PE 、PF 为P 到三边BC 、CA 、AB 的距离，求证：)(2PF PE PD PC PB PA ++≥++
例11．求函数x x y 3154-+-=的值域。
三角不等关系
这是一个与三角恒等变形密切相关的问题，主要包括两个方面：三角不等式与三角最值。
这两个方面在处理方法上在同小异，并互为所用。
一．三角不等式的证明
证明三角不等式注意3点：
（1）三角不等式首先是不等式，因此，不等式的有关性质和证明方法在这里都用得上。
（2）三角不等式又有自己的特点——含三角函数，因而，三角函数的单调性、有界性（或极值），正负区间，图像特征都是处理三角不等式的锐利武器。
（3）三角形内的不等式是一类特殊的三角不等式，无论在结构上还是在证法上都有特别之处，需要加倍注意。
例12．若πθ<<0，求证：03sin 3
12sin 21sin >++
θθθ
例13．已知πθ<<0，证明：22sin 2θθctg
≤，并讨论等号成立的条件。
例14．已知)2,
0(,πβα∈，能否以αsin ，βsin ，)sin(βα+的值为边长，构成三角形。
例15．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，求证：
3
π≥++++c b a cC bB aA 。
例16．在锐角△ABC 中，求证
（1）C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++；（2）1>tgAtgBtgC
二．三角最值的求解
例17．求函数x x x x b x a x f 22cos cos sin sin )(++=的最大值、最小值)0,(≠≠b c a
例18．求btgx x a y -=
|cos |的最小值，其中0>>b a
例19．求函数2sin 1sin 3++=
x x y 的最值。
例20．设12π
≥≥≥z y x ，且2π
=++z y x ，求乘积z y x cos sin cos 的最大值和最小值。
习题
1．︒
-︒︒
20cos 135cos 20cos = 。
2．)34(cos )32(cos cos 222ππ+++
+x x x = 。
3．若Φ≠=++}0sin cos |{2m x x x ，求m 的取值范围。
4．在△ABC 中，2
sin 2sin 2sin C B A 的最大值为 。
5．设n x x x ,,21为n 个实数，则M x x x x x x n n ≤+sin sin sin cos cos cos 2121 时，则M 的最小值为 。
6．函数x
x x x x f 2222sin 1cos cos 1sin )(+++=的值域为 。
7．对任意实数C B A ,,，求A C C B B A 2
22222cos sin cos sin cos sin ++的最大值。
8．在矩形ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，且BD AP ⊥，BC PE ⊥于E ，CD PF ⊥于F ，求证：1)()(3232=+BD
PF BD PE 。
9．任给13个互不相等的实数，求证其中至少有两个实数y x ,满足3210-<+-<xy
y x 。
10在△ABC 中，求证：B b A a c cos cos +≥；A a C c b cos cos +≥；
A a
B b a cos cos +≥。
11．设α为锐角，求证：223)cos 11)(sin 11(+≥++α
α 12．对)2,0(π
∈x ，求证：tgx x x +<sin 2。