2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(一)-含答案
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 章末复习
学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.提高解决等差数列、等比数列问题的能力，培养综合运用知识解决问题的能力．知识点一 梳理本章的知识网络知识点二 对比归纳等差数列和等比数列的基本概念和公式知识点三本章公式推导和解题过程中用到的基本方法和思想1．在求等差数列和等比数列的通项公式时，分别用到了________法和________法；2．在求等差数列和等比数列的前n项和时，分别用到了________________和________________．3．等差数列和等比数列各自都涉及5个量，已知其中任意____个求其余____个，用到了方程思想．4．在研究等差数列和等比数列单调性，等差数列前n 项和最值问题时，都用到了________思想．5．等差数列和等比数列在很多地方是相似的，发现和记忆相关结论时用到了类比．类型一 方程思想求解数列问题例1 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .反思与感悟 在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q (d )，S n ，其中首项a 1和公比q (公差d )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，q (d )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．跟踪训练1 记等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .类型二 转化与化归思想求解数列问题 例2 在数列{a n }中，S n ＋1＝4a n ＋2，a 1＝1. (1) 设c n ＝a n2n ，求证：数列{c n }是等差数列；(2) 求数列{a n }的通项公式及前n 项和的公式．反思与感悟 由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．跟踪训练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．类型三 函数思想求解数列问题命题角度1 借助函数性质解数列问题例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是一个等比数列的第2项、第3项、第4项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t 36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．反思与感悟 数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n }，这一特殊性对问题结果可能造成影响．跟踪训练3 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N ＋)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N ＋)，求数列{T n }最大项的值与最小项的值．命题角度2 以函数为载体给出数列例4 已知函数f (x )＝2－|x |，无穷数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，n ∈N ＋. (1)若a 1＝0，求a 2，a 3，a 4；(2)若a 1＞0，且a 1，a 2，a 3成等比数列，求a 1的值．反思与感悟 以函数为载体给出数列，只需代入函数式即可转化为数列问题． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝2x ＋33x，数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝⎛⎭⎫1a n，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n .1．设数列{a n }是公差不为零的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和(n ∈N ＋)，且S 21＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式是____________．2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝32n 2－292n (n ＝1,2,3，…)，则此数列的通项公式为____________；数列{na n }中数值最小的项是第________项．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }、{b n }的通项公式．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．答案精析知识梳理 知识点三 1．叠加 叠乘2．倒序相加法 错位相减法 3．三 两 4．函数 题型探究 类型一例1 解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2. 设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2， 可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n ， ∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2.又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2. 故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2(n ∈N ＋)．跟踪训练1 S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )，n ∈N ＋.类型二例2 (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋2，① 则当n ≥2，n ∈N ＋时，有S n ＝4a n －1＋2.②①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1.方法一 对a n ＋1＝4a n －4a n －1两边同除以2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝2a n 2n －a n －12n －1， 即a n ＋12n ＋1＋a n －12n －1＝2a n 2n ， 即c n ＋1＋c n －1＝2c n ， ∴数列{c n }是等差数列． 由S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 则a 2＝3a 1＋2＝5， ∴c 1＝a 12＝12，c 2＝a 222＝54，故公差d ＝54－12＝34，∴{c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．方法二 ∵a n ＋1－2a n ＝2a n －4a n －1 ＝2(a n －2a n －1)， 令b n ＝a n ＋1－2a n ，则{b n }是以a 2－2a 1＝4a 1＋2－a 1－2a 1＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴b n ＝3·2n －1，∵c n ＝a n2n ，∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n2n ＋1＝b n 2n ＋1＝3×2n －12n ＋1＝34，c 1＝a 12＝12，∴ {c n }是以12为首项，34为公差的等差数列．(2)解 由(1)可知数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)34＝34n －14， a n ＝(3n －1)·2n－2是数列{a n }的通项公式．设S n ＝(3－1)·2－1＋(3×2－1)·20＋…＋(3n －1)·2n －2，∴2S n ＝(3－1)·20＋(3×2－1)·21＋…＋(3n －1)·2n －1，故S n ＝2S n －S n＝－(3－1)·2－1－3(20＋21＋…＋2n －2)＋(3n －1)·2n －1＝－1－3×2n －1－12－1＋(3n －1)·2n －1＝－1＋3＋(3n －4)·2n －1＝2＋(3n －4)·2n －1.∴ 数列{a n }的前n 项和公式为 S n ＝2＋(3n －4)·2n －1，n ∈N ＋.跟踪训练2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2 ＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2 ＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0， 即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 类型三命题角度1例3 解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2， 整理得2a 1d ＝d 2. ∵d >0，∴d ＝2.∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N ＋)． (2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的． ∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9. 又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪训练3 解 (1)a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得 S n ＝1－(－12)n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32. 故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n ＜1， 故0＞S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N ＋，总有－712≤S n －1S n ≤56且S n －1S n≠0. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 命题角度2例4 解 (1)由a n ＋1＝f (a n ) ⇒a n ＋1＝2－|a n |，a 1＝0⇒a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2.(2)∵a 1，a 2，a 3成等比数列⇒a 3＝a 22a 1＝2－|a 2|⇒a 22＝a 1·(2－|a 2|)， 且a 2＝2－|a 1|⇒(2－|a 1|)2＝a 1[2－|2－|a 1||]⇒(2－a 1)2 ＝a 1[2－|2－a 1|]，分情况讨论：①当2－a 1≥0时，(2－a 1)2＝a 1[2－ (2－a 1)]＝a 21⇒a 1＝1，且a 1≤2； ②当2－a 1＜0时，(2－a 1)2＝a 1[2－(a 1－2)]＝a 1(4－a 1)⇒2a 21－8a 1＋4＝0⇒a 21－4a 1＋4＝2⇒(a 1－2)2＝2⇒a 1＝2＋2，且a 1＞2，综上，a 1＝1或a 1＝2＋ 2.跟踪训练4 解 (1)a n ＝23n ＋13. (2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋ …－a 2n a 2n ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝－43·n ⎝⎛⎭⎫53＋4n 3＋132＝－49(2n 2＋3n )． 当堂训练1．a n ＝36(2n －1) 2.a n ＝3n －16 33．解 设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q ＞0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3·2n －1.。
数学人教B版必修5教学设计：2.2.1等差数列 含答案 精品
教学设计2．2.1 等差数列整体设计教学分析本节课将探究一类特殊的数列——等差数列．本节课安排2课时，第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算．第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质．让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图象与通项公式的关系解决某些问题．在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究．在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．其中例1是巩固定义，例2到例5是等差数列通项公式的灵活运用．在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位．使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的．学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化．数列在整个中学数学内容中处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫．教材采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用．因此本节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材．三维目标1．通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型．同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程．2．探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式．通过与一次函数的图象类比，探索等差数列的通项公式的图象特征与一次函数之间的联系．3．通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式，等差中项及性质，会用公式解决一些简单的问题．教学难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式，并会解决一些相关的问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(直接导入)教师引导学生先复习上节课学过的数列的概念以及通项公式，可有意识地在黑板上(或课件中)出示几个数列，如：数列1,2,3，…，数列0,0,0，…，数列0,2,4,6，…等，然后直接引导学生阅读教材中的实例，不知不觉中就已经进入了新课．思路2.(类比导入)教师首先引导学生复习上节课所学的数列的概念及通项公式，使学生明了我们现在要研究的就是一列数．由此我们联想：在初中我们学习了实数，研究了它的一些运算与性质，那么我们能不能也像研究实数一样，来研究它的项与项之间的关系、运算和性质呢？由此导入新课．推进新课新知探究提出问题(1)回忆数列的概念，数列都有哪几种表示方法？(2)阅读教科书本节内容中的①②③3个背景实例，熟悉生活中常见现象，写出由3个实例所得到的数列.(3)观察数列①②③，它们有什么共同特点？(4)根据数列①②③的特征，每人能再举出2个与其特征相同的数列吗？(5)什么是等差数列？怎样理解等差数列？其中的关键字词是什么？(6)数列①②③存在通项公式吗？如果存在，分别是什么？(7)等差数列的通项公式是什么？怎样推导？活动：教师引导学生回忆上节课所学的数列及其简单表示法——列表法、通项公式、递推公式、图象法，这些方法从不同角度反映了数列的特点．然后引导学生阅读教材中的实例模型，指导学生写出这3个模型的数列：①22,22.5,23,23.5,24,24.5，…；②2,9,16,23,30；③89,83,77,71,65,59,53,47.这是由日常生活中经常遇到的实际问题中得到的数列．观察这3个数列发现，每个数列中相邻的后项减前项都等于同一个常数．当然这里我们是拿后项减前项，其实前项减后项也是一个常数，为了后面内容的学习方便，这个顺序不能颠倒．至此学生会认识到，具备这个特征的数列模型在生活中有很多，如上节提到的堆放钢管的数列为100,99,98,97，…，某体育场一角的看台的座位排列：第一排15个座位，向后依次为17,19,21,23，…，等等．以上这些数列的共同特征是：从第2项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等差)．这就是我们这节课要研究的主要内容．教师先让学生试着用自己的语言描述其特征，然后给出等差数列的定义．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．教师引导学生理解这个定义：这里公差d一定是由后项减前项所得，若前项减后项则为－d，这就是为什么前面3个模型的分析中总是说后项减前项而不说前项减后项的原因．显然3个模型数列都是等差数列，公差依次为0.5,7，－6.教师进一步引导学生分析等差数列定义中的关键字是什么？(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键字，是能否正确、深入地理解和掌握概念的重要条件，这是学好数学及其他学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)这里“从第二项起”和“同一个常数”是等差数列定义中的核心部分．用递推公式可以这样描述等差数列的定义：对于数列{a n}，若a n－a n－1＝d(d是与n无关的常数或字母)，n≥2，n∈N*，则此数列是等差数列．这是证明一个数列是等差数列的常用方法．点拨学生注意这里的“n≥2”，若n包括1，则数列是从第1项向前减，显然无从减起．若n从3开始，则会漏掉a2－a1的差，这也不符合定义，如数列1,3,4,5,6，显然不是等差数列，因此要从意义上深刻理解等差数列的定义．教师进一步引导学生探究数列①②③的通项公式，学生根据已经学过的数列通项公式的定义，观察每一数列的项与序号之间的关系会很快写出：①a n＝21.5＋0.5n，②a n＝7n－5，③a n＝－6n＋95.以上这几个通项公式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性．教师点拨学生探求，对任意等差数列a1，a2，a3，…，a n，…，根据等差数列的定义都有：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，……所以a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d.学生很容易猜想出等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d后，教师适时点明：我们归纳出的公式只是一个猜想，严格的证明需要用到后面的其他知识．教师可就此进一步点拨学生：数学猜想在数学领域中是很重要的思考方法，后面还要专门探究它．数学中有很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想常被称为数学皇冠上的明珠，对于它的证明中国已处于世界领先地位．很多著名的数学结论都是从猜想开始的．但要注意，数学猜想仅是一种数学想象，在未得到严格的证明前不能当作正确的结论来用．这里我们归纳猜想的等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d是经过严格证明了的，只是现在我们知识受限，无法证明，所以说我们先承认它．鼓励学生只要创新探究，独立思考，也会有自己的新奇发现．教师根据教学实际情况，也可引导学生得出等差数列通项公式的其他推导方法．例如：方法一(叠加法)：∵{a n}是等差数列，∴a n－a n－1＝d，a n－1－a n－2＝d，a n－2－a n－3＝d，……a2－a1＝d.两边分别相加得a n－a1＝(n－1)d，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，方法二(迭代法)：{a n }是等差数列，则有a n ＝a n －1＋d ，＝a n －2＋d ＋d＝a n －2＋2d＝a n －3＋d ＋2d＝a n －3＋3d……＝a 1＋(n －1)d.所以a n ＝a 1＋(n －1)d.讨论结果：(1)～(4)略．(5)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．其中关键词为“从第2项起”、“等于同一个常数”．(6)三个数列都有通项公式，它们分别是：a n ＝21.5＋0.5n ，a n ＝7n －5，a n ＝－6n ＋95.(7)可用叠加法和迭代法推导等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d.应用示例例1(教材本节例2)活动：本例的目的是让学生熟悉公式，使学生从中体会公式与方程之间的联系．教学时要使学生认识到等差数列的通项公式其实就是一个关于a n 、a 1、d 、n(独立的量有3个)的方程，以便于学生能把方程思想和通项公式相结合，解决等差数列问题．本例中的(2)是判断一个数是否是某等差数列的项．这个问题可以看作(1)的逆问题．需要向学生说明的是，求出的项数为正整数，所给数就是已知数列中的项，否则，就不是已知数列中的项．本例可由学生自己独立解决，也可做板演之用，教师只是对有困难的学生给予恰当点拨．点评：在数列中，要让学生明确解方程的思路．变式训练(1)100是不是等差数列2,9,16，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由；(2)－20是不是等差数列0，－312，－7，…的项，如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．解：(1)由题意，知a 1＝2，d ＝9－2＝7.因而通项公式为a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5. 令7n －5＝100，解得n ＝15，所以100是这个数列的第15项．(2)由题意可知a 1＝0，d ＝－312，因而此数列的通项公式为a n ＝－72n ＋72. 令－72n ＋72＝－20，解得n ＝477.因为－72n ＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项．例2一个等差数列首项为125，公差d ＞0，从第10项起每一项都比1大，求公差d 的范围．活动：教师引导学生观察题意，思考条件“从第10项起每一项都比1大”的含义，应转化为什么数学条件？是否仅是a 10＞1呢？d ＞0的条件又说明什么？教师可让学生合作探究，放手让学生讨论，不要怕学生出错．解：∵d ＞0，设等差数列为{a n }，则有a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＜a 10＜a 11＜…，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1＜a 10＜a 11＜…，a 1＜a 2＜…＜a 9≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＞1a 9≤1⎩⎨⎧ 125＋(10－1)d ＞1，125＋(9－1)d ≤1，解得875＜d ≤325. 点评：本例学生很容易解得不完整，解完此题后让学生反思解题过程．本题主要训练学生灵活运用等差数列的通项公式以及对公差的深刻理解．变式训练在数列{a n }中，已知a 1＝1，1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，求a 50. 解：已知条件可化为1a n ＋1－1a n ＝13(n ∈N *)， 由等差数列的定义，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为d ＝13的等差数列，∴1a50＝1＋(50－1)×13＝523.∴a50＝352.例3已知数列{a n}的通项公式a n＝pn＋q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？活动：要判定{a n}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，根据a n－a n－1(n＞1)是不是一个与n无关的常数．这实际上给出了判断一个数列是否是等差数列的一个方法：如果一个数列的通项公式是关于正整数的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列．因而把等差数列通项公式与一次函数联系了起来．本例设置的“旁注”，目的是为了揭示等差数列通项公式的结构特征：对于通项公式形如a n＝pn＋q的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p＋q.因此可以深化学生对等差数列的理解，同时还可以从多个角度去看待等差数列的通项公式，有利于以后更好地把握等差数列的性质．在教学时教师要根据学生解答的情况，点明这点．解：当n≥2时，〔取数列{a n}中的任意相邻两项a n－1与a n(n≥2)〕a n－a n－1＝(pn＋q)－[p(n－1)＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p为常数，所以{a n}是等差数列，首项a1＝p＋q，公差为p.点评：(1)若p＝0，则{a n}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….(2)若p≠0，则a n是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a n)均在一次函数y＝px＋q的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距为q.(3)数列{a n}为等差数列的充要条件是其通项a n＝pn＋q(p、q是常数)，称其为第3通项公式．变式训练已知数列的通项公式a n＝6n－1.问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？解：∵a n＋1－a n＝[6(n＋1)－1]－(6n－1)＝6(常数)，∴{a n}是等差数列，其首项为a1＝6×1－1＝5，公差为6.点评：该训练题的目的是进一步熟悉例3的内容．需要向学生强调，若用a n－a n－1＝d，则必须强调n≥2这一前提条件，若用a n＋1－a n＝d，则可不对n进行限制．知能训练1．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？2．求等差数列3,7,11，…的第4项与第10项．答案：1．解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5－4(n－1)＝－4n－1.由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得－401＝－4n－1成立．解这个关于n 的方程，得n＝100，即－401是这个数列的第100项．2．解：根据题意可知a1＝3，d＝7－3＝4.∴该数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)×4，即a n＝4n－1(n≥1，n∈N*)．∴a4＝4×4－1＝15，a10＝4×10－1＝39.课堂小结1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你在这节课里最大的收获是什么？2．教师进一步集中强调，本节学习的重点内容是等差数列的定义及通项公式，等差数列的基本性质是“等差”．这是我们研究有关等差数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差数列和解决其他问题的一种基本方法，要注意这里的“等差”是对任意相邻两项来说的．作业习题2—2 A组1、2.设计感想本教案设计突出了重点概念的教学，突出了等差数列的定义和对通项公式的认识与应用．等差数列是特殊的数列，定义恰恰是其特殊性也是本质属性的准确反映和高度概括，准确地把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件．通项公式是项与项数的函数关系，是研究一个数列的重要工具．因为等差数列的通项公式的结构与一次函数的解析式密切相关，因此通过函数图象研究数列性质成为可能．本教案设计突出了教法学法与新课程理念的接轨，引导综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，这是一种非常重要的学习方法；在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想．本教案设计突出了发散思维的训练．通过一题多解，多题一解的训练，比较优劣，换个角度观察问题，这是数学发散思维的基本素质．只有在学习过程中有意识地将知识迁移、组合、融合，激发好奇心，体验多样性，学懂学透，融会贯通，创新思维才能与日俱增．(设计者：周长峰)第2课时导入新课思路1.(复习导入)上一节课我们研究了数列中的一个重要概念——等差数列的定义，让学生回忆这个定义，并举出几个等差数列的例子．接着教师引导学生探究自己所举等差数列例子中项与项之间有什么新的发现？比如，在同一个等差数列中，与某一项“距离”相等的两项的和会是什么呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)教师先引导学生回顾上一节所学的内容：等差数列的定义以及等差数列的通项，之后直接提出等差中项的概念让学生探究，由此而展开新课．推进新课新知探究提出问题(1)请学生回忆上节课学习的等差数列的定义，如何证明一个数列是等差数列？(2)等差数列的通项公式是怎样得出来的？它与一次函数有什么关系？(3)什么是等差中项？怎样求等差中项？(4)根据等差中项的概念，你能探究出哪些重要结论呢？活动：借助课件，教师引导学生先回忆等差数列的定义，一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即a n－a n－1＝d(n≥2，n∈N*)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通常用字母“d”表示)．再一起回顾通项公式，等差数列{a n}有两种通项公式：a n＝a m＋(n－m)d或a n＝pn＋q(p、q是常数)．由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d 的方法：①d ＝a n －a n －1；②d ＝a n －a 1n －1；③d ＝a n －a m n －m. 对于通项公式的探究，我们用归纳、猜想得出了通项公式，后又用叠加法及迭代法推导了通项公式．教师指导学生阅读课本等差中项的概念，引导学生探究：如果我们在数a 与数b 中间插入一个数A ，使三个数a ，A ，b 成等差数列，那么数A 应满足什么样的条件呢？由定义可得A －a ＝b －A ，即A ＝a ＋b 2. 反之，若A ＝a ＋b 2，则A －a ＝b －A ， 由此可以得A ＝a ＋b 2，A ，b 成等差数列．由此我们得出等差中项的概念：如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项．如果A 是x 和y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2. 根据我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．如数列：1,3,5,7,9,11,13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项．9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．等差中项及其应用问题的解法关键在于抓住a ，A ，b 成等差数列＝a ＋b ，以促成将等差数列转化为目标量间的等量关系或直接由a ，A ，b 间的关系证得a ，A ，b 成等差数列．根据等差中项的概念我们来探究这样一个问题：如上面的数列1,3,5,7,9,11,13，…中，我们知道2a 5＝a 3＋a 7＝a 1＋a 9＝a 2＋a 8，那么你能发现什么规律呢？再验证一下，结果有a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝a 4＋a 8＝a 5＋a 7＝2a 6.由此我们猜想这个规律可推广到一般，即在等差数列{a n }中，若m 、n 、p 、q ∈N *且m ＋n ＝p ＋q ，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ，这个猜想与上节的等差数列的通项公式的猜想方法是一样的，是我们归纳出来的，没有严格证明，不能说它就一定是正确的．让学生进一步探究怎样证明它的正确性呢？只要运用通项公式加以转化即可．设首项为a 1，则a m ＋a n ＝a 1＋(m －1)d ＋a 1＋(n －1)d ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ，a p ＋a q ＝a 1＋(p －1)d ＋a 1＋(q －1)d ＝2a 1＋(p ＋q －2)d.因为我们有m ＋n ＝p ＋q ，所以上面两式的右边相等，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .由此我们的一个重要结论得到了证明：在等差数列{a n }的各项中，与首末两项等距离的两项的和等于首末两项的和．另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则上面两式的右边相等，所以a m ＋a n ＝a p ＋a q .同样地，我们还有：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p .这也是等差中项的内容．我们自然会想到由a m ＋a n ＝a p ＋a q 能不能推出m ＋n ＝p ＋q 呢？举个反例，这里举个常数列就可以说明结论不成立．这说明在等差数列中，a m ＋a n ＝a p ＋a q 是m ＋n ＝p ＋q 成立的必要不充分条件．由此我们还进一步推出a n ＋1－a n ＝d ＝a n ＋2－a n ＋1，即2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，这也是证明等差数列的常用方法．同时我们通过这个探究过程明白：若要说明一个猜想正确，必须经过严格的证明，若要说明一个猜想不正确，仅举一个反例即可．讨论结果：(1)(2)略．(3)如果三个数x ，A ，y 成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.(4)得到两个重要结论：①在数列{a n }中，若2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等差数列． ②在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q(m 、n 、p 、q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .应用示例例1在等差数列{a n }中，若a 1＋a 6＝9，a 4＝7，求a 3，a 9.活动：本例是一道基本量运算题，运用方程思想可由已知条件求出a 1，d ，进而求出通项公式a n ，则a 3，a 9不难求出．应要求学生掌握这种解题方法，理解数列与方程的关系．解：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝9，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝5.∴通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－8＋5(n －1)＝5n －13. ∴a 3＝2，a 9＝32.点评：本例解法是数列问题的基本运算，应要求学生熟练掌握，当然对学有余力的同学来说，教师可引导探究一些其他解法，如a 1＋a 6＝a 4＋a 3＝9.∴a 3＝9－a 4＝9－7＝2. 由此可得d ＝a 4－a 3＝7－2＝5. ∴a 9＝a 4＋5d ＝32.点评：这种解法巧妙，技巧性大，需对等差数列的定义及重要结论有深刻的理解．变式训练已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21 答案：C解析：依题意知，a 2＝a 1＋a 1＝2a 1，a 1＝12a 2＝－3，a n ＋1＝a n ＋a 1＝a n －3，可知数列{a n }是等差数列，a 10＝a 1＋9d ＝－3－9×3＝－30.例2(教材本节例5)活动：本例是等差数列通项公式的灵活运用．正如边注所说，相当于已知直线过点(1,17)，斜率为－0.6，求直线在x 轴下方的点的横坐标的取值范围．可放手让学生完成本例．变式训练等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是… ( ) A ．a n ＝2n －2(n ∈N *) B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *) C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *) D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *) 答案：D解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12a 2＋a 4＝8d ＜0⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6a 4＝2⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， 所以由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得a n ＝8＋(n －1)(－2)＝－2n ＋10.例3 已知a 、b 、c 成等差数列，那么a 2(b ＋c)，b 2(c ＋a)，c 2(a ＋b)是否成等差数列？ 活动：教师引导学生思考a 、b 、c 成等差数列可转化为什么形式的等式？本题的关键是考察在a ＋c ＝2b 的条件下，是否有以下结果：a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)＝2b 2(a ＋c)．教师可让学生自己探究完成，必要时给予恰当的点拨．解：∵a 、b 、c 成等差数列， ∴a ＋c ＝2b.又∵a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)－2b 2(c ＋a) ＝a 2b ＋a 2c ＋ac 2＋bc 2－2b 2c －2ab 2＝(a 2b －2ab 2)＋(bc 2－2b 2c)＋(a 2c ＋ac 2) ＝ab(a －2b)＋bc(c －2b)＋ac(a ＋c) ＝－abc －abc ＋2abc ＝0，∴a 2(b ＋c)＋c 2(a ＋b)＝2b 2(a ＋c)．∴a 2(b ＋c)，b 2(c ＋a)，c 2(a ＋b)成等差数列．点评：如果a 、b 、c 成等差数列，常转化为a ＋c ＝2b 的形式，反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证a ＋c ＝2b.有时还需运用一些等价变形技巧，才能获得成功．例4在－1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 活动：教师引导学生从不同角度加以考虑：一是利用等差数列的定义与通项；一是利用等差中项加以处理．让学生自己去探究，教师一般不要给予提示，对个别探究有困难的学生可适时地给以点拨、提示．解：(方法一)设这些数组成的等差数列为{a n }，由已知，a 1＝－1，a 5＝7， ∴7＝－1＋(5－1)d ，即d ＝2. ∴所求的数列为－1,1,3,5,7.(方法二)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1,7的等差中项，a 是－1，b 的等差中项，c 是b,7的等差中项，即b ＝－1＋72＝3，a ＝－1＋b 2＝1，c ＝b ＋72＝5.∴所求数列为－1,1,3,5,7.点评：通过此题可以看出，应多角度思考，多角度观察，正像前面所提出的那样，尽量换个角度看问题，以开阔视野，培养自己求异发散的思维能力．变式训练数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．－25 B.12 C.23 D ．5答案：B解析：设b n ＝1a n ＋1，则b 3＝13，b 7＝12，因为{1a n ＋1}是等差数列，可求得公差d ＝124，所以b 11＝b 7＋(11－7)d ＝23，即a 11＝1b 11－1＝12.例5某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4千米(不含4千米)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车前往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费？活动：教师引导学生从实际问题中建立数学模型．在这里也就是建立等差数列的数学模型．引导学生找出首项和公差，利用等差数列通项公式的知识解决实际问题．解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，我们可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2，那么，当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．答：需要支付车费23.2元．点评：本例中令a 1＝11.2，这点要引起学生注意，这样一来，前往14 km 处的目的地就相当于n ＝11，这点极容易弄错．知能训练1．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝4，则a 2＋a 4＋a 6等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6等于( ) A ．40 B ．42 C ．43 D ．45 答案：1．解析：由a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝4，知4a 4＝4，即a 4＝1. ∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝3. 答案：A2．解析：∵a 2＋a 3＝13， ∴2a 1＋3d ＝13. ∵a 1＝2，∴d ＝3.而a4＋a5＋a6＝3a5＝3(a1＋4d)＝42.答案：B课堂小结1．先由学生自己总结回顾这节课都学习了哪些知识？要注意的是什么？都用到了哪些数学思想方法？你是如何通过旧知识来获取新知识的？你在这节课里最大的收获是什么？2．教师进一步画龙点睛，本节课我们在上节课的基础上又推出了两个很重要的结论，一个是等差数列的证明方法，一个是等差数列的性质，要注意这些重要结论的灵活运用．作业课本习题2—2 A组5、6、7.设计感想本教案是根据课程标准、学生的认知特点而设计的，设计的活动主要都是学生自己完成的．特别是上节课通项公式的归纳、猜想给学生留下了很深的记忆；本节课只是继续对等差数列进行这方面的探究．本教案除了安排教材上的两个例题外，还针对性地选择了既具有典型性又具有启发性的几道例题及变式训练．为了学生的课外进一步探究，在备课资料中摘选了部分备用例题及备用习题，目的是让学生对等差数列的有关知识作进一步拓展探究，以开阔学生的视野．本教案的设计意图还在于，加强数列与函数的联系．这不仅有利于知识的融会贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步，让学生体会到数学是有趣的，探究是愉悦的，归纳猜想是令人振奋的，借此激发学生的数学学习兴趣．备课资料一、备用例题【例1】梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．解：设{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知a1＝33，a12＝110，n＝12，所以a12＝a1＋(12－1)d，即得110＝33＋11d，解之，得d＝7.因此a2＝33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm，89 cm，96 cm，103 cm.。
高中数学人教B版必修5学案：2.2.1等差数列课堂探究学案(含答案)
2.2.1 等差数列课堂探究一、解读等差数列的概念剖析：(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一个常数”．因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列．(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一个常数”的含义的不同，如数列2，4，5，9，从第2项起，每一项与它前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中“同一个常数”，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉．二、等差数列的性质剖析：若数列{a n }是公差为d 的等差数列，(1)d ＝0时，数列为常数列；d >0时，数列为递增数列；d <0时，数列为递减数列．(2)d ＝a n －a 1n －1＝a m －a k m －k(m ，n ，k ∈N +)． (3)a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)．(4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N +)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ．(5)若m ＋n 2＝k ，则a m ＋a n ＝2a k ．(6)若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i +1＋a n －i ＝…．(7)数列{λa n ＋b }(λ，b 是常数)是公差为λd 的等差数列．(8)下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…(k ，m ∈N +)组成公差为md 的等差数列．(9)若数列{b n }也为等差数列，则{a n ±b n }，{ka n ＋b }(k ，b 为非零常数)也成等差数列．(10)若{a n }是等差数列，则a 1，a 3，a 5，…仍成等差数列．(11)若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…仍成等差数列． 名师点拨：用性质(4)时要注意，序号的和相等，但项数不同，此结论不一定正确，如a 8＝a 2＋a 6，a 1＋a 3＋a 4＝a 2＋a 6，就不一定正确．三、教材中的“？”(1)通项公式为a n ＝an －b (a ，b 是常数)的数列都是等差数列吗？剖析：通项公式为a n ＝an －b (a ，b 为常数)的数列都是等差数列，其公差为a ．(2)怎么证明A ＝x ＋y2？剖析：∵x ，A ，y 成等差数列，∴A －x ＝y －A ，即2A ＝x ＋y ．∴A ＝x ＋y2．(3)要确定一个等差数列的通项公式，需要知道几个独立的条件？剖析：因为等差数列的通项公式中涉及首项a 1与公差d ，所以要确定一个等差数列的通项公式，需要知道两个独立的条件．题型一 等差数列定义的应用【例1】 判断下列数列是否为等差数列．(1)a n ＝3n ＋2；(2)a n ＝n 2＋n ．分析：利用等差数列的定义，即判断a n +1－a n (n ∈N ＋)是否为同一个常数．解：(1)a n +1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N +)．由n 的任意性知，这个数列为等差数列．(2)a n +1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．反思：利用定义法判断等差数列时，关键是看a n ＋1－a n 得到的结果是否是一个与n 无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列．题型二 等差数列的通项公式及其应用【例2】 已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66，求数列{a n }的通项公式，并判断－34是数列{a n }的项吗？分析：由数列前三项和为18，前三项积为66，列出关于a 1和d 的方程组，通过解方程组求得a 1和d ，由递减等差数列的条件确定方程组的解即可求出a n ；由a n ＝－34求n ，然后由n ∈N +可判断．解：由题意设该数列的首项为a 1，公差为d ，则12312318,66,a a a a a a ++=⎧⎨=⎩即 得111,5,a d =⎧⎨=-⎩或11,5,a d =⎧⎨=⎩又由该数列为递减数列，∴d ＝5时不合题意，故该数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11－5(n －1)＝－5n ＋16．且－34是数列{a n }中的项，为第10项．【互动探究】 若将本例中的“递减等差数列”改为“递增等差数列”，其余条件不变，如何求解？答案：a n ＝5n －4，－34不是数列{a n }中的项．题型三 等差数列性质的应用【例3】 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9．分析：既可以用等差数列的性质得到a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝2a 6，也可以由通项公式得a 1与d 间的关系再求解．解：方法一：根据等差数列的性质，得a 2＋a 10＝a 3＋a 9＝2a 6．由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13． ∴a 3＋a 9＝2a 6＝23． 方法二：根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d ．由题意知3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13． ∴a 3＋a 9＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23． 反思：方法一运用了等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；方法二利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通法．两种方法都运用了整体代换及方程的思想．【例4】 已知等差数列{a n }中，a 49＝80，a 59＝100，求a 79的值．分析：(1)采用基本量法求解；(2)灵活运用性质求解．解：解法1：设公差为d ，则4915914880,58100.a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得116,2.a d =-⎧⎨=⎩∴a 79＝a 1＋78d ＝－16＋78×2＝140．解法2：∵a p ＝a q ＋(p －q )d ，∴d ＝a 59－a 4959－49＝100－8010＝2010＝2． ∴a 79＝a 59＋(79－59)×d ＝100＋20×2＝140．解法3：∵a 49，a 59，a 69，a 79，…成等差数列，∴a 79＝a 49＋(4－1)(a 59－a 49)＝80＋3×20＝140．反思：用通项公式解答等差数列问题的基本方法主要是：(1)采用基本量法，即解得数列的首项a 1，公差d ，运用通项公式解决问题；(2)灵活运用性质，这是简化等差数列运算的有效手段．题型四 构造等差数列求通项公式【例5】 (1)数列{a n }的各项均为正数，且满足a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1，a 1＝1，求a n ；(2)在数列{a n }中，a 1＝1，且满足a n ＋1＝2a n a n ＋2，求a n ． 分析：利用题中所给关系的结构特征，构造等差数列，利用所构造的等差数列求a n ． 解：(1)由a n +1＝a n ＋2a n ＋1，可得a n +1＝(a n ＋1)2．∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋1－a n ＝1． ∴{a n }是首项为a 1＝1，公差为1的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)＝n ．∴a n ＝n 2．(2)由a n +1＝2a n a n ＋2，可得1a n ＋1＝1a n ＋12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为12的等差数列． ∴1a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12．∴a n ＝2n ＋1． 反思：应熟记几种辅助数列构造方法及其对应数列的结构形式．构造等差数列的方法一般有：平方法、开平方法、倒数法等．题型五 易错辨析【例6】 已知b 是a ，c 的等差中项，且lg(a ＋1)，lg(b －1)，lg(c －1)成等差数列，同时a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c 的值．错解：因为b 是a ，c 的等差中项，所以2b ＝a ＋c ．又因为a ＋b ＋c ＝15，所以3b ＝15，所以b ＝5．设a ，b ，c 的公差为d ，则a ＝5－d ，c ＝5＋d ．由题可知2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)，所以2lg 4＝lg(5－d ＋1)＋lg(5＋d －1)．所以16＝25－(d －1)2．所以(d －1)2＝9，即d －1＝3．所以d ＝4，所以a ，b ，c 分别为1，5，9．错因分析：解方程(d －1)2＝9时，d －1应取±3两个．而错解只取d －1＝3，漏掉了d －1＝－3的情况．正解：因为b 是a ，c 的等差中项，所以2b ＝a ＋c ．又因为a ＋b ＋c ＝15，所以3b ＝15．所以b ＝5．设a ，b ，c 的公差为d ，则a ＝5－d ，c ＝5＋d ．由题可知2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)，所以2lg 4＝lg(5－d ＋1)＋lg(5＋d －1)．所以16＝25－(d －1)2，即(d －1)2＝9．所以d －1＝±3，即d ＝4或d ＝－2．所以a ，b ，c 三个数分别为1，5，9或7，5，3．【例7】 已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？错解：由已知两等差数列的前3项，容易求得它们的通项公式分别为a n ＝3n ＋2，b n ＝4n －1(1≤n ≤100)．令a n ＝b n ，得3n ＋2＝4n －1，即n ＝3．所以两数列只有1个数值相同的项，即第3项．错因分析：本题中所说的数值相同的项，它们的项的序号并不一定相同．例如23在数列{a n }中是第7项，而在数列{b n }中是第6项，我们也说它是两个数列中数值相同的项，也就是说，在这里我们只看这个数在两个数列中有没有出现过，而并不关心它是这两个数列中的第几项．正解：∵a n ＝3n ＋2(n ∈N ＋)，b k ＝4k －1(k ∈N ＋)，两数列的共同项可由3n ＋2＝4k －1求得，∴n ＝43k －1．而n ∈N +，k ∈N +， ∴设k ＝3r (r ∈N +)，得n ＝4r －1．由已知13100,141100,r r ≤≤⎧⎨≤-≤⎩且r ∈N +，可得1≤r ≤25．∴共有25个相同数值的项．。
数学人教B版必修5教学设计：第二章数列 Word版含答案
教学设计整体设计教学分析本章知识网络本章复习建议本章教材的呈现方式决定了本章的复习方法，一方面让学生体会数列是一种特殊函数，加深对函数概念和性质的理解，对数列的本质有清晰的认识和把握；另一方面，通过数列概念引入以及数列应用的过程，体会数列问题的实际应用．数列可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的函数解析式．由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们各有五个基本量：首项a1、公差d或公比q、项数n、通项a n、前n项和S n；两个基本公式——通项公式和前n项和公式将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线．本章的重点是等差和等比数列的基本性质及其应用，难点是等差和等比数列的基本性质的综合应用．因此注意等差、等比数列与相应函数的关系也就成了复习的重点．数列在高考中占有重要的位置，也是高考命题的热点之一．由于数列内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，决定了数列在高考中地位的特殊性．这就要求我们在数列复习中，要重视基础知识和方法的学习，理解和掌握等差与等比数列的基本性质，帮助学生自我架构数列知识框架，提高综合运用数列知识和方法的能力．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心，应弄清通项公式的意义——项数n的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值，及对数列进行一般性的研究．数列的递推式是数列的另一种表达形式，常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法，若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论．在处理这类问题的时候要注意项数．数列一章是高中多个数学知识点的交汇，也是多个数学思想方法的聚会，因此本章教学要善于挖掘教材内容的延伸和拓展．本章小结中的题目，缺少代数、三角和几何的综合的基本练习题，在设计的例题中有所涉及．但仍不够，可再适当增加些．如三角形的三内角成等差数列等问题的探究．本章复习将分为两课时，第1课时重点是系统化本章知识结构，优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力；第2课时重点是灵活运用数列知识解决与数列有关的问题．为更好地理解教学内容，可借助信息技术复习本章内容．通过现代教育技术手段，给学生展示一个更加丰富多彩的“数列”内容．本章《新课程标准》要求是：1.数列的概念和简单表示法．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数.2.等差数列、等比数列．(1)通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；(2)探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式；(3)能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；(4)体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．三维目标1．通过本章复习，使学生理清本章知识网络，归纳整合知识系统，突出知识间内在联系，能用函数观点进一步认识数列．2．提高学生综合运用知识的能力，分析问题、解决问题的能力；培养学生自主复习及归纳的意识，激励学生思维创新．3．认识事物间的内在联系和相互转化，培养探索、创新精神．重点难点教学重点：等差数列、等比数列的概念、通项、前n项和，及它们之间的内在联系；灵活应用数列知识解决问题．教学难点：用函数的观点认识数列并用数列知识灵活解决实际问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.让学生阅读课本的小结内容．根据教材内容的呈现方式回答有关问题，同时也给学生以数列整体知识结构的记忆．由此展开新课．(幻灯片)思路2.本章是通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列——等差数列、等比数列的研究，然后让学生根据本章学习的进程，回忆本章学习了哪些主要内容？用到了哪些思想方法？本章知识流程图留给学生自己操作．相比之下，这种引入对学生的思维要求较高，难度大，但却更能训练学生的创造性思维．教师可结合学生的活动出示相关多媒体课件．推进新课新知探究提出问题(1)怎样理解函数与数列的关系？(2)回忆等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质各是什么？(3)回忆“叠加法”“累乘法”“倒序相加法”“错位相减法”的含义是什么？(4)对任意数列{a n}，若前n项和为S n，则a n与S n具有怎样的关系？怎样理解这个关系式？它有哪些应用？活动：教师引导学生充分探究，自行总结，不要将归纳总结变成课堂上的独角戏，辅助课件可制成如下表格形式：点拨学生注意，重新复习数列全章更应从函数角度来认识数列，这是学好数列、居高临下地把握数列的锦囊妙计．深刻认识数列中数的有序性是数列定义的灵魂．数列可以看成是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数，当自变量顺次从小到大依次取值时，对应的一列函数值．而数列的通项公式则是相应的函数解析式．反映到图象上，由于数列的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图象是一些孤立的点，所以说数列是一类特殊的函数，复习本章应突出数列的这一函数背景．对两类特殊数列——等差数列与等比数列的函数理解则是：等差数列是一次型函数，是最简单的递推数列；等比数列是指数型函数．它们具有函数的一般性质，都借助了数形结合的思想研究问题．关于等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式的推导方法以及“叠加法”“累乘法”等，可由学生回忆并进一步理解，这里不再一一列出．教师应特别引导学生关注a n 与S n 的关系．对于任何数列{a n }，若前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2，常因忽略对n ＝1的讨论或忽略n ≥2这一条件而出错．这个关系式要深刻理解并灵活运用．用此关系式求a n 时，若S 1满足S n －S n －1的形式，则用统一的形式表示通项公式a n .若S 1不满足S n －S n －1的形式，则分段表示通项公式a n .因此这个关系式的应用有两个方面：既可用此式求通项公式a n ，又可将a n 转化为S n －S n －1的形式解决问题．应让学生明确用本章知识主要解决的问题是：①对数列概念(包括通项、递推等)理解的题目；②等差数列和等比数列中五个基本量a 1，a n ，d(q)，n ，S n 知三求二的方程问题；③数列知识在生产实际和社会生活中的应用问题．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例1设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，求q 的值． 活动：这是一道关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的题，起点比较低，入手的路子宽．让学生独立思考，列式、求解，组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法．解法一：利用定义，∵{S n }是等差数列，∴a n ＝S n －S n －1＝…＝S 2－S 1＝a 2.∴a 1·q n －1＝a 1·q.∵a 1≠0，∴q n －2＝1.∴q ＝1.解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n ＝S n －S n －1＝S n －1－S n －2＝a n －1，a 1·q n －1＝a 1·q n －2.∵a 1≠0，q ≠0，∴q ＝1.解法三：利用性质，∵2S 2＝S 1＋S 3，∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，即a 2＝a 3.∴q ＝1.点评：还可以用求和公式、反证法等．变式训练设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则 S 15∶S 5等于( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶3答案：A解析：方法一：设等比数列的公比为q ，则S 10＝S 5＋S 5·q 5，S 15＝S 5＋S 5·q 5＋S 5·q 10，由S 10∶S 5＝1∶2，得1＋q 5＝12，q 5＝－12， ∴S 15∶S 5＝1＋q 5＋q 10＝12＋14＝34. 方法二：∵S 10∶S 5＝1∶2，∴S 10＝12S 5. ∵(S 10－S 5)2＝(S 15－S 10)S 5，∴(－12S 5)2＝(S 15－12S 5)S 5.∴S 15S 5＝34. 例2设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n ∈N *)．(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列．活动：学生很容易解决第(1)题，第(2)题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”．(1)解：a 1＝S 1＝7，a 2＝S 2－S 1＝22＋2×2＋4－7＝5，a 3＝S 3－S 2＝32＋2×3＋4－(7＋5)＝7，即a 1＝7，a 2＝5，a 3＝7.(2)证明：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ＞1， ∴当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n ＋4－[(n －1)2＋2(n －1)＋4]＝2n ＋1.a n ＋1－a n ＝2(定值)，即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列．点评：注意书写步骤的规范，理解第(2)题中n ＞1时的讨论，准确表达推理过程，理解重要关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，S n －S n －1， n ＝1，n ≥2的应用．例3设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．活动：这是一道经典考题，很有训练价值．教师引导学生观察题目条件及结论，寻找解题的切入点，鼓励学生多角度思考．对于第(1)个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理地选用等差数列的前n 项和的哪一个公式．其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少未知量的作用．在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式．对第(2)个问题的思考，可以有较多的角度，让学生合作探究，充分挖掘题目中的条件，寻找更好的思路．积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法．教师收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程．解：(1)依题意有S 12＝12a 1＋12×12×11d ＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d ＜0， 即2a 1＋11d ＞0，①a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12－2d ，③将③式分别代入①②式，得24＋7d ＞0且3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3为所求． (2)方法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由于S 12＝12a 1＋12×12×11d ＝6(2a 1＋11d)＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13＝13a 1＋12×13×12d ＝13(a 1＋6d)＝13a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．方法二：S n ＝na 1＋12n(n －1)d ＝n(12－2d)＋12(n 2－n)d ＝d 2(n －5－24d 2)2－d (5－24d )28. ∵d ＜0，∴(n －5－24d 2)2最小时，S n 最大． 而当－247＜d ＜－3时，有6＜5－24d 2＜6.5，且n ∈N ， ∴当n ＝6时，(n －5－24d 2)2最小，即S 6最大． 方法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．由S 12＞0，S 13＜0，有12a 1＋12×12×11d ＞0⇒a 1＋5d ＞－d 2＞0； 13a 1＋12×13×12d ＜0⇒a 1＋6d ＜0. ∴a 6＞0，a 7＜0.故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大．方法四：同方法二得S n ＝d 2(n －5－24d 2)2－d (5－24d )28. ∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12,13)内，于是抛物线的顶点在(6,6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值．点评：解完本例后，教师引导学生反思解法，充分发挥本例的训练功能．第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不大．第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值．方法一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k ＋1＜0；方法二是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法求解．它训练了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点；而方法三则是通过等差数列的性质，探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解． 例4已知数列{a n }为12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，若b n ＝1a n a n ＋2，求{b n }的前n 项和S n .活动：教师点拨学生解决问题的关键是找出数列的通项，根据数列的通项特点寻找解决问题的方法．显然a n ＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋2＝4n (n ＋2)＝2(1n －1n ＋2)． 由此问题得以解决．解：由题意，知a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2， ∴b n ＝1a n a n ＋2＝4n (n ＋2)＝2(1n －1n ＋2)．∴S n ＝2(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝2(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝3n 2＋5n (n ＋1)(n ＋2). 点评：本例巩固了数列的求和知识方法，通过探究，明确解决问题的关键是先从分析通项公式入手，找出规律，再用裂项法求解．变式训练等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d ＞0.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，S 3b 3＝(9＋3d )q 2＝960， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧ d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 知能训练设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2. 解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q. 又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0. 解得q 1＝2，q 2＝12. 由题意得q ＞1，∴q ＝2.∴a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝lna 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln23n ＝3nln2.∴{b n }是等差数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2 ＝n (3ln2＋3nln2)2＝3n (n ＋1)2ln2. 课堂小结1．由学生自己总结本节复习的内容与方法，回顾通过本节复习，对数列的认识提升了哪些？都有哪些收获？2．等差数列与等比数列涉及的知识面很宽，与其他内容的交汇较多，但不管怎样变化，只要抓住基本量，充分运用方程、函数、化归等数学思想方法，合理选用相关知识，任何问题都能迎刃而解．作业课本本章小结巩固与提高3、4、5.设计感想1．本教案设计加强了学生学习的联系．数学学习绝不是孤立的学习，数学学习的联系性表现为两个方面，一方面是数学与现实生活的联系，另一方面是数学内部之间的联系，表现为数学知识内容之间的相互联系．本教案设计充分体现了这一数学学习特征．2．本教案设计加强了学生的数学探索活动．数学学习不是简单的镜面式反映，而是经过观察、实验、猜测、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过交流、反思、调整等完成的．本章内容的复习设计，充分体现了学生是学习的主体这一特点，给学生留有了充分发挥和自主学习的空间．3．本教案设计突出了数学思想方法的训练，尤其突出了一般到特殊、特殊到一般的思想方法，函数思想、类比思想贯穿整章内容．另外还有数形结合思想、方程思想等．第2课时导入新课思路1.(直接导入)上一节课我们总结了数列的有关概念、方法、公式等．本节继续通过例题探究、变式训练等活动，进一步加深和提高解决问题的灵活性．要求通过本节复习，对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成灵活熟练的解题技能．思路2.(练习导入)通过以下练习、讲评作为新课的切入点．某养猪场养的猪，第一年猪的重量增长率是200%，以后每年的重量增长率都是前一年增长率的12. (1)当饲养4年后，所养的猪的重量是原来的多少倍？(2)如果由于各种原因，猪的重量每年损失预计重量的10%，那么经过多少年后，猪的重量开始减少？解：(1)依题意，猪的重量增长率成等比数列，∴设原来猪重为a ，则四年后为a·(1＋200%)(1＋2·12)(1＋2·12·12)(1＋2·12·12·12)＝454a. 答：4年后猪的重量是原来的454倍． (2)由a n ≥a n ＋1知a n ≥a n (1＋12n －1)(1－10100)， 得2n －1≥9，∴n ≥5.故5年后猪的重量会减少．推进新课 新知探究提出问题(1)等差数列、等比数列有哪些重要性质？怎样运用这些性质快速解题？(2)怎样建立数列模型解决实际问题？(3)在具体的问题情境中，怎样识别数列的等差关系或等比关系，并用有关知识解决相应的问题？活动：教师引导学生对所学等差、等比数列的性质进行回忆，特别提示学生在使用等差数列与等比数列的性质解决问题时，一定要注意下标的起始以及下标间的关系，防止误用性质或求错结果．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中非常重要．应用等差、等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体解决．能够在运算时达到运算灵活、方便、快捷的目的，因而一直受到重视，高考中也一直作为重点来考查．数列应用题大致可分为三类：一类是有关等差数列的应用题，这类问题在内容上比较简单，建立等差数列模型后，问题常常转化成整式或整式不等式处理，计算较容易；二类是有关等比数列的应用题，这类问题建立模型后，弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按要求保留一定的精确度，注意答案要符合题设中实际问题的意义；三类是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问题，这类问题要掌握将递推数列化成等差、等比数列求解的方法．解决数列应用题的一般方法步骤与解其他应用题相似．(1)审题，明确问题属于哪类应用题，弄清题目中的已知量，明确所求的结论是什么．(2)将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来．(3)明确是等差数列模型还是等比数列模型，还是递推数列模型，是求a n，还是求S n，n是多少．国民经济发展中的大量问题：如人口增长，产量增加，土地减少，成本降低，存款利息，购物(如车子、房子)中的定期付款，经济效益等应用问题，都是数列所要解决的问题．因此，数列的有关知识，在应用上有着广泛的前景和用武之地．讨论结果：(1)(3)略．(2)建立数列模型的关键是分析题中已知量与未知数据之间的关系．应用示例例1已知公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3.试问：是否存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生观察本题的条件，与学生一起探究．由于本题涉及到两个数列{a n }和{b n }之间的关系，而已知中的三个等式架起了两个数列间的桥梁，要想研究a n 、b n 的性质，应该先抓住数列中的什么量呢？由于{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，所以应该先抓住基本量a 1、d 和q.由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，可以列出方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2. 解出d 和q ，则a n 、b n 就确定了．进一步探究：如果a n 和b n 确定了，那么a n ＝log a b n ＋b 就可以转化成含有a 、b 、n 的方程，如何判断a 、b 是否存在呢？如果通过含有n 、a 、b 的方程解出a 和b ，那么就可以说明a 、b 存在；如果解不出a 和b ，那么解不出的原因也就是a 和b 不存在的理由．解：设等差数列{a n }的公差为d(d ≠0)，等比数列{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q ，1＋7d ＝q 2. 解得d ＝5，q ＝6.所以a n ＝5n －4，而b n ＝6n －1.若存在常数a 、b ，使得对一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立，即5n －4＝log a 6n －1＋b ，即5n －4＝(n －1)log a 6＋b ，即(log a 6－5)n ＋(b －log a 6＋4)＝0对任意n ∈N *都成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧log a 6－5＝0，b －log a 6＋4＝0成立．解得a ＝615，b ＝1.所以存在常数a 、b ，使得对于一切自然数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立．点评：本题的关键是抓住基本量：首项a 1和公差d 、公比q ，因为这样就可以求出a n 和b n 的表达式．a n 和b n 确定，其他的问题就可以迎刃而解．可见，抓住基本量是解决等差数列和等比数列综合问题的关键．变式训练已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n ，n 为奇数，a n －2n ，n 为偶数.(1)求a 2，a 3；(2)当n ≥2时，求a 2n －2与a 2n 的关系式，并求数列{a n }中偶数项的通项公式．解：(1)a 2＝32，a 3＝－52. (2)∵a 2n －2＋1＝a 2n －2－2(2n －2)，即a 2n －1＝a 2n －2－2(2n －2)．∵a 2n －1＋1＝12a 2n －1＋(2n －1)， 即a 2n ＝12a 2n －2－(2n －2)＋(2n －1)， ∴a 2n ＝12a 2n －2＋1. ∴a 2n －2＝12(a 2n －2－2)． ∴a 2n ＝－(12)n ＋2(n ∈N *)．例2设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与1的等差中项等于S n 与1的等比中项，求数列{a n }的通项公式．活动：教师引导学生将文字语言转化为数学语言，即a n ＋12＝S n ，然后通过a n 与S n 的关系求通项．解：方法一：依题意，有S n ＝(a n ＋1)24， ∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝14[(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2]． ∴(a n ＋1－1)2－(a n ＋1)2＝0，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.∵a n ＞0，∴a n ＋1－a n ＝2.又a 1＝1，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．∴a n ＝2n －1.方法二：∵a n ＋12＝S n ， ∴S 1＝a 1＝1.当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1，即2S n ＝S n －S n －1＋1，即(S n －1)2－(S n －1)2＝0，∴(S n －S n －1－1)(S n ＋S n －1－1)＝0.又∵a n ＞0，S 1＝1， ∴S n ＋S n －1－1≠0. ∴S n －S n －1＝1. ∴S n ＝n.从而a n ＝2S n －1＝2n －1.点评：利用数列通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，与题设条件建立递推关系是本题求解的关键．例3已知数列{a n }满足3S n ＝(n ＋2)a n (n ∈N *)，其中S n 为前n 项的积，a 1＝2.(1)证明数列{a n }的通项公式为a n ＝n(n ＋1)．(2)求数列{1a n}的前n 项和T n . (3)是否存在无限集合M ，使得当n ∈M 时，总有|T n －1|＜110成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．活动：教师引导学生分析题目中的已知条件：a n 与S n 的关系，结合题目中的结论，显然需利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去S n ，由此打开解题的通道．可让学生自己探究操作，教师适时地给予点拨．解：(1)证明：由3S n ＝(n ＋2)a n ，得3S n －1＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)．两式相减，得3a n ＝(n ＋2)a n －(n ＋1)a n －1，即(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，∴a n a n －1＝n ＋1n －1(n ≥2)． ∴a n －1a n －2＝n n －2(n ≥3)，…，a 3a 2＝42，a 2a 1＝31，a 1＝2. 叠乘，得a n ＝n(n ＋1)(n ∈N *)．(2)1a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. (3)令|T n －1|＝|n n ＋1－1|＝1n ＋1＜110， 得n ＋1＞10，n ＞9.故满足条件的M 存在，M ＝{n|n ＞9，n ∈N *}．例4已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，数列{ak n }是公比为q 的等比数列，且k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n 的值．活动：教师引导学生观察本题条件，共同探究．本题可把k 1＋k 2＋…＋k n 看成是数列{k n }的求和问题，这样我们着重考查{k n }的通项公式，这是解决数列问题的一般方法，称为“通项分析法”．从寻找新旧数列的关系着手，即可找到解决问题的切入点，使问题迎刃而解．解：设数列{a n }的公差为d ，d ≠0，则a 5＝a 1＋4d ，a 17＝a 1＋16d.因为a 1，a 5，a 17成等比数列，则(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，即2d 2＝a 1d.又d ≠0，则a 1＝2d.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2d ＋(n －1)d ＝(n ＋1)d.因为数列{ak n }的公比为q ，则q ＝a 5a 1＝(5＋1)d (1＋1)d＝3， 所以ak n ＝ak 1·3n －1＝a 1·3n －1＝2d·3n －1.又ak n ＝(k n ＋1)d ，则2d·3n －1＝(k n ＋1)d.由d ≠0，知k n ＝2·3n －1－1(n ∈N *)．因此，k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n＝2·30－1＋2·31－1＋2·32－1＋…＋2·3n －1－1＝2(30＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝2·3n3－1－n ＝3n －n －1. 点评：此题的已知条件中，抽象符号比较多，但是，只要仔细审题，弄清楚符号的含意，看透题目的本质，抓住基本量，不管多复杂的问题，都是能够解决的．变式训练设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝n a n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)∵a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，① ∴当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②，得3n －1a n ＝13，a n ＝13n . 在①中，令n ＝1，得a 1＝13，∴a n ＝13n . (2)∵b n ＝n a n，∴b n ＝n·3n . ∴S n ＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n .③∴3S n ＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n ＋1.④④－③，得2S n ＝n·3n ＋1－(3＋32＋33＋…＋3n )＝n·3n ＋1－3(1－3n )1－3， ∴S n ＝(2n －1)3n ＋14＋34.例5已知数列{b n }是等差数列，b 1＝1，b 1＋b 2＋…＋b 10＝145.(1)求数列{b n }的通项b n ；(2)设数列{a n }的通项a n ＝log a (1＋1b n)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与log a b n ＋13的大小，并证明你的结论． 活动：这是一道1998年的全国高考题，至今解来仍很新颖．难度属中高档，教师与学生共同探究．首先，数列{b n }的通项容易求得，但是它是攀上这个题目顶端的第一个台阶，必须走好这一步．解：(1)设数列{b n }的公差是d ，由题意得b 1＝1，10b 1＋12×10×(10－1)d ＝145， 解得b 1＝1，d ＝3.∴b n ＝3n －2.(2)由b n ＝3n －2，知S n ＝log a (1＋1)＋log a (1＋14)＋…＋log a (1＋13n －2) ＝log a [(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)]， log a b n ＋13＝log a 33n ＋1， 因此要比较S n 与log a b n ＋13的大小，可先比较(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)与33n ＋1的大小． 取n ＝1，有(1＋1)＞33×1＋1，取n ＝2，有(1＋1)(1＋14)＞33×2＋1， ……由此推测(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1.(*) 若(*)式成立，则由对数函数性质可断定：当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13， 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13. 〔对于(*)式的证明，提供以下两种证明方法供参考〕下面对(*)式加以证明：证法一：记A n ＝(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)(1＋13n ＋1)＝21×54×87×…×3n －13n －2，D n ＝33n ＋1，再设B n ＝32×65×98×…×3n 3n －1，C n ＝43×76×109×…×3n ＋13n ， ∵当k ∈N *时，k ＋1k ＞k ＋2k ＋1恒成立， 于是A n ＞B n ＞C n .∴A 3n ＞A n ×B n ×C n ＝3n ＋1＝D 3n .∴A n ＞D n ，即(1＋1)(1＋14)…(1＋13n －2)＞33n ＋1成立． 由此证得：当a ＞1时，S n ＞log a b n ＋13. 当0＜a ＜1时，S n ＜log a b n ＋13. 证法二：∵3n ＋1＝41×74×107×…×3n ＋13n －2， 因此只需证1＋13k －2＞33k ＋133k －2对任意自然数k 成立， 即证3k －13k －2＞33k ＋133k －2，也即(3k －1)3＞(3k ＋1)(3k －2)2，即9k ＞5. 该式恒成立，故1＋13k －2＞33k ＋133k －2. 取k ＝1,2,3，…，n 并相乘即得A n ＞D n .点评：(*)式的证明还有一些其他的证明思路，比如说，数学归纳法、反证法等．有待于今后的学习中学会了这些方法后再应用．例6假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?活动：教师引导学生认真审题，确定数列模型，深刻挖掘题目中的数量关系，这是解决本题的锦囊妙计．由题意知，第(1)题属等差数列模型，需求和．第(2)题属等比数列模型．解：(1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知，{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n. 令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数．∴n ≥10.∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．(2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知，{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400·(1.08)n －1.由题意可知a n ＞0.85b n ，有250＋(n －1)×50＞400×(1.08)n －1×0.85，由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6.∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 点评：本题主要考查等差、等比数列的求和，不等式基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．变式训练某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚8时各服一片，现知道药片含药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的20%，在体内的残留量超过386毫克，就会产生副作用．(1)某人上午8时第1次服药，问到第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留多少？(2)长期服用此药，这种药会不会产生副作用？解：(1)依题意建立数列模型，设此人第n 次服药后，药在体内的残留量为a n 毫克， 则a 1＝220，a 2＝220＋a 1×(1－60%)＝220×1.4，a 3＝220＋a 2×(1－60%)＝343.2.从而某人第二天上午8时服完药时，这种药在他体内还残留343.2毫克．(2)由a n ＝220＋0.4a n －1，得a n －1 1003＝0.4(a n －1－1 1003)(n ≥2)， ∴{a n －1 1003}是以a 1－1 1003为首项，以0.4为公比的等比数列． ∴a n －1 1003＝(a 1－1 1003)·0.4n －1＜0.∴a n ＜1 1003≈386.故不会产生副作用． 知能训练1．求数列8,88,888，…， 的前n 项和．2．某工厂三年的生产计划规定：从第二年起，每一年比上一年增长的产值相同，三年的总产值为300万元，如果第一年、第二年、第三年分别比原计划产值多10万元、10万元、11万元，那么每一年比上一年的产值增长的百分率相同，求原计划中每一年的产值．答案：1．解：∵a n ＝89(10n －1)， ∴S n ＝89×(101－1)＋89×(102－1)＋…＋89×(10n －1) ＝89×[(101＋102＋…＋10n )－n]＝89×10n ＋1－10－9n 9＝881×(10n ＋1－10－9n)． 2．解：设原计划三年的产值分别为x －d ，x ，x ＋d ，则实际三年产值分别为x －d ＋10，x ＋10，x ＋d ＋11.⎩⎪⎨⎪⎧x －d ＋x ＋x ＋d ＝300，(x －d ＋10)(x ＋d ＋11)＝(x ＋10)2.解得x ＝100，d ＝10，x －d ＝90，x ＋d ＝110. 答：原计划三年的产值分别为90万元、100万元、110万元．课堂小结1．由学生合作归纳本节所复习的内容与方法，站在全章的高度对数列的知识方法进行高度归纳与整合，并理出自己独到的见解及适合自己特点的解题风格．2．让学生通过能力性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为素质能力．并体会“问题是数学的心脏，探究是学习的中心”的含义．逐渐提高自己的数学素养，努力把自己锻炼成一流人才，为人类、为社会作出更多的服务．作业。
人教B版高中数学必修五第二章等差数列(一).docx
§2.2 等差数列 2.2.1 等差数列(一)课时目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式．1．一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做______数列，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母d 表示． 2．若三个数a ，A ，b 构成等差数列，则A 叫做a 与b 的________，并且A ＝__________. 3．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝________.4．等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为______数列；若公差d <0，则数列{a n }为______数列．一、选择题1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 2．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．524．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab等于( )A.14B.12C.13D.235．设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．6 6．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n －2 (n ∈N ＋) B ．a n ＝2n ＋4 (n ∈N ＋) C ．a n ＝－2n ＋12 (n ∈N ＋) D ．a n ＝－2n ＋10 (n ∈N ＋)二、填空题7．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a 、b 的等差中项是________． 8．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________． 9．若m ≠n ，两个等差数列m 、a 1、a 2、n 与m 、b 1、b 2、b 3、n 的公差为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________． 三、解答题11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．12．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＝4－4a n －1 (n ≥2)，令b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．能力提升13．一个等差数列的首项为a 1＝1，末项a n ＝41 (n ≥3)且公差为整数，那么项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．不确定14．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n >1，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n，设b n ＝1a n ，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由．1．判断一个数列{a n }是否是等差数列，关键是看a n ＋1－a n 是否是一个与n 无关的常数． 2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个 量，就可以求出另一个量．3．三个数成等差数列可设为：a －d ，a ，a ＋d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ；四个数成等差数列可设为：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d 或a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d .§2.2 等差数列 2．2.1 等差数列(一)答案知识梳理1．等差 公差 2.等差中项 a ＋b23.a 1＋(n －1)d 4．递增 递减 作业设计1．C 2.B 3.D4．C [⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b ，2b ＝x ＋2x ，∴a ＝x 2，b ＝32x . ∴a b ＝13.]5．B [设前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝12且a (a －d )(a ＋d )＝48，解得a ＝4且d ＝±2，又{a n }递增，∴d >0，即d ＝2，∴a 1＝2.]6．D [由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，d <0，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝6，a 4＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ，即a n ＝8＋(n －1)×(－2)，得a n ＝－2n ＋10.]7. 3 8．a n ＝14n ＋1解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74.∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.9.43解析 n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13n －m14n －m ＝43. 10.83<d ≤3 解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.11．解 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a －3d ＋a －d ＋a ＋d ＋a ＋3d ＝26，a －da ＋d ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40. 解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2. 12．(1)证明 ∵a n ＝4－4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝4－4a n(n ∈N ＋)．∴b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝12－4a n －1a n －2＝a na n －－1a n －2＝a n －2a n －＝12. ∴b n ＋1－b n ＝12，n ∈N ＋.∴{b n }是等差数列，首项为12，公差为12.(2)解 b 1＝1a 1－2＝12，d ＝12.∴b n ＝b 1＋(n －1)d ＝12＋12(n －1)＝n2.∴1a n －2＝n 2，∴a n ＝2＋2n .13．B [由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，d ＝40n －1为整数，且n ≥3.则n ＝3,5,6,9,11,21,41共7个．]14．(1)证明 当n >1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n 1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －11a n －2＝2＋1a n －11a n －1a n －1＝b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．。
高中数学人教B版必修五教案：2.2《等差数列》新授课
分钟
2.
承
接
结果
1、等差数列的定义式
2、推导等差数列通项公式
1、评价学生的展示结果
2、巡视学生的完成情况
3、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
1、展示等差数列的定义式
2、小组讨论等差数列公式的推导
解决学生自主学习中遇到的困惑，加深学生对知识的印象
8
分钟
3.
做
议
讲
评
探究一：等差数列的定义
例1《优化》34页例2
3
分钟
5．
目标
检测
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果
1、小考卷上作答。
2、组间互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况
6
分钟
6.布置下节课
自主
学习
任务
1、整理数学笔记，归纳：
（1）基础知识
（2）典型例题
2、完成《优化》第36-37页:
2、5、7、8、9、10、11、12、13、16题
2、小组讨论并展示自己组所写的结果。
3、其他组给予评价（主要是找错，纠错）
在具体问题中，探索、挖掘内在规律、发现数学的本质。
加深对对数函数的理解。
19分钟
4．
总
结
提升
1、知识
2、方法
3、能力
引导学生归纳总结本节课解题方法及注意事项
1、讨论思考
2、抽签小组展示讨论的结果。
3、提出的问题。
强化学生知识储备及养成良好的学习习惯，加强数学思维的培养
总结：等差数列的证明方法
巩固练习：针对练习
探究二：等差数列的通项公式及应用
2018版高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修5
2．1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一 数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理 (1)按照______________排列起来的__________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的________________，__________，…，__________，….(2)数列的一般形式可以写成________________________________，简记为____________． (3)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (4)按项的大小变化分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做________________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________；各项都相等的数列叫做__________．知识点二 通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 a n ＝(－1)n ＋1与a n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋n π，n ∈N ＋是否表示同一个数列？梳理如果数列的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．知识点三数列与函数的关系思考数列{a n}用表格形式给出如下：n 12345…a n112131415…在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n＝1,2,3,4,5.这些点都在哪个函数图象上？梳理如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二数列通项公式的应用命题角度1 考查对应关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n n＋12n－12n＋1，n∈N＋.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n}．(1)求a n＋1；(2)求a2n.反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．命题角度2 考查单调性、最值 例3 已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(1011)n(n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项．1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2n3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)0,1,0,1，….4．已知数列{a n}的通项为a n＝－2n2＋29n＋3，求数列{a n}中的最大项．1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．答案精析问题导学 知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理 (1)一定次序 一列数 项 第1项(或首项) 第2项 第几项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } (3)有穷 无穷(4)递增数列 递减数列 常数列 知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2 是，它们都表示数列1，－1,1， －1，…. 知识点三 思考这些点都在y ＝1x的图象上．题型探究 类型一例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝－1n ＋1n，n ∈N ＋.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N ＋.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)， 79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)， 79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n－1)，n ∈N ＋.类型二 命题角度1例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解 (1)a n ＋1＝－1n ＋1[n ＋1＋1][2n ＋1－1][2n ＋1＋1]＝－1n ＋1n ＋22n ＋12n ＋3.(2)a 2n ＝－12n2n ＋1[2×2n －1][2×2n ＋1]＝2n ＋14n －14n ＋1.跟踪训练2 10 命题角度2例3 (1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1n，又因为n ∈N ＋， 所以1≥1n>0.因此a n <1.(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n) ＝1n n ＋1，又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0， 即a n ＋1>a n ，所以{a n }是递增数列． 跟踪训练3解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n，∴a 7＝8·(1011)7，a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011)10，∴{a n }中每一项都是正数． 令a na n －1≥1(n ≥2)，百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 即n ＋1·1011n n ·1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10， 即a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10.令a n a n ＋1≥1，即n ＋1·1011n n ＋2·1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011， 解得n ≥9，∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先递增，后递减．∴可知a 9＝a 10＝1010119最大． 当堂训练1．D 2.B3．解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n 2 (n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)． 4．a 7＝108。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 2-1-1 数列
2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一 数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. 要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项． 跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三 判断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108.∴数列{a n}中的最大项为a7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性；②可重复性；③有序性．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。
2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第二章 2.1.2 数列的递推公式(选学)
2.1.2 数列的递推公式(选学)[学习目标] 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案 (1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一 由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1 设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二 由递推公式求通项例2 已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解 (1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三 数列与函数的综合应用例3 f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解 (1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法 数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3 函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解 (1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。
2018版高中数学人教B版必修五教师用书：第2章 2-2-2
2.2.2 等差数列的前n 项和 第1课时 等差数列的前n 项和1.了解等差数列前n 项和公式的推导过程.(难点),2.掌握等差数列前n 项和公式及其应用.(重点),3.能灵活应用等差数列前n 项和的性质解题.(难点、易错点)基础·初探]教材整理 等差数列的前n 项和阅读教材P 39第二自然段～P 39例1，完成下列问题. 1.数列的前n 项和的概念一般地，称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2.等差数列的前n 项和公式1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49 D.63 【解析】 a 2＋a 6＝a 1＋a 7＝14， ∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49.【答案】 C2.等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n ＝________. 【解析】 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1 ＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 【答案】n (n ＋1)23.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10＝________. 【解析】 由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝120，得a 1＋a 10＝24.【答案】 244.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1) ＝2n ＋1.因为n ＝1时，a 1＝3，也满足a n ＝2n ＋1， 所以a n ＝2n ＋1. 【答案】 2n ＋1小组合作型]已知等差数列{a n }中， (1)a 1＝12，S 4＝20，求S 6；(2)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (3)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【精彩点拨】 利用等差数列求和公式的两种形式求解.【自主解答】 (1)S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝4a 1＋6d ＝2＋6d ＝20， ∴d ＝3.故S 6＝6a 1＋6(6－1)2d ＝6a 1＋15d ＝3＋15d ＝48. (2)∵S n ＝n ·32＋n (n －1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0， 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， a 12＝32＋(12－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.(3)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.a 1，n ，d 为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 中可知三求二.一般是通过通项公式和前n 项和公式联立方程(组)求解，这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中，应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.再练一题]1.已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. 【解】 ⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5， a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？【精彩点拨】 因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道防线工程.【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设为a 1，a 2，…，a 25.由题意可知，此数列为等差数列，且a 1＝24，公差d ＝－13.25辆翻斗车完成的工作量为：a 1＋a 2＋…＋a 25＝25×24＋25×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480.∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线.1.本题属于与等差数列前n 项和有关的应用题，其关 键在于构造合适的等差数列.2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知 识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型. (2)深入分析题意，确定是求通项公式a n ，或是求前 n 项和S n ，还是求项数n .再练一题]2.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米.【导学号：18082026】【解析】 假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S ＝9×20＋9×82×20＋10×20＋10×92×20＝2 000(米). 【答案】 2 000探究共研型]的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根.假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？图2-2-2【提示】 在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数分别记为a 1，a 2，…，a 6，则数列{a n }构成一个以a 1＝4为首项，以d ＝1为公差的等差数列，设此时钢管总数为S 6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层有a 1＋a 6＝a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝…＝a 6＋a 1＝13(根)，此时钢管总数为2S 6＝(a 1＋a 6)×6＝13×6＝78(根)， 原来钢管总数为S 6＝a 1＋a 62×6＝39(根).探究2 通过探究1，你能推导出等差数列{a n }的求和公式吗？ 【提示】 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ， ①把数列{a n }各项顺序倒过来相加得 S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1，② ①＋②得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)＝n (a 1＋a n )， 则S n ＝(a 1＋a n )n2.探究3 你能用a 1，d ，n 表示探究2中的公式吗？该结果与S n ＝(a 1＋a n )n2有什么区别与联系.【提示】 S n ＝(a 1＋a n )n 2＝[a 1＋a 1＋(n －1)d ]n2＝a 1n ＋n (n －1)d 2，即S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2.该公式是由探究2中的公式推导得出，都是用来求等差数列的前n 项和，在求解时都可以“知三求一”，求S n 时，都需知a 1，n ，不同在于前者还需知a n ，后者还需知d.(1)已知等差数列{a n }中，若a 1 009＝1，求S 2 017；(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，求a 5b 5.【精彩点拨】 由等差数列的前n 项和公式及通项公式列方程组求解，或结合等差数列的性质求解.【自主解答】 (1)法一：∵a 1009＝a 1＋1008d ＝1，∴S 2017＝2017a 1＋2017×20162d ＝2 017(a 1＋1 008d )＝2017.法二：∵a 1009＝a 1＋a 20172，∴S 2017＝a 1＋a 20172×2 017＝2017a 1009＝2017. (2)法一：a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53.法二：∵S n T n＝2n ＋2n ＋3＝n (2n ＋2)n (n ＋3)，∴设S n ＝2n 2＋2n ，T n ＝n 2＋3n ，∴a 5＝S 5－S 4＝20，b 5＝T 5－T 4＝12， ∴a 5b 5＝2012＝53.1.若{a n }是等差数列，则S n ＝a 1＋a n2·n ＝na 中(a 中为a 1与a n 的等差中项). 2.若{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.再练一题]3.在等差数列{a n }中. 已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解】 法一：∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15，∴S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.法二：∵a 3＋a 15＝2a 1＋16d ＝40，∴a 1＋8d ＝20， ∴S 17＝17a 1＋17×162d ＝17(a 1＋8d )＝17×20＝340.法三：∵a 3＋a 15＝2a 9＝40，∴a 9＝20，∴S 17＝17a 9＝340.1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14【解析】 由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.【答案】 C2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A.5 B.7 C.9 D.11【解析】 法一：∵a 1＋a 5＝2a 3， ∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1，∴S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故选A.法二：∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3，∴a 1＋2d ＝1， ∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A. 【答案】 A3.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 【解析】 S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·2a 102＝19a 10＝190. 【答案】 1904.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝________.【导学号：18082027】【解析】 法一：由⎩⎨⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二：由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，∴20－4＝4＋4d ， 解得d ＝3. 【答案】 35.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 【解】 设等差数列的公差为d ，则 S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1， S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24， 即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1， 2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝－1， d ＝2. 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二单元 2.2-2 等
2．2.2 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．知识点一 等差数列前n 项和公式的推导思考 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ] ＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ] ＋[a n －(n －1)d ]．两式相加，得2S n ＝n (a 1＋a n )，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋________________.知识点二 等差数列前n 项和公式的特征思考1 在等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？思考2 我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？梳理 对于等差数列{a n }的前n 项和S n ，有下面几种常见变形： (1)S n ＝n ·a 1＋a n2；(2)S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ；(3)S n n ＝d 2n ＋(a 1－d 2)({S n n }是公差为d2的等差数列)．知识点三 等差数列前n 项和公式的性质思考 如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？梳理 (1)S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项的和，前2m 项的和，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .(2)若等差数列的项数为2n (n ∈N ＋)，则S 2n ＝____________，且S 偶－S 奇＝____，S 奇S 偶＝a n a n ＋1.(3)若等差数列的项数为2n －1(n ∈N ＋)，则S 2n －1＝____________，且S 奇－S 偶＝a n ，S 奇＝na n ，S 偶＝(n －1)·a n ，S 奇S 偶＝nn －1.类型一 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？反思与感悟(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用．(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，a n，S n，知其三能求另外两个．跟踪训练1在等差数列{a n}中，已知d＝2，a n＝11，S n＝35，求a1和n.命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．本题是根据首项和公差选择前n项和公式进行求解．跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二 等差数列前n 项和性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ； (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．反思与感悟 等差数列前n 项和S n 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果．跟踪训练3 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________. 4．已知在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到．2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，a n，S n，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量．在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用：若m＋n＝p＋q，则a n＋a m＝a p＋a q(n，m，p，q∈N＋)；若m＋n＝2p，则a n＋a m＝2a p. 3．本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想．答案精析问题导学 知识点一思考 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)， ∴S n ＝n (n ＋1)2.梳理n (n －1)2d 知识点二思考1 S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3×a 1＋a 32＝3a 2＝21.思考2 按n 的降幂展开S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数形式，且常数项为0. 知识点三思考 (a 11＋a 12＋…＋a 20)－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝(a 11－a 1)＋(a 12－a 2)＋…＋(a 20－a 10) ＝10d ＋10d ＋…＋10d 10个＝100d ，类似可得(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝100d .∴a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列． 梳理 (2)n (a n ＋a n ＋1) nd (3)(2n －1)a n 题型探究 类型一 命题角度1例1 解 方法一 由题意知 S 10＝310，S 20＝1 220，将它们代入公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝310，20a 1＋190d ＝1 220，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，d ＝6.∴S n ＝n ×4＋n (n －1)2×6＝3n 2＋n .方法二 S 10＝10(a 1＋a 10)2＝310⇒a 1＋a 10＝62，① S 20＝20(a 1＋a 20)2＝1 220⇒a 1＋a 20＝122，② ②－①得a 20－a 10＝60， ∴10d ＝60， ∴d ＝6，a 1＝4.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝3n 2＋n .跟踪训练1 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.命题角度2例2 解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1 000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1 000－9×50)×1% ＝55.5(元)，即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1 105(元)，即全部付清后实际付款1 105＋150 ＝1 255(元)．跟踪训练2 解 (1)设开始运动n 分钟后第一次相遇，依题意， 有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解得n ＝7，n ＝－20(舍去)．所以第一次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设开始运动m 分钟后第二次相遇， 依题意，有2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －420＝0. 解之得m ＝15，m ＝－28(舍去)．所以第二次相遇是在开始运动后15分钟． 类型二例3 解 (1)方法一 在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． ∴30,70，S 3m －100成等差数列． ∴2×70＝30＋(S 3m －100)， ∴S 3m ＝210.方法二 在等差数列中， S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列， ∴2S 2m 2m ＝S m m ＋S 3m3m. 即S 3m ＝3(S 2m －S m ) ＝3×(100－30)＝210. (2)a 5b 5＝12(a 1＋a 9)12(b 1＋b 9) ＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2 ＝S 9T 9＝7×9＋29＋3 ＝6512. 跟踪训练3 解 设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∵S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝1，a 1＋7d ＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝1.∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝n 2－52， ∴S n ＋1n ＋1－S n n ＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12，∴T n ＝n ×(－2)＋n (n －1)2×12＝n 2－9n4.当堂训练 1．B 2.B 3.1904．(1)n ＝12，a n ＝a 12＝－4. (2)d ＝－171.。
高中数学人教B版必修五教案：第二章+《数列》新授
1．检查学生预 习作业完成情 况，进行及时评 价。 2．补充学生出 现的漏洞。 3. 解 决 学 生 的 问题，并达成共 识。
1、 学 生 叙 述 完 成情况。
2、 其 余 学 生 互 相补充。
3、 质疑、解答。
验收学生 自主学习 的结果， 并 解决学 生自主学 习中遇到 的困惑 。
13 分 钟
一、会 用 观 察 法 求下列 数列的 通 项公式： (1)3性质的发现和推证过程；
2. 借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数；
三、情感、态度与价值观目标：
1. 要让学生认识到数学来源于生活实践，生活中充满了数学，
数学中有无穷的奥秘。学会从生活实际中发现数学规律，体会数
学美，体验探索的乐趣。
2. 养成收集资料、自主探索、合作交流的习惯；
3. 进一步体会从特殊到一般，由已知到未知，从有限到无限的
2、利用通项公式， 研究该数列的性
质
一、知识与技能目标：
理由：本
1.能够用自己是语言描述出数列、数列的项、数列的首项、通
节课的
项、项数的概念；
重点与
2.会用观察法求出数列的通项公式；
难点。
3.能够通过通项公式写出任意项；
4.能用自己的语言描述出数列分类的依据；
二、过程与方法目标：
1. 结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列
式
n1
a n
(
. 1) n 1
2n
1
（1）写出它的前两
项，及第 10 项；
1、巡视学生的 完成情况。 2、对学生的展 示和评价要给 予及时的反馈。 3. 要 对 学 生 不 同的解题过程 和答案给出准 确的评价，总 结。
1、 学 生 先 独 立 完成例题， 然 后以小组为 单位统一答 案。
高中数学 2.2.1 等差数列导学案(一)新人教B版必修5
2.2.1 等差数列(一)明目标、知重点 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．1．等差数列的概念如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差等于 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 2．等差中项如果三个数x 、A 、y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的 ，且A ＝x ＋y2.3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝ 4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为 数列；若公差d <0，则数列{a n }为 数列．探究点一 等差数列的概念思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63.(3)18,15.5,13,10.5,8,5.5.(4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360.以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论．思考2 具有思考1中这些数列特点的数列，我们把它叫做等差数列，那么，如何给等差数列下个定义？思考3 如何列用数学语言来描述等差数列的定义？思考4 思考1中的四个等差数列的公差分别是什么？小结 对于一个数列，当a n －a n －1＝d (n ≥2)中的d 为常数，该数列为等差数列，否则不是等差数列．当d >0时，a n >a n －1，该数列为递增数列；当d ＝0时，a n ＝a n －1，该数列为常数列；当d <0时，a n <a n －1，该数列为递减数列．例1 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －5，这个数列是等差数列吗？反思与感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列探究点二 等差数列的通项思考1 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，你能用a 1和d 表示出a 2，a 3，a 4，…，然后观察规律，归纳概括出通项公式a n .思考2 由等差数列的定义知a n －a n －1＝d (n ≥2)，利用此关系式如何得到等差数列的通项公式？例2 已知等差数列10,7,4，…： (1)试求此数列的第10项；(2)－40是不是这个数列的项？－56是不是这个数列的项？如果是，是第几项？反思与感悟 (1)在等差数列{a n }中，首项a 1及公差d 称为基本量．(2)通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中有四个量a 1，d ，n ，a n ，求解过程中反映了“知三求一”的方程思想．跟踪训练2 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？探究点三 等差中项思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0.思考2 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A .例3 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练3 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－32．△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B．60° C．90° D．120°3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( )A.14B.12C.13D.234．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值．[呈重点、现规律]1．判断一个数列是否是等差数列的常用方法有： (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．2.2.1 等差数列（一）【强化训练】 一、基础过关1．若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( )A ．b －a B.b －a 2 C.b －a 3 D.b －a42．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．293．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项4．若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．26B ．29C ．39D ．525.2－1与2＋1的等差中项是________．6．一个等差数列的前三项为：a,2a －1,3－a .则这个数列的通项公式为________． 7．若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.二、能力提升8．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列9．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．6410．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．11 离(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？ (2)利用建立的模型计算，甲虫1 min 能爬多远？它爬行49 cm 需要多长时间？12．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度．三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N ＋)是{a n }中的项吗？试说明理由．(2)若a p ，a q (p ，q ∈N ＋)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由．。
【K12小初高学习】2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(二)-含答案
2.2.1 等差数列(二)[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．[知识链接]在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，如果已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？ [预习导引] 1．等差数列的图象等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．等差数列的项与序号的关系(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m，从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 3．等差数列的性质 (1)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋an －1＝a 3＋a n －2＝….(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有(3){a n }n 为递增数列；n 为递减数列；n }为常数列.要点一 等差数列性质的应用例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.方法二 根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ， ∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)， ∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪演练1 在等差数列{a n }中： (1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；(2)若a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 1＋a 20 等于________． 答案 (1)15 (2)18解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.要点二 等差数列的设法与求解例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．解 方法一 设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24， 化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2. 方法二 设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ， 依题意，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2,－2.规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 方法一 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1， 故所求的四个数为－2,0,2,4.方法二 若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得(1－32d )(1＋32d )＝－8，即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2. 又四个数成递增等差数列，所以d >0，所以d ＝2， 故所求的四个数为－2,0,2,4.要点三 由递推关系式构造等差数列求通项例3 已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ＞1，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ，设b n ＝1a n ，n ∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明 当n ＞1，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n －1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解 由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n ＝14n ＋1，n ∈N ＋.∴a 1＝15，a 2＝19，∴a 1a 2＝145.令a n ＝14n ＋1＝145，∴n ＝11.即a 1a 2＝a 11，∴a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．规律方法 已知数列的递推公式求数列的通项时，要对递推公式进行合理变形，构造出等差数列，需掌握常见的几种变形形式，考查学生推理能力与分析问题的能力． 跟踪演练3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1. (1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n )，求{b n }的通项公式．(1)证明 (a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关)，故数列{a n －2n }为等差数列，且公差d ＝1.(2)解 由(1)可知，a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1， 故a n ＝2n ＋n －1，所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n )＝2n . 要点四 等差数列的实际应用例4 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．请您根据提供的信息说明，求(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由． (3)哪一年的规模最大？请说明理由．解 由题干图可知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，则c n ＝a n b n . (1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 1＋5d 1＝2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d 1＝0.2⇒a 2＝1.2； 由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，b 1＋5d 2＝10， ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，d 2＝－4⇒b 2＝26. 所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了． (3)∵a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6)，∴c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34)＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6)． ∵2与94的距离最近，∴当n ＝2时，c n 最大．所以(1)第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；(2)到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；(3)第2年的规模最大．规律方法 本题可以按照解析几何中的直线问题求解，但是，如果换个角度，利用构造等差数列模型来解决，更能体现出等差数列这一函数特征．这种解答方式的转变，同学们要在学习中体会，在体会中升华．跟踪演练4 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解 由题意可知，设第1年获利为a 1，第n 年获利为a n ，则a n －a n －1＝－20，(n ≥2，n ∈N ＋)，每年获利构成等差数列{a n }，且首项a 1＝200，公差d ＝－20， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝200＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋220. 若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损， 由a n ＝－20n ＋220<0，解得n >11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 8＝－20，则公差d 等于( ) A ．3 B ．－6 C ．4 D ．－3 答案 B解析 由等差数列的性质，得a 8－a 3＝(8－3)d ＝5d ，所以d ＝－20－105＝－6.2．在等差数列{a n }中，已知a 4＝2，a 8＝14，则a 15等于( ) A ．32 B ．－32 C ．35 D ．－35答案 C解析 由a 8－a 4＝(8－4)d ＝4d ，得d ＝3，所以a 15＝a 8＋(15－8)d ＝14＋7×3＝35. 3．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( ) A ．3 B ．－3 C.32 D ．－32答案 A解析 由数列的性质，得a 4＋a 5＝a 2＋a 7，所以a 2＝15－12＝3.4．某市出租车的起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费为10元，超出4 km(含4 km)的路程，按1.2元/km 的标准计费．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以，我们可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2表示4 km 处的车费，公差d ＝1.2.那么当出租车行至14 km 处时，n ＝11，此时需要支付车费为a 11＝a 1＋10d ＝11.2＋10×1.2＝23.2(元)．答 需要支付车费23.2元．1．在等差数列{a n }中，当m ≠n 时，d ＝a m －a n m －n 为公差公式，利用这个公式很容易求出公差，还可变形为a m ＝a n ＋(m －n )d .2．等差数列{a n }中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．3．等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N ＋)，特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .4．在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1、d 的方程(组)求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．。
[K12配套]2018版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(一)-含答案
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2.2 等差数列2.2.1 等差数列(一)[学习目标] 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．[知识链接]第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？[预习导引]1．等差数列的概念如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．2．等差中项如果三个数x 、A 、y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2. 3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .4．等差数列的单调性等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列.要点一 等差数列的概念例1 若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列．解 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N ＋)．所以数列{a n }为等差数列．规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数．跟踪演练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，∴{a n }是公差为2的等差数列．要点二 等差中项及其应用例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．(2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N ＋，p ，q 为常数)，且x 1、x 4、x 5成等差数列．求：p ，q 的值．解 (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3， ① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1，②将②代入①，得p ＝1.规律方法 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.两式相加，得m ＋n ＝6.∴m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3. 要点三 等差数列的通项公式及应用例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？解 (1)设{a n }的公差为d ，首项为a 1.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415＝24. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝18，a 1·a 2·a 3＝66， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝5.∵数列{a n }是递减等差数列，∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.∴－34是数列{a n }的第10项．规律方法 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．跟踪演练3 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：(1)a 3＝5，a 7＝13；(2)前三项为a,2a －1,3－a .解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由等差中项公式得2×(2a －1)＝a ＋(3－a )，a ＝54， ∴首项为a ＝54，公差为2a －1－a ＝a －1＝54－1＝14， ∴a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1.1．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a n ＋1－a n ＝3－2(n ＋1)－(3－2n )＝－2.2．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°答案 B解析 因为A 、B 、C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.3．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b 等于( )A.14B.12C.13D.23答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，b ＝x ＋2x 2＝32x ， 又∵x 是a, b 的等差中项，则2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.4．在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，求n 的值． 解 ∵a 2＋a 5＝(a 1＋d )＋(a 1＋4d )＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23.∴a n ＝13＋(n －1)×23＝23n －13. 由a n ＝23n －13＝33，解得n ＝50.1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式；反过来，在a 1、d 、n 、a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．。
2018版高中数学 第2章 数列 2.2.1 第2课时 等差数列的性质教案 新人教B版必修5
(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为_等__差__数列. (3)若{an}是公差为 d 的等差数列，则 ①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为_d_的等差数列； ②{can}(c 为任一常数)是公差为_c_d_的等差数列； ③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N＋)是公差为_2_d_的等差数列. (4)若{an}，{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为__p_d_1_＋__q_d_2 __的等差数列. (5){an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为_递__增_数列； d<0⇔{an}为_递__减_数列；d＝0⇔{an}为常数列.
法三：设这四个数分别为 a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得
a－3d＋a－d＋a＋d＋ a＋3d＝26，
a－da＋d＝40，
化简，得4aa2－＝d226＝，40，
解得
a＝123， d＝±32.
∴这四个数分别为 2,5,8,11 或 11,8,5,2.
【答案】 15
[小组合作型] 灵活设元解等差数列
这四个数.
已知四个数成等差数列，它们的和为 26，中间两项的积为 40，求
【精彩点拨】 (1)能否直接设出首项和公差，用方程组求解？ (2)等差数列相邻四项和为 26，这四项有对称性吗？能否用对称设法求解？
【自主解答】 法一：设这四个数分别为 a，b，c，d，根据题意，得
【解析】 因为 a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450. 所以 a5＝90， a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.
【答案】 180
4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________.
人教课标版(B版)高中数学必修5参考教案2-等差数列
2.2.1等差数列
教学过程
课堂教学设计说明：
1、本节课由具体例子引入等差数列的定义，培养了学生由感性认识到理性认识
的抽象能力.
2、教学中注意充分发挥学生的主体作用的同时，教师的主导作用必须充分体现，
引导学生领会数学知识发生、发展的过程，激发学生对数学学习的兴趣，同时要揭示知识的内在联系和规律，使学生能从更高的层次解决问题.
3、由不完全归纳法得出通项公式，提高学生归纳推理的逻辑思维能力.
教学反思：在差数列概念的理解上采用学生讨论的方法让学生自己去探究、发现、归纳，通过老师将定义分点强调，让学生理解更加深刻.对通项公式的推导上运动归纳猜想的方法，鼓励学生自己动手，让知识更加透彻.。
2018年秋新课堂高中数学人教B版必修五学案：第2章 2.2.1 第1课时 等差数列 Word版含答案
2.2等差数列2.2.1等差数列第1课时等差数列学习目标：1.理解等差数列的概念．(难点)2.掌握等差数列的通项公式及运用．(重点、难点)3.掌握等差数列的判定方法．(重点)[自主预习·探新知]1．等差数列的概念：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．思考1：等差数列的定义用符号怎么表示？[提示]a n－a n－1＝d(n≥2，d为常数)2．等差中项如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x与y的等差中项，且A＝x＋y2.思考2：任意两数都有等差中项吗？[提示]是3．等差数列的通项公式若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项a n＝a1＋(n－1)d.思考3：等差数列的通项公式是什么函数模型？[提示]d≠0时，一次函数，d＝0时，常值函数．4．等差数列的单调性等差数列{a n}中，若公差d>0，则数列{a n}为递增数列；若公差d<0，则数列{a n}为递减数列．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)如果一个无穷数列{a n}的前4项分别是1,2,3,4，则它一定是等差数列．()(3)当公差d＝0时，数列不是等差数列．()(4)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()[解析](1)×.由等差数列的概念可知．(2)×.因为一个无穷数列前四项构成公差为1的等差数列，往后各项与前一项的差未必是同一个常数1.(3)×.因为该数列满足等差数列的定义，所以该数列为等差数列，事实上它是一类特殊的数列——常数列．(4)√.因a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知等差数列{a n}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式a n＝________.【导学号：12232131】6－2n[∵a1＝4，d＝－2，∴a n＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n.]3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是________．46[由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可知－89＝1＋(n－1)·(－2)，所以n＝46.]4．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为________．【导学号：12232132】－3[设方程x2＋6x＋1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－6，所以x1，x2的等差中项为A＝x1＋x22＝－3.][合作探究·攻重难]若数列{a n}的通项公式为a n＝10＋ln 2n，试证明数列{a n}为等差数列．[证明]因为a n＝10＋ln 2n＝10＋n ln 2，所以a n＋1－a n＝[10＋(n＋1)ln 2]－(10＋n ln 2)＝ln 2(n∈N＋)．所以数列{a n}为等差数列．[规律方法]等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{a n}为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.[跟踪训练]1．数列{a n}的通项公式a n＝4－3n，则此数列()A．是公差为4的等差数列B．是公差为3的等差数列C．是公差为－3的等差数列D．是首项为4的等差数列C[∵a n＋1－a n＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3.∴{a n}是公差为－3的等差数列．](1)在－1与7，c使这五个数成等差数列，求此数列.【导学号：12232133】(2)已知数列{x n}的首项x1＝3，通项x n＝2n p＋nq(n∈N＋，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[解](1)∵－1，a，b，c,7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①，得p＝1.[规律方法]三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{a n}为等差数列，可证2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N＋).[跟踪训练]2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．[解]由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6，∴m和n的等差中项为m＋n2＝3.[探究问题]1．某市要在通往新开发的旅游观光风景区的直行大道上安装路灯，安装第1盏后，往后每隔50米安装1盏，试问安装第5盏路灯时距离第1盏路灯有多少米？你能用第1盏灯为起点和两灯间隔距离表示第n盏灯的距离吗？提示：设第1盏路灯到第1盏路灯的距离记为a1，第2盏路灯到第1盏路灯的距离记为a2，第n盏路灯到第1盏路灯的距离记为a n，则a1，a2，…，a n，…构成一个以a1＝0为首项，以d＝50为公差的一个等差数列．所以有a1＝0，a2＝a1＋d＝0＋50＝50，a3＝a2＋d＝a1＋2d＝0＋2×50＝100，a4＝a3＋d＝a1＋3d＝0＋3×50＝150，a5＝a4＋d＝a1＋4d＝0＋4×50＝200，…a n＝a1＋(n－1)d＝50n－50，所以，第5盏路灯距离第1盏路灯200米，第n盏路灯距离第1盏路灯(50n－50)米．2．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算，你能算出2016年8月在巴西里约热内卢举行的奥运会是第几届吗？若已知届数，你能确定相应的年份吗？提示：设第一届的年份为a1，第二届的年份为a2，…，第n届的年份为a n，则a 1，a 2，…，a n ，…构成一个以a 1＝1 896为首项，以d ＝4为公差的等差数列，其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1 896＋4(n －1)＝4n ＋1 892，即a n ＝4n ＋1 892，由a n ＝2 016，知4n ＋1 892＝2 016，所以n ＝31.故2016年举行的奥运会为第31届．已知举办的届数也能求出相应的年份，因为在等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 中，知道其中任何三个量，均可求得第四个量．3．在等差数列{a n }中，能用a 1，d 两个基本量表示a n ，那么能否用{a n }中任意一项a m 和d 表示a n?提示：由a n ＝a 1＋(n －1)d ， ①a m ＝a 1＋(m －1)d ， ②两式相减可得：a n －a m ＝(n －m )d ，则a n ＝a m ＋(n －m )d .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，求a 15的值.【导学号：12232134】[思路探究] 设出基本量a 1，d .利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式a n ＝a m ＋(n －m )d 求解．[解] (1)法一：∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－2，d ＝3.∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N ＋)．法二：∵a 4＝7，a 10＝25，。
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2.2 等差数列
2.2.1 等差数列(一)
[学习目标] 1.理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用．
[知识链接]
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．这样举行奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？这个数列叫什么数列呢？
[预习导引]
1．等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差．
2．等差中项
如果三个数x 、A 、y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2
. 3．等差数列的通项公式
若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则其通项a n ＝a 1＋(n －1)d .
4．等差数列的单调性
等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列；若公差d <0，则数列{a n }为递减数列.
要点一 等差数列的概念
例1 若数列{a n }的通项公式为a n ＝10＋lg 2n ，试说明数列{a n }为等差数列．
解 因为a n ＝10＋lg 2n ＝10＋n lg 2，
所以a n ＋1－a n ＝[10＋(n ＋1)lg 2]－(10＋n lg 2)＝lg 2(n ∈N ＋)．
所以数列{a n }为等差数列．
规律方法 判断一个数列是不是等差数列，就是判断a n ＋1－a n (n ≥1)是不是一个与n 无关的常数．
跟踪演练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )
A ．是公差为2的等差数列
B ．是公差为5的等差数列
C ．是首项为5的等差数列
D ．是公差为n 的等差数列
答案 A
解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2，
∴{a n }是公差为2的等差数列．
要点二 等差中项及其应用
例2 (1)在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．
(2)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N ＋，p ，q 为常数)，且x 1、x 4、x 5成等差数列．求：p ，q 的值．
解 (1)∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，
∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72
＝3. 又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32
＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72
＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.
(2)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3， ① 又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，
得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，即q ＝1，
②
将②代入①，得p ＝1.
规律方法 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12
，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．
跟踪演练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8.
又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10.
两式相加，得m ＋n ＝6.∴m 和n 的等差中项为m ＋n 2
＝3. 要点三 等差数列的通项公式及应用
例3 (1)若{a n }是等差数列，a 15＝8，a 60＝20，求a 75.
(2)已知递减等差数列{a n }的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
解 (1)设{a n }的公差为d ，首项为a 1.
由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 15＝a 1＋14d ＝8，a 60＝a 1＋59d ＝20，解得⎩⎨⎧ a 1＝6415，d ＝415.
所以a 75＝a 1＋74d ＝6415＋74×415
＝24. (2)依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝18，
a 1·a 2·a 3＝66， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝18，
a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝66， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，d ＝－5，或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝5.
∵数列{a n }是递减等差数列，
∴d <0.故取a 1＝11，d ＝－5.
∴a n ＝11＋(n －1)·(－5)＝－5n ＋16.
即等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－5n ＋16.
令a n ＝－34，即－5n ＋16＝－34，得n ＝10.
∴－34是数列{a n }的第10项．
规律方法 在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的方程(组)求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
跟踪演练3 已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：。