延安中学高三三模(2017.5)

延安中学高三三模数学卷
2017.5
一. 填空题
1. 若复数()(1)a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a =
2. 设集合{|(2)(3)0}A x x x =--≥，集合{|0}B x x =>，则A B =I
3. 281()x x
-的二项展开式中7x 项的系数为
4. 若一个球的体积是36π，则它的表面积是
5. 若等差数列{}n a 前9项和为27，且108a =，则d =
6. 函数()cos f x x x =+的单调递增区间为
7. 如图，在矩形ABCD 中，12AB =，5BC =，以 A 、B 为焦点的双曲线22
22:1x y M a b
-=恰好过C 、D 两点，则双曲线M 的标准方程为
8. 已知等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则{}n a 的前n 项积123n a a a a ⋅⋅⋅的最大 值为
9. 若命题“对任意[,]34x ππ∈-
，tan x m <恒成立”是假命题，则实数m 的取值范围是
10. 把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b ，则方程组 322ax by x y +=⎧⎨+=⎩
只有一组解的概率是 11. 已知点(3,1)A 、5(,2)3B ，且平行四边形ABCD 的四个顶点都在函数21()log 1
x f x x +=-的 图像上，则四边形ABCD 的面积为
12. 已知O 为ABC ∆的外心，且1cos 3
A =
，若AO AB AC αβ=+u u u r u u u r u u u r ，则αβ+的最大值为
二. 选择题 13. 已知a r 、b r 为非零向量，则“||||a b a b ⋅=r r r r ”是“a r ∥b r ”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 非充分非必要
14. 已知0x y >>，则（ ） A. 110x y -> B. sin sin 0x y -> C. 11()()022
x y -< D. ln ln 0x y +>
15. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当
23
x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A. (2)(2)(0)f f f -<< B. (0)(2)(2)f f f <-<
C. (2)(0)(2)f f f -<<
D. (2)(2)(0)f f f <-<
16. 已知,x y R ∈
，且满足00y y y +≤-≥≥⎪⎩
，若存在R θ∈，使得cos sin 10x y θθ++=成
立，则点(,)P x y 构成的区域面积为（ ） A.
2π
B. 46π+
C. 3π
D. 6π
三. 简答题
17. 已知图一是四面体ABCD 的三视图，E 是AB 的中点，F 是CD 的中点；
（1）求四面体ABCD 的体积；
（2）求EF 与平面ABC 所成的角；
18. 已知函数2()43f x x x a =-++；
（1）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求实数a 的取值范围；
（2）设函数()g x x b =+，当3a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在2[5,8]x ∈，使得12()()g x f x =，求实数b 的取值范围；
19. 如图，ABC ∆为一个等腰三角形的空地，腰CA 的长为3（百米），底AB 的长为4（百米），现决定在空地内筑一条笔直的小路EF （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等，面积分别为1S 和2S ；
（1）若小路一端E 为AC 的中点，求此时小路的长度；
（2）求
12
S S 的最小值；
20. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=（0a b >>）的焦点和上顶点分别为1F 、2F 、B ，定义：12F BF ∆ 为椭圆C 的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆 为“相似椭圆”
，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点F 是椭圆
22
122:1x y C a b
+=的一个焦点，且1C 上任意一点到它的两焦点的距离之和为4； （1）若椭圆2C 与椭圆1C 相似，且2C 与1C 的相似比为2:1，求椭圆2C 的方程；
（2）已知点(,)P m n （0mn ≠）是椭圆1C 上的任意一点，若点Q 是直线y nx =与抛物线
21x y mn
=
异于原点的交点，证明：点Q 一定在双曲线22441x y -=上； （3）已知直线:1l y x =+，与椭圆1C 相似且短半轴长为b 的椭圆为b C ，是否存在正方形 ABCD （设其面积为S ）
，使得A 、C 在直线上，B 、D 在曲线b C 上？若存在，求出函数 ()S f b =的解析式及定义域，若不存在，请说明理由；
21. 如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a
中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”；
（1）若数列：2，3，6，m （6m >）是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；
（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n （03n ≥），所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是 “兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不小于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由；
参考答案
一. 填空题
1. 1-
2. (0,2][3,)+∞U
3. 56-
4. 36π
5. 1
6. 2[2,2]33k k ππππ-+（k Z ∈）
7. 22116
20x y -= 8. 64 9. (,1]-∞ 10. 11
12 11. 26
3 12. 3
4
二. 选择题
13. A 14. C 15. D 16. D
三. 解答题
17.（1）2
3ABCD V =； （2）arcsin 9；
18.（1）[8,0]a ∈-； （2）1034b ≤≤；
19.（1百米； （2）11
25；
20.（1）2
2
1164x y +=； （2）证明略；
（3）21616()(59f b b b =->； 21.（1）9a =，7m =； （2）证明略； （3）不存在满足条件的数列{}n c ；。