高中数学 第二章 解析几何初步 2.1.3 两条直线的位置关系课件 北师大版必修2
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
北师大版数学高一-课堂新坐标14-15数学必修2讲义 第2章 解析几何初步(144页)
第二章解析几何初步§1直线与直线的方程1．1直线的倾斜角和斜率(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)掌握过两点的直线斜率的计算公式．2．过程与方法通过一系列直线的不同位置的学习，培养学生的探究精神．3．情感、态度与价值观通过几何问题用代数问题来处理的思维，培养学生的数形结合思想．●重点难点重点：倾斜角、斜率的概念，过两点的直线斜率的计算公式．难点：直线倾斜角与它的斜率之间的关系．直线的倾斜角、斜率都是用来刻画直线倾斜程度的，它们本质上是一致的，倾斜角α与斜率k之间存在k＝tan α(α≠90°)的关系，可以通过改变直线倾斜角来进一步认识斜率，从而化解难点．(教师用书独具)●教学建议教学时结合具体图形，学生容易了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线方向，观察教材上的图2－1，2－2要确定直线条中某一条直线还需要给出一个角，即引出倾斜角，进一步引出斜率，进而探究斜率与倾斜角的关系．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，认识直线的斜率和倾斜角⇒通过例1及变式训练，使学生掌握直线倾斜角的求法⇒通过例2及互动探究，使学生掌握直线的斜率的求法⇒通过例3及变式训练，使学生掌握直线的倾斜角和斜率的综合问题⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈校正课标解读 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念(重点)． 2．掌握过两点的直线斜率的计算公式(重点).直线的倾斜角和斜率【问题导思】1．已知直线上一个点，能确定一条直线吗？ 2．当直线的方向确定后，直线的位置确定吗？3．直线l 1，l 2分别是平面直角坐标系中一、三象限角平分线和二、四象限角平分线，它们的倾斜程度一样吗？【提示】 1.不能.2.不确定.3.不一样．1．直线的确定在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．2．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角，通常用α表示．(2)范围：0°≤α<180°. 3．直线的斜率直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k ＝{ tan α，α≠90°，不存在，α＝90°. 4．倾斜角、斜率及直线特点之间的联系倾斜角α 直线特点 斜率k 的变化0° 垂直于y 轴 k ＝00°<α<90° 由左向右上升 随着倾斜角在0°→90°间逐渐增大，直线的斜率k也逐渐增大，且恒为正值α＝90° 垂直于x 轴 k 不存在90°<α<180°由左向右下降随着倾斜角在90°→180°间逐渐增大，直线的斜率k 也逐渐增大，且恒为负值 5.过两点的直线斜率的计算公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.求直线的倾斜角 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α＜135°时为α＋45°，当135°≤α＜180°时为α－135°【思路探究】倾斜角的取值范围0°≤α＜135°α＋45°135°≤α＜180°α－135°【自主解答】由倾斜角的范围知只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°；而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°，如图所示，故选D.【答案】 D1．研究直线的倾斜角，必须明确倾斜角α的范围是0°≤α＜180°，否则将造成角度范围的扩大，产生不符合范围的角度．如对α不分类，选项A将出现大于等于180°的角；选项B、C将出现小于0°的角．2．此类问题应紧扣倾斜角的范围和倾斜角概念中的三个关键条件：①直线向上的方向；②x轴的正方向；③逆时针方向旋转．有时利用数形结合的思想方法求解．图2－1－1中α是直线l的倾斜角吗？试用α表示图中各条直线l的倾斜角．图2－1－1【解】设直线l的倾斜角为β，图①中α是直线l的倾斜角，β＝α；图②中α不是直线l的倾斜角，β＝180°－α；图③中α不是直线l的倾斜角，β＝α；图④中α不是直线l的倾斜角，β＝90°＋α.求直线的斜率(1)直线过两点A(1,3)、B(2,7)，求直线的斜率；(2)过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针方向旋转90°到达l′位置，求直线l′的倾斜率．【思路探究】(1)利用过两点的直线的斜率公式求得．(2)利用斜率的定义求．【自主解答】(1)因为两点的横坐标不相等，所以直线的斜率存在，根据直线斜率公式得k ＝7－32－1＝4.(2)因为直线l 的斜率k ＝1，所以直线l 的倾斜角为45°，所以直线l ′的倾斜角为45°＋90°＝135°，所以直线l ′的斜率k ′＝tan 135°＝－1.1．熟记斜率公式是解答本题的关键．2．求直线的斜率有两种思路一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x 轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．将本题中的两点改为(1,1)，(－1，－2)其余不变． 【解】 k ＝－2－1－1－1＝32.直线的倾斜角、斜率的综合应用 已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (3,1)，且与线段AB 相交，求直线l 的斜率的取值范围．【思路探究】 欲使直线l 与线段AB 相交，则直线l 的斜率与直线PA ，PB 的斜率有必然的关系，通过画图可知．【自主解答】 设直线l 的斜率为k ，当l 与线段AB 相交时，k PB ≤k ≤k PA ， 又∵k PA ＝1＋33－2＝4，k PB ＝1＋23＋3＝12，∴12≤k ≤4， 即直线l 的斜率的取值范围为12，433，3－12，3)．1．2直线的方程第1课时直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的点斜式(重点)．2．了解直线在y轴截距的概念(易混点)．3．了解斜截式与一次函数的关系(难点).直线方程的点斜式【问题导思】若直线经过点P(x0，y0)，且斜率为k，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？【提示】y－y0＝k(x－x0)．1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：(1)直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上．2．直线方程的点斜式和斜截式利用点斜式求直线方程根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2,8)，D(－3，－2)．【思路探究】解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解．【自主解答】(1)y－4＝－3，即y＝－3x＋1，图形如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x.图形如图(2)所示．(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程． 【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3； 当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.利用斜截式求直线方程 (1)写出斜率为2，在y 轴上截距是3的直线方程的斜截式．(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m .把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.点斜式、斜截式方程的综合应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0，求证：不论a 取何值，直线l 总经过第一象限． 【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m ， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程． 【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．【错因分析】未考虑m与3的关系导致错误的出现．【防范措施】当m＝3时斜率不存在，故应该讨论m与3的关系．【正解】当m＝3时，直线斜率不存在，∴直线方程为x＝3，当m≠3时，k＝23－m，∴直线方程为y－4＝23－m(x－3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解．2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P(－2,0)，斜率为3的直线方程是()A．y＝3x－2B．y＝3x＋2C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2)【解析】由点斜式可得y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)．【答案】 D2．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,2 B．－3，－3C．－3,2 D．2，－3【解析】由斜截式方程形式可知，k＝2，b＝－3.【答案】 D3．倾斜角为150°，在y轴上截距为6的直线方程是________．【解析】∵倾斜角为150°，∴斜率k＝tan 150°＝－33，又知直线在y轴上截距为6，∴y＝－33x＋6.【答案】y＝－33x＋64．已知直线的斜率为2，与x轴交点横坐标为－1，求直线方程．【解】∵直线过(－1,0)，k＝2，由点斜式得y＝2 ∴y＝2x＋2.一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程为( )A ．y －2＝－33(x ＋4)B ．y －(－2)＝－33(x －4)C ．y －(－2)＝33(x －4)D ．y －2＝33(x ＋4)【解析】 k ＝tan 150°＝－33，∴y －(－2)＝－33(x －4)．【答案】 B2．方程y ＝kx ＋1k表示的直线可能是( )【解析】 斜率为k ，且k ≠0，在y 轴上的截距为1k.当k >0时，1k >0；当k <0时，1k<0，从而选B.【答案】 B3．直线l 过点(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 005，b )在l 上，则b 的值为( ) A ．2 009 B ．2 010 C ．2 011 D ．2 012【解析】 ∵直线斜率k ＝5－(－1)2－(－1)＝2，∴直线点斜式方程为y －5＝2(x －2)， ∴y ＝2x ＋1，令x ＝1 005，∴b ＝2 011. 【答案】 C4．方程y ＝k (x ＋4)表示( ) A ．过点(－4,0)的所有直线 B ．过点(4,0)的一切直线C ．过点(－4,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(－4,0)且除去x 轴的一切直线【解析】 显然y ＝k (x ＋4)中斜率存在，因此不包含过点(－4,0)且斜率不存在即垂直于x 轴的直线．【答案】 C 5．(2013·佛山高一检测)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1【解析】 当a ＝0时，不满足条件，当a ≠0时，令x ＝0，y ＝a ＋2， 令y ＝0，x ＝2＋aa .由已知得a ＋2＝2＋aa .∴(a ＋2)(1－1a )＝0.∴a ＝－2或a ＝1.【答案】 D 二、填空题 6．(2013·平江高一检测)直线－x ＋3y －6＝0的倾斜角是________，在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝33x ＋23，∴tan α＝33，∴α＝π6，在y 轴上的截轴为2 3.【答案】 π6，2 37．直线y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，则其在y 轴上的截距是________．【解析】 y ＝x ＋m 过点(m ，－1)，∴－1＝m ＋m ，即m ＝－12，从而在y 轴上的截距为－12. 【答案】 －128．直线l 的倾斜角为45°，且过点(4，－1)，则这条直线被坐标轴所截得的线段长是________．【解析】 由已知得直线方程 y ＋1＝tan 45°(x －4)， 即y ＝x －5.当x ＝0，y ＝－5，当y ＝0，x ＝5. ∴被坐标轴所截得的线段长|AB |＝52＋52＝5 2.【答案】 5 2 三、解答题9．写出下列直线的方程．(1)斜率是3，在y 轴上的截轴是－2. (2)倾斜角是30°，过点(2,1)．【解】 (1)根据斜截式得直线方程为y ＝3x －2. (2)k ＝tan 30°＝33. ∴直线方程为y －1＝33(x －2)，∴y ＝33x －233＋1. 10．直线x －y ＋1＝0上一点P (3，m )，把已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°后得直线l ，求直线l 的方程．【解】 把点P (3，m )的坐标代入方程x －y ＋1＝0可得3－m ＋1＝0，∴m＝4，即P(3,4)．又∵已知直线方程可化为y＝x＋1，∴k＝1＝tan 45°，即倾斜角为45°.如图，易知已知直线绕点P 逆时针方向旋转15°， 所得直线的倾斜角为60°， ∴k ＝tan 60°＝3，∴所求直线方程为y －4＝3(x －3)．11．经过点A (－2,2)并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程． 【解】 设直线为y －2＝k (x ＋2)，交x 轴于点(－2k－2,0)，交y 轴于点(0,2k ＋2)，S ＝12×|2k ＋2|×|2k ＋2|＝1，|4＋2k ＋2k |＝1， 得2k 2＋3k ＋2＝0或2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－12或k ＝－2，∴x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求．(教师用书独具)如图所示，已知△ABC 中，A (1,1)，B (5,1)，∠A ＝60°，点C 在直线AB 上方． 求：(1)线段AB 的方程；(2)AC 所在直线的方程及在y 轴上的截距．【思路探究】 结合倾斜角和斜率的关系或斜率公式，得所求直线的斜率，从而求解． 【自主解答】 (1)由A (1,1)，B (5,1)，得AB ∥x 轴， ∴k AB ＝0，∴线段AB 的方程为y ＝1(1≤x ≤5)． (2)k AC ＝tan 60°＝3，∴直线AC 的方程为y －1＝3(x －1)，整理得y ＝3x ＋1－3，令x ＝0得y ＝1－3， ∴在y 轴上的截距为1－ 3.1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在，当k＝0时，y＝b表示与x轴平行的直线，当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截矩是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的5倍，求分别满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在y轴上截距为3.【解】由直线y＝－33x＋5，得k＝－33，即tan α＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)∵l过点P(3，－4)，则由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，即y＝33x－3－4. (2)∵l在y轴上截距为3，则由斜截式方程得：y＝33x＋3.第2课时直线方程的两点式和一般式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化．(2)了解直线与二元一次方程的对应关系．2．过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点．3．情感、态度与价值观(1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生用联系的观点看问题．●重点难点重点：直线方程的两点式和一般式．难点：利用直线方程的各种形式求直线方程．两点式其实就是点斜式的变形，值得注意的是两点式方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中的条件x1≠x2，y1≠y2，使得它既不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线．(教师用书独具)●教学建议本节课的教学内容为直线方程的两点式和一般式，在此之前，学生已掌握了直线方程的点斜式、斜截式，在本节教学时，通过师生探讨，得出直线的两点式和一般式方程，通过直线的两点式方程向截距式方程的过渡训练，让学生体会由一般到特殊的处理方法，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒引导学生回答问题，理解直线方程的两点式、一般式⇒通过例1及互动探究使学生掌握灵活运用题目条件求直线方程⇒通过例2及变式训练使学生掌握一般式方程与其他方程的互化⇒通过例3及变式训练使学生掌握一般式方程的应用⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正课标解读1.掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化(重点)．2．了解在直角坐标系中平面上的直线与关于x，y的二元一次方程的对应关系(难点).直线方程的两点式【问题导思】已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何求AB的直线方程？【提示】k AB＝y2－y1x2－x1由点斜式方程得y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)．1．两点式：设A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)是直线l上的两点，则l的两点式为y－y1y2－y1＝x－x1 x2－x1.2．截距式：若直线l过A(a,0)，B(0，b)，(ab≠0)，则直线l的两点式方程可化为xa＋yb＝1的形式，这种形式的方程叫作直线方程的截距式．其中a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截距．直线方程的一般式【问题导思】以上所学的直线方程的几种形式能整理成关于x、y的二元一次方程的整式形式吗？【提示】能．直线方程的一般式关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示的是一条直线，我们把它叫作直线方程的一般式．直线方程的两点式和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点A (－2,3)，B (4，－1)；(2)在x 轴、y 轴上的截距分别为4，－5； (3)过点P (2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．【思路探究】 (1)要根据不同的要求选择适当的方程形式；(2)“截距”相等要注意分过原点和不过原点这两种情况．【自主解答】 (1)由两点式得y －3－1－3＝x ＋24＋2化简得2x ＋3y －5＝0.(2)由截距式，得x 4＋y－5＝1化简为5x －4y －20＝0.(3)当直线过原点时，所求直线方程为3x －2y ＝0.当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，∵直线过P (2,3) ， ∴2＋3a ＝1，∴a ＝5， 直线方程为x ＋y －5＝0，所以所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.1．本题(3)中易漏掉截距都为0情况．2．直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意方程各种形式的适用范围．将本例(1)中的A 改(－2，m )，求直线方程． 【解】 当m ＝－1时直线方程为y ＝－1， 当m ≠－1时，由两点式得y －m －1－m ＝x －4－2－4，∴y ＝m ＋16x ＋m －13.直线方程的一般式 设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别确定m 的值；(1)l 在x 轴上的截距是－3；(2)l 的斜率是－1.【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他形式． 【自主解答】 (1)由题意可得⎩⎨⎧m 2－2m －3≠0， ①2m －6m 2－2m －3＝－3， ② 由①得：m ≠－1且m ≠3， 由②得：m ＝3或m ＝－53.∴m ＝－53.(2)由题意得⎩⎨⎧2m 2＋m －1≠0， ③－m 2－2m －32m 2＋m －1＝－1. ④ 由③得：m ≠－1且m ≠12，由④得：m ＝－1或m ＝－2.∴m ＝－2.1．本题的易错点是(1)中漏掉m 2－2m －3≠0，(2)中漏掉2m 2＋m －1≠0.2．把直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)化成其他形式时，要注意式子成立的条件，特别是当B ＝0时，直线的斜率不存在，这时方程不能化成点斜式或斜截式的形式．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率为2，且经过点A (1，－1)．(2)斜率为12，在y 轴上的截距为1.【解】 (1)y －(－1)＝2(x －1)，即2x －y －3＝0.(2)y ＝12x ＋1，即x －2y ＋2＝0.直线方程的应用 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0.(1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．【思路探究】 解答本题可先把一般式方程化为点斜式方程，然后再由直线过定点(15，35)，说明直线l 恒过第一象限．对于求a 的取值范围可借助图形，利用“数形结合思想”求得．【自主解答】 (1)将直线l 的方程整理为y －35＝a (x －15)，∴l 的斜率为a ，且过定点A (15，35)，而点A (15，35)在第一象限， 故l 过第一象限．(2)如图，直线OA的斜率k＝35－015－0＝3，∵l不经过第二象限，∴a≥3.1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单明了．若直线(m －1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是________．【解析】 {m －1＜0，1－2m ＜0，∴12＜m ＜1. 【答案】 (12，1)分类讨论思想在直线方程问题中的应用(12分)设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．【思路点拨】 对截距相等一定要考虑都为0，都不为0，若不为0求出截距让其相等．【规范解答】 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，当然相等.2分∴当a ＝2时满足条件，此时方程为3x ＋y ＝0.当a ＝－1时，直线为平行于x 轴的直线，在x 轴上无截距，不合题意.4分当a ≠－1且a ≠2时，由a －2a ＋1＝a －2， 即a ＋1＝1.∴当a ＝0时，直线在x 轴、y 轴上的截距都为－2，此时方程为x ＋y ＋2＝0.7分综上所述，当a ＝2时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为3x ＋y ＝0；当a ＝0时，l 在两坐标轴上的截距相等，方程为x ＋y ＋2＝0.8分(2)将l 的方程转化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴{ －(a ＋1)＞0，a －2≤0，或{－(a ＋1)＝0，a －2≤0.10分∴a ≤－1.∴a 的取值范围为(－∞，－1x －(－35)－2,2－1,1－12，120,2 C ．－3，3－33，33－33，33(x －1)2＋y 2－1 B ．(13，34 D ．512，＋∞)【思路点拨】 根据图形的特点求解．【解析】 先作出已知曲线y ＝1＋4－x 2的图形，再根据直线y ＝k (x －2)＋4过定点(2,4)． 如图所示，曲线是以(0,1)为圆心，r ＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2,4)的动直线．由图形中关系可求得k PC ＝512. 【答案】 D点P (x ，y )在以A (－3,1)，B (－1,0)，C (－2,0)为顶点的△ABC 的内部运动(不包含边界)，则y －2x －1的取值范围是( ) A ．12，114，1 D ．(14，1)【解析】 令k ＝y －2x －1，则k 可以看成过点D (1,2)和(x ，y )的直线斜率，显然k AD 是最小值，k BD 是最大值．由于不包含边界，所以k ∈(14，1)． 【答案】 D。
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究(含解析)北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步2.1.3两条直线的位置关系课后篇巩固探究（含解析）北师大版必修2课后篇巩固探究A组基础巩固1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0解析设直线方程为x-2y+c=0(c≠-2),又经过(1,0),故c=-1,所求方程为x-2y-1=0.答案A2.若直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,则m的值为()A.7B.0或7C.0D.4解析∵直线mx+2y+m=0与直线3mx+(m-1)y+7=0平行,∴m(m-1)=3m×2,∴m=0或m=7,经检验都符合题意.故选B.答案B3.直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直,则k的值为()A.-3或-1B.3或1C.-3或1D.-1或3解析若1-k=0,即k=1,直线l1:x=3,l2:y=,显然两直线垂直.若k≠1,直线l1,l2的斜率分别为k1=,k2=.由k1k2=-1,得k=-3.综上k=1或k=-3,故选C.答案C4.已知点A(1,2),B(3,1),线段AB的中点D,则线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y-5=0B.4x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.x-2y-5=0解析因为k AB==-,所以所求直线的斜率为2.又线段AB的中点D为,所以线段AB的垂直平分线方程为y-=2(x-2),即4x-2y-5=0.答案B5.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点所组成的图形是()A.平行四边形B.直角梯形C.等腰梯形D.以上都不对解析由斜率公式可得k AB=k CD=,而k AD=-3,k BC=-.所以AB∥CD,且AD与BC不平行.所以四边形ABCD为梯形.又k AD·k AB=-1,所以AD⊥AB,所以四边形ABCD为直角梯形.答案B6.已知A(3,),B(2,0),直线l与AB平行,则直线l的倾斜角为.解析由已知得k AB=,因此k l=k AB=.因为tan60°=,所以直线l的倾斜角为60°.答案60°7.已知点P(0,-1),点Q在直线x-y+1=0上,若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0,则点Q的坐标是.解析依题意设点Q的坐标为(a,b),则有解得故点Q的坐标为(2,3).答案(2,3)8.已知l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0,则下列说法正确的是(填序号).①若l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0②若l1⊥l2,则=-1③若A1A2+B1B2=0,则l1⊥l2④若=-1,则l1⊥l2.解析当B1,B2均不为0时,由两条直线垂直可得-=-1,即A1A2+B1B2=0;当B1=0,A2=0或A1=0,B2=0时,两条直线也垂直,并满足A1A2+B1B2=0.由此可知①③④正确,②错.答案①③④9.(1)求与直线5x+3y-10=0平行且与x轴的交点到原点的距离为2的直线方程;(2)求经过点(0,2)且与直线l:2x-3y-3=0垂直的直线方程.解(1)设直线方程为5x+3y+m=0(m≠-10).因为直线与x轴的交点到原点的距离为2,且直线与x轴的交点为,所以=2,解得m=±10.又因为m≠-10,所以m=10,所以直线方程为5x+3y+10=0.(2)因为所求直线与直线l:2x-3y-3=0垂直,所以可设所求直线的方程为3x+2y+m=0.又因为所求直线过点(0,2),所以4+m=0,解得m=-4,故所求直线的方程为3x+2y-4=0.10.导学号91134044已知A(1,-1),B(2,2),C(3,0)三点.(1)求点D,使直线CD⊥AB,且BC∥AD;(2)判断此时四边形ACBD的形状.解(1)如图,设D(x,y),则由CD⊥AB,BC∥AD,可知得解得即点D坐标为(0,1).(2)∵k AC=,k BD=,∴k AC=k BD.∴AC∥BD,∴四边形ACBD为平行四边形.而k BC==-2,∴k BC·k AC=-1.∴AC⊥BC,∴四边形ACBD是矩形.∵DC⊥AB,∴四边形ACBD是正方形.B组能力提升1.若过点A(-2,2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为()A.-1B.3C.2D.解析由已知k AB=k PQ,得,解得m=3,故选B.答案B2.已知直线l1:mx+4y-2=0与l2:2x-5y+n=0互相垂直且垂足为(1,p),则m-n+p的值为()A.24B.20C.0D.-8解析因为l1⊥l2,所以2m+4×(-5)=0,解得m=10,又点(1,p)在l1上,所以10+4p-2=0,即p=-2,因为点(1,p)在l2上,所以2×1-5p+n=0,得n=-12.所以m-n+p=10-(-12)+(-2)=20.答案B3.已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有()A.b=a3B.b=a3+C.(b-a3)=0D.|b-a3|+=0解析若△OAB为直角三角形,则∠A=90°或∠B=90°.当∠A=90°时,有b=a3;当∠B=90°时,有=-1,得b=a3+.故(b-a3)=0,选C.答案C4.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且直线l1与l垂直,直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行,则a+b=.解析依题意知,直线l的斜率为k=tan135°=-1,则直线l1的斜率为1,于是有=1,所以a=0.又直线l2与l1平行,所以1=-.即b=-2,所以a+b=-2.答案-25.与直线2x+3y+5=0平行,且在两坐标轴上截距之和为的直线的方程为.解析所求直线与直线2x+3y+5=0平行,则其斜率为-,可设直线方程为y=-x+b,令y=0,得x=b,由题意可得b+b=,解得b=,所以所求直线的方程为y=-x+,即2x+3y-4=0.答案2x+3y-4=06.若三条直线2x-y+4=0,x-y+5=0和2mx-3y+12=0围成直角三角形,则m=. 解析设l1:2x-y+4=0,l2:x-y+5=0,l3:2mx-3y+12=0,l1不垂直于l2,要使围成的三角形为直角三角形,则l3⊥l1或l3⊥l2.由l3⊥l1得2×m=-1,∴m=-;由l3⊥l2得1×m=-1,∴m=-.答案-或-7.已知点M(2,2),N(5,-2),点P在x轴上,分别求满足下列条件的点P的坐标.(1)∠MOP=∠OPN(O为坐标原点);(2)∠MPN是直角.解设P(x,0),(1)∵∠MOP=∠OPN,∴MO∥PN,∴k OM=k NP,又k OM==1,k NP=.∴=1,解得x=7,即点P为(7,0).(2)∵∠MPN=90°,∴MP⊥NP,∴k MP·k NP=-1.∵k MP=,k NP=,∴=-1,解得x=1或x=6.∴P为(1,0)或(6,0).8.导学号91134045如图,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园长|AD|=5 m,宽|AB|=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,如何在BC上找到一点M,使得两条小路AC与DM互相垂直?解如图,以点B为原点,分别以BC,BA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,单位:m.由|AD|=5m,|AB|=3m得C(5,0),D(5,3),A(0,3).设点M的坐标为(x,0),∵AC⊥DM,∴k AC·k DM=-1,即=-1,解得x=.故当|BM|=3.2m时,两条小路AC与DM互相垂直.。
(北师大)高中数学必修2课件：2.1.3两条直线的位置关系
数学第二章解析几何初步1・3两条直线的位置关系必修2I第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升入门答疑在平面几何中，两条直线平行，同位角相等.［问题1］在平面直角坐标系中，若厶加2,那么它们的倾斜角有什么关系? 斜率有什么关系？［提示］倾斜角相等”斜率相等或不存在.【问题2］若片,仏的斜率相等，心与仏一定平行吗?必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升【提示］平行.目标导航1. 理解两条直线平行或垂直的判断条件.2. 会利用斜率来判断两条直线平行或垂直.3. 能够利用直线的斜率来判断含字母参数的两直线的平行或垂直.自主学习新知突破合作探究课堂互动高效测评•知能提升1\、<2的倾斜角«1> «2间的关系高效测评•知能提升走进教材知识点两条直线平行、垂直的判断/11/211l«7~90°0）②③ ④所示）若厶、＜2的斜率都不存在，则miL_（如图②所示）或h与b重合③所示）若＜1、b有一条直线的斜率不存在，则厶丄b©另一条直线的斜率盘伽图④所示）必修2I斜率间的关系偌h、＜2的斜率都存在,设仁y=kx +加，h『=席+若厶、b的斜率都存在，则h//l2若li、b的斜率都存在，1/10处=屆，且久秋图①1/2＜4 处•他=一1（如I［强化拓展］如果已知两直线的一般式方程，可以利用方程系数间的关系来判断两直线的 平行或垂直.设两直线厶：Aix+Bij+Ci=O, %： 42兀+〃"+。
2=0, 则人2〃1=。
且 AQ -A2GHO;必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升［自主练习］1.已知A(0, -4), B(5, —4),则直线AB 与直线兀=0的位置关系是()A.平行 D.非以上情况解析：•・•点的纵坐标相等,• • ^AB = 0，直线与兀=0垂直• 答案：B必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升B.垂直C.重合2.下列说法正确的有（）①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行; ② 若则 ki=k 2；③ 若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0,则两直线 垂直;④若与b 的斜率都不存在，则厶仏 A. 4个B. 3个必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升D. 1个C. 2个正确;④不正确，两条直线可能重合.答案：C3.已知直线厶的斜率为冃，直线b 经过点A ⑶，一2), B(0, J+1),且h 丄b ，则实数 ______解析：因为/山2,所以臥2=-1, 3『+1_(-2)即 4X 0—3« =一1， 解得a=l 或a=3, 所以当a=l 或a=3时，必修2I答案：1或34.如图在-OABC 中，0为坐标原点，点C(l,3).(1)求0C 所在直线的斜率；⑵过C 作CD 丄仙于D,求直线CD 的斜率.解析：⑴：•点 0(0,0), C(l,3),必修2I自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升3—0・：OC所在直线的斜率^c=Po=3.数学第二章 解析几何初步1(2)在口OABC 中，AB//OC,T CD 丄 AB, :・CD 丄0C,~1 1.\k 0C 9k CI)=—lf kcD=k°c=—3・ 故直线CD 的斜率为-必修2 自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升第二章解析几何初步数学必修2自主学习•新知突破合作探究•课堂互动高效测评•知能提升合作探究•课堂例DM判断下列各小题中的直线A, b是否平行：⑴厶经过点A(-l, -2), 5(2,1), %经过点M(3, 4), N(-1, -1)；(2)h经过点A(-3,2), 5(-3,10), %经过点M(5, -2), N(5,5)；(3)厶的倾斜角为60。
高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系课件北师大版必修2
[学习目标] 1.能通过两条直线的斜率判定两直线平行或垂直． 2.能将 直线的平行或垂直转化为代数问题.
课前自主学习
【主干自填】
1．两直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别是 k1，k2，有 l1∥l2⇔
□01 k1＝k2 .
(2)如果 l1，l2 的斜率都不存在，并且 l1 与 l2 不重合，那么它们都与
提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－ 1.若其中一条直线斜率为 0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率 之积不是－1.
提示
2．已知直线 l1 过 A(2,3)和 B(－2,6)，直线 l2 过点 C(6,6)和 D(10,3)．则 l1 与 l2 的位置关系为( )
直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
答案 A
解析 当 k1＝k2 时，l1 与 l2 平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，
不正确；④同①也不正确．只有③正确.
答案
解析
例 2 已知直线 l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1 ＝0，如果 l1∥l2，求 m 的值．
A．2 B．1 C．0 D．－1 提示：C 直线 l1 的斜率 k1＝1－2－－01＝1， ∵l1⊥l2，∴l2 斜率存在，l2 的斜率 k2＝1a－ －01＝a－1 1， 由 l1⊥l2，得 k1k2＝－1，即 1×a－1 1＝－1，解得 a＝0.
提示
4．与直线 3x－2y＋1＝0 垂直，且过点(1,2)的直线 l 的方程是________． 提示：2x＋3y－8＝0 设与 3x－2y＋1＝0 垂直的直线方程为 2x＋3y＋b ＝0，将(1,2)代入方程，得 b＝－8， ∴直线 l 的方程为 2x＋3y－8＝0.
高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
① ②
可知，方程②能化为方程①，所以此方程组有无数多个解，
所以这两条直线重合．
(4)l2 的方程即 x－3y＋6＝0，
2x－6y＋1＝0 解方程组x－3y＋6＝0 ，可知方程组无解，
所以这两条直线平行．
1 1．k 为何值时，直线 y＝x＋3k－2 与直线 y＝－4x＋1 的交点在第一象限．
[强化拓展] 方程组Байду номын сангаас解的组数与两直线的位置关系如下表：
A1x＋B1y＋C1＝0， 方程组A2x＋B2y＋C2＝0
的解
一组
无数组
无解
直线 l1 和 l2 的公共点个数
一个 无数个 零个
直线 l1 和 l2 的位置关系
相交 重合 平行
[自主练习]
1．直线 3x＋5y－1＝0 与 4x＋3y－5＝0 的交点是( )
2 ，解得－3＜k＜1.
求过两直线交点的直线方程
求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐 标原点的直线 l 的方程．
[思路探究] 思路一： 解方程组 ―→ 得交点 ―→ 求斜率 ―→ 写方程 ―→ 化成一般式
思路二： 设过交点直线方程 ―→ 代入原点坐标 ―→ 求得λ的值 ―→ 把λ的值代入所设方程化简
(1)若点 P(x0，y0)是 l1 与 l2 的交点，则__A__2x_0_＋__B_2_y_0＋__C__2＝__0_____.
A1x＋B1y＋C1＝0
x＝x0
(2)若两直线方程组成的方程组A2x＋B2y＋C2＝0 有唯一解y＝y0 ，则两条直
线 __相__交___ ， 交 点 坐 标 为 _(_x_0_，__y0_)__ ． 因 此 ， 求 两 条 直 线 的 交 点 ， 就 是 求 ____两__个__直__线__方__程__的__公__共__解_______．
北师大版必修2高中数学2.1.3《两条直线的位置关系》ppt配套课件
2．已知直线 l1 的斜率 k1＝1，直线 l2 的斜率 k2＝－1，则
l1 与 l2 的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不确定
【解析】 ∵k1·k2＝－1， ∴l1⊥l2. 【答案】 B
3．若直线 l1：2x＋my＋1＝0 与直线 l2：y＝3x－1 平行， 则 m＝________.
●重点难点 重点：两条直线平行或垂直的判定和性质的应用． 难点：直线无斜率时平行或垂直的关系． 教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认识水平和 所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习的平面几何知 识，不断观察、分析发现平行、垂直的判定，引导学生从倾 斜角与斜率的关系入手思考，从而化解难点，强化重点．
课 1.能根据斜率判定这两条直线平行或 标 垂直(重点)． 解 2．能根据直线平行或垂直，求直线 读 方程(重点).
两条直线平行、垂直的判定
【问题导思】 1．直线 y＝x＋1 与 y＝x－1，它们的斜率分别是多少？ 它们有什么位置关系？ 2．直线 y＝－x 与 y＝x 的斜率是什么？它们有什么位置 关系？ 3．直线 x＝3 和 y＝3，有什么位置关系？ 【提示】 1.斜率均为 1，平行.2.斜率分别为－1,1，垂 直.3.垂直．
(3)直线 l1、l2 的斜率均不存在，且 2≠4. ∴l1∥l2. (4)直线 l1 的斜率 k1＝0，直线 l2 斜率不存在． ∴l1⊥l2.
1．判断两直线位置关系应注意斜率不存在的情况． 2．判断两直线平行、垂直的方法
已知点 A(2,2＋2 2)，B(－2,2)和 C(0,2－2 2)可组成三角 形，求证：△ABC 为直角三角形．
法二 l1 中 A1＝2，B1＝m＋1，C1＝4， l2 中 A2＝m，B2＝3，C2＝－2， 若 l1∥l2，则有BA11BC22－－AB22BC11＝≠00 或AA11BC22－－AA22BC11＝≠00 ， 即－2×23m－＋m1m－＋31×＝4≠0 0 或22××3－－2m－m4＋×1m＝≠00 ， 解得mm＝ ≠－ －37或m＝2 或mm＝ ≠－ －31或m＝2 ， ∴m 的值为 2 或－3.
高中数学平面解析几何初步两条直线的位置关系两条直线相交平行与重合的条件高数学
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求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且过点(1，2)的直 线 l 的方程．
解：法一：设直线 l 的斜率为 k，因为直线 l 与直线 3x＋4y ＋1＝0 平行，所以 k＝－34． 又因为直线 l 过点(1，2)，
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解：(1)A1B2－A2B1＝(m－2)(m－2)－2×2＝(m－2)2－4≠0， 得(m－2)2≠4 即 m－2≠±2， 所以当 m≠4 且 m≠0 时 l1 与 l2 相交． (2)由 A1B2－A2B1＝0 得 m＝0 或 m＝4， 当 m＝0 时，两直线方程分别为－2x＋2y－2＝0，2x－2y＋3 ＝0，此时 l1∥l2； 当 m＝4 时，两直线方程为 2x＋2y＋2＝0，2x＋2y＋3＝0， 此时 l1∥2． 故 m＝0 或 m＝4 时，两直线 l1∥l2． (3)由12/13(/2202)1知，直线 l1 与 l2 不可能重合．
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1．若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直 线重合的情况． 2．求平行直线的方程时，对于斜率为零及不存在的情形要单 独讨论．
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1．已知 A(2，0)，B(3，3)，直线 l∥AB，则直线 l 的斜率 k
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【解】 (1)k1＝12－－((－－21))＝1，k2＝－ －11－ －43＝54， 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)k1＝1，k2＝22－－11＝1，因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课件北师大版必修220171016317
������ = 4, ������ = -1, ������ = 0.
故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4,-1,0). 答案:(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)关于哪条坐标轴对称 ,哪个坐标不变 ,其余的坐标分量变为原 来的相反数 ,即 P(x,y,z) P(x,y,z) P1(x,-y,-z); P2(-x,y,-z);
P(x,y,z) P3(-x,-y,z). (3)关于原点对称的点 ,三个坐标分量均变为原来的相反数 . P(x,y,z) P1(-x,-y,-z).
【做一做2-3】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 由点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). 解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步 骤进行: (1)在x轴上取横坐标为4的点M1; (2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向 向左平移2个单位长度,得到点M2; (3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移 5个单位长度,即可得到点M,如图所示.
【做一做1】 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的 是( )
A.①③ 答案:C
B.③ C.①②
D.①②③
2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标, 第三个是z坐标. 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有 序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确 定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组 之间就建立了一一对应的关系.
高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系学案北师大版必修21225054
高中数学第二章解析几何初步1.3两条直线的位置关系学案北师大版必修21225054[学习目标] 1.能通过两条直线的斜率判定两直线平行或垂直． 2.能将直线的平行或垂直转化为代数问题.【主干自填】1．两直线平行与斜率的关系(1)对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别是k 1，k 2，有l 1∥l 2⇔□01k 1＝k 2. (2)如果l 1，l 2的斜率都不存在，并且l 1与l 2不重合，那么它们都与□02x 轴垂直，故l 1□03∥l 2.2．两直线垂直与斜率的关系(1)如果直线l 1，l 2的斜率都存在，并且分别为k 1，k 2，那么l 1⊥l 2⇔□04k 1k 2＝－1. (2)如果两直线l 1，l 2中的一条斜率不存在，另一个是零，那么l 1与l 2的位置关系是□05l 1⊥l 2.【即时小测】1．思考下列问题(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2成立的前提条件是什么？ 提示：两直线斜率存在且l 1与l 2不重合． (2)若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定．只有在两条直线的斜率都存在时，斜率相等，若两条直线垂直于x 轴，它们平行但斜率不存在．(3)若两条直线垂直，它们斜率之积一定为－1吗？提示：不一定．两条直线垂直，只有在斜率都存在时，斜率之积才为－1.若其中一条直线斜率为0，而另一条直线斜率不存在，两直线垂直，但斜率之积不是－1.2．已知直线l 1过A (2,3)和B (－2,6)，直线l 2过点C (6,6)和D (10,3)．则l 1与l 2的位置关系为( )A ．l 1⊥l 2B ．l 1与l 2重合C ．l 1∥l 2D ．非以上答案 提示：C 由斜率公式k AB ＝6－3－2－2＝－34， k CD ＝3－610－6＝－34.∵k AB ＝k CD ，由已知可知，直线AB 与CD 不重合． ∴l 1∥l 2.3．直线l 1过A (－1,0)和B (1,2)，l 2与l 1垂直且l 2过点C (1,0)和D (a,1)，则a 的值为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1 提示：C 直线l 1的斜率k 1＝2－01－－1＝1，∵l 1⊥l 2，∴l 2斜率存在，l 2的斜率k 2＝1－0a －1＝1a －1，由l 1⊥l 2，得k 1k 2＝－1，即1×1a －1＝－1，解得a ＝0. 4．与直线3x －2y ＋1＝0垂直，且过点(1,2)的直线l 的方程是________．提示：2x ＋3y －8＝0 设与3x －2y ＋1＝0垂直的直线方程为2x ＋3y ＋b ＝0，将(1,2)代入方程，得b ＝－8，∴直线l 的方程为2x ＋3y －8＝0.例1 判断下列各对直线平行还是垂直，并说明理由． (1)l 1：3x ＋5y －6＝0，l 2：6x ＋10y ＋3＝0； (2)l 1：3x －6y ＋14＝0，l 2：2x ＋y －2＝0； (3)l 1：x ＝2，l 2：x ＝4； (4)l 1：y ＝－3，l 2：x ＝1.[解] (1)将两直线方程分别化为斜截式：l 1：y ＝－35x ＋65；l 2：y ＝－35x －310.则k 1＝－35，b 1＝65，k 2＝－35，b 2＝－310.∵k 1＝k 2，b 1≠b 2，∴l 1∥l 2. (2)将两直线方程分别化为斜截式：l 1：y ＝12x ＋73；l 2：y ＝－2x ＋2.则k 1＝12，k 2＝－2.∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(3)由方程知l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，且两直线在x 轴上的截距不相等，则l 1∥l 2.(4)由方程知l 1⊥y 轴，l 2⊥x 轴，则l 1⊥l 2. 类题通法已知直线方程判断两直线平行或垂直的方法(1)若两直线l 1与l 2的斜率均存在，当k 1·k 2＝－1时，l 1⊥l 2；当k 1＝k 2，且它们在y 轴上的截距不相等时，l 1∥l 2.(2)若两直线斜率均不存在，且在x 轴的截距不相等，则它们平行． 3若有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则它们垂直.[变式训练1] 下列说法中，正确的有( ) ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 A解析 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不正确，②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确.例2 已知直线l 1：(m ＋2)x ＋(m 2－3m )y ＋4＝0，l 2：2x ＋4(m －3)y －1＝0，如果l 1∥l 2，求m 的值．[解] (1)当m ＝0时，l 1：x ＋2＝0，l 2：2x －12y －1＝0，显然l 1与l 2不平行．(2)当m ＝3时，l 1：5x ＋4＝0，l 2：2x －1＝0，l 1与l 2的斜率均不存在， ∴l 1∥l 2.(3)当m ≠0且m ≠3时，l 1：y ＝－m ＋2m 2－3m x －4m 2－3m ，l 2：y ＝－24m －3x ＋14m －3. ∵l 1∥l 2，∴－m ＋2m 2－3m ＝－24m －3. 解得m ＝－4，此时l 1：y ＝114x －17，l 2：y ＝114x －128，l 1与l 2平行但不重合．综上所述：m ＝3或m ＝－4. 类题通法借助条件求参数的值在应用两条直线平行或垂直求直线方程中的参数时，若能直观判断两条直线的斜率存在，则可直接利用平行或垂直时斜率满足的条件列式求参数；若不能明确两条直线的斜率是否存在，运用斜率解题时要分情况讨论．[变式训练2] 已知直线l 1：ax －y ＋2a ＝0与l 2：(2a －1)x ＋ay ＋a ＝0互相垂直，求a 的值．解 (1)当a ≠0时，l 1的斜率k 1＝a ，l 2的斜率k 2＝－2a －1a.∵l 1⊥l 2，∴a ·⎝⎛⎭⎪⎫－2a －1a ＝－1，即a ＝1.(2)当a ＝0时，直线l 1的斜率为0，l 2的斜率不存在，两直线垂直． 综上所述，a ＝0或a ＝1为所求.例3 已知点A (2,2)和直线l ：3x ＋4y －20＝0.求： (1)过点A 和直线l 平行的直线方程； (2)过点A 和直线l 垂直的直线方程．[解] (1)解法一：利用直线方程的点斜式求解． 由l ：3x ＋4y －20＝0，得k l ＝－34.设过点A 且平行于l 的直线为l 1， 则kl 1＝k l ＝－34，所以l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0.解法二：利用直线系方程求解．设过点A 且平行于直线l 的直线l 1的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. 由点A (2,2)在直线l 1上，得 3×2＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－14.故直线l 1的方程为3x ＋4y －14＝0. (2)解法一：设过点A 与l 垂直的直线为l 2. 因为k l kl 2＝－1，所以kl 2＝43，故直线l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0.解法二：设l 2的方程为4x －3y ＋n ＝0.因为l 2经过点A (2,2)，所以4×2－3×2＋n ＝0，解得n ＝－2. 故l 2的方程为4x －3y －2＝0. 类题通法利用平行垂直求直线方程常见的方法(1)求经过点A (x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行或垂直的直线方程，当l 的斜率存在(求垂直直线时，要求斜率不为零)时，可利用直线方程的点斜式求直线方程，也可利用待定系数法根据直线系方程求直线方程．(2)常见直线方程设法①所有与Ax ＋By ＋C 1＝0平行的直线，均可表示为Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)的形式； ②所有与Ax ＋By ＋C 1＝0垂直的直线，均可表示为Bx －Ay ＋C 2＝0的形式．[变式训练3] 已知直线l 的方程为3x －2y －12＝0，求直线l ′的方程，l ′满足： (1)过点(－1,3)，且与l 平行； (2)过点(－1,3)，且与l 垂直．解 (1)由l ′与l 平行，可设l ′方程为3x －2y ＋m ＝0. 将点(－1,3)代入上式，得m ＝9. ∴所求直线方程为3x －2y ＋9＝0.(2)由l ′与l 垂直，可设其方程为2x ＋3y ＋n ＝0. 将(－1,3)代入上式，得n ＝－7. ∴所求直线方程为2x ＋3y －7＝0.易错点⊳利用斜率之间的关系判断两直线垂直时，忽略斜率不存在的情况[典例] 已知直线m 1经过点A (3，a )，B (a －2,3)，直线m 2经过点M (3，a )，N (6,5)，若m 1⊥m 2，求a 的值．[错解] 设k 1，k 2分别是直线m 1，m 2的斜率，则m 1⊥m 2⇔k 1·k 2＝－1，k 1＝3－a a －5，k 2＝a －5－3，即3－a a －5·a －5－3＝－1，解得a ＝0. [错因分析] 错解中忽略了利用斜率间关系判断两条直线的位置关系的前提条件：两条直线的斜率存在且都不为0.[正解] 由题意可知直线m 2的斜率一定存在，直线m 1的斜率可能不存在． ①当直线m 1的斜率不存在时，a ＝5，此时直线m 2的斜率k 2＝0，所以两直线垂直． ②当直线m 1的斜率存在时，a ≠5，m 1⊥m 2⇔k 1·k 2＝－1，即3－a a －5·a －5－3＝－1，解得a＝0.综上，当m 1⊥m 2时，a 的值为0或5. 课堂小结1.两直线平行或垂直的判定方法.斜率 直线 斜率均不存在平行或重合 斜率均存在相等且不重合 平行 积为－1垂直.1．已知A (2,0)，B (3,3)，直线l ∥AB ，则直线l 的斜率k ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．－13 D.13答案 B解析 因为直线l ∥AB ，所以k ＝k AB ＝3－03－2＝3.2．已知直线l 1的斜率为0，且l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为( ) A ．0° B．135° C．90° D．180° 答案 C解析 ∵k l 1 ＝0且l 1⊥l 2，∴k l 2 不存在，直线l 2的倾斜角为90°.3．过点(3，6)，(0,3)的直线与过点(6，2)，(2,0)的直线的位置关系为( ) A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．以上都不正确 答案 A解析 过点(3，6)，(0,3)的直线的斜率k 1＝6－33－0＝2－3；过点(6，2)，(2,0)的直线的斜率k 2＝2－06－2＝3＋ 2.因为k 1·k 2＝－1，所以两条直线垂直．4．一条光线从A (3,2)发出，到x 轴上的M 点后，经x 轴反射通过点B (－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为________．答案 －2解析 如图所示，作A 点关于x 轴的对称点A ′，所以点A ′在直线MB 上．由对称性可知A ′(3，－2)，所以光线MB 所在直线的斜率为k A ′B ＝6－－2－1－3＝－2.故反射光线所在直线的斜率为－2.。
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(3)由方程知 l1⊥x 轴,l2⊥x 轴,且两条直线在 x 轴上的截距不相
等,∴l1∥l2. (4)由方程知 l1⊥y 轴,l2⊥x 轴,∴l1⊥l2.
K12课件
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
K12课件
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练1 已知点A(2,2+2√2), B(-2,2)和C(0,2- 2√2) 可组成 三角形.
求证:△ABC为直角三角形.
证明:∵kAB=
2-(2+2√2) -2-2
=
√22,kBC=2-02-√(-22-)2=-√2,
则 kAB·kBC=-1,∴AB⊥BC.∴△ABC 为直角三角形.
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究二根据两直线的位置关系确定参数
【例2】 (1)当m为何值时,直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线 l2:mx+3y-2=0平行?
A.1 B.0 C.-1 D.0或-1
(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,-3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-
2).如果l1⊥l2,则a=
.
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探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)两直线无公共点,即两直线平行,
∴1×3a-a2(a-2)=0,
∴a=0 或-1 或 3,经检验知,a=3 时两直线重合.
=
������ +1 3
≠
-42.
(*)
由 2 = ������+1得 m2+m-6=0,解得 m=2 或 m=-3,经检验,满足(*).
������
3
∴当 m=-3 或 m=2 时,直线 l1∥l2.
方法二:若 l1∥l2,则 2×3-m(m+1)=0, 解得 m=-3 或 m=2.经检验,满足题意.
(2)直线
l1 的斜率为
k1=������-3-2-���-���3
=
-3-������,
������-5
直线 l2 的斜率为 k2=������--12--23 = 53-������,
则当 a=5 时,k2=0,k1 斜率不存在,两直线垂直;
3 ,则
10
l1
的斜率
k1=-35,l1
在
y
轴上的截距
b1=65,l2
的斜率
k2=-35,l2
在
y
轴上的截距 b2=-130.∵k1=k2,b1≠b2,∴l1∥l2.
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)将两条直线方程分别化为斜截式为 l1:y=12x+73;l2:y=-2x+2,则
l1 的斜率 k1=12,l2 的斜率 k2=-2.
(2)已知直线l1:ax-y+2a=0与l2:(2a-1)x+ay+a=0互相垂直,求a的值.
K12课件
12
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解:(1)方法一:l1:2x+(m+1)y+4=0,l2:mx+3y-2=0,当 m=0 时,显然 l1 不平行于 l2;
当
m≠0
时,若
l1∥l2,则需满足���2���
K12课件
3
做一做1 已知过A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则 m的值是( )
A.-8 B.0 C.2 D.10
解析:由已知可得
4-������ =-2,
������ +2
解得m=-8
答案:A
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4
2.两条直线垂直
一般地,设直线l1:y=k1x+b1,直线l2:y=k2x+b2.
方法二:∵A1=a,B1=-1,A2=2a-1,B2=a, ∴由A1A2+B1B2=0,
得a(2a-1)-a=0,即a=0或a=1.
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14
探究一
探究二
探究三
易错辨析
K12课件
15
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2 (1)直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公
共点,则a的值是( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
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7
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究一两条直线平行或垂直的判定
【例1】 判断下列各组直线平行还是垂直,并说明理由. (1)l1:3x+5y-6=0,l2:6x+10y+3=0; (2)l1:3x-6y+14=0,l2:2x+y-2=0; (3)l1:x=2,l2:x=4; (4)l1:y=-3,l2:x=1. 解:(1)将两条直线方程分别化为斜截式为 l1:y=-35x+65,l2:y=-35x-
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6
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若直线l1与l2的斜率相等,则l1∥l2.( ) (2)若直线l1∥l2,则直线l1与l2的斜率相等.( )
(3)若直线l1⊥直线l2,则它们的斜率之间一定有kl1·kl2=-1成立.( )
(4)若两条直线l1,l2的斜率不相等,则这两条直线不平行.( )
若 l1⊥l2,则k1·k2=-1;反之,若k1·k2=-1,则l1⊥l2.
特别地,对于直线l1:x=a,直线l2:y=b,由于l1⊥x轴,l2⊥y轴,所以l1⊥l2.
K12课件
5
做一做2 直线l1:kx+(1-k)y-3=0和l2:(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直, 则k等于( ) A.-3或-1 B.3或1 C.-3或1 D.3或-1 解析:l1⊥l2⇔k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0⇔(1-k)(k+3)=0⇔k=1或k=-3.故 选C. 答案:C
1.3 两条直线的位置关系
学习目标
思维脉络
1.掌握两条直线平行
或垂直的条件,会判
断两条直线是否平行
或垂直.
2.能根据两条直线平
行或垂直,求直线方
程中的参数.
3.会求过一点且与已
知直线平行或垂直的
直线的方程.
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2
1.两条直线平行
(1)两条不重合直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2(b1≠b2),若l1∥l2,则k1=k2; 反之,若k1=k2,则l1∥l2. (2)如果l1,l2的斜率都不存在,那么它们的倾斜角都是90°,从而它们 互相平行或重合.
∴当 m=-3 或 m=2 时,直线 l1∥l2.
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13
探究一
探究二
探究三
易错辨析
(2)方法一:当a≠0时,l1的斜率k1=a,l2的斜率k2=
-2������-1.
������
∵l1⊥l2,∴a·-
2������-1 ������
=-1,即a=1.
当a=0时,直线l1的斜率为0,l2的斜率不存在,两条直线垂直. 综上所述,a=0或a=1.